2013中考全国100份试卷分类汇编：圆心角、弧、弦的关系
2013年中考数学100份试卷分类汇编：圆的垂径定理
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.A.24B.28C.52D.54答案：D ．考点:垂径定理与勾股定理.点评：连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决.2、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为 A. 95 B. 245 C. 185 D. 52答案：C解析：由勾股定理得AB ＝5，则sinA ＝45，作CE ⊥AD 于E ，则AE ＝DE ，在Rt △AEC 中，sinA ＝CE AC ，即453CE =，所以，CE ＝125，AE ＝95，所以，AD ＝185 3、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是【】（A ）AG BG = （B ）AB ∥EF（C ）AD ∥BC （D ）ABC ADC ∠=∠【解析】由垂径定理可知：（A ）一定正确。
由题可知：EF CD ⊥，又因为AB CD ⊥，所以AB ∥EF ，即（B ）一定正确。
因为ABC ADC ∠∠和所对的弧是劣弧 AC ，根据同弧所对的圆周角相等可知（D ）一定正确。
【答案】C4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ）Bcm B cm cm或cm D cm或cmOM==3cm==4==2cm5、（2013•广安）如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（）cm BcmAB=4cmAB=4cmx=故半径为6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）求出==4m7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）BABABOB==8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）2BE===6CE===29、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）B的长为=2=210、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）==511、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C. 6D. 812、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）B、，正确，故本选项错误；13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O 的半径（）OB===14、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O的半径为（）4BAC=∠可得出=BAC=∠∴=15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5D.7分析：过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，利用勾股定理即可得出OD的长．解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵OB=3，AB=3，OD⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，OD===．故选C．点评：本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm考点：垂径定理的应用；勾股定理．分析：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂径定理可知AD=AB，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4cm，设OA=r，则OD=r﹣2，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，解得r=5cm．故选C．点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为24．18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确．．．的是（）A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心弧弦弦心距之间的关系［知识要点归纳］1. 圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。
2. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
4. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。
（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。
（2弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，从而正确运用上述关系。
下面举四个错例：若⊙中，，则，O AC DB CE FD CEA DFB ⋂=⋂=∠=∠根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。
5. 1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
一般地，n °的圆心角对着n °的弧，n °的弧对着n °的圆心角，也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。
而不是角与弧相等，在书写时要防止出现“∠=⋂AOB AB ”之类的错误。
因为角与弧是两个证明：（1）过O 点作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥CD 于N∵PO 平分∠APC ∴OM ＝ON∴AB ＝CD （在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）此题还有几种变式图形，道理是一样的。
弦AB 、点重合。
若PO 弦AB 、 POAB ＝CD （2）在∠=∠∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪12OMP ONP OP OP∴≅∆∆POM PON AAS ()∴=PM PNAM AB CN CD AB CD ===1212，， ∴=AM CN∴+=+PM AM PN CN 即PA ＝PC（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。
2013中考全国100份试卷分类汇编 圆的综合题
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的综合题1、（2013•温州）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是（）．．．，，ππ3、（2013•温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF﹣FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是18cm、31cm．+r==+r=4、（2013四川宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠F AD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG =CG ﹣CF =2； 故②正确； ③∵AF =3，FG =2， ∴AG ==，∴在Rt △AGD 中，tan ∠ADG ==，∴tan ∠E =；故③错误；④∵DF =DG +FG =6，AD ==，∴S △ADF =DF •AG =×6×=3，∵△ADF ∽△AED ， ∴=（）2，∴=，∴S △AED =7，∴S △DEF =S △AED ﹣S △ADF=4；故④正确． 故答案为：①②④．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．5、(2013年武汉)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是⋂AB 的中点，连接PA ，PB ，PC ．（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3=；（2）如图②，若2524sin =∠BPC ，求PAB ∠tan 的值．第22题图①第22题图②解析：（1）证明：∵弧BC ＝弧BC ，∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°．又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形∴∠ACB ＝60°，∵点P 是弧AB 的中点，∴∠ACP ＝30°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP ．（2）解：连接AO 并延长交PC 于F ，过点E 作EG ⊥AC 于G ，连接OC ． ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF ．∵点P 是弧AB 中点，∴∠ACP ＝∠PCB ，∴EG ＝EF ． ∵∠BPC ＝∠FOC ，∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC=2524．设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ， ∴OF ＝7a ，AF ＝32a ．在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2+FC 2，∴AC ＝40a ．在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝ACFCAE EG =， ∴aa EG a EG 402432=-，∴EG ＝12a ． ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB=212412==a a CF EF ．6、（2013•常州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ．（1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为 45°或135° ； （2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时，△ABC 的面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值．（3）连接AD ，当OC ∥AD 时，①求出点C 的坐标；②直线BC 是否为⊙O 的切线？请作出判断，并说明理由．第22（2）题图AB=，根据三角形面积公式得到当，则=，即=，再利用勾股定理计算出，所以∠AB=，AB=，AB=3，CE=OC+CE=3+3CE×3+36=99=，即=，解得，OF=，，7、（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O 与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是30°；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．②利用切线的性质以及矩形的性质和相似三角形的判定和性质得出=×n=，±OA=EOA==EOB=，=，±OA=±OA====8、（2013•包头）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC 的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．，ADB==，AC=2==，AB=ADB=ADB=ACE=．9、（2013•荆门）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．（1）求证：OF∥BE；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．，即可得出答案．EOF=化简得：，时，10、（2013•莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．×．CO1+×π．11、（2013•遂宁）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）求证：△ACM ∽△DCN ；（3）若点M 是CO 的中点，⊙O 的半径为4，cos ∠BOC=41，求BN 的长．CE====，=，=，CN==﹣．12、（2013济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y=（x＞0）图象上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B．（1）求证：线段AB为⊙P的直径；（2）求△AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D．求证：DO•OC=BO•OA．考点：反比例函数综合题．分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径；（2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等．解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角，∴AB是⊙P的直径．（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），∵点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一点，∴mn=12．如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n．由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点，∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，∴S△AOB=BO•OA=×2n×2m=2mn=2×12=24．（3）证明：若点Q为反比例函数y=（x＞0）图象上异于点P的另一点，参照（2），同理可得：S△COD=DO•CO=24，则有：S△COD=S△AOB=24，即BO•OA=DO•CO，∴DO•OC=BO•OA．点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．13、（2013•攀枝花）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A 作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．EF=x BD==，即EFF==，EF=xBEBD=AB=2BD=（x，×ACB===14、(2013年南京)如图，AD是圆O的切线，切点为A，AB是圆O的弦。
2013中考全国100份试卷分类汇编：圆心角、弧、弦的关系
2013中考全国100份试卷分类汇编圆心角、弧、弦的关系1、（德阳市2013年）如图．圆O的直径CD过弦EF的中点G, ∠DCF=20°.，则∠EOD等于A. 10°B. 20°C. 40°D. 80°答案：C解析：因为直径过弦EF的中点G，所以，CD⊥EF，且平分弧EF，因此，弧ED与弧BD的度数都为40°，所以，∠EOD＝40°，选C。
2、（2013•内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）cm B cm cm==4cm=4cm3、（2013泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：计算题．分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A 正确；由C为弧BE中点，即弧BC=弧CE，利用等弧对等弦，得到BC=EC，选项B正确；由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE 中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，选项C正确；AC不一定垂直于OE，选项D错误．解答：解：A．∵点C是的中点，∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B．∵=，∴BC=CE，本选项正确；C．∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠EBA+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；D．AC不一定垂直于OE，本选项错误，故选D点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．4、（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）ABD=×5、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）B、，正确，故本选项错误；6、（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）=，即=7、（2013台湾、34）如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若=62°，则的度数为何？（）A．56 B．58 C．60 D．62考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质．分析：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1=∠2，推出弧DC=弧AM=62°，即可求出答案．解答：解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1=∠2，∴弧AM=弧DC=62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°=56°，故选A．点评：本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．8、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．MN=FC=2MN=4==2，，=109、（2013•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=2．ADB=∠BDC=÷=4DC=BD=4=2．10、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．=可以确定∠，即= =。
圆心角弧弦之间的关系课件
在几何中，圆心角、弧和弦是圆形中的三个基本概念。它们之间有着密切的 关系和数学公式，通过本课件将深入探讨它们间的关联和实际应用。
圆心角的定义
圆心角是指以圆心为顶点，两条与圆相交的射线所夹的角度。
弧的定义
弧长
弧长是指弧上的一段线段的长度。
对应弧
对应弧是指与圆心角相对应的弧。
弦弧中点角
弦弧中点角是指弦所对应的弧的一半的圆心角。
弦的定义
1 中心弦
中心弦是指连接圆的两个不同点，并通过圆心的弦。
2 切线弦
切线弦是指与圆相切并通过圆心的弦。
3 弦弧中点角和弦角
弦弧中点角和弦角是弦所对应的圆心角。
圆心角和弧的关系
1
圆心角和对应弧的关系2圆心角等于对来自弧所包含的弧度数的两倍。
3
圆心角度数等于对应弧的弧度数
圆心角的度数等于对应弧的弧度数。
圆心角和弧长的关系
圆心角的度数等于弧长除以圆的半径。
圆心角和弦的关系
圆心角和弦垂直
圆心角和弦的所对应的两条弧都 与弦垂直。
圆心角是所对应弦弧中点 角的两倍
圆心角的度数等于所对应弦弧中 点角度数的两倍。
所对应弦弧中点角是圆心 角的一半
所对应弦弧中点角的度数等于圆 心角度数的一半。
圆心角和弧弦的计算公式
圆心角 圆心角 弦角 弦弧中点角
弧长/圆半径 弧对应的弧度数 圆心角的一半 圆心角/2
实际问题的应用
建筑设计
在建筑设计中，圆心角和弦的 关系可用于计算建筑物的弧线 结构。
车辆转弯
在车辆转弯的计算中，圆心角 和弦的关系可用于确定转弯半 径和最佳转弯角度。
天文学
在天文学中，圆心角和弧的关 系可用于计算星体之间的距离 和角度。
(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档
CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、 已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例： 如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（ ）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题
27.2(1)圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
讲解：XX
18
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
O
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讲解：XX
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圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆 心角所对的弧相等，所对的 弦也相，等所对的弦的弦心距也 相等
弦AB和弦ＣＤ 对应的弦心距 什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
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讲解：XX
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过圆心的弦就是直径。
弦心距——过圆心作弦的垂线,圆心与垂
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足之间的距讲离解：。XX
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讲解：XX
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1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
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③
④ 讲解：XX
4
下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？
如果：
A
∠AOB=∠ COD
B
讲解：XX
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讲解：XX
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讲解：XX
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讲解：XX
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感谢您的阅读收藏，谢谢！
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o C
D
讲解：XX
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下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
∠AOB=∠ COD
B
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o C
D
讲解：XX
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下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
A 如图：
∠AOB=∠COD
2013中考全国100份试卷分类汇编 几何综合
2013中考全国100份试卷分类汇编几何综合1、（2013四川南充，6，3分）下列图形中，∠2＞∠1 （）答案：C解析：由对顶角相等，知A中∠1＝∠2，由平行四边形的对角相等，知B中∠1＝∠2，由对顶角相等，两直线平行同位角相等，知D中∠1＝∠2，由三角形的外角和定理，知C 符合∠2＞∠12、（2013•攀枝花）如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；④FH=BD其中正确结论的为①③④（请将所有正确的序号都填上）．考点：菱形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．分析：根据已知先判断△ABC≌△EFA，则∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等边三角形的性质得出∠BDF=30°，从而证得△DBF≌△EFA，则AE=DF，再由FE=AB，得出四边形ADFE为平行四边形而不是菱形，根据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而得到答案．解答：解：∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC，∵∠BAC=30°，∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，∵F为AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△EFA，∴FE=AB，∴∠AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥AC，故①正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴HF∥BC，∵F是AB的中点，∴HF=BC，∵BC=AB，AB=BD，∴HF=BD，故④说法正确；∵AD=BD，BF=AF，∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠DFB=∠EAF，∵EF⊥AC，∴∠AEF=30°，∴∠BDF=∠AEF，∴△DBF≌△EFA（AAS），∴AE=DF，∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG=AF，∴AG=AB，∵AD=AB，则AD=AG，故③说法正确，故答案为①③④．点评：本题考查了菱形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质，解决本题需先根据已知条件先判断出一对全等三角形，然后按排除法来进行选择．3、（2013•泸州）如图，在等腰直角△ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（3）CD+CE=OA；（4）AD2+BE2=2OP•OC．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．分析：结论（1）错误．因为图中全等的三角形有3对；结论（2）正确．由全等三角形的性质可以判断；结论（3）正确．利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断．结论（4）正确．利用相似三角形、全等三角形、等腰直角三角形和勾股定理进行判断．解答：解：结论（1）错误．理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AOC≌△BOC，△AOD≌△COE，△COD≌△BOE．由等腰直角三角形的性质，可知OA=OC=OB，易得△AOC≌△BOC．∵OC⊥AB，OD⊥OE，∴∠AOD=∠COE．在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE（ASA）．同理可证：△COD≌△BOE．结论（2）正确．理由如下：∵△AOD≌△COE，∴S△AOD=S△COE，∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍．结论（3）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=OA．结论（4）正确，理由如下：∵△AOD≌△COE，∴AD=CE；∵△COD≌△BOE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2，∴AD2+BE2=DE2．∵△AOD≌△COE，∴OD=OE，又∵OD⊥OE，∴△DOE为等腰直角三角形，∴DE2=2OE2，∠DEO=45°．∵∠DEO=∠COE=45°，∠COE=∠COE，∴△OEP∽△OCE，∴，即OP•OC=OE2．∴DE2=2OE2=2OP•OC，∴AD2+BE2=2OP•OC．综上所述，正确的结论有3个，故选C．点评：本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形、相似三角形和勾股定理等重要几何知识点．难点在于结论（4）的判断，其中对于“OP•OC”线段乘积的形式，可以寻求相似三角形解决问题．4、（2013•绍兴）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P 关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为 2.8．考点：几何变换综合题．分析：如解答图所示，本题要点如下：（1）证明矩形的四个顶点A、B、C、D均在菱形EFGH的边上，且点A、C分别为各自边的中点；（2）证明菱形的边长等于矩形的对角线长；（3）求出线段AP的长度，证明△AON为等腰三角形；（4）利用勾股定理求出线段OP的长度；（5）同理求出OQ的长度，从而得到PQ的长度．解答：解：由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得对角线AC=BD=5．依题意画出图形，如右图所示．由轴对称性质可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，∴点A在菱形EFGH的边EF上．同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上．∵AP=AE=AF，∴点A为EF中点．同理可知，点C为GH中点．连接AC，交BD于点O，则有AF=CG，且AF∥CG，∴四边形ACGF为平行四边形，∴FG=AC=5，即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长．∴EF=FG=5，∵AP=AE=AF，∴AP=EF=2.5．∵OA=AC=2.5，∴AP=AO，即△APO为等腰三角形．过点A作AN⊥BD交BD于点N，则点N为OP的中点．由S△ABD=AB•AD=AC•AN，可求得：AN=2.4．在Rt△AON中，由勾股定理得：ON===0.7，∴OP=2ON=1.4；同理可求得：OQ=1.4，∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8．故答案为：2.8．点评：本题是几何变换综合题，难度较大．首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果．5、（2013•莱芜）下列说法错误的是（）A．若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心B．2+与2﹣互为倒数C．若a＞|b|，则a＞bD．梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积的一半考点：相交两圆的性质；绝对值；分母有理化；梯形中位线定理．分析：根据相交两圆的性质以及互为倒数和有理化因式以及梯形的面积求法分别分析得出即可．解答：解：A、根据相交两圆的性质得出，若两圆相交，则它们公共弦的垂直平分线必过两圆的圆心，故此选项正确，不符合题意；B 、∵2+与2﹣=互为倒数，∴2+与2﹣互为倒数，故此选项正确，不符合题意；C 、若a ＞|b|，则a ＞b ，此选项正确，不符合题意；D 、梯形的面积等于梯形的中位线与高的乘积，故此选项错误，符合题意； 故选：D ． 点评： 此题主要考查了相交两圆的性质以及分母有理化和梯形面积求法等知识，正确把握相关定理是解题关键．6、（2013年潍坊市）如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别于BC 、AD 相交于点E 、F . （1）求证四边形BEDF 为矩形. （2）若BC BE BD ⋅=2试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由. 答案： ..90,,.2.90,90.//90)1(2相切与，即理由如下：的位置关系为相切与）直线（为矩形四边形是平行四边形，四边形又的直径，为证明：O CD CD BD BED BDC BDC BED CBD DBC BDBCBE BD BC BE BD O CD BEDF BED EDA DFB FBC BC AD ABCD DFB DEB O BD Θ∴⊥︒=∠=∠∴∆∆∴∠=∠=∴⋅=Θ∴︒=∠=∠︒=∠=∠∴∴︒=∠=∠∴Θ考点：平行四边形的性质，矩形的判定，，相似三角形的判定，直径对的圆周角是直角，圆的切线的判定等知识的综合运用.点评：关键是掌握矩形的判定方法，三角形相似的判定方法，圆的切线的判定方法. 7、（2013•温州）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ 与圆洞的切点K 到点B 的距离及相关数据（单位：cm ），从点N 沿折线NF ﹣FM （NF ∥BC ，FM ∥AB ）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH 是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN ，AM 的长分别是 18cm 、31cm ．考点： 圆的综合题 分析： 如图，延长OK 交线段AB 于点M ′，延长PQ 交BC 于点G ，交FN 于点N ′，设圆孔半径为r．在Rt△KBG中，根据勾股定理，得r=16（cm）．根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．则根据图中相关线段间的和差关系求得CN=QG﹣QN′=44﹣26=18（cm），AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31（cm）．解答：解：如图，延长OK交线段AB于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′．设圆孔半径为r．在Rt△KBG中，根据勾股定理，得BG2+KG2=BK2，即（130﹣50）2+（44+r）2=1002，解得，r=16（cm）．根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则KN′=AB=42cm，OM′=KM′+r=CB=65cm．∴QN′=KN′﹣KQ=42﹣16=26（cm），KM′=49（cm），∴CN=QG﹣QN′=44﹣26=18（cm），∴AM=BC﹣PD﹣KM′=130﹣50﹣49=31（cm），综上所述，CN，AM的长分别是18cm、31cm．故填：18cm、31cm．点评：本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．8、（2013•滨州）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：平移的性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质．分析：先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④正确．解答： 解：△ABC 、△DCE 是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD ，∴∠ACD=180°﹣∠ACB ﹣∠DCE=60°， ∴△ACD 是等边三角形， ∴AD=AC=BC ，故①正确； 由①可得AD=BC ， ∵AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴BD 、AC 互相平分，故②正确； 由①可得AD=AC=CE=DE ，故四边形ACED 是菱形，即③正确． 综上可得①②③正确，共3个． 故选D ． 点评： 本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD 是等边三角形，难度一般．9、（2013陕西压轴题）问题探究（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M 是正方形ABCD 内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M ），使它们将正方形ABCD 的面积四等分，并说明理由. 问题解决（3）如图③，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB+CD=BC ，点P 是AD 的中点，如果AB=a ，CD=b ，且a b ，那么在边BC 上是否存在一点Q ，使PQ 所在直线将四边形ABCD 的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ 的长；若不存在，说明理由.考点：本题陕西近年来考查的有：折叠问题，勾股定理，矩形性质，正方形的性质，面积问题及最值问题，位似的性质应用等。
弧、弦、圆心角的关系
M
N
今天作业 课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度， 由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性） 。
Ａ 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝
弧、弦、圆心角
老师点评：绕O 点旋转，O 点就是固定点，旋转30°，就是旋转角∠ BOB弧、弦、圆心角的关系教学内容1．圆心角的概念．2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．重难点、关键1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题．已知△ OAB，如图所示，作出绕O点旋转30°、45°、60°的图形．、探索新知如图所示，∠ AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（学生活动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙ O 中，分别作相等的圆心角∠ AOB?和∠ A?′OB?′将圆心角 ∠AOB 绕圆心 O 旋转到∠ A ′OB ′AB =A'B'，AB=A ′B ′理由：∵半径 OA 与 O ′A ′重合，且∠ AOB= ∠A ′OB∴半径 OB 与 OB ′重合∵点 A 与点 A ′重合，点 B 与点 B ′重合∴ AB 与 A'B'重合，弦 AB 与弦 A ′B ′重合∴ AB =A'B'，AB=A ′B ′ 因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？?请同学们现在动手作一作．（学生活动）老师点评：如图 1，在⊙O 和⊙O ′中， ?分别作相等的圆心角 ∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图 2，滚动一个圆，使 O 与 O ′重合，固定圆心， 将其中的一个圆旋转一个角度，使得 OA 与 O ′A ′重合． B '你能发现哪些等量关系？说一说你的理我能发现：AB =A'B'，AB=A /B/．现在它的证明方法就转化为前面的说明了，?这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，?所对的弧也相等．（学生活动）请同学们现在给予说明一下．请三位同学到黑板板书，老师点评．例1．如图，在⊙ O 中，AB 、CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥ CD，垂足分别为EF．（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE=OF，那么AB与CD的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？?为什么？∠ AOB 与∠COD 呢？分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明AE=CF，即说明AB=CD ，因此，只要运用前面所讲的定理即可．（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE 和Rt△COF 中，又有AO=CO 是半径，∴ Rt△AOE ≌Rt?△COF，∴AE=CF，∴ AB=CD ，又可运用上面的定理得到AB =CD解：（1）如果∠ AOB=∠COD，那么OE=OF理由是：∵∠ AOB= ∠COD∴AB=CD∵OE⊥AB，OF⊥CD11∴AE= AB ，CF= CD∴AE=CF又∵ OA=OC∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴OE=OF（2）如果OE=OF，那么AB=CD ，AB =CD ，∠ AOB=∠COD 理由是：∵OA=OC，OE=OF∴Rt△OAE≌Rt△OCF∴AE=CF又∵ OE⊥ AB ，OF⊥ CD11∴AE= AB ，CF= CD22∴AB=2AE ，CD=2CF∴AB=CD∴ AB=CD ，∠ AOB=∠COD三、巩固练习教材P89 练习 1 教材P90 练习2．四、应用拓展例2．如图3和图4，MN 是⊙ O的直径，弦AB 、CD?相交于MN ?上的一点P，?∠APM= ∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙ O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．NB分析：（1）要说明AB=CD ，只要证明AB、CD 所对的圆心角相等，?只要说明它们的一半相等．上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的．解：（1）AB=CD理由：过O 作OE、OF 分别垂直于AB 、CD，垂足分别为E、F∵∠ APM= ∠CPM∴∠ 1=∠2OE=OF连结OD、OB 且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD （2）作OE⊥AB ，OF⊥CD，垂足为E、F∵∠ APM= ∠CPN且OP=OP，∠ PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF∴OE=OF连接OA 、OB、OC、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE ≌Rt△OCF∴∠ 1+∠2=∠3+∠ 4 ∴AB=CD五、归纳总结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．圆心角概念．2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用．六、布置作业1．教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8．1、你勤奋充电，你努力工作，你保持身材，你对人微笑，这些都不是为了取悦他人，而是为了扮靓自己，照亮自己的心，告诉自己：我是一股独立向上的力量2、前行的路，不怕万人阻挡，只怕自己投降；人生的帆，不怕狂风巨浪，只怕自己没胆量！有路，就大胆去走；有梦，就大胆飞翔3、人生就要活得漂亮，走得铿锵。
27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(很好,很全,很详细)
奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：3651785627.2 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系【学习目标】1.通过观察实验，使学生了解圆心角的概念.2.掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等，以及它们在解题中的应用．【主要概念】【1】圆心角定义在纸上任意画一个圆，任意画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这样的角就是圆心角.如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样，顶点在圆心的角叫做圆心角．【2】圆心角、弧、弦之间的关系定理在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【定理拓展】1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弦也分○别相等2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，•所对的弧也分○别相等综上所述，同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等．【经典例题】【例1】下列说法中，正确的是( )A.等弦所对的弧相等B.等弧所对的弦相等C.圆心角相等，所对的弦相等D.弦相等所对的圆心角相等【解析】根据弧、弦、圆心角的关系知：等弦所对的弧不一定相等，圆心角相等，所对的弦相等缺少等圆或同圆的条件，所以也不对；弦相等所对的圆心角相等 1奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856缺少等圆或同圆的条件，弦所对的弧也不一定是同弧，所以不正确；等弧所对的弦相等是成立的.【答案】B【例2】如图2，同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB=4，CD=2，AB的弦心距等于1，那么两个同心圆的半径之比为( )图2A.3∶2B.∶2C.∶2D.5∶4【解析】作OE⊥CD于E，则CE=DE=1，AE=BE=2，OE=1.在Rt△ODE中，OD=2+12=2.在Rt△OEB中，OB=BE2+OE2=4+1=.∴OB∶OD=∶2.【答案】C【例3】半径为R的⊙O中，弦AB=2R，弦CD=R，若两弦的弦心距分别为OE、OF，则OE∶OF等于( )A.2∶1B.3∶2C.2∶3D.0【解析】∵AB为直径，∴OE=0.∴OE∶OF=0.【答案】D【例4】一条弦把圆分成1∶3两部分，则弦所对的圆心角为_____________. 【解析】1×360°=90°，∴弦所对的圆心角为90°. 4【答案】90°【例5】弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是____________，弦所对的圆心角是____________.【解析】OD⊥AB，OD=DB=AD.设OD=x，则AD=DB=x.在Rt△ODB中，∵OD=DB，OD⊥AB,奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856∴∠DOB=45°.∴∠AOB=2∠DOB=90°， OB=OD2+DB2+x2+x2=2 x.∴AB∶BC=1∶2=2∶2. ∴弦与直径的比为2∶2，弦所对的圆心角为90°. 【答案】2∶2 90°【例6】如图6，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AB交小圆于C、D.图6(1)求证：AC=DB；(2)如果AB=6 cm，CD=4 cm，求圆环的面积.【分析】求圆环的面积不用求出OA、OC，应用等量代换的方法.事实上，OA、OC的长也求不出来.（1）证明：作OE⊥AB于E，∴EA=EB，EC=ED.∴EA－EC=EB－ED，即AC=BD.（2）解：连结OA、OC.∵AB=6 cm，CD=4 cm，∴AE=11AB=3 cm.CE=CD=2 cm. 22∴S环=π·OA2－π·OC2=π（OA2－OC2）=π［（AE2＋OE2）－（CE2＋OE2）］=π（AE2－CE2）=π（32－22）=5π（ cm2）.【例7】如图7所示，AB是⊙O的弦(非直径)，C、D是AB上的两点，并且AC=BD.求证：OC=OD.图7【分析】根据弧、弦、圆心角的关系得出.证法一：如图(1)，分别连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.又∵AC=BD，∴△AOC≌△BOD.∴OC=OD.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856证法二：如图(2)，过点O作OE⊥AB于E，∴AE=BE.∵AC=BD，∴CE=DE.∴OC=OD. (1) (2)【例8】如图8，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6 cm，EB=2 cm，∠CEA=30°，求CD的长.图8【分析】如何利用∠CEA=30°是解题的关键，若作弦心距OF，构造直角三角形，问题就容易解决.【解】过O作OF⊥CD于F，连结CO.∵AE=6 cm，EB=2 cm，∴AB=8 cm.∴OA=在Rt△OEF中，∵∠CEA=30°，∴OF=1OE=1（cm）. 21AB=4（cm），OE=AE－AO=2（cm）. 2 在Rt△CFO中，OF=1 cm，OC=OA=4(cm)，∴CF=OC2 OF2=(cm). 又∵OF⊥CD，∴DF=CF.∴CD=2CF=2（ cm）.【例9】如图9，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F，我们知道EC和DF相等.若直线EF平移到与直径AB相交于P(P不与A、B重合),在其他条件不变的情况下,结论是否依然成立?为什么?当EF∥AB时,情况又怎样?奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856图9【分析】考查垂径定理及三角形、梯形相关知识.可适当添加辅助线.【解】当EF交AB于P时,过O作OM⊥CD于M,则CM=DM.通过三角形,梯形知识或构造矩形可证明AM=MF,∴EC=DF.当EF∥AB时,同理作OM⊥CD于M,可证四边形AEFB为矩形.所以EF=AB.且EM=MF,又由垂径定理有CM=MD,∴EC=DF.【例10】如图10所示，AB、CD是⊙O的两条直径，弦BE=BD，则弧AC与弧BE是否相等？为什么？图10【分析】欲求两弧相等，结合图形，可考虑运用“圆心角、弧、弦、弦心距”四量之间的“等对等”关系，可先求弧AC与弧BE所对的弦相等，也可利用“等量代换”的思想，先找一条弧都与弧AC以及弧BE相等.【解】弧AC=弧BE.原因如下：法一：连结AC，∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴AC＝BD.又∵BE＝BD，∴AC＝BE.∴弧AC=弧BE.法二：∵AB、CD是直径，∴∠AOC＝∠BOD.∴弧AC=弧BD.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856∵BE＝BD，∴弧BE=弧BD.∴弧AC=弧BE.【例11】如图11所示，AB是⊙O的弦，C、D为弦AB上两点，且OC=OD，延长OC、OD，分别交⊙O于点E、F.试证:弧AE=弧BF.图11【分析】欲求弧相等，结合图形，可先求弧所对的圆心角相等，即求∠AOE＝∠BOF.【证明】∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∵AO＝OB，∴∠A＝∠B.∴∠OCD－∠A＝∠ODC－∠B，即∠AOC＝∠BOD，即∠AOE＝∠BOF.∴弧AE=弧BF.【例12】如图12，AB、CD、EF都是⊙O的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC、EB、DF是否相等？为什么？图12【分析】应用圆心角、弧、弦的关系解决.证明弦相等往往转化成圆心角相等. 【解】在⊙O中，∵∠1=∠2=∠3，又∵AB、CD、EF都是⊙O的直径，∴∠FOD=∠AOC=∠BOE.∴弧DF=弧AC=弧BE.∴AC=EB=DF.奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856【例13】为美化校园，学校准备在一块圆形空地上建花坛，现征集设计方案，要求设计的方案由圆和三角形组成(圆和三角形个数不限)，并且使整个图案成对称图形，请你画出你的设计方案图(至少两种).【解析】设计的基本思路是等分圆心角，或等分圆周，取得轴（或中心）对称的对应点，适当画圆或连线，设计出一些适合要求的图案.【答案】根据题意画出如下方案供选用，如图,本题答案不唯一，只要符合条件即可.【例14】如图14，已知在⊙O中，AD是⊙O的直径，BC是弦，AD⊥BC，E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论？(要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程，只写出6条以上的结论)图14【解析】因AD⊥BC，且AD为直径，所以可以利用垂径定理得到一些结论，同时可证得AD垂直平分BC，据此又能得到许多结论.本题是2000年新疆建设兵团的模拟题，是一个开放性试题，开放到可以不写步骤，但它比书写证明一个结论步骤的题考查面更广，因为写出六个结论考生需要证明六个题.本题是一个考查考生发散思维能力和创新意识的好题.【答案】（1）BE=CE；（2）弧BD=弧CD；（3）弧AB=弧AC（4）AB=AC；（5）BD=DC；（6）∠ABC=∠ACB；（7）∠DBC=∠DCB；（8）∠ABD=∠ACD；（9）AD是BC的中垂线；奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856（10）△ABD≌△ACD；（11）O为△ABC的外心等等.【例15】如图15，AB为⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径.图15【分析】圆中的有关计算，大多都是通过构造由半径、弦心距、弦的一半组成的直角三角形，再利用勾股定理来解决.【解】过O作OC⊥AB于C，连结OA，则AB=2AC=2BC.在Rt△OCA和△OCP中，OC2=OA2－AC2，OC2=OP2－CP2，∴OA2－AC2=OP2－CP2.∵AB=10，PA=4，AB=2AC=2BC，∴CP=AB－PA－BC=1，AC=5.∴OA2－52=52－1.∴OA=7，即⊙O的半径为7 cm.【例16】⊙O的直径为50 cm，弦AB∥CD，且AB=40 cm，CD=48 cm，求弦AB和CD之间的距离.【分析】（1）图形的位置关系是几何的一个重要方面，应逐步加强位置感的培养.（2）本题往往会遗忘或疏漏其中的一种情况.(1)【解】（1）当弦AB和CD在圆心同侧时，如图(1),作OG⊥AB于G，交CD于E，连结OB、OD.∵AB∥CD，OG⊥AB，∴OE⊥CD.∴EG即为AB、CD之间的距离.∵OE⊥CD，OG⊥AB，∴BG=11AB=×40=20（cm）， 22奋飞教育---您值得信赖的一对一个性化辅导学校咨询：36517856DE=11CD=×48=24（cm）. 22在Rt△DEO中，OE=OD2-DE2=252-242=7（cm）.在Rt△BGO中，OG=OB2-BG2=252-202=15（cm）.∴EG=OG－OE=15－7=8（cm）.(2)（2）当AB、CD在圆心两侧时，如图(2)，同理可以求出OG=15 cm，OE=7 cm，∴GE=OG＋OE=15＋7=22（cm）.综上所述，弦AB和CD间的距离为22 cm或7 cm.【1】已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？【2】如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。
弧弦圆心角之间的关系
弧弦圆心角之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系如下：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。
连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），在同一个圆内最长的弦是直径。
顶点在圆心上的角叫做圆心角。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示。
相关计算公式：（R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长）
扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R 为扇形半径）
扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。
中考全国100份试卷分类汇编
2013中考全国100份试卷分类汇编圆周角1、（德阳市2013年）如图，在圆O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：圆O半径为52，tan∠ABC＝34，则CQ的最大值是A、5B、154C、253D、203答案：D解析：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△PCQ中，∠PCQ=∠ACB=90°，∵∠CPQ=∠CAB，∴△ABC∽△PQC；因为点P在⊙O上运动过程中，始终有△ABC∽△PQC，∴BCCQ＝ACPC，AC、BC为定值，所以PC最大时，CQ取到最大值．∵AB=5，tan∠ABC＝34，即BC：CA=4：3，所以，∴BC=4，AC=3．PC的最大值为直线5，所以，435CQ，所以，CQ的最大值为2032、（2013济宁）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B． C．6 D．考点：切线的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB﹣AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用勾股定理即可求出FG的长．解答：解：连接OD，∵DF为圆O的切线，∴OD⊥DF，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°，∵OD=OC，∴△OCD为等边三角形，∴OD∥AB，又O为BC的中点，∴D为AC的中点，即OD为△ABC的中位线，∴OD∥AB，∴DF⊥AB，在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=2，∴AD=4，即AC=8，∴FB=AB﹣AF=8﹣2=6，在Rt△BFG中，∠BFG=30°，∴BG=3，则根据勾股定理得：FG=3．故选B点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．3、(2013年临沂)如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是(A)75°. (B)60°. (C)45°. (D)30°.答案：B解析：连结OC，则∠OCB=45°，∠OCA=15°，所以，∠ACB=30°，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半，知∠AOB=60°4、（2013•自贡）如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A 的半径为（ ）5、（2013成都市）如图，点A,B,C 在O 上，A 50∠=，则BOC ∠的度数为（ ） A.40 B.50 C.80D.100答案：D解析：因为同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，所以，∠BOC＝2∠BAC＝100°，选D。
圆的确定,圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义6、多边形与圆如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形，提示：1、与圆的确定有关的两个图形一定要学生重点理解。
2、补充两个知识点：线段垂直平分线的性质和角平分线的性质3、和学生一起重点分析课本例题1和2，理解题目考察的细节和解题方法。
二、例题分析：1、以线段AB为弦的圆的圆心的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
cm。
2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则扇形的弧长是cm，扇形的面积是23、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r等于5厘米，点到圆心的距离为d，（1）当d=2厘米时，有d r，点在圆（2）当d=7厘米时，有d r，点在圆（3）当d=5厘米时，有d r，点在圆4、下列四边形：①平行四边形，②菱形；③矩形；④正方形。
其中四个顶点一定能在同一个圆上的有（）A、①②③④B、②③④C、②③D、③④5、（07上海中考）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块 B．第②块C．第③块 D．第④块6、三角形的外接圆的圆心是（），A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条边的垂直平分线的交点7、直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，则其外接圆半径长为。
（三）巩固练习1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．2、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形（）（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形，第7题 （第2题） 7、如图，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=_______8、如图，OE ⊥AB 、OF ⊥CD ，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）B A CEDOF（第8题） （第11题）9、已知，如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、Ｂ和C 、D 。
圆心角,弦,弧的关系
③AB=A′B′
• 在同圆或等圆中,如果轮换下面三组条件: • ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,你能得出
什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
A
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
⌒⌒
如由条件: ②AB=A′B′
可推出
A′
B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
推论
• 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,② 两条弧,③两条弦中,有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量都分别相等.
7个金蛋你可以任选一个,如果出现“恭喜你”的字样， 你将直接过关;否则将有考验你的数学问题，当然你可以 自己作答,也可以求助你周围的老师或同学.
3
5
7
1
2
4
6
判断：
1、等弦所对的弧相等。 （× ）
2、等弧所对的弦相等。 （√ ）
3、圆心角相等，所对的弦相等。( ）
× 4、弦相等，所对的圆心角相等。（ ）
合，B与∴A⌒BB′重与合A⌒．'B' 重合，AB与A′B′重合．
AB A'B', ABA'B'.
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 _相__等__， 所对的弦___相_等____；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角 __相__等__，所对的弧___相__等____．
A
A
B
●O
B
●O
●O′
A′
B′
如由条件: ③AB=A′B′
2013中考全国100份试卷分类汇编 与圆有关的计算
2013中考全国100份试卷分类汇编 与圆有关的计算1、(2013年武汉)如图，⊙A 与⊙B 外切于点D ，PC ，PD ，PE 分别是圆的切线，C ，D ，E 是切点，若∠CED ＝x °，∠ECD ＝y °，⊙B 的半径为R ，则⋂DE 的长度是（ ） A ．()9090R x -π B ．()9090R y -π C ．()180180R x -π D ．()180180R y -π 答案：B解析：由切线长定理，知：PE ＝PD ＝PC ，设∠PEC ＝z ° 所以，∠PED ＝∠PDE ＝（x ＋z ）°，∠PCE ＝∠PEC ＝z °，∠PDC ＝∠PCD ＝（y ＋z ）°，∠DPE ＝（180－2x －2z ）°，∠DPC ＝（180－2y －2z ）°，在△PEC 中，2z °＋（180－2x －2z ）°＋（180－2y －2z ）°＝180°，化简，得：z ＝（90－x －y ）°，在四边形PEBD 中，∠EBD ＝（180°－∠DPE ）＝180°－（180－2x －2z ）°＝（2x ＋2z ）°＝（2x ＋180－2x －2y ）＝（180－2y ）°，所以，弧DE 的长为：(1802)180y R π-＝()9090R y -π 选B 。
2、(2013年黄石)已知直角三角形ABC 的一条直角边12AB cm =，另一条直角边5BC cm =，则以AB 为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是A.290cm πB. 2209cm πC. 2155cm πD. 265cm π 答案：A解析：得到的是底面半径为5cm ，母线长为13cm 的圆锥，底面积为：25π，侧面积为：12513652ππ⨯⨯⨯=，所以，表面积为290cm π3、（2013•资阳）钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）A ． πB ． πC ． πD ． π考点： 扇形面积的计算；钟面角．分析： 从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，利用扇形的面积公式即可求解． 解答： 解：从9点到9点30分分针扫过的扇形的圆心角是180°，则分针在钟面上扫过的面积是：=π．故选：A ．点评： 本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．E P A B C D 第10题图4、（2013达州）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E为弧CD上一点，且O E⊥CD，垂足为F，OF=3003米，则这段弯路的长度为（）A．200π米B．100π米C．400π米D．300π米答案：A解析：CF＝300，OF＝3003，所以，∠COF＝30°，∠COD＝60°，OC＝600，因此，弧CD的长为：60600160π⨯＝200π米5、（2013•攀枝花）一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于（）A．60°B．90°C．120°D．180°考点：圆锥的计算．分析：要求其圆心角，就要根据弧长公式计算，首先明确侧面展开图是个扇形，即圆的周长就是弧长．解答：解：设底面圆的半径为r，则圆锥的母线长为2r，底面周长=2πr，侧面展开图是个扇形，弧长=2πr=，所以n=180°．故选D．点评：主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．6、（2013•眉山）用一圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm考点：圆锥的计算．分析：利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．解答：解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得2πr=，解得r=2cm．故选B．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．（第8题图） A B C D 7、（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A ． 90° B ． 120° C ． 150° D ． 180°考点： 圆锥的计算．分析： 设正圆锥的底面半径是r ，则母线长是2r ，底面周长是2πr ，然后设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n °，利用弧长的计算公式即可求解．解答： 解：设正圆锥的底面半径是r ，则母线长是2r ，底面周长是2πr ，设正圆锥的侧面展开图的圆心角是n °，则=2πr ，解得：n=180．故选D ．点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．8、（12-4圆的弧长与扇形面积·2013东营中考）如图，正方形ABCD 中，分别以B 、D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（ ）A. a πB. 2a πC. 12a π D. 3a 8.A.解析：由题意得，树叶形图案的周长为两条相等的弧长，所以其周长为290180a l a ππ==.9、（2013•嘉兴）如图，某厂生产横截面直径为7cm 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（ ）A ． cmB ． cmC ． cmD ．7πcm考点： 弧长的计算．分析： 根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可．解答： 解：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为45°，∴此弧所对的圆心角为90°，由题意可得，R=cm，则“蘑菇罐头”字样的长==π．故选B．点评：本题考查了弧长的计算，解答本题关键是根据题意得出圆心角，及半径，要求熟练记忆弧长的计算公式．10、（2013山西，1，2分）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ B ）A．23π－32B．23π－3C．π－32D．π－3【答案】B【解析】扇形BEF的面积为：S1=604360π⨯=23π，菱形ABCD的面积为S ABCD=1223232⨯⨯⨯=，如右图，连结BD，易证：△BDP≌△BCQ，所以，△BCQ与△BAP的面积之和为△BAD的面积为：3，因为四边形BPDQ的面积为3，阴影部分的面积为：23π－311、（2013•遂宁）用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．2πcm B．1.5cm C．πcm D．1cm考点：圆锥的计算．分析：把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．解答：解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，解得：r=1cm．故选D．点评：主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12、2013泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）A．8 B．4 C．4π+4 D．4π﹣4考点：扇形面积的计算；圆与圆的位置关系．分析：首先根据已知得出正方形内空白面积，进而得出扇形COB中两空白面积相等，进而得出阴影部分面积．解答：解：如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1，∴小圆的面积为：π×12=π，扇形COB的面积为：=π，∴扇形COB中两空白面积相等，∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8．故选：A．点评：此题主要考查了扇形的面积公式以及正方形面积公式，根据已知得出空白面积是解题关键．13、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A．B．C．D．32考点：圆锥的计算．分析：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB，然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可．解答：解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知，OD=OC=OA，由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，同理可得∠B=30°，在△AOB中，由内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°∴弧AB的长为=2π设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π∴r=1cm∴圆锥的高为=2故选A．点评：本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．14、（2013•德州）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．12D．考点：扇形面积的计算．分析：首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．解答：解：在Rt△AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S△AOB=OB×OA=12，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=12．故选C．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，仔细观察图形，得出阴影部分面积的表达式．15、（2013•宁夏）如图，以等腰直角△ABC两锐角顶点A、B为圆心作等圆，⊙A与⊙B 恰好外切，若AC=2，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算；相切两圆的性质．分析：根据题意可判断⊙A与⊙B是等圆，再由直角三角形的两锐角互余，即可得到∠A+∠B=90°，根据扇形的面积公式即可求解．解答：解：∵⊙A与⊙B恰好外切，∴⊙A与⊙B是等圆，∵AC=2，△ABC是等腰直角三角形，∴AB=2，∴两个扇形（即阴影部分）的面积之和=+==πR2=．故选B．点评：本题考查了扇形的面积计算及相切两圆的性质，解答本题的关键是得出两扇形面积之和的表达式，难度一般．16、（2013•包头）用一个圆心角为120°，半径为2的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为（）A．B．C．D．考点：圆锥的计算．分析：设圆锥底面的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，则2πr=，然后解方程即可．解答：解：设圆锥底面的半径为r，根据题意得2πr=，解得：r=．故选D．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17、（2013•淮安）若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是（）A．3πB．4πC．5πD．6π考点：弧长的计算．分析：根据弧长的公式l=进行计算即可．解答：解：∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴此扇形的弧长==4π．故选B．点评：本题考查了弧长的计算．此题属于基础题，只需熟记弧长公式即可．18、（2013•湖州）在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（）A．4πB．3πC．2πD．2π考点：圆锥的计算．分析：首先根据勾股定理计算出母线的长，再根据圆锥的侧面积为：S=•2πr•l=πrl，代入侧数进行计算即可．解答：解：∵底面半径为1，高为2，∴母线长==3．底面圆的周长为：2π×1=2π．∴圆锥的侧面积为：S侧=•2πr•l=πrl=×2π×3=3π．故选B．点评：此题主要考查了圆锥的计算，关键是掌握圆锥的侧面积公式：S=•2πr•l=πrl．侧19、（2013•荆门）若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l与底面半径r的关系是（）A．l=2r B．l=3r C．l=r D．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长有2π•r=π•l，即可得到r与l的比值．解答：解：∵圆锥的侧面展开图是半圆，∴2π•r=π•l，∴r：l=1：2．则l=2r．故选A．．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长．20、2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O 与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：连接OB、OC、OA，求出∠BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC 和扇形OBC的面积，即可求出答案．解答：解：连接OB、OC、OA，∵圆O切AM于B，切AN于C，∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°，∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠CAO=α，AB=AC=，∴阴影部分的面积是：S四边形BACO﹣S扇形OBC=2×××r﹣=（﹣）r2，∵r＞0，∴S与r之间是二次函数关系．故选C．点评：本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．21、（2013•恩施州）如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为（）A．B．C．π+1 D．考点：扇形面积的计算；正方形的性质；旋转的性质．分析：画出示意图，结合图形及扇形的面积公式即可计算出点A运动的路径线与x轴围成的面积．解答：解：如图所示：点A 运动的路径线与x 轴围成的面积=S 1+S 2+S 3+2a=+++2×（×1×1）=π+1． 故选C ．点评： 本题考查了扇形的面积计算，解答本题如果不能直观想象出图形，可以画出图形再求解，注意熟练掌握扇形的面积计算公式．22、（2013•牡丹江）一个圆锥的母线长是9，底面圆的半径是6，则这个圆锥的侧面积是（ ）A ． 81πB ． 27πC ． 54πD ．18π考点： 圆锥的计算．分析： 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．解答： 解：圆锥的侧面积=2π×6×9÷2=54π．故选C ．点评： 本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．23、（2013年河北）如图7，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠C = 30°，CD = 23.则S 阴影=A ．πB ．2πC ．23 3D ．23π 答案：D解析：∠AOD ＝2∠C ＝60°，可证：△EAC ≌△EOD ，因此阴影部分的面积就是扇形AOD的面积，半径OD ＝2，S 扇形AOD ＝2602360π⨯＝23π24、(2013•遵义）如图，将边长为1cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）A．cm B．（2+π）cmC．cmD．3cm考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质．分析：通过观察图形，可得从开始到结束经过两次翻动，求出点B两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度．解答：解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠AC（A）=120°，点B两次翻动划过的弧长相等，则点B经过的路径长=2×=π．故选C．点评：本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，得到点B运动的路径，注意熟练掌握弧长的计算公式．25、（2013•南宁）如图，圆锥形的烟囱底面半径为15cm，母线长为20cm，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至少是（）A．150πcm2B．300πcm2C．600πcm2D．150πcm2考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．解答：解：烟囱帽所需要的铁皮面积=×20×2π×15=300π（cm2）．故选B．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．26、（德阳市2013年）用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是＿＿＿答案：4 3解析：扇形的周长为：1204821803Rπππ⨯==，所以R＝4327、（2013•广安）如图，如果从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高是3cm．考点：圆锥的计算．分析：因为圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，则留下的扇形的弧长==8π，所以圆锥的底面半径r==4cm，利用勾股定理求圆锥的高即可；解答：解：∵从半径为5cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，∴留下的扇形的弧长==8π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r==4cm，∴圆锥的高为=3cm故答案为：3．点评：此题主要考查了主要考查了圆锥的性质，要知道（1）圆锥的高，底面半径，母线构成直角三角形，（2）此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．解此类题目要根据所构成的直角三角形的勾股定理作为等量关系求解．28、（2013•巴中）底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积等于2π．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题．解答：解：圆锥的侧面积=2×2π÷2=2π．故答案为：2π．点评：本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．29、（2013•衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为+2．考点：扇形面积的计算．专题：数形结合．分析：在Rt△OBC中求出OB、BC，然后求出扇形OAB及△OBC的面积即可得出答案．解答：解：∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，∴∠OBC=30°，∴OB=4cm，BC=2cm，则S扇形OAB==，S△OBC=OC×BC=2，故S重叠=S扇形OAB+S△OBC=+2．故答案为：+2．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题关键是求出扇形的半径，注意熟练掌握扇形的面积公式，难度一般．30、（2013四川南充，13，3分）点A,B，C是半径为15cm的圆上三点，∠BAC=36°，则弧BC的长为__________cm.答案：6π解析：设圆心为O，则∠BOC＝72°，所以，弧BC的长为7215180π⨯＝6π31、（2013济宁）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm．考点：旋转的性质；弧长的计算．分析：根据Rt△ABC中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA′C是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA′旋转所构成的扇形的弧长．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=10cm，∴AC=AB=5cm．根据旋转的性质知，A′C=AC，∴A′C=AB=5cm，∴点A′是斜边AB的中点，∴AA′=AB=5cm，∴AA′=A′C=AC，∴∠A′CA=60°，∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为：=（cm）．故答案是：．点评：本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解题的难点是推知点A′是斜边AB的中点，同时，这也是解题的关键．32、（2013聊城）已知一个扇形的半径为60cm，圆心角为150°，用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为cm．考点：圆锥的计算．分析：首先利用扇形的弧长公式求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求解．解答：解：扇形的弧长是：=50πcm，设底面半径是rcm，则2πr=50π，解得：r=25．故答案是：25．点评：考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．33、（2013•呼和浩特）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°．考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．解答：解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=πR，∴n=180°．故答案为：180．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．34、（2013•泸州）如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为3cm．考点： 圆锥的计算．分析： 首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定理即可求得圆锥的高．解答： 解：圆心角是：360×（1﹣）=240°， 则弧长是：=12π（cm ），设圆锥的底面半径是r ，则2πr=12π，解得：r=6， 则圆锥的高是：=3（cm ）．故答案是：3．点评： 正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．35、(2013河南省)已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的弧长是 ㎝【解析】有扇形的弧长公式180n r l π=可得：弧长120481801803n r l πππ⨯⨯=== 【答案】83π36、（2013•徐州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm ，则扇形的半径为 15 cm ．考点： 弧长的计算．分析： 运用弧长计算公式，将其变形即可求出扇形的半径．解答： 解：扇形的弧长公式是L==， 解得：r=15．故答案为：15．点评： 此题主要考查了扇形的弧长公式的变形，难度不大，计算应认真．37、（2013•常州）已知扇形的半径为6cm ，圆心角为150°，则此扇形的弧长是 5π cm ，扇形的面积是 15π cm 2（结果保留π）．考点：扇形面积的计算；弧长的计算．分析：根据扇形的弧长公式l=和扇形的面积=，分别进行计算即可．解答：解：∵扇形的半径为6cm，圆心角为150°，∴此扇形的弧长是：l==5π（cm），根据扇形的面积公式，得S扇==15π（cm2）．故答案为：5π，15π．点评：此题主要考查了扇形弧长公式以及扇形面积公式的应用，熟练记忆运算公式进行计算是解题关键．38、（2013四川宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是4π．考点：弧长的计算；等边三角形的性质．分析：弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3，利用弧长的计算公式可以求得三条弧长，三条弧的和就是所求曲线的长．解答：解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2π，则曲线CDEF的长是：++2π=4π．故答案是：4π．点评：本题考查了弧长的计算公式，理解弧CD，弧DE，弧EF的圆心角都是120度，半径分别是1，2，3是解题的关键．39、（2013•衡阳）如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是48πcm2．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．解答：解：圆锥形小漏斗的侧面积=×12π×8=48πcm2．故答案为48πcm2．点评：本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积=×底面周长×母线长40、（2013•苏州）如图，AB切⊙O于点B，OA=2，∠OAB=30°，弦BC∥OA，劣弧的弧长为π．（结果保留π）考点：切线的性质；含30度角的直角三角形；弧长的计算．专题：计算题．分析：连接OB，OC，由AB为圆的切线，利用切线的性质得到三角形AOB为直角三角形，根据30度所对的直角边等于斜边的一半，由OA求出OB的长，且∠AOB为60度，再由BC与OA平行，利用两直线平行内错角相等得到∠OBC为60度，又OB=OC，得到三角形BOC为等边三角形，确定出∠BOC为60度，利用弧长公式即可求出劣弧BC的长．解答：解：连接OB，OC，∵AB为圆O的切线，∴∠ABO=90°，在Rt△ABO中，OA=2，∠OAB=30°，∴OB=1，∠AOB=60°，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB=60°，又OB=OC，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=60°，则劣弧长为=π．故答案为：π点评：此题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，以及弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．41、用半径为10cm，圆心角为216°的扇形做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为8cm．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：根据圆的周长公式和扇形的弧长公式解答．解答：解：如图：圆的周长即为扇形的弧长，列出关系式解答：=2πx，又∵n=216，r=10，∴（216×π×10）÷180=2πx，解得x=6，h==8．故答案为：8cm．点评：考查了圆锥的计算，先画出图形，建立起圆锥底边周长和扇形弧长的关系式，即可解答．42、（2013•遂宁）如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则图中阴影部分的面积约是7.2．（π≈3.14，结果精确到0.1）考点：扇形面积的计算；旋转的性质．分析：扇形BAB'的面积减去△BB'C'的面积即可得出阴影部分的面积．解答：解：由题意可得，AB=BB'==，∠ABB'=90°，S扇形BAB'==，S△BB'C'=BC'×B'C'=3，则S阴影=S扇形BAB'﹣S△BB'C'=﹣3≈7.2．故答案为：7.2．点评：本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是求出扇形的半径，及阴影部分面积的表达式．43、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．考点：扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：综合题．分析：根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四边形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分别求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可．解答：解：∵弦AB=BC，弦CD=DE，∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，∴∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°，在四边形OFCG中，∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°，∴△CNG为等腰三角形，∴CG=NG=2，过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2，在等腰三角形MNO中，NO=MN=4，∴OG=ON+NG=6，在Rt△OGD中，OD===2，即圆O的半径为2，故S阴影=S扇形OBD==10π．故答案为：10π．点评：本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．44、（2013•昆明）如图，从直径为4cm的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90°的扇形OAB，且点O、A、B在圆周上，把它围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是cm．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：设圆锥的底面圆的半径为r，由于∠AOB=90°得到AB为⊙O的直径，则OB=AB=2cm，根据弧长公式计算出扇形OAB的弧AB的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算．解答：解：设圆锥的底面圆的半径为r，连结AB，如图，∵扇形OAB的圆心角为90°，∴∠AOB=90°，∴AB为⊙O的直径，∴AB=4cm，∴OB=AB=2cm，∴扇形OAB的弧AB的长==π，∴2πr=π，∴r=（cm）．故答案为．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理和弧长公式．45、（2013•十堰）如图，正三角形ABC的边长是2，分别以点B，C为圆心，以r为半径作两条弧，设两弧与边BC围成的阴影部分面积为S，当≤r＜2时，S的取值范围是﹣1≤S＜﹣．考点：扇形面积的计算；等边三角形的性质．分析：首先求出S关于r的函数表达式，分析其增减性；然后根据r的取值，求出S的最大值与最小值，从而得到S的取值范围．解答：解：如右图所示，过点D作DG⊥BC于点G，易知G为BC的中点，CG=1．在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG==．设∠DCG=θ，则由题意可得：S=2（S扇形CDE﹣S△CDG）=2（﹣×1×）=﹣，∴S=﹣．当r增大时，∠DCG=θ随之增大，故S随r的增大而增大．当r=时，DG==1，∵CG=1，故θ=45°，∴S=﹣=﹣1；若r=2，则DG==，∵CG=1，故θ=60°，∴S=﹣=﹣．。
圆心角、弧、弦三者的关系
在同圆或等圆中，如果圆心角相等， 那么它们所对的弧相等，所对的弦 也相等。
︵︵ 即：若∠AOB=∠COD，则： AB = CD AB=CD
D C
（A）
⑴在同圆或等圆中，如果弧相等，那么 它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？
︵︵ 当 AB = CD时
AB=CD ∠AOB=∠COD (相等)
2021/3/27
A
O B
CHENLI
C（A）
O1 D（B）
6
⑵在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们 所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
︵︵
当AB=CD时 ∠AOB=∠COD，AB=CD
（相等）
O1
C（A） D（B）
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对 的圆心角 相等 ，所对的弦 相等 。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对 的圆心角 相等 ，所对的弧 相等 。
CHENLI
10
1、顶点在 圆心上 的角叫做圆心角。 2、在 同圆或等圆 中，相等的圆心 角所对的弦 相等 ，所对的弧 相等 。
3、在同圆或等圆中，如果两条弧、两条 弦、两个圆心角中有一组量相等，那么其余 各组量也 相等 。
完
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12
⒉如图AB是⊙O的直径，BC = DC = DE ，∠COD=35°，
求∠AOE的度数︵。 ︵ ︵
ED C
解：∵ BC = DC = DE
∴∠BOC=∠COD=∠DOE
A
O
B
∵∠COD=35°
∴∠BOE=3∠COD=3×35°=105°
∴∠AOE=180°－∠BOE=180°－105°
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=75° CHENLI
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2013中考全国100份试卷分类汇编
圆心角、弧、弦的关系
1、（德阳市2013年）如图．圆O的直径CD过弦EF的中点G, ∠
DCF=20°.，则∠EOD等于
A. 10°
B. 20°
C. 40°
D. 80°
答案：C
解析：因为直径过弦EF的中点G，所以，CD⊥EF，且平分弧EF，
因此，弧ED与弧BD的度数都为40°，所以，∠EOD＝40°，选C。
2、（2013•内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）
．cm ．cm ．cm
∴=
=4cm
=4
3、（2013泰安）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）
A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
专题：计算题．
分析：由C为弧EB的中点，利用垂径定理的逆定理得出OC垂直于BE，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AE垂直于BE，即可确定出OC与AE平行，选项A 正确；
由C为弧BE中点，即弧BC=弧CE，利用等弧对等弦，得到BC=EC，选项B正确；
由AD为圆的切线，得到AD垂直于OA，进而确定出一对角互余，再由直角三角形ABE 中两锐角互余，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，选项C正确；
AC不一定垂直于OE，选项D错误．
解答：解：A．∵点C是的中点，
∴OC⊥BE，
∵AB为圆O的直径，
∴AE⊥BE，
∴OC∥AE，本选项正确；
B．∵=，
∴BC=CE，本选项正确；
C．∵AD为圆O的切线，
∴AD⊥OA，
∴∠DAE+∠EAB=90°，
∵∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠DAE=∠EBA，本选项正确；
D．AC不一定垂直于OE，本选项错误，
故选D
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及圆心角，弧及弦之间的关系，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
4、（2013•苏州）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（）
ABD=
5、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）
．
、=
6、（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）
∴=，即=
7、（2013台湾、34）如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若=62°，则的度数为何？（）
A．56 B．58 C．60 D．62
考点：圆心角、弧、弦的关系；平行线的性质．
分析：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，根据平行线求出∠1=∠2，推出弧DC=弧AM=62°，即可求出答案．
解答：解：
以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠2，
∴弧AM=弧DC=62°，
∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°=56°，
故选A．
点评：本题考查了平行线性质，圆周角定理的应用，关键是求出弧AM的度数．
8、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为10π．
，
MN=FC=2
NO=
==2，
，
=
9、（2013•常州）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=2．
ADB=BDC=×
÷，
BD=4．
．
10、（2013•黔西南州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=3
5
，求⊙O的直径．
，根据=
，即
∴=
=
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