圆的有关概念及性质

①形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫，线段OA叫做．
②描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合．定点叫，定长叫．
（1）弦：连结圆上任意两点的叫做弦．
（2）弧：圆上任意两点间的叫做弧，
大于半圆的弧叫，小于半圆的弧叫．
（3）弦心距：到的距离．
（4）等圆：相等的圆叫等圆，半径和圆心都相同的圆叫．
（5）等弧：在中，能够的弧叫．
（6）同心圆：圆心，半径的两个圆叫同心圆．
①圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角．
②圆周角定义：顶点在，并且两边都和圆的角叫圆周角．
①轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的对称轴．
②中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是．圆具有旋转性，即绕圆心旋转任意角度都与原来的图形重合．
垂直于弦的直径，并且平分弦所对的．
①垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：I、过圆心；II、垂直于弦；
III平分弦；IV、平分弦所对的优弧；V、平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，
那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用．
②圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线．
B
O
C
A D
A
B C
O ⋅
⋅⋅
⋅
M
⋅
D
O
C
B
A
在中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弧所对的弦、弦心距中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别．
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，都等于这条弧所对的圆心角的．
推论1.在同圆或等圆中，如果两个圆周角，那么它们所对的弧．
推论2.半圆（或直弦）所对的圆周角是，900的圆周角所对的弦是．
【名师提醒】：作直径所对的圆周角是直角是圆中常作的辅助线．
①圆内接四边形的对角；②圆内接四边形的任意一个外角等于它的．
例1：如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．
C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
例2：如图2，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为．
例3：如图3，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=3
2，0C=1，则半径OB的长为．
例4：如图4，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为．
例5：如图5，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为．
图4
⋅O
F
D
C
E
B
A
图5
F
A
B C
O ⋅
⋅⋅
⋅
E
A
B C
图6
O
O ⋅
A
B C
D
图7
图1 图2
图3
BD
BC=
例6：如图6，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且8==CD AB ， 则OP 的长为 ．
例7：如图7，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧上一点，则APB ∠的度数为（ ）
例8：如图8，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，AC OD ⊥，垂足为E ，
连结BD ，0
32=∠A ，则=∠CBD ．
例9：如图9，OA ，OB 是⊙O 的两条半径，且OB OA ⊥，点C 在⊙O 上，则ACB ∠的度数为 ．
例10：如图10，AB 、CD 是⊙O 的两条弦，连接AD 、BC ．0
60=∠BAD ，则B CD ∠的度数为 ． 例11：如图11，在ABC ∆中，AB 为⊙O 的直径，0
60=∠B ，0
100=∠BOD ，则C ∠的度数为 ．
例12：如图12，在半径为5的⊙O 中，弦6=AB ，点C 是优弧
AB 上一点（不与A ，B 重合）， 则cosC 的值为
．
例13
：如图13，四边形
ABCD 内接于⊙Ｏ，0
110=
∠C ，则=
∠A
,BOD ∠= .
AMB 图9
图10
图11
图6
图4
图5
图8
图7
例14：如图14，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点N ，点M 在⊙O 上，∠1=∠C 若BC=4，
3
2
sin =
M ，则⊙O 的直径AB 的长是 ．
例15：如图15，△ABC 内接于⊙O ，AB 、CD 为⊙O 直径，DE ⊥AB 于点E ，sinA=12
， 则∠D 的度数是 ．
例16：如图16，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，OP ⊥AC 于点P ，OP=32，则⊙O 的半径为 ． 例17：如图17，△ABC 中，BC=3，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，若D 是AC 中点，∠ABC=120°． 则（1）∠ACB 的度数是 ．（2）点A 到直线BC 的距离是 ．
例18：如图18，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，0
30=∠A ，CE 平分ACB ∠交⊙O 于E ，交AB 于点D ，连结BE ，则=∆∆CD A BD E S S : .
例19：如图19，AD 是ABC ∆的高，AE 是ABC ∆的外接圆⊙O 的直径，24=AB ，5=AC ，4=AD ，则的直径=AE ．
例20：如图20，以ABC ∆的边BC 为直径的⊙O ，点A 在⊙O 上，过点A 作BC AD ⊥于D ，
5
3
cos =
∠CAD ，4=AB
，则=AC . 图15
图16
图17
C
B
A
O
图20
E
D
∙
A
E
O B D
C 图18
D A
B
C
图19
∙
O
图12
图14
⋅
A
B
C
图13
D O
例21：⊙O 的半径为17cm ，弦CD AB //，cm AB 30=，cm CD 16=，则AB 与CD 之间的距离是 .。