初二第六讲矩形、菱形、正方形
矩形正方形菱形平行四边形的关系
矩形正方形菱形平行四边形的关系矩形、正方形、菱形和平行四边形都是几何学中常见的图形，它们之间存在着一定的关系。
本文将介绍这四种图形之间的关系，并分别阐述它们的特点和性质。
一、矩形矩形是一种具有特殊性质的四边形，它的四个内角都是直角（即90度）。
此外，矩形的对角线相等且垂直相交，对边平行且相等。
矩形的特点使得它在日常生活和工程设计中得到广泛应用。
例如，书桌、建筑物的窗户、墙壁等都常见到矩形的形状。
二、正方形正方形是矩形的特殊形式，它的四个边长相等且内角都是直角。
由于正方形具有对边平行且相等的性质，因此它也是平行四边形。
正方形的特点使得它在几何学中具有重要的地位，在城市规划、图案设计等领域中也被广泛应用。
三、菱形菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边平行且相等。
此外，菱形的对角线相等且垂直相交，内角不是直角。
菱形的特点使得它在几何学中具有独特的地位，例如，菱形的形状常常被用于设计钻石、纹身等。
四、平行四边形平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，它的对边平行且相等。
平行四边形的特点使得它在几何学中也是一个重要的图形。
平行四边形的对角线不相等，内角之和为360度。
平行四边形的形状常常出现在建筑物的立面、道路的标线等。
矩形、正方形、菱形和平行四边形之间的关系可以总结如下：1. 矩形是一种特殊的平行四边形，它的对边平行且相等。
2. 正方形是一种特殊的矩形和平行四边形，它的四个边长相等且内角都是直角。
3. 菱形是一种特殊的平行四边形，它的对边平行且相等，但内角不是直角。
4. 平行四边形是一种具有对边平行且相等的特性的四边形，它包括了矩形和菱形。
矩形、正方形、菱形和平行四边形之间存在着紧密的关系。
它们都是具有特殊性质的四边形，但在某些方面又有所不同。
矩形和正方形具有直角和对边相等的特点，而菱形则具有对边平行且相等的特点，平行四边形则是包含了矩形和菱形的更广义的概念。
这些图形在数学和几何学中具有重要的地位，在日常生活和工程设计中也得到了广泛的应用。
【初中数学课件】矩形、菱形、正方形(探索矩形的性质)ppt课件
练一练
矩形具有一般平行四边形不具
有性质是
( C）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
2020/8/6
矩形ABCD的周长是56cm,对角线 AC与BD相交于点O,△OAB与△ OBC的周长差是4cm,则矩形ABCD
的对角线长是 20cm .
A
B
O
D
C
2020/8/6
B
CB
C
2020/8/6
矩形ABCD中,DF平分∠ADC,交AC 于E,交BC于F, ∠BDF＝15°,求 ∠DOC和∠COF的度数.
A
D
O
E
B
F
C
2020/8/6
如图,在矩形ABCD中,AB＝3,AD ＝4,P是AD上不与A、D重合的一 动点，PE⊥AC，PF⊥BD，E、F 为垂足，求PE＋PF的值.
O
2 ∴OA＝OB.
2B
C
又∵ ∠AOD ＝120°,
∴ ∠AOB ＝60°,
∴ △AOB 是等边三角形.
∴ OA＝AB ＝1. ∴ AC＝2AB ＝2.
2020/8/6
矩形的一个角的平分线分矩形的一 边为1cm和3cm两部分,则这个矩形 的面积为 12cm2 或4cm2 .
A 3 E1 D A 1 E 3 D
A
P
D
E
F
O
B
C
2020/8/6
将矩形ABCD对折,设折痕为MN,再把B 点叠在折痕线MN上点B′,若AB= 3 ， 求折痕AE的长?
BE
C
M
B'
N
A
D
2020/8/6
(完整版)菱形,矩形,正方形教案
2015年凹凸个性教育初二数学教案菱形、矩形、正方形教师姓名年级学员姓名课次：总课次，第次授课时间年月日（星期）时分至时分课题菱形、矩形、正方形教学目标与重点【教学目标】知识与技能1菱形、矩形、正方形的概念及其与平行四边形的关系2菱形、矩形、正方形的性质3菱形、矩形、正方形的判定4菱形、矩形、正方形既是轴对称图形也是中心对称图形5能运用菱形、矩形、正方形的性质进行有关的证明和计算【教学重难点】1矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，都满足平行四边形的一切性质2牢记矩形、菱形、正方形的性质和判定3能灵活运用矩形、菱形、正方形的性质和判定进行证明和计算【教学准备】直角三角板【教学工具】板书加习题课前检查作业完成情况：优良中差建议：教学步骤一，知识点回顾1、矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分。
（2）矩形的对角线相等。
（3）矩形既是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称线；也是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心矩形的判定：（1）三个角是直角的四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形矩形的面积计算公式：面积=长⨯宽； 周长计算公式：周长=2⨯（长+宽）2菱形一组临边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等，对角线相等，对角线互相平分。
（2）菱形的对角线互相垂直。
（3）菱形既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；又是轴对称图形，两条对角线都是它的对称轴。
菱形的判定：（1）四条边都相等的四边形是菱形（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的面积计算公式：面积=对角线）对角线⨯⨯(21； 菱形周长计算公式：周长=边长⨯4 3正方形有一组临边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形的性质：（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分（3）正方形既是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；又是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴正方形面积计算公式：边长边长面积⨯=； 正方形周长计算公式：周长=边长⨯4要判断一个四边形是正方形，可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组临边相等；或者先判定这个四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角。
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表
平行四边形、菱形、矩形、正方形性质和判定归纳如表：
定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
二、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三角形，与之相联系的还有以下性质：（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（即勾股定理）
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半。
四种特殊四边形的性质
四种特殊四边形常用的判定方法：
一组邻
一组邻
边相等对角线相
对角线
垂直
对角线
相等
对角线垂
直。
矩形,菱形,正方形的联系与区别
第2版：矩形，菱形，正方形的联系与区别一、矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，理清它们的区别与联系是本节的重点，也是本章的难点。
看下面的从属关系并完成列表，可以帮你理清它们的区别与联系。
（1）从属关系：（2）列表比较边角对角线对称性面积公式矩形菱形正方形二、例题剖析：[例1]已知矩形的两条对角线的一个交角为120°，一条对角线与较短边的和为12cm，求对角线的长。
提示：利用矩形的对角线的性质以及∠AOD是△AOB的一个外角，得到△AOB 是等边三角形等知识。
分析与解：∵四边形ABCD为矩形∴AC=BD AO=DO=OC=OB∠BAD=90°（矩形的对角线互相平分且相等）∵∠AOD=120°∴∠OAB=∠ABO=60°∴△AOB是等边三角形∴AB=OA=OB∵AB+BD=12 ∴AB+OA+OB=12 ∴OA=OB=AB=4∴BD=AC=8（cm）答：对角线长为8cm。
点拨：（1）找到BD与AB的关系是解决问题的关键（2）在特殊四边形中，相关的计算问题可放到特殊三角形中。
[例2]已知：如图矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE∥BD，DE∥AC 求证：四边形AODE是菱形提示：结合条件，要想证明四边形AODE是菱形，先证明四边形AODE是平行四边形，再证明有两条线段相等。
分析与解：证明：∵矩形ABCD 中对角线AC 、BD 交于O∴AC=BD 即AO=DO又∵AE ∥BD 、DE ∥AC ，∴四边形AODE 是平行四边形∴四边形AODE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）点拨：（1）菱形判定方法要牢记。
（2）特殊四边形的对角线所具有的性质异同点要很明确。
[例3] 如图，P 是对角线为4的正方形ABCD 的边AD 上的一点，且P E ⊥AC ，PF ⊥BD ，则PE+PF= 。
提示：只要将△AOD 分割成两个△AOP 和△DOP ，利用面积去做。
分析与解：因为四边形ABCD 是正方形,所以OA=OB=OC=OD=2,且OA ⊥OD, 因为S △AOD =S △AOP +S △POD,所以×2×2=(AO ×PE+DO ×PF 2= ×2 ×PE+ ×2×PF, 所以PE+PF=2点拨:本题用到了分割法算面积,掌握这点是解决此题的关键.本题也可以通过证明四边形PEOF 是矩形,得到PE=OF,再证明△PFD 是等腰三角形,得到PF=FD,所以就把PE+PF 转化成了线段OD 的长了,所以PE+PF=2思维总结：学习矩形、菱形、正方形的区别和联系应注意把握以下两个方面：（1）转化的思想：在矩形、菱形、正方形中有许多相等的角，相等的边，要关注边、角的等量关系的相互转化。
八年级下册四边形整理与复习：矩形,菱形,正方形性质及判定方法
19.2.1 矩形(一)矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形性质1矩形的四个角都是直角．矩形性质2矩形的对角线相等．推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．例1已知：如图，矩形ABCD，AB长8 cm ，对角线比AD边长4 cm．求AD的长及点A到BD的距离AE的长．例2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF⊥AE于F，若AE=BC．求证：CE＝EF．练习1．（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是．（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、、、．（3）已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为cm，cm，cm，cm．2．（1）下列说法错误的是（）．（A）矩形的对角线互相平分（B）矩形的对角线相等（C）有一个角是直角的四边形是矩形（D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（2）矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）．（A）2对（B）4对（C）6对（D）8对3．已知：如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度数．4．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．5．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中点，求证：EA⊥ED．6．如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：∠CBE的度数．19.2.1 矩形(二)矩形判定方法1：对角线相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．例1下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；（）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．( )例2 已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．例3 已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．练习1．下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．3．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：；19.2.2 菱形（一）菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．练习1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．5.．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．19.2.2 菱形（二）菱形判定方法1对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形判定方法2四边都相等的四边形是菱形．例已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．※例3（选讲）已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．练习1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
矩形,菱形,正方形的判定符号数字语言
矩形,菱形,正方形的判定符号数字语言示例文章篇一：《矩形、菱形、正方形的判定：符号、数字语言》一、矩形的判定1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形。
从平行四边形的定义出发，如果一个平行四边形ABCD，其中∠A = 90°，那它就是矩形。
用符号语言表示就是：在平行四边形ABCD中，若∠A = 90°，则四边形ABCD是矩形。
这就好比一个队伍本来是规规矩矩站成平行四边形的形状，突然有一个角变成了直角，那整个队伍的形状就变成了矩形，就像一个长方形的盒子的一个角。
我和我的小伙伴们在讨论这个的时候，小伙伴小明说：“那这个直角就像是一个特殊的标志，只要平行四边形里有了这个标志，它就变身成矩形啦。
”我觉得他说得很有趣呢。
2. 对角线相等的平行四边形是矩形。
假如平行四边形ABCD的对角线AC = BD，那这个平行四边形就是矩形。
用数字和符号语言来表示就是：在平行四边形ABCD中，若AC = BD，则四边形ABCD是矩形。
这就好像两根长度一样的棍子，当它们是平行四边形的对角线的时候，这个平行四边形就变成矩形了。
我跟同桌讨论这个的时候，同桌说：“感觉这两根一样长的对角线就像是一种特殊的密码，只要平行四边形有这个密码，就成矩形了。
”我想了想，还真是这么个道理呢。
3. 有三个角是直角的四边形是矩形。
如果在四边形ABCD中，∠A =∠B =∠C = 90°，那这个四边形就是矩形。
用符号语言写就是：在四边形ABCD中，若∠A =∠B =∠C = 90°，则四边形ABCD是矩形。
这就像是一个四边形的三个角都站得笔直，那第四个角肯定也得站得笔直啦，就像一个房子的三个墙角都是直角，那这个房子的形状肯定就是长方形（矩形）啦。
我跟后面的同学讲这个的时候，他说：“哇，就像三个小伙伴都站得特别端正，那第四个小伙伴也得跟着端正起来。
”二、菱形的判定1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对于平行四边形ABCD，如果AB = AD，那这个平行四边形就是菱形。
沪科版初中数学初二数学下册《矩形菱形正方形》教案及教学反思
沪科版初中数学初二数学下册《矩形菱形正方形》教案及教学反思一、教学目标1.掌握矩形、菱形、正方形的概念及特征。
2.能够辨认并绘制矩形、菱形、正方形。
3.能够求解矩形、菱形、正方形的周长和面积。
4.能够利用矩形、菱形、正方形进行简单的数学推理。
二、教学内容1.矩形、菱形、正方形的定义及特征。
2.矩形、菱形、正方形的绘制方法。
3.矩形、菱形、正方形的周长和面积计算。
4.利用矩形、菱形、正方形进行简单的数学推理。
三、教学重点1.掌握矩形、菱形、正方形的概念及特征。
2.能够求解矩形、菱形、正方形的周长和面积。
四、教学难点1.能够利用矩形、菱形、正方形进行简单的数学推理。
2.能够辨认并绘制矩形、菱形、正方形。
五、教学方法1.板书法2.讲解示范法3.互动探究法4.解决问题法六、教学过程1.引入新知识1.出示几张矩形、菱形、正方形图片，请同学们来辨认，并分别说出它们的特征。
2.通过让同学们互相辨认，引入矩形、菱形、正方形的定义及特征。
2.学习新知识1.让同学们分别绘制矩形、菱形、正方形，并检查绘制是否正确。
2.学习矩形、菱形、正方形的周长和面积计算方法，包括公式和计算步骤。
3.掌握新知识1.通过多个实例的联系，巩固同学们掌握矩形、菱形、正方形的概念及特征。
2.让同学们利用矩形、菱形、正方形进行简单的数学推理，巩固计算方法的掌握。
4.拓展应用1.利用矩形、菱形、正方形解决生活中的实际问题。
2.让同学们根据自己的想象绘制各种形状，并计算周长和面积，拓展应用知识。
七、教学反思本节课是初二数学下册中的一节重点课程，本次教学主要目标是帮助同学们掌握矩形、菱形、正方形的定义及特征，能够辨认并绘制这些图形，求解它们的周长和面积，以及能够利用它们进行简单的数学推理。
这次教学我主要采用了板书法、讲解示范法、互动探究法和解决问题法，通过多个实例和练习，提高了同学们的掌握能力。
在教学难点上，我采用了解决问题法和互动探究法，让同学们自己去想去发现，提高了他们的思维能力和应用能力。
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ． 平行四边形 矩形 菱形 正方形图形性质1．对边 且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线 ；1．对边 且； 2．对角 且四个角都是； 3．对角线 ；1． 对边 且四条边都 ；2．对角 ；3．对角线 且每条对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ；3．对角线 且每条对角线 ；面积。
初中平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定及性质
一、平行四边形的判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;6.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。
二、平行四边形的性质:1. 平行四边形对边平行且相等;2. 平行四边形两条对角线互相平分;3. 平行四边形的对角相等,邻角互补;4. 平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点;5. 过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形;6. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四个全等三角形;7. 平行四边形的面积等于底乘高或对角线积的一半。
三、菱形的判定:1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形;2. 四条边都相等的四边形是菱形;3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四、菱形的性质:1. 菱形具备平行四边形的一切性质;2. 对角线互相垂直且平分;3. 四条边都相等;4. 每条对角线平分一组对角;5. 菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线。
五、矩形的判定:1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形;2. 有三个角是直角的四边形是矩形;3. 四个角相等的四边形是矩形4. 对角线相等的平行四边形是矩形;5. 一组对角互补的平行四边形是矩形;6. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。
六、矩形的性质:1. 矩形具备平行四边形的一切性质;2. 矩形对角线相等;3. 矩形的四个内角都是90°;4. 矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。
七、正方形的判定:1. 有一个角是直角的菱形是正方形;2. 对角线相等的菱形是正方形;3. 有一组邻边相等的矩形是正方形;4. 对角线互相垂直的矩形是正方形;5. 四边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形;6. 一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形。
最新苏科版数学八年级下册9.4 矩形、菱形、正方形 课件
A B.AD=BD
D C.CD⊥AB
B D.CD=AC
新
C
知
应
F
E
用
A
P
B
如图，在Rt ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,P为AB上 任意一点，PF⊥BC于E,则EF的最小值是_2_._4__.
延申 a
思考：如图，直线a∥b，A,C是直线a上任意两点，
AB⊥b，CD⊥b，垂足分别为B,D.线段
应
ABCD是矩形
用
A
D
B
C
性质
A
D
O
B
C
证明：在矩形ABCD中， AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°， 又因为BC＝CB， 所以△ABC≌△DCB， 所以AC＝BD．
新
如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC,BD相交
知
于点O,若AB=OB=5,则AC= ( A )
应
A
D
用
A.10 B.5 C.6 D.8
D
求证:四边形ABCD是平行四边形
证明：
B
C
性质：对角线相等
对角线相等的平行四边形 是矩形吗？
对角线相等的平行四边形是矩形
新
知 应
如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是 AC,BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件
可以使四边形DECF成为矩形的是（D）
用
C
E
F
A.∠ACD=∠BCD
AB,CD相等吗？为什么？
A
C
证明：
b
B
D
两条平行线之间的距离处处相等
新
知
如图，AB∥CD,AD∥BC,AD=5,BE=8,
苏科版八年级下册 矩形、菱形、正方形课件
B.2
C.3
D.4
学以致用
2.已知：如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD
相交于点O，OA=OB。求：∠BAD的度数
A
D
A
M
D
O
B
C
B
C
3.已知M为 ABCD的AD边的中点，且MB＝MC。
求证： ABCD是矩形。
学以致用
4. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于O，△AOB 是等边三角形，AB = 4cm，求这个平行四边形的面积.
矩形. 矩形. 矩形.
对于 任 平意 行 四边形，满足哪些条件就可以得到矩 形呢？
新知运用
1.问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做成的门框 是否是矩形？说说你的想法. 一般有以下三种方法: 1.先检验门框的对边是否分别相等,再检验其中的 一个角是否是直角;
2.先检验门框的对边是否分别相等,再检验两对对 角的距离(即对角线的长)是否相等;
C
F
E
A
D
B
典型例题
变式一： 如图,在△ABC中,点D在AB上,且AD=CD=BD,DE、DF分别是 ∠BDC、∠ADC的平分线.四边形FDEC是矩形吗?为什么?
C
F
E
B
A
D
典型例题
例2：已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，E、F、G 、 H分别是AO 、 BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且 AE=BF=CG=DH.
L
M
A
D
H
E
G
F
B
N
K
C
巩固提升
求证:平行四边形各外角平分线所在的直线相交 构成一个矩形。
1 A E
八年级数学下册 9.4《矩形、菱形、正方形》菱形的性质课件 (新版)苏科版
• ③菱形的四边都相等；
• ④菱形的对角线互相垂直平分， 并且每条对角线平分一组对角。
巩固练习：如图，在菱形ABCD中，
对角线AC、BD相交于点O.
D
⑴图中有哪些线段是相等的？ 5 6
解：AB=BC=CD=DA A 1
3C
AO=CO，DO=BO
2
O4
78
矩形
定义
有一角是直角的平行 四边形叫做矩形.
菱形
有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形.
性 质
边
角
对角线
平行四边形的性质 四条边都相等
四个角都是直角 相等
互相垂直且平分每一组对角
有一角是直角的平行四 有一组邻边相等的平行四
判 边形
边形
定
每一条对角线
4、菱形具有而矩形不一定具有的特征是（ D ）
(A)对角相等且互补
(B)对角线互相平分
(C)一组对边平行，另一组对边相等 (D)对角
线互相垂直
（1）矩形具备但菱形不具备的性质 是
每个内角为90o，对角线相等。
（2）菱形具备但平行四边形不具备 的性质是
邻边相等，对角线互相垂直。
矩形与菱形
有一组邻边相等中心相等互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角11矩形具备但菱形不具备的性质矩形具备但菱形不具备的性质每个内角为每个内角为9090oo对角线相等
菱形的性质
B
C
A
D
一组邻边相等的平行
四边形叫做菱形.
记一记
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
菱形是特殊的平行四边形，它具 有平行四边形的一切性质．即
(完整版)苏教版初二数学矩形、菱形和正方形
§矩形、菱形、正方形定义：有一个角是直角的平行四边形性质： 4 个角是直角，对角线相等3个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形有一个角是直角的平行四边形（定义）定义：有一组邻边相等的平行四边形性质： 4 条边相等，对角线相互垂直4条边相等的四边形对角线相互垂直的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形（定义）定义：有一组邻边相等且有 1 个角是直角的平行四边形性质： 4 条边相等， 4 个角都是90°，对角线相互垂直均分有一组邻边相等的矩形有 1 个角是直角的菱形有一组邻边相等且有 1 个角是直角的平行四边形（定义）1、在矩形ABCD 中， DE 均分∠ ADC，若∠ EDO=15°，则∠ COB=D COA E B2、在△ ABC 中， AB>BC>AC，可可依以下方法作图：① 作∠ C的角均分线交AB 于点 D；② 作 CD 的中垂线，分别交AC，BC 于点 E， F；③ 连结 DE， DF.依据小华所作的图，以下说法必定正确的是（）A.四边形CEDF为菱形B.DE=DA⊥ CB D.CD=BD3、在正方形ABCD中，若∠DAF=25°，AF交对角线BD 于点 E，交 CD 于点 F，则∠BEC=4、在矩形ABCD中， AB=3，BC=4,点 E 是 BC 边上一点，连结AE，把∠ B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B’处，当△ CEB’为直角三角形时，BE 的边长为5、如图，正方形 ABCD 与等边△ AEF，将△ AEF绕 A 点旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠ BAE=6、如图，ABCD与DCEF的周长相等，若∠BAD=60°，∠ F=110°，则∠ DAE=7、如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AC=BC=6cm，点 P 从 A 出发，沿AB 方向以每秒 2 cm 的速度向终点 B 运动。
6八下春季数学课程第六讲菱形矩形
第六讲 菱形及矩形一、知识梳理：考点1 菱形的定义及性质：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还有自身的特殊性质：（1）菱形四条边相等.（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（3）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线为对称轴）.考点2 菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（3）四边相等的四边形是菱形.考点3 菱形面积计算：（1）平行四边形面积求法：=S 底×高 （2）特殊求法：2÷=对角线乘积S考点4 矩形的性质和判定：考点5 在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半.二、课堂精讲：（一）菱形的性质例1如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且CE=CF ，求证：AE=AF.FEDC B A【随堂演练一】【A 类】1.如图，菱形ABCD 中，B =60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连结AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为多少？F ED C BA2.如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，AC=6，BD=8，求菱形ABCD 的周长和面积.ODC B A（二）菱形的判定例2-1如图，△ABC 中，E 、F 、D 分别是AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥AC ，DF ∥AB ，要使四边形AEDF 是菱形，在不改变图形的前提下，你需要添加的一个条件是 ，试证明：这个多边形是菱形. FED CBA例2-2如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，求证： AD ⊥EF. FED C BA【随堂演练二】【A 类】1.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线EF 与AD 、BC 、AC 分别交于点E 、F 、O ，连接AF 、EC ，则四边形AFCE 是菱形吗？为什么？O FECB A D2.已知：如图，△ABC 中， ∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，CD ⊥AB 与D ，EH ⊥AB 于H ，CD 交BE 于F ．求证：四边形CEHF 为菱形． F DHEC B A3.如图，已知在平行四边形ABCD 中，A ∠的平分线与BC 交于点E ，B ∠的平分线与AD 交于点F ，AE 与BF 交于点O 。
八年级数学矩形、菱形与正方形的性质
雨
雨淅淅沥沥地下着，把人的心，淋得湿漉漉的。
我坐在屋檐下看书，心却穿过重重雨幕，飞到天空上去。如果从空中俯视我们村庄，一定是被水雾氤氲缭绕，犹如仙境一样吧？至于这仙境里，有没有小孩子在哭，或者像我一样，因为周一的学费 还没有着落，而愁肠百结，那谁知道呢？因为雨，家家户户的哀愁，似乎都变得轻了，不复过去当街打骂的酣畅与决绝。就连人家屋顶上的炊烟，也被雨洗了一般，愈发地轻盈，洁净，接近于一种虚无 纯净的蓝。
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第六讲 矩形、菱形、正方形【知识梳理】（一）【知识结构】（二）【几种特殊四边形的性质】边角 对角线平行 四边形 对边平行且相等对角相等 两条对角线互相平分 矩形 对边平行且相等四个角都是直角 两条对角线互相平分且相等 菱形 对边平行 四边相等 对角相等 两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角正方形对边平行 四边相等四个角都是直角两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角（三）【几种特殊四边形的常用判定方法】平行 四边形 （1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）两条对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。
矩形 （1）有三个是直角；（2）是平行四边形且有一个角是直角； （3）是平行四边形且两条对角线相等。
菱形 （1）四条边都相等；（2）是平行四边形且有一组邻边相等； （3）是平行四边形且两条对角线互相垂直。
正方形（1）是矩形，且有一组邻边相等；（2）是菱形，且有一个角是直角。
（四）【几个重要结论】1．同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等．2．同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等．3．菱形的面积等于两对角线乘积的一半或边长乘以高．4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．5．直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么30°所对的直角边等于斜边的一半． 6. 连接三角形任意两边中点所得线段叫三角形中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半二、精典题例巧解点拨例1、（1）对角线________的平行四边形是菱形，对角线_________的四边形是菱形； （2）、对角线_____的平行四边形是矩形，对角线_________________的四边形是矩形。
（3）、对角线_____________的平行四边形是正方形，对角线__________的矩形是正方形，对角线___________的菱形是正方形，对角线______________________的四边形是正方形。
(4)、顺次连接平行四边形四边中点所得的四边形是__________形，顺次连接菱形四边中点所得的四边形是__________形，顺次连接矩形四边中点所得的四边形是形，顺次连接正方形四边中点所得的四边形是__________形.(5)、顺次连接任意四边形四边中点所得四边形是__________形，顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点所得四边形是__________形，顺次连接对角线相等的四边形的四边中点所得四边形是__________形，顺次连接对角线互相垂直并且相等的四边形的四边中点所得四边形是__________形。
3、(1)、如图①，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作BP ∥OC ，且BP=OC ，连接CP ，试说明：四边形CODP 的形状并证明你的结论。
（2）、如果题目中的矩形变为菱形（如图②），结论应变为什么？_______________. (3)、如果题目中的矩形变为正方形（如图③），结论应变为什么？_______________. 如果题目中的矩形变为菱形（如图②），结论应变为什么？_______________.例2.在矩形ABCD 中DF 平分∠ADC ，交AC 于E ，交BC 于F ，∠BDF =15°，求∠COF 的度数。
FEOB ACD O图①A BDC PO 图③BD A CPO 图②C D A PB例3、如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点M 、N 分别是AB 、BC 边上 的中点, 则MP+NP 的最小值是________练习：(1).如图，点P 是边长为4的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，∠BAD=60°，点M 是AB 边上的中点，求MP+BP 的最小值是________.（2）、如图，G 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BG=DG ,P是对角线BD 上的点，PE ⊥BG 于E ，PF ⊥AD 于F 。
求证：PE+PF=AB例4、如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于E ，PF ⊥DC 于F ，连接EF 。
求证：（1）AP=EF （2）AP ⊥EF跟踪练习：1、（2004黑龙江）已知，如图，正方形ABCD 的边长为8， M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 最小值为_______.2、如图，正方形ABCD 中，E 是AD 中点，EC 交BD 于F,与EB 交于G 。
求证：AF ⊥BEABDCGPFEBDACPMGFEABDCA BDCP F EN M AC D B P MACD B PFEDCB A3.如图，E 是已知正方形ABCD 的BC 边沿长线上一点，AE 交DC 于H ，交BD 于F ，G 是HE 的中点。
连接FC 、GC 。
求证：FC ⊥GC例5：已知，△ABC 中，点O 是AC 上的一个动点，过点O 作直线M N ∥BC ，MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。
（1）求证：EO=FO 。
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？ 证明你的结论。
练习：如图，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE 、等边△BCF ．(1)试说明：四边形DAEF 是平行四边形；(2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明)①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶 点的四边形不存在例6.如图：□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，BD=12cm ，AC=6cm ，点E 在线段BO 上从点B 以1cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2cm/s 的速度运动.（1）若点E 、F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形.（2）在（1）的条件下，①当AB 为何值时，四边形AECF 是菱形；②四边形AECF 可以是矩形吗？为什么？OFEDCBAFBDACEGCB EODN FAMCD EF A BG例7（2010河南）（1）操作发现如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△AB E 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗？说明理由．（2）问题解决保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求ABAD 的值；（3）类比探求保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求AB AD 的值．例8、已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线)于点M 、N 。
当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时，（如图1），易证BM+DN=MN; (1) 当∠MAN 绕点A 旋转到BM DN 时，（如图2），线段BM 、DN 、MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想并证明。
(2) 当∠MAN 绕点A 旋转到如图3时，线段BM 、DN 、MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想。
1.（3） DNCMBA(2)M CD NA B（1）D NCM BA【名书、名校、中考、竞赛在线】一、填空、选择1．矩形ABCD 的边AB 的中点为P ，且∠DPC 为直角，则AD ：BA ＝． 2．已知矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于O 点，∠AOB=2∠BOC ，AC=18cm ，则AD=cm.3.矩形的边长为10cm 和15cm ，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分为___________.4．菱形ABCD 中，∠BAD =120°，AB =10cm ，则AC =________cm ．5．若一条对角线平分平行四边形的一组对角，且一边长为a 时，周长为________．6．若菱形的两条对角线的比为3：4，且周长为20cm ，它的一组对边的距离为2.4cm ，它的两条对角线的长分别为_____________．7.如图,矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线 BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是___________________. 8．已知正方形的一条对角线长为4cm ，则它的面积是________cm 2．8.E 是正方形ABCD 边BC 延长线上的一点，CE ＝CA ，AE 交CD 于F ，则∠AFC ＝ ____ . 9.如图是一块矩形ABCD 的场地，长AB=102 m ，宽AD=51 m ， 从A 、B 两处入口的中路宽都为1 m ，两小路会合处路宽为2 m ， 其余部分为草坪，则草坪面积为_________10.下列说法中正确的是( )A.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形B.四个角都相等的四边形是矩形C.菱形的对角线相等且每条对角线平分一组对角D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 11.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.对角线相等C.对角线互相平分且相等D.对角线互相垂直二、解答题： ★11．（北京市竞赛题）、将边长为12的正方形ABCD 折叠，使得A 点落在 边CD 上的E 点，然后压平得折痕FG ，若FG 的长为13，求线段CE 的长。
FABD ECGH望子成龙学校家庭作业姓名_______________ 评分________ 1.等边△AEF 的边长与菱形ABCD 的边长相等，点E 、F 分别在BC 、CD 上，则∠B 的度数是______. 2.正方形ABCD 中，ＡＢ＝3，点E 、F 分别在ＢＣ、ＣＤ上， ∠BAE ＝30°,∠DAF ＝15°, 则△AEF 的面积为_____________.3、（2010 菏泽）如图，在直线a 上依次摆放着七个正方形，已知斜放的三个正方形的面积分别为1、2、3。
则____________4321=+++s s ss 。
4．(重庆市竞赛题)如图，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，P 为AB 上的动点，P E ⊥AC 于E ，P F ⊥BD 于F ，求：PE+PC=________.5、如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 边上的中点，CE 、DF 交于G ，连结BG 。