八年级数学上册16.1二次根式(第1课时)课件_人教新课标版
16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）． 教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。
16.1.1二次根式的概念
2
归纳
一般地， （a≥0） ( a) a
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0 | 0 | ___.
0 02 ___,
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关 系?当 a 0 时, a 2 ____; a . a ;当a 0 时, a 2 ____
3
想一想： 10 、 -5 、 8 5 3 、 (-2)
2
2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？
解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？
x≤1
y
想一想： 已知：y= x-2 + 2-x +3，求 x 的值。
解：由 x-2≥0 且 2-x≥0， 得 x≥2 且 x≤2 ∴x=2。 ∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x =2 =8
y 3
x-2 例 2：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0, 得 x ≥2 且 x ≠3 。
2
4 4 4 _________
2
x 1 ( x 1)
2
x 1
( a ) 与 a 有区别吗 ?
2
2
1:从运算顺序来看,
2
a 先开方,后平方 a a≥0
《16.1 二次根式(第1课时)》教学设计
《16.1 二次根式（第1课时）》教学设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念.2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念.它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念．2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t?，如果用含有h的式子表示t，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例2当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4 你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习.练习2 当x是什么实数时，下列各式有意义.（1）；（2）；（3）；（4）.【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.（1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结.【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计1.下列各式中，一定是二次根式的是（）A.B.C.D.【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．2.当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．【设计意图】考查二次根式的被开方数为非负数和一个式子的分母不能为0，解题时需要综合考虑．。
二次根式的概念、性质(第1、2课时 教案)
第十六章二次根式16.1二次根式第1课时二次根式的概念【知识与技能】是一个非负数.【过程与方法】通过新旧知识的联系，培养学生观察、演绎能力，发展学生的归纳概括能力.【情感态度】通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法，进而体验成功的喜悦，并通过合作学习增进终身学习的信念.≥0的基本性质【教学难点】经历知识产生的过程，探索新知识.一、情境导入,初步认识问题（1）一个长方形的围栏，长是宽的3倍，面积为39m2，则它的宽为_______m；（2）面积为S的正方形的边长为_______；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=.______【教学说明】设置上述问题的目的是让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密.教师提出问题后，让学生独立思考，然后相互交流，获得对二次根式的感性认识.二、思考探究，获取新知思考的式子，这些式子有什么特点？【教学说明】教师提出问题，同学生一道分析，体会这些式子的特征，从而引出二次根式的定义.a≥0）形式的式子称.针对上述定义，教师可强调以下几点：（1中，a必须是大于等于0的数或式子，否则它就没有意义了；（2=2，是一个整数，但4仍应称为一个二次根式；（3）当a≥0表示a的算术平方根，而一个非负数的算术平方根必≥0（a≥0）三、典例精析，掌握新知例1下列各式中，一定是二次根式的有_______分析：判断二次根式应关注两点：（1；（2）被开方数必须是非负数.因而在所给出四个式子中，只有②③中的式子同时符合两个要求，故应填②③.例2当x为何值时，下列各式在实数范围内有意义.解：（1）中，由x-2≥0，得x≥2；（2）中，由得2≤x≤3；（3）中，由2x-1＞0，得x＞1/2.【教学说明】对于例3，教师应引导学生分析题目特征，抓住解决问题的突a中a≥0及a≥0的双重非负性特征.四、运用新知，深化理解1.填空题：（1）形如_______的式子叫二次根式；（2）负数算术平方根________（填“有”或者“没有”）2.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义：【教学说明】学生自主探究，教师巡视，了解学生对本节课知识的掌握情况，及时予以指导，帮助学生巩固新知.五、师生互动,课堂小结通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,你获得哪些解决二次根式问题的方法?你还有哪些问题?请与同伴交流.【教学说明】学生相互交流,回顾知识,反思问题,共同发展提高.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.教师创设情境，给出实例.学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动.体现教师的组织者、引导者与合作者地位.2.注意知识之间的衔接，在温故知新的过程中引导出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解.第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质【知识与技能】理解并掌握二次根式的性质，正确区分=a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算.【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展.【教学重点】2a=a（a≥0）2a（a≥0）及其应用.【教学难点】用探究的方法探索2a=a（a≥02a（a≥0）的结论.一、情境导入,初步认识试一试：请根据算术平方根填空，.猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由.【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.二、思考探究，获取新知在学生相互交流的基础上可归纳出：2=a（a≥0）.探究（1）填空：（2）通过（1）的思考，你能确定a≥0）的化简结果吗？说说你的理由.【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结.（a≥0）.最后，教师给出代数式的概念.代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知例1计算：（1））2；（2）（2【教学说明】以上例1、例2可由学生自主完成，教师巡视，对有困难的学生及时予以指导，让每个学生都能得到发展.例3教师引导学生看懂数轴，结合数轴确定a、b的符号.四、运用新知，深化理解【教学说明】以上1~3题可试着让学生自主完成，第4题稍有难度，教师适时点拨.（22a进行化简.然后再根据x＞2的这个范围，来判断x-2与1-2x的正负，最后化简掉绝对值符号.∵x＞2，∴x-2＞0,1-2x＜0.3.(1)原式=5-5+1=1(2)原式=7+49×2/7=7+14=21(2)首先利用a2=|a|化简掉二次根号，再根据x的取值范围来判断绝对值中的代数式的正负，化掉绝对值的符号.五、师生互动，课堂小结1.本节知识可这样归纳：2.通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？与同伴交流.1.布置作业：从教材“习题16.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.注意前后知识的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的数学内容，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.2.在总结二次根式的性质过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流中体会成功.3.几个例题，旨在帮助学生对二次根式的性质的理解，在练习和作业中都增加了难度，主要给能力较好的学生提供更大的发展空间.。
16-1-1 二次根式的概念(第一课时)(教学课件)-2023-2024八年级
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.1 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
（难点）
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a (a≥0).
+2
6
8．已知 = 2 3 − + 3 − 9 + 2,则ab=_____．
9．已知等腰三角形ABC的两边满足 − 3 + 6 − = 0，则此三角形的
15
周长为_______.
2021
10．若 − 2021 + |2020 − | = ，则20202 − =________.
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
4.二次根式与分式的和如
A
B
或
B
A
或
A
1
A
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
有意义的条件： A＞0
C
有意义的条件： A≥0且B≠0
人教版《16.1二次根式》课件第一课时
已知
1 a
有意义,那么A(a,
a)
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
结束语
谢谢大家聆听！！！
23
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
二次根式 a 有意义的条件: ____ａ__≥_０_____
例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x2 2
(3) x2
(4) 1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
第十六章二次根式
16.1 二次根式
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
例1.下列各式是二次根式吗？
(1)32, (2)6, (3)9,
(4)12, (5)m m0 ,
(6) xyx,y异号 , (7)a2,(8)3 5.
切入点：从字母的取值范围入手。 l2.已知 x 2y 9与 x y 3互为相反数，
求 x 、y 的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
l3.已知 x 1 ，你能求出 x的取值范围吗？
3 x
切入点：分类讨论思想。
l4.若 1 0 a为一个非负整数，求非负整数 a 的值
若a.b为实数,且| 2a| b20 求 a2 b2 2b1的值。
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
八年级数学上册16.1 二次根式(1)
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
（2）二次根式有意义的条件 a≥0 （3）二次根式的性质: a ≥0 (a≥0) 当堂检测 双重非负性
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (6) a 1 ,
2
(5) xy (x,y 异号)， (7)
3
5
自学效果检测
例1.当x是怎样的实数时,下列式子在实数范围内有意 义? 8 x 1 x 1 (1) (2) (3) (4) x 2 1 3 2x x3 3 x
二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
能力提升
例2.已知a、b为实数且满足 a 2b 1 1 2b 1 ,
你能求出a+b 的值吗？
练习二
x 已知 y 3 x x 3 5, 求 的值 y
课堂小结 （1）二次根式的概念
表示一些正数的算术平方根
自学效果检测 形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫被开方数 定义包含三个内容: 1.必需含有二次根号 “ 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子. ”.
自学效果检测
练习1.下列式子中,是二次根式的
有 ___________________(填序号)
学前准备 3.填空
(1)面积为5的正方形的边长为 方形的边长为 。 (2)一个长方形围栏，长是宽的S
(3)圆形的面积为2π,则半径为 _______.
(4)h=6t2,则t=_______
探索思考
5
S
2
70
h 6
你认为所得的各式有哪些共同点？
16.1 二次根式 第1课时：二次根式的概念(含答案)
116.1二次根式第1课时二次根式的概念一、选择题1.下列各式中,一定是二次根式的是()A.-3 B.33 C. D.-32.要使二次根式 +1有意义,a 的值可以是()A.-1 B.-2 C.-3 D.-43.下列二次根式中,无论x 取何值,都有意义的是()A. B. 2-1 D. 2+14.已知二次根式 +3,当x=1时,此二次根式的值为()A.2B.±2C.4D.±45.若1-2 是二次根式,则x 的值不可能是()A.-2 B.-1 C.0 D.16.下列选项中,使根式有意义的a 的取值范围为a<1的是()A. -1 B.1- C.(1- )2二、填空题7.当x=54时,二次根式 +1的值为.1+ x 的取值范围是.9.若关于x 的式子4- +- +2有意义,且满足条件的所有整数x 的和为10,则a 的取值范围为.0有意义的条件是.三、解答题11.判断下列各式哪些是二次根式,哪些不是,为什么?3,-16,34,-5, 2+1.(1)求x 的取值范围;(2)求当x=-2x 的值.13.已知 -17+17- =b+8.(1)求a、b 的值;(2)求a 2-b 2的平方根和a+2b 的立方根.16.1二次根式第1课时：二次根式的概念一、选择题1.答案A A.-3符合二次根式的定义,故本选项符合题意;B.33是三次根式,故本选项不符合题意;C.当x<0时, 无意义,故本选项不符合题意;D.由于-3<0,所以-3无意义,故本选项不符合题意.故选A.2.答案A由题意得,a+1≥0,解得a≥-1,结合各选项知,只有-1符合题意,故选A.3.答案D A. ,当x≥0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;B. 2-1,当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;2x≠0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;D. 2+1,无论x取何值,二次根式都有意义,故此选项符合题意.故选D.4.答案A当x=1时,原式=1+3=4=2,故选A.5.答案D∵1-2 是二次根式,∴1-2x≥0,解得x≤0.5,∴x的值不可能是1.故选D.6.答案D A项,当a≥1时,根式有意义;B项,当a≤1时,根式有意义;C项,无论a取何值,根式都有意义;D项,要使根式有意义,则11- ≥0且1-a≠0,解得a<1.故选D.二、填空题7.答案32解析当x=54时, +1==32.故答案为32.8.答案x>-1解析由题意得11+ ≥0且1+x≠0,∴1+x>0,解得x>-1,故答案为x>-1.9.答案1<a≤3解析∵关于x的式子4- + - +2有意义,∴4-x≥0,x-a+2≥0,解得a-2≤x≤4,∵满足条件的所有整数x的和为10,4+3+2+1=10,4+3+2+1+0=10,∴-1<a-2≤1,∴1<a≤3.10.答案x≥-2,x≠1且x≠-12解析由题意可得x+2≥0,x-1≠0且2x+1≠0,解得x≥-2,x≠1且x≠-12.2三、解答题11.解析3,-16,(a≥0), 2+1符合二次根式的定义,故是二次根式; 34是三次根式,故不是二次根式;-5中被开方数小于0,故不是二次根式.12.解析(1)根据题意,得3-12x≥0,解得x≤6.=3+1=2.(2)当x=-2∴3-12x=0,解得x=6.13.解析(1)由题意得a-17≥0,且17-a≥0,则a-17=0,解得a=17,把a=17代入 -17+17- =b+8,得b+8=0,解得b=-8.故a、b的值分别为17、-8.(2)由(1)得a=17,b=-8,∴± 2- 2=±172-(-8)2=±15,3 +2 =317+2×(-8)=31=1.故a2-b2的平方根为±15,a+2b的立方根为1.3。
01-16.1.1二次根式的概念
16.1.1 二次根式的概念
知识点二 二次根式有、无意义的条件
条件
栏目索引
式子表示
有意义
被开方数为非负数
a 有意义⇒a≥0
无意义
被开方数为负数
a 无意义⇒a<0
知识 详解
(1)如果一个式子中含有多个二次根式,那么这个式子有意义的条 件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数. (2)如果一个式子中既含有二次根式又含有分式,那么这个式子有 意义的条件是:二次根式中的被开方数是非负数,分式的分母不等 于0. (3)如果一个二次根式的被开方数中含有零指数或负整数指数,那 么这个式子有意义的条件是底数不等于0
2.下列各式中,不一定是二次根式的为 ( )
A. a
B. b2 1
C. 0
D. (a b)2
栏目索引
答案 A 对于 a ,由于a的取值范围不确定,当a<0时, a 无意义,所以 a 不一定是二次根式.
3.(独家原创试题)若a=2 020,则下列各式是二次根式的是 ( )
A. 2 019-a
B. a-2 020
方根为
.
答案 ±1
解析
由题意得
x-7 7-x
0, 0,
解得x=7,则y=9,故(xy-64)2=1,1的平方根为±1,故答
案为±1.
16.1.1 二次根式的概念
栏目索引
1.使式子3-1 x 有意义的x的取 值范围是 ( )
A.x>0
B.x≠9
C.x≥0且x≠9
D.x>0或x≠9
答案 C 当x满足3- x 0,即x≥0且x≠9时,式子 1 有意义.故选C.
16.1.1 二次根式的概念
栏目索引
《二次根式》PPT课件(第1课时)
《二次根式》PPT课件(第1课时)
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件(第1课时)，共30页。
学习目标
1. 理解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
探究新知
二次根式的定义和有意义的条件
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？
我们知道，一个正数有两个平方根；
0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根.
因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
当x是怎样的实数时,√x-2在实数范围内有意义?
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如√A有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如B/√A有意义的条件：A＞0；
二次根式的双重非负性
二次根式√a的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
课堂小结
二次根式的定义
形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集二次根式的双重非负性
二次根式√a中,a≥0且√a≥0
... ... ...
关键词：二次根式PPT课件免费下载，.PPTX格式；。
八年级数学上册教学课件《二次根式(第1课时)》
2．下列式子一定是二次根式的是（ C ）
A． x 2
B． x
C． x2 2 D．x2 2
3.下列根式中，不是最简二次根式的是
C．2
D． 2
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式
4. 计算：
（1）（-144）（-169）; （2） 1 16a4 .
4
解：（1）（-144）（-169） 144 169
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需 满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为 分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
巩固练习
变式训练
x取何值时,下列二次根式有意义?
2.7 二次根式
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
=12×13 =156;
（2） 1 16a4 1 16 • a4 1 4a2 =a2.
4
4
4
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式
5. 化简：(1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5). 提示：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解： (1) 363 121 3 121 3 11 3;
n
分析： 是否含二 是 被开方数是 是 二次
次根号
否 不是非负数
根式
否 不是二次根式
解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正
数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式.
巩固练习
变式训练
下列各式是二次根式吗?
2.7 二次根式
二次根式(第1课时) 课件ppt--初中数学
台州双语学校
a12?3 4 2
a3
b-3
S
如图示的值分别表示正方形和圆的面积，则
正方形的边长是 b 3
圆的半径长是
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
凭着你已有的知识, 说说对二次根式 a 的认识,好吗?
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. a可以是数,也可以是式.
2. 形式上含有二次根号
3. a≥0, a≥0
4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
说一说: 下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
?
例1 a取何值时,下列根式有意义?
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5___Leabharlann _2-X≥0X-2≥0
x ≤2 x≥2
∴x=2, Y=5
?
( 2003年·河南省)实数p在数轴上的位
置如图所示，化简 (1 p)2
2
2 p
1 p (2 p)
p 1 2 p
1
12 n为一个整数, 求自然数n的值.
在实数范围内分解因式:4 x2 - 3
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
通过这节课的学习， 谈谈你掌握了什么？
祝你成功！
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
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想一想：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它0；
1、平方根的性质：
负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
1 4 16 , 81, 0 , , 10 , 0.04 ; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数 被开方数是非负数 的特点？
21.1
二次根式
1.二次根式的概念
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
1.二次根式的概念
定义:
式子 a a 0 叫做二次根式，其中 a叫做被开方式。
注意 在实数范围内，a< 0时， a 没有
意义，只有当 a 0 时，
a 有意义。
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10 ,
5,
定义：式子
0..04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
0。
没有 负数有没有算术平方根？
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
例 3：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
5、 x-3 + 4-x
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？ （1）根指数为 2；
课堂小结
（2）被开方数必须是非负数。 3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
课外作业
A组：练习1、2、3 B组：习题1 拓广探索7
2
a (a＜0﹚、
、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足 什么条件？
解：由 x-1≥0，得 x≥1。
问：将式子 x-1 改为 1-x ，则字母 x 的取值必须 满足什么条件呢？ 想一想：
x≤ 1
已知：y= x-2 + 2-x +3，求 xy 的值。
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
2x
； （2）
2x 5
； （3 ）
3 x
。
x-2 例 2：要使 有意义，字母 x 的取值必须满足 x-3 什么条件？
解：由 x-2≥0，且 x-3≠0,改为： 要使 有意义， x-1 字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数 。 零的算术平方根是
课外作业
《学案》 第一课时
，
课外作业
这节课我的收获是： 这节课我的困惑是：
,
8.
叫做二次根式.
a ( a 0)
其中a叫做被开方式。
不要忽略
二次根式
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
它必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8 a +0.1
2
3
5 3 、 (-2)
解：由 x-2≥0 且 2-x≥0， 得 x≥2 且 x ≤2 ∴x=2。 ∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
数范围内有意义？
解 由 x 3 0 ，得 x 3 。
当 x3 时，式子 x 3在实数范围内有意义。
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？ （1 ）