高考复习中有关函数综合题的解题技巧和策略

高考复习中有关函数综合题的解题技巧和策略
贵州省龙里中学高级教师 洪其强 (551200)
一、取值范围问题：
例1、已知函数21()log (1)4a f x mx m x ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦
（1）定义域是R ，求m 的取值范围.
（2）值域是R ，求m 的取值范围。

分析：在已知对数函数的定义域是R 与值域是R ，求其中参数的取值范围时，要注意它们是有明显区别的。

解：（1）因为函数21()log (1)4a f x mx m x ⎡⎤
=+-+⎢⎥⎣⎦
的定义域是R ，故而对任意x R ∈有 21(1)04
mx m x +-+>恒成立。

01、0m =时，左边=104
>恒成立； 02、0m ≠时，由二次函数的性质可得：
{20
(1)03322
m m m m >∆=--<-+⇔<< （2）因为函数21()log (1)4a f x mx m x ⎡
⎤=+-+⎢⎥⎣⎦
的值域是R ，故而有 2(1)0m m m =--≥⇔≤≥ m 例2、已知函数()f x =(1)若此函数在(-∞,1)上有意义，求m 的取值范围.
(2)若此函数的定义域为(-∞,1)，求m 的取值范围.
分析：注意定义域和有意义是有区别的。

(1)因为函数()f x =(-∞,1)上有意义，即
()f x =(-∞,1)上有意义，所以有： 01、0m =时，()f x =(-∞,1)上有意义；
02、0m ≠时，由二次函数的性质可得：
1220(1)0m m f >>≥-⎧⎨⎩
且或{0140m m >∆=-≤ 解得：14
m ≥ 综上所述：此函数在(-∞,1)上有意义， m 的取值范围为0m =或14
m ≥。

(2)若函数()f x =定义域为(-∞,1)，则
1240x x m ++≥在(,1)x ∈-∞内恒成立。

从而有
212111()()4224
x x x m +≥-=-++ 因为(,1)x ∈-∞时，11(,)22
x ∈+∞，所以21113()(,)2244x -++∈-∞-，从而m 的取值范围是34
m ≥-。

二、单调性问题
对于复合函数的单调性问题，要分两步进行：第一先考虑定义域；第二再考虑单调性，在这一步中，要注意复合函数的单调性的判定法则（同向为增，异向为减。

简称“同增异减”）。

例3、求函数2
12()log (32)f x x x =-+单调区间。

分析：先考虑定义域，由2
3201x x x -+>⇔<或x>2，即函数()f x
的定义域为(,1)(2,)x ∈-∞+∞ ；又由223
132()24
x x x -+=--在3(,]2-∞上递减，3[,)2+∞上递在增，且1012
<<。

略解：由分析可得()f x 在(,1)-∞上递增，(2,)+∞上递减。

三、对称性问题和奇偶性问题：
（1）若函数()f x 在其定义域上满足()()f a x f b x +=-，则函数()f x 的图象关于直线2
a b x +=对称； （2）奇偶性问题的判定方法：1、先特殊判定，后定义证明；2、是对数函数的，先考虑真数，后证明结论。

例4、已知函数11()log 21a x f x x +=
-(0,1)a a >≠，讨论()f x 的奇偶性。

分析一：由题意易知函数()f x 的定义域为(1,1)x ∈-，当12
x =时，1()log 32a f x =，当12x =-时，1()log 32
a f x =-，据此可判定()f x 的奇偶性。

分析二：由11111x x x x +-=-+ ，得11111x x
x x
-=++-，据此也可判定()f x 的奇偶性。

解：由题意易得函数()f x 的定义域为(1,1)x ∈-， 且1111111()()log log log ()02121211a a a x x x x f x f x x x x x -+-+-+=+=⋅=+-+-，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数。

例5、设()x f 是定义在R 上的奇函数，且满足(3)(5)f x f x +=-，
若(0,4)x ∈时，()2x f x =，求()x f 在(8,4)--上的解析式。

分析：由()x f 定义在R 上且满足(3)(5)f x f x +=-可知：函数()
f x
的图象关于直线4x =对称；又(0,4)x ∈时，()2x f x =，所以(4,8)x ∈时，8()2x f x -=。

设(8,4)x ∈--，则(4,8)x -∈，此时
8()2x f x +-=。

又()x f 是定义在R 上的奇函数，所以8()2x f
x +-=，即()x f 在(8,4)--上的解析式为8()2x f x +=-，(8,4)x ∈--。

解略。

例6、设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称。

且当[]3,2∈x 时，
()()()()3
2log [2242]g x a x x a =⋅---为实数，求函数()x f 的表达式；
解：注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求。

当01≤≤-x 时，322≤-≤x ，由于()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称，所以，
()()()()3
3222log [222422]log (42)f x g x a x x x ax =-=⋅-----=- 当10≤≤x 时，01≤-≤-x ，由()x f 为偶函数，可知： ()()()()3
322log [42]log (42)f x f x x a x x ax =-=---=-+
所以，()3232log (42)10log (42)01x ax x f x x ax x ⎧--≤≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩ 四、周期性问题
在函数()x f 的定义域内，存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=，则函数()x f 叫做周期函数，T 叫做函数()x f 的一个周期。

推广：若T 是函数()x f 的一个周期，则()()()f x nT f x n Z +=∈ 例7、已知奇函数()x f 满足(2)()f x f x +=，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则12
(log 5)______f =。

分析：设(1,0)x ∈-，则(0,1)x -∈，由题意知()2x f x --=，因为()x f 是奇函数，所以()2x f x -=-，(1,0)x ∈-。

设(3,2)x ∈--，则2(1,0)x +∈-，从而()222x f x --+=-。

又函数
()x f 满足(2)()f x f x +=，所以()22x f x --=-，(3,2)x ∈--
由于12log 5(3,2)∈--，所以1225log 52log 4125(log 5)2
24
f --=-=-=-。

解略。

五、换元法解综合题
例8、设对所有实数x ，不等式
2
2
22224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a ++++>+ 恒成立，求a 的取值范围．
分析：换元使得一元二次二次不等式的结构简化，给运算带来方便。

解：令,1
2log 2
t a a =+则原不等式化为2(3)220t x tx t -+->,此不等式恒成立，故 2300,(2)8(3)0
t t t t t ->⎧⇒<⎨+-<⎩ 由,012log 2<+a a 得0<a<1. 即所求a 的取值范围为0<a<1.．。