2019届高考数学总复习基础与考点过关《坐标系与参数方程》学案选修4-4

选修4­4 坐标系与参数方程1. （选修44P 11例5改编）在直角坐标系中，点P 的坐标为（－2，－6），求点P 的极坐标.解：ρ＝（－2）2＋（－6）2＝22，tan θ＝－6－2＝3，又点P 在第三象限，得θ＝43π，即P （22，4π3）.2. （选修44P 17习题9改编）在极坐标系中，已知A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，求△AOB（其中O 为极点）的面积. 解：由题意A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，得△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ²OB ²sin ∠AOB ＝12³3³4³sin π6＝3.3. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ的圆心到直线2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝1的距离. 解：圆的普通方程为（x －1）2＋y 2＝1，直线的普通方程为3x ＋y －1＝0，∴ 圆心到直线的距离为d ＝3－12.4. （选修44P 19例1改编）在极坐标系中，求过圆ρ＝－2sin θ的圆心，且与极轴平行的直线的极坐标方程.解：由题意，圆ρ＝－2sin θ，可化为ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋（y ＋1）2＝1，圆心是（0，－1），所求直角坐标方程为y ＝－1，所以其极坐标方程为ρsin θ＝－1.5. 在极坐标系中，求圆ρ＝4上的点到直线ρ（cos θ＋3sin θ）＝8的距离的最大值.解：把ρ＝4化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝16，把ρ（cos θ＋3sin θ）＝8化为直角坐标方程为x ＋3y －8＝0，∴ 圆心（0，0）到直线的距离为d ＝82＝4，∴ 直线和圆相切，∴ 圆上的点到直线的最大距离是8.1. 极坐标系是由距离（极径）与方向（极角）确定点的位置的一种方法，由于终边相同的角有无数个且极径可以为负数，故在极坐标系下，有序实数对（ρ，θ）与点不一一对应.这点应与直角坐标系区别开来.2. 在极坐标系中，同一个点M 的坐标形式不尽相同，M （ρ，θ）可表示为（ρ，θ＋2n π）（n∈Z ）.3. 在极坐标系中，极径ρ可以为负数，故M （ρ，θ）可表示为（－ρ，θ＋（2n ＋1）π）（n∈Z ）.4. 特别地，若ρ＝0，则极角θ可取任意角.5. 建立曲线的极坐标方程，其基本思路与在直角坐标系中大致相同，即设曲线上任一点M （ρ，θ），建立等式，化简即得.6. 常见曲线的极坐标方程（1） 过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ）或θ＝π＋α（ρ∈R ）；（2） 过点（a ，0）（a ＞0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcos θ＝a ；（3） 过点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ；（4） 圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r ； （5） 圆心为（a ，0），半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ；（6） 圆心为⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ.7. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，平面内任一点P 的直角坐标（x ，y ）与极坐标（ρ，θ）可以互换，公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 和⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ., 1 求极坐标或极坐标方程), 1) 在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，圆C 的方程为ρ＝42sin θ（圆心为点C ），求直线AC 的极坐标方程.解：（解法1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy.圆C 的平面直角坐标方程为x 2＋y 2＝42y ，即x 2＋（y －22）2＝8，圆心C （0，22）. 点A 的直角坐标为（2，2）.直线AC 的斜率k AC ＝22－20－2＝－1.所以直线AC 的直角坐标方程为y ＝－x ＋22， 极坐标方程为ρ（cos θ＋sin θ）＝22，即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. （解法2）在直线AC 上任取一点M （ρ，θ），不妨设点M 在线段AC 上.由于圆心为C ⎝⎛⎭⎪⎫22，π2，S △OAC ＝S △OAM ＋S △OCM ， 所以12³22³2sin π4＝12³2³ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋12³ρ³22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即ρ（cos θ＋sin θ）＝22，化简，得直线AC 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2. 备选变式（教师专享）在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4（ρ∈R ）对称的曲线的极坐标方程.解：（解法1）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为（x －1）2＋y 2＝1，且圆心C 的坐标为（1，0），直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x.因为圆心C （1，0）关于y ＝x 的对称点为（0，1），所以圆C 关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋（y －1）2＝1，所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.（解法2）设曲线ρ＝2cos θ上任意一点为（ρ′，θ′），其关于直线θ＝π4的对称点为（ρ，θ），则⎩⎪⎨⎪⎧ρ′＝ρ，θ′＝2k π＋π2－θ. 将（ρ′，θ′）代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ，即ρ＝2sin θ， 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4（ρ∈R ）对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ., 2 极坐标方程与直角坐标方程的互化), 2) （2017²苏州期中）已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＋2，y ＝rsin θ＋2（θ为参数，r ＞0）.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0. （1） 求圆C 的圆心的极坐标；（2） 当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值范围.解：（1） 由C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rcos θ＋2，y ＝rsin θ＋2得（x －2）2＋（y －2）2＝r 2，∴ 曲线C 是以（2，2）为圆心，r 为半径的圆，∴ 圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. （2） 由直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＋1＝0， 从而圆心（2，2）到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝52 2.∵ 圆C 与直线l 有公共点，∴ d ≤r ，即r≥522.变式训练（2017²苏州期初）自极点O 任意作一条射线与直线ρcos θ＝3相交于点M ，在射线OM 上取点P ，使得OM²OP＝12，求动点P 的轨迹的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程.解：设P （ρ，θ），M （ρ′，θ）， ∵ OM ²OP ＝12，∴ ρρ′＝12.∵ ρ′cos θ＝3，∴ 12ρ²cos θ＝3.则动点P 的轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ. ∵ 极点在此曲线上，∴ 方程两边可同时乘ρ，得ρ2＝4ρcos θ.∴ x 2＋y 2－4x ＝0., 3 曲线的极坐标方程的应用), 3) 在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2acos θ（a>0），直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点. （1） 求a ；（2） O 为极点，A ，B 为C 上的两点，且∠AOB＝π3，求OA ＋OB 的最大值.解：（1） 曲线C 是以（a ，0）为圆心，以a 为半径的圆； 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 相切可得|a －3|2＝a ，解得a ＝1.（2） 不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则OA ＋OB ＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 当θ＝－π6时，OA ＋OB 取得最大值2 3.变式训练在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为（x －3）2＋（y ＋1）2＝9，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求圆C 的极坐标方程；（2） 直线OP ：θ＝π6（ρ∈R ）与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长.解：（1） （x －3）2＋（y ＋1）2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0，故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0.（2） 将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，∴ ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5，|MN|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝2 6.1. （2017²苏北四市期中）已知曲线C 的极坐标方程为ρsin （θ＋π3）＝3，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程.解：由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝3，得12ρsin θ＋32ρcos θ＝3. 又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以曲线C 的直角坐标方程为3x ＋y －6＝0.2. （2017²苏锡常镇一模）已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. （1） 把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2） 求经过两圆交点的直线的极坐标方程.解：（1） 由ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.（2） 将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22. 3. （2017²苏北三市模拟）在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，点B 在直线l ：ρcos θ＋ρsin θ＝0（0≤θ＜2π）上.当线段AB 最短时，求点B 的极坐标.解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2的直角坐标为（0，2），直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＝0.AB 最短时，点B 为直线x －y ＋2＝0与直线l 的交点， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1. 所以点B 的直角坐标为（－1，1）.所以点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. 4. （2017²常州期末）在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.已知圆ρ＝4sin （θ＋π6）（ρ≥0）被射线θ＝θ0（θ0为常数，且θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2）所截得的弦长为23，求θ0的值. 解：圆ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6的直角坐标方程为（x －1）2＋（y －3）2＝4，射线θ＝θ0的直角坐标方程可以设为y ＝kx （x≥0，k ＞0），圆心（1，3）到直线y ＝kx 的距离d ＝|k －3|1＋k2. 根据题意，得24－（k －3）21＋k 2＝23，解得k ＝33， 即tan θ0＝33.又θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ0＝π6.1. （2017²南通、扬州、泰州模拟）在极坐标系中，圆C 的圆心在极轴上，且过极点和点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4，求圆C 的极坐标方程. 解：（解法1）因为圆C 的圆心在极轴上且过极点， 所以可设圆C 的极坐标方程为ρ＝acos θ.又点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4在圆C 上，所以32＝acos π4，解得a ＝6. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.（解法2）点⎝⎛⎭⎪⎫32，π4的直角坐标为（3，3）. 因为圆C 过点（0，0），（3，3）， 所以圆心在直线x ＋y －3＝0上. 又圆心C 在极轴上，所以圆C 的直角坐标方程为（x －3）2＋y 2＝9. 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ.2. 已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点.求点M 到直线l 距离的最大值.解：圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2，即 x 2＋y 2＋2y ＝0，x 2＋（y ＋1）2＝1，表示圆心为（0，－1），半径等于1的圆.直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρcos θ＋ρsin θ－2＝0，即 x ＋y －2＝0， 圆心到直线l 的距离为|0－1－2|2＝322，故圆上的动点M 到直线l 的距离的最大值等于322＋1.3. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.（1） 求出圆C 的直角坐标方程；（2） 已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，若直线l ：y ＝2x ＋2m 上存在点P 使得∠APB ＝90°，求实数m 的最大值.解：（1） 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x 2＋y 2－4x ＝0，即圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝4.（2） l 的方程为y ＝2x ＋2m ，而AB 为圆C 的直径，故直线l 上存在点P 使得∠APB＝90°的充要条件是直线l 与圆C 有公共点， 故|4＋2m|5≤2，于是实数m 的最大值为5－2.4. 在极坐标系中，已知直线2ρcos θ＋ρsin θ＋a ＝0（a>0）被圆ρ＝4sin θ截得的弦长为2，求a 的值.解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x ＋y ＋a ＝0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋（y －2）2＝4.因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆心（0，2）到直线的距离为4－1＝3， 即|2＋a|5＝3，因为a>0，所以a ＝15－2.1. 极坐标方程与直角坐标方程的互化 （1） 将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可.常用方法有代入法、平方法，还经常用到同乘（或除以）ρ等技巧.（2） 将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x ＝ρcosθ，y ＝ρsin θ以及ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x（x≠0），同时要掌握必要的技巧，通常情况下，由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角.在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定.当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y>0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y<0时，可取θ＝3π2.2. 求简单曲线的极坐标方程的方法（1） 设点M （ρ，θ）为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用正弦定理求解OM 与θ的关系；（2） 先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程.[备课札记]第2课时 参 数 方 程（对应学生用书（理）202～205页）1. （选修44P 45例1改编）已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t 2，y ＝2＋32t（t 为参数），求此直线的倾斜角以及在y 轴上的截距.解：∵ ⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t 2，y －2＝32t ，∴ y －2＝3（x －1）.∴ 此直线的斜率为3，∴ 它的倾斜角为60°.令x ＝0，得它在y 轴上的截距为2－ 3.2. （选修44P 45例2改编）已知点P （3，m ）在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t（t 为参数）上，求PF 的值.解：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F （1，0），准线方程为x ＝－1，又P （3，m ）在抛物线上，由抛物线的定义知PF ＝3－（－1）＝4.3. （选修44P 57习题3（4））选择适当的参数，将普通方程4x 2＋y 2－16x ＋12＝0化为参数方程.解：由4x 2＋y 2－16x ＋12＝0，得4（x －2）2＋y 2＝4，选择参数θ，令y ＝2sin θ，则x ＝2＋cos θ，故所求曲线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝2sin θ.（答案不惟一）4. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α＋3，y ＝2sin α（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π6.若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：曲线C 的普通方程为（x －3）2＋y 2＝4，表示以（3，0）为圆心，2为半径的圆.直线l 的直角坐标方程为y ＝33x.所以圆心到直线的距离为32， 所以线段AB 的长为24－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝13. 5. 已知直线l 的极坐标方程为ρsin （θ－π3）＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ（θ为参数），设P 点是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值.解：由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝3，可得ρ（12sin θ－32cos θ）＝3， ∴ y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2， ∴ 圆心到直线l 的距离d ＝62＝3.∴ P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.1. 参数方程是用第三个变量（即参数）分别表示曲线上任一点M 的坐标x ，y 的另一种曲线方程的形式，它体现了x ，y 的一种间接关系.2. 参数方程是根据其固有的意义（物理、几何）得到的，要注意参数的取值范围.3. 一些常见曲线的参数方程（1） 过点P 0（x 0，y 0），且倾斜角是α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋lcos α，y ＝y 0＋lsin α（l 为参数）. l 是有向线段P 0P 的数量.（2） 圆方程（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcos θ，y ＝b ＋rsin θ（θ为参数）.（3） 椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1（a>b>0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ（θ为参数）.（4） 双曲线方程x 2a －y2b ＝1（a>0，b>0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t （t 为参数）.（5） 抛物线方程y 2＝2px （p>0）的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt （t 为参数）.4. 在参数方程与普通方程的互化中要注意变量的取值范围.1 参数方程与普通方程的互化1（2017²南京、盐城期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t （t为参数）.现以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长.解：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝45t （t 为参数）化成普通方程为4x －3y ＝0，圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为（x －1）2＋y 2＝1，则圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|4|42＋（－3）2＝45， 所以AB ＝21－d 2＝65.变式训练在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋55t ，y ＝－1＋255t （t 为参数）与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ（θ为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：将直线的参数方程化为普通方程，得y ＝2x ＋1 ①. 将曲线的参数方程化为普通方程，得y ＝1－2x 2（－1≤x≤1） ②.由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，所以A （－1，－1），B （0，1）或A （0，1），B （－1，－1），从而AB ＝（－1－0）2＋（－1－1）2＝ 5. 备选变式（教师专享）已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋22t ，y ＝22t（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ－2cos θ.若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：由ρ＝2sin θ－2cos θ，可得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，标准方程为（x ＋1）2＋（y －1）2＝2.直线l 的方程化成普通方程为x －y ＋1＝0.圆心到直线l 的距离为d ＝|－1－1＋1|2＝22，所求弦长AB ＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 6. , 2 求曲线参数方程), 2) 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程.解：设P （x ，y ），则随着θ取值变化，P 可以表示圆上任意一点，由所给的曲线方程x 2＋y 2－x ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆，可得弦OP ＝1³cosθ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝OP²cos θ，y ＝OP²sin θ，从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ²sin θ，故已知圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝cos θ²sin θ（θ为参数）.备选变式（教师专享）已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcos α，y ＝tsin α（t 为参数），曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ（θ为参数）. （1） 当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；（2） 过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求点P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.解：（1） 当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3（x －1），C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1，联立构成方程组⎩⎨⎧y ＝3x －3，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标分别为（1，0），⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. （2） 依题意，C 1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0，则A 点的坐标为（sin 2α，－sin αcos α），故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α（α为参数），所以点P 轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆. , 3 参数方程的应用), 3) （2017²南通、泰州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l （l 为参数）与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t （t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB的长.解：（解法1）将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t（t 为参数）化成普通方程为y 2＝8x ，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l （l 为参数）代入y 2＝8x ，整理得l 2－82l ＋24＝0，解得l 1＝22，l 2＝6 2.则|l 1－l 2|＝42，所以线段AB 的长为4 2.（解法2）将曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18t 2，y ＝t（t 为参数）化成普通方程为y 2＝8x ，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32＋22l ，y ＝22l（l 为参数）化成普通方程为x －y ＋32＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x －y ＋32＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝6.所以AB 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫92－122＋（6－2）2＝4 2.备选变式（教师专享）已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α＋m ，y ＝tsin α（t 为参数）恒经过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ（φ为参数）的右焦点F.（1） 求m 的值；（2） 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA²FB 的最大值与最小值.解：（1） 椭圆的参数方程化为普通方程，得x 225＋y29＝1.因为a ＝5，b ＝3，所以c ＝4，所以点F 的坐标为（4，0）. 因为直线l 经过点（m ，0），所以m ＝4.（2） 将直线l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得（9cos 2α＋25sin 2α）t 2＋72tcos α－81＝0.设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则FA ²FB ＝|t 1t 2|＝819cos 2α＋25sin 2α＝819＋16sin 2α. 当sin α＝0时，FA ²FB 取最大值9；当sin α＝±1时，FA ²FB 取最小值8125., 4 极坐标、参数方程的综合应用), 4) （2017²苏锡常镇二模）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝3＋2sin α（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝a （a∈R ），若曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点，求实数a 的值.解：曲线C 1的方程为（x －3）2＋（y －3）2＝4，圆心坐标为（3，3），半径为2.∵ 曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝a （a∈R ）， ∴ 曲线C 2的直角坐标方程为3x ＋y －2a ＝0.∵ 曲线C 1与曲线C 2有且仅有一个公共点， ∴ |3＋3－2a|2＝2，解得a ＝1或a ＝5.备选变式（教师专享）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos α，y ＝2sin α（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ＋3sin θ）＋4＝0.求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.解：将l 转化为直角坐标方程为x ＋3y ＋4＝0. 在C 上任取一点A （6cos α，2sin α），α∈[0，2π），则点A 到直线l 的距离为d ＝|6cos α＋6sin α＋4|2＝|23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋4|2＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＋2.当α＝π4时，d 取得最大值，最大值为2＋3，此时A 点为（3，1）.1. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22a ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos t ，y ＝－1＋sin t （t 为参数，0≤t ≤π）.当C 1与C 2有公共点时，求实数a 的取值范围.解：曲线C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝a.若C 1与C 2有公共点，则a ＝x ＋y ＝sin t ＋cos t－2在t∈[0，π]上有解，又sin t ＋cos t －2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π4－2，因为t∈[0，π]，所以t ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，所以a 的取值范围为[－3，2－2].2. （2017²苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线l ：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m （m∈R ），圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3cos t ，y ＝－2＋3sin t （t 为参数）.当圆心C 到直线l 的距离为2时，求m 的值.解：直线l 的直角坐标方程为x －y ＋m ＝0，圆C 的普通方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9，圆心C 到直线l 的距离为|1－（－2）＋m|2＝2，解得m ＝－1或m ＝－5.3. （2016²江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t（t 为参数），椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.4. （2017²扬州期末）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ，y ＝1＋sin 2α（α为参数），以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ＝π4，试求直线l 与曲线C 的交点的直角坐标.解：将直线l 的极坐标方程化成直角坐标方程为y ＝x ，将曲线C 的参数方程化成普通方程为y ＝2－x 2（－1≤x≤1）. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x2得x 2＋x －2＝0，解得x ＝1或x ＝－2. 又－1≤x≤1，所以x ＝1，所以直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为（1，1）.1. 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3（ρ∈R ），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3（ρ∈R ），所以直线l 的普通方程为y ＝3x.①又曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α（α为参数），所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2（x∈[－2，2]）， ②联立①②解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6（舍去）.故P 点的直角坐标为（0，0）.2. （2017²苏州期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，已知直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，所以ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，即曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，即t 2＋82t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－8 2.所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝s 2（s 为参数），直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋110t ，y ＝4＋310t （t 为参数）.设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.解：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝s 2消去s 得曲线C 的普通方程为y ＝x 2；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋110t ，y ＝4＋310t消去t 得直线l 的普通方程为y ＝3x －2.联立直线l 的方程与曲线C 的方程，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝3x －2，解得交点的坐标分别为（1，1），（2，4）.所以线段AB 的长度为（2－1）2＋（4－1）2＝10.4. （2017²南京、盐城模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t（t 为参数）与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k 2，y ＝4k（k 为参数）交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解：（解法1）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1，所以A （4，4），B ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1或A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，B （4，4）. 所以AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－142＋（4＋1）2＝254. （解法2）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x.将直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫45t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋35t ，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254.所以AB ＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1542＋25＝254.1. 在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α（t 为参数）中t 的几何意义是表示在直线上过定点P 0（x 0，y 0）与直线上的任一点P （x ，y ）构成的有向线段P 0P 的长度，且在直线上任意两点P 1，P 2的距离为P 1P 2＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2.2. 参数方程化为普通方程的关键是消参数：一要熟练掌握常用技巧（如整体代换）；二要注意变量取值范围的一致性，这一点最易忽视.[备课札记]。