1.3.2函数的最大(小)值
人教A版必修一1.3.1.2函数的最大(小)值
探究要点二：函数的最值与值域、单调性之间的关系 1.对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数
如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素. 2.函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间［a，b］上是减函数，则f（x）在［a，b］上的最 大值为f（a），最小值为f（b）； 若函数在闭区间［a，b］上是增函数，则f（x）在［a，b］上的最 大值为f（b），最小值为f（a）. 探究要点三：分段函数的最大、最小值 函数的最大、最小值是函数的“整体”的性质，而对于分段函数的 最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大者；其最小值是 各段上最小值中的最小者.
类型三：分段函数的最大（小）值
2 1 x ( x 1) 2 已知函数f（x）= 1 (1 x 2) x
求f（x）的最大值、最小值. 思路点拨：先求出f（x）在各段上的最大值和最小值，再比较，即得f（x） 的最大值、最小值.
规律方法：分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段 上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的 最值，再比较即得函数的最大值、最小值.
第2课时
函数的最大（小）值
链接一：函数单调性的三种判断方法：①图象法；②定义法；③利用已知函数 的单调性来判断. 链接二：二次函数的最值
ห้องสมุดไป่ตู้
1.最大值 （1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
那么，称M是函数y=f（x）的最大值. （2）几何意义：函数y=f（x）的最大值是图象最高点的纵坐标. 2.最小值 （1）定义：一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的 那么，称M是函数y=f（x）的最小值. （2）几何意义：函数y=f（x）的最小值是图象最低点的纵坐标.
人教A版高一数学必修一《1.3.2函数的最大、最小值》精品课件
－2x＋1 3 2x－1
x≤－1 －1＜x≤2 x＞2
其图象如下图所示，显然函数值 y≥3，所以函 数有最小值 3，无最大值．
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
利用函数单调性求最值 x 求函数 f(x)＝ 在区间[2,5]上的最大 x－1 值与最小值．
第2课时
函数的最大值、最小值
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1.理解函数的最大(小) 值及其几何意义. 2.会求一些简单函数的 最大值或最小值.
1.利用函数单调性求函 数最值．(重点) 2.体会数形结合思想的 运用．(难点)
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
1．从函数f(x)＝x2的图象上还可看出，当x＝0 最小值 ．而对于f(x) 时，y＝0是所有函数值中_______ ＝－x2来说，x＝0时，y＝0是所有函数值中 最大值 ． _______
2x＋6 2． 函数 f(x)＝ x＋7
x∈[1，2] ， 则 f(x) x∈[－1，1] 的最大值、最小值为( ) A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不对
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
解析： 本题为分段函数最值问题，其最大值 为各段上最大值中的最大值，最小值为各段上 最小值中的最小值． 当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10， 当－1≤x≤1时，6≤x＋7≤8. ∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10. 答案： A
必修1 第一章
集合与函数的概念
栏目导引
[题后感悟] (1)实际问题．要理解题意，建立 数学模型转化成数学问题解决． (2)分清各种数据之间的关系是正确构造函数关 系式的关键.
1.3.2 极大值与极小值
f (x)
f(x) <0 减
f(x) =0 f(x) >0 极小值 增
o
a
b x0
x
f(x)
请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
左正右负为极大，右正左负为极小
学生活动
函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D ) A 导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值
高中数学 选修２-２
知识回顾：导数与函数的单调性的关系
一般地， 设函数y＝f(x) ， 1)如果在某区间上f (x)＞0 ，那么f (x)为该 区间上的增函数， 2)如果在某区间上f (x)＜0 ，那么f (x)为 该区间上的减函数．
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
b
x
利用导数讨论函数单调的步骤:
（1）求y＝f(x)的定义域D （2）求导数f (x) （3）解不等式f (x)＞0；或解不等式f (x)＜0. （4）与定义域求交集 （5）写出单调区间
忆一忆
基本求导公式：
（1）(kx＋b)＝k（ k，b为常数）， 特殊地： C ＝0（C为常数） （2）(xα)＝ αxα－1（α为常数）
极大值 极小值
学生活动
（1）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （ ）极值是函数的最值吗？ （ 21 ）函数的极值不一定惟一 ,在整个定 （2）函数的极值只有一个吗？ 义区间内可能有多个极大值和极小值； （ ）极大值一定比极小值还大吗？ （ 33 ）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. y P(x1,f(x1)) y=f(x)
o
1.3.1.2函数的最大(小)值(用)
.
思 考
能否仿照函数的最大值的定义，给出函数y=f(x) 的最小值的定义呢？ 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果实数M满足：
（1）对于任意的的x∈I，都有f(x) ≥M;
（2）存在x0 I ，使得 f(x0 ) = M ， 那么我们称M是函数y=f(x)的最小值
思 考
函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？
是
思 考
如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2，使对 定义域内任意x都有 f(x1 ) f(x) f(x2 )成立，由 此你能得到什么结论？如果函数f(x)的最大值是b， 最小值是a，那么函数f(x)的值域是[a，b]吗？
函数f(x)在定义域中既有最大值又有最小值.
探究:函数单调性与函数的最值的关系
h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 的图像。显然， 解：作出函数
函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距 地面的高度. 由二次函数的知识，对于函数 h h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 ，我们有
20 15 10 5
f(m)
m
I
n
x
例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h t = -4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少
精确到1米 ?
（1）若函数y=f (x)在区间[m，n] (m<n)上单调递增，
则函数y=f (x)的最值是什么？
2021年新高一数学教学设计：1.3.1(2)函数的最大(小)值(人教A版必修1)
1.3.1（2）函数的最大（小）值（教学设计） 教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和争辩函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 教学过程： 一、 复习回顾，新课引入1、用定义证明函数的单调性：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 2、画出下列函数的图象，并依据图象解答下列问题： ○1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； ○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(+-=x x f（2）32)(+-=x x f ]2,1[-∈x （3）12)(2++=x x x f（4）12)(2++=x x x f ]2,2[-∈x二、师生互动，新课讲解：（一）函数最大（小）值定义 1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，假如存在实数M 满足： （1）对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ； （2）存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ）．思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value ）的定义．设函数)(x f y =的定义域为I ，假如存在实数M 满足： （1）对于任意的I x ∈，都有M x f ≥)(；（2）存在I x ∈0，使得M x f =)(0．那么，我们称M 是函数)(x f y =的最小值(minimum value)． 留意：○1 函数最大（小）首先应当是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M ； ○2 函数最大（小）应当是全部函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M （f(x)≥M ）． 2．利用函数单调性的推断函数的最大（小）值的方法（1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 （2）利用图象求函数的最大（小）值（3）利用函数单调性的推断函数的最大（小）值1）假如函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；2）假如函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； （二）典型例题例1．（课本P30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解一：（顶点法）； 解二：（配方法）y=-4.9（x-1.5）2+29.025说明：对于具有实际背景的问题，首先要认真审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．变式训练1：如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，假如矩形一边长为x ，面积为y ，试将y 表示成x 的函数，并画出函数的大致图象，并推断怎样锯才能使得截面面积最大？例2：（课本P31例4）求函数12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值． 分析：函数单调性求最值。
1、3、1、2函数的最值教案
1、3、1、2函数的最值三维目标：（1）理解函数最大值、最小值的定义。
会求二次函数在给定区间的最大值或最小值。
（2）提高分析问题和解决问题的能力,进一步领悟分类讨论、数形结合的数学思想方法。
（3）通过独立思考过程，提高合作、交流和探究的能力。
教学重点：二次函数的最大值与最小值的求法。
教学难点：函数最大值、最小值定义的理解。
一、【学习目标】（约2分钟）1、理解最值的含义及函数有最值的几何意义；2、会利用数形结合的思想解决最值问题.【教学效果】：注意强调自然语言向符号语言的转变.二、【自学内容和要求及自学过程】（约25分钟）（教师注意：此次讲课还是一个引导归纳的过程，先引导，再归纳，是至关重要的）(自学引导：注意学会自己归纳出最大值存在性定理，事实上，存在性定理虽然含有许多数学符号，但是含义很好理解)阅读下列材料，自学教材第30页内容，然后回答问题（约15分钟）材料：下图是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x∈［-1,+∞)、y=f(x)的图象.观察下列三个图像你能说出它们有什么共同特征吗？<1>你是怎样理解函数的最高点的？用你自己的语言叙述一下；<2>在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如下图所示，设点C的坐标为(x0,y)，你能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？<3>在数学中，函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.你能给出函数最大值的定义吗？<4>函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？<1>图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值；<2>由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方（或和点C的y值相等），即对定义域内任意x，都有y≤y0，即f(x)≤f(x)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)≤f(x)成立；<3>一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；（2）存在x0∈I，使得f(x)=M(定义域优先的原则).那么，称M是函数y=f(x)的最大值；<4> f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于（注意：不是“小于”）实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.【教学效果】：学生基本上都能理解最大值的含义，但是对于自然与言向符号语言的过度，还是存在着障碍的.<1>函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗？为什么？点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点？由这个问题你发现了什么值得注意的地方？<2>类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义；<1>讨论函数的最大值，（要坚持定义域优先的原则）；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点；<2>函数最小值的定义是：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；（2）（存在x0∈I，使得f(x)=M）.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标；讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，（最低点必须是函数图象上的点）.【教学效果】：学生对于平面直角坐标系中的点的坐标代表的含义，还是存在着障碍.三、【练习与巩固】（约10分钟）快速浏览教材第30页例3，认真自学教材第31页例4，然后完成下列练习（自学引导：例4是一个经典的题目，数形结合，增减性判断等等，希望同学们能挖掘出题目的内涵）练习一：请你合上课本，把例4自己演算一遍； 练习二：教材第32页练习第5题.（教师注意：其实练习一也就是例4是一个函数增减性问题的判定，函数单调性问题是很重要的，下面的又给了一个思考题，就是判断增减性的，老师们在讲解的时候一定要注意再提一提函数的增减性的判断）【教学效果】：对于例4学生是似懂非懂，教学效果不是很好.思考：已知函数f(x)=x+x1,x>0， （1）证明当0<x<1时，函数f(x)是减函数；当x≥1时，函数f(x)是增函数.（2）求函数f(x)=x+x1,x>0的最小值<1>略；<2>（1）解：任取x 1、x 2∈（0，+∞）且x 1＜x 2，则f （x 1）－f （x 2）=（x 1＋11x ）－（x 2+21x ）=（x 1－x 2） +2112x x x x -=212121)1)((x x x x x x --， ∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0.当0＜x 1＜x 2＜1时，x 1x 2-1<0，∴f（x 1）－f （x 2）＞0.∴f （x 1）＞f （x 2），即当0<x<1时，函数f(x)是减函数.当1≤x 1＜x 2时，x 1x 2-1>0，∴f（x 1）－f （x 2）＜0.∴f（x 1）＜f （x 2）,即当x≥1时，函数f(x)是增函数. （2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+x1,x>0取最小值.又f(1)=2，则函数f(x)=x+x1,x>0取最小值是 2.解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+x1,x>0的图象，如图所示，由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+x1,x>0取最小值f(1)=2. 点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：①先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：①如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递增，在区间［b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；②如果函数y=f(x)在区间(a,b ］上单调递减，在区间［b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.【教学效果】：四、【作业】1、必做题：教材第39页习题1.3B 组第1题（20）；2、选做题：教材第39页A 组第4、5题. 五、【小结】本节课主要讲了函数的最值.函数的最值包括最大值和最小值，最主要是讲解函数的最大值，然后通过类比得到函数的最小值的含义.这节课的重点是通过教学，培养学生从自然语言到数学符号语言的过度. 六、【反思】。
《函数单调性与最大(小)值(第2课时)》教学设计
第三节 函数的基本性质1.3.1 第二课时 函数的最大（小）值（李波）一、教学目标（一）核心素养教材以二次函数2()f x x =图象为例,观察出函数图象的最低点(0,0),这给我们提供了一种求函数最值的方法“图象观察法”,这也是一种最直接,最直观的方法.结合上一课时函数的单调性,学生通过函数图象,研究函数性质,寻求最值.在实际生活中,常遇到最值问题,我们是通过建立函数模型来进行研究,体现了数学与社会生活紧密联系.本节课,在探究函数的最值问题中,不断培育学生的数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养.（二）学习目标1.通过函数图象,理解函数最大（小）值及几何意义．2.结合函数单调性求最大（小）值．3.函数最大（小）值的实际问题中的应用．（三）学习重点1.理解函数最大（小）值的概念及几何意义．2.求函数的最大（小）值．（四）学习难点结合函数单调性求最大（小）值．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有______;（2）存在0x I ∈,使得_______,那么我们称M 是函数()y f x =的最____值. 详解:()f x M ≤;0()f x M =;大或 ()f x M ≥;0()f x M =;小．2．预习自测（1）作函数22y x x =-+的图象,指出函数是否有的最值？若有,请求出最值． 详解:有最大值,无最小值;最大值为1．(二)课堂设计1.知识回顾（1）常见初等函数的图象．（2）函数的单调性．2.问题探究探究一 通过函数图象,函数最高（低）点的位置特征及几何意义●活动① 学生作函数y x =,1y x =,2y x =图象,观察图象的最高（低）点生:y x =图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点;1y x=图象上下无限延伸,没有最高点,也没有最低点,且中间断开; 2y x =图象往上无限延伸,没有最高点,最低点在(0,0)处;师:结合图像观察结论,能否阐述函数图象最高（低）点的位置特质及几何意义？ 生:2y x =图象最低点在(0,0)处.仔细观察发现,位置特征:最低点位于函数图象上,不是图像外的其他点;几何意义:函数图象上所有点在坐标系中的位置都高于它或和它一样高（最低点本身）.【设计意图】观察图象易找到最高（低）点,教学时对最高（低）点的位置特征、几何意义进行探究,展现数学概念生成的过程,培养学生严谨的逻辑推理能力. ●活动② 图象的最高（低）点所体现的函数对应关系本质师:点之间位置高度的如何量化,更显数学的严谨性.由第一课时函数单调性推导,我们在描述()f x 随着x 的增大而增大,任取点11(,)A x y 到22(,)B x y ,其中12x x <刻画x 的增大,因此,我们是借助于点的坐标来探究.同学们可以想一想:在坐标系中,图象的点的高度,是由构成图象点的纵坐标决定的.师:下面以2y x =图象最低点在(0,0)O 为例,探究函数对应关系本质图象上其他点的位置不低于点O⇔图象上任意点(,)Q x y 位置不低于点(0,0)O⇔任意点(,)Q Q Q x y 的纵坐标Q y 的值与(0,0)O 纵坐标O y 的值关系:Q O y y ≥;而任意点(,)Q Q Q x y 的横坐标Q x 的值与(0,0)O 横坐标O x 的关系:,Q O x x R ∈（定义域） ⇔定义域R 内,寻求纵坐标的最小值因此,我们可以下结论:函数图象的最高（低）点(,)Q Q Q x y 的实质是:函数在定义域内任取x 所对应的y 值小于或等于（大于或等于）该点的函数值Q y ;也可以这样描述,函数整个定义域I 内的函数值y 在Q x x =处有最大（小）值Q y ,称Q y 为函数的最大（小）值.关系流程如图:【设计意图】从图象的最高（低）点的“形”,如何过渡到最大（小）值这个“数”,是教学设计的重点.我们从最高（低）点的位置特征,几何意义分析,让学生充分认识到点的坐标,是图象的构成元素点的数量体现,对“形”的认识自然过渡到“数”的分析.点的坐标由横、纵坐标组成,在坐标系中图象上的点投影在x 轴所覆盖的范围、y 轴所覆盖的范围,分别对应了函数的定义域和值域.最高（低）点的横、纵坐标,在坐标系中该点投影在x 轴是其横坐标取值、y 轴上是其纵坐标取值,与其他点投影到y 轴上的值相比较,是最大（小）值,同时该点横、纵坐标分别对应了定义域内某个值,值域内的最大（小）值.●活动③函数最大（小）值的概念师:由以上的推导,我们能否生成函数最大（小）值的概念?生:存在某个值使得所有函数值都比它大（小）也可相等．师:由几何特征,这个值在值域中吗？请继续完善．生:这个值在值域中.值域中存在某个值,使得所有函数值都比它大（小）． 师:函数定义域优先,值域中某个值是否有一个x 与之对应？生:至少有一个x 与之对应,即存在性．师:一般地,设函数()f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:（1）对任意的x I ∈,都有()f x M ≤（()f x M ≥）;（2）存在0x I ∈,使得0()f x M =,那么我们称M 是函数()y f x =的最大（小）值.【设计意图】学生要充分认识图象的最高（低）点的位置、该点坐标形式、坐标的对应实质这三者之间的联系,才能从“形”的位置特征及几何意义,到“数”对应方式,呈现了函数最大（小）值概念的生成过程.探究二 结合函数单调性求最大（小）值●活动①由图象观察函数最值．例1已知函数()11f x x x =++-．（1）画出()f x 的图象;（2）根据图象写出()f x 的最小值．【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】（1）解:()11f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其图象如图所示:（2）由图象,得函数()f x 的最小值为2.【思路点拨】画出函数()y f x =的图象,依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值．【答案】（1）略;（2）2.同类训练 如图为函数()y f x =,[4,7]x ∈-的图象,指出它的最大值、最小值．【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是( 1.5,2)--,所以当3x =时取得最大值,最大值是3;当 1.5x =-时取得最小值,最小值是－2.【思路点拨】从左至右观察图象,在最高（低）点对应的纵坐标值,为函数的最大（小）值.【答案】3,-2．【设计意图】考查学生如何观察函数最值●活动②利用函数单调性求最值例2:求函数21y x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值． 【知识点】函数单调性 最值．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[2,6]x x ∀∈,且12x x <211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----， 12,[2,6]x x ∈,12(1)(1)0x x ∴-->．12x x <,120x x ∴->,12()()0f x f x ∴->,即12()()f x f x >．21y x ∴=-是区间[2,6]上的减函数． 因此,函数21y x =-在区间[2,6]的两个端点分别取得最大值与最小值,即在2x =时取得最大值,最大值为2,在6x =时取得最小值,最小值为0.4．【思路点拨】由图象可观察函数单减,在2x =处有最大值,在6x =处有最小值.在实际解答题中,能说明函数的单调性应先证明,再求最值．【答案】2，0.4．同类训练 求函数4()f x x x=+在[1,2]x ∈上的最大值与最小值． 【知识点】函数单调性．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:12,[1,2]x x ∀∈,且12x x <，则121212121212444()()()()()x x f x f x x x x x x x x x --=+-+=-． 12x x <,120x x ∴-<，1212,[1,2](1,4)x x x x ∈∴∈，，1212401x x x x ∴-＜，＞，1212()()0()().f x f x f x f x ∴-＞，即＞4()f x x x∴=+在[1,2]x ∈上是减函数． 从而函数的最大值是(1)145f =+=,最小值是(2)224f =+=．【思路点拨】由函数单调性求最值．【答案】5,4．【设计意图】求函数最值时,首先判定函数在给定区间的单调性,结合函数图象,在区间的端点值处取得最值.●活动③二次函数的最值问题例3求函数2()22f x x ax =-+在[2,4]上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x ax =-+的对称轴是x a =，当2a <时,()f x 在[2,4]上单增,min ()(2)64f x f a ==-，当4a >时,()f x 在[2,4]上单减,min ()(4)188f x f a ==-，当24a ≤≤时,2min ()()2f x f a a ==-．综上所述2min64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 64,2()2,24188,4a a f x a a a a -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩同类训练 求函数2()22f x x x =-+在[,1]t t +上的最小值．【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想．【解题过程】解:函数2()22f x x x =-+的对称轴是1x =．当110t t +<⇒<时,()f x 在[,1]t t +上单减,2min ()(1)1f x f t t =+=+； 当1t >时,()f x 在[,1]t t +上单增,2min ()()22f x f t t t ==-+；当1101t t t ≤≤+⇒≤≤时,min ()(1)1f x f ==．综上所述2min21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩【思路点拨】二次函数在闭区间上求最值,关键是根据图象的对称轴相对于所给区间的位置来确定,对于含字母系数的二次函数的最值,要注意分类讨论.【答案】2min 21,0()1,0122,1t t f x t t t t ⎧+<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩例4 函数2()34f x x x =--的定义域为[0,]m （0m >）,值域为25[,4]4--,求m 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:2()34(4)(1)f x x x x x =--=-+如图min 325()()24f x f ==-,=-43[,3]2m ∴∈． 【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.同类训练:函数2()23f x x x =-+在[0,]a （0a >）上最大值是3,最小值是2,求a 的取值范围.【知识点】二次函数图象性质．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】解:22()23(1)2f x x x x =-+=-+如图:要取到最小值2,a 必须对称轴1x =右侧取值．最大值为3,则a 的必须在对称轴1x =左侧取值．[1,2]a ∴∈．【答案】[1,2]a ∈．【思路点拨】由值域求定义域,本质是求值域方法的逆向思维,根据图象找到最值所对应的图象段,投影到x 轴,找到相应的变化范围.【设计意图】通过值域寻求定义域的问题,结合二次函数图象,找出对应的坐标轴的取值范围．●活动④函数关系中恒成立问题例5已知函数223()x x f x x++=([2,)x ∈+∞)． (1)求()f x 的最小值;(2)若()f x a >恒成立,求a 的取值范围．【知识点】函数单调性求最值，恒成立问题转化．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:(1) 12,[2,)x x ∀∈+∞,且12x x <，223()x x f x x++=则12121212(3)()()()x x f x f x x x x x --=-．12x x <,120x x ∴-<，12,[2,)x x ∈+∞,124x x ∴>,1230x x ∴->，12()()0f x f x ∴-<,即12()()f x f x <． 故函数223()x x f x x++=在[2,)+∞上为增函数． ∴当2x =时,()f x 有最小值,即11(2)2f =． (2) ()f x 有最小值为11(2)2f =． ()f x a >恒成立,只需min ()f x a >,即112a <． 【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题．【答案】（1）112;（2）112a <． 同类训练 函数2()3f x x x a =++-,[1,1]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】函数单调性、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想．【解题过程】解:[1,1],()0x f x ∈-≥恒成立，23a x x ∴≤++,[1,1]x ∈-时恒成立．记:2()3g x x x =++， 只需min 11()4a g x ≤=,即114a ≤． 【思路点拨】恒成立问题,常分离变量,转化为求函数最值问题． 【答案】114a ≤． 例6 函数2()3,f x x ax a =++-若[2,3]a ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数x 的取值范围.【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】变量分离思想、等价转化思想、分类讨论思想．【解题过程】解:22()3(1)(3)f x x ax a a x x =++-=-++,[2,3]a ∈-,()0f x ≥恒成立，记:2()(1)(3)g a a x x =-++，转化为()0g a ≥恒成立,[2,3]a ∈-．当1x =时,()40g a =>恒成立1x ∴=…………….①当1x >时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单增,22min ()(2)25(1)40g a g x x x =-=-+=-+>恒成立,1x ∴>…………….②当1x <时,2()(1)(3)g a a x x =-++在[2,3]-上单减，2min ()(3)30g a g x x ==+> 31x x ∴≤-≤<或0…………….③由①②③:(,3][,)x ∈-∞-⋃+∞0．【思路点拨】也可用二次函数图象问题求解,若向一次函数图象问题转化,问题变得相对容易．【答案】(,3][,)-∞-⋃+∞0．同类训练 函数2()3,f x x ax a =++-[2,2]x ∈-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围．【知识点】一次函数图象性质、不等式恒成立问题．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】函数2()3f x x ax a =++-图象的对称轴是2a x =-． 当22a -≤-,即4a ≥时,()f x 在[2,2]-上单增,min ()(2)730f x f a =-=-≥73a ∴≤． a ∴∈Φ………….① 当22a -≥,即4a ≤-时,()f x 在[2,2]-上单减,min ()(2)70f x f a ==+≥7a ∴≥-， [7,4]a ∴∈--．…………….②当222a -<-<,即44a -<<时,2min 412()()024a a a f x f ---+==≥62a ∴-≤≤， (4,2]a ∴∈-．………….③由①②③:[7,2]a ∈-．【思路点拨】对称轴与给定区间位置不同关系,由函数图象观察单调性,结合最值求解．【答案】[7,2]a ∈-．【设计意图】函数的最值与单调性的关系:若函数在闭区间[,]a b 上是减函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f a ,最小值为()f b ;若函数在闭区间[,]a b 上是增函数,则()f x 在[,]a b 上的最大值为()f b ,最小值为()f a ．探究三 函数最大（小）值的实际问题中的应用●活动① 生活问题构建函数模型例7 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:2400,0400()280000,400x x x R x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩,其中x 是仪器的月产量． （1）将利润表示为月产量的函数()f x ;（2）当月产量为何值时,公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:（1）月产量为x 台,则总成本为20000100x +元,从而⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-=)400(,10060000)4000(,2000030021)(2x x x x x x f（2）当0400x ≤≤时,21()(300)25000,2f x x =--+ 当300x =时,max ()25000f x =；当400x >时,()60000100f x x =-是减函数,()60001004002000025000.f x <-⨯=<综上所述：300x ∴=时,max ()25000f x =．即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．【思路点拨】分段函数模型要注意x 的不同取值范围,所对应的利润求值问题．【答案】（1）2130020000,(0400)()260000100,(400)x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩;（2）每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元．同类训练 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,售价应为多少元？最大利润是多少？【知识点】数学建模．【数学思想】函数与方程思想．【解题过程】解:设售价为x 元,利润为y 元,单个涨价50x -元,销量减少10(50)x -个． 2(40)[50010(50)](40)(100010)10(70)9000.y x x x x x =---=--=--+故当70x =时,max 9000y =所以售价为70元时,利润最大为9000元．【思路点拨】构建一元二次方程求最值．【答案】售价为70元时,利润最大为9000元．【设计意图】 （1）解决实际问题,首先要理解题意,然后建立数学模型转化成数学问题解决．（2）分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．3. 课堂总结知识梳理（1）通过函数图象,探究函数最大（小）值及几何意义．（2）结合函数单调性求函数最大（小）值．（3）函数最大（小）值在实际问题中的应用．重难点归纳（1）函数最大（小）值概念的生成．（2）求函数最大（小）值．（三）课后作业基础型 自主突破1.若函数()f x x =则（ ） A ()f x 的最大值为0,无最小值 B ()f x 无最大值,最小值为0C ()f x 的最大值为+∞,最小值为0D ()f x 的最大值为0,最小值为-∞【知识点】图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】如图: ()f x x =在(,0),[0,)-∞+∞在0x =处有最小值(0)0f =,无最大值【思路点拨】由图象观察求最值【答案】B 2.若函数26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为（ ） A 10,6 B 10,8 C 8,6 D 8,8【知识点】一次函数图象性质【数学思想】【解题过程】解:由一次函数单调性26,(1,2]y x x =+∈,7,[1,1]y x x =+∈-,因此26,12()7,11x x f x x x +<≤⎧=⎨+-≤≤⎩在区间[1,2]x ∈-,min max ()(1)6,()(2)10f x f f x f =-===【思路点拨】也可用图象观察的方法.【答案】A3.函数2()2f x x x =+（1）在(2,5]-的最大值,最小值分别是________（2）在(1,2]-的最大值,最小值分别是________【知识点】二次函数图象【数学思想】数形结合思想【解题过程】函数2()2f x x x =+对称轴1x =-（1）(2,5]x ∈-,函数在1x =-处有最小值,min ()(1)1f x f =-=-在5x =处有最大值,max ()(5)35f x f ==（2）函数在(1,2]-上单增,在2x =处有最大值,max ()(2)8f x f ==【思路点拨】给定区间求最值,作图观察.【答案】（1）35,-1;（2）8,无4.函数1()12f x x=--在(2,5]x ∈上的值域是______ 【知识点】函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:函数11()122x f x x x-=-=--,定义域为(,2)(2,)-∞⋃+∞ 由一次分函数图象知: ()f x 在(2,5]上单减min 4()(5)3f x f ==,函数无最大值【思路点拨】可用定义法证明函数单调性,也可分析法2y x =-在(2,5]为减,12y x =-在(2,5]为增, 112y x=--在(2,5]为减. 【答案】4[,)3+∞ 5. 已知二次函数()f x 满足且()f x 的最大值为8,求此二次函数的解析式【知识点】待定系数法求函数解析式 【数学思想】函数与方程的思想【解题过程】解:设2()(0)f x ax bx c a =++≠ (2)(1)1f f =-=-,()f x 的最大值为824211484a b c a b c ac b a ⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得447a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2()447f x x x ∴=-++【思路点拨】也可以用顶点式、两点式求解【答案】2()447f x x x =-++6. ()1f x ax =+在[1,2]上的最大值与最小值之差为2,求a 的值【知识点】一次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:()1f x ax =+当0a =时,()1f x =常值函数,在[1,2]上无单调性当0a >时,()1f x ax =+在[1,2]上单增,min max ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+ max min ()()(21)(1)2f x f x a a a ∴-=+-+==当0a <时,()1f x ax =+在[1,2]上单减,max min ()(1)1,()(2)21f x f a f x f a ==+==+max min ()()(1)(21)22f x f x a a a a ∴-=+-+=-=⇒=-【思路点拨】一次函数y kx b =+的单调性,0,();0,()k f x k f x ><【答案】2或-2能力型 师生共研7.已知2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[1,5]上的最小值为(5)f ,求a 的范围【知识点】二次函数单调性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()2(1)2f x x a x =+-+对称轴为1x a =- min ()(5)f x f =2()2(1)2f x x a x ∴=+-+在区间[1,5]单减,称轴为154x a a =-≥⇒≤-【思路点拨】【答案】4a ≤-8.设1()1f x kx x =--,其中1k >,若()f x 在[2,)+∞上有最小值,求k 的值 【知识点】单调性应用【数学思想】【解题过程】解:11()11f x kx kx x x =-=+--,其中y kx =,11y x =-在[2,)+∞均单调递增1()1f x kx x ∴=--在[2,)+∞单增min 3()(2)2f x f k ⇒=⇒= 【思路点拨】性质法判断函数单调性【答案】32k = 探究型 多维突破9.若函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-的最大值为178,求a 的值.【知识点】二次函数根的分布【数学思想】数形结合思想、分类讨论思想【解题过程】解:函数2(),[1,1]f x ax x a x =+-∈-当0a =时,()f x x =在[1,1]-上单增,max ()(1)1f x f ==矛盾当0a >时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a =-< max ()(1)1f x f ∴==矛盾当0a <时,函数2()f x ax x a =+-图象对称轴102x a=-> 当112a -≤,即12a ≤-时, 2max14117()()248a f x f a a --=-==,2a ∴=- 当112a ->,即102a -<<时max ()(1)1f x f ∴== 矛盾 综上所述:2a =-【思路点拨】二次函数根的分布问题,结合函数图象及函数在区间上的单调性讨论【答案】2a =-10.建造一个容积为6400立方米,深为4米的长方体无盖蓄水池,池壁的造价为每平方米200元,池底的造价为每平方米100元．（1）把总造价y 元表示为池底的一边长x 米的函数;（2）由于场地原因,蓄水池的一边长不能超过40米,问蓄水池的这个底边长为多少时总造价最低？总造价最低是多少？【知识点】数学建模【数学思想】函数与方程思想【解题过程】解:（1）由已知池底的面积为640016004=平方米,底面的另一边长为1600x 米, 则池壁的面积为:160024()x x⨯⨯+平方米． 所以总造价: 16001600()160000,(0,)y x x x=++∈+∞ （2）由题意知16001600()160000,(0,40]y x x x=++∈ 设12040x x <<≤,则121212121212(1600)160016001600()1600()1600()x x y y x x x x x x x x --=+-+=- 12040x x <<≤,120x x ∴-<,1201600x x ∴<<1216000x x ∴-<,120y y ∴->即12y y >从而这个函数在(0,40]上是减函数,故当40x =时,min 288000y =所以当池底是边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.【思路点拨】函数单调性求最值【答案】边长为40米的正方形时,总造价最低为288000元.自助餐1.函数2()43,[1,4]f x x x x =-+∈,则()f x 的最大值为（ ）A. -1B.0C.3D.-2【知识点】二次函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:2()43(1)(3)f x x x x x =-+=--, 如图:max ()(4)3f x f ==【思路点拨】给定区间求最值【答案】C2.函数()21f x x x =-+的值域为（ ）A.1[,)2+∞B.1(,]2-∞ C.[1,)+∞ D.(0,)+∞ 【知识点】函数值域【数学思想】等价转化思想【解题过程】()21f x x x =-+定义域1[,)2+∞ 21,y x y x =-=在1[,)2+∞上单增 ()21f x x x ∴=-+在1[,)2+∞上单增,∴值域1[,)2+∞ 【思路点拨】性质法判断函数单调性,再求最值【答案】A3. 函数2202,()02,x x x f x x x -≤≤⎧--=⎨<≤⎩,则()f x 的最大值、最小值分别为______ 【知识点】分段函数求最值【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:如图所示max ()(2)2f x f ==min ()(2)(0)0f x f f =-==【思路点拨】分段函数在对应区间求一次函数、二次函数的最值【答案】2,04.函数2()45f x x x =-+在[0,]m 上的最大值5,最小值1,则m 的取值范围______【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:22()45(2)1f x x x x =-+=-+如图所示:max ()(0)(4)5f x f f ===min ()(2)1f x f == [2,4]m ∴∈【思路点拨】由值域反推定义域【答案】[2,4]5.已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-（1）当1a =-时,求函数()f x 的最大值和最小值（2）函数()y f x =在区间[5,5]-上是单调函数,则a 的取值范围【知识点】二次函数图象性质【数学思想】数形结合思想【解题过程】解:（1）当1a =-时,22()22(1)1f x x x x =++=++ [5,5]x ∈-,min ()(1)1f x f ∴=-=,max ()(5)37f x f =-=（2）22()()2f x x a a =++-,函数对称轴x a =-函数在区间[5,5]-上是单调函数,5a ∴≤-或5a ≥【思路点拨】二次函数的对称轴与开口方向,决定了函数单调区间6.求函数223,[1,2]y x ax x =--∈的最大值()M a 和最小值()m a .【知识点】二次函数单调性【数学思想】分类讨论思想【解题过程】解:函数2()23f x x ax =--的对称轴是x a = 当1a <时,()f x 在[1,2]上单增,min ()(1)22()f x f a m a ==--=max ()(2)14()f x f a M a ==-=当2a >时,()f x 在[1,2]上单减,max ()(1)22()f x f a M a ==--=min ()(2)14()f x f a m a ==-=当12a ≤≤时,2min ()()3()f x f a a m a ==--= 最大值由区间端点与对称轴决定1 1.5a ≤≤max ()(2)14()f x f a M a ==-=1.52a <≤max ()(1)22()f x f a M a ==--=综上所述:222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩ 【思路点拨】对称轴与区间的位置关系,分类讨论【答案】222,1()3,1214,2a a m a a a a a --<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩,14, 1.5()22, 1.5a a M a a a -<⎧=⎨--≥⎩。
高中数学必修一函数的最大(小)值练习题测试题及答案解析
1.3.1.2函数的最大（小）值双基限时练 新人教A 版必修11．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A.13 B ．－12C ．1 D.12解析 函数y ＝1x －1在[2,3]上是减函数，∴当x ＝3时，取最小值为12. 答案 D2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1，则函数f (x )的最大值和最小值分别为( )A ．8,6B ．8,8C ．10,6D ．10,8解析 当x ∈[1,2]时，f (x )∈[8,10]；当x [－1,1)时，f (x )∈[6,8)，∴f (x )的最大值和最小值分别为10,6.答案 C3．函数y ＝|x ＋1|＋2的最小值是( ) A ．0 B ．－1 C ．2D ．3解析 y ＝|x ＋1|＋2的图象如下：所以最小值为2. 答案 C4．函数f (x )＝x 2＋2x －1，x ∈[－3,2]的最大值、最小值分别为( ) A ．9,0 B ．7,3 C ．2，－2D ．7，－2解析 f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，∴当x ＝－1时，有最小值－2，当x ＝2时，有最大值7.答案 D5．函数f (x )＝2x －1＋x 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 易知当x ≥12时，函数f (x )为增函数，故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.答案 A6．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，若该公司在两地共销售15辆(销售量单位：辆)，则能获得的最大利润为( )A ．90万元B ．60万元C ．120万元D ．120.25万元解析 设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，则利润y ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1922＋4814∴当x ＝9或10时，可获最大利润120万元． 答案 C7．函数y ＝1x 在[1，a ]上的最小值为14，则a ＝______.解析 ∵y ＝1x在[1，a ]上是减函数，∴最小值为f (a )＝1a ＝14，∴a ＝4.答案 4 8．函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的值域为________．解析 f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，易知f (x )在[2,5]上为减函数，∴最小值为f (5)＝54，最大值为f (2)＝2，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，2 9．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是________．解析 y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，作出图象，由图象知，1≤m ≤2.答案 [1,2]10．函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在[2,3]上有最大值5和最小值2，求a ，b 的值． 解 由f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b 的对称轴为x ＝1知，无论f (x )的单调性怎样，f (x )在[2,3]上存在最值的情况有两种：⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧f ＝5，f＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.11．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最值； (2)若f (x )是单调函数，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∵x ∈[－5,5]，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2的图象是抛物线，其对称轴为x ＝－a . 若函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． 是单调函数，则有－a ≤－5，或－a ≥5， ∴a ≥5，或a ≤－5.故所求实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 12．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ， ∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立， 即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.。
高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必 要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝ －1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x) ＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．
．
• 极小值点、极大值点统称为极值点，> 极大值和极小值统
称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质．
<
减
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时： • (1)如果在x0附近的左侧
，那么f(x0)是极大值； • (2)f′如(x)果＜在0 x0附近的左侧
，那么f(x0)是极小值．
，右侧 f′(x)＞0
，右侧 f′(x)＜0
f′(x)＞0
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值． • [分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断． • [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域
内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝ x3在x＝0处取不到极值． • 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• 设函数y＝f(x)在点x0及其附近可导，且f′(x0)＝0. • (1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)
为函数f(x)的极大值．
• (2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0) 为函数f(x)的极小值．
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考试范围：文科：必考内容：必修①②③④⑤+选修1-1，1-2选考内容：无选考内容理科：必考内容：必修①②③④⑤+选修2-1，2-2，2-3 选考内容（三选二）：选修4-2，4-4，4-5文、理科必考内容：数学①必修第一章集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.1.2 集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念1.2.2 函数的表示法1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大（小）值1.3.2 奇偶性第二章基本初等函数（I）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算2.1.2 指数函数及其性质2.2 对数函数2.2.1 对数与对数运算2.2.2 对数函数及其性质2.3 幂函数第三章函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.1.2 用二分法求方程的近似解3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型3.2.2 函数模型的应用实例数学②必修第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.1.2 简单组合体的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.2.3 平行投影与中心投影1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积1.3.2 球的体积和表面积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4 平面与平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定2.3.3 直线与平面垂直的性质2.3.4 平面与平面垂直的性质第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离第四章圆与方程4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程4.1.2 圆的一般方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.2 基本算法语句1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量间的相关关系2.3.1 变量之间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 随机事件的概率3.1.1 随机事件的概率3.1.2 概率的意义3.1.3 概率的基本性质3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 整数值随机数（random numbers）的产生3.3 几何概型3.3.1 几何概型3.3.2 均匀随机数的产生数学④必修第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角1.1.2 弧度制1.2 任意角的三角函数1.2.1 任意角的三角函数1.2.2 同角三角函数的基本关系1.3 三角函数的诱导公式1.4 三角函数的图像和性质1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质1.4.3 正切函数的性质和图像1.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像1.6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量加法运算及其几何意义2.2.2 向量减法运算及其几何意义2.2.3 向量数乘运算及其几何意义2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法2.5.2 向量在物理中的应用举例第三章三角恒等变换3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 两角差的余弦公式3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式3.2 简单的三角恒等变换数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式√ab≤﹙a+b﹚/2文科必考内容：数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.1 变化率问题3.1.2 导数的概念3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数3.3.2 函数的极值与导数3.3.3 函数的最大（小）值与导数3.4 生活中的优化问题举例数学选修1-2第一章统计案例1.1 回归分析的基本思想及其初步应用1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算第四章框图4.1 流程图4.2 结构图理科必考内容：数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件1.3 简单的逻辑关联词1.3.1 且（and）1.3.2 或（or）1.3.3 非（not）1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词1.4.2 存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程2.2 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的简单几何性质2.3 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.3 双曲线的简单几何性质2.4 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的简单几何性质第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示3.2 立体几何中的向量方法数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的计算1.2.1 几个常用函数的导数1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数1.3.2 函数的极值与导数1.3.3 函数的最大（小）值与导数1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.5.1 曲边梯形的面积1.5.2 汽车行驶的路程1.5.3 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用1.7.1 定积分在几何中的应用1.7.2 定积分在物理中的应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.1 数系的扩充和复数的概念3.3.2 复数的几何意义3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义3.2.2 复数代数形式的乘除运算数学选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分布乘法计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率2.2.2 事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 离散型随机变量的均值与方差2.3.1 离散型随机变量的均值2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用理科选考内容（三选二）：数学选修4-2矩阵与变换第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法三线性变换的基本性质（一）线性变换的基本性质（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用1.恒等变换2.旋转变换3.切变变换4.反射变换5.投影变换第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1. 逆变换与逆矩阵2. 逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1. 二元一次方程组的矩阵形式2. 逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1. 特征值与特征向量2. 特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1. A^nα的简单表示2. 特征向量在实际问题中的应用数学选修4-4坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系1. 平面直角坐标系2. 平面直角坐标系中的伸缩变换二极坐标系1. 极坐标系的概念2. 极坐标和直角坐标的互化三简单曲线的极坐标方程1. 圆的极坐标方程2. 直线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介1. 柱坐标系2. 球坐标系第二讲参数方程一曲线的参数方程1. 参数方程的概念2. 圆的的参数方程3. 参数方程和普通方程的互化二圆锥曲线的参数方程1. 椭圆的参数方程2. 双曲线的参数方程3. 抛物线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线1. 渐开线2. 摆线数学选修4-5不等式选讲第一讲不等式与绝对值不等式一不等式1. 不等式的基本性质2. 基本不等式3. 三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1. 绝对值三角不等式2. 绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式。
函数的最大(小)值与导数(上课用)
[解析] 存在． 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax. 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝4(舍去)． (1)当a>0时，x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如 下表：
2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是 m,若M=m,则f (x) ( A )
A.等于0 B.大于0 C.小于0
D.以上都有可能
堂上练习
3.函数y 1 x4 1 x3 1 x2,在-1,1上最小值为 A
432
A.0 B. 2 C. 1
D. 13 12
4.函数y 2x x2 的最大值为( A ) x 1
A. 3
B.1 C. 1
D. 3
3
2
2
堂上练习
5. 函 数 y=2x3 － 3x2 － 12x+5 在 ［ 0 ， 3 ］ 上 的 最 小 值 是
______-_1_5___.
6.函数 f (x)=sin2x－x在［－
2
,
最小值为_____2__.
2 ］上的最大值为___2__；
7.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分
aa
成___2___和__2____.
课外练习：
例练习题12：：已知函数f (x) 2x3 6x2 a在2，2上有最小值 37 1求实数a的值； 2求f (x)在2，2上的最大值。
解:(1）f (x) 6x2 12x 令f (x) 0解得x 0或x 2
【最新】高二数学苏教版选修2-2讲义：第1章 1.3 1.3.2 极大值与极小值【有解析】
1．3.2极大值与极小值[对应学生用书P16]已知y＝f(x)的图象(如图)．问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值．问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值．1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值．2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值．3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值．观察图(Ⅰ)．问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0.问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.1．极大值与导数之间的关系如下表：增减2．极小值与导数之间的关系如下表：减增1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小．2．函数的极值并不惟一(如图所示)．3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f(x1)是极大值，f(x4)是极小值，而f(x4)>f(x1)．[对应学生用书P17][例1](1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域．[精解详析](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：因此，函数f (x )的极大值为f (－1)＝10； 极小值为f (3)＝－22.(2)函数f (x )＝ln xx 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝e.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：因此函数f (x )的极大值为f (e)＝1e ，没有极小值．[一点通] (1)求可导函数极值的步骤： ①求导数f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )的值在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值．(2)注意事项：①不要忽视函数的定义域；②要正确地列出表格，不要遗漏区间和分界点．1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有________个极小值．解析：由图可知，在区间(a ，x 1)，(x 2,0)，(0，x 3)内f ′(x )>0； 在区间(x 1，x 2)，(x 3，b )内f ′(x )<0. 即f (x )在(a ，x 1)内单调递增， 在(x 1，x 2)内单调递减， 在(x 2，x 3)内单调递增，在(x 3，b )内单调递减．所以，函数f (x )在开区间(a ，b )内只有一个极小值， 极小值为f (x 2)． 答案：12．关于函数f (x )＝x 3－3x 2有下列命题，其中正确命题的序号是________．①f (x )是增函数；②f (x )是减函数，无极值；③f (x )的增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间为(0,2)；④f (0)＝0是极大值，f (2)＝－4是极小值．解析：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝2. 易知当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，减区间是(0,2)；极大值为f (0)，极小值为f (2)．答案：③④3．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝(3x ＋1)(x －1)2x 2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13(因x 2＝－13不在定义域内，舍去)．当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.[例2] 已知f (x[思路点拨] 解答本题可先求f ′(x )，利用x ＝－1时有极值0这一条件建立关于a ，b 的方程组．解方程组可得a ，b 的值，最后将a ，b 代入原函数验证极值情况．[精解详析] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.[一点通] 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则ab ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知：⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＋3＝0，a 2＋a ＋b ＋1＝10， 得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2， 易知在x ＝1的左右两侧都有f ′(x )＞0， 即函数f (x )在R 上是单调递增的， 因此f (x )在x ＝1处并不存在极值，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.ab ＝－44. 答案：－445．已知函数y ＝3x －x 3＋m 的极大值为10，则m 的值为________ . 解析：y ′＝3－3x 2＝3(1＋x )(1－x )， 令y ′＝0得x 1＝－1，x 2＝1，经判断知极大值为f (1)＝2＋m ＝10，m ＝8. 答案：86．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值．解：∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0.解得a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ， ∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，x ＝1，所以f (－1)＝2是极大值，f (1)＝－2是极小值．[例3] 已知a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)； (2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根？ [精解详析] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2； 极大值为f (1)＝a ＋2.由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示．这里，极大值a ＋2大于极小值a －2.(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0或极小值a －2＝0时，曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．[一点通] 极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．7．在例3中当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x ) 与x 轴仅有一个交点？ 解：函数f (x )的大致图象如图所示：当函数f (x )的极大值a ＋2<0或极小值a －2>0时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，所以所求实数a 的范围是a <－2或a >2.8．已知x ＝3是函数f (x )＝a ln(1＋x )＋x 2－10x 的一个极值点． (1)求a ；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若直线y ＝b 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，求b 的取值范围． 解：(1)因为f ′(x )＝a 1＋x ＋2x －10，所以f ′(3)＝a4＋6－10＝0，因此a ＝16.(2)由(1)知，f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)． f ′(x )＝2(x 2－4x ＋3)1＋x ，当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(1,3)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间是(－1,1)和(3，＋∞)，f (x )的单调减区间是(1,3)．(3)由(2)知，f (x )在(－1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，且当x＝1或x＝3时，f′(x)＝0，所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln 2－9，极小值为f(3)＝32ln 2－21，所以要使直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)．因此b的取值范围为(32ln 2－21,16ln 2－9)．根据可导函数极值的定义、方法、步骤，要弄清以下几点：(1)极大(小)值未必是最大(小)值，可以有多个数值不同的极大(小)值；(2)极大(小)值是局部充分小的领域内的最大(小)值；(3)极大(小)值只能在区间的内点取得，常数函数没有极大值，也没有极小值；(4)f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0取得极值的必要条件，不是充分条件．[对应课时跟踪训练(七)]一、填空题1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在区间(a，b)上的图象如图所示，则函数y＝f(x)在(a，b)上极大值点的个数为________．解析：极大值点在导函数f′(x0)＝0处，且满足x0左侧为正，右侧为负，由图象知有3个．答案：32．(新课标全国卷Ⅰ改编)函数f(x) 在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则p是q的________条件．解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故若p 则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故p是q的必要不充分条件．答案：必要不充分3．若函数f(x)＝x·2x在x0处有极小值，则x0＝________.解析：f′(x)＝2x＋x·2x ln 2，令f′(x)＝0，得x＝－1ln 2.答案：－1ln 24．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 取极值的点大于0，则a 的取值范围是________． 解析：令x ＝f (x )，则f ′(x )＝a e ax ＋3， 函数f (x )取极值的点大于0， 即f ′(x )＝a e ax ＋3＝0有正根．当f ′(x )＝a e ax ＋3＝0成立时，显然有a ＜0， 此时x ＝1a ln ⎝⎛⎭⎫－3a ， 由x ＞0可得a ＜－3. 答案：(－∞，－3)5．(福建高考改编)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是________．①∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)； ②－x 0是f (－x )的极小值点； ③－x 0是－f (x )的极小值点； ④－x 0是－f (－x )的极小值点．解析：不妨取函数f (x )＝x 3－x ，则x ＝－33为f (x )的极大值点，但f (3)>f ⎝⎛⎭⎫－33，∴排除①；取函数f (x )＝－(x －1)2，则x ＝1是f (x )的极大值点，但－1不是f (－x )的极小值点，∴排除②；－f (x )＝(x －1)2，－1不是－f (x )的极小值点，∴排除③，∵－f (－x )的图象与f (x )的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得－x 0应为函数－f (－x )的极小值点，∴填④.答案：④ 二、解答题6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4，求函数的极值，并画出函数的大致图象．解：(1)f ′(x )＝x 2－4.解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：从上表看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为f (－2)＝283；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为f (2)＝－43.函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的图象如图所示．7．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )． 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0解得x <－a ，或x >a ， 由f ′(x )<0解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)，f (x )的单调减区间为(－a ，a )．(2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值， f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0. ∴a ＝1.∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3. 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1， 由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1， 在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 结合f (x )的单调性可知m 的取值范围是(－3,1)． 8．(重庆高考)已知函数f (x )＝a e 2x －b e－2x－cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c .(1)确定a ，b 的值；(2)若c ＝3，判断f (x )的单调性；(3)若f (x )有极值，求c 的取值范围．解：(1)对f (x )求导得f ′(x )＝2a e 2x ＋2b e －2x －c ，由f ′(x )为偶函数，知f ′(－x )＝f ′(x )，即2(a －b )(e 2x －e －2x )＝0，所以a ＝b .又f ′(0)＝2a ＋2b －c ＝4－c ，故a ＝1，b ＝1.(2)当c ＝3时，f (x )＝e 2x －e－2x －3x ，那么f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －3≥22e 2x ·2e －2x －3＝1>0， 故f (x )在R 上为增函数．(3)由(1)知f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －c ， 而2e 2x ＋2e －2x ≥22e 2x ·2e －2x ＝4，当x ＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c <4时，对任意x ∈R ，f ′(x )＝2e 2x ＋2e －2x －c >0，此时f (x )无极值；当c ＝4时，对任意x ≠0，f ′(x )＝2e 2x ＋2e－2x －4>0，此时f (x )无极值； 当c >4时，令e 2x ＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1,2＝c ±c 2－164>0， 即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2. 当x 1<x <x 2时f ′(x )<0；又当x >x 2时，f ′(x )>0，从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值． 综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．。
高一数学 必修一函数的最大(小)值
答案：y＝f(x)在x＝－1.5处取得最小值，即ymin＝－2，在 x＝3处取得最大值，即ymax＝3.
点评：用图象法求最值的一般步骤是
栏 目 链 接
跟踪 训练
1．函数f(x)的图象如下图所示，则最大值、最小值分别为 ()
栏 目 链 接
点评：1.解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学 模型转化成数学问题解决．
2．分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关 栏
键．
目 链
接
3．对分段函数求最大(小)值时，要分别求出函数在各段
上的最大(小)值，然后比较，最大(小)的一个即为函数的最大
(小)值．
跟踪 训练
栏 目
首选方法．
链
接
跟踪 训练
2．求函数f(x)＝
在区间[2,5]上的最大值与最小值． 栏
目 链 接
栏 目 链 接
题型三 实际问题中的最值
例3 A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地
建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全，核电站距城
____3____．
栏 目
3．函数y＝x2－2x＋4的最小值为___3____ .
链 接
4．函数f(x)＝ (x∈R)的最大值是____1____，最小值是 __不__存__在__.
栏 目 链 接
题型一 利用函数的图象求函数的最值 例1 函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象如下图所示，求它的最 大值、最小值．
2．若函数f(x)满足：对定义域中的任意x都有f(x)≥f(2)，能 说函数f(x)的最小值是f(2)吗？
栏
解析：由最小值的定义可知函数f(x)的最小值是f(2)．但取 目
1.3.2 极大值与极小值教案(优秀经典公开课比赛教案)
1.3.2 极大值与极小值教案教学目标：1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值．3．掌握求可导函数的极值的步骤．教学重、难点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 教学过程：一、问题情境1．问题情境．函数的导数与函数的单调性的关系是什么？设函数y ＝f (x )在某个区间内有导数，如果在这个区间内y ′＞0，那么函数y ＝f (x )为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y ＝f (x )为在这个区间内的减函数．2．探究活动．用导数求函数单调区间的步骤是什么？（1）函数f (x )的导数()f x '．（2）令()f x '＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．（3）令()f x '＜0解不等式，得x 的范围就是递减区间．二、建构数学1．极大值：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所 有的点都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)，x 0是极大值点．2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的 点，都有f (x )＞f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)，x 0是极小值点．3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值，请注意以下几点：（1）极值是一个局部的概念定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（2）函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f ＞)(1x f ．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4．判别f (x 0)是极大、极小值的方法．若0x 满足0()0f x '＝，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值．5．求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数()f x '．(2)求方程()f x '＝0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值．三、数学运用例1 求f （x ）＝x ２－x －2的极值． 例2 求y ＝31x 3－4x ＋31的极值． 求极值的具体步骤：第一，求导数()f x '；第二，令()f x '＝0，求方程的根；第三，列表，检查()f x '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这根处无极值．练习1．求下列函数的极值．（1）1y x x＝＋； （2）3281261y x x x ＝－＋＋． 探索 若寻找可导函数极值点，可否只由(x )＝0求得即可？如x ＝0是否为函数3()f x x ＝的极值点？四、回顾小结函数的极大、极小值的定义以及判别方法，求可导函数f (x )的极值的三个步骤，还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是极值点．五、课外作业1．课本第31页第1，3题．2．补充．1．求下列函数的极值．(1)y ＝x 2－7x ＋6 (2)y ＝x 3－27x2．思考题极值和最值的区别与联系？六、教学反思：。
1.3.2极大值与极小值(高中数学必修5)
↘
例3:函数
x
f ( x ) a sin x
1 3
sin 3 x
在
处具有极值，求a的值
3
分析：f(x)在 x
'(
处有极值，根据一点是极值点的
) 0
必要条件可知， f
解：
f '( x ) ( a sin x
3
3
可求出a的值.
1 3
sin 3 x ) ' a co s x co s 3 x
3
(-2,2)
2 0 极小值
28 3
4 3
(2,+∞)
f (x )
f (x)
+ ↗
－
+
↗
↘
4 3
∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=
当x=2时，y有极小值且y极小值=
x
(-∞,-2)
-2 0 极大值 2 8
3
(-2,2)
2 0 极小值
4 3
(2,+∞)
f (x )
f (x)
+ ↗
－
+
2、如果x0 是f′(x)=0的一个根，并 且在x0的左侧附近f′(x)<0，在x0右 侧附近f′(x)>0，那么是f(x0)函数 f(x)的一个极小值。
２－x－２的极值. 例１：求f（x）＝x
解： 函数f(x)定义域为 R
f ( x) 2 x 1, 令f ( x) 0, 解得x
例２：求 y
解： 函数定义域为 R
y' ( 1 3
3
1 3பைடு நூலகம்
x 4 x 4 的极值
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(1) f ( x) 2 x 3
f ( x) x 2 2 x 1 (2)
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的 单调性；
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现 函数的什么特征？ y y 2
-1 o o x x
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
例3、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确 到1m）
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.
2 例4.求函数 y 在区间[2，6]上的最大值和 x 1 最小值． 解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
2 2 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 1 x2 1 2[( x2 1) ( x1 1)] ( x2 1)( x1 1) 2( x2 x1 ) ( x2 1)( x1 1)
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
2 所以，函数 y 是区间[2,6]上的减函数. x 1
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 )
2 y 因此,函数 x 1 在区间[2,6]上的两个端 点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取 最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值 为0.4 .
归纳小结
1、函数的最大（小）值及其几何意义． 2、利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
作业本上：p39
A组 5题
B组 1、2题 书上作业：p32 5题
2 y x 1
（二）利用函数单调性判断函数的最大(小)值的 方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b)；
课堂练习
1、求函数f(x)=x2+4x+2在区间[-2，6]内的最 大和最小值。 1 2、求函数 f ( x) 1 在[-2,1 ]上 x2 的最大值和最小值.
x
3、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递 减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域 [21,39] ________t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
14 .7 当t 1.5时，函数有最大值 2 ( 4 .9 ) 4 (4.9) 18 14 .7 2 h 29 4 ( 4. 9)