高等数学A普通班教学大纲

《高等数学A 》课程教学大纲Advanced Mathematics A课程代码：03100A01, 03100A02 课程性质：公共基础理论课(必修)适用专业：分级教学普通班开课学期：1、2总学时数：184 总学分数：11.5修订年月：2007.7 执笔：古伟清、金朝永第一部分大纲一、课程的性质与目的高等数学课程是高等学校工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得：1．函数、极限、连续,2．一元函数微积分学,3．向量代数和空间解析几何，4．多元函数微积分学，无穷级数（包括傅里叶级数），5．常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。

二、课程教学内容及学时分配(一) 教学内容1．函数、极限、连续函数：函数的概念及表示法，函数的特性，复合函数、反函数、分段函数和隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形。

初等函数。

简单应用问题函数关系的建立；极限：数列极限的定义，收敛数列的性质（唯一性，有界性）；函数极限的定义，函数的左右极限，函数极限的性质（局部保号性、局部有界性），无穷小与无穷大的概念及其关系；极限的四则运算法则，两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），两个重要极限，无穷小的比较。

函数的连续性：函数连续的定义，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（最大最小值定理，零点定理和介值定理）。

2．一元函数微分学导数与微分：导数的定义，导数的几何意义，函数的可导性与连续性的关系；平面曲线的切线和法线，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，基本初等函数的导数公式；高阶导数的概念，初等函数的一、二阶导数的求法，隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数的求法；微分的定义，微分的运算法则（含微分形式的不变性）。

中值定理与导数的应用：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒公式；洛必达法则；用导数判定函数的单调性，函数极值概念及其求法，简单的最大值最小值应用问题，用导数判定函数曲线的凹凸性与拐点，水平与垂直渐近线，函数作图；弧微分，曲率的定义及其计算，曲率半径。

3．一元函数积分学不定积分：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。

定积分及其应用：定积分的定义及其性质，积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法；广义积分的概念；；定积分在几何学中的应用（面积、旋转体体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲线的弧长）。

4．向量代数与空间解析几何向量代数：空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量的向量积，两向量的夹角，两向量平行与垂直的条件。

单位向量，方向数与方向余弦平面与直线：平面的方程（点法式、一般式、截距式），直线的方程（参数式、对称式、一般式），夹角（平面与平面、平面与直线、直线与直线），平行与垂直的条件（平面与平面、平面与直线、直线与直线）。

点到平面和点到直线的距离。

曲面与空间曲线：曲面方程的概念，球面方程，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线与曲面在坐标面上的投影。

常用的二次曲面的方程及其图形。

5．多元函数微分学多元函数：多元函数的概念，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续函数的性质。

偏导数与全微分：多元函数的偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数的概念及复合函数二阶偏导数的求法；全微分的定义，全微分存在的必要条件和充分条件，多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式（一个方程的情形）；方向导数和梯度。

偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；，多元函数的极值及其求法，最大值、最小值问题及其简单应用，条件极值，拉格朗日乘数法。

6．多元函数积分学二重积分：二重积分的概念、性质及计算（直角坐标、极坐标）；二重积分在几何学中的应用（曲面面积、立体体积）。

三重积分：三重积分的概念、性质与计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；三重积分的应用。

曲线积分：两类曲线积分的定义与性质，两类曲线积分的计算法；两类曲线积分的关系，曲线积分的应用；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

二元函数的全微分求积。

曲面积分：两类曲面积分的定义与性质，两类曲面积分的计算法；两类曲面积分的关系，曲面积分的应用；高斯公式，斯托克斯公式。

7．无穷级数常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，收敛级数的和的概念、无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数和P—级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：函数项级数的收敛与和函数的概念，幂级数的概念，阿贝尔定理，较简单的幂级数的收敛域的求法，幂级数在其收敛区间内的基本性质，幂级数求和函数；泰勤级数，麦克劳林级数，函数展开成幂级数。

傅里叶级数：三角级数概念，狄利克雷充分条件，函数展开为傅里叶级数，奇偶函数的傅里叶级数，函数展开为正弦或余弦级数，（— ， ），（0， ）区间上函数的傅里叶级数。

8．常微分方程微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解。

一阶微分方程：可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，全微分方程。

可降阶的高阶微分方程：()()=n y f x 型，(,)'''=y f x y 型，(,)'''=y f y y 型。

高阶线性微分方程：高阶线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程（()()x m f x e P x λ=，[]()()cos ()sin x l n f x e P x x P x x λωω=+）用微分方程解简单的几何问题。

(二) 学时分配本课程的教学时数为184学时，分上、下两学期，各学期的教学内容及课时分配如下表：三、课程教学的基本要求1．正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，极值，不定积分，定积分，偏导数，全微分，条件极值，重积分，曲线积分，曲面积分，无穷级数，微分方程。

2．正确理解下列基本定理和公式并能正确运用：极限的主要定理，罗尔定理和拉格朗日中值定理，泰勒定理，定积分作为其上限函数的求导定理，牛顿—莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式。

3．牢固掌握下列公式：两个重要极限，基本初等函数、双曲函数的导数公式，基本积分公式，函数xe 、sin x 、ln(1)x +及()μx +1的麦克劳林公式。

4．熟练运用下列法则和方法：导数的四则运算法则和复合函数的求导法，换元积分法和分部积分法，二重积分的计算法，正项级数的比值审敛法，变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次(非齐次)线性微分方程的解法。

5．会运用微积分和常微分方程的方法解一些简单的几何问题。

四、本课程与其它课程的联系与分工先修课程：无后续课程：作为公共基础课，它是许多后继专业基础课和专业课的基础。

五、建议教材及教学参考书［1］吴赣昌主编，《高等数学(理工类)》第二版, 中国人民大学出版社, 2007.7 出版［2］同济大学数学教研室主编，《高等数学》，第五版，高等教育出版社，2002.7出版［3］张小柔等编，《高等数学习题课教程》，科学出版社,2003.6出版［4］梅顺治等编，《高等数学习题课讲义》，科学出版社 2000.8出版［5］同济大学数学教研室编，《高等数学附册学习辅导与习题选解》，高等教育出版社2003.1出版第二部分课程内容的重点、难点1．函数、极限、连续重点：函数概念，复合函数概念，基本初等函数的性质及其图形，极限概念，极限四则运算法则，连续概念。

难点：极限的ε—N、ε—δ定义，求极限。

2．一元函数微分学重点：导数和微分的概念，导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，导数的四则运算法则和复合函数的求导法，基本初等函数、双曲函数的导数公式，初等函数的一阶、二阶导数的求法，罗尔定理和拉格朗日定理，函数的极值概念，用导数判断函数的单调性和求极值的方法。

导数的应用难点：复合函数的求导法，隐函数和参数式所确定的函数的高阶导数，泰勒定理。

3．一元函数积分学重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法，变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，牛顿—莱布尼兹公式，用定积分表达一些几何量（如面积、体积、弧长）。

难点：变上限函数的求导，换元积分法，广义积分等。

4．向量代数与空间解析几何重点：空间直角坐标系，向量的概念及其表示，向量的运算（线性运算、数量积、向量积），单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法，平面方程和直线方程及其求法，点到平面与点到直线的距离公式，常见二次曲面的方程及其图形。

难点：向量的向量积，利用平面、直线的相互关系解决有关问题，曲线、曲面的投影。

5．多元函数微分学重点：多元函数的概念，偏导数和全微分的概念，复合函数—阶偏导数的求法，多元函数极值和条件极值的概念。

难点：求抽象复合函数的二阶偏导数，隐函数的偏导数，求曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，求条件极值的拉格朗日乘数法。

6．多元函数积分学重点：二重积分、三重积分的概念，二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），两类曲线（曲面）积分的概念及计算方法，格林公式，高斯公式。

难点：三重积分的计算方法，格林公式，高斯公式。

7．无穷级数重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念，几何级数和P—级数的收敛性，正项级数的比值审敛法，莱布尼兹判别法，比较简单的幂级数收敛区间的求法。

用间接法展开函数为幂级数。

难点：正项级数的比较审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，求幂级数的收敛域及和函数，函数展开为泰勒级数，函数展开为傅里叶级数。

8．常微分方程重点：变量可分离的方程及一阶线性方程的解法，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次（非齐次）线性微分方程的解法。

难点：二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。

列微分方程解应用问题。