北京市西城区2012届高三数学第一次模拟试题 文(2012西城一模)新人教B版
2012北京市西城高考一模试题及答案(文科全套)
北京市西城区2011-2012学年度第二学期一模高三语文试卷2012．4注意事项：1．本试卷分两部分，共150分，考试时间为150分钟；2．将学校、班级、姓名填在弥封线内；3．将答案全部写在答题纸上；4．考试结束，将试卷与答题纸一并交回。
第一部分（选择题，共27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1．下列词语中，字形和加点的字的读音全都正确的一项是A.化妆品寥若辰星标识．（shí）心广体胖．（pán）B.孰不知相辅相成着．（zhāo）急发生口角．（jué）C.荧光屏贸然行事揩．（kāi）油犯罪未遂．（suì）D.流水账鞭辟入理结束．（shù）量．体裁衣（liáng）2．下列句子中，加点的成语使用正确的一项是A.李实哲是个胸无城府．．．．的天才棋手，围棋下得出神入化，在出席新闻发布会时却常常出言无忌，因为自己的直率他付出过不少代价。
B. 足坛反赌扫黑接近尾声，对于涉嫌行贿的俱乐部是否会受处罚，足协一位官员的表态似是而非．．．．：“一切要等审判结束后才有结果。
”C. 上海的婚宴普遍在晚上举行，一般选择在吉时6：08开宴，可是总有些接到请柬的不速之客．．．．姗姗来迟，这让婚宴主办者颇为尴尬。
D. 部分司机认为高速公路宽阔，只要车少就可天马行空．．．．地自由驰骋，其实这种想法十分危险，因为人在大意时反应速度会大大降低。
3．下列句子中，没有．．语病的一句是A. 近日，美国宇航局的探测器有史以来第一次直接探测到的来自太阳系之外的粒子，这一发现首次让我们有机会一窥所谓的“恒星际介质”。
B. 今年，北京将新增20万亩林地，主要种植在受污染物影响较大的地方，如高速路或主干道的路边，对尾气削减和扬尘会有很好的作用。
C. “1·28”中国公民被劫持事件发生后，苏丹政府全力解救，并表态将采取切实措施确保所有在苏中资企业的安全，避免类似事件不再发生。
数学_2012年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U =R ，集合A ={x|1x ≥1}，则∁U A( )A (0, 1)B (0, 1]C (−∞, 0]∪(1, +∞)D (−∞, 0)∪[1, +∞)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x =2，则输出y 的值为（ ）A 2B 5C 11D 233. 若实数x ，y 满足条件{x +y ≥0x −y +3≥00≤x ≤3，则z =2x −y 的最大值为（ ）A 9B 3C 0D −34. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）A 4√3cm 2B 2√3cm 2C 8cm 2D 4cm 25. 已知函数f(x)＝sin 4ωx −cos 4ωx 的最小正周期是π，那么正数ω＝（ ）A 2B 1C 12D 14 6. 若a =log 23，b =log 32，c =log 46，则下列结论正确的是（ ）A b <a <cB a <b <cC c <b <aD b <c <a7. 设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n ．若对∀n ∈N ∗，有S 2n <3S n ，则q 的取值范围是（ ）A (0, 1]B (0, 2)C [1, 2)D (0,√2)8. 已知集合A ＝{x|x ＝a 0+a 1×3+a 2×32+a 3×33}，其中a k ∈{0, 1, 2}(k ＝0, 1, 2, 3)，且a 3≠0．则A 中所有元素之和等于（ ）A 3240B 3120C 2997D 2889二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．10. (x −2)6的展开式中x 3的系数是________．（用数字作答）11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M ．若OC =√3，OM =1，则MN =________． 12. 在极坐标系中，极点到直线l:ρsin(θ+π4)=√2的距离是________．13. 已知函数f(x)={x 12,0≤x ≤c x 2+x,−2≤x <0其中c >0．那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是[−14,2]，则c 的取值范围是________．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线y =√33x(x ≥0)和y =−√3x(x ≥0)上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为________；△OAB 周长的最小值是________．三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 在△ABC 中，已知sin(A +B)=sinB +sin(A −B)．（1）求角A ；（2）若|BC →|=7，AB →⋅AC →=20，求|AB →+AC →|．16. 乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．（1）求甲以4比1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（3）求比赛局数的分布列．17. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60∘，且FA =FC ．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求证：FC // 平面EAD ；(3)求二面角A −FC −B 的余弦值．18. 已知函数f(x)=e ax⋅(ax+a+1)，其中a≥−1．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．19. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，定点M(2, 0)，椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．20. 对于数列A n:a1，a2，…，a n(a i∈N, i=1, 2,…,n)，定义“T变换”：T将数列A n变换成数列B n:b1，b2，…，b n，其中b i=|a i−a i+1|(i=1, 2,…,n−1)，且b n=|a n−a1|，这种“T 变换”记作B n=T(A n)．继续对数列B n进行“T变换”，得到数列C n，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A3:4，2，8和A4:1，4，2，9经过不断的“T变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）求A3:a1，a2，a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；（3）证明：A4:a1，a2，a3，a4一定能经过有限次“T变换”后结束．2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. A5. B6. D7. A8. D9. 5410. −16011. 112. √213. −1和0,0<c≤414. √32,2(1+√2)15. 解：（1）原式可化为：sinB=sin(A+B)−sin(A−B)=sinAcosB+cosAsinB−sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，…∵ B∈(0, π)，∴ sinB>0，∴ cosA=12，…又A∈(0, π)，∴ A=π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cosA ，…∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cosA =20，∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．…16. 解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． … （2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，… 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，… 所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，…P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． … 比赛局数的分布列为： 84161617. (1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ，所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B ,所以 平面FBC // 平面EAD ．又FC ⊂平面FBC ，所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3． 所以 O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)．所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)，则有{√3x +√3z =0√3x +y =0， 取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由二面角A −FC −B 是锐角，得|cos <n →，v →>|=|n →⋅v →|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 18. 解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x+2)， f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0．(2)f ′(x)=ae ax (x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)；当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)，单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间；④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)，单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 19. 解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得 b a =23．… 依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．… 所以 y 1+y 2=−16m 4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．…设P(a, 0)，则有 y 1x 1−a +y 2x 2−a =0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my 2+2−a)=0， 所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．…由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92．综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…20. （1）解：数列A 3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． … 数列A 4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（2）解：A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．…若a 1=a 2=a 3，则经过一次“T 变换”就得到数列0，0，0，从而结束． …当数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A 3)为常数列，则A 3为常数列”．当a 1≥a 2≥a 3时，数列T(A 3)：a 1−a 2，a 2−a 3，a 1−a 3．由数列T(A 3)为常数列得a 1−a 2=a 2−a 3=a 1−a 3，解得a 1=a 2=a 3，从而数列A 3也为常数列．其它情形同理，得证．在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．…所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”．证明：记数列A n中最大项为max(A n)，则0≤a i≤max(A n)．令B n=T(A n)，b i=a p−a q，其中a p≥a q．因为a q≥0，所以b i≤a p≤max(A n)，故max(B n)≤max(A n)，证毕．…现将数列A4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T（T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…。
北京市西城区高三数学第一次模拟考试试题理
北京市西城区2012 年高三一模试卷数学（理科）2012.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共40 分. 在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1．已知全集U R，会合A11} ，则e U A（{ x | ）x（ A）(0,1) （ B）(0,1]（C）(,0] (1, ) （D）( ,0) [1, )2．履行如下图的程序框图，若输入x 2 ，则输出y 的值为（）（A）2（B）5（C）11（D）23x y 0,3．若实数x，y知足条件x y 3 0, 则 2x y 的最大值为（）0 x 3,（A）9 （B）3 （C）0 （D）34．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为12 3cm 3．其三视图中的俯视图如下图，则其左视图的面积是（）（ A）43cm2（B）23 cm2（C）8cm2（D）4cm25．已知函数 4 4f (x) sin x cos x的最小正周期是π（），那么正数（A）2 （B）1 （C）1（D）1 2 46．若a log23，b log3 2 ， c log4 6 ，则以下结论正确的选项是（）（ A）b a c （ B）a b c（ C）c b a （ D）b c a7．设等比数列{ a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对n N*，有S2n 3S n，则 q 的取值范围是（）（ A）(0,1] （ B）(0, 2) （ C）[1,2) （ D）(0, 2)8．已知会合A { x | x a a 3 a 32 a 33} ，此中 ak {0,1,2} (k 0,1,2,3) ，0 1 2 3且 a3 0 .则A中所有元素之和等于（）（ A）3240 （ B）3120 （ C）2997 （ D）2889第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分 .9. 某年级120 名学生在一次百米测试中，成绩所有介于13 秒与 18 秒之间．将测试结果分红 5 组： [13 ,14) ，[14 ,15) ，[15 ,16) ， [16 ,17) ， [17 ,18] ，获得如下图的频次分布直方图．假如从左到右的 5 个小矩形的面积之比为1: 3: 7 : 6 : 3 ，那么成绩在[16,18] 的学生人数是_____．10．( x2)6的睁开式中，x3的系数是_____．（用数字作答）B 11. 如图，AC为⊙O的直径，OB AC，弦BN交AC MC 于点M ．若OC 3，OM O A1 ，则 MN _____．N12. 在极坐标系中，极点到直线l : sin( π)2 的距离是_____．4113. 已知函数 f ( x) x2 , 0 x c,此中 c 0 ．那么 f (x) 的零点是_____；若x2 x, 2 x 0,f ( x) 的值域是 [1 , 2] ，则c的取值范围是_____．414.在直角坐标系xOy 中，动点 A ，B分别在射线y3 x ( x 0) 和y3x ( x0)3上运动，且△ OAB 的面积为 1．则点 A ， B 的横坐标之积为_____；△OAB周长的最小值是_____．三、解答题共 6 小题，共80 分 .解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）在△ ABC 中，已知 sin( A B) sin B sin( A B) ．（Ⅰ）求角 A ；（Ⅱ）若|BC| 7，AB AC 20，求| AB AC |．16.（本小题满分 13 分）乒乓球单打竞赛在甲、乙两名运动员间进行，竞赛采纳7局4胜制（即先胜4局者获胜，竞赛结束），假定两人在每一局竞赛中获胜的可能性同样.（Ⅰ）求甲以 4 比 1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且竞赛局数多于 5 局的概率；（Ⅲ）求竞赛局数的散布列.17．（本小题满分14 分）如图，四边形ABCD 与 BDEF 均为菱形，DAB DBF 60 ，且 FA FC ．（Ⅰ）求证：AC 平面 BDEF ；E（Ⅱ）求证：FC ∥平面 EAD ；F （Ⅲ）求二面角 A FC B 的余弦值．CDA B18.（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) e ax (a a 1) ，此中 a1.x（Ⅰ）当 a 1 时，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；（Ⅱ）求 f ( x) 的单一区间.19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 C : x2 y2 1 (a b 0) 的离心率为5，定点 M (2,0) ，椭圆短轴的端a2 b2 3点是 B1， B2，且 MB1 MB2.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0 的直线交椭圆 C 于 A ， B 两点.试问x轴上能否存在定点 P ，使 PM 均分APB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明原因.20.（本小题满分 13 分）关于数列A n : a1 , a2 , ,a n (a i N ,i1,2,, n) ，定义“T变换”：T将数列 A n变换成数列 B n : b1 ,b2 , ,b n，此中 b i| a i a i 1 | (i 1,2, , n 1) ，且 b n| a n a1 | ，这类“T变换”记作 B n T ( A n ) .持续对数列B n进行“T变换”，获得数列 C n，,，依此类推，当得到的数列各项均为0 时变换结束．（Ⅰ）试问 A3 : 4,2,8 和 A4 :1,4,2,9 经过不停的“T变换” 可否结束？若能，请挨次写出经过“ T 变换”获得的各数列；若不可以，说明原因；（Ⅱ）求 A3 : a1, a2 , a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：A4 : a1 , a2 , a3 , a4必定能经过有限次“T 变换”后结束．北京市西城区2012 年高三一模试卷数学（理科）参照答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分.1.C；2. D；3. A；4.A ；5. B；6.D；7.A；8. D .二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分.9. 54；10. 160 ；11. 1；12. 2；13. 1 和 0 ，(0,4] ；14.3，2(1 2) . 2注： 13 题、 14 题第一问 2 分，第二问 3 分 .三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分.15.（本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：原式可化为sin B sin( A B) sin( A B) 2cos Asin B ．,,,,,,3分因为 B (0, π) ，因此sin B 0，所以1．cos A2,,,,,, 5 分因为 A (0, π) ，因此π,,,,,, A．36分（Ⅱ）解：由余弦定理，得| BC |2| AB |2| AC |22| AB || AC | cos A．,,,,,, 8分因为|BC| 7， AB AC | AB || AC | cos A 20 ，因此| AB|2 |AC|2 89 ．,,,,,, 10分因为| AB AC |2| AB |2| AC |2 2 AB AC 129 ，,,,,,,12 分因此 | AB AC | 129 ．,,,,,,13 分16. （本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局竞赛中获胜的概率都是1 分记“甲以 4 比 1获胜”为事件 A ， 则 P(A) C 43 (1)3(1)4 3 1 1．2 22 8分（Ⅱ）解：记“乙获胜且竞赛局数多于5 局”为事件 B .因为，乙以 4 比 2 获胜的概率为 P 1C 53(1)3(1)531 5 ，2 22 326 分乙以 4 比 3 获胜的概率为3131 6 3 15P 2 C 6 ( 2 ) (2)，2 327 分因此P(B) P P5．12168 分（Ⅲ）解：设竞赛的局数为X ，则 X 的可能取值为 4,5,6,7 ． P( X 4) 2C 44(1)41 ， 289 分P(X 5) 2C 43(1)3( 1)4 3 1 1， 2 22 410 分P(X 6) 2C 53(1)3( 1)5 2 15 ， 2 22 1611 分P(X 7) 2C 63(1)3(1)6 315 ． 222 1612 分竞赛局数的散布列为：X 4 5 6 7 P1 1 5 5 84161613 分1． ,,,,,,2,,,,,,4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,17. （本小题满分14 分）（Ⅰ）证明：设AC 与 BD 订交于点 O ，连接 FO ．因为四边形 ABCD 为菱形，因此AC BD ，且 O 为 AC 中点．,,,,,, 1 分又FA FC ，因此AC FO ．,,,3分因为FO BD O，因此AC平面BDEF．,,,,,, 4 分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与 BDEF 均为菱形，因此AD// BC，DE// BF ，所以平面FBC // 平面EAD ．,,,,,, 7 分又 FC 平面 FBC ，所以FC // 平面EAD ．,,,,,, 8 分（Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且DBF 60 ，因此△ DBF 为等边三角形．因为 O 为 BD 中点，因此 FO BD ，故 FO 平面 ABCD ．由 OA,OB,OF 两两垂直，成立如下图的空间直角坐标系O xyz ．,,,,,,9 分设 AB 2 ．因为四边形 ABCD 为菱形，DAB 60 ，则 BD 2 ，因此 OB 1，OA OF 3 ．因此 O(0,0,0), A( 3,0,0), B(0,1,0),C( 3,0,0), F (0,0, 3) ．因此CF ( 3,0, 3) ， CB ( 3,1,0) ．设平面 BFC 的法向量为n = ( x,y,z) ，则有n CF 0,n CB 0.因此12分3x 3z 0,取 x 1 ，得n(1, 3, 1)．,,,,,, 3x y 0．易知平面 AFC 的法向量为v(0,1,0) ．,,,,,, 13分由二面角 AFCB 是锐角，得 cos n , vn v 15 ．n v5因此二面角 AFCB 的余弦值为15 ． ,,,,,,514 分18. （本小题满分 13 分） （Ⅰ）解：当 a1 时， f ( x) e x( 12) ， f ( x) ex(121) ．,,,,,,xxx 22 分因为 f (1) 3e ， f (1) 2e ，因此曲线 yf ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程是 2ex y e0 ． ,,,,,,4分（Ⅱ） 解： f ( x)ae ax ( x 1)[( a1)x 1]， x 0 ． ,,,,,,6x 2分① 当 a1时，令 f ( x) 0 ，解得 x 1 ．f (x) 的单一递减区间为 (, 1) ；单一递加区间为 ( 1,0) ， (0,) ．,,,,,8分当 a1 时，令 f (x)0 ，解得 x 1 ，或 x1a ．1 1② 当 1 a 0时， f (x) 的单一递减区间为 (, 1)，(, ) ；单一递加区a 1间为(，(0,1) ．,,,,,,10 分a 1③ 当 a0 时， f ( x) 为常值函数，不存在单一区间．,,,,,,11 分④ 当 a0 时， f (x) 的单一递减区间为( 1,0) ， (0,1)a1 ( , 1)( 1 , ) ．a 113 分；单一递加区间为，,,,,,,19. （本小题满分 14 分）（Ⅰ） 解：由5e 2a2b 21 b 2， 得b2 .9a2a 2 a32 分依题意△ MB 1 B 2 是等腰直角三角形， 进而 b 2 ，故 a 3 .4 分所 以椭圆C的方 x 2 y 2,,,,,,5 分91.4（Ⅱ）解：设A( x 1 , y 1) ， B( x , y ) ，直线 AB 的方程为 x my 2 .2 2将直线 AB 的方程与椭圆 C 的方程联立，消去x(4 m 2 9) y 2 16my 200 .,,,,,,因此 y 1 y 216m， y 1 y 2 20 .4m29 4m 2 98 分若PF 均分 APB ，则直线 PA ， PB 的倾斜角互补，所kPAkPB,,,,,, 9 分设 P(a,0) ，则有y 1y 20 .ax 2x 1a将 x 1 my 1 2 ， x 2 my 2 2 代入上式，2my 1 y 2 (2 a)( y 1 y 2 ) ， 整理得a)( my 2(my 1 2 2 a)所2my 1 y 2 (2 a)( y 1 y 2 ) 0.,,,,,,将 y 1y 216m， y 1 y 2 20 代入上式，4m 294m 2 9整理,,,,,,,,,,,,程是得7 分,,,,,,以.以12 分得( 2a 9) m 0 .,,,,,,13 分北京市西城区高三数学第一次模拟考试一试题理9因为上式对随意实数m 都成立，因此 a.2综上，存在定点 P(9,0) ，使 PM 均分 APB .,,,,,,214 分20. （本小题满分 13 分）（Ⅰ）解：数列 A 3 : 4,2,8 不可以结束， 各数列挨次为 2,6,4 ；4,2,2 ；2,0,2 ；2,2,0 ；0,2,2 ； 2,0,2 ； , ．进而以下重复出现，不会出现所有项均为0 的情况．,,,,,,2 分数列 A 4 :1,4,2,9 能结束，各数列挨次为3,2,7,8 ； 1,5,1,5 ； 4,4,4,4 ； 0,0,0,0 ．,,,, ,, 3 分（Ⅱ）解： A 3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a 1 a 2 a 3 ． ,,,,,,4 分若 a 1 a 2 a 3 ，则经过一次“ T 变换”就获得数列 0,0,0 ，进而结束． ,,,,,5 分当数列 A 3 经过有限次“ T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列T ( A 3 ) 为常数列，则 A 3 为常数列”．当 a 1a 2 a 3 时，数列 T ( A 3 ) : a 1 a 2 , a 2 a 3 , a 1a 3 ．由数列 T ( A 3 ) 为常数列得 a 1 a 2 a 2 a 3 a 1 a 3 ，解得 a 1 a 2a 3 ，进而数列 A 3也为常数列．其余情况同理，得证．在数列 A 3 经过有限次“ T 变换”后结束时，获得数列 0,0,0 ( 常数列 ) ，由以上命题，它 变 换 之 前 的 数 列 也 为 常 数 列 ， 可 知 数 列A 3 也 为 常 数列．,,,,,,8 分因此，数列A 3 经过有限次“ T 变换”后能够结束的充要条件是 a 1 a 2 a 3 ．北京市西城区高三数学第一次模拟考试一试题理（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列 T ( A n ) 的最大项必定不大于数列A n的最大项，此中n 3”．证明：记数列A n中最大项为 max( A n ) ，则 0 a i max(A n ) ．令 B n T ( A n ) ， b i a p a q，此中 a p a q．因为 a q 0 ，因此 b i a p max(A n ) ，故 max(B n ) max(A n ) ，证毕．,,,,,,9 分现将数列 A4分为两类．第一类是没有为0 的项，或许为0 的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4 ) max( A4 ) 1．第二类是含有为0 的项，且与最大项相邻，此时max(B4 ) max(A4 ) ．下边证明第二类数列 A4经过有限次“T变换”，必定能够获得第一类数列．不如令数列 A4 的第一项为 0 ，第二项a最大( a 0 )．（其余情况同理）①当数列 A4中只有一项为0 时，若 A4 :0, a,b, c (a b,a c,bc 0 )，则T ( A4) : a,a b,| b c |,c，此数列各项均不为 0或含有 0 项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4 :0, a, a, b ( a b, b 0)，则T ( 4 A ): a；, a0b, b T (T ( A4 )) : a,a b,| a 2b |, a b此数列各项均不为0 或含有 0 项但与最大项不相邻，为第一类数列；若 A4 : 0, a,b, a (a b,b 0 )，则T ( A4): a, a b, a b,b ，此数列各项均不为0 ，为第一类数列；若 A : 0, a, a, a ，则 T (A ): a0,0,,a；T(T ( A )) : a,0, a,0；T (T (T (A ))) : a, a, a, a，444 4此数列各项均不为0 ，为第一类数列．北京市西城区高三数学第一次模拟考试一试题理②当数列 A4中有两项为0时，若 A4 : 0, a,0, b (a b0 )，则T ( A4) : a, a, b, b，此数列各项均不为 0 ，为第一类数列；若 A4 : 0, a,b,0 (a b 0 )，则 T (A): a, a b,b,0 ， T(T ( A)) : b,| a2b |,b, a ，此数列各项均不为 0 或含有 0 项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列 A4中有三项为0时，只好是A4 : 0, a,0,0 ，则T ( A) : a, a,0,0，T (T ( A)) : 0, a,0, a ， T (T (T ( A))) : a, a, a, a ，此数列各项均不为0 ，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会获得第一类数列，即至多连续经历 3次“ T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项必定会为0 ，此时数列的各项均为0 ，从而结束．,,,,,,13 分。
北京西城区2012年高三一模文科数学试题
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数 学（文科） 2012.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B = （ ）
（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C
【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.
2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）
（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31
【答案】D 【解析】输入3=x ，7=y 。
8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.
3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ）
（A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a <<
【答案】D
【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4
<，所以a b c <<，选D . 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于。
北京市西城区2012届高三第一次模拟文科数学试题(2012西城一模)
北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（文科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B =（ ）（A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31 【答案】D【解析】输入3=x ，7=y 。
8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a << 【答案】D【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4<，所以a b c <<，选D . 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【解析】由复数的几何意义知i z i z =--=21,2，所以i ii z z +-=--=1221，对应的点在第二象限，选B.5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）2（B）2（C ）28cm （D ）24cm【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6（B ）5（C ）4（D ）3 【答案】B【解析】做出可行域，如图，设z y x =-3，则，则z x y -=31，由图象可知当直线经过A 和C 点时，Z 取得最值。
数学2012年高三一模试题及答案(东城和西城)
2012年北京市东城区高三数学一模试题（文科）第Ⅰ卷（选择题共40分）2012.04.05一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1、若a，b∈R，i是虚数单位，且(2)i1ib a+-=+，则a b+的值为（A）1（B）2（C）3（D）42、若集合},0{2mA=，}2,1{=B，则“1=m”是“}2,1,0{=BA Y”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3、若点(,)P x y在不等式组,,2y xy xx≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域内，则2z x y=+的最大值为（A）0（B）2（C）4（D）64、已知x，y，z∈R，若1-，x，y，z，3-成等差数列，则x y z++的值为（A）2-（B）4-（C）6-（D）8-5、右图给出的是计算1001...81614121+++++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（A）50>i（B）25>i（C）50<i（D）25<i6、已知2sin(45)α-=o，且090<<o oα，则cosα的值为（A）513（B）1213（C）35（D）457、已知函数()()()f x x a x b=--(其中)a b>的图象如右图所示，则函数()xg x a b=+的图象大致为（A）（B）（C）（D）8、设集合1[0,)2A=，1[,1]2B=，函数1,,()22(1),.x x Af xx x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩若x A∈，且[()]f f x A∈，则0x的取值范围是（A ）(41,0] （B ） (21,41] （C ）(21,41) （D ） [0，83] 第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9、已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 .10、命题“000(0,),tan sin 2x x x π∃∈>”的否定是 .11、 在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．12、双曲线222x y -=的离心率为 ；若抛物线2y ax =的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则a 的值为 .13、已知△ABC 中，AD BC ⊥于D ，2AD BD ==，1CD =，则AB AC ⋅u u u r u u u r=___．14、已知数列{}n a ，1a m =，m *∈N ，1,21,2nn n n na a a a a +⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为偶数,为奇数.若{}n a 中有且只有5个不同的数字，则m 的不同取值共有 个．三、解答题：本大题共6小题，共80分。
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2012年北京西城高考一模数学(文)
2012年北京西城高考一模数学（文）一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，那么 ______A. B. C. D.2. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为______A. B. C. D.3. 若，，，则下列结论正确的是______A. B. C. D.4. 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于______A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是______A. B. C. D.6. 若实数，满足条件则的最大值为______A. B. C. D.7. 设等比数列的前项和为．则" "是" "的______A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 已知集合，其中，且．则中所有元素之和是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知向量，．若，则实数 ______．10. 某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间．将测试结果分成组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是______．11. 函数的最小正周期为______．12. 圆的圆心到直线的距离是______．13. 已知函数则的零点是______；的值域是______．14. 如图，已知抛物线及两点和，其中．过，分别作轴的垂线，交抛物线于，两点，直线与轴交于点，此时就称，确定了．依此类推，可由，确定，．记，．给出下列三个结论：①数列是递减数列；②对，；③若，，则．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 在中，已知．（1）求角；（2）若，的面积是，求．16. 某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是和．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了名同学．（1）求研究性学习小组的人数；（2）规划在研究性学习的中、后期各安排次交流活动，每次随机抽取小组中名同学发言．求次发言的学生恰好来自不同班级的概率．17. 如图，矩形中，，，，分别在线段和上，，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．（1）求证： 平面；（2）若，求证：；（3）求四面体体积的最大值．18. 已知椭圆的离心率为，一个焦点为．（1）求椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，两点，若点，都在以点为圆心的圆上，求的值．19. 如图，抛物线与轴交于两点，，点，在抛物线上（点在第一象限），．记，梯形面积为．（1）求面积以为自变量的函数式；（2）若，其中为常数，且，求的最大值．20. 对于数列，定义“ 变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“ 变换”记作．继续对数列进行“ 变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．（1）试问经过不断的“ 变换”能否结束?若能，请依次写出经过“ 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）设，．若，且的各项之和为．（i）求，；（ii）若数列再经过次变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．答案第一部分1. C2. D3. D4. B5. A6. B7. C8. C第二部分9.10.11.12.13. 和；14. ①②③第三部分15. （1）由，得由，得，解得因为，所以．（2）由余弦定理，得由及，得由的面积为，得即将代入，得联立，解得．16. （1）设从（）班抽取的人数为，依题意，得，解得．因此，研究性学习小组的人数为．（2）设研究性学习小组中（1）班的人为，，（2）班的人为，，．在次交流活动中，每次随机抽取名同学发言的基本事件为共种．其中次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为共种．所以次发言的学生恰好来自不同班级的概率为．17. （1）因为四边形，都是矩形，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，所以 平面．（2）连接，设，平面平面，且，所以平面，所以，又，所以四边形为正方形，所以，所以平面，且ND在平面NED中，所以．（3）设，则，其中，由（Ⅰ）得平面，所以四面体的体积为，所以，当且仅当，即时，四面体的体积最大，最大值为．18. （1）设椭圆的半焦距为，则由，得，从而．所以，椭圆的方程为．（2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去，得因为直线与椭圆有两个交点，所以解得．设，，则．设线段的中点为，则由点，都在以点为圆心的圆上，得，亦即解得，适合．所以．19. （1）依题意，点的横坐标、纵坐标分别为、．点的横坐标满足方程，解得，舍去．所以由点在第一象限，得．所以关于的函数式为，．（2）由及，得．记，则．令，得．由此，①若，即时，与的变化情况如下：极大值当时，取得最大值，且最大值为．②若，即时，恒成立，所以，的最大值为．综上，时，的最大值为；时，的最大值为．20. （1）数列不能结束，各数列依次为；；；；；．以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．（2）（i）因为的各项之和为，且，所以为的最大项，所以最大，即，或．当时，可得由，得，即，故．当时，同理可得，．（ii）方法一：由，则经过次“ 变换”得到的数列分别为：；；；；；．由此可见，经过次“ 变换”后得到的数列也是形如“ ”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少．因为，所以，数列经过次“ 变换”后得到的数列为．接下来经过“ 变换”后得到的数列分别为：；；；；；；，．从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过次“ 变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列“结构相同”．若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“ 变换”得到的数列的三项为（不考虑顺序）．所以与结构相同的数列经过“ 变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．因此，数列经过次“ 变换”一定得到各项为（不考虑顺序）的数列．通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“ 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过次“ 变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．。
北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题理
2C63(1)3(1)6
3
1
5
．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
2
2
2
16
比赛局数的分布列为：
X
4
5
6
7
P
1
1
5
5
8
4
16
16
⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
17.（本小题满分
14分）
（Ⅰ）证明：设
AC与BD相交于点O，连 结FO．
因为 四边形ABCD为菱形，所以AC
BD，
且O为AC中点．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
又FA
FC，所以
AC
30分.
9.54
；
10.
160
；
11.
1；
12.
2
；
13.
1和0，(0, 4]；
14.
3，2(1
2).
2
注：13题、14题第一问
2分，第二问
3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：原式可化为
sin B sin( A
B) sin( A B) 2 cos Asin B． ⋯⋯⋯⋯3分
换”记作BnT ( An).继续对数列Bn进行“T变换”，得到数列Cn，⋯，依此类推，当得
到的数列各项均为0时变换结 束．
（Ⅰ）试问A3: 4,2,8和A4:1,4,2,9经过不断的“T变换” 能否结束？若能， 请依次写
出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求A3: a1, a2, a3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；
32
所以P(B) P1
P2
．
2012北京高三数学一模理科试题及答案之西城篇
北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（理科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ）（A ）(0,1) （B ）(0,1] （C ）(,0](1,)-∞+∞ （D ）(,0)[1,)-∞+∞ 2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）233．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9 （B ）3 （C ）0 （D ）3-4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A ）243cm （B ）223cm （C ）28cm （D ）24cm5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b c a <<7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ）（A ）(0,1] （B ）(0,2) （C ）[1,2) （D ）(0,2)8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ）（A ）3240 （B ）3120 （C ）2997 （D ）2889第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答） 11. 如图，A C 为⊙O 的直径，O B AC ⊥，弦B N 交A C于点M ．若3O C =，1O M =，则M N =_____．12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()24ρθ+=的距离是_____．13. 已知函数122,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线3(0)3y x x =≥和3(0)y x x =-≥上运动，且△O A B的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△O A B 周长的最小值是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7B C = ，20=⋅AC AB ，求||A B A C +．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（Ⅲ）求比赛局数的分布列. 17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为ABCOM NEF菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且F A F C =． （Ⅰ）求证：A C ⊥平面B D E F ； （Ⅱ）求证：F C ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)ax a f x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为53，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12M B M B ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数列12:,,,n n B b b b ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=- ，且1||n n b a a =-，这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件；（Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．北京市西城区2012年高三一模试卷 数学（理科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. A ；4.A ；5. B ；6. D ；7. A ；8. D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54； 10.160-； 11.1； 12.2； 13.1-和0，(0,4]； 14.32，2(12)+.注：13题、14题第一问2分，第二问3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． ………………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………………5分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………………8分因为 ||7B C = ，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅= ， 所以 22||||89AB AC +=． ………10分因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………………12分 所以 ||129AB AC +=． ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………………1分记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==．………………4分（Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ………………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………………7分所以 125()16P B P P =+=． ………………8分（Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， ………………9分334341111(5)2C ()()2224P X -===， ………………10分335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ………………11分 336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7 P1814516516………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 A C F O ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以A D //B C ，D E //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ………………8分（Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△D B F 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故F O ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………………9分 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1O B =，3OA OF ==．所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -．所以 (3,0,3)C F =，(3,1,0)C B =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.C F C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得 15cos ,5⋅〈〉==n v n v n v．所以二面角B FC A --的余弦值为515． ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)xf x x=⋅+，211()e (2)xf x xx'=⋅+-． ………………2分由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ………………4分（Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x++-'=，0x ≠． ………………6分① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……………8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+．② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a + ………………10分③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ………………11分 ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+．………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由222222519a b b e aa-===-， 得23b a=. ………………2分依题意△12M B B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………………4分所以椭圆C 的方程是22194xy+=. ………………5分（Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………………7分 所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………………8分若PF 平分APB ∠，则直线P A ，P B 的倾斜角互补， 所以0=+PB PA k k . ………………9分 设(,0)P a ，则有12120y y x ax a+=--.将 112x m y =+，222x m y =+代入上式，整理得1212122(2)()0(2)(2)m y y a y y m y a m y a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0m y y a y y +-+=.……………12分将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式，整理得 (29)0a m -+⋅=. ………13分由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =.综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ………………2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ………………3分（Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．………………4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束． ……………5分当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”． 当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为m ax()n A ，则0m ax()i n a A ≤≤． 令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥．因为0q a ≥， 所以m ax()i p n b a A ≤≤，故m ax()m ax()n n B A ≤，证毕．………………9分 现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44m ax()m ax()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =． 下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理） ① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b ---此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一类数列； 若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ，(()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ………………13分。
北京市西城区2012届高三数学上学期期末教学统一检测 理 北师大版
北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2012.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ） （A ）1i 22+ （B ）1i 22-（C ）1i22-+ （D ）1i 22-- 2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）3 （B ）6- （C ）10 （D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的 体积是（ ） （A ）8 （B ）83 （C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② 22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若32PA BC =，则PBBC=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111na a a +++=______．13. 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =，4B π∠=， 5sin 5C =，则c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作card()P .已知card()10M =，A M ⊆，B M ⊆，A B =∅，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____. （用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin sin cos f x x x x =+，π[,π]2x ∈.（Ⅰ）求()f x 的零点； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X ，求X 的分布列和数学期望. 17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，12AB BC AA ==，90ABC ︒∠=，D 是BC 的中点．（Ⅰ）求证：1A B ∥平面1ADC ； （Ⅱ）求二面角1C AD C --的余弦值；（Ⅲ）试问线段11A B 上是否存在点E ，使AE 与1DC 成60︒角？若存在，确定E 点位置，若不存在，说明理由．18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分） 已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-，其中2,3,,k n =，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ； （Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n =项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω.证明：i Ω是等差数列.北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2012.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2. B ；3. D ；4. C ；5. D ；6. A ；7. D ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.{|01x x <<，或1}x >； 10.18； 11.12；12.2，1(14)3n --； 13.，6； 14.256，672.注：12、13、14题第一问2分，第二问3分；9题结论正确但表示形式非集合，扣1分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解法一：（Ⅰ）解：令()0f x =，得 sin cos )0x x x ⋅+=， ………………1分所以sin 0x =，或tan 3x =-. ………………3分 由 sin 0x =，π[,π]2x ∈，得πx =； ………………4分由 tan 3x =-，π[,π]2x ∈，得5π6x =. ………………5分 综上，函数)(x f 的零点为5π6或π.（Ⅱ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-）………………8分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………9分当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f ………………11分当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f 的最小值为1-+. (13)分解法二：（Ⅰ）解：1π()1cos2sin 2sin(2)23f x x x x =-+=-+）………………3分 令()0f x =，得πsin(2)32x -=-. ………………4分 因为π[,π]2x ∈，所以π2π5π2[]333x -∈,. ………………5分 所以，当π4π233x -=，或π5π233x -=时，()0f x =. ………………7分即 5π6x =或πx =时，()0f x =.综上，函数)(x f 的零点为5π6或π. ………………9分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，当π2π233x -=，即π2x =时，)(x f………………11分 当π3π232x -=，即11π12x =时，)(x f的最小值为12-+. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A ，则2()7P A =. ………………2分 所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率12325150C ()()77343P ==. ……5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为2,3,4. ………………7分2227C 1(2)C 21P X ===； 115227C C 10(3)C 21P X ===； 2527C 10(4)C 21P X ===. ………………10分:………………11分11010242342121217EX =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1A C ，交1AC 于点O ，连结OD .由 111C B A ABC -是直三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1A C 的中点. 又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC △中位线， 所以 1A B ∥OD ， ………………2分 因为 OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以 1A B ∥平面1ADC . ………………4分（Ⅱ）解：由111C B A ABC -是直三棱柱，且90ABC ︒∠=，故1,,BB BC BA 两两垂直.如图建立空间直角坐标系xyz B -. ………………5分 设2=BA ，则)0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0(1D C A C B . 所以 (1,2,0)AD =-，1(2,2,1)AC =-设平面1ADC 的法向量为=()x,y,z n ，则有10,0.n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以 20,220.x y x y z -=⎧⎨-+=⎩ 取1=y ，得)2,1,2(-=n . ………………7分易知平面ADC 的法向量为(0,0,1)=v . ………………8分 由二面角1C AD C --是锐角，得 ||2cos ,3⋅〈〉==n v n v n v . ………………9分 所以二面角1C AD C --的余弦值为23. （Ⅲ）解：假设存在满足条件的点E .因为E 在线段11B A 上，)1,2,0(1A ，)1,0,0(1B ，故可设)1,,0(λE ，其中02λ≤≤. 所以 (0,2,1)AE λ=-，1(1,0,1)DC =. ………………11分因为AE 与1DC 成60︒角，所以1112AE DC AE DC ⋅=. ………………12分即12=，解得1λ=，舍去3λ=. ………………13分所以当点E 为线段11B A 中点时，AE 与1DC 成60︒角. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆C 的半焦距是c .依题意，得 1c =. ………………1分 因为椭圆C 的离心率为12， 所以22a c ==，2223b a c =-=. ………………3分故椭圆C 的方程为 22143x y +=. ………………4分（Ⅱ）解：当MN x ⊥轴时，显然00y =. ………………5分当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠.由 22(1),3412,y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y 整理得 0)3(48)43(2222=-+-+k x k x k .………………7分设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为33(,)Q x y ，则 2122834k x x k +=+. ………………8分所以 212324234x x k x k +==+，3323(1)34ky k x k -=-=+. 线段MN 的垂直平分线方程为)434(1433222k k x k k k y +--=++. 在上述方程中令0=x ，得k kkk y 4314320+=+=. ………………10分当0k <时，34k k +≤-0k >时，34k k+≥所以0012y -≤<，或0012y <≤. ………………12分综上，0y 的取值范围是[1212-. ………………13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：(1)(),(1,)1x a ax f x x x --'=∈-+∞+. ………………2分依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. ………………3分经检验，13a =时，符合题意. ………………4分（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1xf x x '=+.故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ………………5分 ② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或211x a=-. 当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(0,1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a-+∞. …6分 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. ………………7分当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a -；单调减区间是(1,1)a--和(0,)+∞. …8分 ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ……9分 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1(1,)a-+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1(1,1)a--和(0,)+∞. ………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. ………………11分当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1(1)f a-， 由1(1)(0)0f f a->=，知不合题意. ………………12分 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意.所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：4:2,1,4,5A . ………………3分 （Ⅱ）证法一：证明：由已知，111()n b a a a =--，212121()n b a a b a a a =+-=+-.因此，猜想1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………4分 ① 当1i =时，111()n b a a a =--，猜想成立；② 假设*()i k k =∈N 时，1(1)()k k k n b a a a =+--.当1i k =+时，11k k k k b a a b ++=+-11[(1)()]k k k k n a a a a a +=+-+--11(1)()k k k k n a a a a a +=+----111(1)()k k n a a a ++=+--故当1i k =+时猜想也成立.由 ①、② 可知，对于任意正整数i ，有1(1)()i i i n b a a a =+--. ………………7分设数列n B 的“衍生数列”为n C ，则由以上结论可知111(1)()(1)()(1)()i i i i i n i n n c b b b a a a b b =+--=+--+--，其中1,2,3,,i n =. 由于n 为偶数，所以11(1)()n n n n b a a a a =+--=，所以 11(1)()(1)()i i i i n n i c a a a a a a =+--+--=，其中1,2,3,,i n =.因此，数列n C 即是数列n A . ………………9分 证法二：因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为偶数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,n 这2n 个式子都乘以1-，相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+ 即1n b a -=-，1n b a =. ………………7分由于1n a b =，11(2,3,,)i i i i a b b a i n --=+-=，根据“衍生数列”的定义知，数列n A 是n B 的“衍生数列”. ………………9分 （Ⅲ）证法一：证明：设数列n X ,n Y ,n Z 中后者是前者的“衍生数列”.欲证i Ω成等差数列，只需证明,,i i i x y z 成等差数列，即只要证明2(1,2,3,,)i i i y x z i n =+=即可. ……10分由（Ⅱ）中结论可知 1(1)()i i i n y x x x =+--， 1(1)()i i i n z y y y =+--11(1)()(1)()i i i n n x x x y y =+--+--11(1)()(1)[(1)()]i i n i n n n n x x x x x x x =+--+----- 11(1)()(1)()i i i n n x x x x x =+--+-- 12(1)()i i n x x x =+--，所以，122(1)()2i i i i n i x z x x x y +=+--=，即,,i i i x y z 成等差数列，所以i Ω是等差数列. ………………13分证法二：因为 11(2,3,4,,)i i i i b a a b i n --=+-=，所以 11()(2,3,4,,)i i i i b a b a i n ---=--=. 所以欲证i Ω成等差数列，只需证明1Ω成等差数列即可. ………………10分 对于数列n A 及其“衍生数列”n B ， 因为 1n b a =，1212b b a a +=+，2323b b a a +=+，……11n n n n b b a a --+=+，由于n 为奇数，将上述n 个等式中的第2,4,6,,1n -这12n -个式子都乘以1-， 相加得 11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++ 即112n n n n b a a a a a =-+=-.设数列n B 的“衍生数列”为n C ， 因为 1n b a =，112n n c b a a ==-， 所以 1112b a c =+， 即111,,a b c 成等差数列. 同理可证，111111,,;,,,b c d c d e 也成等差数列.Ω是等差数列.即1Ω成等差数列. (13)所以i分。
北京市西城区2012届高三上学期期末教学统一检测数学(文科)
北京市西城区 2011 — 2012 学年度第一学期期末试卷高三数学（文科）2012.1第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .1．复数i (1i) （）（ A）1 i（ B）1 i（ C）1 i（ D）1 i 2．若向量a( 3,1) ，b(0, 2) ，则与a2b共线的向量能够是（）（A）(3, 1)（B）(1, 3)（C）(3, 1)（D）(1,3)3. 以下函数中，既是偶函数又在(0, ) 单一递加的函数是（）（ A）y1（ B）y e|x|x（ C）y x23（ D）y cosx4．“直线l的方程为x y 0 ”是“直线 l 均分圆x2y21的周长”的（）（ A）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（ C）充要条件（D）既不充足又不用要条件5．一个几何体的主视图和左视图以下图，则这个几何体的俯视图不行能是（）．．．主视图左视图（A）（B）（C）（D）6．履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）（A）3（B）6（C）10（D）157．已知a b 0 ，给出以下四个不等式：① a2b2；②2a2b 1；③ a b ab ；④ a3b32a2b ．此中必定建立的不等式为（）（ A）①、②、③（ B）①、②、④（ C）①、③、④（ D）②、③、④8 ．有限会合P 中元素的个数记作card(P).已知card( M )10，A M ， B M，A B，且 card( A) 2 ，card( B)3. 若会合X知足X M，且A X ，B X，则会合X的个数是（）（ A）672（B）640（C）384（D）352第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.9．函数 f ( x)log 2 x 的定义域是______.x2y210．双曲线 1 的一个焦点到其渐近线的距离是______．16 911．若曲线y x3ax 在原点处的切线方程是2x y 0 ，则实数 a______．12ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为 a ，b， c ．若 b 5 ，B，．在△tan C 2 ，则 c4 ______ ．13．已知{ a n}是公比为2 的等比数列，若a3 a1 6 ，则 a1；111______．a12a22a n2x2,14．设0 ，不等式组x y0,所表示的平面地区是W ．给出以下三个结论：x2y0① 当1时， W 的面积为 3 ；②0 ，使 W 是直角三角形地区；③设点 P(x, y) ,关于P W 有x y4 ．此中，全部正确结论的序号是______．三、解答题共 6 小题，共 80分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题满分 13分）已知函数 f ( x) 3 sin2xπsin x cos x ， x [ , π] .22π（Ⅰ）求 f () 的值；3（Ⅱ）求 f ( x) 的最大值和最小值.16.（本小题满分 13 分）某种部件按质量标准分为1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该部件中随机抽取20 个，对其等级进行统计剖析，获得频次散布表以下：等级频次12345 0.05m0.150.35n（Ⅰ）在抽取的20 个部件中，等级为 5 的恰有 2 个，求 m, n ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为 3 和 5 的全部部件中，随意抽取2个，求抽取的2 个零件等级恰巧同样的概率.17．（本小题满分14 分）如图，正三棱柱ABC A1 B1C1的侧棱长和底面边长均为 2 ， D 是 BC 的中点．（Ⅰ）求证：AD平面B1BCC1；（Ⅱ）求证：A1 B ∥平面 ADC 1；（Ⅲ）求三棱锥C1ADB 1的体积．18.（本小分 13 分）已知函数f ( x)1a x2ln x ，此中 a R.2（Ⅰ）求 f ( x) 的区；（Ⅱ）若 f ( x) 在 (0,1] 上的最大是1，求a的.19.（本小分 14 分）已知 C : x2y21 221 (a b 0) 的一个焦点是 F (1,0) ，且离心率.a b2（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）点 F 的直交 C 于M , N两点，段 MN 的垂直均分交y 于点P(0, y0 ) ，求 y0的取范.20.（本小分 13 分）已知数列A n: a1, a2 ,,a n.假如数列B n: b1,b2 ,, b n足b1a n， b k a k 1a k b k 1，此中k2,3,, n，称B n A n的“衍生数列”.（Ⅰ）写出数列A4: 2,1,4,5的“衍生数列”B4；（Ⅱ）若n 偶数，且A n的“衍生数列”是B n，明：b n a1；（Ⅲ）若n 奇数，且A n的“衍生数列”是B n，B n的“衍生数列”是 C n，⋯.挨次将数列 A n， B n， C n，⋯的首拿出，组成数列: a1 ,b1, c1 ,.明：是等差数列.北京市西城区 2011 — 2012 学年度第一学期期末高三数学（文科）参照答案及评分标准2012.1一、：本大共8 小，每小 5 分，共 40 分 .1.C；2. D；3.B；4. A；5. D；6. C；7.A；8. A.二、填空：本大共 6 小，每小 5 分，共30 分.9.{ x | x 1} ；10. 3；11.2 ；12. 2 2 ；13. 2，1(1 4 n ) ；14.①、③ . 3注： 13 第一 2 分，第二 3 分； 14 多、少、均不分.三、解答：本大共 6 小，共 80分 . 若考生的解法与本解答不一样，正确者可参照分准分 .15.（本小分 13 分）（Ⅰ）解： f (2π3 sin 22π2π 2π 3 333⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分)3sin3cos344.32（Ⅱ）解： f ( x)31sin 2 x sin(2 xπ3⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（1 cos2x）2).232因 xππ 2π 5π⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分[, π]，因此 2 x[,] .2333当 2 xπ 2ππ3 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分3，即 x， f ( x) 的最大32当 2 x π 3π11π13⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分3，即 x12， f ( x) 的最小.2216.（本小分 13 分）（Ⅰ）解：由率散布表得0. 0 5 m0. 1 5 0.n3 5 ，即 m n0.45.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分由抽取的20 个部件中，等5的恰有 2个，得 n20.1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分20因此 m0.45 0.10.35.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，等 3 的部件有 3 个，作x1, x2, x3；等 5 的部件有 2 个，作 y1, y2.从 x1, x2 , x3, y1 , y2中随意抽取 2 个部件，全部可能的果：( x1, x2 ),( x1 , x3 ),( x1, y1 ),( x1, y2 ),( x2 , x3 ),( x2 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y1 ),( x3, y2 ),( y1, y2 )共 10种.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分事件 A“从部件x1, x2 , x3 , y1, y2中任取2 件，其等相等”.A 包括的基本领件( x1, x2 ),( x1, x3 ),( x2 , x3 ),( y1, y2 ) 共4个.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分故所求概率 P( A)4⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分0.4 .1017.（本小分 14 分）（Ⅰ）明：因ABC A1 B1C1是正三棱柱，因此CC1平面ABC.又 AD 平面 ABC，因此CC1AD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分因△ABC 是正三角形， D 是 BC 的中点，因此因此BCADAD ，平面 B1 BCC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分5 分（Ⅱ）明：A1C，交AC1于点O ，OD .由 ABC A1 B1C1是正三棱柱，得四形 ACC1 A1矩形，O A1C 的中点.又 D BC 中点，因此 OD △A1BC中位，因此A1B∥OD，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分因OD平面 ADC1， A1B平面 ADC1，因此A1B ∥平面 ADC1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（Ⅲ）解：因V C1ADB1 V A B1DC1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分因此 V C1ADB1S BDC1AD 2 3.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分131318.（本小分13 分）（Ⅰ）解： f( x)ax 2 1 ,x(0,) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分x当 a0 ，f( x) 0 ，进而函数 f (x) 在 (0,) 上增.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分当 a0 ，令f(x)0，解得 x 11⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分，舍去 x.a a此， f ( x) 与 f(x) 的状况以下：x11(1 (0,)a, )a af( x)0f (x)↗ f ( 1 )↘a因此， f ( x) 的增区是(0,1) ；减区是(1).⋯⋯⋯⋯7分a,a（Ⅱ）① 当 a0 ，由（Ⅰ）得函数 f ( x) 在 (0,1]上的最大 f (1)a.令a21，得 a2，与 a0矛盾，舍去 a 2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分2② 当1a0 ，11，由（Ⅰ）得函数 f (x) 在(0,1]上的最大 f (1)a a.2令a1，得 a2，与1a0矛盾，舍去 a2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分2③当 a1，011，由（Ⅰ）得函数 f (x) 在(0,1]上的最大 f (1 ) .a a令 f (11 ，解得 a e，合适a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分)a上，当 f ( x) 在 (0,1] 上的最大是， a e.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分119.（本小分 14 分）（Ⅰ）解： C 的半焦距是c.依意，得 c 1 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分因 C 的离心率 1 ，2因此 a2c 2 ，b2a2c23.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分故 C 的方程x2y2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分41.3（Ⅱ）解：当 MN x ，然y00 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分当 MN 与x不垂直，可直MN 的方程y k ( x1) (k0).y k( x1),消去 y 整理得(3 4k2) x28k 2 x4(k 23)0 .由4 y3x22 12,⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分M ( x1 , y1), N ( x2 , y2 ) ，段MN的中点 Q( x3 , y3 ) .x1x28k 2.4k2 3因此x1x24k2， y3k (x31)3kx334k24k23⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分2.段 MN 的垂直均分方程y33k21( x4k 22). 4k k 3 4k在上述方程中令x0 ，得y0k1⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分34k 2.34kk当 k0，34k 4 3 ；当 k0 ，34k 4 3 . k k30，或 0y03.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分因此y012 12上， y0的取范是 [ 3 ,3] .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分121220. （本小分 13 分）（Ⅰ）解： B4 : 5, 2,7, 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）明：因 b1a n，b1 b2a1a2，b2b3a2a3，⋯⋯bn 1b n an 1a n，因为 n 偶数，将上述n 个等式中的第 2,4,6,,n n个式子都乘以1，相加得2b1 (b1b2 ) (b2b3 )(b n 1b n ) a n(a1a2 ) (a2a3 )(a n 1a n )即 b n a1， b n a1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分（Ⅲ）明：于数列A n及其“衍生数列”B n，因 b1a n，b1b2a1a2，b2b3a2a3，⋯⋯b n 1b n a n 1a n，因为 n 奇数，将上述 n个等式中的第 2,4,6,, n n 1个式子都乘以1，12相加得b1 (b1b2 ) (b2b3 )(b n 1b n ) a n(a1a2 ) (a2a3 )(a n 1a n )即 b n a n a1a n2a n a1.数列 B n的“衍生数列” C n，因 b1a n， c1b n2a n a1，因此 2b1a1c1，即 a1 ,b1, c1成等差数列.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分同理可， b1 , c1 ,d1 ; c1, d1 ,e1,也成等差数列.进而是等差数列 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分。
2012年西城区第一次模拟考试之数学篇含答案可编辑
2012年北京市西城区初三一模试卷数学命题人：郑荣国2012．4考生须知1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回．一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．计算：29-＝( )A ．-1B ．-3C ．3D ．52．我市深入实施环境污染整治，某经济开发区的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为( )A ．316710⨯B ．416.710⨯C ．51.6710⨯D ．60.16710⨯3．已知，如图，AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，如果∠B ＝20°，∠D ＝40°，那么∠BOD 为( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°4．因式分解()219x --的结果是( )A ．()()24x x +-B ．()()81x x ++C ．()()24x x -+D ．()()108x x -+5．如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法正确的是( ) A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，AC 是弦，AC ＝23，∠AOC 为( ) A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°A BCDO8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2．E 、F 分别是射线AC 、CB 上的动点，且AE ＝BF ，EF与AB 交于点G ，EH ⊥AB 于点H ，设AE ＝x ，GH ＝y ，下面能够反映y 与x 之间函数关系的图象是( )GHF A CBE yxxyyxyxDCBAOOOO二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．函数3y x =-自变量的取值范围是__________． 10．如图，点P 在双曲线(0)ky k x=≠上，点(12)P '，与点P 关于y 轴对称，则此双曲线的解析式为．11．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM ＝MN ，则点M 的坐标为______________．12．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ―1在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ―1B n ―1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ―1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ―1A n B n ―1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．xyOABCMN O1 2yx(12)P '，P ACBO三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13．计算：102124sin60(3)-+-︒--．14．（1）解不等式：112x x >+；（2）解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩15．已知：如图，A 点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 点坐标为()03，． （1）求过A B ，两点的直线解析式； （2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP ∆的面积．11BAOy x16．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC ＝30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ．BO A A 1 A2A 3 A 4 A 5B 1 B 2 B 3B 441（1）求证：AC ＝EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．17．先化简：2313(1)2349223x x x x ÷⋅++--；若结果等于23，求出相应x 的值．18．在某市举办的“读好书，讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级（1）班全体同学捐献图书的情况统计图： 请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题： （1）该班有学生多少人？ （2）补全条形统计图；（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？ABCDEF四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x 元． （1）填表(不需要化简)时间 第一个月 第二个月 清仓时单价(元)80 ▲ 40 销售量(件) 200▲ ▲ （2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？20．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝CD ＝2，∠C ＝60°，M 是BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD ′)与AB 交于一点E ，MC (即MC ′)同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．FEC'D'CDABM21．如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H ． （1）求证：AB 是半圆O 的切线；（2）若3AB =，4BC =，求BE 的长．22．已知：如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设m ＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ，探索m 的取值范围．（1）如图2，当E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四边中点时，m ＝________．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD 为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m 的取值范围． ①请在图1中补全小贝同学翻折后的图形； ②m 的取值范围是____________．H GF EC DBA 图1图2HGF E C D BA 图3A BDCE FGH五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0．（1）求证：不论a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；BD A O AH AC A E AMA F AA（2）设a ＜0，当二次函数y ＝x 2＋ax ＋a －2的图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△P AB的面积为3132，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由．24．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠B ＝∠DAC ＝45°． （1）如图1，当∠C ＝45°时，请写出图中一对相等的线段；_________________ （2）如图2，若BD ＝2，BA ＝3，求AD 的长及△ACD 的面积．图1CD BA图2AB D C25．巳知二次函数y＝a(x2－6x＋8)(a＞0)的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段P A、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．CDBO'AxyOGH FECDBAxyO2012年北京市西城区初三一模试卷参考答案1．A ． 2．C ． 3．C ．4．A ． 5．C ． 6．A ． 7．A ． 8．C ． 9．x ≥3．10．2y x -=．11．(54，34)12．12；6．13．解：原式＝13234122+-⨯-＝12-． 14．（1）解：112x x ->，112x >，所以2x >．（2）21x y =⎧⎨=⎩15．（1）23y x =+；（2）设P 点坐标为()0x ，，依题意得3x =±，所以P 点坐标分别为()()123030P P -，，，． 1132733224ABP S ∆⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，213933224ABP S ∆⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以ABP ∆的面积为274或94． 16．略．17．原式＝(23)(23)1233)233223x x x x x x +--+⋅⋅⋅+-＝23x ；由23x＝23，可，解得x ＝±2．18．解：（1）因为捐2本的人数是15人，占30％，所以该班人数为1530%＝50 （2）根据题意知，捐4本的人数为：50－(10＋15＋7＋5)＝13．(如图)（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数是242+＝3(本)，众数是2本． 19．（1）80－x ，200＋10x ，800－200－(200＋10x )；（2）根据题意，得80×200＋(80－x )(200＋10x )＋40[800－200－(200＋10x )]－50×800＝9000．整理，得x 2－20x ＋100＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝10， 当x ＝10时，80－x ＝70＞50．答：第二个月的单价应是70元． 20．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ，于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，PQFEC'D'CDA MB∵∠C ＝∠B ＝60°∴CP ＝BQ ＝12AB ，CP ＋BQ ＝AB ，又∵ADPQ 是矩形，AD ＝PQ ， 故BC ＝2AD ，由已知，点M 是BC 的中点， BM ＝CM ＝AD ＝AB ＝CD ， 即△MDC 中，CM ＝CD ，∠C ＝60°， 故△MDC 是等边三角形．（2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下： 连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形， △MAB ，△MAD 和△MC ′D ′是等边三角形， ∠BMA ＝∠BME ＋∠AME ＝60°，∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝60°， ∴∠BME ＝∠AMF ，在△BME 与△AMF 中，BM ＝AM ，∠EBM ＝∠F AM ＝60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )， ∴BE ＝AF ，ME ＝MF ，AE ＋AF ＝AE ＋BE ＝AB ， ∵∠EMF ＝∠DMC ＝60°，故△EMF 是等边三角形，EF ＝MF ， ∵MF 的最小值为点M 到AD 的距离错误！未找到引用源。
2012西城一模试题答案定稿
北京市西城区2012年高三一模试卷物理试题参考答案 2012.413．C 14．B 15．A 16．C 17．D 18．A 19．D 20．B 21．（18分）（1）①B D ②αβsin sin ③小于（2）①0.516 （0.515～0.519） ②3Ω ③A C E ④b IlUD 4π2⑤镍铬合金评分说明：本题共18分。
第（1）问中每空2分，共6分；第（2）问中，第①、③小 问每空1分，其他题目每空2分。
第（1）问中的第①小问，漏选得1分；不选、多选、 错选不得分。
22．（16分）（1）小木块在弧形轨道末端时，满足R m v m g F 2=-解得：25N =F （2）根据动能定理 02120f -=-mv W mgR解得：J 5.1f =W（3）根据动量守恒定律 vM m mv )(0+=解得：m/s0.1=v评分说明：本题共16分。
第（1）问5分；第（2）问5分；第（3）问6分 23．（18分）（1）带电离子在平行板a 、b 间运动时，根据动能定理 02120-=mv qU① 解得：mqU v 02=，即02kU v = 带电离子在平行板a 、b 间的加速度dm qU a 01=，即dkU a 01= 所以，带电离子在平行板a 、b 间的运动时间0112kU kU d a v t ==带电离子在平行板M 、N 间的运动时间022kU L v L t ==所以，带电离子的全部飞行时间02122kU L d t t t +=+=（2）正离子在平行板M 、N 间水平方向运动位移为x 时，在竖直方向运动的位移为y 。
水平方向满足 vt x = ②竖直方向满足 2221t a y =③加速度 L kU a 12=④由上述②、③、④式得：0214LU x U y =⑤⑤式是正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关。
所以，不同正离子的轨迹是重合的。
（3）当M 、N 间磁感应强度大小为B 时，离子做圆周运动，满足R mv Bvq 2=⑥ 由上述①、⑥两式，解得：带电离子的轨道半径qB m U R 202=⑦ 上式表明：在离子质量一定的情况下，离子的电荷量越大，在磁场中做圆周运动的半径越小，也就越不容易穿过方形区从右侧飞出。
届北京西城区高三数学文科一模试卷及答案
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =（ ）（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）1(,1)(0,)2-∞- （D ）1(,1)(,1)2-∞- 2．复数5i2i=+（ ） （A ）12i + （B ）12i -+（C ）12i --（D ）12i -3．执行如图所示的程序框图，则输出S =（ ） （A ）2 （B ）6 （C ）15 （D ）314．函数1()ln f x x x=-的零点个数为（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）35．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）（A ）（B ）（C ）3 （D6．过点(2,0)M 作圆221x y +=的两条切线MA ，MB (A ，B 为切点)，则MA MB ⋅=（ ）（A （B ）52（C （D ）327．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =627S S =”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件8．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()||f x x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-． 其中，具有性质P 的函数的序号是（ ） （A ）① （B ）③（C ）①②（D ）②③第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知向量(1,3)=a ，(,21)m m =-b ．若向量a 与b 共线，则实数m =______．10．平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自△ABE 内部的概率为______．11．双曲线2213645x y -=的渐近线方程为______；离心率为______．12．若函数2log ,0,()(),0x x f x g x x >⎧=⎨<⎩是奇函数，则(8)g -=______．13．已知函数π()sin()6f x x =+，其中π[,]3x a ∈-．当2a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．设函数2()65f x x x =-+，集合{(,)|()()0A a b f a f b =+≤，且()()0}f a f b -≥．在直角坐标系aOb 中，集合A 所表示的区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos2cos 0B B +=． （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b =5a c +=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）为了解学生的身体状况，某校随机抽取了一批学生测量体重．经统计，这批学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间．将数据分成以下5组：第1组[4550)，，第2组[5055)，，第3组[5560)，，第4组[6065)，，第5组[6570]，，得到如图所示的频率分布直方图．现采用分层抽样的方法，从第3，4，5组中随机抽取6名学生做初检． （Ⅰ）求每组抽取的学生人数；（Ⅱ）若从6名学生中再次随机抽取2名学生进行复检，求这2名学生不在同一组的概率．17．（本小题满分14分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，BC AC ⊥，21===CC BC AC ，M ，N 分别为AC ，11C B 的中点． （Ⅰ）求线段MN 的长；（Ⅱ）求证：MN //平面11A ABB ；（Ⅲ）线段1CC 上是否存在点Q ，使⊥B A 1平面MNQ ？说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ）若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）如图，A ，B 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的两个顶点．||AB =AB 的斜率为12-． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 平行于AB ，与,x y 轴分别交于点,M N ，与椭圆相交于,C D ．证明：△OCM的面积等于△ODN 的面积．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-．记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）对如下数表(4,4)A S ∈，求()l A 的值；（Ⅱ）证明：存在(,)A S n n ∈，使得()24l A n k =-，其中0,1,2,,k n =；（Ⅲ）给定n 为奇数，对于所有的(,)A S n n ∈，证明：()0l A ≠．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分规范2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B ； 2．A ； 3．C ； 4．B ； 5．C ； 6．D ； 7．A ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．12；11．2y x =±，32； 12．3-； 13．1[,1]2-，[,]3ππ； 14．4π． 注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分规范给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知得 22cos cos 10B B +-=， ………………2分即 (2cos 1)(cos 1)0B B -+=．解得 1cos 2B =，或cos 1B =-． ………………4分因为 0πB <<，故舍去cos 1B =-．………………5分 所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解：由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-． ………………8分将π3B =，b =代入上式，整理得2()37a c ac +-=．因为5a c +=，所以 6ac =． ………………11分所以 △ABC 的面积1sin 22S ac B ==．………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由频率分布直方图知，第3，4，5组的学生人数之比为3:2:1．…………2分所以，每组抽取的人数分别为： 第3组：3636⨯=；第4组：2626⨯=；第5组：1616⨯=． 所以从3，4，5组应依次抽取3名学生，2名学生，1名学生． ………………5分（Ⅱ）解：记第3组的3位同学为1A ，2A ，3A ；第4组的2位同学为1B ，2B ；第5组的1位同学为C ． ………………6分则从6位同学中随机抽取2位同学所有可能的情形为：121311121232122231(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A A A A A B A B A C A A A B A B A C A B 3231212(,),(,),(,),(,),(,)A B A C B B B C B C ，共15种可能．………………10分其中，111212122231323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A B A C A B A B A C A B A B A C12(,),(,)B C B C 这11种情形符合2名学生不在同一组的要求．………………12分故所求概率为1115P =． ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接CN ．因为 111C B A ABC -是直三棱柱，所以 ⊥1CC 平面ABC ， ………………1分 所以 1AC CC ⊥． ………………2分因为 BC AC ⊥， 所以 ⊥AC 平面11BCC B ． ………………3分因为 1=MC ，CN ==， 所以 6=MN ． ………………4分（Ⅱ）证明：取AB 中点D ，连接DM ，1DB ． ………………5分在△ABC 中，因为 M 为AC 中点，所以BC DM //，BC DM 21=． 在矩形11B BCC 中，因为 N 为11C B 中点，所以BC N B //1，BC N B 211=．所以 N B DM 1//，N B DM 1=．所以 四边形N MDB 1为平行四边形，所以 1//DB MN ．………………7分 因为 ⊄MN 平面11A ABB ，⊂1DB 平面11A ABB ， ………………8分所以 MN // 平面11A ABB ．………………9分（Ⅲ）解：线段1CC 上存在点Q ，且Q 为1CC 中点时，有⊥B A 1平面MNQ ．………11分证明如下：连接1BC ．在正方形C C BB 11中易证 1BC QN ⊥．又⊥11C A 平面C C BB 11，所以 QN C A ⊥11，从而⊥NQ 平面11BC A ．…………12分所以 1A B QN ⊥． ………………13分同理可得 1A B MQ ⊥，所以⊥B A 1平面MNQ ．故线段1CC 上存在点Q ，使得⊥B A 1平面MNQ ．………………14分18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：222()()b x f x x b -'=+．………………2分依题意，令(1)0f '-=，得 1b =．………………4分经检验，1b =时符合题意．………………5分（Ⅱ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间．………………6分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+．令()0f x '=，得1x =，2x =8分()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………11分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立， 故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，得 1,2b a ⎧=⎪=………………2分解得 2a =，1b =． ………………3分所以 椭圆的方程为2214x y +=． ………………4分（Ⅱ）证明：由于l //AB ，设直线l 的方程为12y x m =-+，将其代入2214x y +=，消去y ，整理得2224440x mx m -+-=． ………………6分设11(,)C x y ，22(,)D x y ．所以 22122121632(1)0,2,2 2.m m x x m x x m ⎧∆=-->⎪+=⎨⎪=-⎩………………8分证法一：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ． 由(2,0)M m ，(0,)N m ， 则12S S =⇔1211|2|||||||22m y m x ⨯⨯=⨯⨯⇔12|2|||y x =． ………………10分因为 122x x m +=， 所以 11121|2||2()||2|||2y x m x m x =⨯-+=-+=， ………………13分 从而12S S =． ………………14分证法二：记△OCM 的面积是1S ，△ODN 的面积是2S ．则12S S =⇔||||MC ND =⇔线段,CD MN 的中点重合．………………10分 因为 122x x m +=，所以122x x m +=，1212112222y y x x m m ++=-⋅+=． 故线段CD 的中点为1(,)2m m ．因为 (2,0)M m ，(0,)N m ， 所以 线段MN 的中点坐标亦为1(,)2m m ． ………………13分从而12S S =． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：134()()()1r A r A r A ===，2()1r A =-；124()()()1c A c A c A ===-，3()1c A =， 所以4411()()()0i j i j l A r A c A ===+=∑∑． ………………3分（Ⅱ）证明：（ⅰ）对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ．即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤，其余1ij a =． 所以 12()()()1k r A r A r A ====-，12()()()1k c A c A c A ====-． 所以 ()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-，其中0,1,2,,k n =．……………7分【注：数表k A 不唯一】（Ⅲ）证明：用反证法．假设存在(,)A S n n ∈，其中n 为奇数，使得()0l A =． 因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈-(1,1)i n j n ≤≤≤≤， 所以1()r A ，2()r A ，，()n r A ，1()c A ，2()c A ，，()n c A 这2n 个数中有n 个1，n 个1-．令1212()()()()()()n n M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．一方面，由于这2n 个数中有n 个1，n 个1-，从而(1)1n M =-=-．①另一方面，12()()()n r A r A r A ⋅⋅⋅表示数表中所有元素之积（记这2n 个实数之积为m ）；12()()()n c A c A c A ⋅⋅⋅也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相互矛盾，从而不存在(,)A S n n ∈，使得()0l A =． 即n 为奇数时，必有．………………13分。
2012北京市西城高考一模试题及答案(文科全套)
北京市西城区2011-2012学年度第二学期一模高三语文试卷2012．4注意事项：1．本试卷分两部分，共150分，考试时间为150分钟；2．将学校、班级、姓名填在弥封线内；3．将答案全部写在答题纸上；4．考试结束，将试卷与答题纸一并交回。
第一部分（选择题，共27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。
1．下列词语中，字形和加点的字的读音全都正确的一项是A.化妆品寥若辰星标识．（shí）心广体胖．（pán）B.孰不知相辅相成着．（zhāo）急发生口角．（jué）C.荧光屏贸然行事揩．（kāi）油犯罪未遂．（suì）D.流水账鞭辟入理结束．（shù）量．体裁衣（liáng）2．下列句子中，加点的成语使用正确的一项是A.李实哲是个胸无城府．．．．的天才棋手，围棋下得出神入化，在出席新闻发布会时却常常出言无忌，因为自己的直率他付出过不少代价。
B. 足坛反赌扫黑接近尾声，对于涉嫌行贿的俱乐部是否会受处罚，足协一位官员的表态似是而非．．．．：“一切要等审判结束后才有结果。
”C. 上海的婚宴普遍在晚上举行，一般选择在吉时6：08开宴，可是总有些接到请柬的不速之客．．．．姗姗来迟，这让婚宴主办者颇为尴尬。
D. 部分司机认为高速公路宽阔，只要车少就可天马行空．．．．地自由驰骋，其实这种想法十分危险，因为人在大意时反应速度会大大降低。
3．下列句子中，没有．．语病的一句是A. 近日，美国宇航局的探测器有史以来第一次直接探测到的来自太阳系之外的粒子，这一发现首次让我们有机会一窥所谓的“恒星际介质”。
B. 今年，北京将新增20万亩林地，主要种植在受污染物影响较大的地方，如高速路或主干道的路边，对尾气削减和扬尘会有很好的作用。
C. “1·28”中国公民被劫持事件发生后，苏丹政府全力解救，并表态将采取切实措施确保所有在苏中资企业的安全，避免类似事件不再发生。
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北京市西城区2012年高三一模试卷数 学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么A B = （ ） （A ）(2,2)-（B ）(1,2)-（C ）(1,2)（D ）(1,4) 【答案】C【解析】}22{}4{2<<-=<=x x x x B ，所以}21{<<=⋂x x B A ，选C.2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）（A ）5（B ）7（C ）15（D ）31 【答案】D【解析】输入3=x ，7=y 。
8473<=-，15,7==y x ，88157==-，31,15==y x ，8163115>=-，满足条件，输出31=y ，选D.3．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ）（A ）a c b <<（B ）c a b <<（C ）b c a <<（D ）c b a << 【答案】D【解析】13log 2>，12log 03<<，031log 4<，所以a b c <<，选D. 4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则复数12zz 对应的点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限 【答案】B【解析】由复数的几何意义知i z i z =--=21,2，所以i ii z z +-=--=1221，对应的点在第二象限，选B.5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）2（B）2（C ）28cm （D ）24cm 【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选 A.6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6（B ）5（C ）4（D ）3 【答案】B【解析】做出可行域，如图，设z y x =-3，则，则z x y -=31，由图象可知当直线经过A 和C 点时，Z 取得最值。
由题意知)1,1(),2,1(-C A ，此时561-=-=z ，或4)1(931=-⨯-=z ，所以z y x =-3的最大值为5，选B. 7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“23S S >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件 【答案】C【解析】21323q a a S S ==-，若10a >，则021323>==-q a a S S ，所以23S S >。
若23S S >，则021323>==-q a a S S ，所以10a >，即“10a >”是“23S S >”的充要条件，选C.8．已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ）（A ）120（B ）112（C ）92（D ）84 【答案】C【解析】本题可转化为二进制，集合中的二进制数为0123a a a a ，因为03≠a ，所以最大的二进制数为1111，最小的二进制数1000，对应的十进制数最大为15，最小值为8，则，8到15之间的所有整数都有集合中的数，所以所有元素之和为9228)158(=⨯+，选C.第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .若,90︒〈-〉=a b a ，则实数λ=_____.【答案】9【解析】因为,90︒〈-〉=a b a ，所以,0)(=∙-a b a ,0=∙-所以0)4(5=--λ，所以9=λ。
10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．【答案】54【解析】成绩在[16,18]的学生的人数比为2093673136=+++++，所以成绩在[16,18]的学生的人数为54209120=⨯。
11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____．【答案】π【解析】函数x x y 2cos 2cos 212+=+=，所以周期为ππ=22。
12. 圆22430x y x +-+=的圆心到直线0x =的距离是_____. 【答案】1【解析】圆的标准方程为1)2(22=+-y x ，圆心为)0,2(，半径为1，圆心到直线的距离为1312=+=d ，答案为1.13. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____．【答案】1-和0，1[,3]4-【解析】当90≤≤x 时，由021=x得，0=x 。
当02<≤-x 时，由02=+x x ，得1-=x ，所以函数零点为1-和0。
当90≤≤x 时，21)(x x f =，所以3)(0≤≤x f ，当02<≤-x ，41)21()(22-+=+=x x x x f ，所以此时2)(41≤≤-x f ，综上3)(41≤≤-x f ，即函数的值域为]3,41[-。
14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ， .记(0,)n n A y ，1,2,3,n = .给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列； ② 对*n ∀∈N ，0n y >； ③ 若14y =，23y =，则523y =. 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】① ② ③. 【解析】因为,,,21--n n n B B A 三点共线，设三点坐标为),,(),,(),,0(22221211------n n n n n n n n y y B y y B y A 则有211222121-------=--n nn n n n n y y y y y y y ，整理得2121----+⋅=n n n n n y y y y y ，即21111--+=n n n y y y ，所以11,11--<>n n n n y y y y ，所以数列{}n y 是递减数列，①正确，又01>y ，所以对*n ∀∈N ，0n y >，②正确，若14y =，23y =，则1273141111213=+=+=y y y ，121112731111234=+=+=y y y ，2312181271211111345==+=+=y y y ，所以325=y ，所以③正确，综上① ② ③都正确。
三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若2BC =，△ABCAB ．【答案】（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． ……3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． …………4分 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． …………6分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． …………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅．………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． …………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………13分 16.（本小题满分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率． 【答案】（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，依题意得27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ………5分（Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ， ),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ， ),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． …………9分2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． …………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ……13分 17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．ABCDEF【答案】（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形， 所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==． 所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分 所以 NC ∥MD ， ………………3分 因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………4分（Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………5分所以 FC NE ⊥． ………………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． …………7分所以 ⊥FC 平面NED ， …………8分所以 FC ND ⊥． ……9分（Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ， 所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ……11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………14分 18.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>F ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．【答案】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则c = ……1分由c e a ==， 得a = 从而2224b ac =-=． …………4分 所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． …………5分 （Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ……………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k +=+．…9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． …10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ……11分即 2532611526k k k k ++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． …………13分所以3k =±． ………14分19.（本小题满分13分）如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ．（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若||||CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．【答案】（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……………2分所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+．……4分 由点C 在第一象限，得03x <<．所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分 令()0f x '=，得1x =． ………………9分 ① 若13k <，即113k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下： x(0,1)1(1,3)k()f x ' +-()f x↗极大值↘所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ………………11分② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分 综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.（本小题满分13分）对于数列123:,,(,1,2,3)i A a a a a i ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列123:,,B b b b ，其中1||(1,2)i i i b a a i +=-=，且331||b a a =-.这种“T 变换”记作()B T A =.继续对数列B 进行“T 变换”，得到数列123:,,C c c c ，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问:2,6,4A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）设123:,,A a a a ，()B T A =．若:,2,()B b a a b ≥，且B 的各项之和为2012．（ⅰ）求a ，b ；（ⅱ）若数列B 再经过k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求k 的最小值，并说明理由．【答案】（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………3分 （Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项， 所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．………7分 当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B“结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502．………………13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结构相同”．若数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列:1004,2,1006B 经过502次“T 变换”一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502．………………13分北京市西城区2012年高三一模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. A ；6. B ；7. C ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 9； 10. 54； 11. π；12. 1； 13. 1-和0，1[,3]4-； 14. ① ② ③. 注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． …………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………………4分 因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． …………6分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ……………7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． …………9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ………………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，依题意得27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ………………5分 （Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ，),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． ……………9分 2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． (12)分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ………………13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分所以 NC ∥MD ， ………………3分因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． (4)分（Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O = ．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ………………5分所以 FC NE ⊥． ………………6分 又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥．……………7分 所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分所以 FC ND ⊥． ……………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ，所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ……………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ………………13分 当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． …………14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则c = ………………1分由c e a ==， 得a = 从而2224b ac =-=． …………4分 所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． …………5分 （Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． …………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k +=+． ………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． ……………10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， ………………11分即 22532611526k k k k ++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． ………………13分 所以3k =±． ………………14分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ………………1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． …………2分 所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+．……4分 由点C 在第一象限，得03x <<． 所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<． ………………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ………………6分记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分 令()0f x '=，得1x =． ………………9分① 若13k <，即113k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下： x(0,1) 1 (1,3)k ()f x '+ 0 - ()f x ↗ 极大值 ↘所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． ……………11分② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． ………………13分综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项，所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． ………………5分 当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =． (7)分 当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………………8分（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B “结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10．接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0； 0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502． ………………13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结 构相同”．若数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ．所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列:1004,2,1006B 经过502次“T 变换”一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502． ………………13分。