16.3 分式方程2

【例4】某市从今年1月1日起调整居民用水 价格,每m3水费上涨三分之一,小丽家去年12月 的水费是15元,今年2月的水费是30元．已知今 年2月的用水量比去年12月的用水量多5m3,求该 市今年居民用水的价格? 分析:小丽家今年2月份的用水量－小丽家去年 12月份的用水量= 5m3． 每个月的用水量〓水的单价=每个月的用水费． 1 今年的用水单价=去年用水单价〓(1+ )． 3 所以,首先要表示出小丽家这两个月的用水量． 每个月的用水量=水费/水的单价．
4 10 2 7 ∵左边= 10 2 4 4
x＝2
右边=
7 4
左边=右边 ∴ x＝2是原方程的解
如何求分式方程 的解，你知道了吗？ 求分式方程的解，只要在方程的两边 同乘各分式的最简公分母，将分式方程转 化成整式方程（一元一次方程）来解．
归纳
解分式方程的一般步骤:
1．方程两边同乘以各分母的最简公分母， 约去分母将分式方程化为一元一次方程； 2．解这个一元一次方程； 3．检验，将所求得的一元一次方程的解 代入原方程左右两边．
30 25 x 1 x
某学校组织学生到距离学校15km的东山 去游玩,先遣队与大队同时出发,先遣队的速度 是大队速度的1.5倍，结果先遣队比大队早到 0.5h，先遣队和大队的速度各是多少？ 解：设大队的速度为xkm/h,列方程，得
15 15 0 .5 1.5 x x
4 10 x 7 10 x 4 4
180 216 x x 20
分析:设出租房屋的总间数为x间．
96000 元; x 第二年每间房屋的租金 102000元; x 因为第二年每间房屋的租金 =第一年每间房屋的租金 +500,所以列方程:
第一年每间房屋的租金
96000 102000 500 பைடு நூலகம் x x
解:设出租房屋的总间数为x间．列方程,得
96000 102000 500 x x
解这个方程，得 检验:将x＝5代入原方程得:
30 ∵左边= =5, 51
x＝5
右边=
25 =5, 5
左边=右边 ∴ x＝5是原方程的解
4 10 x 7 (2) 10 x 4 4 解：方程两边同乘以4(10x＋4)，得
4× (4×10＋x)＝7(10x＋4)，
解这个方程，得 检验:将x＝2代入原方程得:
问题: 对于分式方程可以用去分母的方法
求解，但求出来的根却有可能不是原方程的根， 这种现象是怎么产生的?
（1） 解上述方程的依据是什么? （2） 由a=b能否得出ac=bc ? （3）由ac=bc能否得出a=b ?
【例1】 解分式方程
2x 1 2 x3 3x
解：方程两边同乘（x－3），得 2－x＝－1－2 (x－3), 解，得 x＝3 检验：x＝3时，(x－3) =０，3不是原 分式方程的解．
使分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式 后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方 程的根．
归纳
一般地，解分式方程时，去分母后所得整 式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应 如下检验：将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值为0，则整式方程的解是原 分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程 的解．
3 x 5x (2) 2
x 1 x (4) 1 3 2 4 1 (6) √ 1 4 x2 x 2 x2
2 ( 3) 30 √ x 1
1 (5) x 2 0 √ x
回顾
想一想一元一次方程的解法，并且解方程．
解：去分母（方程两边同乘6）得 2（x－2) －(3x+2) ＝6 去括号，得 2x－4－3x － 2＝6 移项，得 2x－4－3x － 2－6＝0 合并同类项，得 －x＝12 系数化成１，得 x＝ －12
15 0.5 =1.5, ∵左边= 1.5 10
右边=
15 =1.5, 10
左边=右边
∴ x＝10是原方程的解
参照上面解方程的方法，解下面两个方程：
30 25 (1) x 1 x
4 10 x 7 (2) 10 x 4 4
30 25 (1) x 1 x
解： 方程两边同乘以x（x＋1），得 30x＝25(x＋1)，
等量关系:
第一年出租的房屋数=第二年出租的房屋数
解:设第一年每间房屋的租金为x元,则 96000 102000 . x x 500
方程两边同乘x(x＋500),得
96000 (x＋500) ＝102000x
解,得 x＝8000
检验:当x＝8000时x(x＋500),≠0, x＝8000是 原分式方程的解． 则第二年每间房屋的租金为:x+500＝8000＋500＝ 8500(元) 答：第一年每间房屋的租金为8000元，第二年 每间房屋的租金为8500元．
4 10 x 7 7 是 ，则可以列出方程为_________________． 10 x 4 4 4
（3）已知所得的两位数与原两位数的比值
甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加 工1件，已知乙加工30件服装所用时间与甲加工25 件服装所用时间相同，甲每天加工多少件服装? 如果设甲每天加工x件服装，那么可列方程：
难点
1．会解可化为一元一次方程的分式方程，会 检验一个数是不是原方程的增根． 2．列分式方程表示实际问题中的等量关系．
（1）一个两位数的个位数字是4，十位数字为x，
10x＋4 则两位数可表示为_________________； （2）如果把个位数字与十位数字对调,那么所得
的两位数又可表示为_____________； 40＋x
1 1 1 （v f)，其中f表示照相机镜头 即 f u v
的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片 （像）到镜头的距离，如果一架照相机f已固定， 那么就要依靠调整u、v来使成像清晰，问在f， v已知的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u?
1 1 1 解: f u v
方程两边同乘fvu,得
解：方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－ 1)，得（x－1)2 =5x＋9 解整式方程,得 x1=－1, x2=8 检验:把x1=－1，x2=8代入原方程
当x1=－1时, 原方程的两个分母值为 零，分式无意义，因此x1=－1不是 原方程的根． 增根 7 7 当x2=8时, 左边= , 右边= 9 9
【知识与能力】
经历“实际问题－分式方程模型—解分 式方程—检验合理性”的过程，发展分析问题、 解决问题的能力，培养应用意识．
【情感态度与价值观】
通过学习课堂知识使学生懂得任何事物之 间是相互联系的，理论来源于实践，能用所学 的知识服务于我们的生活．
教学重难点
重点
1．审明题意，寻找等量关系，将实际问题转 化成分式方程的数学模型． 2．根据实际意义检验解的合理性．
左边=右边, 因此x2=8是原方程的根．
∴ 原方程的根是x=8．
归纳
解分式方程的一般步骤：
分式方程 去分母 整式方程 解整式方程 目标 x＝a
检验
a是分式方 程的解 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式方 程的解
小练习
解下列方程.
x2 3 (1) 0 x3 4
（1）x=17
15 2 15 (2) x 3 3x
（2）x=15
2 3 6 (3) 2 x 1 x 1 x 1 x 1 4 (5) 2 1 x 1 x 1 2x x (5) 2 2x 1 x 2
无解
无解
4 x 5
【例3】某单位将沿街的一部分房屋出租,每间 房屋的租金第二年比第一年多500元,所有房屋的租 金第一年为9.6万元,第二年为10.2万元．求出租房屋 的总间数．
【例2】 解分式方程
1 x 1 （1） 3 x2 x2
解：方程两边同乘(x－2)，得 1－(x－1) ＝－3 (x－2), 解，得 x＝2 检验： x＝2时(x－2) ＝０，2不是原分式方 程的解，原分式方程无解．
x 1 5 x 9 （2） x 1 2 0 x 1
该分式方程无解．
解分式方程时,对所得根必须检验． 检验的方法可以是代入原方程检验．为 了简便，通常把求得的根代入变形时所乘的 整式(最简公分母)，看它的值是否为零，使 它为零的根不是原方程的根，是增根，必须 舍去．
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程 的过程中出现的不适合于原方程的根．
解:设该市去年用水的价格为x元/m3,则今 年的水价为(1+1/3)x元/m3,根据题意得：
30 15 5 1 x (1 ) x 3
解这个方程，得 x=1.5
经检验，x=1.5是原分式方程的根．
4 1.5 2(元 ) 3
答:该市今年居民用水的价格为2元/m3．
【例5】照相机成像应用了一个重要原理，
下列各分式方程，去分母时，要乘以的 最简公分母分别是什么？
3 2 = x( x 2) x x- 2 40 x + x 7 = 0 4(5 x 2) 10 x + 4 4 y+ 4 y = 1 y( y 1) 2 y - y 1- y
小练习
1 18 解下列方程． 2 x 9 x 81
30 25 x 1 x
15 15 0.5 1.5 x x
上面所列出的方程与一元一次方程 有什么区别？ 一元一次方程的分母不含未知数， 而这些方程的分母上含有未知数．
知识要点
分母中含未知数的方程叫做分式 方程（fractional equation）．
指出下列方程中的分式方程：
2 3 (1) 0 √ x 1 x 3
x 2 3x 2 1 3 6