一次函数的图像及性质
一次函数的图象及性质
在某个点处，函数的导数为0，并且在该点左侧导数小 于0，右侧导数大于0，那么这个点就是极小值点。
一次函数的凹凸性
凹函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数大于 0，那么这个函数在这个区间内是凹函数 。
VS
凸函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数小于 0，那么这个函数在这个区间内是凸函数 。
04
一次函数与数列的关系
数列是一次函数图象上多个点的集合，表示在多个自变 量下函数的值的变化规律。通过对数列的研究，我们可 以找到一次函数图象上对应的多个点。
一次函数与数列的关系还表现在解决实际问题中，如等 差数列和等比数列的问题，通过建立一次函数模型可以 解决实际问题的最优解。
06
一次函数的扩展知识
一次函数与方程的关系还表现在求解未知数 的运算过程中，通过对方程的求解可以得到
一次函数的解析式。
一次函数与不等式的关系
不等式可以看作一次函数图象上某一段的横坐标，表 示在这一段上函数的值大于或小于零。通过对不等式 的求解，我们可以找到一次函数图象上对应的区间。
一次函数与不等式的关系还表现在解决实际问题中， 如时间、速度、价格等问题，通过建立一次函数不等 式模型可以解决实际问题的最优解。
为截距。
当自变量取值为`x`时，函数值 计算公式为`y = kx + b`。
绘制点
根据计算出的函数值和自变量的取值，绘制散点图。
对于每个自变量值，计算其对应的函数值，并在坐标系中绘制一个点。
连接点
使用线段或曲线连接散点图中的点。
对于一次函数，通常使用直线连接点，因为一次函数的图像是一条直线。
03
一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
求解方程
一次函数图像的性质
一次函数图像的性质
一次函数图像的性质是什么？
答：一次函数图像性质总结如下：
1、y=kx时（即b等于0，y与x成正比，此时的图象是一条经过原点的直线）：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大。
当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
2、y=kx+b（k，b为常数，k≠0）时：
当k>0，b>0，这时此函数的图象经过一、二、三象限。
当k>0，b<0，这时此函数的图象经过一、三、四象限。
当k<0，b>0，这时此函数的图象经过一、二、四象限。
当k<0，b<0，这时此函数的图象经过二、三、四象限。
当b>0时，直线必通过一、二象限。
当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限，不会通过二、四象限。
当k<0时，直线只通过二、四象限，不会通过一、三象限。
3、直线y=kx+b中k、b的关系：
k>0，b>0：经过第一、二、三象限。
k>0，b<0：经过第一、三、四象限。
k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点）。
结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。
k<0，b>0：经过第一、二、四象限。
k<0，b<0：经过第二、三、四象限。
k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点）。
结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。
一次函数的图像和性质
一次函数的图象和性质【知识要点】1.一次函数的概念：函数y=kx ＋b （k ，b 为常数，k ≠0）叫做x 的一次函数。
学习这个定义应明确下面几点：函数y=kx ＋b （k ≠0）中b 可以为任意常数，当b=0时，一次函数y=kx ＋b 就成y=kx （k 为常数，且（k ≠0）），这时y 叫做x 的正比例函数，也可以说y 与x 成正比例，常数k 叫做因变量y 与自变量x 的比例系数．因此正比例函数是一次函数的特例，但一次函数不一定是正比例函数。
2.一次函数的图像：一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是一条与坐标轴斜交的直线。
因此，只需求出直线y ＝kx ＋b 上的两点，就可得到它。
一般，作正比例函数y ＝kx 的图像常取点（0，0）和（1，k ）；作一次函数)0(≠+=b b kx y 的图像常取（b ,0）和（0,k b-）两点，这两点是直线与坐标轴的交点。
3.一次函数的性质：（1）参数k 、b 的意义和对一次函数y ＝kx ＋b 的图像与性质的影响。
当k>0时，图像一定过一、三象限，y 随x 的增大而增大，这时函数的图像从左到右呈上升趋势；当k<0时，图像一定过二、四象限，y 随x 的增大而减小，这时函数的图像从左到右呈下降趋势；（因此，k 的符号与直线的方向、函数的增减性是相互决定的。
）（2）b 是一次函数y ＝kx ＋b 中，当x ＝0时所对应的函数值，因此直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点（0，b ），b 是直线y ＝kx ＋b 与y 轴上的交点的纵坐标，所以，b 的符号和直线与y 轴交点位置是相互对应的。
（3）k 、b 的符号对直线位置的影响：【小试牛刀】 1、一个正比例函数y kx=的图象经过点A （-2，4），写出这个正比例函数的表达式 ．2、一辆汽车和一辆摩托车分别从A ,B 两地去同一城市,它们离A 地的路程随时间变化的图象如图所示.则下列结论错误．．的是（ ） A.摩托车比汽车晚到1 h B. A , B 。
一次函数的定义和性质
一次函数的定义和性质一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数，且a不等于零。
它也被称为线性函数，因为它的图像是一条直线。
一次函数是数学中的基础概念之一，具有一些重要的性质和应用。
一. 定义一次函数是指以x为自变量，以y为因变量的函数，其表达式为y=ax+b，其中a和b为实数，且a不等于零。
其中，a称为一次项的系数，b称为常数项。
当x取不同的值时，y的取值也相应地发生变化，这种对应关系可以通过一条直线来表示。
二. 图像特征1. 直线特征：一次函数的图像总是一条直线，因此它具有线性特征；2. 斜率特征：一次函数的斜率表示为常数a，描述了图像在x轴正方向上的倾斜程度。
斜率为正时，表示图像向上倾斜；斜率为负时，表示图像向下倾斜；3. 截距特征：一次函数的截距表示为常数b，描述了图像与y轴的交点位置。
截距为正时，表示图像与y轴正半轴交于正值点；截距为负时，表示图像与y轴负半轴交于负值点。
三. 性质1. 单调性：一次函数的单调性由斜率的正负决定。
当a大于零时，函数单调递增；当a小于零时，函数单调递减；2. 定义域和值域：一次函数的定义域为所有实数；值域为所有实数，即函数的取值范围没有限制；3. 零点：一次函数的零点即为函数的根，表示当x取某个值时，函数的值等于零。
对于一次函数，当且仅当x=-b/a时，函数的值为零；4. 最值：一次函数没有最大值和最小值，因为它的图像是一条直线；5. 平移：通过给定一次函数的表达式，可以进行平移操作来得到新的函数。
平移操作可以在x轴和y轴上分别进行，通过改变常数a和b的值，可以使图像在平面上发生移动。
四. 应用一次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如：1. 财务收入：一些经济指标和统计数据的变化趋势可以通过一次函数来表示，如年度收入的增长率；2. 运动模型：一次函数可以表示一些常见的运动模型，如匀速运动的位移和速度关系；3. 经济学模型：在经济学中，一次函数可以用来表示供求关系、成本和收益关系等；4. 工程预测：一次函数可以用来进行工程测量、预测物理量的变化趋势等。
一次函数的图像和性质
课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。
（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。
2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。
反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。
（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。
（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。
即该函数为减函数。
3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。
4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1.一次函数y=3x-6的图像是，它与x轴的交点坐标是，它与y轴的交点坐标是2.将直线y=x向下平移4个单位，得到直线3.将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4.若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5.若直线y=-2x-5与直线y=6x+b相交于y轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像（1）y=2x+6 （2）1722 y x=+（3）4833y x=--（4）1344y x=--7,做一做：画出函数y=-2x+2 的图像，结合图象回答下列问题：（ 1 ）这个函数中，随着x 的增大，y 将增大还是减小？（ 2 ）当x 取何值时，y=0 ？当y 取何值时，x=0 ？（ 3 ）当x 取何值时，y>0 ？（ 4 ）函数的图像不经过哪个象限？8、完成下列各题：（1）下列函数中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.y=2x-7B.y=0.5x+2C.y=(2-1)x+3D.y=-0.3x+1（2）函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而____（3）函数y=(2m-1)x+2的函数值随x的增大而减小，则m的值为______ （4）一次函数y=2x+4的图像上有两点A(3,a)，B(4,b)，请判断a与b的大小（5）y=x+5与y=2x-5的增减性（y 随着x 的增加而增加，还是随着x 的增加而减小）是否一样？（6）y=-2x+5与y=-2x-5的增减性是否一样？（7）A(a,6)和B(b,-2)在函数y=2x-5的图像上，请你判断a ，b 的大小关系 9、已知一次函数2(2)28y k x k =--+，分别根据下列条件求k 的值或k 的取值范围： （1）它的图像经过原点（2）它的图像经过点（0,－2）（3）它的图像与y 轴的交点在x 轴上方 （4）y 随着x 的增大而减小（5）这条直线经过一、二、三象限10、要使一次函数y=-3x+4的函数值大于4，求自变量x 的取值范围。
一次函数的图像和性质
图象关系 图象平移得到，b>0，向上平移 b 个单位；b<0，向
下平移b个单位
图象确定
因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直 线可知画一次函数图象时，只要取两个点即可
第14讲┃ 考点聚焦
(2)正比例函数与一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限
k>0
_一__、__三__象__限_
一次函数图象的
解即两函数图象的交点坐标
交点坐标
一条直线与坐标 轴围成的三角形
的面积
直线y＝kx＋b与x轴交点坐标为－bk，0，与y轴交
点为(0，b)，三角形面积为S△＝12－kb
×
|b|
第14讲┃ 考点聚焦 考点5 由待定系数法求一次函数的表达式
因在一次函数y＝kx＋b(k≠0)中有两个未知系数k和b，所 以要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知两点
图 11－1
B．m<1
C．m<0
D．m>0
[解析] 根据函数的图象可知m－1＜0，求出m的取 值范围为m＜1.故选B.
第14讲┃ 归类示例
► 类型之二 一次函数的图象的平移 命题角度： 1．一次函数的图象的平移规律； 2．求一次函数的图象平移后对应的关系式． [2012·衡阳] 如图11－2，一次函数y＝kx＋b的图
y随x增 大而增大
_一__、__二__、__四__象__限__ _二__、__三__、__四__象__限__
y随x增 大而减小
第14相交
__k_1_≠__k_2_⇔l1 和 l2 相交
＋b1 和 l2：y＝k2x 平行 ＋b2 的位置关系
y＝kx (k≠0)
k<0
初中数学一次函数的图象和性质
一次函数的图象和性质一、知识要点：1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式，则称y是x的函数。
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
2、图象：一次函数的图象是一条直线（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（- ，0）。
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0，0）和（1，k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ，0）和（0，b）的一条直线。
（3）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、一次函数图象的性质：（1）图象在平面直角坐标系中的位置:（2）增减性：k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小。
4、求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种：一是由已知函数推导，如例题1；二是由实际问题列出两个未知数的方程，再转化为函数解析式，如例题4的第一问。
三是用待定系数法求函数解析式，如例2的第二小题、例7。
其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程，得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中。
二、例题举例：例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2，求变量y与x的函数关系。
分析：已知两组函数关系，其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x 的关系。
解：∵y=2y1y1=3x+2,∴y=2(3x+2)=6x+4,即变量y与x的关系为：y=6x+4。
例2、解答下列题目（1）（甘肃省中考题）已知直线与y轴交于点A，那么点A的坐标是（）。
（A）（0，–3）（B）（C）（D）（0，3）（2）(杭州市中考题)已知正比例函数，当x=–3时，y=6．那么该正比例函数应为（）。
一次函数概念、图象与性质
描点法步骤：首先确定两个点， 然后通过这两点绘制直线。通常 选择函数与坐标轴的交点作为描
点。
一次函数与x轴交点为(-b/k, 0)， 与y轴交点为(0, b)，其中k为斜
率，b为截距。
斜率对图象影响
斜率k决定了直线的倾斜程度。当k>0时，直线向右上方倾斜；当k<0时，直线向右 下方倾斜。
|k|的大小决定了直线的倾斜角。|k|越大，倾斜角越大，直线越陡峭；|k|越小，倾斜 角越小，直线越平缓。
边际收益分析
利用一次函数描述收益与 销量之间的关系，分析边 际收益。
边际利润决策
根据边际成本和边际收益， 确定最优产量和价格策略。
物理学中运动规律描述
匀速直线运动
通过一次函数表示位移与时间的 关系，描述匀速直线运动规律。
匀变速直线运动
利用一次函数表示速度与时间的关 系，分析匀变速直线运动过程。
自由落体运动
线性关系判断
判断方法
通过观察数据点是否大致分布在一条直线上来判断两个变量之间是否存在线性 关系。
线性关系特点
若两个变量之间存在线性关系，则它们的变化趋势是一致的，即当一个变量增 加时，另一个变量也相应地增加或减少。
02 一次函数图象绘制
直角坐标系中通过在直角坐标系中描点法绘
截距和斜率共同决定了直线的 位置和方向。不同的截距和斜 率组合可以得到不同的直线方 程和图象。
03 一次函数性质分析
单调性
一次函数在其定义域内具有单调性。具体来说，当一次函数的斜率k>0时，函数 在整个定义域内单调递增；当k<0时，函数在整个定义域内单调递减。
一次函数的单调性可以通过其图象直观地反映出来。在平面直角坐标系中，当 k>0时，函数的图象是一条从左下方到右上方的直线，表示函数值随x的增大而 增大；当k<0时，函数的图象是一条从左上方到右下方的直线，表示函数值随x 的增大而减小。
一次函数图像与性质小结
一次函数图像和性质小结一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，且k≠0•）的函数，•叫做一次函数（•linear function）．一次函数的定义域是一切实数.当b=0时，y=kx+b即y=kx（k是常数，且k≠0•）．所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.当k=0时，y等于一个常数，这个常数用c来表示，一般地，我们把函数y=c（c是常数）叫做常值函数（constant function）它的定义域由所讨论的问题确定．一般来说, 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数,且k≠0)的图像是一条直线. 一次函数y=kx+b的图像也称为直线y=kx+b. 一次函数解析式y=kx+b称为直线的表达式.一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.一般地，直线y=kx+b(k0)与y轴的交点坐标是(0,b).直线y=kx+b(k0)的截距是b.一次函数的图像：k>0 b>0 函数经过一、三、二象限k>0 b<0 函数经过一、二、三象限k<0 b>0 函数经过一、二、四象限k<0 b<0 函数经过二、三、四象限上面性质反之也成立1．b的作用在坐标平面上画直线y=kx+b (k≠0)，截距b相同的直线经过同一点(0,b).2．k的作用k值不同，则直线相对于x轴正方向的倾斜程度不同.(1)k>0时，K值越大，倾斜角越大(2)k<0时，K值越大，倾斜角越大说明（1）倾斜角是指直线与x轴正方向的夹角；（2）常数k称为直线的斜率.关于斜率的确切定义和几何意义，将在高中数学中讨论.3．直线平移一般地，一次函数y=kx+b(b0)的图像可由正比例函数y=kx的图像平移得到.当b>0时，向上平移b个单位；当b<0时，向下平移|b|个单位.4．直线平行如果k1=k2 ,b1b2，那么直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行.如果直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2平行，那么k1=k2 ,b1b2 .1．一次函数与一元一次方程的关系一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解；反之，一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.两者有着密切联系,体现数形结合的数学思想.2．一次函数与一元一次不等式的关系由一次函数y=kx+b的函数值y大于0（或小于0），就得到关于x的一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）.在一次函数y=kx+b的图像上且位于x轴上方(或下方)的所有点,它们的横坐标的取值范围就是不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解.。
(完整版)一次函数的图像与性质
一次函数的性质和图像目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。
（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像1、一次函数图像的形状2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像1、正比例函数图像的形状2、正比例函数图像的画法3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。
（常数项）b决定图象与y轴交点位置。
五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2两直线重合，k1= k2，b1=b2两直线相交，k1≠k2两直线垂直，k1×k2=－1（一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。
一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。
因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。
正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。
在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。
确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。
但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。
若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。
一次函数的图像及性质
一次函数的图象及性质1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴ 次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数和一次函数图像及性质3、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：即横坐标或纵坐标为0的点.4、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例1：已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，求函数表达式．例2、直线与x 轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B ，若点B 到x 轴的距离为2，求直线的解析式。
例1:已知一次函数)1()14(+-+=m x m y 。
（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？（2）m 为何值时，此直线与y 轴交点在x 轴下方？ （3）m 为何值时，此直线不经过第三象限？（4）若1=m ，求这个一次函数与两个坐标轴的交点。
一次函数图像及其性质
一次函数图像及其性质一、一次函数图像1、一次函数y=kx+b 的k 、b 的值对一次函数图象的影响：① ② ③ ④①k ﹥0,b ﹥0, y ＝kx +b 的图象在一、二、三象限；②k ﹥0, b ﹤0, y ＝kx +b 的图象在一、三、四象限； ③k ﹤0,b ﹥0, y ＝kx +b 的图象在一、二、四象限；④k ﹤0, b ﹤0, y ＝kx +b 的图象在二、三、四象限。
2、一次函数的性质⑴正比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数，当k>0时，图象过一、三象限，y 随x 的增大而_增大__； 当k<0时，图象过__二、四__象限；y 随x 的增大而_减小___.⑵一次函数y=kx ＋b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得，当k>0时，y 随x 的增大而_增大_； 当k<0时，y 随x 的增大而__减小_k>0时，k 越大，y 增长得越快；k<0时，k 越大，减小得越快；⑴在一次函数y=kx ＋b 中，令y=0，得一元一次方程kx ＋b=0，它的根就是一次函数y=kx ＋b 的图象与x 轴交点的横坐标.⑵一元一次不等式kx ＋b>0(或kx ＋b<0)的解集可以看作一次函数y=kx ＋b 当函数值大于或小于0时相应的自变量x 值的取值范围.⑶两直线交点的坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解.题型考点一：一次函数的增减性例1、已知关于x 的一次函数2(3)2y m x m =-++-．(1) m 为何值时，函数的图象和直线y=－x 平行? (2)m 为何值时，y 随x 的增大而减小？【变式】已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2+18. （1）k 为何值时，它的图象经过原点？ （2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）?（3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方？ （4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=x ？ （5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小？题型考点二：一次函数图像与象限关系例2、直线y=x+b （b>0）与直线y=kx （k<0）的交点位于（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【练习】若实数a ，b 满足ab ＜0，且a ＜b ，则函数y=ax+b 的图象可能是（ ）题型考点三：一次函数图像的交点例3、如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的坐标为A （-2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则k 的值不可能是（） A 、-5 B 、-2 C 、3 D 、5【练习】如图，直线l ：233y x =--与直线y a =（a 为常数）的交点在第四象限， 则a 可能在（）A 、1<a<2B 、-2<a<0C 、32a -≤≤-D 、-10<a<-4二、一次函数与一元一次方程的关系直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解。
第11节 一次函数的图象和性质
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
第11讲 一次函数的图象和性质
5．(2016·温州)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段 AB上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周 长为10，则该直线的函数表达式是( C) A．y＝x＋5 B．y＝x＋10
C．y＝－x＋5
D．y＝－x＋10
D 【例1】 (1)(2016·玉林)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是( ) A．点(0，k)在l上 B．l经过定点(－1，0) C．当k＞0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一、二、三象限 (2)(2016·贵阳)已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点 ，则a与b的大小关系是____． a＞b 【点评】 一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)是一条直线，当k＞0时，图象 经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过第二、四象限，y随x 的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0，b)．
解：①对于直线 y＝ 3x＋ 3，令 x＝0，则 y＝ 3，令 y＝0， 则 x＝－1， 故点 A 的坐标为(0， 3)， 点 B 的坐标为(－1， 0)， 则 AO＝ 3， AO BO＝1，在 Rt△ABO 中，∵tan∠ABO＝BO ＝ 3，∴∠ABO＝60°； ②在△ABC 中，∵AB＝AC，AO⊥BC，∴AO 为 BC 的中垂线， 即 BO＝CO，则 C 点的坐标为(1，0)，设直线 l 的解析式为 y＝kx＋b(k， k＝－ 3， 3＝b， b 为常数)，则 解得 即函数解析式为 y＝－ 3x＋ 3. 0＝k＋b， b＝ 3，
(2)在平面直角坐标系中，已知点 A(27 ，3)，B(4，7)，直线 y＝kx－k(k≠0) ≤k≤3 与线段 AB 有交点，则 k 的取值范围为 3 ．
一次函数的图像及性质
一次函数是一种简单而重要的函数类型。了解一次函数的图像和性质对于理 解数学和实际应用都非常重要。
一次函数的定义
一次函数也被称为线性函数，具有形如y=ax+b的形式，其中a和b为常数。
一次函数的标准形式
一次函数的标准形式为y=ax+b，其中a表示斜率，b表示截距。
一次函数的图像
直线
一次函数的图像是一条直线， 可以通过两个点来确定。
正斜率
当斜率a大于0时，直线向上倾 斜。
负斜率
当斜率a小于0时，直线向下倾 斜。
一次函数的解析式分析
1 斜率
斜率a表示函数图像的倾斜程度。
2 截距
截距b表示函数图像与y轴的交点。
一次函数的图像特点
1 直线
一次函数的图像是一条 直线，没有曲线部分。
2 无转折点
3 无震荡
一次函数的图像没有转 折点，保持直线的趋势。
一次函数在定义域内没 有震荡现象，函数的图像就是一条直线，因此一次函数与直线是一一对应的。
一次函数的拟合
一次函数可以通过给定的点来拟合数据，以便进行预测和分析。
一次函数与二次函数的图像与性质
一次函数与二次函数的图像与性质一次函数和二次函数是数学中常见的函数类型。
它们在图像和性质上有着明显的区别。
本文将分别对一次函数和二次函数的图像及性质进行介绍。
一、一次函数的图像与性质一次函数又称为线性函数，它的表达式为y = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
一次函数的图像是一条直线，具有以下性质：1. 斜率：一次函数的斜率代表了直线的倾斜程度。
斜率为正值时，直线向右上方倾斜；斜率为负值时，直线向右下方倾斜；斜率为零时，直线为水平线。
2. 截距：一次函数的截距代表了直线与y轴的交点。
当x=0时，直线与y轴的交点为截距b。
3. 线性关系：一次函数的图像是一条直线，表示了两个变量之间的线性关系。
直线方程中的斜率a表示了自变量x单位增加时因变量y的增加量。
二、二次函数的图像与性质二次函数的一般形式为y = ax² + bx + c，其中a、b和c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像是一条抛物线，具有以下性质：1. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，也就是函数的根。
零点也是方程y=0的解。
3. 极值点：二次函数的极值点是指函数图像的最高点或最低点。
当抛物线开口向上时，极值点是最低点；开口向下时，极值点是最高点。
4. 对称轴：二次函数的对称轴是指抛物线的中心线，对称轴的方程为x=-b/(2a)。
对称轴把抛物线分为两个对称的部分。
5. 最值：二次函数的最值是指函数图像的最低点或最高点的纵坐标值。
总结：一次函数和二次函数在图像与性质上具有明显的区别。
一次函数的图像是一条直线，具有斜率和截距，表示了线性关系。
而二次函数的图像是一条抛物线，具有开口方向、零点、极值点、对称轴和最值等性质。
了解和掌握一次函数和二次函数的图像与性质，对于数学问题的解决和实际应用具有重要意义。
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y= -x+4
....
23 4 5
.
6
.
.x
函数值y随着 自变量x的增 大而减小
y随x的增大而 减小，这时函 数的图象从左
到右下降
y
5 4
y=x+4 3
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4
y=3x－2 -5
1234 5x
y 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5
y＝－x＋4
1234 5x
y＝-0.5x－1
当k>0时，y随x的增 大而增大，这时函数 的图象从左到右上升
当k<0时，y随x的增 大而减小，这时函数 的图象从左到右下降
归纳概括： 一次函数 y = kx + b（k≠0）的性质
2 、 函 数 y=(k-1)x+2， 当 k＞1 时 ， y 随 x 的 增 大 而 __增__大__,当k＜1时，y随x的增大而___减_小_。
3、已知点(x1, y1)和(x2, y2)都在直线 y 3 x 1 4
则 y1____＞______y2
Hale Waihona Puke 上，若x1 ＞x2,4、已知一次函数y=（m-3）x—
2、【说一说】
某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分 别确定k、b的符号，并说出函数的性质:
（1）
（2）
k<0， b>0
k>0， b<0
3、【做一做】画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答 下列问题：
（1） 这个函数中,随着x的
增大,y将增大还是减小?它的 图象从左到右怎样变化?
y 2x 2
y
5 4
y=x+4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4
y=3x－2 -5
1234 5x
y 5 4 3 2 1
-5 -4 -3 -2 -1 O -1 -2 -3 -4 -5
y＝－x＋4
1234 5x
y＝-0.5x－1
1、图象从左到右是如何变化？
2、在图象上随意取两点，观察其横坐标与纵坐标有什么特点？
当k>0时，y随x的增大而增大，
这时函数的图象从左到右上升；
当k<0时，y随x的增大而减小，
这时函数的图象从左到右下降。
群学提升：
1、【试一试】 有下列函数：①y=2x+1, ②y=-3x+4,③ y=-0.5x,④y=x-6; 其中过原点的直线是___③_____； 函数y随x的增大而增大的是__①__④______； 函数y随x的增大而减小的是__②__③_______；
（2）当x取何值时,y=0? （3）当x取何值时,y＞0?
解：（1）在这个函数中，
y随x的增大而_减__小__，函数 的图象从左到右下___降__．
（2）当 x=1时 y=0 （3）当 x＜1 时 y＞ 0；
4、【比一比】
已知点(-1,a) 和点(0.5
,b)都在直线
y=
2 3
x+3
上，试比较 a和b的大小。你能想出几种判断
的方法?
1
解：方法一 把两点的坐标代入函数关2 系式
当 x=-1 时, a= 7/3 当 x= 0.5时, b=10/3
所以 a＜b
方法二因为 K=
2 3
>0，所以函数y随x增大而增大。
从而直接得到a＜b
（四）、当堂检测：
1、函数y=2x+2, y随着x的增大而__增__大__；它的图象从左到 右___上__升_（怎样变化）.
1、经过本节课的学习，你有哪些收获？
2、你体会到哪些数学思想方法？ 3、你还有哪些疑惑？
• （六） 课后探究，能力拓展
•
• 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的 m的值：
• （1）函数值y 随x的增大而增大；
• （2）函数图象与y 轴的负半轴相交；
重难点
重点：一次函数的性质的归纳和应用 难点： 归纳表述一次函数的性质.
合作探究：
作出下列两组函数的图象，观察它们并讨论回 答下列问题：
（1）y=x+4
y=3x-2
（2）y=-x+4 y=-0.5x-1
1、图象从左到右是如何变化？ 2、在图象上随意取两点，观察其横坐标与纵
坐标有什么特点？
3、当一个点在直线上从左向右移动时，自变 量—变x从化—，—函变数到y—的—值，从它—的—位变置到在——逐。步从——到—
. . ..........
对一次函数y=-x+4，当x逐渐增大时，y的值有什么变化？
y
1、图象从左到右是如何变化？
6
（函数图象从左到右下降）
5
4
2、在图象上随意取两
3
点，观察其横坐标
2
与纵坐标有什么.的 .
.
.
.
.
1
..
特点？
-2 -1 0 1
-1
（横坐标越大的点其纵 坐标越小)
-2
3、当一个点在直线上从左向右移
3、当一个点在直线上从左向右移动时，自变量x从——变到—— ，它 的位置在逐步从——到——变化，函数y的值从——变到—— 。
...........
对一次函数y=x+4，当x逐渐增大时，y的值有什么变化？
1、图象从左到右是如何变化？
y
6 y=x+4
（函数图象从左到右上升）
5
4
2、在图象上随意取两点，观
2 3
(1)当m取何值时，y随x的增大而增大？
(2)当 m取何值时，y随x的增大而减小？
解： (1) 因为y随x的增大而增大 所以m-3＞0 ,即m＞3 所以当m＞3时， y随x的增大而增大。
(2)因为 y随x的增大而减小 所以m-3＜0即m＜3 所以当m ＜ 3时， y随x的增大而减小
（五）、当堂小结，逐步升华
3
察其横坐标与纵坐标有什
2
么的特点？
1
（横坐标越大的点其纵 坐标也越大）
...... .....
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
-1
x
3、当一个点在直线上从左向右移
动时，自变量x从—小—变到—大— ， 它的位置在逐步从—低—到—高—变化 ，函数y的值从—小—变到—大— 。
-2
y随x的增大而 增大，这时函 数函数的值图y随象着从自左变 到量x右的上增大升而增大
复习回顾：
1、一次函数的一般形式是什么？ y＝kx＋b(k≠0) 2、一次函数图象是怎样的？ 一条直线 3、一般情况下我们画一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象， 通常取（0，b ）和（-b/k、0）两个点比较简便？
4、一次函数有什么性质？
17.3.3一次函数的性质
第一课时
学习目标:
1、进一步掌握和巩固两点法画一次函数图象. 2、掌握一次函数的性质并会运用.