必修3-进位制
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高中数学必修三第一章09秦九韶算法与进位制
高中数学必修三第一章09秦九韶算法与进位制一、引言进位制是现代数学的基础之一，我们所使用的十进制数即是以10为基数的进位制。
而在高中数学必修三第一章中，也介绍了中国古代的一种进位制算法，秦九韶算法，用于做乘法运算。
本文将介绍秦九韶算法与进位制的相关内容。
二、进位制的基础进位制是指一种数的表示方法，采用固定的数字符号和固定的位权，每增加一个位权，数字符号变化一次。
在十进位制中，数字符号为0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，位权从右到左依次为1、10、100、1000...，而各个位上的数字符号乘以相应的位权相加即可得到整个数的值。
例如，数1234的表示方式为：(1*1000)+(2*100)+(3*10)+(4*1)=1234进位制的特点是能够方便地进行乘法、除法和算术运算，因此在数学中得到广泛应用。
三、秦九韶算法的定义秦九韶算法，又称秦九韶势算法，是中国古代的一种进位制乘法运算方法，被广泛应用于古代的大量算术题目和通用计算。
其基本思想是将待乘数按照位权展开，然后进行分段相乘在求和的操作。
四、秦九韶算法的步骤1.将被乘数按照位权展开，将每一位上的数乘以相应的位权。
例如，对于被乘数为A=1234，展开后为：A=(1*1000)+(2*100)+(3*10)+(4*1)=1000+200+30+42.将乘数按位权展开。
例如，对于乘数为B=5678，展开后为：B=(5*1000)+(6*100)+(7*10)+(8*1)=5000+600+70+83.分段相乘并求和。
将A和B的每一位进行相乘，然后求和。
五、秦九韶算法的优点1.简单方便：秦九韶算法将乘法运算简化为分段相乘和求和，相对于纯手工计算乘法步骤较为简单，易于操作。
2.提高效率：乘法是基本的数学运算之一，而秦九韶算法能够提高乘法运算的速度和效率，节省计算时间。
3.通用性强：秦九韶算法适用于任意大小的数，无论是小数或大数之间的乘法运算。
六、秦九韶算法的应用秦九韶算法不仅仅在古代被广泛应用于计算、商业和实际生活中的数学问题，同时也是其他进位制乘法算法的基础。
学年人教A版数学必修3课件：1.3 第2课时 进位制
第2课时 进位制ห้องสมุดไป่ตู้
课标阐释
思维脉络
1.理解进位制的概念,能进行不同进位
制间的转化.培养逻辑推理的核心素
养.
2.了解不同进位制间的转化,进一步体
会算法思想.
一、进位制的概念 1.进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,如满十进一, 就是十进制;每七天为一周,就是七进制;每十二个月为一年,就是十 二进制;每六十分钟为一个小时,就是六十进制等等.一般地,“满k进 一”就是k进制,其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的 数? 提示k是大于1的整数. 2.十进制使用0~9十个数字,那么二进制、五进制、七进制分别 使用哪些数字? 提示二进制使用0和1两个数字;五进制使用0~4五个数字;七进制 使用0~6七个数字. 3.填空:进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系 统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.
反思感悟将k进制数化为十进制数的方法是:先把k进制数写成各
位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规
则计算出结果.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1把六进制数3251(6)化为十进制数为
六进制数259(16)化为十进制数为
.
答案:751 601
,把十
探究一
探究二
探究三
当堂检测
十进制数化为k进制数
答案:A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.把k进制数写成不同位上数字与基数的幂的乘积之和 可转化为十进制数,即anan-1…a1a0(k)=an·kn+an-1·kn-1+…+a1·k+a0.
2.十进制数化为k进制数用除k取余法. 3.把非十进制数转化为另一种非十进制数,通常先把这个非十进 制数转化为十进制数,再利用除k取余法,把十进制数转化为另一种 非十进制数.而在使用除k取余法时要注意以下几点:(1)必须除到所 得的商是0为止;(2)各步所得的余数必须从下到上排列;(3)切记在所 求数的右下角标明基数.
课标阐释
思维脉络
1.理解进位制的概念,能进行不同进位
制间的转化.培养逻辑推理的核心素
养.
2.了解不同进位制间的转化,进一步体
会算法思想.
一、进位制的概念 1.进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,如满十进一, 就是十进制;每七天为一周,就是七进制;每十二个月为一年,就是十 二进制;每六十分钟为一个小时,就是六十进制等等.一般地,“满k进 一”就是k进制,其中k称为k进制的基数.那么k是一个什么范围内的 数? 提示k是大于1的整数. 2.十进制使用0~9十个数字,那么二进制、五进制、七进制分别 使用哪些数字? 提示二进制使用0和1两个数字;五进制使用0~4五个数字;七进制 使用0~6七个数字. 3.填空:进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系 统,“满几进一”就是几进制,几进制的基数就是几.
反思感悟将k进制数化为十进制数的方法是:先把k进制数写成各
位上的数字与k的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规
则计算出结果.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1把六进制数3251(6)化为十进制数为
六进制数259(16)化为十进制数为
.
答案:751 601
,把十
探究一
探究二
探究三
当堂检测
十进制数化为k进制数
答案:A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.把k进制数写成不同位上数字与基数的幂的乘积之和 可转化为十进制数,即anan-1…a1a0(k)=an·kn+an-1·kn-1+…+a1·k+a0.
2.十进制数化为k进制数用除k取余法. 3.把非十进制数转化为另一种非十进制数,通常先把这个非十进 制数转化为十进制数,再利用除k取余法,把十进制数转化为另一种 非十进制数.而在使用除k取余法时要注意以下几点:(1)必须除到所 得的商是0为止;(2)各步所得的余数必须从下到上排列;(3)切记在所 求数的右下角标明基数.
人教A版高中数学必修三课件算法案例--进位制新
44＝2×22＋0 22＝2×11＋0 11＝2×5＋1 5＝2×2＋1
＝2×(2×22＋0)+1 ＝2×(2×(2×11＋0)+0)+1 ＝2×(2×(2×(2×5＋1)+0)+0)+1
＝2×(2×(2×(2×(2×2＋1)+1)+0)+0)+1
所以89＝2×（2×（2×（2×（2×2＋1）＋1）＋0）＋0）＋1
其它进制：
实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一 记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的 记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进 制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。
二进制、七进制、八进制、十二进制、 六十进制……
二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字 十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.
(2)程序框图:
开始 输入a,k,n
b=0 i=1
把a的右数第i位数字赋给t
b=b+t*ki-1
i=i+1 否
i>n?
是 输出b 结束
2、十进制转换为二进制
方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。
例、把89化为二进制数
解：根据“逢二进一”的原则，有
89＝2×44＋1
89＝2×44＋1
k
0 (10)
其它进制数化成十进制数公式
例2、设计一个算法，将k进制数a(共有n位)转换为十进制 数b。
(1)算法步骤: 第一步，输入a,k和n的值； 第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；
第三步，b=b+ai*ki-1,i=i+1
进位制PPT教学课件
PPT教学课件
谢谢观看
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14
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思考2:上述化十进制数为二进制数的 算法叫做除2取余法，转化过程有些复 杂，观察下面的算式你有什么发现吗？
2 89
2 44 2 22 2 11 25 22 21 0
余数 1 0 0 1 1
0 1
思考3:上述方法也可以推广为把十进 制数化为k进制数的算法，称为除k取 余法，那么十进制数191化为五进制数 是什么数？
5 191
余数
5 38
1
57
3
51
2
191=1231(5)
0
1
理论迁移
例2 将十进制数458分别转化为四进制 数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
62 0
余数
2 4 0 2
458=13022(4)=2042(6)
例3 将五进制数30241(5)转化为七进制数.
10303(4)=1×44+3×42+3×40=307. 1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
知识探究(三):除k取余法
思考1:二进制数101101(2)化为十进制 数是什么数？十进制数89化为二进制 数是什么数？
101101(2)=25+23+22+1=45.
89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21 +1×20=1011001(2).
数学必修3《进位制》
这就是k进制数转化为十进制数的方法 这就是 进制数转化为十进制数的方法
把二进制数110011(2)化为十进制数 化为十进制数. 例1:把二进制数 把二进制数 分析:先把二进制数写成不同位上数字与 先把二进制数写成不同位上数字与2 分析 先把二进制数写成不同位上数字与 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算 的幂的乘积之和的形式 再按照十进制数的运算 规则计算出结果. 规则计算出结果 解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 × × × × × × =1×32+1×16+1×2+1=51. × × ×
进位制的概念： 进位制的概念： 进位制是人们为了计数和运算的方便而 约定的一种记数系统，约定满二进一, 约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二 进制;满十进一,就是十进制; 进一, 进制;满十进一,就是十进制;满六十进一,就 是六十进制;等等. 是六十进制;等等. “满几进一”,就是几进制 几进制的基数就是几 满几进一” 就是几进制 几进制的基数就是几. 满几进一 就是几进制,几进制的基数就是几
n n −1 1 0
anan-1…a1a0(k) 0<an<k, 0≤an-1,…,a1,a0<k) k进制的数也可以表示成不同位上数字与 进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式 的幂的乘积之和的形式,即 基数 的幂的乘积之和的形式 即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 +…+a1×k1+a0×k0 .
进 位 制
解密高手
【绝密文件】 绝密文件】 为了确保信息安全，信息需要加密传输， 为了确保信息安全，信息需要加密传输，发送 密文（加密）， ），接收方由密文 方由明文 密文（加密），接收方由密文 明文（解密），已知加密规则为：明文a,b,c,d ），已知加密规则为 明文（解密），已知加密规则为：明文 对应密文为的a,b,c,d九进制，当接收方收到密 对应密文为的 九进制， 九进制 文14,7,23,28时，解密得到的明文是什么？ 时 解密得到的明文是什么？
把二进制数110011(2)化为十进制数 化为十进制数. 例1:把二进制数 把二进制数 分析:先把二进制数写成不同位上数字与 先把二进制数写成不同位上数字与2 分析 先把二进制数写成不同位上数字与 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算 的幂的乘积之和的形式 再按照十进制数的运算 规则计算出结果. 规则计算出结果 解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 × × × × × × =1×32+1×16+1×2+1=51. × × ×
进位制的概念： 进位制的概念： 进位制是人们为了计数和运算的方便而 约定的一种记数系统，约定满二进一, 约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二 进制;满十进一,就是十进制; 进一, 进制;满十进一,就是十进制;满六十进一,就 是六十进制;等等. 是六十进制;等等. “满几进一”,就是几进制 几进制的基数就是几 满几进一” 就是几进制 几进制的基数就是几. 满几进一 就是几进制,几进制的基数就是几
n n −1 1 0
anan-1…a1a0(k) 0<an<k, 0≤an-1,…,a1,a0<k) k进制的数也可以表示成不同位上数字与 进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式 的幂的乘积之和的形式,即 基数 的幂的乘积之和的形式 即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 +…+a1×k1+a0×k0 .
进 位 制
解密高手
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人教版高中数学必修三1.3.3算法案例(进位制)教学课件(共17张PPT)
其它进位制的数又是如何的呢？
二、 二进制
（1）二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的．如 1（120）0为1了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，
十进制一般不标注基数.
区分的写法：11001（2）或者
1(1101001(02)1=)21? 24 1? 23 0? 22 0? 21 1? 20
2＝ 2× 1＋0
1＝ 2× 0＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 所以：89=1011001（2）
五、十进制转换为其它进制 例4：把89化为五进制数。
解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5 89 5 17
53 0
所以，89=324（5）
八进制呢？如7342(8)
k进制呢？ anan-1an-2…a1(k)？
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。 解： 根据进位制的定义可知
110011(2) = 1? 25 1? 24 0? 23 0? 22 1? 21 1? 20
= 1? 32 1? 16 1? 2 1
• 2．十进制与k进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字 与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进 制数的运算规则计算出结果。
1、3 算法案例
（第三课时）
郾城高中高一数学组
一、教学目标: • 1.了解进位制的定义和常见的进位制。 • 2.理解算法与进位制的关系。 • 3.熟练掌握各种进位制之间的转化。
二、教学重难点: • 重点：算法与进位制的关系和各种进位制之
间的转化。 • 难点：算法与进位制的关系、并熟练会用算
二、 二进制
（1）二进制的表示方法
二进制是用0、1两个数字来描述的．如 1（120）0为1了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，
十进制一般不标注基数.
区分的写法：11001（2）或者
1(1101001(02)1=)21? 24 1? 23 0? 22 0? 21 1? 20
2＝ 2× 1＋0
1＝ 2× 0＋1
89＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20 所以：89=1011001（2）
五、十进制转换为其它进制 例4：把89化为五进制数。
解：根据除k取余法 以5作为除数，相应的除法算式为：
5 89 5 17
53 0
所以，89=324（5）
八进制呢？如7342(8)
k进制呢？ anan-1an-2…a1(k)？
三、二进制与十进制的转换
1、二进制数转化为十进制数
例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。 解： 根据进位制的定义可知
110011(2) = 1? 25 1? 24 0? 23 0? 22 1? 21 1? 20
= 1? 32 1? 16 1? 2 1
• 2．十进制与k进制之间转换的方法；
先把这个k进制数写成用各位上的数字 与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进 制数的运算规则计算出结果。
1、3 算法案例
（第三课时）
郾城高中高一数学组
一、教学目标: • 1.了解进位制的定义和常见的进位制。 • 2.理解算法与进位制的关系。 • 3.熟练掌握各种进位制之间的转化。
二、教学重难点: • 重点：算法与进位制的关系和各种进位制之
间的转化。 • 难点：算法与进位制的关系、并熟练会用算
数学必修三 1.3.3进位制
89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0,
11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1,
89=44×2+1,
可以用2连续去除89
=(22×2+0)×2+1
或所得商(一直到商为 0为止),然后取余数
=((11×2+0)×2+0)×2+1 ---除2取余法.
小结
• 进位制的概念及表示方法; anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
• 各种进位制之间的相互转化.
作业:
1.课本P38页A组T3.
2.阅读P36-37页的“割圆 术”.
案例3 进位制
一、三维目标 （a）知识与技能
了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利 用各种进位制与十进制之间的联系进行各种进位制之 间的转换。 （b）过程与方法
学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究 十进制转换为各种进位制的除k去余法，并理解其中的 数学规律。 （c）情感态度与价值观
领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路 与二进制的联系，进一步认识到计算机与数学的联系.
5 17
4
53
2
0
3
∴ 89=324(5).
[问题5]你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗? 解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
高中数学人教A版必修三第一章1.3.3进位制-算法案例课件
把89化为五进制的数.
5 89 5 17 53
0
余数
4 2 3
∴ 89=324(5)
练习：把3282化为16进制的数.
10
11
12
13
14
15
A
B
C
D
E
F
思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?
解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30
51
把89化为二进制的数.
2 89
2 44 2 22 2 11 25
22 21
0
余数
1 0 0 1 1 0 1
把算式中各步所得的余 数从下到上排列,得到
89=1011001(2) 可以用2连续去除89或所得 商(一直到商为0为止),然后 取余数---除2取余法.
这种方法也可以推广为把 十进制数化为k进制数的 算法,称为除k取余法.
=81+18+6+1=106. 第二步:再把十进制数化为二进制数:
106=1101010(2). ∴10221(3)=106=110就是几，基数都是大于1的数.
按照十进制数的运算规则计算出结果， 结果就是十进制下该数的大小了.
1.3算法案例
进位制
十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个 十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100.
同理: 3421(5)= 3×53+4×52+2×51+1×50.
每一位上的数都是整数.
高中数学必修三1.3.3进位制(杨旭)
故a=1，b=1.
课堂小结
1.利用除k取余法，可以把任何一个十进制数化为k进制数，并且操作简单、实用.
2.通过k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k进制数转化为另一个不同基数的k进制数.
课后作业
P45练习3
P48习题1.3A组3
板书设计
教学反思
例3将五进制数30241(5)转化为七进制数.
30241(5)=3×54+2×52+4×5+1=1946.
30241(5)=5450(7)
例4已知10b1(2)=a02(3),求数字a，b的值.
10b1(2)=1×23+b×2+1=2b+9.
a02(3)=a×32+2=9a+2.
所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.
思考5:一般地，如何将k进制数anan-1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？
思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？
知识探究(二):k进制化十进制的算法
思考1:二进制数110011(2)化为十进制数是什么数？
110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=32+16+2+1=51.
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：anan-1…a1a0(k).其中各个数位上的数字an，an-1，…，a1，a0的取值范围如何？
课堂小结
1.利用除k取余法，可以把任何一个十进制数化为k进制数，并且操作简单、实用.
2.通过k进制数与十进制数的转化，我们也可以将一个k进制数转化为另一个不同基数的k进制数.
课后作业
P45练习3
P48习题1.3A组3
板书设计
教学反思
例3将五进制数30241(5)转化为七进制数.
30241(5)=3×54+2×52+4×5+1=1946.
30241(5)=5450(7)
例4已知10b1(2)=a02(3),求数字a，b的值.
10b1(2)=1×23+b×2+1=2b+9.
a02(3)=a×32+2=9a+2.
所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.
思考5:一般地，如何将k进制数anan-1…a1a0(k)写成各数位上的数字与基数k的幂的乘积之和的形式？
思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0，1+1的值分别是多少？
知识探究(二):k进制化十进制的算法
思考1:二进制数110011(2)化为十进制数是什么数？
110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=32+16+2+1=51.
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：anan-1…a1a0(k).其中各个数位上的数字an，an-1，…，a1，a0的取值范围如何？
高中数学人教A版必修3第一章-1.3 算法案例3-进位制 课件
具体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ计算方法如下:
89=2×44+1；44=2×22+0 22=2×11+0；11=2×5+1 5=2×2+1。 所 以 :89=2 × (2 × (2 × (2 × (2
×2+1)+1)+0)+0)+1
这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除 法算式表示:
把上式中的各步所得的余数从下到上排列即可得到 89=1011001(2)
【小结】
(1)进位制的概念及表示方法 (2)十进制与二进制之间转换的方法 及计算机程序
【作业】
教材 P48 习题 1-3 A 3 补充：设计程序框图把一个八进制 数 23456 转换成十进制数，并写出 算法语句。
【应用举例】
例 1 把二进制数 110011(2)化为十进制数.
解:110011=1×25+1×24+0×23+ 1×24+0×22+1×21+1×20 =32+16+2+1 =51
【应用举例】
例 2． 把 89 化为二进制数.
解:根据二进制数满二进一的原 则,可以用 2 连续去除 89 或所得 商,然后去余数.
【方法归纳】
上述方法也可以推广为把十进制化为 k 进制 数的算法,这种算法成为除 k 取余法. 当数字较小时,也可直接利用各进位制表示数 的特点,都是以幂的形式来表示各位数字,比 如 2*103 表示千位数字是 2,所以可以直接求出 各位数字.即把 89 转换为二进制数时,直接观 察得出 89 与 64 最接近故 89=64*1+25 同理:25=16*1+9，9=8*!+1 即 89=64*1+16*1+8*!+1=1*26+1*24+1*23+1*20
高中数学进位制教案新人教版必修3
进位制
一．学习目标：
1．算法和进位制的关系，通过自主学习，谈谈对二进制、七进制、十 进制、十六进制的基本原理的理解。
2．如何将一个十进制数a 转化为一个二进制，八进制，十六进制的 数
二．自主学习，课堂探讨
1． 是人们为了计算和运算的方便而约定的记数系统 “满几进一”就是几进制，几进制的 就是几。
2．一般的，任意一个进制都可以表示成为不同位上的数字和基数的幂 的乘积之和，即110n n a a a a -= 。
3．十进制转换为其他进制的数，用的方法是 。
4．完成下列进制转换
（1）(10)105= (2)= (6)= (9)
（2）(2)10110= (10)= (4)= (16)
三．思考探究
1．若6644⨯=，则在这种进位制里的76应该记成十进制的什么数？
2．把(3)2101211化为八进制的数。
四．反馈练习，和体验
1．下列各数中最小的是 （ ）
2．将 (8)560用二进制数表示
3．用“除k 取余法”将2008转化为二进制和八进制的数
五．小结：
1．理解算法与进位制的关系
2．十进制转换非十进制数，非十进制转化为十进制的方法，：
3．非十进制之间的转换
六．课后作业：
学案 学习心得：。
必修三进位制
- 1 -：L进位制一、进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几。
思考：1、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？ 2、在十进制中：①数字使用0—9 即小于10的数字②3721=3203107102101?10⨯+⨯+⨯+与十进制类似，其他的进位制也可以按照位置原则计数。
由于每一种进位制的基数不同，所用的数字个数也不同。
如二进制用0和1两个数字，七进制用0—6七个数字。
1、k 进位制数的形式表示若k 是一个大于1的整数，那么以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式。
()()111101100,,,,,0,0,,,n n n n n n k a a a a a a a a N a k a a a k ---∈<<≤<即10110()110n n n n k n n a a a a a k a k a k a k ---=⨯+⨯++⨯+⨯例1：()2110011= ()87342=()16716C A =注：规定字母1016A E 对应2、二进制与十进制数的转换例2：把二进制数()2110011化为十进制数练习：把下列各数化为十进制数 (1)()211(2)()3121例3：设计一个算法，把k 进制数a (共有n 位)化为十进制数b例4：把89化为二进制数3、除2取余法注：①最后一步商为0②将上式各步所得的余数从下到上排列变式：把89化为五进制数例5：把()21011001化为五进制数例6：设计一个程序，实现“除k 取余法(,29k Z k ∈≤≤)”。
高中数学必修三课件(3进位制)
110
101
100
1.除K取余法（十转二）；
() =1× + 0× + 0× + 0× = ()
() =1× + 1× + 1× = ()
() =1× + 1× + 0× = ()
() =1×
示的数。
它的基数为2，进位规则是“逢二进
一”，借位规则是“借一当二”，
由18世纪德国数理哲学大师莱布尼
兹发现。
当前的计算机系统使用的基本上是
二进制系统。
十六进制，我最爱的手游“足球经
理2020移动版”
数字电路用0和1表示开关、是否
如：存储大小
1T=1024G=
能利用数据库编辑器修改各项数据对
+
1× =
() =1× = ()
()
11
10
1
十进制
二进制
0
二进制
位权
2.加权求和法（二转十）
() =1× + 0× + 0× + 0× = ()
2 8
2 4
22
21
0
余数
0
0
0
1
2 7
2 3
21
20
余数
1
1
1
例题讲解
∵ () < ()
∴ () < ()
导图小结
框图
语句
含义
算法
进位制
逢n进一
十进制转
其他进制
除K取余法
其他进制
转十进制
加权求和法
人教新课标版数学高一必修3课件1.3.2进位制
k进制数的特点 剖析:不妨把各种进制统称为k进制,则k进制数具有以下特点: (1)具有k个数字符号,它们是0,1,2,…,(k-1). (2)由低位到高位是按“逢k进一”的规则进行计数. (3)基数是k. (4)可以表示为一串数字连写在一起的形式,即anan1…a1a0(k)(0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k). (5)与十进制类似,也可以用其基数的幂的形式表示,即anan-
1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a2×k2+a1×k+a0.
-3-
第2课时 进位制
目标导航
Z D 重难聚焦 HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三
十进制数化为k进制数 【例1】 (1)将194化成八进制数; (2)将48化成二进制数. 分析:除以k取余→倒序写出→标明基数 解:(1)
-7-
第2课时 进位制 题型一 题型二 题型三
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典例透析
IANLITOUXI
【变式训练2】 (1)将236(7)转化为十进制的数; (2)将1032(4)转化为十进制的数.
解:(1)236(7)=2×72+3×71+6×70=98+21+6=125. (2)1032(4)=1×43+0×42+3×41+2×40=64+0+12+2=78.
所以96转化为五进制的数为341(5).
-6-
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高中数学必修三(人教新A版)教案10算法案例—进位制
算法步骤如下：
第一步，输入 a，k 和 n 的值. 第二步，将 b 的值初始化为 0，
i 的值初始化为 1. 第三步，b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步，判断 i＞n 是否成立.
若是，则执行第五步；
否则，返回第三步.
第五步，输出 b 的值.
程序框图如右图：
2
思考 6:该程序框图对应高的中程序数如学何表必述修？三课时教案
若十制数 a 除以 k 所得商是 q0，余数是 r0，即 a=k·q0+r0，则 r0 是 a
的 k 进制数的右数第 1 位数.
程
若 q0 除以 k 所得的商是 q1，余数是 r1，即 q0=k·q1+r1，则 r1 是 a 的
k 进制数的左数第 2 位数.
及
……
若 qn-1 除以 k 所得的商是 0，余数是 rn，即 qn-1=rn，则 rn 是 a 的 k
思考 5:将除 k 取余法的算法步骤用程序框图如何表示？
程序框图如右图：
思考 6:框图对应的程序如何表述？ INPUT “a，k=”；a，k b=0 i=0 DO q=a\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
教
学
（1）理解算法与进位制的关系. 三．随堂练习
问题与情境及教师活动
学生活动
一．复习引入
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与
古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、
十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个
教 月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制
第一步，输入 a，k 和 n 的值. 第二步，将 b 的值初始化为 0，
i 的值初始化为 1. 第三步，b=b+ai·ki-1，i=i+1. 第四步，判断 i＞n 是否成立.
若是，则执行第五步；
否则，返回第三步.
第五步，输出 b 的值.
程序框图如右图：
2
思考 6:该程序框图对应高的中程序数如学何表必述修？三课时教案
若十制数 a 除以 k 所得商是 q0，余数是 r0，即 a=k·q0+r0，则 r0 是 a
的 k 进制数的右数第 1 位数.
程
若 q0 除以 k 所得的商是 q1，余数是 r1，即 q0=k·q1+r1，则 r1 是 a 的
k 进制数的左数第 2 位数.
及
……
若 qn-1 除以 k 所得的商是 0，余数是 rn，即 qn-1=rn，则 rn 是 a 的 k
思考 5:将除 k 取余法的算法步骤用程序框图如何表示？
程序框图如右图：
思考 6:框图对应的程序如何表述？ INPUT “a，k=”；a，k b=0 i=0 DO q=a\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END
教
学
（1）理解算法与进位制的关系. 三．随堂练习
问题与情境及教师活动
学生活动
一．复习引入
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与
古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、
十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个
教 月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制
高中数学必修三进位制
3.以下各数中有可能是五进制数的是( A.55 C.732 B.106 D.2134
)
解析:在5进制数中,所用数字为0,1,2,3,4,因此A､B､C不可能 是5进制数,故选D. 答案:D
4.把88转换为5进制数是( A.324(5) C.233(5) 解析: B.323(5) D.332(5)
如:230451=2×k5+3×k4+0×k3+4×k2+5×k1+1×k0.
一个k进制的正整数就是各位数码与k的幂的乘积的和,其中 幂指数等于相应数码所在位数(从右往左数)减1.
如果k=8,那么在八进制中,一定有: (1)基数是8,一共有0,1,2,3,4,5,6,7,这八个不同的数字; (2)它是“逢八进一”,如:7+1=10. 八进制的数转化为十进制的数由下面的算式给出: 327(8)=3×82+2×81+7×80=215(10). 如果k=16,那么一定有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,念. 3.掌握进位制及在数学中的应用.
课前热身 1.进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统.“满
进制 k k进一”就是________,k 进制的基数是________.
2.将k进制的数化为十进制数的方法是:先把k进制数写成 用各位上的数字与k的幂的乘积之和 ________________________________ 的形式,再 按照十进制数的运算规则计算出结果 __________________________________. 除k取余法 即 3.将十进制数化为k进制数的方法是:___________ 用k连续去除该十进制数或所得的商 ________________________________, 直到商为零为止, 把每次所得的余数倒着排成一个数 就是相应的k进 然后_____________________________
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思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二 进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制中 10表示2.一般地，若k是一个大于1的整数， 则以k为基数的k进制数可以表示为一串数 字连写在一起的形式：anan-1…a1a0(k). 其中各个数位上的数字an，an-1，…，a1， a0的取值范围如何？
知识探究(三):除k取余法
思考1:二进制数101101(2)化为十进制 数是什么数？十进制数89化为二进制 数是什么数？
101101(2)=25+23+22+1=45.
89=2×(2×(2×(2×(2×2+1)+1)+0)+0)+1 =1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21 +1×20=1011001(2).
5 191
余数5 381 Nhomakorabea573
51
2
191=1231(5)
0
1
理论迁移
例2 将十进制数458分别转化为四进制 数和六进制数.
4 458 4 114 4 28
47 41
0
余数
2 2 0 3 1
6 458 6 76 6 12
62 0
余数
2 4 0 2
458=13022(4)=2042(6)
例3 将五进制数30241(5)转化为七进制数.
思考5:一般地，如何将k进制数 anan-1…a1a0(k)写成各数位上的数字与 基数k的幂的乘积之和的形式？
anan1 a1a0(k ) an k n an1 k n1 a1 k1 a0 k 0
思考6:在二进制中，0+0，0+1，1+0， 1+1的值分别是多少？
知识探究(二):k进制化十进制的算法 思考1:二进制数110011(2)化为十进制数 是什么数？
1.3 算法案例
第一课时
高中新课程数学必修③
知识探究(一):进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方便 而约定的记数系统，如逢十进一，就 是十进制；每七天为一周，就是七进制； 每十二个月为一年，就是十二进制，每 六十秒为一分钟，每六十分钟 为一个小时，就是六十进制；等等.一 般地，“满k进一”就是k进制，其中k 称为k进制的基数.那么k是一个什么范 围内的数？
思考2:上述化十进制数为二进制数的 算法叫做除2取余法，转化过程有些复 杂，观察下面的算式你有什么发现吗？
2 89
2 44 2 22 2 11 25 22 21 0
余数 1 0 0 1 1
0 1
思考3:上述方法也可以推广为把十进 制数化为k进制数的算法，称为除k取 余法，那么十进制数191化为五进制数 是什么数？
30241(5)=3×54+2×52+4×5+1= 1946.
7 1946 7 278 7 39
75 0
余数
0 5 4 5
30241(5)=5450(7)
例4 已知10b1(2)=a02(3),求数字a，b的值.
10b1(2)=1×23+b×2+1=2b+9. a02(3)=a×32+2=9a+2. 所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7. 故a=1，b=1.
110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+ 1×21+1×20 =32+16+2+1=51.
思考2:二进制数右数第i位数字ai化为十 进制数是什么数？
ai 2i1
理论迁移
例1 将下列各进制数化为十进制数. (1)10303(4) ； (2)1234(5).
10303(4)=1×44+3×42+3×40=307. 1234(5)=1×53+2×52+3×51+4×50=194.
小结作业
1.利用除k取余法，可以把任何一个十 进制数化为k进制数，并且操作简单、 实用.
2.通过k进制数与十进制数的转化， 我们也可以将一个k进制数转化为另 一个不同基数的k进制数.
作业：习案、学案 十
思考4:十进制数4528表示的数可以写成 4×103+5×102+2×101+8×100，依此类 比，二进制数110011(2),八进制数7342(8) 分别可以写成什么式子？
110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1 ×21+1×20
7342(8)=7×83+3×82+4×81+2×80.