《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：4.1三角函数的概念(含答案解析)

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《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：4.4解三角形(含答案解析)

第四节解三角形A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，4)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2B. 3C.2D.32.(2016·山东，8)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A)，则A ＝( ) A.3π4 B.π3 C.π4D.π63.(2015·广东,5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a ＝2,c ＝23,cos A ＝32,且b<c,则b ＝( )A. 3B.2 2C.2D. 34.(2014·四川，8)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m5.(2016·新课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.6.(2016·北京，13)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.7.(2015·北京，11)在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，∠A ＝2π3，则∠B ＝________.8.(2015·重庆，13)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.9.(2015·安徽，12)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 10.(2015·湖北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.11.(2014·新课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.12.(2014·湖北，13)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.13.(2014·福建，14)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 14.(2014·北京，12)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________.15.(2016·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知b ＋c ＝2acos B. (1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值.16.(2016·四川，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin Asin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B.17.(2015·江苏，15)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．18.(2015·新课标全国Ⅱ，17)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC. (1)求sin ∠Bsin ∠C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B.19.(2015·天津，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值． 20.(2015·山东，17)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知cos B ＝33， sin (A ＋B)＝69，ac ＝23，求sin A 和c 的值． 21.(2015·湖南，17)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝btan A. (1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin Acos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C.22.(2015·浙江，16)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2 A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．23.(2015·新课标全国Ⅰ,17)已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,sin 2B ＝2sin Asin C. (1)若a ＝b,求cos B ；(2)设B ＝90°,且a ＝2,求△ABC 的面积．24.(2014·重庆，18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8. (1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin Acos 2B 2＋sin Bcos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．25.(2014·山东，17)△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值； (2)求△ABC 的面积．26.(2014·陕西，16)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c. (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)； (2)若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，求cos B 的值．27.(2014·湖南，19)如图，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·湖南四校联考)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab,则角C 为( ) A.π6或5π6 B.π3或2π3 C.π6D.2π32.(2016·河南三市调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积为( )A.3B.932C.332D.3 33.(2016·济南一中检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg ⎝⎛⎭⎫1c ＝lg sin A ＝－lg 2，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形D.等腰直角三角形4.(2015·山东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)·sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin C ，则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5.(2015·江西赣州摸底)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A ，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC ，测得BC ＝50 m ，∠ABC ＝105°，∠BCA ＝45°，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.2522m6.(2015·湖南十二校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若tan A ＝7tan B ，a 2－b 2c ＝3，则c ＝( )A.4B.3C.7D.67.(2016·湖南株洲3月模拟)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin A ＝________.8.(2015·太原模拟)在△ABC 中，已知(sin A ＋sin B ＋sin C)·(sin B ＋sin C －sin A)＝3sin Bsin C. (1)求角A 的值；(2)求3sin B －cos C 的最大值.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 答案 D2.解析在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A)，又∵a 2＝2b 2(1－sin A)， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1， ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.答案 C3.解析由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，得4＝b 2＋12－2×b×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b<c ，∴b ＝2. 答案 C4.解析 ∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝2－3，∴BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)，故选C. 答案 C5.解析在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C)＝sin Acos C ＋cos Asin C ＝6365，由正弦定理得b ＝asin B sin A ＝2113.答案21136.解析由a sin A ＝c sin C 得sin C ＝csin A a ＝13×32＝12，又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C)＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sin π6sin π6＝1.答案 17.解析由正弦定理得sin ∠B ＝bsin ∠Aa ＝6sin 2π33＝22，因为∠A 为钝角，所以∠B ＝π4. 答案 π48.解析由3sin A ＝2sin B ，得3a ＝2b ，∴b ＝32a ＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝22＋32－2×2×3×⎝⎛⎭⎫－14＝16，解得c ＝4. 答案 49.解析已知∠C ＝60°，由正弦定理得AC sin ∠B ＝ABsin ∠C， ∴AC ＝6sin 45°sin 60°＝6×2232＝2.答案 210.解析依题意，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝45°，由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°，得BC ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝BC·tan 30°＝1006(m)．答案 100611.解析在三角形ABC 中，AC ＝1002，在三角形MAC 中，MA sin 60°＝AC sin 45°，解得MA ＝1003，在三角形MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m ．答案 15012.解析由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin B ＝bsin A a ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3. 答案 π3或2π313.解析在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A，所以2sin B ＝3sin 60°，解得sin B ＝1，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π2，所以AB ＝22－（3）2＝1.答案 114.解析根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝12＋22－2×1×2×14＝4，故c ＝2，因为cos C ＝14，于是sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154，于是，由正弦定理，sin A ＝asin C c ＝1×1542＝158(或：由a ＝1，b ＝2，c ＝2，得cos A ＝22＋22－122×2×2＝78，于是，sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158). 答案 215815.(1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin Acos B ，故2sin Acos B ＝sin B ＋sin(A ＋B) ＝sin B ＋sin Acos B ＋cos Asin B ，于是sin B ＝sin(A －B).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B)或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B.(2)解由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B)＝－cos Acos B ＋sin Asin B ＝2227.16.(1)证明根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k(k>0). 则a ＝ksin A ，b ＝ksin B ，c ＝ksin C.代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A ksin A ＋cos B ksin B ＝sin C ksin C ，变形可得：sin Asin B ＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝sin(A ＋B). 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ，所以sin Asin B ＝sin C.(2)解由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin Asin B ＝sin Acos B ＋cos Asin B ，所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.17.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 所以sin 2C ＝2sin C·cos C ＝2×217×277＝437. 18.解 (1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DCsin ∠CAD .因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin ∠B sin ∠C ＝DC BD ＝12.(2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B)，∠BAC ＝60°，所以sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B)＝32cos ∠B ＋12sin ∠B. 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°. 19.解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154.由S △ABC ＝12bcsin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A·cos π6－sin 2A·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A·cos A ＝15－7316.20.解在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B)＝69. 因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角，所以cos C ＝539.所以sin A ＝sin(B ＋C) ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝csin Asin C ＝223c 69＝23c ，又ac ＝23，所以c ＝1. 21.解 (1)由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，代入a ＝btan A ，得sin A ＝sin B·sin Acos A ，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0， ∴1＝sin B cos A，即sin B ＝cos A.(2)由sin C －sin Acos B ＝43知，sin(A ＋B)－sin Acos B ＝43，∴cos Asin B ＝34.由(1)知sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角，故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos A ＝32，A ＝π6，sin B ＝32，B ＝2π3， ∴C ＝π－(A ＋B)＝π6.22.解 (1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)因为tan A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B)＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4得sin C ＝255，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12absin C ＝9. 23.解 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac.又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c.由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac.因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.24.解 (1)由题意可知：c ＝8－(a ＋b)＝72. 由余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin Acos 2B 2＋sin Bcos 2A 2＝2sin C 可得：sin A·1＋cos B 2＋sin B·1＋cos A 2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin Acos B ＋sin B ＋sin Bcos A ＝4sin C.因为sin Acos B ＋cos Asin B ＝sin(A ＋B)＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C.由正弦定理可知：a ＋b ＝3c.又因a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.由于S ＝12absin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.25.解 (1)在△ABC 中，由题意知sin A ＝1－cos 2 A ＝33，又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得b ＝asin B sin A ＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33. 由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B)．所以sin C ＝sin[π－(A ＋B)]＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12×3×32×13＝322. 26.(1)证明 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b.由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B.∵sin B ＝sin[π－(A ＋C) ]＝sin(A ＋C)，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C)．(2)解由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34. 27.解设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理得，EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD·DE·cos ∠EDC. 由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD －6＝0.解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理得，EC sin ∠EDC ＝CD sin α，于是sin α＝CD·sin 2π3EC ＝2·327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277. 而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α ＝－12cos α＋32sin α ＝－12·277＋32·217 ＝714. 在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47. B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析由题意得a 2＋b 2－c 22ab ＝12＋tan C，则cos C ＝cos C 2sin C ，所以sin C ＝12，所以C ＝π6或5π6. 答案 A2.解析由c 2＝(a －b)2＋6，可得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，C ＝π3. 由余弦定理得2abcos C ＝2ab －6，则ab ＝6，所以△ABC 的面积为12absin C ＝12×6×32＝332，故选C. 答案 C3.解析由lg b ＋lg ⎝⎛⎭⎫1c ＝lg b c ＝－lg 2＝lg 22，得b c ＝22，即c ＝2b. 由lg sin A ＝－lg 2，得sin A ＝22，由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A 得a ＝b ，故B ＝A ＝45°，因此C ＝90°.答案 D4.解析 ∵a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，sin(A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ， ∴(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin C 可整理为sin 2Bsin Acos B ＝sin 2Acos Asin B ， ∵A ，B 为△ABC 内角，∴sin A≠0，sin B≠0，故sin 2A ＝sin 2B ，即2A ＝2B 或2A ＝180°－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝90°.答案 D5.解析在△ABC 中，由正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，AB ＝502(m). 答案 A6.解析由tan A ＝7tan B 可得sin A cos A ＝7sin B cos B，即sin Acos B ＝7sin Bcos A ，所以sin Acos B ＋sin Bcos A ＝8sin Bcos A ，即sin(A ＋B)＝sin C ＝8sin Bcos A ，由正、余弦定理可得c ＝8b·b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝4b 2＋4c 2－4a 2，又a 2－b 2c＝3，所以c 2＝4c ，即c ＝4.故选A. 答案 A7.解析由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝158. 答案 1588.解 (1)∵(sin A ＋sin B ＋sin C)(sin B ＋sin C －sin A)＝3sin Bsin C ，∴由正弦定理得(a ＋b ＋c)(b ＋c －a)＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3. (2)由A ＝π3得B ＋C ＝2π3， ∴3sin B －cos C＝3sin B －cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B＝3sin B －⎝⎛⎭⎫－12cos B ＋32sin B 、＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6. ∵0＜B ＜2π3，∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴当B ＋π6＝π2，即B ＝π3时，3sin B －cos C 的最大值为1.。

三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编第四章三角函数、解三角形3理

第三节 y = Asin 3x + ©的图象和性质及其综合应用A 组三年高考真题（2016〜2014年）1. （2015 •陕西，3）如图，某港口一天 6时到18时的水深变化曲线近似满足函数n^x + © + k ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（递减区间为（ 3.（2015 •安徽，10）已知函数f （x ） = A sin （ 3x + © ）（代3, ©均为正的常数）的最小正周期2 n为n ,当x =丁时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是（）A. f (2)< f ( — 2)<f (0)B. f (0)< f (2)< f ( — 2)C. f ( — 2)<f (0)< f (2)D.f (2)< f (0)< f ( — 2)22i n 14.(2015 •天津，15)已知函数 f (x ) = sin x — sin x —石,x € R.(1) 求f (x )的最小正周期；3sinA.5B.62.（2015 •新课标全国I,8）函数f （x ） = cos （ 3 x + © ）的部分图象如图所示，则 f （x ）的单调A.1Lk n — -, k n + -4-2k n — 4 2k n + 3 , k € ZC.k —4,k +4，k €ZD.2k — 4, 2k +3, k € ZC.8B.(2) 求f (x)在区间・| —寸,上的最大值和最小值.5. (2015 •湖北，17)某同学用“五点法”画函数f(x) = A sin( 3 x+ 0 ) 3 >0, | $ |<今在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：3 x + $0nn3n2nx nT5 n6A sin( 3 x + $ )05—50(1) 请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 f (x)的解析式;⑵将y= f (x)图象上所有点向左平行移动0 ( 0 >0)个单位长度，得到y= g(x)的图象.若6. (2014 •湖北，17)某实验室一天的温度(单位：C)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t) = 10—3cos$t —sin $t , t € [0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 C,则在哪段时间实验室需要降温?B组两年模拟精选(2016〜2015年)n1. (2016 •河北衡水中学模拟)若函数y = A sin( 3 x+ $ )( A>0, 3 >0, | $ | v-)在一个周期内的图象如图所示，M N分别是这段图象的最高点与最低点，且A. B.n12D. 7tS M S N= 0，贝y A- 3 =y = g(x)图象的一个对称中心为的最小值.2. (2016 •安徽安庆二模)已知函数f(x) = A sin( 3x + $ ) A> 0, 3 > 0, | $ | <专的部分图象如图所示，则f(x)的递增区间为()A. n1"2+2k n,C. &+ 2k n，等+ 2k n , k€ Z B.12 '辛+ 2k n , k€ Z D.+ k n , k€ Z5 n+ k n , k € Z3.(2016 •四川成都模拟)下列函数中，图象的一部分如图所示的是I n iA. y= sin j x + 云B.4.(2015 •辽宁丹东模拟关于y轴对称，则函数A. 0,专B.5.(2015 •河北正定模拟2nx =A.B.C.D.r-v■17ty = sin j2x-$ C. y = cos 4x—i' n 1D. y = cos j 2x —-^)设函数f (x) = sin i*x + 0 —, 3cos *x+ 0 j|y= f (x)的一个单调递减区间是() C.)设函数f(x) = 2si n( 3 x + o )3对称，它的周期为n ,则()f(x)的图象过点0,1f (x)在n2，牛上是减函数f (x)的一个对称中心是101< nn，且其图象D.n2的图象关于直线将f(x)的图象向右平移I o I个单位得到y = 2sin 3 x的图象6.(2016 •辽宁五校协作体模拟)已知函数f (x) = sin( 3 x +© )( 3 >0, 如图，令a n = f「则a + 屮a3 + T a2014 =7. (2016 •北京昌平区模拟)已知偶函数f (x) = A sin( co x+Q )( A>0, co >0, 0<$ <n )的部分图象如图所示，△ KLM为等腰直角三角形，/ KM h= 90°, |KL| = 1,则f£的值为8. (2016 •山东烟台模拟)已知函数f(x)=心2( 3x+° ) + 1A>0, o>0,。

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总

高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。

题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。

这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。

题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。

这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。

题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。

题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。

题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。

题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。

需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。

题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。

需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。

2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。

2023年高考数学真题分训练三角函数定义与三角函数恒等变换(含答案含解析)

专题 11 三角函数定义与三角函数恒等变换十年大数据x 全景展示年份题号考点考查内容理 5 三角函数定义文 7 三角恒等变换2011课标三角函数定义与二倍角正弦公式同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系式、三角函数在各象限的符号及两角和的正切公式卷 2理 15三角恒等变换 2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换卷 2文 6理 8二倍角公式及诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换此题两角和与差的三角公式公式、诱导公式、三角函数性质等根底知识卷 12023卷 1文 2 三角函数定义同角三角函数根本关系与诱导公式三角函数在各象限的符号 2023卷 1理 2 诱导公式及两角和与差的三角公式三角恒等变换三角恒等变换两角差的正切公式、同角三角函数根本关系、卷 2 理 9二倍角公式二倍角正弦公式、同角三角函数根本关系、三卷 3理 5 同角三角函数根本关系与诱导公式角函数式求值．2023诱导公式、同角三角函数根本关系、三角函数卷 1文 14 同角三角函数根本关系与诱导公式求值利用二倍角公式及同角三角函数根本关系求卷 3 文 6 同角三角函数根本关系与诱导公式值三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与转化思想卷 1文 14同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换2023卷 3文 4二倍角的正弦公式与同角三角函数根本关系．同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系、两角和公式及化归与转化思想卷 2 理 15 同角三角函数根本关系与诱导公式理 4 三角恒等变换2023 卷 3 二倍角余弦公式，运算求解能力文 4卷三角函数定义三角函数定义、同角三角函数根本关系，转化与化归思想与运算求解能力文 111同角三角函数根本关系与诱导公式同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换诱导公式、两角和与差的正切公式，转化与化归思想与运算求解能力卷 2文 15二倍角公式及同角三角函数根本关系，运算求解能力卷 2 理 10 三角恒等变换三角恒等变换卷 3卷 1文 5文 7二倍角公式，已知函数值求角及函数零点．诱导公式，两角和的正切公式函数零点2023同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系与诱导公式三角恒等变换同角三角函数根本关系、二倍角公式、已知函数值求角，运算求解能力二倍角公式，平方关系二倍角公式，三角函数的符号二倍角公式卷 2 文 11 卷 1 卷 2理 9 三角恒等变换理 2三角恒等变换2023文 13 三角恒等变换理 9 三角恒等变换文 5三角恒等变换卷 3 卷 3两角和的正切公式两角和的正弦公式大数据分析x 预测高考考点出现频率2023 年预测三角函数定义4/232023 年高考仍将重点考查同角三角函数根本关系及三角恒等变换，同时要注意三角函数定义的复习，题型仍为选择题或填空题，难度为根底题或中档题．同角三角函数根本关系与诱导公式 16/23 三角恒等变换13/23十年真题分类x 探求规律考点 36 三角函数定义1．(2023•新课标Ⅰ，文 11)已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，2B (2,b )，且cos 2 ，则| a b | ()3 1 55 2 5 5A ．B ．C ．D ．15（答案）B2（解析）角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A (1,a ) ，B (2,b ) ，且cos 2 ， 3 2 3 5630 630 36 6 cos 2 2 c os 2 1，解得 cos 2， | cos | ， | sin | 1，66b a 2 1 | s in | | cos | 56 30 6 | tan | | | | a b | ，应选 B ．52．(2023 新课标 I ，文 2)假设 tan 0，则 A. sin 2 0 B ． cos 0C ． sin 0D ． cos 2 0（答案）A（解析）由tan 0知，在第—、第三象限，即k k 即2 在第—、第二象限，故只有sin 2 0，应选 A ．(k Z )，∴2k 2 2k，23．(2011 全国课标理 5 文 7)已知角的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x 上，则cos 2 =4 53 53 5 45(A)(B)(C)(D) （答案）By 2 5（解析）在直线 y 2x 取一点 P(1，2)，则r = 5 ，则sin ==， r 53∴cos2=1 2 s in 2 = ，应选 B ． 53 4 4．(2023 浙江)已知角的顶点与原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P ( , ) ．5 5(1)求sin( )的值； 5(2)假设角满足sin( )，求cos 的值． 133 4 （解析）(1)由角的终边过点P ( , ) 得sin ，5 545 45 所以sin() sin ． 3 4 3 (2)由角的终边过点P ( , ) 得cos ，5 555 得cos( ) 12 由sin( ) ． 13 13由 ( ) 得cos cos( ) c os sin( ) s in ，56 或cos 16 所以cos．65 65考点 37 同角三角函数根本关系与诱导公式1．(2023•新课标Ⅱ，文 11)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 5 5A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1 ，可得： 4sin cos 2 c os2， (0, ) ， sin 0 ， cos 0 ，25cos 2sin ， sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21，解得：sin ，应选 B ． 53 4 tan，则cos 2sin 222．(2023 新课标卷 3，理 5)假设 6448 25 16 25(A)(B)(C) 1(D)25（答案）A 3 4 3 4 5 3 45 （解析）由tan，得 sin , c os 或 sin , c os ，所以 5 5 16 2512 64cos22sin 2 4 ，应选 A ．25 25 1 3．(2023 全国课标卷 3，文 6)假设tan ，则cos2 ( )3451 5 15 4 5(A) (B)(C) (D) （答案）D104．(2023 浙江)已知R ,sin 2costan 2 ，则( )2 43 34 3 4 A ． B ．C ．D ．43（答案）C10 2sin 2 4c os 2 4 s in cos 10 （解析）由 (sin 2 c os )( ) 可得，进一步整理可得 22 sin cos 4 2 212 t an 33 t an 2 8 t an 3 0，解得 tan 3或tan ，于是 tan 2，应选 C ．31 tan2 4sin cos 1sin cos 25．(2023 江西)假设，则 tan2α=( )3 34 4 3A ．−B ．C ．−D ．4 43（答案）B（解析）分子分母同除cos 得： sin cos tan 1 1,∴ tan 3，sin cos tan 1 22 t an 3∴tan 24 1 tan25 1 5 6．(2023 广东)已知sin( ) ，那么 cos22 5B ． 151 25A ．C ．D ．5（答案）C 5 215 （解析）sin( ) sin(2 + ) sin cos ，选 C ．2 2 37．(2023•新课标Ⅰ，文 14)已知是第四象限角，且sin( ) ，则 tan( )．4 5 4 43（答案）（解析）是第四象限角， 2k 2k ，则 2k2k ,k Z ， 2 4 4 43533 45 又 sin( ) ， cos( ) 1 sin2( ) 1 ( ) 2 ， ∴ cos() = sin( ) =， 4 5 44 5 4 44sin( )4 44 5 3 sin( ) cos( ) ，则tan( ) = tan( ) = = = ．4 45 4 43 cos( )4 51 28．(2023 新课标Ⅱ，理 15)假设为第二象限角，tan( ，则sin cos．) 4 （答案）1 2 tan 1，即cos 3sin ，∵sin （解析）(法 1)由 tan() 得，= 2cos 2 1，为第二4 310 3 10 10105象限角，∴sin =，cos = ，∴sin cos ． 1059．(2023 江苏)已知 ( , ) ，sin． 25(1)求sin( ) 的值；45(2)求cos( 2 ) 的值．65 52 55 （解析）(1)∵，，sin ，∴cos 1 sin 2 24 4 2 2 10 10sin sin cos cos sin(cos sin ) ； 4 4 5 35(2)∵sin 2 2sin cos ，cos 2 cos sin 2 26 63 3 1 43 34 ∴cos 2 cos cos 2 sin sin 2 ． 6 25 2 5 10 考点 38 三角恒等变换1．(2023 全国Ⅰ理 9)已知 0,π ，且3cos2 8cos 5，则sin ()52 31 35 A ．B ．C ．D ．39（答案）A（思路导引）用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos的一元二次方程，求解得出cos，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论．（解析）3cos 28cos 5，得6cos 2 8cos 8 0，即3cos 4 c os4 0，解得225cos 或cos 2(舍去)，又 1 cos 20,, sin ，应选 A ． 332．(2023 全国Ⅱ理 2)假设为第四象限角，则 ()A ．cos 2 0 （答案）DB ．cos 2 0C ．sin 2 0D ．sin 2 0（思路导引）由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可．0，选项 B 错误；当2时，cos2 cos 3（解析）当时，cos2 cos 0，6 3sin 0, c os 3 0 ，则sin2 2sin cos 0 选项 A 错误；由在第四象限可得：，选项 C 错误，选项 D 正确，应选 D ．363．(2023 全国Ⅲ文 5)已知sin sin 1，则sin( )1 23 2 3 2 A ．B ．C ．D ．32（答案）B（思路导引）将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值． 1 23 3 3 3 13 （解析）由题意可得：sinsin cos 1，则： sin cos 1， sin cos，2 2 2 2 2 3从而有：sin coscos sin3 ，即6 3 ．应选 B ．sin6 63 34．(2023 全国Ⅲ理 9)已知2 t an tan 7 ，则 tan4()A ． 2B ． 1C ．1D ．2（答案）D（思路导引）利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案．4tan 1 1 t 2 t an tan7， 2tan 1 tan 7，令t tan ,t 1，则2t 1 t 7，整（解析）理得t 24t 4 0 ，解得t 2，即 tan 2．应选 D ．5．(2023•新课标Ⅱ，理 10)已知 (0, )，2sin 2 cos 2 1，则sin ()2 1 55 3 2 55A ．B ．C ．D ．53（答案）B（解析） 2sin 2 cos 2 1， 4sin cos 2 c os2， (0, ) ，sin 0，cos 0 ， cos 2sin ，25sin 2 cos 2 sin 2 (2sin ) 2 5sin21， sin ，应选 B ． 56．(2023•新课标Ⅲ，文 5)函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5（答案）B（解析）函数 f (x ) 2sin x sin 2x 在0 ，2 ]的零点个数，即：2sin x sin 2x 0在区间0 ，2 ]的根个数，即2sin x sin 2x ，即sin x (1 cos x ) 0，即sin x 0或cos x 1，∵ x 0 ，2 ]，∴ x 0, ,2 ，应选B ．7．(2023•新课标Ⅰ，文 7) tan 255 ( )A ． 2 3 （答案）DB ． 2 3C ．2 3D ．2 3（解析）∵tan 255 tan(180 75 ) tan 75 tan(45 30 )31tan 45 tan 30 1 tan 45 tan 30 3 3 (3 3) 2 12 6 3 3 2 3 ，应选 D ． 3 3 36 6 1 1318．(2023•新课标Ⅲ，理 4 文 4)假设sin ，则cos 2 ()3 8 97 97 98 A ．B ．C ．D ．9（答案）B11 71 2 ，应选 B ．9 9（解析） sin ， cos 2 1 2sin2349．(2023 新课标卷 3，文 4)已知sin cos ，则sin 2 = 37 92 92 97 9A ．B ．C ．D ．（答案）Acos 21 sin 79（解析）因为sin 2 2sin cos，应选 A ．1 310．(2023•新课标Ⅱ，理 9)假设cos( ) ，则sin 2 ()4 5 715C ． 17 A ．B ．D ．25 525（答案）D3（解析）法1 : cos( ) ，4 59 7sin 2 cos( 2 ) cos 2( ) 2 c os 2 ( ) 1 2 125 25 ， 2 4 4 法2 : cos( ) 2(sin cos ) ， (1 sin 2 ) 3 1 9 ， sin 2 2 1259 7， 4 2 5 2 25 25 应选 D ．11．(2023 新课标Ⅰ，理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°=3 3 1 2 1 2A ．B ．C ．D ．22（答案）D1 （解析）原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°= ，应选 D ． 21 sincos 12．(2023 新课标Ⅰ，理 8)设 (0, )， (0, ) ，且 tan，则2 2 A ．3（答案）BB ．2C ．3D ．22222sin 1 sin（解析）∵tan，∴sin cos cos cos sin cos cos2sin cos ,0 sin ， 2 2 2 2 ∴，即2 ，选 B 2 22 313．(2023 新课标Ⅱ，文 6)已知sin 2 ，则cos 2( ) ()4 161 3 1 22 3(A)(B)(C)(D)（答案）A2 1 1 1 （解析）因为sin 2，所以cos 2( ) 1 cos 2( )]= (1 sin 2 ) = ，应选 A ．， 3 4 2 4 2 63cos()10 14．(2023 重庆)假设tan 2 t an ，则＝( ) 5 sin( ) 5A ．1B ．2C ．3D ．4（答案）C3 3 3 3 3 cos() cos cos sin sin cos tan sin 10 10 10 10 10（解析）sin( ) sin cos cos sin tan cos sin5 5 5 5 53 3 3 3cos 2 t an sin cos cos 2s in sin 10 5 10 5 10 5 102 t an cos sin sin cos5 5 5 5 51 2(cos 5cos 5 cos ) (cos ) 3cos cos 10 10 1 10 10 10 ＝ 3，选 C ． 22sin5 104 23 7 8 15．(2023 山东)假设, ，sin 2 ，则sin ( ) 34 57 43 A ．B ．C ．D ．5 4（答案）D 4 2 2 1，（解析）由2 , cos 2 1 sin ， 2，可得 2 81 cos2 34sin，应选 D ． 21 316．(2011 浙江)假设0＜＜，- ＜＜0，cos( ) ，cos( )，则cos( ) 22434 2 3 233 5 3 96 A ． B ．C ．D ．339（答案）C) cos(（解析）cos() ( )] ) cos( ) c os( )2 4 4 2 4 4 23sin( ) s in( ) ( , ( , )，，而， 4 4 2 4 4 4 4 2 4 2 2 2 3 ，sin( ) 4 26因此sin( )， 4 31 32 26 5 3 则cos( )3 3． 2 3 3 9 217．(2023 全国Ⅱ文 13)设sin x ，则cos 2x．3 1 9（答案）（思路导引）直接利用余弦的二倍角公式进行运算求解即可． 2 8 1 1 （解析）cos2x 1 2sin 2x 1 2 ( ) 1 2．故答案为：．3 9 992 18．(2023 江苏 8)已知sin 2 ( ) ，则sin 2 的值是________．4 31（答案）32 1 1 21 3（解析）∵sin2( ) ，由sin 2 ( ) (1 cos( 2 )) (1 sin 2 ) ，解得sin 2 ． 4 3 4 2 2 2 3π419．(2023 浙江 13)已知tan 2，则cos2 ； tan ．3 1（答案）； 5 3（思路导引）利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos2 ，依据两角差正切公式得 tan( )4cos cos 2 2 sin sin 2 2 1 tan 1 tan 2 2 3tan 1 14 1 tan 3 （解析） cos 2 cos 2sin 2， tan ，故 5 3 1答案为：；．5 320．(2023 北京 14)假设函数 f (x ) sin(x ) cos x 的最大值为2，则常数的一个取值为．（答案）2（解析）∵ f (x ) sin(x ) cos x sin x cos cos x sin cos x sin x cos cos x (sin 1)cos (sin 1) sin(x )，(sin 1) 4，cos sin 2 2则cos 2 2 22 2sin 1 1 2sin 1 4，∴sin 1，∴． 221．(2023•新课标Ⅱ，理 15)已知sin cos 1，cos sin 0 ，则sin( ) ．1 （答案）2（解析）sin cos 1，两边平方可得：sin 22sin cos cos 2 1，①，cos sin 0 ，两边平方可得： cos22cos sin sin 2 0 ， ② ，由 ① ② 得：1 2 2(sin cos cos sin ) 1 ，即2 2sin( ) 1， 2sin( ) 1， sin( ) ． 25 122．(2023•新课标Ⅱ，文 15)已知 tan( ) ，则 tan ．4 53 2 （答案） 5 1 515（解析）tan() ，tan( )，则4 4 15 tan( ) tan1 1 5 6 3 ．4 4 tan tan( ) 15 1 4 2 4 4 1 tan( ) t an 1 14 45 ππcos ( ) 23．(2023 新课标卷，文 14)已知a (0，) ，tan α=2，则=__________．243 10 10（答案）1（解析）由tan 2得sin 2cos ，又sin2cos 2 1，所以cos 2 ，因为 (0, )，所5 2 5 2 55以cos,sin ，因为． cos( ) cos cos sin sin，所以5 4 4 45 2 2 5 2 3 10cos( )4 5 2 5 2 10f (x ) sin2x 的最小正周期是 ________． 2 24．(2023 北京 9)函数（答案）21 cos 4x 1 12π πf x 〕 sin 〔22x 〕cos 4x ，所以 f x 的最小正周期T 2 2 （解析）因为． 2 4 2tan 23π4 π 4 sin 2 ，则25．(2023 江苏 13)已知的值是_________． tan2（答案）10tan 2 tan 2 3 （解析）由，得，3 tan( ) tan tan 1 tan tan4 44tan (1 tan ) 2 1所以，解得 tan 2或 tan ．1 tan 3 32tan 4 1 tan 2 3 5当tan 2时，sin2 5 ，cos2 ， 1 tan 2 1 tan 2 4 2 3 2 2sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 101 tan2 4 1时，sin2 2tan，cos2 3 当tan ， 3 1 tan 2 51 tan 5 23 24 22 所以sin(2 ) sin2 cos cos2 sin． 4 4 4 5 2 5 2 102 综上，sin(2 )的值是． 4 1026．(2023 北京)在平面直角坐标系中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称．假设yxOy1 3 sin cos( ) =___________．，则 7 （答案）9y 2k，所以（解析） ∵ 角与角的终边关于轴对称，所以；1sin sin(2k ) sin ，cos cos31 2 379cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 2sin 2 1 2 ( ) 1 ．127．(2023 江苏)假设tan( ) ，则tan =． 4 67 5（答案）tan( ) tan7 4 4 （解析） tan tan( )． 4451 tan( ) tan4 428．(2023 四川)sin15sin75．6（答案）26（解析）sin15 sin 75 sin15 cos15 2 s in(15 45 )． 2129．(2023 江苏)已知 tan 2， tan（答案）3，则 tan 的值为_______． 71 2tan( ) tan 1 tan( ) t an 7 （解析） tan tan( )3． 21 730．(2023 四川)设sin 2 sin ， ( , )，则 tan 2 的值是_____． 2（答案） 31（解析） sin 2 2sin cos sin ，则cos，又 ( , ) ，2 22 t an 2 31 3 则tan 3，tan 23．1 tan 24 6 531．(2023 江苏)设为锐角，假设cossin 2 ，则．的值为1217 2 50（答案）4 324 7（解析）因为为锐角，cos( )= ，∴sin( )= ，∴sin2( ) cos2( )， 6 5 6 5 625,6 25 2 17 17 2 所以 sin(2) sin2( ) ] ．12 6 4 2 25 5045 32．(2023 江苏)已知 , 为锐角， tan，cos( ) ． 3 5(1)求cos 2 的值； (2)求 tan( )的值． 4sin cos 4（解析）(1)因为 tan ，tan，所以， sin cos ． 33 9因为sin 2 cos 2 1 ，所以cos 2257因此，cos 2 2c os 1 2． 25(2)因为 , 为锐角，所以 (0, π) ． 5 2 55又因为cos( ) ，所以sin( ) 1 cos 2 ( )， 5 因此 tan( ) 2 ．4 2 t an 247 因为 tan ，所以 tan 2 ，3 1 tan 2 tan 2 tan( ) 1+ t an 2 tan( ) 2因此，tan( ) tan2 ( )．11f x a 2cos 2 x cos 2x 为奇函数，且 f 0 33．(2023江西)已知函数 (1)求a ，的值；，其中a R ， 0，． 44 2 23(2)假设 f ，，，求sin 的值． 5 （解析）(1)因为 f x a 2 c os2x cos 2x 是奇函数，而 y a 2c os x 为偶函数，所以 21y 2 cos(2x )为奇函数，又 0， ,得． 2f 0，得 (a 1) 0 ，即a 1. f x = sin 2x a 2 c os x由 2 所以〔 44 1 25 1 4(2)由(1)得： f x f sinsin , ，得 sin 4x , 因为 2 2 5 235 又，，所以cos ,3 4 3 3 sin sin cos sin cos 因此. 3 3 1012f (x ) 2 cos x,x R 34．(2023 广东)已知函数． 3 f (1) 求的值； 33 2cos , ,2 f ，求 (2) 假设． 65（解析）(1) f () 2 cos 1. 3 12 43 3 94 (2)由于cos ,<θ<2π，所以sin 1 cos 21 ， 5 225 5 66 12因此 f 2 cos43 24 2 21 2 cos 2 cos cos 2 sin sin 2 .4 45 2 5 2 5。

高三数学三角函数知识点

高三数学三角函数知识点一、概述数学中的三角函数是一个重要的概念，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

在高三数学学习中，掌握三角函数的相关知识点可以帮助我们解决各种复杂的几何问题，同时也是高考数学必考的内容。

二、正弦函数与余弦函数1.定义正弦函数(sin)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正弦函数的值等于对边与斜边的比值，即sinA=对边/斜边。

余弦函数(cos)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余弦函数的值等于邻边与斜边的比值，即cosA=邻边/斜边。

2.性质- 正弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

- 余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

- 正弦函数与余弦函数的图像均为周期函数，周期为2π或360°。

三、正切函数与余切函数1.定义正切函数(tan)：在直角三角形中，对于一个锐角A，正切函数的值等于对边与邻边的比值，即tanA=对边/邻边。

余切函数(cot)：在直角三角形中，对于一个锐角A，余切函数的值等于邻边与对边的比值，即cotA=邻边/对边。

2.性质- 正切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。

- 余切函数的定义域为实数集，值域为全体实数。

- 正切函数与余切函数的图像均为周期函数，周期为π或180°。

四、三角函数的基本关系1.正弦函数与余弦函数的关系- sin(π/2 - A) = cosA- cos(π/2 - A) = sinA2.正切函数与余切函数的关系- tanA = 1 / cotA- cotA = 1 / tanA3.正弦函数与余切函数的关系- sinA / cotA = cosA- cotA / sinA = cosA五、三角函数的图像与性质1.正弦函数与余弦函数的图像- 正弦函数为奇函数，图像关于原点对称。

- 余弦函数为偶函数，图像关于y轴对称。

2.正切函数与余切函数的图像- 正切函数为奇函数，图像关于原点对称。

- 余切函数为奇函数，图像关于原点对称。

《三年高考两年模拟》数学(理科)汇编专题：4.1三角函数的概念、同角三角函数(含答案解析)

第一节三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·全国Ⅲ，5)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C.1 D.16252.(2015·重庆，9)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( ) A.1 B.2 C.3 D.43.(2014·大纲全国，3)设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>bB 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·河北唐山模拟)给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan 17π9；其中符号为负的有( ) A.① B.② C.③ D.④2.(2016·山东菏泽模拟)设角α的终边与单位圆相交于点P ⎝⎛⎭⎫35，－45，则sin α-cos α的值是( )A.－75B.－15C.15D.753.(2015·河北正定模拟)已知角α的终边经过点P(m ，4)，且cos α＝－35，则m ＝( ) A.－3 B.－92 C.92D.3 4.(2015·辽宁丹东模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan α＝( ) A.43 B.34 C.－34 D.±345.(2015·蚌埠市模拟)设a ＝tan 130°,b ＝cos(cos 0°)，c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋120,则a,b,c 的大小关系是( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a6.(2016·太原模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin αcos α＝－1225，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于 . 7.(2016·河北邢台模拟)已知α为第三象限角,且sin α＋cos α＝2m ，sin 2α＝m 2，则m 的值为 .8.(2016·山东日照模拟)已知函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π12的值；(2)若sin θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫5π12－θ.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.A [tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 2.C [cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.] 3.C [∵b ＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a ，∴b>a.又∵c ＝tan 35°＝sin 35°cos 35°>sin 35°＝cos 55°＝b ，∴c>b.∴c>b>a.故选C.] B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.C [sin(-1000°)＝sin 80°>0;cos(-2200°)＝cos(-40°)＝cos40°>0，tan(-10)＝tan(3π-10)<0； sin 7π10·cos πtan 17π9＝－sin 7π10tan 17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，故选C.] 2.A [由题意，sin α＝－45，cos α＝35，sin α－cos α＝－45－35＝－75，故选A.] 3.A [co s α＝m 16＋m2＝－35，∴m ＝－3，故选A.] 4.B [因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以sin α＝－35，cos α＝－45，∴tan α＝34，故选B.]5. B [a ＝tan 130°<0，b ＝cos(cos 0°)＝cos 1，∴0<b<1；c ＝1，故选B.]6.17 [因为sin αcos α＝－1225，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α－cos α＝75，所以sin α＝35，cos α＝－45⇒tan α＝－34，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝－34＋11＋34＝17.] 7.－33 [ (sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α所以m 2＋1＝4m 2，m 2＝13，又α为第三象限角，所以sin α<0，cos α<0，m ＝－33.] 8.解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋π6＝3sin π3＝332. (2)∵sin θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35， f ⎝⎛⎭⎫5π12－θ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫5π12－θ＋π6＝3sin(π－2θ)＝3sin 2θ＝6sin θcos θ＝6×45×35＝7225.。

三角函数--2024年数学高考真题和模拟好题分类汇编(解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2，则cos(α-β)=()A.-3mB.-m3C.m3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cosαcosβ,sinαsinβ的关系，结合tanαtanβ的值可求前者，故可求cosα-β的值.【详解】因为cosα+β=m，所以cosαcosβ-sinαsinβ=m，而tanαtanβ=2，所以=12×2b×kb×sin A2+12×kb×b×sin A2，故cosαcosβ-2cosαcosβ=m即cosαcosβ=-m，从而sinαsinβ=-2m，故cosα-β=-3m，故选：A.2(新课标全国Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y=sin x与y=2sin3x-π6的交点个数为() A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y=sin x的的最小正周期为T=2π，函数y=2sin3x-π6的最小正周期为T=2π3，所以在x∈0,2π上函数y=2sin3x-π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax，当x∈(-1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=()A.-1B.12C.1D.2【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3 ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A：当x∈-π8 ,π3时，2x-π3∈-7π12,π3，由函数y=sin x在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8 ,π3上不为单调递增，故A错误；对B：当x=5π6时，2x-π3=4π3，由x=4π3不是函数y=sin x的对称轴，故x=5π6不是f x 图象的对称轴，故B错误；对C：当x∈-π6 ,π4时，2x-π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,1 2，故C错误；对D：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y=sin2x+2×5π12-π3=sin2x+π2=cos2x，该函数关于y轴对称，故D正确.故选：D.8(2024·广东广州·二模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由fπ4=1，得sinπ4ω+φ=22，又点π4,1及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2kπ,k∈Z，由f5π8=0，点5π8,0及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2kπ,k∈Z，联立解得ω=2，φ=-π4+2kπ,k∈Z，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f(x)=2sin2x-π4，若将函数f(x)的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y=sin2x-2θ-π4，则-2θ-π4=π2-kπ,k∈Z，而θ>0，因此θ=-3π8+kπ2,k∈N，所以当k=1时，θ取得最小值为π8 .故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

2023年高考数学试题分类解析【第四章三角函数】附答案解析

2023年高考数学试题分类解析【第四章三角函数】第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式1.（2023全国甲卷理科7）“22sin sin 1αβ+=”是“sin cos 0αβ+=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件、必要条件概念及同角三角函数的基本关系得解.【解析】当2απ=，0β=时，有22sin sin 1αβ+=，但sin cos 0αβ+≠，即22sin sin 1αβ+=推不出sin cos 0αβ+=；当sin cos 0αβ+=时，()2222sin sin cos sin 1αβββ+=-+=，即sin cos 0αβ+=能推出22sin sin 1αβ+=.综上可知，22sin sin 1αβ+=是sin cos 0αβ+=成立的必要不充分条件.故选B.2.（2023北京卷13）已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>.能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=；β=.【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【解析】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02αβ<<<，则00tan tan αβ<，取1020122π,2π,,k k k k ααββ=+=+∈Z ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k αααβββ=+==+=，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k αβαβαβ-=+-+=-+-，因为()1200π2π2π,02k k αβ-≥-<-<，则()()12003π2π02k k αβαβ-=-+->>，即12k k >，则αβ>.不妨取1200ππ1,0,,43k k αβ====，即9ππ,43αβ==满足题意.故答案为：9ππ;43.第二节三角恒等变换1.（2023新高考I 卷6）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【解析】()222241025x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为()2,0B ，记()0,2A -，设切点为,M N ，如图所示.因为AB =BM =，故AM =cos cos2AM MAB AB α=∠==，sin 2α=，sin 2sincos 2224ααα==⨯.故选B.2.（2023新高考I 卷8）已知()1sin 3αβ-=，1cos sin 6αβ=，则()cos 22αβ+=（）A.79B.19C.19-D.79-【解析】()1sin sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，1cos sin 6αβ=，所以1sin cos 2αβ=，所以()112sin sin cos cos sin 263αβαβαβ+=+=+=，()()()2221cos 22cos 212sin 1239αβαβαβ⎛⎫+=+=-+=-⨯= ⎪⎝⎭.故选B.3.（2023新高考II 卷7）已知α为锐角，1cos 4α+=，则sin 2α=（）A.38- B.18-+ C.34- D.14-+【解析】21cos 12sin 24αα+=-=，所以2231sin 284α⎛⎫--== ⎪ ⎪⎝⎭，则1sin24α-=或1sin 24α=.因为α为锐角，所以sin02α>，1sin24α=舍去，得1sin 24α=.故选D.第三节三角函数的图像与性质1.（2023新高考II 卷16）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图所示，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π=6AB ，则()πf =_______.【解析】sin y x =的图象与直线12y =两个相邻交点的最近距离为2π3，占周期2π的13，所以12ππ36ω⋅=，解得4ω=，所以()()sin 4f x x ϕ=+.再将2π,03⎛⎫⎪⎝⎭代入()()sin 4f x x ϕ=+得ϕ的一个值为2π3-，即()2πsin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()2ππsin 4π32f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.2.（2023全国甲卷理科10，文科12）已知()f x 为函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移6π个单位所得函数，则()y f x =与1122y x =-交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析】因为函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位可得()sin 2.f x x =-而1122y x =-过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，分别作出()f x 与1122y x =-的图像如图所示，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，结合图像可知有3个交点.故选C.3.（2023全国乙卷理科6，文科10）已知函数()()sin f x x ωϕ=+在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线6x π=和23x π=为函数()y f x =的图像的两条对称轴，则512f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12【解析】2222362T T ωωππππ=-=⇒=π=⇒=，所以()()sin 2.f x x ϕ=+又222,32k k ϕππ⋅+=+π∈Z ，则52,6k k ϕπ=-+π∈Z .所以5555sin 22sin .1212632f k π⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅--+π=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选D.【评注】本题考查了三角函数图像与性质，当然此题也可以通过画图快速来做，读者可以自行体会.4.（2023全国乙卷理科10）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos n S a n =∈N ，若{},S a b =，则ab =（）A.1- B.12-C.0D.12【解析】解法一（利用三角函数图像与性质）因为公差为23π，所以只考虑123,,a a a ，即一个周期内的情形即可.依题意，{}{}cos ,n S a a b ==，即S 中只有2个元素，则123cos ,cos ,cos a a a 中必有且仅有2个相等.如图所示，设横坐标为123,,a a a 的点对应图像中123,,A A A 点.①当12cos cos a a =时，且2123a a π-=，所以图像上点的位置必为如图1所示，12,A A 关于x =π对称，且1223A A π=，则1233a ππ=π-=，2433a ππ=π+=，32a =π.所以11122ab ⎛⎫=-⨯=- ⎪⎝⎭.②当13cos cos a a =时，3143a a π-=，所以图像上点的位置必为如图2所示，13,A A 关于x =π对称，且1343A A π=，则133a 2ππ=π-=，3533a 2ππ=π+=，2a =π.所以()11122ab =⨯-=-.综上所述，12ab =-.故选B.解法二（代数法）()()11113n a a n d a n 2π=+-=+-，21cos cos 3a a 2π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，31cos cos 3a a 4π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由于{}{}*cos ,n S a n a b =∈=N ，故123cos ,cos ,cos a a a 中必有2个相等.①若121111cos cos cos cos sin 322a a a a a 2π⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，即1133cos 22a a =-，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.若11cos 2a =，则1sin 2a =-，3111113cos cos cos sin 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=--=- ⎪⎝⎭，若11cos 2a =-，则1sin 2a =，3111113cos cos cos sin 132244a a a a 4π⎛⎫=+=-+=+= ⎪⎝⎭，故131cos cos 2a a ab ==-.②若131111cos cos cos cos sin 322a a a a a 4π⎛⎫==+=-+ ⎪⎝⎭，得113cos 22a a =，解得11cos 2a =或11cos 2a =-.当11cos 2a =时，1sin a =，2111113cos cos cos sin 132244a a a a 2π⎛⎫=+=--=--=- ⎪⎝⎭，当11cos 2a =-时，1sin a =213cos 144a =+=，故121cos cos 2a a ab ==-.③若23cos cos a a =，与①类似有121cos cos 2a a ab ==-.综上，故选B.5.（2023北京卷17）已知函数()sin cos cos sin ,0,2f x x x ωϕωϕωϕπ=+><.（1）若()02f =，求ϕ的值；（2）若()f x 在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且213f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值.条件①：3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在,23ππ⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值；（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =-处取得最小值1-，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．【解析】（1）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin 2f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==-，因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=-.（2）因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><，所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1-，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==,所以()()sin f x x ϕ=+，又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，所以ππ2π,32k k ϕ-+=-+∈Z ，所以π2π,6k k ϕ=-+∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=-.所以1ω=，π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦-上单调递增，在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-，即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.以下与条件②相同．第四节解三角形1.（2023全国甲卷理科16）在ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，BC =D 为BC 上一点，AD 平分BAC ∠，则AD =.【解析】如图所示，记,,,AB c AC b BC a ===由余弦定理可得22222cos606b b +-⨯⨯⨯︒=，解得1b =（负值舍去）.由ABC ABD ACD S S S =+△△△可得，1112sin602sin30sin30222b AD AD b ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得1212AD b +===+.2.（2023全国甲卷文科17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2222cos b c a A+-=.（1）求bc .（2）若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=，求ABC △面积.3.（2023全国乙卷理科18）在ABC △中，120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =.（1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=︒，求ADC △的面积.【解析】（1）利用余弦定理可得2222cos 14212cos120527BC AC AB AC AB BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯︒=+=.故BC =.又由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠.故sin 21sin14AC BAC ABC BC ⋅∠∠====.（2）由（1）可知3tan 5ABC ∠=，在Rt BAD △中，tan 255AD AB ABC =⋅∠=⨯=，故11222ABD S AB AD =⨯⨯=⨯=△，又11sin 21sin12022ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯︒=△，所以ADC ABC ABD S S S =-=-=△△△.5.（2023新高考I 卷17）已知在ABC △中，3A B C +=，()2sin sin A C B -=.（1）求sin A ；（2）设=5AB ，求AB 边上的高.【解析】（1）解法一因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，2sin()sin()A C A C -=+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C⇒-=+sin cos 3cos sin A C A C ⇒=tan 3tan 3sin 10A C A ⇒==⇒=.解法二因为3A B C +=，所以4A B C C ++==π，所以4C π=，所以4A B 3π+=，所以4B A 3π=-，故2sin()sin()4A C A 3π-=-，即2sin cos 2cos sin sin cos cos sin 4444A A A A ππ3π3π-=-，得sin 3cos A A =.又22sin cos 1A A +=，()0,A ∈π，得sin 10A =.（2）若||5AB =.如图所示，设AC 边上的高为BG ，AB 边上的高为CH ，||CH h =，由（1）可得cos 10A =，||||cos ||102AG AB A AB =⋅==，||||2BG CG ===，所以||AC =，||||2||6||5AC BG CH AB ===.6.（2023新高考II 卷17）记ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △，D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若π3ADC ∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求,b c .【解析】（1）依题意，1322ADC ABC S S ==△△，1sin 242ADC S AD DC ADC =⋅⋅∠==△，解得2DC =，2BD =.如图所示，过点A 作AE BC ⊥于点E .因为60ADC ∠= ，所以12DE =,2AE =,则15222BE =+=，所以tan 5AE B BE ==.（2）设AB = c ，AC = b ，由极化恒等式得2214AB AC AD BC ⋅- =，即2114⋅--b c =b c ，化简得()22244⋅-+=-b c =b c ，即cos cos 2BAC bc BAC ⋅⋅∠=∠=-b c =b c ①，又1sin 2ABC S bc BAC =∠=△sin bc BAC ∠=②.②①得tan BAC ∠=，0πBAC <∠<得2π3BAC ∠=，代入①得4bc =，与228b c +=联立可得2b c ==.7.（2023北京卷7）在ABC △中，()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-，则C ∠=（）A.6π B.3π C.32π D.65π【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【解析】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选B.。

《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：4.2三角函数的图象与性质(含答案解析)

第二节三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·新课标全国Ⅰ，6)若将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( ) A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 2.(2016·新课标全国卷Ⅱ，3)函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 3.(2016·四川，4)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向上平行移动π3个单位长度D.向下平行移动π3个单位长度4．(2015·新课标全国Ⅰ，8)函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫kπ－14，kπ＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2kπ－14，2kπ＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z5.(2015·山东，4)要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位6.(2014·天津，8)已知函数f(x)＝3sin ωx ＋cos ωx(ω＞0)，x ∈R.在曲线y ＝f(x)与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为( )A.π2B.2π3C.πD.2π7.(2014·陕西，2)函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B.πC.2πD.4π8.(2014·四川，3)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π12个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π4个单位10.(2014·安徽，7)若将函数f(x)＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π411.(2014·新课标全国Ⅰ，7)在函数①y ＝cos|2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③12.(2014·福建，7)将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )A.y ＝f(x)是奇函数B.y ＝f(x)的周期为πC.y ＝f(x)的图象关于直线x ＝π2对称 D.y ＝f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称13.(2016·新课标全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.14.(2015·天津，11)已知函数f(x)＝sin ωx ＋cos ωx(ω＞0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 15.(2015·陕西，14)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．16.(2015·湖南，15)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.17.(2014·重庆，13)将函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 18.(2015·湖北，18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)f(x)的解析式； (2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g(x)的图象，求y ＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．19.(2014·湖北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．20.(2014·四川，17)已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．21.(2014·福建，18)已知函数f(x)＝2cos x(sin x ＋cos x)． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．22.(2014·北京，16)函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f(x)在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值． B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都第二次诊断)将函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为( ) A.g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B.g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 C.g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D.g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π62.(2016·山西四校联考)已知函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ－π2⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝kπ－π6，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝kπ－π3，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝2kπ－π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝2kπ－π3，k ∈Z3.(2015·石家庄模拟)将函数f(x)＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4 C.0D.－π44.(2015·黄冈模拟)当x ＝π4时，函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是( )A.奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.偶函数且图象关于点(π，0)对称 C.奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D.偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称5.(2015·河南焦作市统考)函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且其图象向右平移π12个单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象( )A.关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B.关于直线x ＝5π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称D.关于直线x ＝π12对称6.(2015·怀化市监测)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间为________. 7.(2015·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝32sin ωx ＋32cos ωx(ω＞0)的周期为4. (1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g(x)的图象，P ，Q 分别为函数g(x)图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.解析函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D. 答案 D2.解析由题图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 答案 A3.解析由y ＝sin x 得到y ＝sin(x±a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A4.解析由图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2.由选项知D 正确．答案 D5.解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位．答案 B6.解析由题意得函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)，又曲线y ＝f(x)与直线y ＝1相邻交点距离的最小值是π3，由正弦函数的图象知，ωx ＋π6＝π6和ωx ＋π6＝5π6对应的x 的值相差π3，即2π3ω＝π3，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T ＝2πω＝π. 答案 C7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T ＝2π2＝π.答案 B8.解析由图象平移的规律“左加右减”，可知选A. 答案 A9.解析因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，所以将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象．答案 A10.解析方法一 f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ，由该函数为偶函数可知2φ－π4＝kπ＋π2，k ∈Z ，即φ＝kπ2＋3π8，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.方法二 f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋π4＝kπ，k ∈Z ，所以φ的最小正值为3π8.答案 C11.解析 ①y ＝cos|2x|，最小正周期为π；②y ＝|cos x|，最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最小正周期为π；④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，最小正周期为π2，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A. 答案 A12.解析函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，得到函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x 的图象，f(x)＝cos x 为偶函数，排除A ；f(x)＝cos x 的周期为2π，排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0，所以f(x)＝cos x 不关于直线x ＝π2对称，排除C ；故选D.答案 D13.解析 y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，由y ＝2sin x 的图象至少向右平移π3个单位长度得到. 答案 π314.解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，由－π2＋2kπ≤ωx ＋π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ，得－3π4＋2kπ≤ωx≤π4＋2kπ，由题意f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，可知k ＝0，ω≥π2，又函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝ω对称，所以sin(ω2＋π4)＝1，ω2＋π4＝π2，所以ω＝π2. 答案π215.解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 816.解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，知sin ωx ＝cos ωx ，即sin ωx －cos ωx ＝0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4＝0， ∴ωx ＝π4＋kπ，x ＝1ω⎝⎛⎭⎫π4＋kπ(k ∈Z)， ∴两函数交点坐标为⎝⎛⎭⎫1ω⎝⎛⎭⎫π4＋kπ，2(k ＝0，2，4，…)，或⎝⎛⎭⎫1ω⎝⎛⎭⎫π4＋kπ，－2(k ＝…，－3，－1，1，3，…)∴最短距离为（22）2＋π2ω2＝23，∴π2ω2＝4， ∴ω＝π2.答案 π217.解析把函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案2218.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f(x)＝5sin ⎝⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，因此g(x)＝5sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为y ＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k ∈Z. 令2x ＋π6＝kπ，解得x ＝kπ2－π12，k ∈Z.即y ＝g(x)图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫kπ2－π12，0，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π12，0. 19.解 (1)f(8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8 ＝10－3cos2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎫－12－32＝10.故实验室上午8时的温度为10 ℃. (2)因为f(t)＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 20.解 (1)由－π2＋2kπ≤3x ＋π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ，得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k ∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k ∈Z. (2)由已知，有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2kπ，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－52. 21.解 f(x)＝2sin xcos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1 ＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x ＋π4≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k ∈Z.所以f(x)的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤kπ－3π8，kπ＋π8，k ∈Z.22.解 (1)f(x)的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3. (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0. 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f(x)取得最小值－3. B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.解析横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，则有g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案 B2.解析依题意得T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，ω＝2，f ⎝⎛⎭⎫π3＝cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1，又|φ|<π2，因此φ＝－π6，所以f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. 当f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3取得最小值时，2x －π3＝2kπ－π，k ∈Z ，即x ＝kπ－π3，k ∈Z ，答案 B3.解析函数f(x)＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位，得g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图象，又g(x)的函数图象关于y 轴对称，所以g(x)为偶函数，所以π4＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，即φ＝kπ＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，φ＝π4，故选B. 答案 B4.解析当x ＝π4时，函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2kπ，k ∈Z ，即φ＝－3π4＋2kπ，k ∈Z ，所以f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫x －3π4(A ＞0)，所以y ＝f(3π4－x)＝Asin ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＋3π4＝－Acos x ，所以函数为偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称，选D.答案 D5.解析 f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， π＋2kπ≤2x ＋π6≤2π＋2kπ，k ∈Z ，即5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k ∈Z. 答案 ⎣⎡⎦⎤5π12＋kπ，11π12＋kπ(k ∈Z) 6.解析由于函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，故2πω＝π，ω＝2. 把其图象向右平移π12个单位后得到函数的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋φ，为奇函数，∴－π6＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋π6，k ∈Z ， ∴φ＝π6，∴函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 令2x ＋π6＝kπ，k ∈Z ，可得x ＝kπ2－π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎝⎛⎭⎫kπ2－π12，0(k ∈Z). 故点⎝⎛⎭⎫5π12，0是函数的一个对称中心.答案 C7.解 (1)f(x)＝32sin ωx ＋32co s ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫sin ωxcos π3＋cos ωxsin π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3. ∵T ＝4，ω＞0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3.(2)将f(x)的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g(x)＝3sin π2x. ∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴P(1，3)，Q(3，－3).∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12，∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ·QP ＝32. ∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角，∴∠OQP ＝π6.。

2019届高三文科数学《5年高考3年模拟》§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式 Word版含答案

第四章三角函数§4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式考纲解读分析解读三角函数的概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式是高考考查的重点内容,常与两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式相联系,用于求值和化简,同角三角函数的基本关系扮演了统一函数名称的角色,而诱导公式起着化简作用.本节内容常以选择题、填空题的形式出现,偶尔也会出现在解答题中,分值大约为5分,因此在高考备考中要给予特别重视.五年高考考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2015福建,6,5分)若sin α=-513,且α为第四象限角,则tan α的值等于()A.125B.-125C.512D.-512答案D2.(2014课标Ⅰ,2,5分)若tan α>0,则()A.sin α>0B.cos α>0C.sin 2α>0D.cos 2α>0答案C3.(2014大纲全国,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cos α=()A.45B.35C.-35D.-45答案D4.(2017北京,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=13, 则sin β=.答案135.(2016四川,11,5分)sin 750°=.答案1教师用书专用(6)6.(2013广东,4,5分)已知sin5π2+α =15,那么cos α=()A.-25B.-15C.15D.25答案C三年模拟A组2016—2018年模拟²基础题组考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2018陕西西安中学10月月考,1)cos 330°=()A.1B.-1C.3D.-3答案C2.(2018湖北荆州一模,3)已知角α的终边经过点P(-5,-12),则sin3π2+α 的值等于()A.-513B.-1213C.513D.1213答案C3.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,3)已知sin α=25,则cos(π+2α)=()A.725B.-725C.1725D.-1725答案D4.(2017安徽二模,3)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 215°,cos215°),则α=()A.215°B.225°C.235°D.245°答案C5.(2017四川成都五校联考,4)已知cos3π2-φ =35,且|φ|<π2,则tan φ=()A.-43B.43C.-34D.34答案C6.(2017湖南郴州二模,3)已知sin α+π3=1213,则cosπ6-α =()A.512B.1213C.-513D.-1213答案B7.(人教A必4,一,2,A3,变式)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)sin(-1 050°)=()A.-1B.1C.2D.-2答案B8.(2016甘肃兰州一中期中,6)已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30°),且cos α=-45,则m的值为()A.12B.-12C.-32D.32答案A9.(2016江西赣中南五校联考,3)已知倾斜角为α的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos 2 015π2-2α 的值为()A.45B.-45C.12D.-12答案B10.(2018广东惠州一调,14)若tan θ=-3,则cos 2θ+sin 2θ= . 答案 -111.(2017宁夏银川一中11月模拟,13)已知sin(2π-α)=3,α∈ 3π,2π ,则sin α+cos αsin α-cos α=.答案 -17B 组 2016—2018年模拟²提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018北京海淀期中,5)在平面直角坐标系xOy 中,点A 的纵坐标为2,点C 在x 轴的正半轴上,在△AOC 中,若cos ∠AOC=- 53,则点A 的横坐标为( ) A.- 5 B. 5 C.-3 D.3答案 A2.(2018广东佛山一中期中模拟,6)若sin θ+cos θ=2 10,则tan θ+π =( )A.1B.2C.±1D.±2答案 D3.(2017广东省际名校模拟,8)已知角α |α|<π2终边上一点P 的坐标为 sinπ10,cos 9π10,则角α=( )A.π10B.2π5C.-π10D.-2π5答案 D4.(2017湖北四地七校联考,3)已知α为第四象限角,sin α+cos α=15,则tan α2的值为( )A.-12B.12C.-13D.13答案 C5.(2016浙江杭州五校联盟高三一诊,6)已知倾斜角为θ的直线与直线x-3y+1=0垂直,则23sin 2θ-cos 2θ=()A.103B.-103C.1013D.-1013答案C二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2018河北石家庄重点中学联考,14)已知角θ的终边经过点A(-3,4),则cos2θsin2θ-1=.答案177.(2017湖北襄阳五中模拟,15)已知tan α+π3=2,则sinα+4π3+cos2π3-αcosπ6-α-sinα+5π6=.答案-3三、解答题(共10分)8.(2017河北衡水中学二调,17)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P-35,45.(1)求sin α,cos α,tan α的值;(2)求2sin(π-α)-sinπ2-αsin(2π-α)+cos(π+α)的值;(3)求cos 2α,tan α+π4的值.解析(1)因为角α的终边与单位圆相交于点P-35,45,所以由三角函数的定义,得sin α=45,cos α=-35,则tan α=-43.(2)原式=2sinα-cosα-sinα-cosα=2tanα-1-tanα-1=2×-43-1--43-1=-11.(3)cos 2α=2cos2α-1=2³-352-1=-725,tan α+π4=tanα+tanπ41-tanαtan π4=-43+11--43×1=-17.C组2016—2018年模拟²方法题组方法1定义法求三角函数值1.(2018广东深圳四校期中联考,5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点(1,4), 则cos2θ-sin 2θ的值为()A.35B.-35C.717D.-717答案 D2. (2017河南洛阳3月模拟,13)已知角α的始边与x 轴非负半轴重合,终边在射线4x-3y=0(x ≤0)上, 则cos α-sin α= . 答案 1方法2 同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用方法3.(2018辽宁五校协作体联合模拟,5)若sin π3-α =13,则cos π3+2α =( )A.79B.23C.-23D.-79答案 D4.(2017浙江温州模拟)若1sin α+1cos α= 3,则sin αcos α=( )A.-13B.13C.-13或1D.13或-1答案 A5.(2016湖北宜昌期中,8)已知sin θ+cos θ=43,θ∈ 0,π4,则sin θ-cos θ的值为( )A. 23B.- 23C.13D.-13答案 B方法3 齐次式问题的求解方法6.(2018福建福州八校联考,8)已知sin α+3cos α2cos α-sin α=2,则cos 2α+sin αcos α=( )A.65B.35C.25D.-35答案 A7. (2017福建泉州五校联考,7)已知函数f(x)=x 2+(2sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y 轴对称,则2sin θ² cos θ+sin 2θ的值为( ) A.32B.2C.12D.1答案 D8.(人教A 必4,三,1,A11,变式)已知tan(3π-x)=2,则2cos 2x2-sin x -1sin x +cos x=( )A.3B.-3C.2D.-2答案 B。

高三复习：三角函数定义教师学生版(含参考答案与解析)

4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_______2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝___弧度；180°＝___弧度； ②弧长公式：l ＝_____；③扇形面积公式：S 扇形＝____和____3．任意角的三角函数(1)定义：已知角α终边上任意一点P (x ，y )，它到坐标原点的距离是r ＝x 2＋y 2(r >0) ，则sin α＝_____，cos α＝_____，tan α＝_____(______)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中角α的正弦线为______，余弦线为_______和正切线为__________．1．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．2．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.试一试：1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________.2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝____________.4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．考点一、角的集合表示及象限角的判断例1.（1）终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．（2）如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．（3）设α是第二象限角且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是第________象限角．考点二三角函数的定义例2、(1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．（2）若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是第________象限角．考点三扇形的弧长及面积公式例3、已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？类题通关（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.(3)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？课堂练习1．如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P 的坐标是________．2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．3、已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则a 的取值范围_______．4．已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．5．已知sin α＝13，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝______.4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数作业1．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝________.2．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2.3．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为________．4、．α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为______．5．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．6．设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________．7．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.8．函数y ＝sin x ＋ 12－cos x 的定义域是__________．9．已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．10．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．弧度的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l ＝|α|r ；③扇形面积公式：S 扇形＝12lr 和12|α|r 2.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝π rad 进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.[试一试]1、已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝________.[解析] 由角α的终边经过点(－4,3)得x ＝－4，y ＝3，所以r ＝(－4)2＋32＝5，所以cos α＝x r ＝－45＝－45.[答案] －452．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是________．答案2sin 1解析设圆的半径为r ，则sin 1＝1r ，∴r ＝1sin 1，∴2弧度的圆心角所对弧长为2r ＝2sin 1.3．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝____________.答案－8 解析因为sin θ＝y 42＋y2＝－255，所以y <0，且y 2＝64，所以y ＝－8.4．函数y ＝2cos x －1的定义域为________．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．1．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦； 2．对于利用三角函数定义解题的题目，如果含有参数，一定要考虑运用分类讨论，而在求解简单的三角不等式时，可利用单位圆及三角函数线，体现了数形结合的思想．[练一练]若sin α<0且tan α>0，则α是第______象限角．解析：由sin α<0，知α在第三、第四象限或α终边在y 轴的负半轴上，由tan α>0，知α在第一或第三象限，因此α在第三象限．答案：三对应学生用书P39考点一角的集合表示及象限角的判定例1.给出下列四个命题：1、终边在直线y ＝3x 上的角的集合为________．2、如果α是第三象限角，那么角2α的终边落在________．3、设α是第二象限角且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是第________象限角．答案 (1){α|α＝k π＋π3，k ∈Z } (2)第一、二象限或y 轴的非负半轴上解析 (1)∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为{α|α＝π3＋k π，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z ，∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z .∴角2α的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上．(2)由角α是第二象限角可知2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ，所以k π＋π4<α2<k π＋π2.当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4<α2<2n π＋π2，α2为第一象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋5π4<α2<2n π＋3π2，α2为第三象限角．又⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，知cos α2≤0. 综上所述．可知α2是第三象限角．[类题通法]1．利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．2．已知角α的终边位置，确定形如kα，π±α等形式的角终边的方法：先表示角α的范围，再写出kα，π±α等形式的角范围，然后就k 的可能取值讨论所求角的终边位置．考点二三角函数的定义例2、(1)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是第________象限角．解析 (1)∵r ＝64m 2＋9， ∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45， ∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而角α为第二或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，从而角α为第三或第四象限角，故角α为第三象限角． [类题通法]用定义法求三角函数值的两种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[针对训练]已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值．解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.当k >0时，r ＝10k ，∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10 k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310， 1cos α＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0. 综上，10sin α＋3cos α＝0. 考点三扇形的弧长及面积公式例3 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？思维点拨 (1)弓形面积可用扇形面积与三角形面积相减得到；(2)建立关于α的函数．解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin π3 ＝503π－5032＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C 2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝⎛⎭⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.变式 1、（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．（2）圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________.(3)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，θ＝8(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，故（2）解析：设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ， ∴正方形边长为2r ， ∴圆心角的弧度数是2r r＝ 2. 答案： 2扇形圆心角为12.(3)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40. S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r ) ＝－(r －10)2＋100≤100，当且仅当r ＝10时，S max ＝100，θ＝2.所以当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大．[类题通法]弧度制应用的关注点(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．提高选用创新探究之3三角函数的定义与向量的创新交汇问题如图3-1-1，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．图3-1-1[解析] 如图，设A (2,1)，连AP ，分别过P ，A 作PC ，AB 垂直x 轴于C ，B 点，过A 作AD ⊥PC 于D 点．由题意知劣弧BP 的长为2.∵圆半径为1，∴∠BAP ＝2，故∠DAP ＝2－π2. ∴DP ＝AP ·sin ⎝⎛⎭⎫2－π2＝－cos 2， ∴PC ＝1－cos 2，DA ＝AP cos ⎝⎛⎭⎫2－π2＝sin 2， ∴OC ＝2－sin 2.故OP →＝(2－sin 2,1－cos 2)．[答案] (2－sin 2,1－cos 2)【智慧心语】创新点拨：(1)本题考查向量、三角函数定义、弧长公式的交汇，其实质是三角函数的概念，命题角度新颖，突出知识的迁移与应用．(2)通过静止问题解决动态问题，考查考生处理“变”与“不变”的转化意识，突出灵活应用与创新能力的考查．应对措施：(1)把待求问题和已知条件联系起来，分析它们之间的联系，寻找解决问题的方案．(2)分析单位圆的运动过程，从点P 的运动轨迹，寻找解决问题的条件．【类题通关】在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π2后得向量OQ →，则点Q 的坐标是________． [解析] |OP |＝10，设∠xOP ＝θ，∴cos θ＝610＝35，sin θ＝45. 设OQ →＝(x ，y )，则x ＝10cos ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝10sin θ＝8， y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫θ＋3π2＝－10cos θ＝－6. [答案] (8，－6)[课堂练通考点]1．如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是________．解析：由三角函数的定义知P (cos θ，sin θ)．答案：(cos θ，sin θ)2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ l ＝4r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝2. 故扇形的圆心角的弧度数是4或1.答案：1或43．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案：(－2,3]4．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：2 010°＝676π＝12π－5π6， ∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为5π6. 答案：5π65．(2014·南京期末)已知角α 的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：由三角函数的定义知 tan α＝－6x ，于是－6x ＝－35，解得x ＝10. 答案：106．(2014·扬州质检)已知sin α＝13，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan α＝______. 解析：因为 sin α＝13，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以 cos α＝－ 1－19＝－223从而tan α＝－24.答案：－244.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数作业1．角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝________.答案 255解析由三角函数的定义，得sin α＝2(－1)2＋22＝255. 2．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2.答案 80π解析 ∵72°＝2π5， ∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)． 3．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角x 的最小正值为________．答案 5π3解析因为sin x ＝cos 5π6＝－32，cos x ＝sin 5π6＝12，所以x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，故当k ＝1时，x ＝5π3，即角x 的最小正值为5π3.4、．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________．答案－1解析由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.5．在直角坐标系中，O 是原点，A 点坐标为(3，－1)，将OA 绕O 逆时针旋转450°到B 点，则B 点的坐标为________．答案 (1，3)解析设B (x ，y )，由题意知OA ＝OB ＝2，∠BOx ＝60°，且点B 在第一象限， ∴x ＝2cos 60°＝1，∴y ＝2sin 60°＝3，∴B 点的坐标为(1，3)．6．设α为第二象限角，其终边上一点为P (m ，5)，且cos α＝24m ，则sin α的值为________．答案 104 解析设P (m ，5)到原点O 的距离为r ，则m r ＝cos α＝24m ， ∴r ＝22，sin α＝5r ＝522＝104. 7．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.答案－35解析由题意及图，易知A 点的横坐标为－35，所以cos α＝－35.8．函数y ＝sin x ＋ 12－cos x 的定义域是________________________________________．答案 ⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12. ∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z . 9．已知角θ的终边经过点P (－3，m ) (m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．解由题意，得r ＝3＋m 2，所以sin θ＝m 3＋m 2＝24m . 因为m ≠0，所以m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝x r ＝－322＝－64， tan θ＝y x ＝－5－3＝153. 10．已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．解 (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.(3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇形－S 三角形＝12×π3×22－12×22×sin π3＝(2π3－3)(cm 2)．。

第04章三年高考真题与高考等值卷(三角函数、解三角形)(文科数学)(解析版)

(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 5.正弦定理和余弦定理：掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 6.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
所得图象对应的函数解析式为 y＝sin[2（x ） ]＝sin2x．
当 x∈[
]时，2x∈[ ， ]，函数单调递增；
当 x∈[ ， ]时，2x∈[ ，π]，函数单调递减；
当 x∈[ ，0]时，2x∈[ ，0]，函数单调递增；
当 x∈[ ，π]时，2x∈[π，2π]，函数先减后增．故选：A．
18 ．【 2017 年新课标 1 文科 11 】 △ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sinB+sinA （sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c ，则 C＝（）
A．﹣2
B．﹣2
C．2
【解答】解：tan255°＝tan（180°+75°）＝tan75°＝tan（45°+30°）
D．2
．
故选：D．
6．【2019 年新课标 1 文科 11】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 asinA﹣bsinB＝4csinC，
cosA ，则（）
A ，即 A＝2，
则 f（x）＝Asin2x，则 f（）＝2sin（2
2sin 2
，
故选：C．
2．【2019 年新课标 3 文科 05】函数 f（x）＝2sinx﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为（）

【高考冲刺押题】高考数学三轮基础技能闯关夺分必备三角函数的概念(含解析).pdf

三角函数的概念【考点导读】理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与终边相同的角连同角本身，可构成一个集合；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式及扇形的面积公式＝（为弧长）解决问题. 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点（不同于坐标原点），设（），则的三个三角函数值定义为：．从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R；正切函数的定义域为．掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记、、、、的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题．【基础练习】 1．化成的形式是2．已知为第三象限角，则所在的象限是． 3．已知角的终边过点，则=，=． 4．的符号为． 5．已知角的终边上一点（），且，求，的值．解：由三角函数定义知，，当时，，；当时，，．【范例解析】例1.如图，，分别是终边落在，位置上的两个角，且，．（1）（2）时所有角的集合；（3）求始边在位置上，终边在位置上所有角的集合．解：（1）；（3），．点评：三角函数中应注意文字语言与符号语言的转化；第（3）问要注意角的方向．例2.（1）已知角的终边经过一点，求的值；（2）已知角的终边在一条直线上，求，的值．分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知，．当时，，，，则；当时，，，，则．（2）设点是角的终边上一点，则；当时，角是第一象限角，则；当时，角是第三象限角，则．点评：要注意对参数进行分类讨论．例3.（1）若，则在第_____________象限．（2）若角是第二象限角，则，，，，中能确定是正值的有____个．解：（1）由，得，同号，故在第一，三象限．（2）由角是第二象限角，即，得，，故仅有为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例4. 一扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？分析：选取变量，建立目标函数求最值．解：设扇形的半径为x，则弧长为，故面积为，当时，面积最大，此时，，，所以当弧度时，扇形面积最大25．点评：由于弧度制引入，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数．【反馈演练】 1．若且则在，则点在第________象限． 3．已知角是第二象限，且为其终边上一点，若，则m的值为_______． 4．将时钟的分针拨快，则时针转过的弧度为． 5．若，且与终边相同，则= ． 6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________． 7．已知，，则点在第象限． 8．已知，角的终边与的终边关于直线对称，则角的集合为____________________． 9．设是第二象限角，且满足，则是第_______象限的角． 10．（1）已知扇形的周长是6cm，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为8，当扇形的中心角为多少弧度时，该扇形周长最小．简解：（1）该扇形面积2；（2），当且仅当时取等号．此时，，． 11．已知角的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边在直线上，求的值．解：当角在第一象限时，，，，则；当角在第三象限时，，，，则． 12．已知，且，判断的符号．解：由已知是第二象限，则，，，，故．三三三二第二或第四象限。

三年高考两年模拟高考数学专题汇编第四章三角函数、解三角形2 理

第二节三角函数的图象与性质A 组三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A.与b 有关，且与c 有关 B.与b 有关，但与c 无关 C.与b 无关，且与c 无关 D.与b 无关，但与c 有关2.(2016·四川，3)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度3.(2016·北京，7)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( ) A.t ＝12，s 的最小值为π6 B.t ＝32，s 的最小值为π6C.t ＝12，s 的最小值为π3D.t ＝32，s 的最小值为π34.(2016·全国Ⅰ，12)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.55.(2016·全国Ⅱ，7)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C.x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 6.(2015·山东，3)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A.向左平移π12个单位B.向右平移π12个单位C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位7.(2015·湖南，9)将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的图象，若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3C.π4D.π68.(2015·四川，4)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.y ＝sin 2x ＋cos 2xD.y ＝sin x ＋cos x9.(2014·浙江，4)为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位10.(2014·辽宁，9)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递减 B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增 11.(2014·陕西，2)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的最小正周期是( )A.π2B.πC.2πD.4π12.(2016·江苏，9)定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是 .13.(2016·全国Ⅲ，14)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移个单位长度得到.14.(2015·浙江，11)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________.15.(2015·福建，19)已知函数f (x )的图象是由函数g (x )＝cos x 的图象经如下变换得到：先将g (x )图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.(1)求函数f (x )的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于x 的方程f (x )＋g (x )＝m 在[0,2π)内有两个不同的解α，β. ①求实数m 的取值范围； ②证明：cos(α－β)＝2m25－1.16.(2015·北京，15)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值.17.(2015·重庆，18)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性.18.(2014·上海，1)函数y ＝1－2cos 2(2x )的最小正周期是________.B 组两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·长沙模拟)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )A.1B.2C.4D.82.(2016·郑州检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6等于( )A.2或0B.－2或2C.0D.－2或03.(2016·衡阳模拟)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ，ω∈(－3，0)，若f (x )的最小正周期为π，则f (x )的一个单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π4.(2016·山东师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0＜φ＜2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π65.(2015·烟台模拟)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3的概率为( )A.13B.2πC.12D.236.(2015·广东江门模拟)函数f (x )＝sin(x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3上单调递增，常数φ的值可能是( )A.0B.π2C.πD.3π27.(2015·朝阳区模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，下面结论中正确的是( )A.函数f (x )的最小正周期是2πB.图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C.图象C 可由函数g (x )＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位得到D.函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π2上是增函数 8.(2016·上海静安二模)已知a ＝(sin x ，－cos x )，b ＝(cos x ，3cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋32. (1)求f (x )的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； (2)当0≤x ≤π2时，求函数f (x )的值域.答案精析A 组三年高考真题（2016～2014年）1.B [因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－ cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B.]2.D [由题可知,y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6,则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，选D. 3.A [点P ⎝⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上，则t ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.又由题意得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋s ）－π3＝sin 2x ，故s ＝π6＋k π，k ∈Z ，所以s 的最小值为π6.]4.B [因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]5.B [由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B.] 6.B [∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位.] 7.D [易知g (x )＝sin(2x －2φ)，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由|f (x 1)－f (x 2)|＝2及正弦函数的有界性知，①⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝－1，sin （2x 2－2φ）＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x 1＝1，sin （2x 2－2φ）＝－1，由①知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－π4＋k 1π，k 2＝π4＋φ＋k 2π(k 1，k 2∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2＋φ＋（k 2－k 1）πmin ＝π3，由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π2＋φ＝2π3，∴φ＝π6，同理由②得φ＝π6.故选D.]8.A [A 选项：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，T ＝π，且关于原点对称，故选A.] 9.C [因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，故选C.]10.B [将y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π3，即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象，令－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，化简可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，可得y ＝3sin(2x －2π3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上单调递增，故选B.]11.B [∵T ＝2π2＝π，∴B 正确.]12. 7 [在区间[0，3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.]13.2π3 [y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因此至少向右平移2π3个单位长度得到.]14.π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ) [f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32， ∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z .]15.解法一 (1)将g (x )＝cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y ＝2cos x 的图象，再将y ＝2cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2的图象，故f (x )＝2sin x .从而函数f (x )＝2sin x 图象的对称轴方程为x ＝k π＋π2(k ∈Z ). (2)①f (x )＋g (x )＝2sin x ＋cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫25sin x ＋15cos x ＝5sin(x ＋φ) ⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25.依题意，sin(x ＋φ)＝m5在[0，2π)内有两个不同的解α，β，当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 5＜1，故m 的取值范围是(－5，5).②证明因为α，β是方程5sin(x ＋φ)＝m 在[0，2π)内的两个不同的解。

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2.（2010 全国卷 2 文）（13）已知 α 是第二象限的角,tanα=1/2，则 cosα=__________
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

《三角函数》高考真题文科总结及答案(word版可编辑修改)

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2015《三角函数》高考真题总结1．（2015·四川卷5）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ）A ．y ＝sin (2x ＋）B ．y ＝cos (2x ＋)π2π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x2．（2015·陕西卷9)设f （x )＝x －sin x ，则f (x )（ )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数3．（2015·北京卷3)下列函数中为偶函数的是（ )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝｜ln x ｜D ．y ＝2－x4．(2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ）A ．y ＝ln xB ．y ＝x 2＋1C ．y ＝sin xD ．y ＝cos x5．（2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ）A ．y ＝x ＋sin 2xB ．y ＝x 2－cos xC ．y ＝2x ＋D ．y ＝x 2＋sin x6．(2015·广东卷5)设△ABC 的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

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第一节三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·福建，6)若sin α＝－
5
13
，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125 B.－125 C.512 D.－512
2.(2014·大纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C.－35 D.－45
3.(2014·新课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( ) A.sin α＞0 B.cos α＞0 C.sin 2α＞0 D.cos 2α＞0
4.(2016·新课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π
4＝________. 5.(2016·四川，11)sin 750°＝________.
6.(2015·四川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·济南一中高三期中)若点(4，a)在y ＝x 12的图象上，则tan a
6π的值为( )
A.0
B.3
3
C.1
D. 3
2.(2016·贵州4月适应性考试)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－3
5，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin ()π－2α＝( ) A.24
25 B.1225 C.－1225
D.－2425
3.(2016·南充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则sin α－cos α
sin α＋cos α
＝( )
A.3
B.13
C.－13
D.－3
4.(2015·乐山市调研)若点P 在－10π
3角的终边上，且P 的坐标为(－1，y)，则y 等于( )
A.－
33
B.33
C.－ 3
D. 3
5.(2015·石家庄一模)已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，则sin(π＋α)＝( ) A.－1－k 2 B.1－k 2 C.－k
D.±1－k 2
6.(2015·洛阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P(sin A-cos B,3cos A-1)位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
7.(2016·山东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝45，则cos α＝________. 8.(2015·湖南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A(3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，那么点B 坐标为________，若直线OB 的倾斜角为α，则tan 2α的值为________.
答案精析
A 组三年高考真题（2016～2014年）
1.解析 ∵sin α＝－5
13，且α为第四象限角，
∴cos α＝12
13，
∴tan α＝
sin αcos α＝－5
12
，故选D. 答案 D
2.解析记P(－4，3)，则x ＝－4，y ＝3，r ＝|OP|＝（－4）2＋32＝5，故cos α＝x r ＝－45＝－4
5，故选D.
答案 D
3.解析由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 C
4.解析由题意，得cos ⎝⎛⎫θ＋π4＝4
5， ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3
4
. ∴tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－43. 答案－43
5.解析 ∵sin θ＝sin(k·360°＋θ)，(k ∈Z)， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12.
答案 12
6.解析 ∵sin α＋2cos α＝0， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α
＝2sin α·cos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，
∴原式＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－1.
答案－1
B 组两年模拟精选(2016～2015年)
1.解析 ∵a ＝41
2＝2，
∴tan a
6π＝ 3.
答案 D
2.解析由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35得cos α＝－35，又α∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，则sin α＝45
，
所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－24
25.
答案 D
3.解析因为角α终边经过点P(2，－1)，所以tan α＝－1
2，
sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1
tan α＋1
＝－12－1－12＋1＝－3，故选D.
答案 D
4.解析－10π3＝－4π＋2π3，所以－10π3与2π
3的终边相同，
所以tan
2π
3
＝－3＝－y ，则y ＝ 3. 答案 D
5.解析因为α∈⎝⎛⎭⎫
π2，π，所以sin α>0，
则sin ()π＋α＝－sin α＝－1－cos 2 α＝－1－k 2，故选A. 答案 A
6.解析由题意得，A ＋B ＞π2即A ＞π
2－B ，且A ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，π2－B ＞0，故sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎫π
2－B ＝cos B ，即sin A －cos B ＞0， 3cos A －1＞3×12－1＝1
2，
故点P 在第一象限. 答案 A
7.解析 sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝45，又α为第二象限角，
所以cos α＝－1－sin 2α＝－3
5.
答案－3
5
8.解析设点A(3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA|＝2，由三角函数的定义可知：sin θ＝12，cos θ＝3
2，
则θ＝2kπ＋π
6(k ∈Z)，
则A(2cos θ，2sin θ)，
设B(x ，y)，由已知得x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2kπ＋2π
3＝－1， y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2kπ＋2
3π＝3，所以B(－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α
1－tan 2α＝ 3.
答案 (－1，3) 3。