进位制与位值制

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算筹

算筹根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13--14cm，径粗0．2～0．3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带。

需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上、炕上或地上都能摆弄。

别看这些都是一根根不起眼的小棍子，在中国数学史上它们却是立有大功的。

而它们的发明，也同样经历了一个漫长的历史发展过程。

算筹计数法在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示单位数目的，算筹其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。

这种计数法遵循一百进位制。

据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。

《夏阳侯算经》说：满六以上，五在上方.六不积算，五不单张。

算筹的发明算筹的发明就是在以上这些记数方法的历史发展中逐渐产生的。

它最早出现在何时，现在已经不可查考了，但至迟到春秋战国；算筹的使用已经非常普遍了。

前面说过，算筹是一根根同样长短和粗细的小棍子，那么怎样用这些小棍子来表示各种各样的数目呢？筹算的摆法那么为什么又要有纵式和横式两种不同的摆法呢？这就是因为十进位制的需要了。

所谓十进位制，又称十进位值制，包含有两方面的含义。

其一是"十进制"，即每满十算筹数进一个单位，十个一进为十，十个十进为百，十个百进为千……其二是"位值制，即每个数码所表示的数值，不仅取决于这个数码本身，而且取决于它在记数中所处的位置。

如同样是一个数码"2"，放在个位上表示2，放在十位上就表示20，放在百位上就表示200，放在千位上就表示2000……在我国商代的文字记数系统中，就已经有了十进位值制的荫芽，到了算筹记数和运算时，就更是标准的十进位值制了。

进制与位值原理

进位制部分重点在于各种进位制与十进制之间转换与计算的规律，并熟悉进制的应用．在有些数论问题中，用代数式来表示数往往能使问题迎刃而解，或收到意想不到的效果，起到简化解题过程的作用．⑴掌握进位制的基本方法和常见技巧； ⑵了解整数的代数表现形式并能熟练应用．同学们在进行整数四则计算时，用的都是十进制，即“满十进一”，十进制是最常用的进位制，这与人们屈指计数的习惯相符，使用起来也很方便．随着人类对数的认识不断深入，产生了各种不同的进位制，我们来一起看一些例子．两只袜子为一双，两只水桶为一对，这里使用的是二进制；十二支铅笔为一打，十二个月算一年，这里使用的是十二进制；六十秒是一分，六十分是一时，这里使用的是六十进制；二十四时为一天，这里使用的是二十四进制；100平方分米等于1平方米，100平方厘米等于1平方分米，这里使用的是一百进制；1000米等于1千米，1000克等于1千克，这里使用的是一千进制；……．进制问题与我们的生活息息相关，我们有必要掌握一些进制方面的知识，它会给我们的生活带来很多便利哦！什么叫二进制所谓二进制，就是只用0与1两个数字，在计数与计算时必须是“满二进一”．大家知道：数是计算物体的个数而引进的，0代表什么也没有，有一个，记为“1”；再多一个，记为“10”(在十进制下记为２)；比“10”再多一个，记为“11”．依次类推，我们很容易接受二进制下从小到大的数列，列表如下：十进制二进制十进制二进制十进制二进制十进制二进制 1 2 3 4 1 10 11 100 5 6 7 8 101 110 111 1000 9 10 11 12 1001 1010 1011 1100 13 14 15 16 1101 1110 1111 10000二进制的最大优点是：每个数的各个数位上只有两种状态——0或1．这样，我们便可以通过简单的方法，例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示．当然，二进制也有不足，正如大家看到的那样，同一个数在二进制中要比在十进制中位数多得多．十进制与二进制的互相转化今天，当我们写上一个数目1999时，实际上意味着我们使用了“十进制”数，1999110009100=⨯+⨯ 91091+⨯+⨯，也就是说：1999中含有一个1000，九个100，九个10与九个1．为了叙述的方便，我们约定：用2（　）表示括号内写的数是二进制数，如21010（）；用10（　）表示括号中写的数是十进制数，如1066（）；十进制的标志可省略，66就代表十进制下的数．二进制数10表示十进制数2；二进制数100，表示十进制数4；二进制数1000，表示十进制数8；二进制数10000表示十进制数16；…；可以看出规律：二进制数1000000应该表示十进制数64，．那经典精讲第十一讲进位制与位值原理么我们可以得到，二进制数中计数单位与十进制数有如下关系：二进制数十进制数110 100 1000 10000 1000001 2422=⨯8222=⨯⨯ 162222=⨯⨯⨯ 3222222=⨯⨯⨯⨯⑴ 关于进位制的两个需要注意的地方：二进制数有0，1两个数符，由低位向高位是“逢二进一”；八进制数有0，1，2，……，7八个数符，由低位向高位是“逢八进一”；十六进制数有0，1，2，……，13，14，15十六个数符，由低位向高位是“逢十六进一”．根据科学技术的需要，还可以扩充其他进位制数的概念和运算．为了区别各种进位制数，n 进制中的数用()n a 表示．如果10n ≥，那么从10到1n -的这些数符可用专门记号(一般情况下用大写英文字母)来表示．比如，用A 表示10，B 表示11，C 表示12，D 表示13，E 表示14，F 表示15等等． ⑵ 十进制数与n 进制数的互换： n 进制数110()r r n a a a a -写成十进制数是121210r r r r a n a n a n a n a --+++++．十进制数化成n 进制数，只要把十进制数用n 除，记下余数；再用n 除它的商，又记下余数；直到商为0；将余数自下而上依次排列，就得到一个n 进制的数．这叫做“除n 取余法”．如把1234化成三进制数：3123434111313703452315035031201余余余余余余余所以，(10)(3)12341200201=．⑶ 一般地，一个自然数N 可表示为1210r r r a a a a a --的形式，其中r a ，1r a -，…，1a ，0a 是0，1，2，3，…，9中的一个，且0r a ≠，即：1110101010r r r r N a a a a --=⨯+⨯++⨯+．这就是十进制数，记作(10)N ，简记为N ．十进制数有两个特征：一是有十个不同的数符：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；二是“逢十进一”的法则：有个、十、百、千等自右向左的数位和十分位、百分位、千分位等自左向右的数位．⑷ 对于进位制需要注意其本质：n 进制就是逢n 进一．［分析］掌握十进制转化为n 进制的基本方法：短除法.以()()10237=和()()108888=为例.我们用2去除37，记下每次得到的余数，一直除到商为0为止.然后将余数由下至上写出来，就是37的二进制数.()()10237100101=.例1237218...129 (02)4...122...021 0...188888111...0813...781...50 (1)同样的方法，我们用8去除888，一直除到商为0为止，把余数由下至上写出来，得到：()()1088881570=.()()()()()()()()10210310510837100101;24222222;1561111;8881570====.［巩固］（基础学案1）将1030（）、1072（）改写成二进制数．［分析］可以按照短除法来做，也可以按照如下的方法.1023016141686168420111110=+=++=++++⨯=（）（）102726486403201680402011001000=+=+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=（）（）［巩固］（提高学案1）将10301（）、1072（4）改写成七进制数．［分析］短除法.()()107301610=；()()107721243=4［提高］（尖子学案1）十六进制从古至今一直影响着我们的日常生活.我国古代1斤等于十六两，所以会有“半斤八两”这样一个成语.现在，我们通常用,,,,,A B C D E F 来表示十六进制中的10,11,12,13,14,15.那么，聪明的同学们，你们能把十进制中的234化成十六进制数吗？［分析］仍然用短除法.()()1016234EA =［分析］n 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果．()()()()5432102104321031010100112021202021241120211323032313142=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 当然计算时，数位是0的可以省略.［分析］（1）可转化成十进制来计算：222101010102(11000111(10101(11(199)(21)(3)(192)(11000000-÷=-÷==））））；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对22(10101(11÷））进行除法计算，只是每次借位都是例3例22，可得222222(11000111(10101(11(11000111(111(11000000-÷=-=））））））；（2）十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法”，在n 进制中也有“凑整法”，要凑的就是整n ．原式88888(63121)[(1247)(26531)][(16034)(1744)]=-+-+8888(63121)(30000)(20000)(13121)=--=；（3）本题涉与到3个不同的进位制，应统一到一个进制下．统一到十进制比较适宜：32471010103021)(605)(34241)(675)(500)+=⨯+⨯++⨯+=(．［铺垫］（基础学案2）尝试用竖式来计算二进制的加减法()()()()()()222222100111111010101+=-=［分析］十进制的加减法运算，需要“满十进一”，“借十当一”.那么在二进制里面也一样，“满二进一”，“借二当一”.1001110101111011000010101+-［铺垫］（提高学案2）尝试用竖式来计算二进制的乘除法［分析］ ⑴ 列竖式： ⑵ 列竖式：1111011111011011011101101×10110110110110011100111001110101011100110011得：2221011011011111101111⨯=（）（）（）得：22210101011100111001÷=（）（）（）［拓展］（尖子学案2）完成下列进制的转化()()216110010011011;= ()()16295A E =［分析］不同进制之间的互化有一个通法，就是先化成十进制，再从十进制再转化.二进制和十六进制的互化有一个更简单的方法.二进制是计算机工作的基本语言.但是二进制数位太长了，不利于人类识别和使用，因此我们把二进制的每4位和在一起4216=，就变成了十六进制.那么第一个问题，()2110010011011我们把它每4位数码合在一起()()2161100,C =()()21610019,=()()2161011B =，因此()()2161100100110119C B =.第二个问题，()1695A E 我们把它每一位拆成4位二进制数，()()16291001,=()()1621010,A =()()()()16216250101,1110E ==，因此，()()162951001101001011110A E =.［分析］利用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)⨯=，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位．所以例4说进位制n 为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个．但是式子中出现了4，所以n 要比4大，不可能是4，3，2进制．另外，由于101010(4)(13)(52)⨯=，因为52100<，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道10n <，那么n 不能是12．所以， n 只能是6．［巩固］（基础学案3）在几进制中有12512516324⨯=？［分析］注意101010(125)(125)(15625)⨯=，因为1562516324<，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以10n <．再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)⨯=，而16324的末位为4，于是25421-=进到上一位．所以说进位制n 为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3．因为出现了6，所以n 只能是7．［拓展］（提高学案3）算式153********⨯=是几进制数的乘法？［分析］注意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520⨯=，但是现在为4，说明进走20416-=，所以进位制为16的约数，可能为16、8、4或2．因为原式中有数字5，所以不可能为4、2进位，而在十进制中有1534253835043214⨯=<，所以在原式中不到10就有进位，即进位制小于10，于是原式为8进制．［拓展］（尖子学案3）记号()25k 表示k 进制的数，如果()52k 是()25k 的两倍，那么，()123k 在十进制表示的数是多少？［分析］可用位值原理来进行计算.()()2525,5252k k k k =+=+，依题意，()22552k k ⨯+=+，解得8k =.()()81012318828383=⨯⨯+⨯+=.［分析］设此数为()()43abc cba =，利用位值原理转化为十进制数.164931580a b c c b a a b c ++=++⇒+-=.又,,a b c 是三进制中的数字，所以,,0,1,2a b c =，那么易得1,1,2a b c ===，()411211614222=⨯+⨯+=.十进制表示是22.［巩固］在七进制中有三位数abc ，化为九进制为cba ，求这个三位数在十进制中为多少？［分析］首先还原为十进制：27()77497abc a b c a b c =⨯+⨯+=++；29()99819cba c b a c b a =⨯+⨯+=++．于是497819a b c c b a ++=++；得到48802a c b =+，即2440a c b =+．因为24a 是8的倍数，40c 也是8的倍数，所以b 也应该是8的倍数，于是0b =或8．但是在7进制下，不可能有8这个数字．于是0b =，2440a c =，则35a c =．所以a 为5的倍数，c 为3的倍数．所以，0a =或5，但是，首位不可以是0，于是5a =，3c =；所以77()(503)5493248abc ==⨯+=．于是，这个三位数在十进制中为248．例5［拓展］用,,,,a b c d e 分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果5()ade ，5()adc ，5()aab 是由小到大排列的连续正整数，那么5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是多少？［分析］注意555()(1)()adc aab +=，第二位改变了，也就是说求和过程个位有进位，则0b =，而555(10)(1)(4)c =-=，则4c =．而555()(1)()ade adc +=，所以1e c +=，则3e =．又1d a +=，所以1d =，2a =．那么，5()cde 为25(413)45153108=⨯+⨯+=．即5()cde 所表示的整数写成十进制的表示是108．［提高］自然数10)(abc x =化为二进制后是一个7位数2)1(abcabc ，那么x 是多少？［分析］根据位值原理100106432168426436189a b c a b c a b c a b c ++=++++++=+++，于是64648888a b c a b c =--⇒=--.又,,a b c 是二进制中的数字，因此,,0,1a b c =，那么易得1,0,0a b c ===.100x =．[补充],a b 是自然数，a 进制数()47a 和b 进制数()74b 相等，a b +的最小值是多少？［分析］,8a b ≥，根据位值原理，4774743a b b a +=+⇒-=．左右两边取4的模，有()()33mod 41mod 4b b ≡⇒≡，那么，b 的最小值是9，此时()793415a =⨯-÷=.那么，24a b +=．［分析］若给每个盒子分别放入：1，2，22，，92发子弹，即相当于二进制数中的：0000000001，0000000010，，1000000000，即在十个盒子对应的数位上是1，而其余位上均为0．这样我们可以任意抽出：2101011111023=（）（）以内的任何发子弹，但由于现在总共只有1000发子弹，所以先在前9个盒子中分别装：1，2，22，，82发子弹，相当于二进制数中的000000001，000000010，000000100，，100000000发子弹，最后一个盒子中只能放9223-（）发子弹，即489发子弹．即可凑出1000以内的任何数发子弹．所以十个盒子中应分别装子弹数为：1，2，4，8，16，32，64，128，256，489．［铺垫］（基础学案4）茶叶店以“两”为单位整两出售茶叶，顾客来买茶叶时，店员们先用天平称出重量，再打成小包交给顾客．由于顾客时多时少，所以店员们有时忙不过来，有时又闲的无事．于是，老板想出一个办法，闲的时候让店员们将茶叶称好后打成小包，忙的时候让店员们直接拿出小包交给顾客，省去了用天平称重量，效率大大提高．现在我们的问题是：如果顾客要买1~31中的任何整两数茶叶，那么茶叶店至少要有几包茶叶才能一次付给顾客？这些茶叶的重量分别是多少两？［分析］我们知道任何一个正整数都可以唯一的用二进制数来表示．因为531322<=，所以用42，32，22，12，02就可以表示1~31中的所有整数．因为021=，122=，224=，328=，4216=，所以茶叶店只要有5包茶叶，分别重1，2，4，8，16两，就可以满足一位顾客1~31两茶叶的需要．［拓展］（提高学案4）现有六个筹码，上面分别标有数值：1,3,9,27,81,243.任意搭配这些筹码（也可以只选择一个筹码）可以得到很多不同的和，将这些和从小到大排列起来，第39个是多少？［分析］由例题我们可以知道一共有63个不同的和.在2进制中的第39个非零自然数，即将10进制中例6的39转化为2进制，应记为：2(100111)．所以，在3进制中，只用1和0表示的数，第39个也是100111，将其转化为10进制，有523(100111)1313131256=⨯+⨯+⨯+=．即其中第39个数是256．［拓展］（尖子学案4）我们可以通过天平和砝码来称量物体的重量.一般来说我们把砝码放在天平的左边，物体放在右边.现在我希望这台天平能称量从1克到1000克的所有整数克的物体，那么最少需要几个砝码？［分析］称量1克，需要1克的砝码；称量2克，需要2克的砝码；称量3克，需要1克和2克的砝码；称量4克，需要4克的砝码； ……有了这3个砝码，我们可以称量1克到7克的所有重量了，接下来还需要一个8克的砝码. 以此类推，共需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.接下来，我们可以验证，有了这10个砝码可以称量1克到1000克的全部重量.10个砝码分别对应于二进制中的()()()()()()222222110100100010000100000，，，，，， ()()()()22221000000100000001000000001000000000，，，.1到1023之间的任何一个十进制的自然数都可以用一个不超过10位的二进制数.如()210231*********=.那么对于其二进制表示的每一位，如果是1就代表需要这个砝码，如果是0就代表不需要这个砝码.如()25131000000001=，代表我们可以用一个()25121000000000=克和一个()211=克砝码来称量513克.因此最少需要1,2,4,8,16,32,64,128,256,512克10个不同的砝码.越玩越聪明：超常挑战：1. 把下面的二进制数改写成十进制数．⑴ 2101110（）；⑵ 2111101（）；［分析］⑴2101011100112141801613246=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）⑵ 2101111011102141811613261=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（）（）2. ①852567(((=== ）））；②在八进制中，1234456322--=________；［分析］本题是进制的直接转化：852567(1067(4232(1000110111===）））； ②原式1234(456322)12341000234=-+=-=.3. 计算：()()()222(1)1111101+=()()()888(2)357521+=家庭作业［分析］()()()222111*********+=()()()8883575211100+=4. 转化进位制()()8210247=［分析］()()82102471000010100111=5. 在算式2222222000+++++=学习必须努力中，不同的汉字代表不同的数字，并且学、习、必、须、努、力按从大到小的顺序排列，那么，学、习、必、须、努、力应分别是多少？［分析］通过观察题目给出的算式，我们很容易将题中的2的乘方和二进制数联系到一起，所以我们只需将2000化成二进制数，再利用二进制定义即可．102200011111010000=（）（），10987642000121212121212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯所以学、习、必、须、努、力分别代表的是10、9、8、7、6、4．。

数制进位计数制

数制进位计数制数制是表示数值的一套符号和规则。

进位计数制是一种常用的数制，用于表示和计算数值。

在进位计数制中，每个数位上的数值是通过逐位相加，达到一定值后进位到更高的位的。

常见的进位计数制有十进位（十进制）、二进位（二进制）、八进位（八进制）和十六进位（十六进制）等。

每种进位计数制都有其特定的表示方式和各位数值的范围。

下面将分别介绍几种常见的进位计数制。

十进位是我们平常生活中使用的进位计数制。

它包含了从0到9的十个数值。

每个数位上的数值是通过相加达到9后进位到更高的位的。

例如，十进位数100表示一百，其中百位上的数值是1，十位和个位上的数值都是0。

二进位是计算机中最常用的进位计数制。

它只包含了0和1这两个数值。

每个数位上的数值是通过相加达到1后进位到更高的位的。

例如，二进位数101表示五，其中十位上的数值是1，个位上的数值是0，一位上的数值是1。

八进位是一种少见但仍然被使用的进位计数制。

它包含了0到7这八个数值。

每个数位上的数值是通过相加达到7后进位到更高的位的。

例如，八进位数777表示五百五十五，其中百位上的数值是5，十位上的数值是5，个位上的数值是5。

十六进位是一种常用于计算机中的进位计数制。

它包含了0到9这十个数值以及A到F这六个字母，字母A表示十，字母F表示十五。

每个数位上的数值是通过相加达到F后进位到更高的位的。

例如，十六进位数1FF表示五百十五，其中百位上的数值是5，十位和个位上的数值都是15。

在进位计数制中，数值不仅可以表示正整数，还可以表示小数和负数。

小数的表示方式是在整数部分的数值后面加上小数点，然后逐位表示小数部分的数值。

负数的表示方式是在数值前面加上负号。

例如，十进位数-3.14表示负三点一四。

总结起来，进位计数制是一种用于表示和计算数值的数制。

它包含了一组数值，并且根据进位规则，每个数位上的数值逐位相加，达到一定值后进位到更高的位的。

不同的进位计数制有不同的表示方式和数值范围，常见的进位计数制有十进位、二进位、八进位和十六进位。

进位制与位值原理

进位制与位值原理课程要求 1．认真听讲，认真笔记 2．根据老师提示及时暂停视频 3．课程虽然精彩，但是一定要休息知识地图 1. 进位制的含义和不同进制之间的互相转化。

2. 位值原理的基础知识和基本运用。

【课前小知识】1. 很久很久以前，人类是没有数字这个概念的，但是打猎的时候要计算得到了多少猎物，于是他们只能掰手指头，数到10个的时候就没法继续，所以就在墙上做一个记号“ ”，代表10个，这就是十进制的来历。

既然十个等于一个，那么十个也等于一个，以此类推。

① 以现在的角度来看，，，各相当于哪一位？②“”写成我们习惯的表达形式应该是什么？2. 如果有个外星球种族，他们只有七个手指头，打猎的时候也要计算得到了多少猎物，于是他们只能掰手指头，数到7个的时候就没法继续，所以就在墙上做一个记号“ ”，代表7个，7个等于1个，那么7个也等于1个，以此类推。

① 一个等于多少个？②“”写成十进制应该是什么？③ 按照外星种族的书写习惯，一个数里最多有几个？④ 十进制中的100个在这里应该如何表示？知识要点屋 1. 十进制就是逢十进一，七进制就是逢七进一，以此类推。

2. 十进制中最大的数字是9，七进制中最大的数字是6，以此类推。

【例1】(★★) 十进制的1234化成九进制是多少？【例2】(★★) 八进制的145化成十进制是多少？ 1【例3】(★★) 七进制的125化成八进制是多少？【例4】(★★★) 在七进制下进行计算：(1235)7＋(4251)7＝_____【例4拓展】(★★★) ⑴哪种进制下，4×13＝100成立？ ⑵哪种进制下，135×24＝3636成立？【课中间小知识】 1. 365＝3×100＋6×10＋5×1 abcd＝a×1000＋b×100＋c×10＋d×1 2. 一个十进制的数，可以根据位值原理进行分拆。

源头茫昧亦能觅——十进位值制与计数法的产生

源头茫昧亦能觅——⼗进位值制与计数法的产⽣你知道吗：玛雅⼈曾创造了⽐较先进的计数系统，”算“的原意指的是算筹，阿拉伯数字不是阿拉伯⼈发明的。

本⽂内容提要：1、⼗进制的起源2、古⽼的计数法3、中国古代的计数系统4、“阿拉伯数码”的来历⼈类产⽣数的观念最初可以追溯到旧⽯器时代，距今⼤约有上万年乃⾄⼏⼗万年的时间。

当时⽳居的原始⼈在采集⾷物和捕获猎物的集体⾏动中，免不了要与数字打交道，特别是在分配和交换剩余物品的活动中，必须要⽤数字进⾏简单的运算。

⼗进制的缘起⼈类最早认识的数⽬是1，2，3等⼀些最简单的⾃然数，随着时间的推移，⼈们能掌握的⾃然数越来越多，于是就产⽣了如何书写这些数⽬的问题。

虽然分布在世界上不同地区的不同民族，都选择各⾃不同的符号来计数，但是最初⼏乎都是⽤⼀横杠或⼀竖杠（即“——”或“⼁”）表⽰1，⽤两横杠或两竖杠（即“＝”或“‖”）表⽰2，也就是说，要表⽰⼏，就画⼏杠。

可是，对于较⼤的数字，要表⽰它就要画很多杠，这样既费时间，⼜不容易数清。

为了简化计数法，⼈们就需要创造⼀个新的符号来表⽰⼀个特定的数。

很多地区都把这个特定的数选作10，因为⼀个⼈有10个⼿指头，⽽⼿指是⼈类最早也是最⽅便的计数⼯具，于是⼗进制就产⽣了。

随后，⼈们给⼀百、⼀千、⼀万等特殊的数确定专门的符号，使⼗进制表⽰较⼤数⽬时更⽅便了。

在⼈类使⽤数⽬的历史上，⼀些地区曾出现过五进制、⼗⼆进制、⼗六进制、⼆⼗进制、六⼗进制等，除了计时和计⾓度中的分、秒单位仍保留着六⼗进制的痕迹外，其它进制都被⼗进制所取代了。

虽然有了进位制，使表⽰数⽬的⽅法简化了，但是⼈们要不停地创造新的符号，才能表⽰越来越⼤的数⽬。

怎样才能⽤有限的⼏个符号来表⽰任意⼤的数⽬呢？⼈类早期不同地区的数⽬字写法⼤不相同，但有⼀点是相同的，那就是都有“顺序”，即在写法上⽆⾮是从左到右，或从右到左，或从上到下。

于是计数符号就有了位置的概念。

每个计数符号本⾝表⽰⼤⼩不同的数⽬，⽽且同⼀个计数符号写在不同位置上，其数值⼤⼩也不相同，这就是位值制的来历。

六年级春第11讲进位制(教师版)

进位制知识纵横一、“位值制”记数法：同一个数码，在不同位置上表示不同的数值。

二、十进位制记数法：十进制是日常生活和工作中最常用的进位记数制。

在十进制数中，每一位有 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 十个数码，所以计数的基数是10。

超过 9 的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢十进一”，故称十进制。

三、二进位制记数法：二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。

在二进制数中，每一位有 0、1 两个数码，所以计数的基数是 2。

超过 1 的数必须用多位数表示，其中低位和相邻高位之间的关系是“逢二进一”，故称二进制。

读法：二进制的读法比较简单，从左往右依次读数字。

四、十进制数与二进制数的相互转化1、二进制数化为十进制数，只需将二进制数改写成各位数位上的数码与计数单位的积的和的形式，再计算出来即可。

2、十进制数化为二进制数，可以根据二进制数“满二进一”的原则，用 2连续去除这个十进制数，直到商为零为止。

然后将每次所得的余数（只能是 0 或1）按自下而上的顺序依次写出来，就是与这个十进制数相等的二进制数。

简记为：除2 倒取余数法。

五、十进制数与其他进制数的相互转化将n进制数（n≥2，n∈N）转换为等值的十进制数时，只要将n进制数展开，然后将所有各项的数值按十进制数相加，就可以得到等值的十进制数了。

将十进制数转换为等值的n进制数（n≥2，n∈N）时，整数部分采用“除n倒取余数法。

”将下面的数转化为十进制的数：(1111)2，(1010010)2，(4301)5，(B08)16。

【答案】15；82；576；2824。

【解析】请将下面的数转化为十进制的数：(211)3、(321)7、(7C3)16【答案】22；162；1988。

【解析】请将十进制数 90 转化为二进制、七进制和十六进制的数。

【答案】(1011010)2；(156)7；(5A)16。

例 1 试一试 1例 2【解析】某出版社在印刷一本数学科普书的时候，发现他们印刷的页码每一页都只含数字0 至 5，即从第一页开始这本书的页码依次为 1、2、3、4、5、10、11、12、13、14、15、20、……。

计算机中的常用数制.

1 计算机中的常用数制进位计数制，按进位的原则计数，超过基数，向左边进位。

日常生活中有10进制、60进制……计算机中有2进制、8进制、16进制等。

1.1 常用的数制数字66是几？先要确定它是几进制数。

在进位计数制中有数位、基数和位权三个要素。

✧数位：是指数码在一个数中所处的位置。

对于任意禁止—J进制，J个数字符号，逢J进一。

例如十进制，逢十进一；✧基数：是指在某种进位计数制中，每个数位上所能使用的数码的个数。

例如十进制，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9。

✧位权：在一个形成数的数码序列中，各位上的基数的幂有所不同。

例如十进制数，各数位的位权(由右至左)分别为100，101，102，……最常见，最熟悉的是10进制；计算机用2进制；8进制和16进制都是从2进制“派生”出来的。

1.2数制转换二←→十进制之间的转换是基础。

1)非十进制→十进制a n ...a1a0.a-1...a-m (r) = a n×r n+ …+ a1×r1 + a0×r0 +a-1×r-1+...a-m×r-ma i是某一位上的数码，r是基数，r i是权。

不同的基数，表示是不同的进制数。

r 进制转化成十进制：数码乘以各自的权的累加例：10101=1×24+1×22+1×20=21101.11(B)=22+1+2-1+2-2=5.75101(O)=82+1=6571(O)=7x8+1=57101A(H)=163+16+10＝4106注：(B)—表示该数是二进制数；(O)—表示该数是八进制数；(H) —表示该数是16进制数2) 十进制数→非十进制整数部分和小数部分分别计算。

整数—除2取余，到0为止；小数—乘2取整，到0或满足精度为止。

最先算出的数离小数点近。

例：将十进制数转换成二进制数，小数部分和整数部分分别转换：整数部分：小数部分：2 100 0.6252 50 0 离小数点近× 22 25 0 离小数点近1 1.2502 12 1 × 22 6 0 0 0.502 3 0 × 22 1 1 1 1.00 1100.625=1100100.1013) 二、八、十六进制数制间的转换等价关系，3位二进制数对应1位8进制数；4位二进制数对应1位16进制数。

位值原理与数的进制

5-7位置原理与数的进制教学目标本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。

通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以与二进制与实际问题的综合应用。

并学会在其它进制中位值原理的应用。

从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。

也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。

例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。

在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。

比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。

因此，二进制中只用两个数字0和1。

二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。

二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。

注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号的。

进制间的转换：如右图所示。

八进制十进制二进制十六进制例题精讲模块一、位置原理【例 1】某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的差被9除，商等于______与______的差；【巩固】ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。

进位制和位置值

进位制和位置值抽象的数概念，是通过具体的记数形式来体现的，完整的记数系统包含三个要素，即记数符号、进位制以及较⾼单位的表⽰法。

1、进位制最初的记数没有进位制，以刻痕记数为例，有多少数刻多少道痕。

但数⽬很⼤时就有困难，⾃然会想到进位，以P个数组成⼀个新的单位，P个新单位⼜组成⼀个更⾼的单位，这叫P进制，P叫做进位的基。

如10进制，当数到10时给⼀个新单位“⼗”，数到10个⼗时给⼀个新单位“百”，⽽数到10个百时给⼀个新单位“千”，正所谓的“逢⼗进⼀”，“退⼀当⼗”。

⼈们对⼗进位已经习以为常。

但在历史上曾使⽤过许多⾮10的基数，如2、5、6、12、16、20、60等，量⾓的60进制，⾄今还在使⽤。

为什么选择这些数作基数？这是个很有趣的问题。

5进制和10进制显然和⼈类的10个⼿指头有关。

历史上很多地区都曾使⽤过5进制和10进制，如罗马时5进制，古埃及，中国和印度等都是10进制。

20进制⼤概还和⼈的脚趾有关，玛雅⼈使⽤的就是20进制。

玛雅⼈是中美洲印第安⼈的⼀个部落，地处热带，⼈民喜欢⾚脚，记数时⼿指数不过来就⽤脚趾，发展成20进制是很⾃然地。

欧洲古代有些民族也使⽤20进制，如凯尔⼈。

欧洲许多⽂字还保留20进制的痕迹，如法⽂20叫做Vingt，80叫做Quanre-Vingts（4个20）。

英⽂20也叫Score。

特别值得⼀提的，还有2进制，这是基数最⼩的⼀种记数法，现在⽤10进制，要⽤到10个数码：0、1、2、……9，⽽2进制只要⽤0、1两个数码就可以表⽰任何数。

不过写起来很冗长，如87要写成1010111，所以在使⽤上是很不⽅便的。

⽇常⽣活还是⽤10进制⽽不⽤2进制，但对于电⼦计算机来说却是另⼀种情况，2进制有⽆可⽐拟的优越性，因此被⼴泛采⽤。

除了上述⼏种进位基数外，还有现在全世界都在使⽤的60进制。

⽤在时间上，1⼩时分为60分钟，1分分为60秒。

⽤于量⾓，⼀个圆周⾓分为360度，1度分为60分，1分分为60秒。

数学进位制的计算方法

数学进位制的计算方法数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。

按进位的方法进行计数，称为进位计数制。

在日常生活和计算机中采用的是进位计数制。

在日常生活中，人们最常用的是十进位计数制，即按照逢十进一的原则进行计数的。

二进制二进制是计算技术中广泛采用的一种数制。

二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数理哲学大师莱布尼兹发现。

当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统。

计算机内部采用二进制的原因：（1）技术实现简单，计算机是由逻辑电路组成，逻辑电路通常只有两个状态，开关的接通与断开，这两种状态正好可以用“1”和“0”表示。

（2）简化运算规则：两个二进制数和、积运算组合各有三种，运算规则简单，有利于简化计算机内部结构，提高运算速度。

（3）适合逻辑运算：逻辑代数是逻辑运算的理论依据，二进制只有两个数码，正好与逻辑代数中的“真”和“假”相吻合。

（4）易于进行转换，二进制与十进制数易于互相转换。

（5）用二进制表示数据具有抗干扰能力强，可靠性高等优点。

因为每位数据只有高低两个状态，当受到一定程度的干扰时，仍能可靠地分辨出它是高还是低。

三进制三进制是“逢三进一,退一还三”的进制。

三进制数码包括“0，1和2。

”三进制数位小数点前从右往左依次是1位，3位，9位，27位，81位，243位……三进制数位小数点后从左往右依次是3分位，9分位，27分位，81分位……整数的三进制表示法不如二进制那样冗长，但仍然比十进制要长。

例如，365在二进制中的写法是101101101（9个数字），在三进制中的写法是111112（6个数字）。

在三进制中表示三分之一是很方便的，不像在十进制中，需要用无限小数来表示。

但是，二分之一、四分之一之类的分数在三进制中都是无穷小数，这是因为2不是3的因子。

七进制七进制是以7为底数的记数系统。

使用数字0-6。

关于进位计数制的描述

关于进位计数制的描述进位计数制是一种用来计算数字的重要方法，它可以让人们以更方便、舒适、操作简单的方式来做数学计算。

这种计数方式具有标准性、稳定性和操作可靠性等特点。

这里，我们将详细介绍进位计数制的基本原理，以及它的应用情况。

首先，我们来了解一下什么是进位计数制。

实际上，进位计数制是一种方便数学计算的基本数字计算方法，其功能是使计算更加简单有效。

例如，在10进制中，数字9代表的是一个“十位”，这意味着9的值比前一位数字8大100；而十进制则是以10个单位作为基础，每10个数字一组，当某个数字达到10时表示将十进位，从新开始以1计数。

除了10进制之外，进位计数制还有其他几种变体，如，2进制、8进制、16进制等等，其基本性质都是相同，只不过进位单位不同而已。

2进制就是以2个单位组成的一组，当数字达到2时，则进行加法运算，类似的还有8进制和16进制，不过也要根据实际情况而定。

在实际应用中，进位计数制的运用十分广泛，在计算机程序中也有广泛的使用，例如，流水线计算和处理指令也是常用到进位计数制的手段。

它可以使计算更加简单，让程序运行得更快，提高程序运行效率。

此外，进位计数制也是一种非常重要的数据处理方法，广泛应用于数字计算机科学、电子技术和计算机工程等方面，可以精确的表示相应的数值，使计算更加精确，此外，将进位计数制与有限状态自动机或类似技术结合起来，能以可编程方式实现各种数值转换，这对于不同科学研究都有重要的意义。

总结一下，进位计数制是一种强大而有效的计算方式，它不仅可以用于简化程序运行，还可以实现准确的数值转换，为数学计算、工程数据处理等方面提供更可靠的解决方案，我们都可以从中受益。

数学史下的“进位制”教学设计

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图１古埃及的象形数字（公元前３０年左右）４０
个数能够作不同进位制之间的转换，并借此体会中国古代十进制的优越性，增强民族自豪感．
因而 “ 了解进位制的概念，理解不同进位制之间的转换的方法” 是本节的重难点．・教学流程
解： ① 对应了数字５；六十进制下的９② 三位数２２学生讨论：２ ” ２ｆ “ ２的十进制数值；２师总结：２２：２．０２．０＋２．２６２＋６）（）３计算机中二进制的计数例３计算机中采用二进制，将计算机请
２１年第８０２期
数学教学
８９－
数学史下的 “ 进位制＂教学设计
２０４华东师范大学数学系研究生周丹０２１
１．设计背景
全日制普通高中数学新课程标准（０４［２０）】１
指出要让学生通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献．笔者在教授人教Ａ版必修３】 §．算法【中“１２３案例３进位制” 一节后发现学生只会进行进位制间转换，曾体会到中国古代数学对世界数不学发展的贡献．经过反思，笔者试图从数学史
６ × ２１＋０＝１００２
．
评注：本环节旨在明确进制数如何转十
进制数，巴比伦的六十进制和玛雅人的二十古进制计数法需要记住更多的基本符号，如十不进制方便．

六年级进位制与位值原理通用版(奥数拓展)-第9讲

进位制与位值原理（奥数拓展）知识点进位制进制也就是进位计数制，是人为定义的带进位的计数方法（有不带进位的计数方法，比如原始的结绳计数法，唱票时常用的“正”字计数法，以及类似的tally mark计数）。

对于任何一种进制---X 进制，就表示每一位置上的数运算时都是逢X进一位。

十进制是逢十进一，十六进制是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，x进制就是逢x进位。

1)二进制二进制有两个特点：它由两个数码0，1组成，二进制数运算规律是逢二进一。

为区别于其它进制，二进制数的书写通常在数的右下方注上基数2，或在后面加B表示，其中B是英文二进制Binary的首字母。

例如：二进制数10110011可以写成（10110011）2，或写成10110011B。

对于十进制数可以不加标注，或加后缀D，其中D是英文十进制Decimal的首字母D。

计算机领域我们之所以采用二进制进行计数，是因为二进制具有以下优点：1）二进制数中只有两个数码0和1，可用具有两个不同稳定状态的元器件来表示一位数码。

例如，电路中某一通路的电流的有无，某一节点电压的高低，晶体管的导通和截止等。

2）二进制数运算简单，大大简化了计算中运算部件的结构。

二进制数的加法和乘法基本运算法则各有四条，如下：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=100×0=0，0×1=0，1×0=0，1×1=12)八进制由于二进制数据的基数R较小，所以二进制数据的书写和阅读不方便，为此，在小型机中引入了八进制。

八进制的基数R=8=2^3，有数码0、1、2、3、4、5、6、7，并且每个数码正好对应三位二进制数，所以八进制能很好地反映二进制。

八进制用下标8或数据后面加O表示例如：二进制数据（ 11 101 010 . 010 110 100 ）2 对应八进制数据 (352.264)8或352.264O。

3)十六进制由于二进制数在使用中位数太长，不容易记忆，所以又提出了十六进制数。

进位制与位值制

[科目] 数学[关键词] 十进制/二进制/初中[文件] sxbj19.doc[标题] 进位制与位值制[内容]进位制与位值制当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。

我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。

譬如36082，中国古代表示成|||┸O| ，这样的方法称之为位值制，即同样的符号在不同的位置上表示不同级别的数值。

印度与中国的这种记数法称之为“十进位值制”记数法，这是最科学的记数法。

中国古代的这种记数法，是个位用纵式，十位用横式，千位又用纵式，以此类推，这比起印度的记数法还是麻烦一点，所以印度记数法在世界通行。

据传，14世纪前后欧洲人才从阿拉伯人那里学会了印度人的十进位值制记数法，还误以为是阿拉伯人发明的，称之为阿拉伯数字。

当时，欧洲那些受过教育的贵族们，把这种十进位值制记数法当作一种招待客人的游戏。

选择10作为我们记数体系的基数，也许是因为我们有10个手指头。

从原则上讲，我们可以选用任何一个数作基数，说来也巧，不管我们采用哪一个数作为基数，都可以实行位值制，并且十进位值制记数法，并不依赖于10这个特殊数，而能任意转换为其他基数。

我们先来考察十进位值制的8349这个数，我们可以通过以下步骤，顺序得出这个数各个数位上的数字：余数8349÷10=834+9834÷10=83+483÷10=8+38÷10=0+8把这几个余数逆序从左写到右，便得到（8349）10我们再来选另一种基数的记数法进行同样的步骤，比如用6作为基数吧。

余数8349÷6=1391+31391÷6=231+5231÷6=38+338÷6=6+26÷6=1+01÷6=0+1从而可得（102353）6 =（8349）10十进位值制记数法另一大优点，在于数的运算可以简化成单个数字的运算。

进位制要点及解题技巧

1、什么是进位制？例：（1）平时的计算，是满十进一的，我们称十进制（2）计算机里面，是满二进一的，我们称二进制（3）一年有十二个月，每过十二个月就叫一年，是满十二进一的。

我们称是十二进制（4）一天有二十四个小时，每过二十四个小时就叫一天。

即满二十四进一。

称二十四进制我们在不同的计数或运算过程中，可以使用不同的进位制。

定义：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。

即“满几进一”就是几进制。

几进制的基数就是几。

2.进位制的基数进位制的基数表示这个进位制所使用的数字的个数。

例：十进制：基数为10；表示十进制是使用0.1.2.…9。

十个数字。

二进制：基数为2；表示二进制是使用0和1。

两个数字七进制：基数为7；表示七进制是使用0.1.2.…6。

七个数字。

基数都是大于1的整数。

不同的进位制的基数是不同的。

注意：在计数时的最大数字必须小于基数。

3.关于进位制两个需要注意的地方：4.十进制与n进制的互换：5.十进制的两个特征：n进制就是逢n进一进位制例题及答案（一）例1.完成下列进位制之间的转化：1234=______【解答】由题意，1234除以4，商为308，，余数为2，308除以4，商为77，，余数为0，77除以4，商为19，，余数为1，19除以4，商为4，，余数为3，将余数从下到上连起来，即34102故答案为：34102例2.完成下列进位制之间的转化：10121（3）=_______【解答】先转化为10进制为：1*81+1*9+2*3+1=9797/5=19…219/5=3…43/5=0…3将余数从下到上连起来，即342故答案为：342例3.完成进位制之间的转化：120（6）=_______【解答】∵120（6）=1×62+2×61+0×60=48∵48÷2=24 024÷2=12…0，12÷2=6 06÷2=3…0，3÷2=1 (1)1÷2=0…1，∴转化成二进制后的数字是110000，故答案为：110000．例4.完成下列进位制之间的转化：101101（2）=_______【解答】∵101101（2）=1×25+1×23+1×22+1×20=45 ∵45÷7=6 (3)6÷7=0…6，∴转化成7进制后的数字是63，故答案为：63例5.试判断下式是几进位制的乘法123×302=111012．【解答】我们利用尾数分析来求这个问题：不管在几进制中均有：（3）10×（2）10=（6）10；但是式中111012的个位数是2，2≠6说明6向上一位进位了，进了6-2=4，所以进位制n为4的因数，即n=4或2；但是两个因数的数字最大是3，3＞2；所以不可能是2进制，只能是4进制．例6.完成下列进位制之间的转化：101101（2）=_____（10）=_____（7）．【解答】先101101（2）转化为10进制为：1*25+0*24+1*23+1*22+0*2+1=45∵45/7=6 (3)6/7=0 (6)将余数从下到上连起来，即63故答案为：45；63．例7.完成右边进位制之间的转化：110011（2）=_____（10）_____（5）．【解答】先110011（2）转化为10进制为：1×25+1×24+0×23+0×22+1×2+1=51∵51÷5=10 (1)10÷5=2 02÷5=0 (2)将余数从下到上连起来，即201．故答案为：51；201．例8.设n=99…9（100个9），则n3的10进位制表示中，含有的数字9的个数是（）A．201B．200C．100D．199【解答】93=729；993=970299；9993=997002999…99…9；（100个9）3=99…97（99个9）00…0（99个0）299…9（100个9）共199个9．故选D．。

位值制

位值制作者：张新春来源：《湖南教育·C版》2017年第05期讨论位值制，我们应先区分位值制与进位制。

事实上，相对于位值制而言，进位制出现得更早，更普遍。

从某种意义上说，进位制是对刻痕记数的直接改进———刻痕记数，数是多少就刻多少道痕，对大数尤其是比较大的数而言，显然不方便，于是很容易想到进位制。

所谓进位制，就是以P个数组成一个新的单位，用一個新的符号表示。

P个新的单位又组成一个更高的单位，用另一个符号表示。

我们就把这个叫做P进制。

P叫做进位的基。

“如不算最原始的刻痕记数，古今中外的记数法都是进位制的”（梁宗巨，《世界数学通史》，辽宁教育出版社），而位值制则是在进位制的基础上，对如何处理新的单位想到了漂亮的办法。

以下即详述这种办法。

我们不难发现，前面叙述的加法累数制的罗马记数和乘法累数制的中国记数有一个共同特点：新的单位必须创造新的名称———无论是罗马的“X”和中国的“十”，都是表示新的单位的符号。

而位值制的漂亮在于不需要创造新的符号表示新的单位。

比如，表示“20”，不需要写成“XX”或“二十”，只需要把表示“2”的符号写到表示“十”的位置上即可。

同样是这个“2”，还可以表示“200”，或“2000”……一个数码表示什么数值，就看它在什么位置上，这就是位值的含义。

中国算筹记数与位值制雏形中国算筹记数法非常接近位值制。

古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为13～14cm，径粗0.2～0.3cm，多用竹子制成。

也有用木头、兽骨、象牙、金属等材料制成的。

大约二百七十几根为一束，放在一个布袋里，系在腰间随身携带，需要记数和计算时就取出来。

在算筹记数法中，以纵横两种排列方式表示单位数目，其中1～5分别用纵横方式排列相应数目的算筹表示，6～9则以上面的算筹加下面相应的算筹表示，此时上面的一根表示5（如下图所示）。

如前面所述，当前通用的数字为阿拉伯数字，但使用何种数字却并非十进位值制的实质。

10进位制

10进位制
公元前2000年的埃及与公元前1600年的中国商代甲骨文已有十进位制记数法了，并且中国出现了【一】十、百、万等文字符号、因此十进制最早出现在古埃及和中国、
大家公认的10进制的产生是因为每个人都有10个指头、可是古希腊亚里士多德在《问题集》一书中指出了10进制产生的各种可能的解释，如说古希腊数学家毕达哥拉斯为首的学派认为：10是完美的数，10是最小的4种类型的数的和：1＋2＋3＋4＝10，其中1既不是素数又不是合数，2是偶数，3是奇数，4是合数；另一种解释说：1代表点，2代表线〔两点确定一条直线〕，3代表面〔三点确定一平面〕，4代表立体、亚里士多德的解释把十进制的产生披上了神秘的外衣、再说十进制不是某些学者的发明或规定，它是人们长期实践形成的，而且在毕达哥拉斯以前就有了、
这里需要特别指出的是，中国人发明的10进制是“位值制”的，全名为“10进位值制”、即在一个数里，其中一个数码表示什么数要看它所在的位置而定，如43和74这两个数中都有数字4，43中的4在十位上表示40，74中的4在个位上表示4、古埃及人发现的10进制虽说是世界上最早的，但它采用的是累计值而不是位置制、印度人在公元595年才在碑文上有明确的10进位值制，比我国迟一千年、巴比伦很早也知道位置制，但用的是60进制、玛雅人也懂得位置制的道理，但用的是20进制、因此，马克思称中国的10进位值制是“最妙的发明之一”、。

进位制与位值制

算筹

进制与位值原理

数制 进位计数制

进位制与位值原理

源头茫昧亦能觅——十进位值制与计数法的产生

六年级春第11讲 进位制(教师版)

计算机中的常用数制.

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进位制和位置值

数学进位制的计算方法

关于进位计数制的描述

数学史下的“进位制”教学设计

六年级进位制与位值原理通用版(奥数拓展)-第9讲

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进位制要点及解题技巧

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10进位制

数制进位计数制

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