同济六版高等数学第八章第一节课件
同济版高等数学第六版课件第八章第七节平面及其方程
高等数学的学习建议
重视基础知识： 掌握基本概念、 定理和公式， 为后续学习打 下坚实基础。
多做练习：通 过大量练习， 加深对知识点 的理解和记忆纳总结： 及时归纳所学 内容，找出重 点和难点，有 针对性地进行
复习。
培养数学思维： 高等数学不仅 仅是计算和公 式，更重要的 是培养数学思 维和解决问题
平面的判定条件
三个不共线的点 确定一个平面
两条相交直线确 定一个平面
一条直线与这条 直线外一点确定 一个平面
两平面相交，交 线是两平面的公 共线
平面的性质定理
平面内任意两点确定一条直线
平面内任意三点确定一个平面
平面内任意四点确定一个平面
平面内任意五点确定一个平面
04
平面与直线的位置 关系
平行关系
几何法求解平面方程
定义：通过几何 图形和空间位置 关系来求解平面 方程的方法
适用范围：适用 于平面图形比较 简单的情况
步骤：先确定平 面上的两个不共 线的点，然后通 过这两个点确定 平面的法向量， 最后写出平面方 程
注意事项：需要 熟练掌握空间几 何和向量知识
参数法求解平面方程
参数方程的建立 参数的消元过程 参数的求解方法 参数法求解平面方程的步骤
平面方程的 基本形式
多个平面的 交面求解
两个平面的 交线求解
实际应用中 的交面求解
07
总结与展望
本节内容的总结回顾
平面方程的建立与求解方法 平面方程的应用举例 平面方程的分类与性质 平面方程与其他数学概念的联系
下节内容的预习准备
回顾本节内容： 回顾平面及其方 程的相关概念和 知识点，加深对 平面几何的理解。
的方程。
点法：通过已 知平面上的一 个点和该平面 的法向量，确 定一个平面的
高数(同济第六版)第八章总结
第八章空间解析几何与向量代数第一节向量及其线性运算
1、右手定则方向角
2、记Prju r或（r）u ：向量r在u轴上的投影
第二节数量积向量积混合积
1、a*b
=
大小——a·b·sin
方向——右手定则确定
2、a*b=a=（a1，a2，a3）b=（b1，b2，b3）
3、混合积为（a*b）·c记作[abc]的作用：
①平行六面体的体积
②[abc]=0时说明三向量共面
③满足轮换对称性：[abc]= [bca] = [cab]
第三节曲面及其方程
①椭圆锥面
③单叶双曲面④双叶双曲面
⑤椭圆抛物面⑥双曲抛物面
第四节空间曲线及其方程
1、一般方程：F(x,y,z)=0
G(x,y,z)=0
x=x(t)
2、参数方程：y=y(t)
z=z(t)
第五节平面及其方程
1、点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
[其中法向量n=(A,B,C) M0为(x0,y0,z0)]
2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0（一般需要四个平面上的点求出）第六节空间直线及其方程
1、一般方程：A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
2、点向式：
[其中方向向量为s=(p,m,n) 已知点为M0（x0,y0,z0）] 3、平面束方程的重要应用：P48。
同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解析几何
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.图8-21.1.2 空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．yxzO图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．1.2 空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=．例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -． 4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz 上求与三点(3, 1, 2)A 、(4, 2, 2)B --和(0, 5, 1)C 等距的点． 8．求点(12, 3, 4)A -与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．9. 证明以()()()A 4,3,1,B 7,1,2,C 5,2,3为顶点的三角形△ABC 是一等腰三角形.第2节 空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB u u u r来表示向量，A 称为向量的起点，B 称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c ，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c r r rL 来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a 或AB u u u r，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a =b .规定：所有的零向量都相等.与向量a 大小相等，方向相反的向量叫做a 的负向量(或反向量)，记作 a ． 平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1 对向量a ，b ，从同一起点A 作有向线段AB u u u r 、AD u u u r分别表示a 与b ，然后以AB u u u r 、AD u u u r 为邻边作平行四边形ABCD ，则我们把从起点A 到顶点C 的向量AC u u u r称为向量a 与b 的和（图8-5），记作a +b ．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1) a +b =b +a (交换律)．(2) ()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3) 0a +=a ．2.2.2 向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.abcda +b +c +dabCabc =a +b由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA u u u r ，OB u u u r分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-u u u r u u u r u u u r u u u ra b =OA BO BA =+=u u u r u u u r u u u r ．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向： 当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．(3)()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．特别地，与❒a 同方向的单位向量叫做❒a 的单位向量，记做a ，即aa e a ρρρ=.上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.aabb-a bBAC例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA u u u u r ,a AD =u u u r b AB =u u u r c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C u u u u r u u u u raC'B'A'D'DAC图8-9解 ''AC AB BC CC =++u u u u r u u u u r u u u r u u u r 'AB BC AA =++u u u r u u u r u u u r a b c =++；'''AC A A AB BC AA AB AD =++=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b c =++.由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB u u u r的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段uuuu rA B ''的值A B ''叫做向量AB u u u r 在轴u 上的投影，记作u u u r u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当uuuu r A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''u u u u r 与轴u 反向时，投影取负号．注 (1) 向量在轴上投影是标量．(2) 设MN u u u u r为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN u u u u r在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．2.3.2向量的坐标表示取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．yxzOA B CM空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和．事实上，设MN u u u u ra =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r a =．由于MA u u u r 与i 平行，MB u u u r与j 平行，MC u u u u r 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =u u u r i ，MB y =u u u rj ，MC z =u u u u r k ，即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN u u u u r 及NM u u u u r 的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为RPQM 1M 2xyzγβα终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN u u u u r 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM u u u u r的坐标为{5, 4, 4}-．例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB u u u r 上的点M 将它分为两条有向线段AMu u u u r和MB u u u r ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标. 图8-14解 如图8-14，因为AM u u u u r 与MB u u u r 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅u u u u r u u u r，而122{,,}AM x x y y z z =---u u u u r， 222{,,}MB x x y y z z =---u u u r222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---u u u r所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当=1, 点M 的有向线段→AB 的中点, 其坐标为221x x x += 221y y y +=221z z z +=. 2.3.3向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的.设空间向量12a M M =u u u u u ur r 与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量a的方向角.图8-15因为向量❒a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅u u u u u u r r12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅u u u u u u r r(8-2-2)12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅u u u u u u r r公式(8.2.2)中出现的cos ,cos ,cos αβγ称为向量❒a 的方向余弦.而{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅v v v v{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅r r u u r{cos ,cos ,cos }a e αβγ=u u r 是与向量❒a 同方向的单位向量.而❒a =M M =12u u u u u ur,,x y z M P a M Q a M R a ===111，故向量a r 的模为a =r(8-2-3)从而向量a r的方向余弦为cos a αβγ===(8-2-4)并且 222cos cos cos 1αβγ++=.例4已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M u u u u u u r的模、方向余弦和方向角.解12(12,32,0(1,1,M M =--=-u u u u u ur2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 222αβγ=-==-；23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB u u u r同方向的单位向量e r .解 因为{74,10,35}{3,1,2},u u u rAB =---=-所以 AB ==u u u r于是 }.e =r2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB u u u r的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅u u u r．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念． 定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知： (1) 2⋅a a =a ，因此=a(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质：对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4) 0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点及向量内积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ． 解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．由于1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =． (8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和． 同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则==a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=． (8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-u u u r ，={3, 1, 1}AC ---u u u r，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=u u u r u u u r，所以AB AC ⊥u u u r u u u r ．即ABC ∆是直角三角形．2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA u u u r的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =u u u r u u u rM F ,F ．M 的方向与OA u u u r 及F 都垂直，且OA u u u r，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．(2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质： 对任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律: ()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ． 解 ⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式及三阶行列式有111111222222y z x z x y y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =ij k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解211112121012120201----⨯--=-i j ka b =i j +k 234=--i j +k ． 因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而32111⨯--ij kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量．例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB u u u r 、AC u u u r为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯u u u r u u u r，由于{3, 3, 4}AB =--u u u r ，{2, 1, 1}AC =--u u u r，因此33453211AB AC ⨯=--=++--u u u r u u u ri j ki j k ，所以AB AC ⨯==u u u r u u u r故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c r r r，如果先作前两个向量a r 与b r 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c r 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c r r r的混合积，记做()a b c ⨯⋅r r r 或abc ⎡⎤⎣⎦r r r.说明：三个不共面向量,,a b c r r r 的混合积的绝对值等于以,,a b c r r r为棱的平行六面体的体积V .定理 如果111a X i Y j Z k =++r r r r ，222b X i Y j Z k =++r r r r ，333c X i Y j Z k =++r r r r， 那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦r r r 习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c r r r为单位向量,且满足0a b c ++=r r r r ,求.a b b c c a ++r r r r r r gg g 6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322a b c a b +c.求=-==-- 7.已知三点(3,0,2),A B AB ==u u u r求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ．10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模及d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1) ⋅a b ；(2) 25⋅a b ；(3) a ；(4) cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算（1）gg ()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯g . 13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积．15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.3.1平面及其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量．显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥u u u u u u rn ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅u u u u u u rn ,而0000{, , }M M x x y y z z =---u u u u u u r，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程．解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12u u u u u u r M M 与13u u u u u u r M M ．因此可取12u u u u u u r M M 与13u u u u u u rM M 的向量积1213u u u u u u r u u u u u u rM M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即1213n =u u u u u u r u u u u u u r M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}u u u u u u r M M =--，13{2, 3, 1}u u u u u u rM M =--，因此1213-631i jkn =u u u u u u r u u u u u u rM M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。
同济六版高等数学第八章第一节课件
•于是得向量模的坐标表示式
•下页
•五、向量的模、方向角、投影
•1.向量的模与两点间的距离公式
• 设向量r=(x, y, z), 作, 则 • 设有点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2), 则
•=(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1)•=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), •于是点A与点B间的距离为
•下页
•坐标面 • 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个 平面, 这种平面称为坐标面. • 三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面. •卦限 • 坐标面把空间分成八个部分, 每 一部分叫做卦限, 分别用字母I、II、 III、IV等表示.
•下页
❖向量的坐标分解式 • 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体, 有
• 当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公
共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
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•向量的平行 • 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个 向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. • 零向量认为是与任何向量都平行.
•共线向量与共面向量 • 当两个平行向量的起点放在同一点时, 它们的终点和公 共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线. • 设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果 k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
•下页
•向量的相等 • 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b 是相等的, 记为a=b.
• 相等的向量经过平移后可以完全重合•>>>
.
•下页
•向量的相等 • 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b 是相等的, 记为a=b. •向量的模 • 向量的大小叫做向量的模.
高等数学第六版上下册(全)(同济大学出版社)
它们都单调递增, 其图形关于直线 y x 对称 .
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(2) 复合函数 设有函数链
xg D
u
f
Rg D f
y
y f (u), u Df
①
u g(x), x D, 且 Rg D f
②
则
y f [g(x)] , x D
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量.
f 1 : f (D) D, 使 y f (D), f 1( y) x , 其中f (x) y, 称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成 y f 1(x) , x f (D)
性质: 1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数 y f 1(x) 存在,
值域 f (D) [0, ) y 2 x
f
(
1 2
)
2
1 2
2
O
f
(
1 t
)
11 , t
2, t
0t 1 t 1
1
x
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2. 函数的几种特性
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
(1) 有界性
x D , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 为有界函数. x I , M 0, 使 f (x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
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(3) 奇偶性
x D, 且有 x D,
若 f (x) f (x), 则称 f (x) 为偶函数;
y
若 f (x) f (x),则称 f (x) 为奇函数.
说明: 若 f (x) 在 x = 0 有定义 , 则当
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
可见 , 函数
在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1)
在点 有定义 , 即
存在 ;
(2) 极限
存在 ;
(3)
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若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间
上的连续函数的集合记作 C[ a , b ].
二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0
,
π 2
)
时，
BD
1
x O
C
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
sin x x tan x
(0
x
π 2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
π 2
)
注
注 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
lim sin x 1 , x0 3x 3
lim
x0
sin x x2
,
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
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定义. 设 , 是自变量同一变化过程中的无穷小,
若 lim 0,则称 是比 高阶的无穷小, 记作
o()
若 lim , 则称 是比 低阶的无穷小;
xn
n
为确定起见 , 仅讨论 x x0 的情形.
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定理1. lim f (x) A
xx0
有定义, 且
xn x0 , f (xn )
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
高等教育出版社高等数学同济第六版下册第八章PPTD8_1向量及运算
组成一个空间(kōngjiān)直规角坐则标系.
z 轴(竖轴)
• 坐标原点
Ⅲ
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y轴(纵轴)
x轴(横轴)
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
共三十一页
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在直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo) 系下
点M
有序数组
(称为点 M 的坐标)
特殊(tèshū)点的坐
与三坐标轴的夹角目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束设点a位于第一卦限已知角依次为coscosoa第二节oa目录上页下页返回结束向量在轴上的投影第二节上的投影为例如目录上页下页返回结束第二节设立方体的一条对角线为om一条棱为oa求oa在om方向上的投影
第八章
空间解析几何与向量代数
标 原: 点 O(0,0,0) ;
坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标(zuòbiāo)面上的点 A , B ,
C
向径
共三十一页
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坐标轴 :
坐标(zuòbiāo) 面:
共三十一页
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2. 向量(xiàngliàng)的坐标
表示
在空间(kōngjiān)直角坐标 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
向量 的模 、方向(fāngxiàng)余弦和方向(fāngxiàng)角 .
解:
共三十一页
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例8. 设点 限,
A
位于(wèiyú)第一卦
向径
OA
与x
轴
y
轴的夹
角依次(yīcì)为
高数同济六版课件D8-6空间直线
一般式
对称式
参数式
内容小结
直线
2. 线与线的关系
直线
夹角公式:
平面 :
L⊥
L //
夹角公式：
3. 面与线间的关系
直线 L :
作业 P48 3，4，5，7，9
P48 题2, 10
思考与练习
解：
相交,求此直线方程 .
的方向向量为
例如, 当
和它的方向向量
3. 参数式方程
设
得参数式方程 :
例1.用对称式及参数式表示直线
解:先在直线上找一点.
再求直线的方向向量
令 x = 1, 解方程组
,得
交已知直线的两平面的法向量为
是直线上一点 .
故所给直线的对称式方程为
参数式方程为
解题思路:
先找直线上一点;
再找直线的方向向量.
是直线上一点
第六节
一、空间直线方程
二、线面间的位置关系
空间直线及其方程
第八章
一、空间直线方程
因此其一般式方程
1. 一般式方程
直线可视为两平面交线，
(不唯一)
2. 对称式方程
故有
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零.
设直线上的动点为
则
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
直线方程为
已知直线上一点
过 A 点及
面的法向量为则所求直线的方向量方法1 利用叉积.
所以
一直线过点
且垂直于直线
又和直线
备用题
设所求直线与 L2 的交点为
待求直线的方向向量
方法2 利用所求直线与L2 的交点 .
高数同济六版课件D85平面方程
平面的截距式
截距式：Ax+By+C=0
性质：平面的截距式表示平面 上任意一点到原点的距离
特点：截距式可以表示任意平 面，包括平行平面和垂直平面
应用：截距式在解决立体几何 问题、解析几何问题等方面有 广泛应用
平面的斜率式
斜率式：平面方程的一种表示形式， 用于描述平面的斜率和截距
截距：平面与x轴或y轴的交点，表 示平面在坐标轴上的位置
● a. 选取已知点P(x0, y0, z0) ● b. 计算向量AP(x1, y1, z1)和向量BP(x2, y2, z2) ● c. 计算向量AP和向量BP的叉乘 ● d. 计算叉乘的结果与向量AP和向量BP的点积 ● e. 求解平面方程
● 应用：适用于求解已知点的平面方程
一般式求解
平面方程的一般式：Ax+By+Cz+D=0 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼,言简的阐述观点。
添加标题
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斜率：平面与x轴或y轴的夹角，表 示平面的倾斜程度
斜率式的应用：用于求解平面方程、 判断平面的性质和特点等
平面的点向式
点：平面上的任意一点
点向式：平面方程的一种表 示形式，由一个点和一个向 量组成
向量：平面的法向量，垂直 于平面
性质：点向式可以表示平面 上任意一点的位置和方向
求解步骤： a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组， 得到A、B、C、D的值 a. 代入已知点坐标，得到关于A、B、C、D的方程组 b. 解方程组，得到A、B、C、D的值 特殊情况： a. 当A=B=C=0时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 b. 当 A=B=C=1时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 a. 当A=B=C=0时，平面方程为D=0，表示一个常数平面 b. 当A=B=C=1时，平面方程为D=0，表示一个常数平面
同济版高数下册第八章课件
1 2
直角坐标系下的二重积分计算
通过将二重积分转化为累次积分，逐一计算x和y 方向的积分，得到最终结果。
极坐标系下的二重积分计算
利用极坐标与直角坐标的转换关系，将二重积分 转化为极坐标形式，简化计算。
3
区域的可加性和可数性
利用二重积分的性质，将被积区域划分为若干个 子区域，分别计算后再求和或求极限。
由矢量构成的场，每个点对应一个矢量。
标量场
由标量构成的场，每个点对应一个标量。
流场
由流线与矢量构成的场，描述流体运动状态。
梯度与散度
梯度
表示标量场中某点处函数增量的方向和大小，即函数在该点 的变化率。
散度
表示矢量场在某点处发散的程度，即矢量场流入或流出的程 度。
01
多重积分
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
01
二重积分是定积分在二维平面上的扩展，表示二维曲顶柱体的
体积。
二重积分的性质
02
二重积分具有可加性、可交换性、可数性等性质，这些性质有
助于简化计算和证明。
二重积分的几何意义
03
二重积分在几何上表示二维曲顶柱体的体积，其中被积函数表
示曲顶的函数值。
二重积分的计算方法
曲面积分性质
曲面积分具有一些重要性质，如 线性性质、可加性、奇偶性等， 这些性质在计算和证明中具有重 要作用。
曲面积分的应用
曲面积分在物理学、工程学等领 域有广泛的应用，如计算曲面质 量、面密度、通量等。
ห้องสมุดไป่ตู้ 01
场论初步
场论的基本概念
场
在空间中定义点的集合，每个点具有一个或多个与之相关的数或量。
矢量场
知识结构
高数课本_同济六版
第一章函数与极限（考研必考章节,其中求极限是本章最重要的内容，要掌握求极限的集中方法）第一节映射与函数（一般章节)一、集合（不用看）二、映射（不用看）三、函数（了解)注:P1——5 集合部分只需简单了解P5—-7不用看P7-—17 重点看一下函数的四大性态:单调、奇偶、周期、有界P17-—20 不用看P21 习题1.11、2、3大题均不用做4大题只需做（3）（5）（7）(8)5--9 均做10大题只需做（4）（5）（6）11大题只需做（3)（4）（5)12大题只需做（2）（4）(6)13做14不用做15、16重点做17--20应用题均不用做第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求,可不看）一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解)P26--28 例1、2、3均不用证p28——29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解P30 定理4不用看P30——31 习题1-21大题只需做(4）（6）(8)2—-6均不用做第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题）一、（了解）二、（了解）P33—-34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可P35 例6 要会做例7 不用做P36—-37 定理2、3证明不用看定理3’4" 完全不用看p37习题1—-31-—4 均做5-—12 均不用做第四节 (重要）一、无穷小(重要）二、无穷大（了解）p40 例2不用做 p41 定理2不用证p42习题1-—41做 2—-5 不全做 6 做 7--8 不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在）p43 定理1、2的证明要理解p44推论1、2、3的证明不用看p48 定理6的证明不用看p49 习题1—-51题只需做(3)（6)(7）（8）（10)(11)(13)(14)2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要）两个重要极限（重要两个重要极限要会证明p50 准则1的证明要理解p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)p53另一个重要极限的证明可以不用看p55-—56柯西极限存在准则不用看p56习题1--71大题只做（1）（4)(6）2全做3不用做4全做，其中（2)（3）(5）重点做第七节（重要）p58—-59 定理1、2的证明要理解p59 习题1——7 全做第八节（基本必考小题)p60--64 要重点看第八节基本必出考题p64 习题1-—81、2、3、4、5要做其中4、5要重点做6--8不用做第九节（了解）p66——67 定理3、4的证明均不用看p69 习题1--91、2要做3大题只做（3)--(6）4大题只做(4）—-（6）5、6均要重点做第十节（重要,不单独考大题，但考大题会用到）一、（重要) 二、（重要）p72三、一致连续性（不用看）p74习题1——101、2、3、5要做，要会用5的结论。
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三角形法则
平行四边形法则
c=a+b
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•向量的加法的运算规律 (1)交换律a+b=b+a;
(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).
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•负向量 与向量 a 的模相同而方向相反 的向量叫做a的负向量, 记为-a. •向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a). •三角不等式 |a+b||a|+|b|, |a-b||a|+|b|, 等号在b与a同向或反向时成立.
因此
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五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式
设向量 r=(x, y, z), 作 OM = r , 则
r = OM = OP+ OQ+ OR , 按勾股定理可得
| r |=|OM |= |OP |2 + |OQ |2 + |OR |2 ,
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原点 y轴 x轴
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.
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•坐标面 在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平 面, 这种平面称为坐标面.
设向量r=(x, y, z), 作, 则 | r |= x 2 + y 2 + z 2 . 设有点A(x1, y1, z1)和点B(x2, y2, z2), 则
AB = OB- OA =(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1) =(x2-x1, y2-y1, z2-z1),
由 OP = xi , OQ = yj , OR = zk , 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐标表示式
| r |= x 2 + y 2 + z 2 .
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五、向量的模、方向角、投影
1.向量的模与两点间的距离公式
设
则
OP = xi , OQ = yj , OR = zk ,
r = OM = xi + yj + zk .
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向量的坐标分解式 任给向量r, 存在点M及xi、yj、zk, 使
则 r = OM = xi + yj + zk . •上式称为向量r的坐标分解式. • xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量.
§8.1 向量及其线性 运算
一、向量概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向解、投影
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一、向量概念
向量 既有大小, 又有方向的量叫做向量. 向量的表示法
•向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示. 有向线段的长度表示方向的大小 , 有向线段的方向表示 向量的方向.
•自由向量 与起点无关的向量 , 称为自由向量 , 简称向量.
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.>>>
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•向量的相等 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和b是 相等的, 记为a=b.
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一、向量概念
向量 既有大小, 又有方向的量叫做向量. 向量的表示法
•向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.
→ •以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作AB. •向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示.
例如, a、r、v、F 或 a 、 r 、 v 、 F .
•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 , 就称这两个 向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行. •共线向量与共面向量
a//b//c
当两个平行向量的起点放在同一点时 , 它们的终点和公 共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
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坐标轴上及坐标面上点的特征 • 坐标面上和坐标轴上的点, 其坐标各有一定的特征. 例如: 点M在yOz面上, 则x=0; 点M在zOx面上的点, y=0; 点M在xOy面上的点, z=0. 点M在x轴上, 则y=z=0; 点M在y轴上,有z=x=0; 点M在z轴上的点, 有x=y=0. 点M为原点, 则x=y=z=0.
by bz b x b//a = = . ax a y az
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例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM = MB . 解 由于 解
由于 AM = OM - OA , MB = OB- OM ,
对于轴上任一点 P , 必有唯一的实数 x, 使 OP =xi, 并且 并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系: 点P实数x. 实数x称为轴上点P的坐标.
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三、空间直角坐标系
空间直角坐标系 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k, 就 确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴, 依次记为x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴), 统称为坐标轴. 它们构成一个空 间直角坐标系, 称为Oxyz坐标系. z轴 说明： (1)通常把x轴和y轴配置在水 平面上, 而z轴则是铅垂线; (2) 数轴的的正向通常符合 右手规则.
点 M 、向量 r 与三个有序 x 、 y 、 z 之间有一一对应的关系
M r = OM = xi + yj + zk (x, y, z) . •有序数x、y、z称为向量r的坐标, 记作r=(x, y, z);
•有序数x、y、z也称为点M的坐标, 记为M(x, y, z).
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设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同一点时, 如果k 个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
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二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b.
•向量与数的乘积的运算规律 (1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b. •向量的单位化 a 设a0, 则向量 是与a同方向的单位向量, 记为ea. |a | 于是a=|a|ea.
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例1 例 1 在平行四边形 ABCD 中, 设 AB = a , AD = b . 试用
a 和 b 表示向量 MA 、 MB 、 MC 、 MD , 其中 M 是平行四边 形对角线的交点.
解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 于是
a + b = AC = 2AM = -2 MA , MA = - 1 (a + b) ; 2 MC = - MA = 1 (a + b) . 2
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•向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 , 就称这两个 向量平行. 向量a与b平行, 记作a//b. 零向量认为是与任何向量都平行. •共线向量与共面向量 当两个平行向量的起点放在同一点时 , 它们的终点和公 共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k,
a =(ax)i+(ay)j+(az)k.
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四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则
ab=(axbx, ayby, azbz), a=(ax, ay, az).
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四、利用坐标作向量的线性运算
设a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 则
ab=(axbx, ayby, azbz), a=(ax, ay, az). 利用坐标判断两个向量的平行 设a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 因为 b//a b=a, 即 b//a (bx, by, bz)=(ax, ay, az), 所以
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、 a 、 AB 的模分别记为|a|、 | a | 、 |AB | . •单位向量 模等于1的向量叫做单位向量. •零向量
模等于 0 的向量叫做零向量, 记作 0 或 0 . 零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.