维纳滤波
第2章 维纳滤波讲解
J min (w R 1p) T R ( w R 1p) J min (w w o ) T R (w w o )
（该式表明最佳权向量与最小均方误差的对应关系）
为使误差性能曲面的表达式简单化，定义权偏差向量为
T , w1 ,, w w w w o w0 M 1
结论：维纳滤波器所得最小均方误差等于期望响应的方差与滤波器输出方差的差值。
6
第2章 维纳滤波
2.4 横向滤波器的维纳解 2.4.1 横向滤波器的维纳-霍夫方程及其解
u (n)
u ( n 1)
z w0
1
z
1
u (n M 2)
z
1
u ( n M 1)
w1
wM 2
wM 1
u (n) ，当前输出 y (n) ，期望响应为 d (n) 滤波器的当前输入值： 重写维纳-霍夫方程
M 1 i 0
w
oi
r (i k ) p(k ) k 0,1,2,
定义横向滤波器的抽头输入 u(n), u(n 1),, u(n M 1) 的相关矩阵为Ｒ，则
p E[u(n)d (n)] [ p(0), p(1),, p(1 M )]T
则横向滤波器的维纳-霍夫方程式的矩阵表示形式为 Rwo p ，即维纳解为 w o R 1p 式中： w o [wo,0 , wo,1 ,, wo,M 1 ]T 是横向滤波器最优抽头权向量。
J J J J J , ,, 0 w w0 w1 wM 1
T
而 故可推出
J 2Rw(n) 2p
Rwo p ，与维纳-霍夫方程一致。
10
维纳滤波
维纳滤波7.2 维纳滤波从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。
根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。
滤波器研究的一个基本课题就是:如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
维纳滤波理论用于解决最小均方误差下的线性滤波问题。
设接收到(或观测到)的信号为随机信号(7-1)其中s(t)是未知的实随机信号，n(t)是噪声。
要设计的线性滤波器，其冲击响应为h(t, τ)，输入为x(t)，输出为，即(7-2)令为估计误差。
冲击响应h(t, τ)按最小均方误差准则确定，即h(t, τ)必须满足使(7-3)达到最小。
根据最小均方误差估计的正交条件，有以下关系成立(7-4)令(7-5)(7-6)则有(7-7)上述方程通常称为非平稳随机过程条件下的维纳-霍甫(Wiener-Kolmogorov)积分方程。
特别当x(t)，s(t)均为广义(或宽)平稳随机信号，而滤波器是线性时不变系统的情况下，x(t)与s(t)必为联合平稳，式(7-7)可写为(7-8)令，，则有(7-9)此处，“*”号表示卷积，对上式两边取Fourier变换，可得(7-10)(7-11)对于因果线性系统，有(7-12)采用完全相同的分析方法，推得因果平稳维纳-霍甫积分方程如下(7-13)(7-14)其中，表示的零、极点位于，表示的零、极点位于。
第八章 维纳滤波
rxx(λ-k)
rzx(λ)
第八章 维纳滤波 维纳-何甫积分方 程式(离散形式)：
中原工学院
N xx
机电学院
h(k )r
k 0
N
( k ) rzx ( ) 或 h(k )rxx (k ) rzx ( )
k 0
自相关函数为偶函数
▲ 维纳滤波器 如果已知x(n)与所要求的输出信号z(n)，则当x(n)的自相关函 数和z(n)与x(n)的互相关函数为已知时，求解维纳-何甫方程，即可求得满足均 方误差最小的滤波因子h(n)。这就是按照最小平方准则设计的线性滤波系统， 它是一个最佳系统，通常称为维纳滤波器。 这是一个对 称 矩阵 。 卷积形式：
第八章 维纳滤波
中原工学院
机电学院
第二节
反滤波
一、回声鸣震现象及反滤波
问题的提出：在某些情况下（例如，在大礼堂内演讲，由于墙壁多次反射， 而造成回声交混，形成一片轰鸣声，使人们听不清讲话内容）所录取的信号， 可认为是原始信号经过几个物理系统（信号传输的路径或通道）作用的结果， 或者看成是源信号经过几个物理滤波器以串联形式滤波的结果。这时，采用 反滤波方法可以使真正源信号从干扰中恢复出来。
n n n n
期望输出s(n)与输入x(n)的互相关函数为
n n
rsx (k ) s(n k ) x(n) s(n k )[s(n) n(n)] rss (k )
如果以 Rss(ejω) 和 Rnn(ejω) 分别表示 rss(k) 和 rnn(k) 的频谱，即分别为 s(n) 和 n(n) 的功率谱，则在对维纳滤波的时间范围不加限制的情况下，由式H(ejω)=Rzs(ejω)/ Rxx(ejω)，可以得到维纳滤波器的频率响应应为：
第八章 维纳滤波
求解此式，可得到最小平方反滤波的滤波因子 h(n) 。然而求 h(n) 值是根据 rpp(i)，为了计算rpp(i)就得确切知道干扰系统的冲激响应p(n)，这是一个难题。 在许多情况下，希望由x(n)=p(n)*s(n)以及对p(n)的若干特征来寻求p(n)的估计 值。下面给出一种由x(n)计算rpp(i)的近似方法。
n n n n
期望输出s(n)与输入x(n)的互相关函数为
n n
rsx (k ) s(n k ) x(n) s(n k )[s(n) n(n)] rss (k )
如果以 Rss(ejω) 和 Rnn(ejω) 分别表示 rss(k) 和 rnn(k) 的频谱，即分别为 s(n) 和 n(n) 的功率谱，则在对维纳滤波的时间范围不加限制的情况下，由式H(ejω)=Rzs(ejω)/ Rxx(ejω)，可以得到维纳滤波器的频率响应应为：
▲ 回声鸣震问题 【例1】
设信号序列为 {s(n)}，经过延迟 n0，其一次回声序列为 {rs(n-n0)}，二次回声 序列为 {r2s(n-2n0)} ，三次回声序列为 {r3s(n-3n0)} ，等等。其中 r 为反射因子， |r|≤1。滤波器的输入x(n)是信号序列与回声序列的叠加，即
第八章 维纳滤波
Q 0, 0 n N h(n)
x(n) 的 自 相关函数
λ=nT,T 是 采样周期 z(n) 与 x(n) 的 互相关函数
N Q 2[ h(k ) x(n k ) z (n)]x(n h(k ) x(n k ) x(n ) 2 z (n) x(n ) 0
维纳滤波(最小均方滤波)
（3-10）
其中������������������ (������, ������ )为噪声功率谱，������������������ (������, ������)为图像功率谱。由式(2.5)可以看出， 当没有噪声时，有P u, v = 1/H(u, v)，维纳滤波器就可以简化的看成是逆滤波 器。 在有噪声的情况下， 维纳滤波也用信噪功率比作为修正函数对逆滤波器进行 了修正，但它在均方误差最小的意义上提供最佳恢复。 通常将噪声假设为白噪声，即噪声功率谱������������������ (������, ������ )为常数，若������������������ (������, ������)在频 谱空间上高频区下降比������������������ (������, ������ )快得多，这种假设就近似正确。于是可以认为 ������������������ ������, ������ = ������������������ 0,0 = 常数（3-11） 如果噪声时各态历经的，可以用一幅噪声图像进行计算从而求得������������������ 0,0 ，
∞ ������(������ , ������ )������(������ −∞
− ������, ������ − ������ )������������������������（3-6）
式中，������(������, ������)为维纳滤波器的点扩散函数。按照均方误差最小准则，������ ^ x, y 应该满足 ������ 2 = ������ ������ ������, ������ − ������ ^ x, y
∞ ������(������ , ������)������(������ −∞ ∞ ������(������ , ������)������(������ −∞
维纳滤波概述
E[ x(t ) h(t ) y (t )d ]2
0
E[ x(t )]2 2 h( )( E[ y (t ) y ( )]d
0
h( )d h( ) E[ y (t ) y (t )]d
0 0
Rxx (0) 2 h( ) Ryx ( )d
E[e 2 (n)] lim
(2-25)
1 T 2T
T
T
(n) s (n)]2 dn [s
滤波器在n时刻复现信号s(n)显然是滤波问题。这是一种简单的过滤，滤除 噪声v(n)是唯一的目的。 但输出在时间上的简单的超前或者滞后，都不失为线性
(n a) ，这显然是一种超前的情况，输 滤波问题。在n时刻，滤波器输出如果为 s (n a) 是 s(n a) 的估计值，它比x(n)超前了 时间。这个时候滤波器所完成 出s
2 J1 2 J 2 0( 3 )
(2-15) 则将导致
J[ h h( t )] J [ o p t( t ) oh p t (t ) ]
(2-16) 这明显与最佳冲击响应将使均方误差最小的假设相矛盾。所以，我们只能取
J1 =0，即满足式(2-11)。由式(2-13)知，若使 J1 =0成立，则必须使式(2-13)中的方
第 2 章 维纳滤波理论
2.1 维纳滤波的概述
维纳 （Wiener） 滤波是用来解决从噪声中提取信号问题的一种过滤 （或滤波） 的方法。 实际上这种线性的滤波问题，可以看成是一种估计问题或是一种线性估 计问题。 维纳滤波器是一种基于最小均方误差准则下的估计滤波器。 滤波器的输入包 括有真实信号值x(t)和干扰噪声w(t)，信号值与噪声是统计独立的，则两者的合 成输入信号是
维纳滤波
表了一篇关于集合论的论文，将关系的理论 简化为类的理论的论文，在数理逻辑的发展 中占据一席之地。1919年维纳到麻省理工学 院数学系任教直至退休。1932年任正教授。
不満12岁中学毕业。 提出维纳滤波理论，开创了维纳信息论，创
立控制论。第二次世界大战期间，为了解决
第二章 维纳(Wiener)滤波
维纳生平
18岁获哈佛大学哲学博士学位。先后留学英 国剑桥大学和德国哥丁根大学，在罗索、哈 代、希尔伯特等著名数学家指导下研究逻辑 和数学。
罗索鼓励维纳选择把数学和物理、工程学结 合起来的研究方向。
1913年19岁维纳在＜剑桥哲学学会会刊＞发
N.维纳 （Norbert Wiener )
维纳滤波不能实时处理，其最大缺点是： 仅适用于一维平稳随机信号。这是由于 采用频域设计法所造成的。
因此，人们逐渐转向在时域内直接设计 最佳滤波器的方法。
11、维纳滤波器的应用
（1）通信的信道均衡器 （2）系统辨识 （3）最优线性预测
（1）通信的信道均衡器
在通信系统中，为了在接收器端补偿信 道传输引入的各种畸变，在对接收信号 进行检测之前，通过一个滤波器对信道 失真进行校正，这个滤波器称为信道均 衡器。
防空火力控制和雷达噪声滤波问题，1942年
建立维纳滤波理论。
本章内容
维纳滤波器的时域解 维纳滤波器的Z域解 维纳滤波器的预测器
第一节 引言
1、线性最佳滤波
滤波理论是估计理论的一个重要组成部分。 最佳线性估计理论：维纳滤波和卡尔曼滤波
理论，即：在线性滤波的前提下，以最小均 方误差为最佳准则。 采用最小均方误差准则的原因：其理论分析 比较简单，且可得到解析的结果。
维纳滤波,最小二乘滤波,自适应滤波认知
主题：维纳滤波、最小二乘滤波、自适应滤波认知一、维纳滤波1. 维纳滤波是一种经典的线性滤波方法，它是以诺伯特·维纳（Norbert Wiener）命名的，主要用于信号和图像处理领域。
2. 维纳滤波是一种频域滤波方法，它利用信号和噪声的功率谱以及它们之间的相关性来进行滤波处理。
3. 维纳滤波通过最小化信号和噪声的均方误差来实现信号的恢复，能够有效地抑制噪声并增强信号的特征。
4. 维纳滤波的优点是对信噪比较低的图像有很好的处理效果，但缺点是对信噪比较高的图像处理效果较差。
二、最小二乘滤波1. 最小二乘滤波是一种基于统计原理的滤波方法，它通过对信号进行线性估计来实现滤波处理。
2. 最小二乘滤波与维纳滤波类似，都是以最小化均方误差为目标，但最小二乘滤波是基于时域的方法。
3. 最小二乘滤波将信号和噪声视为随机过程，利用信号和噪声的统计特性来进行滤波处理，能够提高信号的估计精度。
4. 最小二乘滤波的优点是对于信号和噪声的统计特性要求不高，处理效果比较稳定，但缺点是需要较强的计算能力和较大的样本量。
三、自适应滤波1. 自适应滤波是基于滑动窗口的滤波方法，它根据信号的局部特性动态调整滤波参数，适用于信号和噪声变化较大的场景。
2. 自适应滤波主要包括自适应均值滤波、自适应中值滤波、自适应加权滤波等不同类型，根据不同的信号特征选择相应的滤波方法。
3. 自适应滤波能够有效地抑制信号中的噪声和干扰，同时保留信号的边缘和细节特征，具有较好的空间适应性。
4. 自适应滤波的优点是能够根据信号的实际情况自动调整滤波参数，适用性广泛；但缺点是计算量大，实时性较差。
维纳滤波、最小二乘滤波和自适应滤波都是常用的信号和图像处理方法，它们各自具有特定的优点和适用场景。
在实际应用中，可以根据信号的特性和处理需求选择合适的滤波方法，以达到更好的处理效果。
对于不同的滤波方法，还可以结合其他技术手段进行改进和优化，以满足不同场景的需求。
维纳滤波法
维纳滤波法维纳滤波法（Wiener filtering method）是在信号处理领域中常用的一种基于谱估计的信号滤波方法。
该方法可以有效地降低噪声干扰，提高信号的信噪比，使得信号的特征更为明显。
维纳滤波法的基本原理是利用信号特征与噪声特征的统计学信息进行频域滤波。
具体地，可以通过统计学手段来获得待滤波信号和噪声的功率谱密度函数，从而进一步得到信噪比。
在得到信噪比的基础上，利用滤波方法，对信号进行滤波，使得信号与噪声的功率谱密度函数在频域上相对优化。
这样的方法，可以弱化噪声的干扰，同时更好地保留信号的特征。
在实际应用中，维纳滤波法主要有以下几个步骤：1. 求解信号和噪声的功率谱密度函数在信号滤波之前，需要首先获得待滤波信号和噪声的功率谱密度函数。
通常情况下，可以通过获得信号和噪声的数据样本，并利用统计学方法来求解功率谱密度函数。
功率谱密度函数描述了信号和噪声在频域上的分布情况，是后续滤波的基础。
2. 求解信噪比获得信号和噪声的功率谱密度函数之后，就可以通过求解信噪比来进行维纳滤波。
信噪比可以通过对信号和噪声功率谱密度函数的比较得到。
在求解信噪比时，需要通过对采样率进行设置来控制降噪的效果。
3. 进行维纳滤波处理滤波处理是维纳滤波法的核心。
在求解信号和噪声的功率谱密度函数以及信噪比后，可以利用滤波方法对信号进行处理，消除噪声干扰，使信号更为清晰。
维纳滤波法的优点是可以有效地降噪，保留信号的特征，适用于多种信号处理场景。
但是，在实际应用中，维纳滤波法也存在一些缺点。
一方面，维纳滤波法需要对输入信号的功率谱密度函数进行先验假设，对于功率谱密度函数存在误差的情况无法处理。
另一方面，维纳滤波法对输入信号的要求较高，对于非平稳信号和突发噪声干扰难以得到较好的处理效果。
总体来说，维纳滤波法在信号处理领域得到了广泛的应用，其具有很强的实用性和效果性。
在实际应用中，需要通过对信号和噪声特征的深入分析，选用合适的参数和方法，考虑到实际问题的复杂性，得到更为准确的滤波结果。
维纳滤波
维纳滤波维纳滤波又称为最小均方误差滤波，是由N.Wiener 在1942年提出的一种线性图像复原方法。
它的原理是对原始图像假设为f ，找出它的一个估计值，使得f 和估计图像之间的均方误差值最小，也就是实现了图像的去噪复原。
其误差度量的公式如式1.13所示(){}22e E f f =- （1.15） 我们假设噪声和图像没有任何关系，其中任意一个有零均值而且估计的灰度值是退化图像灰度级的线性函数。
那么在这样的情况下，式1.13中误差函数的最小值在频域中可以用下面的式子来表示：()()()()()()()22,1ˆ,,,,,/,f H u v F u v G u v H u v H u v S u v S u v η⎡⎤⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦（1.16） 我们在针对运动中的模糊图像去噪复原过程中，维纳滤波对于反滤波法中H(u,v)零点的噪声放大问题完美的可以进行解决，但是也存在着一定的缺陷，例如无法消除图像模糊而导致信息不完整而造成的边缘误差。
维纳去卷积算法的设计在基本点上就决定了会存在着一定的局限性[16]：① 采用均方误差作为判断图像复原程度的标准，在数学计算上是较好的算法，但会导致我们所得的复原图像对于人类视觉上面的图像存在着一定的出入。
我们用标量的方式找到最好的滤波器。
人们希望能够找到滤除传统感染信号噪声的滤波器，这样维纳滤波器产生了。
② 对于退化函数具有空间可变、点扩散等性质的时候，经典的维纳滤波处理效果差强人意。
③ 对于非平稳的图像，如具有被边缘分开的平坦区域、噪声与图像局部灰度值相关等，维纳滤波无法较好的保证其滤波的效果。
假定线性滤波器的输入是有用信号和噪声的和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳方程是根据最小均方误差准则来求得最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器[5]。
实现维纳滤波的要求是：输入过程是广义平稳的；输入过程的统计特性是已知的。
维纳滤波器的优点是适合于更广泛的去噪滤波器，无论是在平稳随机过程或离散过程的都可应用。
维纳滤波处理
维纳滤波处理1. 引言维纳滤波是一种常用的信号处理技术，它可以用来降低信号中的噪声并恢复信号的有效信息。
维纳滤波在图像处理、语音处理、雷达等领域都有广泛应用。
本文将详细介绍维纳滤波的原理、方法和应用。
2. 维纳滤波原理维纳滤波是一种基于最小均方差准则的滤波方法，它的目标是最小化输出信号和原始信号之间的均方误差。
假设原始信号为x，滤波器的输出为y，对于离散信号，维纳滤波器可以用以下公式表示：其中，Y(k)为输出信号的第k个采样值，H(k)为滤波器的频率响应，X(k)为原始信号的第k个采样值，N(k)为噪声的第k个采样值。
维纳滤波的目标是选择一个适当的滤波器，使得输出信号的均方误差最小。
3. 维纳滤波方法维纳滤波的主要方法有两种：空域方法和频域方法。
下面将详细介绍这两种方法的原理和步骤。
3.1 空域方法空域方法是指在时域或空间域上对信号进行滤波。
维纳滤波的空域方法主要包括以下几个步骤：1.对原始信号进行空域预处理，如平滑处理等。
2.估计噪声的功率谱密度。
3.估计信号的功率谱密度。
4.计算维纳滤波器的传递函数。
5.对输入信号应用维纳滤波器，得到输出信号。
3.2 频域方法频域方法是指在频率域上对信号进行滤波。
维纳滤波的频域方法主要包括以下几个步骤：1.对原始信号进行傅里叶变换，转换到频域。
2.估计噪声的功率谱密度。
3.估计信号的功率谱密度。
4.计算维纳滤波器的频率响应。
5.将维纳滤波器的频率响应应用于原始信号的频谱，得到滤波后的频谱。
6.对滤波后的频谱进行逆傅里叶变换，得到输出信号。
4. 维纳滤波应用维纳滤波在图像处理、语音处理和雷达信号处理等领域有着广泛的应用。
4.1 图像处理在图像处理中，图像往往受到噪声的影响，这会导致图像模糊和细节丢失。
维纳滤波可以有效地降低图像噪声，改善图像质量。
维纳滤波在医学影像、无损检测和图像增强等领域有广泛应用。
4.2 语音处理在语音处理中，语音信号常常受到环境噪声的干扰，这会降低语音信号的可听性和识别率。
维纳滤波处理
维纳滤波处理维纳滤波处理维纳滤波是一种常用的图像处理技术，主要用于去除图像中的噪声。
它是一种线性滤波器，能够在保持图像细节的同时去除噪声。
本文将介绍维纳滤波的原理、应用、优缺点以及注意事项。
一、原理1.1 傅里叶变换在介绍维纳滤波之前，先来了解一下傅里叶变换。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
它将一个信号分解成若干个正弦和余弦函数的加权和，从而使得信号在频域上更易于分析。
1.2 维纳滤波维纳滤波是基于傅里叶变换的一种线性滤波器。
它利用信号和噪声之间的统计特性来抑制噪声，并且能够保留图像中的边缘信息。
具体来说，假设我们有一个被加入高斯白噪声的图像I(x,y)，其中高斯白噪声n(x,y)具有零均值和方差σ^2。
那么我们可以通过以下公式来计算维纳滤波器的输出图像J(x,y)：J(x,y) = F^-1 [ H(u,v) / (H(u,v)^2 + S(u,v)/N(u,v)) * F{I(x,y)} ]其中，F表示傅里叶变换，F^-1表示傅里叶反变换，H(u,v)是维纳滤波器的传递函数，S(u,v)是原始图像的功率谱密度，N(u,v)是噪声功率谱密度。
二、应用2.1 图像去噪维纳滤波主要用于去除图像中的噪声。
它可以有效地去除高斯白噪声、椒盐噪声等常见的图像噪声。
2.2 图像增强维纳滤波还可以用于图像增强。
因为它能够保留图像中的边缘信息，所以在对模糊图像进行增强时非常有用。
三、优缺点3.1 优点（1）能够有效地去除各种类型的噪声。
（2）能够保留图像中的边缘信息。
（3）算法简单易懂，容易实现。
3.2 缺点（1）需要知道信号和噪声之间的统计特性。
（2）对于非高斯噪声效果不佳。
（3）对于图像中的细节信息处理不够精细。
四、注意事项4.1 参数选择在使用维纳滤波器时，需要选择合适的参数。
其中最重要的参数是噪声功率谱密度和图像功率谱密度。
这些参数可以通过实验或者理论计算来确定。
4.2 适用范围维纳滤波器适用于高斯白噪声和椒盐噪声等常见的图像噪声。
维纳滤波(Wiener Filtering)
１.１因果的维纳滤波器
设 是物理可实现的，也即是因果序列：因此，从式(1)、(2)、(3)、(4)推导： (5) (6)
要使得均方误差最小，则将上式对各 m＝0，1，…，求偏导，并且等于零，得：
设有一个线性系统，它的单位脉冲响应是 ，当输入一个观测到的随机信号 ，简称观测值，且该信号包含噪声 和有用信号 ，简称信号，也即 (1)
则输出为 (2)
系统框图中估计到的 信号和我们期望得到的有用信号 不可能完全相同，这里用 来表示真值和估计值之间的误差 (3)显然 是随机变量，维纳滤波和卡尔曼滤波的误差准则就是最小均方误差准则 (4)
我们希望输出得到的 与有用信号 尽量接近，因此称 为 的估计值，用 来表示 ，我们就有了维纳滤波器的系统框图 .这个系统的单位脉冲响应也称为对于 的一种估计器。
用当前的和过去的观测值来估计当前的信号 称为滤波；用过去的观测值来估计当前的或将来的信号 ，称为预测；用过去的观测值来估计过去的信号 称为平滑或者内插。
若信号与噪声互不相关，即，
前面推导的最小均方误差[下式]：
可以改写为：
【例1】如图， ，信号与噪声统计独立，其中 噪声是方差为1的单位白噪声，试设计一个N＝2的维纳滤波器来估计 ，并求最小均方误差。
解：已知信号的自相关和噪声的自相关为：
第6章 维纳滤波
（Wiener Filtering）
do
something
随机信号或随机过程(random process)是普遍存在的。一方面，任何确定性信号经过测量后往往就会引入随机性误差而使该信号随机化；另一方面，任何信号本身都存在随机干扰，通常把对信号或系统功能起干扰作用的随机信号称之为噪声。噪声按功率谱密度划分为白噪声（white noise）和色噪声（color noise），我们把均值为0的白噪声叫纯随机信号（pure random signal）。因此，任何其它随机信号都可看成是纯随机信号与确定性信号并存的混合随机信号或简称为随机信号。要区别干扰（interference）和噪声( noise)两种事实和两个概念。非目标信号（nonobjective signal都可叫干扰。
最优估计之维纳滤波
Xˆ
t
h(
)Z
(t
)d
ht L1[G(s)]
两点说明：
（1）对于Xˆ t，若 (, )，则为平滑问题；维纳 滤波研究的是
[0, ) 的情况,
0 Z (t ) Z (t) Z (t ) Z ()
[Z (t) : (,t)],
即滤波问题。
（2）X (t)和V (t)为平稳且各态历经的随 机过程 Xˆ (t)为平稳且各态
数据也很难满足； 不能用于噪声为非平稳的随机过程； 对于向量情况应用不方便。
22
例：已知
S xx
(s)
1, s2 1
Svv
(s)
1 s2
4
,
S xv
(s)
Svx
(s)
0,
Gd
(s)
1。
据此设计一个维纳滤波 器。
解：Szz (s)
S xx
(s)
Svv (s)
1 s2 1
1 s2
4
2 s 5/2 (s 1)(s 2)
T
[
(
)
z
(t
)d
]2
dt
T 2T T 0
dJ[h()] 0 d
lim 2
T
[x(t)
h()z(t )d][ ( )z(t )d ]dt
T 2T T
0
0
0 2
lim
T
[
(
)
z(t
)d
]2
dt
T 2T T 0
0
lim 2
T
[x(t) h()z(t )d][ ( )z(t )d ]dt 0
e(t) Y (t) Xˆ t
维纳滤波文档
维纳滤波1. 简介维纳滤波（Wiener filtering）是一种经典的信号处理技术，用于消除信号中的噪声并恢复原始信号。
它是由诺贝尔奖获得者诺里斯·伯特·维纳（Norbert Wiener）于1949年提出的。
维纳滤波基于统计信号处理理论，通过在频域对信号和噪声进行建模，利用最小均方误差准则来估计信号。
它可以应用于许多领域，例如图像处理、语音信号处理、雷达信号处理等。
2. 维纳滤波的原理维纳滤波的目标是根据信号和噪声的统计特性，对接收到的被噪声污染的信号进行优化处理，以尽可能地恢复原始信号。
其基本原理可以分为以下几个步骤：2.1 信号与噪声建模首先，需要对信号和噪声进行建模。
假设接收到的信号为s(s)，噪声为s(s)，那么接收到的被噪声污染的信号可以表示为：s(s)=s(s)+s(s)2.2 计算信号和噪声的统计特性通过观测和采样，可以估计信号和噪声的统计特性，例如均值、方差、功率谱密度等。
以图像处理为例，可以通过对图像的样本进行统计分析来估计信号和噪声的统计特性。
2.3 估计滤波器函数利用信号和噪声的统计特性，可以估计滤波器函数s(s)，其中s为频率。
滤波器函数描述了在不同频率上应该对信号进行的滤波程度。
通过估计滤波器函数，可以为不同频率的信号分配适当的增益。
2.4 滤波过程在维纳滤波中，滤波器函数s(s)是根据信号和噪声的功率谱密度来估计的。
通过将接收到的信号进行频谱变换，将频谱域中的信号与滤波器函数相乘，然后再进行逆向频谱变换，即可得到滤波后的信号。
3. 维纳滤波的应用维纳滤波在信号处理领域有广泛的应用，下面以图像处理为例说明其应用场景。
3.1 噪声去除在图像处理中，噪声往往是由于图像的采集、传输等过程中产生的。
维纳滤波可以根据图像的统计特性，将噪声进行估计，并对图像进行滤波，从而实现去噪的效果。
3.2 图像恢复图像的失真往往是由于拍摄条件、传输等因素引起的。
维纳滤波可以通过估计图像的信号特性，去除噪声和失真，从而恢复图像的细节和清晰度。
维纳滤波器
维纳滤波器维纳滤波器（Wiener filter）是由数学家维纳（Rorbert Wiener）提出的一种以最小平方为最优准则的线性滤波器。
在一定的约束条件下，其输出与一给定函数（通常称为期望输出）的差的平方达到最小，通过数学运算最终可变为一个托布利兹方程的求解问题。
维纳滤波器又被称为最小二乘滤波器或最小平方滤波器，目前是基本的滤波方法之一。
维纳滤波是利用平稳随机过程的相关特性和频谱特性对混有噪声的信号进行滤波的方法，1942年美国科学家N.维纳为解决对空射击的控制问题所建立，是40年代在线性滤波理论方面所取得的最重要的成果。
目录编辑本段维纳滤波器维纳滤波从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。
根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。
滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。
所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。
20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础。
即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性，维纳根据最小均方误差准则(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。
在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。
实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。
因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。
信号波形从被噪声污染中恢复称为滤波。
这是信号处理中经常采用的主要方法之一，具有十分重要的应用价值。
常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，如RC低通滤波器、LC谐振回路等。
但对于混在随机信号中的噪声滤波，这些简单的电路就不是最佳滤波器，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。
维纳滤波
e 2 (n) [ s(n) X (n) H ][ s(n) H T X (n)] s 2 ( n) 2 s ( n) X ( n) H H X (n) X (n)]H
E[e 2 n ] E[ s 2 n ] 2 E[ sn X T n ]H H T E[ X n X T n ]H
x(
我们已知
X ( z ) B( z )W ( z )
则信号功率谱为
2 Pxx ( z) B( z) B( z 1 )
如果已知信号的Pxx(z)，即可求得B(z) 。
非因果IIR维纳滤波器的求解
计算Hopt (z)：
1 B( z )
x( n )
w(n)
G(z)
ˆ( n ) y ( n) s
正交性原理：最优估计 误差正交于任一个进入 估计的输入信号或信号 空间。
由正交方程可得：
E[enxn m] E[{sn hmxn m}xn m]
E[snxn m] E[xn mxn p ]h p 0
m
m 0
k ≥ 0的约束使得上式不能直接转到Z域求解。如
能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。
如果滤波器的输入x(n)是方差为 w 的白噪声w(n)
2
因果维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为：
2 2 xs m ws m h p w m p w hm m 0
代入可得： (h) s2 2P H H RH (二次型问题）
其解为：HOP R1P， 且
2 T H H 即 op s op P
结论：在所有N阶FIR滤波器中，最优滤波器的均 方误差值是最小的。其阶数越高，采用的已知信 息越多，最小均方误差越小，计算量也越大。
维纳滤波（最小均方滤波）
维纳滤波（最⼩均⽅滤波）维纳滤波（最⼩均⽅滤波）避免逆滤波固有的弊端的另⼀种⽅法就是寻找图像的⼀种估值，使得和之间的均⽅误差最⼩。
均⽅误差最⼩准则是由维纳（Wiener）在1949年⾸先提出并⽤来对⼀维平稳时间序列进⾏估值。
因此这种⽅法被称为维纳滤波，也被称为最⼩均⽅误差滤波。
设、、分别为退化图像、原始图像和噪声，并设他们都是均匀随机的，且噪声的均值为零，并与图像不相关。
可以得到（3-6）式中，为维纳滤波器的点扩散函数。
按照均⽅误差最⼩准则，应该满⾜（3-7）为最⼩。
我们把称为已知时的线性最⼩均⽅估计。
将(2.2)带⼈(2.1)式，得到（3-8）可以证明当（3-9）时，式（3-7）取最⼩值。
经过证明可以得到维纳滤波的转移函数为（3-10）其中为噪声功率谱，为图像功率谱。
由式(2.5)可以看出，当没有噪声时，有，维纳滤波器就可以简化的看成是逆滤波器。
在有噪声的情况下，维纳滤波也⽤信噪功率⽐作为修正函数对逆滤波器进⾏了修正，但它在均⽅误差最⼩的意义上提供最佳恢复。
通常将噪声假设为⽩噪声，即噪声功率谱为常数，若在频谱空间上⾼频区下降⽐快得多，这种假设就近似正确。
于是可以认为常数（3-11）如果噪声时各态历经的，可以⽤⼀幅噪声图像进⾏计算从⽽求得，图像功率谱则可利⽤与原始图像统计性质相同的⼀类图像来确定。
如果不知道有关随机场的统计性质，也常⽤下式近似计算转移函数：（3-12）K是根据信噪⽐的某种先验知识来确定的常数。
下⾯是维纳滤波的复原效果：（a）原图（b）退化（c）复原图3-3 维纳滤波复原实验。
第3讲维纳滤波
第3讲：Wiener 滤波Wiener 滤波器是从统计意义上的最优滤波, 它要求输入信号是宽平稳随机序列, 本章主要集中在FIR 结构的Wiener 滤波器的讨论。
由信号当前值与它的各阶延迟)}1(,),1(),({+--M n u n u n u ，估计一个期望信号)(n d ，输入信号)(n u 是宽平稳的，)(n u 和)(n d 是联合宽平稳的, 要求这个估计的均方误差最小.。
Wiener 滤波器的几个实际应用实例如下： ①通信的信道均衡器。
图1. 信道均衡器的结构示意②系统辨识：图2. 线性系统辨识的结构③一般结构:图3. Wiener 滤波器的一般结构Wiener 滤波器的目的是求最优滤波器系数o w ，使⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==22)(ˆ)(]|)([|)(n d n d E n e E n J 最小。
§3.1 从估计理论观点导出Wiener 滤波FIR 结构(也称为横向)的Wiener 滤波器的核心结构如图4所示.图4. 横向Wiener 滤波器为了与第2讲中估计理论一致，假设信号，滤波器权值均为实数由输入)(n u 和它的1至（M-1）阶延迟，估计期望信号)(n d ，确定权系数}1,0,{-=M i w i 使估计误差均方值最小，均方误差定义为：]))(ˆ)([(2n d n d E J -= 这里估计)(ˆn d写为： ∑-=-⋅=10)()(ˆM k k k n u w n d除了现在是波形估计外，与线性Bayesian 估计一一对应。
∑-=⋅=1)(ˆN k kk x a θ∑-=-⋅=10)()(ˆM k k k n u w n dT N a a a ],,[110-= aT N w w w ],,[110-= wT N x x x )]1(),1(),0([-= xT M n u n u n u n )]1(),1(),([)(+--= uθ)(n dxx C R （零均值假设）θx CT M p p p n d n E )]1(),1(),0([)]()([+--=⋅= u P这里)])()([)((n d k n u E k p -=-, Wiener 滤波与线性Bayesian 估计变量之间具有一一对应关系, 设最优滤波器系数为0w ，由线性Bayesian 估计得到Wiener 滤波器系数对应式：p w C =⋅⇒=⋅0R C x xx θa上式后一个方程称为Wiener-Hopf 方程, 或p w ⋅=⇒=--101R C C x xx θa)()()(ˆˆ011n n R n d C C T T xx T x u u ⋅=⋅⋅=⇒⋅⋅=--w p x θθ p p ⋅⋅-=⇒⋅⋅-=--12min 1)ˆ(R J C C C C Bmse T d x xx T x σθθθθθ结论：1) Wiener 滤波器是线性FIR 滤波器中的最优滤波器，但非线性滤波可能会达到更好结果。
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随机信号处理 作业一 专业：电子信息工程 姓名：洪新海 学号：P0*******
（1）均值递推式的证明
-1
1
1(k-1)=-1k X n n m x k =∑ -111-11
111(k)==+-111=+-1k k X n n k n n k n k n m x x x k k k k x x k k k ===∑∑∑ -11=
(k-1)+1=(k-1)+[-(k-1)]X k X k X k m x k k m x m k 1(k)=(k-1)+[-(k-1)]X X k X m m x m k
（得证） （2）方差递推式的证明
1(k)=(k-1)+[x -(k-1)]X X k X m m m k
-12211(k-1)=[x (k-1)]-1k X
n X n m k σ=-∑ 2211(k)=[x (k)]k X
n X n m k σ=-∑-122111=[x (k)]+[x -m (k)]k n X k X n m k k =-∑ -1221111={(k-1)-[x -(k-1)]}+[x -m (k)]k n X k X k X n X m m k k k
=-∑ -1-12222111111=[(k-1)]+[(k-1)]+[x -m (k)]k k n X k X k X n n X m X m k k k k
==--∑∑ -122231-1-11=(k-1)+[x -m (k-1)]+[x -m (k)] ([(k-1)]=0)k X k X k X n X n k k x m k k k σ=-∑
2223-1-111=
(k-1)+[x -m (k-1)]+{x -m (k-1)-[x -m (k-1)]} X k X k X k X k k k k k k σ
222-1-1=(k-1)+[x -m (k-1)]X k X k k k k
σ（得证）
MATLAB代码
%%%随机信号处理（估值分析）
clc
clear all
close all
%产生200个随机数
mx0=0;varx0=0;
x(1)=rand(1);
mx(1)=mx0+(x(1)-mx0);
varx(1)=0;%初始化
for k=2:200
x(k)=rand(1);
mx(k)=mx(k-1)+(1/k)*(x(k)-mx(k-1));
varx(k)=((k-1)/k)*varx(k-1)+((k-1)/k^2)*(x(k)-mx(k-1))^2; end
i=1:200;
plot(i,x);title('随机过程');
%%估值与理论值
real_mx=mean(x);
real_varx=cov(x);
mx(200);varx(200);
disp(' 均值方差');
fprintf('理论值：%d %d\n',real_mx,real_varx);
fprintf('估计值：%d %d\n',mx(200),varx(200));
%%%均值估计质量评价
bia_x=real_mx-mx(200);%估计的偏
disp('均值是：');
if bia_x<eps
disp(' 无偏估计！');
else
disp(' 有偏估计！');
end
%%方差估计质量评价
bia_varx=real_varx-varx(200);%估计的偏
disp('方差是：');
if bia_varx<eps
disp(' 无偏估计！');
else
disp(' 有偏估计！');
end
程序运行结果：
均值方差理论值： 4.913759e-001 7.986384e-002 估计值： 4.913759e-001 7.946452e-002 均值是：
无偏估计！
方差是：
有偏估计！。