2019年春八年级数学下册第四章因式分解4.3公式法第1课时平方差公式练
北师大版数学八年级下册：4.3 公式法 同步练习(附答案)
3公式法第1课时运用平方差公式因式分解知识点1直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（）A．a2＋b2B．2a－b2C．a2－b2D．－a2－b22．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于（）A．9 B．4 C．－1 D．－23．把多项式(x－1）2－4因式分解的结果是（）A．(x＋3）(x＋1）B．(x＋1）(x－3）C．(x－1）(x＋3）D．(x－5）(x＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x2＝；(2）(2020·张家界）x2－9＝；(3）(2019·黔东南）9x2－y2＝．5．把下列各式因式分解：(1）9m2－4n2；(2）－16＋a2b2；(3）964m2－n2；(4）(x－2y）2－4y2.知识点2先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a2b－b3因式分解，结果正确的是（）A．b(a＋b）(a－b）B．b(a－b）2C．b(a2－b2）D．b(a＋b）27．因式分解：(1）(2020·济宁）a 3－4a ＝ ；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝ ；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝ ．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝ ．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为 .易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝ ．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）A ．(a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2B ．a(a －b ）＝a 2－abC ．(a －b ）2＝a 2－b 2D ．a 2－b 2＝(a ＋b ）(a －b ）14．对于任意整数n ，多项式(n ＋7）2－(n －3）2的值都能（ ）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝；(2）－9x2＋(x－y）2＝；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；(2）0.36x2－49y2；(3）a3b－16ab；(4）3m4－48；(5）x n－x n＋2；(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是（）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是（）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝；(2）a2－2ab＋b2＝．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋14；(2）4x2＋y2－4xy；(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是（）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝．9．把下列各式因式分解：(1）－x2＋6xy－9y2；(2）a3＋9ab2－6a2b.易错点对完全平方式理解不透10．在多项式4x2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为（）A．100 B．150C．10 000 D．22 50012．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有．①－a2＋b2；②4x2＋4x＋1；③－x2－y2；④－x2＋8x－16；⑤x4－1；⑥m2＋4m－4.13．若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a，b的多项式的因式分解：．15．把下列各式因式分解：(1）(a－b）2＋4ab；(2）－2a3b2＋8a2b2－8ab2；(3）4x2－(x2＋1）2；(4）25－30(x－y）＋9(x－y）2；(5）(x2－2xy＋y2）＋(－2x＋2y）＋1.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值．17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y 用所设中的x 的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果 ；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2－2x ）(x 2－2x ＋2）＋1进行因式分解．18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x 2＋4x ＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x 2＋4x ＋5＝x 2＋4x ＋4＋1＝(x ＋2）2＋1.∵(x ＋2）2≥0，∴当x ＝－2时，(x ＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x ＋2）2＋1≥1.∴当x ＝－2时，x 2＋4x ＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x ＝ 时，代数式x 2－6x ＋12的最小值是 ；(2）知识运用：若y ＝－x 2＋2x －3，当x ＝1时，y 有最大值(填“大”或“小”），这个值是 ；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝；(2）x2－6x＋8＝；(3）x2＋2x－3＝；(4）x2－6x－27＝．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝；(2）3x2－5x＋2＝．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝；(2）2x2－10x－12＝．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋）－(b3＋）＝a2( ）－(a＋b）＝( ）(a＋b）＝．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；(2）a2＋b2－9＋2ab.4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是．参考答案：第1课时 运用平方差公式因式分解知识点1 直接运用平方差公式因式分解1．(2020·金华）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是(C ）A ．a 2＋b 2B ．2a －b 2C ．a 2－b 2D ．－a 2－b 22．已知多项式x 2＋a 能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a 可以等于(C ）A ．9B ．4C ．－1D ．－23．把多项式(x －1）2－4因式分解的结果是(B ）A ．(x ＋3）(x ＋1）B ．(x ＋1）(x －3）C ．(x －1）(x ＋3）D ．(x －5）(x ＋3）4．因式分解：(1）(2020·绍兴）1－x 2＝(1－x ）(1＋x ）；(2）(2020·张家界）x 2－9＝(x ＋3）(x －3）；(3）(2019·黔东南）9x 2－y 2＝(3x ＋y ）(3x －y ）．5．把下列各式因式分解：(1）9m 2－4n 2；解：原式＝(3m ＋2n ）(3m －2n ）．(2）－16＋a 2b 2；解：原式＝(ab ＋4）(ab －4）．(3）964m 2－n 2； 解：原式＝(38m ＋n ）(38m －n ）．(4）(x －2y ）2－4y 2.解：原式＝(x －2y ＋2y ）(x －2y －2y ）＝x(x －4y ）．知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解6．对a 2b －b 3因式分解，结果正确的是(A ）A ．b(a ＋b ）(a －b ）B ．b(a －b ）2C ．b(a 2－b 2）D ．b(a ＋b ）27．因式分解： (1）(2020·济宁）a 3－4a ＝a(a ＋2）(a －2）；(2）(2019·黄冈）3x 2－27y 2＝3(x ＋3y ）(x －3y ）；(3）(2020·黄石）m 3n －mn 3＝mn(m ＋n ）(m －n ）．8．把下列各式因式分解：(1）16m 3－mn 2；解：原式＝m(4m ＋n ）(4m －n ）．(2）a 2(a －b ）－4(a －b ）．解：原式＝(a －b ）(a ＋2）(a －2）．知识点3 用平方差公式因式分解的应用9．如图，在边长为6.75 cm 的正方形纸片上，剪去一个边长为3.25 cm 的小正方形，则图中阴影部分的面积为(D ）A ．3.5 cm 2B ．12.25 cm 2C ．27 cm 2D ．35 cm 210．若m 2－n 2＝6，且m －n ＝2，则m ＋n ＝3．11．已知长方形的面积是9a 2－16(a>43），若一边长为3a ＋4，则另一边长为3a －4.易错点 因式分解不彻底导致出错12．(2019·毕节）分解因式：x 4－16＝(x 2＋4）(x ＋2）(x －2）．13．如图，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是(D ）A．(a－b）2＝a2－2ab＋b2B．a(a－b）＝a2－abC．(a－b）2＝a2－b2D．a2－b2＝(a＋b）(a－b）14．对于任意整数n，多项式(n＋7）2－(n－3）2的值都能(A）A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4）整除15．因式分解：(1）(x－8）(x＋2）＋6x＝(x＋4）(x－4）；(2）－9x2＋(x－y）2＝－(4x－y）(2x＋y）；(3）m2(a－2）＋(2－a）＝(a－2）(m＋1）(m－1）．16．若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1）2－(b－1）2的值为12．17．把下列各式因式分解：(1）(2019·河池）(x－1）2＋2(x－5）；解：原式＝x2－2x＋1＋2x－10＝x2－9＝(x＋3）(x－3）．(2）0.36x2－49y2；解：原式＝(0.6x）2－(7y）2＝(0.6x＋7y）(0.6x－7y）．(3）a3b－16ab；解：原式＝ab(a2－16）＝ab(a＋4）(a－4）．(4）3m4－48；解：原式＝3(m4－16）＝3(m2＋4）(m2－4）＝3(m2＋4）(m＋2）(m－2）．(5）x n－x n＋2；解：原式＝x n(1－x2）＝x n(1＋x）(1－x）．(6）(y＋2x）2－(x＋2y）2；解：原式＝[(y＋2x）＋(x＋2y）][(y＋2x）－(x＋2y）]＝(y＋2x＋x＋2y）(y＋2x－x－2y）＝(3x＋3y）(x－y）＝3(x＋y）(x－y）．(7）a2(a－b）＋b2(b－a）．解：原式＝a2(a－b）－b2(a－b）＝(a2－b2）(a－b）＝(a－b）2(a＋b）．18．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此，4，12，20都是“和谐数”．36和2 020这两个数是“和谐数”吗？为什么？解：36和2 020都是和谐数．理由如下：设a＝(n＋2）2－n2＝(n＋2－n）(n＋2＋n）＝2(2n＋2）＝4(n＋1），令36＝4(n＋1），解得n＝8.∴36＝102－82.同理：令2 020＝4(n＋1），解得n＝504.∴2 020＝5062－5042.第2课时运用完全平方公式因式分解知识点1完全平方式1．下列式子中是完全平方式的是(D）A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．(1）若x2－6x＋k是完全平方式，则k＝9；(2）若x2＋kx＋4是完全平方式，则k＝±4；(3）若x2＋2xy＋m是完全平方式，则m＝y2．知识点2直接运用完全平方公式因式分解3．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是(D）A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1C．x2－1 D．x2－2x＋14．把下列多项式因式分解，结果正确的是(A）A．4a2＋4a＋1＝(2a＋1）2B．a2－2a＋4＝(a－2）2C．a2－2a－1＝(a－1）2D．a2－b2＝(a－b）25．因式分解：(1）(2019·温州）m2＋4m＋4＝(m＋2）2；(2）a2－2ab＋b2＝(a－b）2．6．把下列完全平方式因式分解：(1）y2＋y＋1 4；解：原式＝(y＋1 2）2.(2）4x2＋y2－4xy；解：原式＝(2x）2＋y2－2·2x·y＝(2x－y）2.(3）(m－n）2＋6( m－n）＋9.解：原式＝(m－n－3）2.知识点3先提公因式后运用完全平方公式因式分解7．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是(D）A．3x(x2－4x＋4）B．3x(x－4）2C．3x(x＋2）(x－2）D．3x(x－2）28．因式分解：(1）(2019·威海）2x2－2x＋12＝12(2x－1）2；(2）(2019·绵阳）m2n＋2mn2＋n3＝n(m＋n）2；(3）(2019·眉山）3a3－6a2＋3a＝3a(a－1）2．9．把下列各式因式分解：(1）－x 2＋6xy －9y 2；解：原式＝－(x 2－6xy ＋9y 2）＝－(x －3y ）2.(2）a 3＋9ab 2－6a 2b.解：原式＝a(a 2＋9b 2－6ab ）＝a(a －3b ）2.易错点 对完全平方式理解不透10．在多项式4x 2＋1中，添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是±4x 或4x 4.(写出一个即可）11．计算1252－50×125＋252的结果为(C ）A ．100B ．150C ．10 000D ．22 500 12．下列多项式中，能运用公式法因式分解的有①②④⑤．①－a 2＋b 2；②4x 2＋4x ＋1；③－x 2－y 2；④－x 2＋8x －16；⑤x 4－1；⑥m 2＋4m －4.13．若m ＝2n ＋1，则m 2－4mn ＋4n 2的值是1．14．(教材P94习题T4变式）将图1中两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形(它的直角边等于前两个三角形的斜边）拼接成一个梯形(如图2），请根据拼接前后面积的关系写出一个关于a ，b 的多项式的因式分解：ab ＋12(a 2＋b 2）＝12(a ＋b ）2．15．把下列各式因式分解：(1）(a －b ）2＋4ab ；解：原式＝a 2－2ab ＋b 2＋4ab＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b ）2.(2）－2a 3b 2＋8a 2b 2－8ab 2；解：原式＝－2ab 2(a 2－4a ＋4）＝－2ab 2(a －2）2.(3）4x 2－(x 2＋1）2；解：原式＝(2x ＋x 2＋1）(2x －x 2－1）＝－(x ＋1）2(x －1）2.(4）25－30(x －y ）＋9(x －y ）2；解：原式＝52－2×5×3(x －y ）＋[3(x －y ）]2＝[5－3(x －y ）]2＝(5－3x ＋3y ）2.(5）(x 2－2xy ＋y 2）＋(－2x ＋2y ）＋1.解：原式＝(x －y ）2－2(x －y ）＋1＝(x －y －1）2.16．(教材P105复习题T6变式）若a ＋b ＝－3，ab ＝1，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解：当a ＋b ＝－3，ab ＝1时，原式＝12ab(a 2＋2ab ＋b 2） ＝12ab(a ＋b ）2 ＝12×1×(－3）2 ＝92.17．下面是某同学对多项式(x 2－4x ＋2）(x 2－4x ＋6）＋4进行因式分解的过程． 解：设x 2－4x ＝y ，原式＝(y ＋2）(y ＋6）＋4 (第一步）＝y 2＋8y ＋16 (第二步）＝(y ＋4）2(第三步）＝(x 2－4x ＋4）2.(第四步）(1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C ）A ．提取公因式B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式(2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？否(填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果(x－2）4；(3）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2－2x）(x2－2x＋2）＋1进行因式分解．解：原式＝(x2－2x）2＋2(x2－2x）＋1＝(x2－2x＋1）2＝(x－1）4.18．上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±b）2＝a2±2ab＋b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2＋4x＋5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2）2＋1.∵(x＋2）2≥0，∴当x＝－2时，(x＋2）2的值最小，最小值是0.∴(x＋2）2＋1≥1.∴当x＝－2时，x2＋4x＋5的最小值是1.请你根据上述方法，解答下列各题：(1）知识再现：当x＝3时，代数式x2－6x＋12的最小值是3；(2）知识运用：若y＝－x2＋2x－3，当x＝1时，y有最大值(填“大”或“小”），这个值是－2；(3）知识拓展：若－x2＋3x＋y＋5＝0，求y＋x的最小值．解：∵－x2＋3x＋y＋5＝0，∴x＋y＝x2－2x－5＝(x－1）2－6.∵(x－1）2≥0，∴(x－1）2－6≥－6.∴当x＝1时，y＋x的最小值为－6.第3课时运用特殊方法因式分解知识点1利用十字相乘法因式分解1．阅读理解：由多项式乘法：(x＋p）(x＋q）＝x2＋(p＋q）x＋pq，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(p＋q）x＋pq＝(x＋p）(x＋q），示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3）x＋2×3＝(x＋2）(x＋3）．问题解决：分解因式：(1）x2＋5x＋4＝(x＋1）(x＋4）；(2）x2－6x＋8＝(x－2）(x－4）；(3）x2＋2x－3＝(x＋3）(x－1）；(4）x2－6x－27＝(x－9）(x＋3）．拓展训练：分解因式：(1）2x2＋3x＋1＝(2x＋1）(x＋1）；(2）3x2－5x＋2＝(x－1）(3x－2）．2．分解因式：(1）x2－2x－8＝(x＋2）(x－4）；(2）2x2－10x－12＝2(x＋1）(x－6）．知识点2利用分组分解法因式分解3．【阅读材料】分解因式：mx＋nx＋my＋ny＝(mx＋nx）＋(my＋ny）＝x(m＋n）＋y(m＋n）＝(m＋n）(x＋y）．以上分解因式的方法称为分组分解法．对于四项多项式的分组，可以是“二、二分组(如此例）”，也可以是“三、一(或一、三）分组”．根据以上阅读材料解决问题：【跟着学】分解因式：a3－b3＋a2b－ab2＝(a3＋a2b）－(b3＋ab2）＝a2(a＋b）－b2(a＋b）＝(a2－b2）(a＋b）＝(a－b）(a＋b）2．【我也可以】分解因式：(1）4x2－2x－y2－y；解：原式＝(4x2－y2）－(2x＋y）＝(2x－y）(2x＋y）－(2x＋y）＝(2x＋y）(2x－y－1）．(2）a2＋b2－9＋2ab.解：原式＝a2＋2ab＋b2－9＝(a＋b）2－32＝(a＋b＋3）(a＋b－3）．4．若x2＋kx＋20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有(D）A．2个B．3个C．4个D．6个5．将下列多项式因式分解：(1）x3－7x2－30x；解：原式＝x(x2－7x－30）＝x(x＋3）(x－10）．(2）(2019·齐齐哈尔）a2＋1－2a＋4(a－1）；解：原式＝(a－1）2＋4(a－1）＝(a－1）(a－1＋4）＝(a－1）(a＋3）．(3）(m2＋2m）2－7(m2＋2m）－8；解：原式＝(m2＋2m－8）(m2＋2m＋1）＝(m＋4）(m－2）(m＋1）2.(4）(a－b）2＋3(a－b）(a＋b）－10(a＋b）2.解：原式＝[(a－b）－2(a＋b）][(a－b）＋5(a＋b）]＝(－a－3b）(6a＋4b）＝－2(a＋3b）(3a＋2b）．6．已知在△ABC中，三边长a，b，c满足a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，请判断△ABC 的形状并证明你的结论．解：△ABC是等边三角形．证明如下：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b）2＋(b－c）2＝0.∴(a－b）2＝0，(b－c）2＝0，得a＝b且b＝c，即a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形．【变式】变式点：变换条件若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的形状是直角三角形．。
4.3 公式法 (解析版)-八年级数学下
4.3公式法考点：因式分解公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a 2－b 2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a 2＋2ab＋b 2＝（a＋b）2a 2－2ab＋b 2＝（a－b）2题型一：判断是否能用公式法因式分解1．（2023秋·广东云浮·八年级统考期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．229x y -+B ．229x y +C ．2221x y -+D ．229x y --【答案】A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．【详解】解：A.229x y -+是x 与3y 的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.229x y +两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.2221x y -+是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.229x y --两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．2．（2023春·八年级课时练习）下列多项式，能用公式法分解因式的有（）个．①2233+x y ②22x y -+③22x y --④22x xy y ++⑤222x xy y +-⑥2244x xy y -+-A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式()()22a b a b a b +-=-进行判断即可．【详解】解：①2233+x y 不能用公式法分解因式，不符合题意；②()()22x y y x y x -+=+-，可以用平方差公式分解因式，符合题意；③()2222x y x y --=-+不能用公式法分解因式，不符合题意；④22x xy y ++不能用公式法分解因式，不符合题意；⑤222x xy y +-不能用公式法分解因式，不符合题意；⑥()()2222244442x xy y x xy y x y-+-=--+=--，可以用完全平方公式分解因式，符合题意；故选A ．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．3．（2022秋·山东威海·八年级统考期中）下列多项式：①2216x y -+，②()222812()a ab b a b -+-+，③222139m mn n -+，④22x y --能用公式法因式分解的有个（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据公式法因式分解的方法，逐一进行判断即可．【详解】解：()()221644x y x y x y -+=-++①，符合题意；()222812()a ab b a b -+-+②2281()()a b a b =--+()()()()99a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()45445a b a b =--，符合题意；22221393n m mn n m ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭③，符合题意；22x y --④，不能用公式法进行因式分解，不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查公式法因式分解．熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．题型二：运用平方差公式因式分解4．（2023春·广东深圳·八年级校考期中）一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（）A ．()()2211x x -+B ．()()2211x x +-C ．()()()2111x x x +-+D ．()()311x x -+【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式即可．【详解】解：()()()()()4222111111x x x x x x =-+--+=+，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握平方差公式，注意分解因式要分解到最后结果．5．（2022秋·全国·八年级专题练习）下列多项式中，在有理数范围内不能用平方差公式分解的是（）A ．22x y -+B ．224()a a b -+C ．228a b -D ．221x y -【答案】C【分析】利用平方差公式的结果特征判断即可，能用平方差因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．【详解】在有理数范围内不能用平方差公式分解的是228a b -，A 、2222()()()x y x y x y x y -+=--=-+-，B 、[][]224()2()2()(3)()a a b a a b a a b a b a b -+=++-+=+-，D 、22221()1(1)(1)x y xy xy xy -=-=+-，故选：C ．【点睛】本题考查了公式法分解因式，不仅要掌握平方差公式的特点，还要对有理数的范围把握好．6．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A ．22x y -B ．22x y -+C ．22x y --D ．2281x y -【答案】C【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，根据平方差公式分解因式的特点进行分析即可．【详解】A.22x y -能用平方差公式因式分解，故不符合题意；B.22x y -+能用平方差公式因式分解，故不符合题意；C.22x y --不能用平方差公式因式分解，故符合题意；D.2281x y -能用平方差公式因式分解，故不符合题意；故选择：C【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式分解因式的特点．题型三：运用完全平方公式因式分解7．（2023春·全国·八年级期中）下列各式：①269x x -+；②225101a a +-；③244x x --；④2144x x -+，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】能利用完全平方公式因式分解的整式需满足：整式是“两数平方和与这两个数积的2倍”．利用完全平方公式的结构特点逐个分析得结论．【详解】解：()22693x x x -+=-，故①能用完全平方公式因式分解；整式225101a a +-与244x x --不满足两数平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解；整式2144x x -+的中间项x 不是2x 与12积的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解．故选：C ．【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式的结构特点是解决本题的关键．8．（2023春·浙江·八年级阶段练习）已知23,23x y =-=+，则代数式2224x xy y x y +++--的值为（）A ．32B ．34C ．31-D ．512-【答案】C【分析】根据已知，得到232322,232323x y x y +=-++=-=---=-，整体思想带入求值即可．【详解】解：∵23,23x y =-=+，∴232322,232323x y x y +=-++=-=---=-，∴()()222244x xy y x y x y x y +++--=++--()222234=--8234=--423=-()23231=-+()231=-31=-．故选C ．【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键．9．（2023秋·山东威海·八年级统考期末）下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（）A ．214x x -+B ．22441a b ab -+C ．21025y y +-D ．22111934a ab b++【答案】C【分析】对每个选项进行因式分解即可做出判断．【详解】解：A ．221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故选项不符合题意；B ．()22244121a b ab ab -+=-，故选项不符合题意；C ．21025y y +-不能用完全平方公式分解，故选项符合题意；D ．2221911321134a b a ab b ⎛⎫=+ ⎝+⎪⎭+，故选项不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．题型四：综合运行公式法因式分解10．（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）下列因式分解正确的是（）A ．26(2)(3)x x x -=-+B ．2221(1)--=-x x xC ．222()x y x y -=-D ．2244(2)x x x ++=+【答案】D【分析】根据公式法分别判断即可．【详解】A ．26(6)(6)x x x -=-+，故原选项错误；B ．22)221(1)(12)(12x x x x x -=--=--+--，故原选项错误；C ．22()()x y x y x y -=+-，故原选项错误；D ．2244(2)x x x ++=+，故原选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．11．（2023秋·湖北荆门·八年级统考期末）因式分解(1)()222224x y x y +-(2)22369xy x y y --【答案】(1)()()22x y x y +-(2)()23y x y --【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解；（2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()222224x y x y +-()()222222x y xy xy xy=+++-()()22x y x y =+-（2）解：22369xy x y y --()2296y x xy y =--+()23y x y =--【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．12．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）分解因式：(1)()69x x -+；(2)()()2xx y y x -+-；(3)()22214x x +-．【答案】(1)()23x -(2)()()()11x y x x -+-(3)()()2211x x -+【分析】（1）先计算整式的乘法，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提取公因式x y -，再利用平方差公式分解因式即可；（3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：()69x x -+269x x =-+()23x =-；（2）()()2xx y y x -+-()()2x x y x y =---()()21x y x =--()()()11x y x x =-+-；（3）()22214x x +-()()221212x x x x =+++-()()2211x x =+-．【点睛】本题考查的是因式分解，掌握“利用提取公因式与利用公式法分解因式”是解本题的关键．题型五：因式分解在有理数简算的应用13．（2023秋·河北邢台·八年级统考期末）计算22222111111111123456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为（）．A ．512B ．12C ．712D ．1130【答案】C【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式111111111111111111112233445566⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13243546572233445566=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，1726=⨯，712=，故选：C ．【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键．14．（2022秋·八年级单元测试）利用因式分解简便计算(1)22124252576⨯-⨯(2)2382438144+⨯+【答案】(1)240000(2)2500【分析】（1）先提取公因数25，然后利用平方差公式进行计算即可；（2）根据完全平方公式进行求解即可．【详解】（1）解：22124252576⨯-⨯()222512476=⨯-()()251247612476=⨯+⨯-2520048=⨯⨯500048=⨯240000=；（2）解：2382438144+⨯+22382123812=+⨯⨯+()23812=+250=2500=．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键．15．（2022秋·重庆合川·八年级校考期末）（1）先化简，再求值：()()()22a b a b a b +-++，其中1a =，2b =-；（2）已知()249x y -=，6xy =-，求32232x y x y xy ++的值．【答案】254a ab +，3-；150-【分析】（1）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再进行同类项的合并，最后代入1a =，2b =-计算即可；（2）先提取公因式，再根据完全平方公式将原式进行因式分解，将原式转换为()24xy x y xy ⎡⎤-+⎣⎦，再将()249x y -=，6xy =-代入计算即可．【详解】解：（1）()()()22a b a b a b +-++=222244a b a ab b -+++=254a ab +，当12a b ==-，时，原式=()542+⨯-=58-=3-；（2）32232x y x y xy ++=()222xy x xy y ++ =()2224xy x xy y xy -++ =()24xy x y xy ⎡⎤-+⎣⎦=()(6)4924-⨯-=150-．一、单选题16．（2023春·全国·八年级专题练习）下列各式不能运用公式法进行因式分解的是（）A ．22a b -+B ．221625m n -C ．2292016p pq q -+D ．()214a b a b ++++【答案】C【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解，逐项分析即可．【详解】因为2222()()a b b a b a b a -+=-=+-，能因式分解，所以A 不符合题意；因为221625(45)(45)m n m n m n -=+-，能因式分解，所以B 不符合题意；因为2292016p pq q -+不能因式分解，所以C 不符合题意；因为222111()()()()442a b a b a b a b a b ++++=++++=++，能因式分解，所以D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了公式法因式分解，掌握公式法因式分解的方法是解题的关键．17．（2023秋·山东淄博·八年级统考期末）下列因式分解：①()322412412m m m m -+=--；②()()()421111x x x x -=++-；③()()224a b ab a b -+=+；④()23222a a b ab a a b -+=-，其中结果正确的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【分析】根据因式分解逐项分析判断即可求解．【详解】解：①()32241243m m m m -+=--，故①不正确；②()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-，故②正确；③()()222242a b ab a ab b a b -+=++=+，故③正确；④()()23222222a a b ab a a ab b a a b -+=-+=-，故④正确,∴正确的有3个，故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．18．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）下列因式分解正确的是（）A ．2222444(4)4(2)(2)x y x y x y x -+=--=-+-B ．323123(4)a a a a -=-C ．4222241274(3)7x y x y x y x y -+=-+D ．2425(25)(25)a a a -=+-【答案】D【分析】利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断即可解答．【详解】解：A 、2222444()4()()x y x y x y x y -+=--=-+-，故本选项不符合题意；B 、323123(4)3(2)(2)a a a a a a -=-=+-，故本选项不符合题意；C 、4222241274(3)7x y x y x y x y -+=-+，不是因式分解，故本选项不符合题意；D 、2425(25)(25)a a a -=+-，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了提公因式法与公因式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．19．（2023秋·福建福州·八年级福州三牧中学校考期末）已知a b c 、、是ABC 的三边，且满足()222220a b c b a c ++-+=，则此三角形的形状一定是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．直角三角形或等腰三角形D ．以上都不对【答案】B【分析】将原式整理为完全平方式，然后根据平方式的非负性即可得出答案．【详解】解：∵()222220a b c b a c ++-+=，∴2222220a b b ab bc c -+++-=，即22()()0a b b c -+-=，∴0a b -=，0b c -=，∴a b c ==，∴此三角形的形状一定是等边三角形，故选：B ．【点睛】本题考查了完全平方公式及其非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解本题的关键．20．（2023春·全国·八年级专题练习）分解因式(1)211025t t ++；(2)21449m m -+；(3)214y y ++；(4)()()2244m n m m n m +-++；(5)2258064a a -+；(6)()()222a a b c b c ++++．【答案】(1)()215t +(2)()27m -(3)212y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(4)()2n m -(5)()258a -(6)()2a b c ++【分析】利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：()221102515t t t ++=+；（2）解：()2214497m m m -+=-；（3）解：221142y y y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭；（4）解：()()()()2222442m n m m n m m n m n m +-++=+-=-；（5）解：()2225806458a a a -+=-；（6）解：()()()2222a a b c b c a b c ++++=++．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．21．（2023秋·安徽阜阳·八年级统考期末）发现与探索．(1)根据小明的解答将21220a a -+因式分解；(2)根据小丽的思考，求代数式21220a a -+的最小值．【答案】(1)()()102a a --(2)16-【分析】（1）将21220a a -+改写为212363620a a -+-+，再根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；（2）根据题意，将21220a a -+化为()2616a --，即可进行解答．【详解】（1）解：21220a a -+212363620a a =-+-+()2264a =--()()102a a =--；（2）解：21220a a -+212363620a a =-+-+()2616a =--，无论a 取何值()26a -都大于等于0，再加上16-，则代数式()2616a --大于等于16-，则21220a a -+的最小值为16-．【点睛】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，解题的关键是掌握()2222a b a ab b ±=±+，()()22a b a b a b -=+-．一、单选题22．（2023春·山东济南·八年级统考期末）下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是（）A ．244x x -+B ．21x x ++C ．2441x x +-D ．221x x +-【答案】A【分析】利用完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±，进而判断得出答案．【详解】解：A 、()22442x x x -+=-，能用完全平方公式进行因式分解；B 、21x x ++，不能用完全平方公式进行因式分解；C 、2441x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解；D 、221x x +-，不能用完全平方公式进行因式分解；故选：A ．【点睛】本题考查用完全平方公式进行因式分解，解题的关键是熟练运用完全平方公式．23．（2023秋·四川乐山·八年级统考期末）已知a 、b 、c 是ABC 三条边的长，且满足条件()222220a b c b a c ++-+=，则ABC 的形状是（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到a b c ==，从而得到答案．【详解】解：∵()222220a b c b a c ++-+=，∴2222220a b c ab bc ++--=，∴()()2222220a ab b b bc c -++-+=，∴()()220a b b c -+-=，∵()()2200a b b c -≥-≥，，∴()()2200a b b c -=-=，，∴00a b b c -=-=，，∴a b c ==，∴ABC 是等边三角形，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．24．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：1x -，a b -，3，21x +，a ，1x +分别对应六个字：南，爱，我，数，学，河，现将()()223131a x b x ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱数学B ．爱河南C ．河南数学D ．我爱河南【答案】D【分析】先把代数式分解因式，再对照密码手册求解．【详解】解：()()()()()223131311a x b x x x a b ---=+--，所以，结果呈现的密码信息可能是：我爱河南故选：D ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，分解因式是解题的关键．25．（2023秋·重庆永川·八年级统考期末）下列分解因式正确的是（）A ．()231x x x x -=-B ．()()22x y x y x y +=+-C ．()()22x y x y x y -=--+－D ．2244121)x x x -+=-（【答案】D【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．【详解】解：A 、应为()()()32111x x x x x x x -=-=+-，故选项错误，不符合题意；B 、22xy +不能分解，故选项错误，不符合题意；C 、22x y --不能分解，故选项错误，不符合题意；D 、()2244121x x x -+=-，故选项正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．26．（2023秋·福建泉州·八年级统考期末）已知120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，那么，代数式222a b c ab bc ac ++---的值是（）A ．2022-B ．2022C ．3-D ．3【答案】D【分析】先求解1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，再把原式化为()()()22212a b b c a c ⎡⎤-+-+-⎣⎦，再代入求值即可．【详解】解：∵120212022a x =-+，120222022b x =-+，120232022c x =-+，∴1a b -=-，1b c -=-，2a c -=-，∴222a b c ab bc ac++---()=++---22212222222a b c ab bc ac ()()()22212a b b c a c =-+-+-⎡⎤⎣⎦()11142=++3=；故选D ．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“完全平方公式的应用”是解本题的关键．27．（2023秋·河北廊坊·八年级统考期末）小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a b -，3x -，3x +，a b +，29x -，22a b -分别对应下列六个字：河，爱，我，香，游，美，现将()()222299x a x b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A ．我爱美B ．香河游C ．我爱香河D ．美我香河【答案】C【分析】将所给的多项式因式分解，然后与已知的密码相对应得出文字信息．【详解】解：∵()()222299x a x b---()()2229x a b =--()()()()33x x a b a b =+-+-又∵a b -，3x -，3x +，a b +，分别对应下列四个个字：河，爱，我，香，∴结果呈现的密码信息是：我爱香河．故选：C ．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用．解题的关键是将多项式因式分解，注意因式分解要分解到每一个因式都不能再分解为止．28．（2023秋·广东韶关·八年级统考期末）若+=3,+=1a b x y ，则代数式22+2++2 015a ab b x y －－的值是（）A ．2019B ．2017C ．2024D ．2023【答案】D【分析】把所给代数式变形后把+=3,+=1a b x y 代入计算即可．【详解】解：∵+=3,+=1a b x y ，∴22+2++2 015a ab b x y －－()()2+2 015a b x y =+-+231+2 015=-2023=．故选D ．【点睛】此题考查了因式分解的应用，代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，也可以运用整体代入的思想，本题就利用了整体代入进行计算．29．（2022秋·八年级单元测试）已知1x y +=，则2212x y 1xy+2+的值是（）A ．12B ．1C ．2-D ．2【答案】A【分析】首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，然后将1x y +=代入计算即可．【详解】解：∵1x y +=，∴2212x y 1xy+2+()2212x xy y =+2+()212x y =+2112=⨯12=，故选A ．【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，代数式的求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．二、填空题30．（2023春·全国·八年级期中）在实数范围内分解因式：28a b b -=______【答案】()()2222b a a +-【分析】首先提取公因式b ，再利用平方差公式分解即可求得答案．【详解】解：原式()28b a =-()()2222b a a =+-．故答案为：()()2222b a a +-．【点睛】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握因式分解的步骤是关键．31．（2023春·全国·八年级期中）Rt ABC △的面积为5，斜边长为6，两直角边长分别为a ，b ，则代数式33a b ab +的值为___________．【答案】360【分析】根据两直角边乘积的一半表示出Rt ABC △的面积，把已知面积代入求出ab 的值，利用勾股定理得到2226a b +=，将代数式33a b ab +变形，把22a b +与ab 的值代入计算即可求出值．【详解】解：∵Rt ABC △的面积为5，∴152ab =，解得10ab =，根据勾股定理得：222636a b +==，则代数式332210363()60a b ab ab a b +=+=⨯=．故答案为：360．【点睛】此题考查了勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．32．（2023春·河北保定·八年级统考阶段练习）已知()222x =+，642y =-．（1）x 的值为______；22x y -的值为______；（2）若22160x nxy y ++=，则n 的值为______．【答案】642+##426+9626【分析】（1）利用完全平方公式求x 的值；利用平方差公式法因式分解求解即可；（2）利用完全平方公式和提公因式法因式分解，将等式分组因式分解成含有x y +、xy 的等式，将x y +、xy 的值代入等式即可求出n 的值．【详解】（1）解：()222x =+()222222+2=+⨯⨯=2+42+4=6+42；()()22=-+-x y x y x y ()()642642642642=++-+-+1282962=⨯=；故答案为：642+；962；（2）22160x nxy y ++= ，2222160x xy y xy nxy ∴++-+=，()()22160x y n xy ++-=，64264212x y +=++-= ，()()642642xy ∴=+-()22642=-3632=-4=；()()22160x y n xy ∴++-=，()21224160n +-⋅=，()2416014416n -⋅=-=，21644n ∴-=÷=，解得6n =，故答案为：6．【点睛】本题考查二次根式的运算、完全平方公式与平方差公式，由于直接代入计算复杂容易出错，因此可以考虑整体代入是解题的关键．33．（2022秋·山东济宁·八年级统考期末）若3x y +=，5xy =，则22x y xy +的值为______．【答案】15【分析】先提取公因式分解因式，在把3x y +=，5xy =，代入原式计算即可．【详解】解：22x y xy + ()xy x y =+，把3x y +=，5xy =，代入，原式5315=⨯=，故答案为：15．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握取公因式分解因式的方法是解题关键．34．（2023秋·山东烟台·八年级统考期末）已知7,2ab a b =+=，则多项式222008a b ab ++的值为_______．【答案】2022【分析】将多项式中含有字母的式子因式分解，然后整体代入可得结果．【详解】解：()2220082008a ab a b b ab =++++，∵7,2ab a b =+=，∴原式7220081420082022=⨯+=+=．故答案为：2022．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是利用整体代入思想解决问题．35．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）若2463,5,7555m x n x k x =+=+=-，则代数式222222m n k mn mk nk +++--的值为___________．【答案】225【分析】根据完全平方公式因式分解进而即可求解．【详解】解：∵2463,5,7555m x n x k x =+=+=-∴24635715555m n k x x x +-=+++-+=∴222222m n k mn mk nk +++--()2m n k =+-215225==，故答案为：225．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++是解题的关键．三、解答题36．（2023春·广东深圳·八年级期中）分解因式：(1)321025a a a ++；(2)()()224a b a b --+．【答案】(1)()25a a +(2)()()33a b a b --【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可；（2）利用平方差法进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式()21025a a a =++()25a a =+；（2）解：原式()()()()22a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=-++--+⎣⎦⎣⎦()()2222a b a b a b a b =-++---()()33a b a b =--．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握提公因式和公式法分解因式是解题的关键．37．（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）因式分解：(1)()()2222221x x x x -+-+(2)()()22x m n y n m -+-；【答案】(1)4(1)x -(2)()()()m n x y x y -+-【分析】（1）把22x x -看作整体，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式即可；（2）先提取公因式()m n -，再利用平方差公式分解即可．【详解】（1）()()2222221x x x x -+-+()2221x x =-+22(1)x ⎡⎤=-⎣⎦()41x =-（2）()()22x m n y n m -+-()()22m n x y =--()()()m n x y x y =-+-【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．38．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）把一个多项式写成两数和（或差）的平方的形式叫做配方法．阅读下列有配方法分解因式的过程：222210925559a a a a ++=+⨯+-+()2254a =+-()()5454a a =+++-()()91a a =++仿照上面方法，将下式因式分解2627x x --；（2）读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：()()2111x x x x x +++++()()111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦()()211x x =++()31x =+①上述分解因式的方法是，共应用了次．②若分解()()()220041111x x x x x x x ++++++⋯++，则需应用上述方法次，结果是．③分解因式：()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++(n 为正整数)．【答案】（1）()()39x x +-；（2）①提取公因式，3；②2005，()20051x +；③()11n x ++【分析】（1）仿照材料中的方法，利用配方法、平方差公式进行因式分解；（2）观察可知，材料中采用了提取公因式法分解因式，()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++经过()1n +次提取公因式，可得()11n x ++．【详解】解：（1）2222627233327x x x x --=-⨯+--()2236x =--()()3636x x =-+--()()39x x =+-；（2）①上述分解因式的方法是提取公因式，共应用了3次；故答案为：提取公因式，3；②若分解()()()220041111x x x x x x x ++++++⋯++，则需应用上述方法2005次，结果是()20051x +，故答案为：2005，()20051x +；③由题意知：()()()21111nx x x x x x x ++++++⋯++()()()11111n x x x x x x -⎡⎤=+++++⋯++⎣⎦()()()221111n x x x x x x -⎡⎤=+++++⋯++⎣⎦()()11n x x =++()11n x +=+．【点睛】本题主要考查分解因式，解题的关键是看懂材料，能够仿照材料中的方法求解．39．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）已知对于任意实数x 代数式2x 的最小值是0，代数式2(3)x -，当3x =时的最小值是0．(1)求代数式21236x x ++的值是最小值时x 的值．(2)判断代数式2123x x -+-的值是有最大值，还是最小值，并求出代数式2123x x -+-的最大值或者最小值【答案】(1)6x =-(2)有最大值，最大值为7136-【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，得出()26x +，即可求解；（2）根据完全平方公式因式分解，进而得出2171636x ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，根据2106x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，即可求解．【详解】（1）解：∵21236x x ++()26x =+∴6x =-时，最小值为0；（2）解：∵2123x x -+-2112636x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭2171636x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∵2106x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭∴2123x x -+-7136≤-，有最大值，最大值为7136-【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，根据题意凑出平方项是解题的关键．40．（2023秋·陕西西安·八年级统考期末）请阅读下列材料：我们可以通过以下方法，求代数式223x x +-的最小值．22222232113(1)4x x x x x +-=++--=+-，∵2(1)0x +≥，∴当=1x -时，223x x +-有最小值4-．请根据上述方法，解答下列问题：(1)22222610233310()x x x x x a b ++=+⨯+-+=++，则=a ________，b =___________；(2)求证：无论x 取何值，代数式2235x x ++的值都是正数；(3)若代数式227x kx -+的最小值为3，求k 的值．【答案】(1)3，1(2)见解析(3)2k =或2-．【分析】（1）将2610x x ++配方，然后与22610()x x x a b ++=++比较，可得a 与b 的值，则问题得解；（2）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；（3）二次项系数为1的二次三项式配方时，常数项为一次项系数一半的平方，故先将代数式配方，然后根据代数式227x kx -+的最小值为3，可得关于k 的方程，求解即可．【详解】（1）2610x x ++222233310x x =+⨯+-+=2(3)1x ++∴22(3)1=()x a bx ++++∴3,1a b ==故答案为：3，1（2）证明：2235x x ++22223(3)(3)5x x =+⨯+-+2(3)2x =++，∵2(3)0x +≥∴22350x x ++>∴无论x 取何值，代数式2235x x ++的值都是正数；（3）2222222727()7x kx x kx k k x k k -+=-+-+=--+，∵2()0x k -≥，∴227x kx -+的最小值为27k -+，又∵代数式227x kx -+的最小值为3，∴273k -+=，解得2k =或2-．。
2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.3第1课时用平方差公式分解因式练习新版浙教版
4.3 用乘法公式分解因式第1课时用平方差公式分解因式知识点1平方差公式分解因式把乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来，得a2－b2＝(a＋b)(a－b)．两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式，这种方法叫运用平方差公式法．1．把下列多项式分解因式：(1)x2－36；(2)36－25y2；(3)(x＋p)2－(x＋q)2.一提公因式与平方差公式综合运用把下列各式分解因式：(1)18a2－8b2；(2)a5－81ab4.[归纳总结] (1)用平方差公式分解因式的条件：①二次(能写成平方的形式)；②异号．(2)对于多项式中的两部分不是很明显的平方形式，应先变形为平方形式，再运用公式进行因式分解，以免出现16a2－9b2＝(16a＋9b)·(16a－9b)的错误．(3)还要注意不要出现分解后又乘开的现象．(4)因式分解应遵循：一提二公式．同时因式分解需彻底．二尝试用平方差公式进行简便运算教材作业题第3题变式题用简便方法计算：(1)3142－2142；(2)3.14×752－3.14×252.探究三平方差公式分解因式的应用教材补充题如图4－3－1所示，在半径为R的大圆内部挖去四个半径为r的小圆．(1)用含R，r的式子表示剩余部分的面积S；(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，应用分解因式的知识计算剩余部分的面积(结果保留π)．图4－3－1[反思] 判断下列分解因式的过程是否正确，若不正确，请改正．①4a2－1＝(4a－1)(4a＋1)；②(x－y)2－4x2＝x2－2xy＋y2－4x2＝－3x2－2xy＋y2.1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( )A．－m4－n4B．－16x2＋y2C．1.21－a2D．9a2－64b22．将整式9－x2分解因式的结果是( )A．(3－x)2B．(3＋x)(3－x)C．(9－x)2D．(9＋x)(9－x)3．将多项式x3－xy2分解因式，结果正确的是( )A．x(x2－y2) B．x(x－y)2C．x(x＋y)2D．x(x＋y)(x－y)4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解因式的结果，则这个多项式是( )A．4a2－b2B．4a2＋b2C．－4a2－b2D．－4a2＋b25．观察下面4个分解因式的过程：(1)(x－3)2－y2＝x2－6x＋9－y2；(2)a2－4b2＝(a＋4b)(a－4b)；(3)4x6－1＝(2x3＋1)(2x3－1)；(4)m4n2－9＝(m2n＋3)(m2n－3)；(5)－a2－b2＝(－a＋b)(－a－b)．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．某同学粗心大意，在分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是( )A．8，1 B．16，2C．24，3 D．64，8二、填空题7．xx·嘉兴、舟山分解因式：a2－9＝__________．8．xx·长沙分解因式：x2y－4y＝________．9．xx·荆门分解因式：(m＋1)(m－9)＋8m＝________．10．xx·株洲因式分解：x2(x－2)－16(x－2)＝____________________．11．已知58－1能被20～30之间的两个整数整除，则这两个整数是________．三、解答题12．分解因式：(1)a3－16a；(2)16(a＋b)2－9(a－b)2；(3)m4(m－2)＋16(2－m)．13.用简便方法计算：(1)6.42－3.62；(2)1.42×16－2.22×4.14．设n是整数，用因式分解的方法说明：(2n＋1)2－25能被4整除．n(m>2n)的小正方形．(1)用含m，n的式子表示剩余部分的面积S；(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，利用分解因式计算剩余部分的面积．图4－3－2详解详析【预习效果检测】1．解：(1)x2－36＝x2－62＝(x＋6)(x－6)．(2)36－25y2＝62－(5y)2＝(6＋5y)(6－5y)．(3)(x＋p)2－(x＋q)2＝[(x＋p)＋(x＋q)][(x＋p)－(x＋q)]＝(2x＋p＋q)(p－q)．【重难互动探究】例1[解析] 分解因式时，要先观察多项式，有公因式的要先提取公因式再考虑是否符合公式．解：(1)18a2－8b2＝2(9a2－4b2)＝2(3a＋2b)(3a－2b)．(2)a5－81ab4＝a(a4－81b4)＝a(a2＋9b2)(a2－9b2)＝a(a2＋9b2)(a＋3b)(a－3b)．例2解：(1)原式＝(314＋214)×(314－214)＝52800.(2)原式＝3.14×(752－252)＝3.14×(75＋25)×(75－25)＝15700.例3[解析] 剩余部分的面积为大圆面积减去四个小圆的面积．解：(1)剩余部分的面积为S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)．(2)当R＝35 cm，r＝12.5 cm时，S＝π(R＋2r)(R－2r)＝π(35＋2×12.5)×(35－2×12.5)＝π·60×10＝600π(cm2)．【课堂总结反思】[反思] 两个均不正确．改正：①4a2－1＝(2a)2－12＝(2a－1)(2a＋1)．②(x－y)2－4x2＝(x－y)2－(2x)2＝(x－y－2x)·(x－y＋2x)＝－(x＋y)(3x－y)．【作业高效训练】[课堂达标]1．A 2.B3．[解析] D x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x＋y)(x－y)．4．D 5.B 6.B7．[答案] (a＋3)(a－3)8．[答案] y(x＋2)(x－2)9．[答案] (m－3)(m＋3)10．[答案] (x－2)(x－4)(x＋4)11．[答案] 26，24[解析] 58－1＝(54＋1)(52＋1)(52－1)，因为52＋1＝26，52－1＝24，所以这两个数是26，24. 12．解：(1)原式＝a(a＋4)(a－4)．(2)原式＝(7a＋b)(a＋7b)．(3)原式＝m4(m－2)－16(m－2)＝(m－2)(m4－16)＝(m－2)(m2＋4)(m2－4)＝(m－2)(m2＋4)(m＋2)(m－2)＝(m－2)2(m＋2)(m2＋4)．13．[解析] 利用平方差公式简化计算过程．解：(1)6.42－3.62＝(6.4＋3.6)(6.4－3.6)＝10×2.8＝28.(2)1.42×16－2.22×4＝(1.4×4)2－(2.2×2)2＝5.62－4.42＝(5.6＋4.4)(5.6－4.4)＝10×1.2＝12.14．解：原式＝(2n＋1)2－52＝(2n＋1＋5)(2n＋1－5)＝(2n＋6)(2n－4)＝4(n＋3)(n－2)，即(2n＋1)2－25能被4整除．[数学活动][解析] 剩余部分的面积为大正方形的面积减去四个小正方形的面积．解：(1)S＝m2－4n2＝(m＋2n)(m－2n)．(2)当m＝13.2厘米，n＝3.4厘米时，S＝(m＋2n)(m－2n)＝(13.2＋3.4×2)(13.2－3.4×2)＝20×6.4＝128(厘米2)．所以剩余部分的面积为128平方厘米．。
第四章因式分解4.3 公式法1
2 （ x 5 ） ( x 5 ) 5 x 25 （2） =______________
2
(3 xy ))( ( 3 x 3 x y ) 9x y （3） =______________
2 2
2
问题探究： 这组因式分解的式子，左边有什么共 同特征？右边有什么共同特征？你能用 语言描述一下吗？
.
(2)完全平方公 2 2 2= a 2 a b b ( a ± b ) . 式
回顾 & 思考 ☞ 口算 1）( x 5)( x 5) _______ x 25
2
9x y 2） (3x y)(3x y) ______
2
2
3)
(1 3a)(1 3a)
（1）公式中的a , b可以是单 项式，也可以是多项式。 （2）分解因式时，每个因式 都要分解彻底（即分解到不 能再分解为止）
=(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n)
把下列各式分解因式： (1)a2b2-m2 =(ab+m)(ab-m) (2)(m-a)2-(n+b)2 =(m-a+n+b)(m-a-n-b)
1 2 2 （2）9 a－b 4 1
解：原式=(3a) 2-(
1 1 =(3a+ 2 )
例2、把下列各式分解因式：
2 2 解:原式=[3(m+n)] -(m-n)
(1)
2 2 9(m+n) -(m-n)
=[3(m+n)+(m-n)] [3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
数学八年级下册《 公式法》省优质课一等奖教案
《因式分解》教学设计4.3公式法（一）一、教材依据北师大版八年级数学下册第四章因式分解3.公式法（一）平方差公式二、设计思路1、从教材的地位与作用看：（1）本节课的主要内容是运用平方差公式进行因式分解。
（2）它是在学生学习了整式乘法和乘法公式以及实数的基础上，学习了提取公因式法分解因式的基础上，运用逆向思维把平方差公式逆过来，应用到特殊两项式的因式分解上。
（3）是对因式分解中出现的特殊两项式的归纳总结。
从一般到特殊的认识过程的范例。
（4）它在应用过程中的几种特殊形式是培养学生探索、合作、观察、分析和创新能力，以及深化逆向思维能力，数学应用意识和整体思想的很好载体。
2、从学生学习过程的角度看（1）学生七年级下半年学习了整式乘法和乘法公式，八年级上学期学习了实数。
具备了学习用平方差公式进行特殊两项式的因式分解的知识结构。
（2）由于学生初次学习用公式法因式分解，认清公式的结构和符号特征是难点，因此不宜延伸拔高太大（比如：公式中的字母a、b为复杂三项式、多次幂、以及无理数等），以防干扰学生的正常思维，造成对平方差公式因式分解的错误认识。
不能急于求成一步到位，指望把所有问题都在这一节课里解决。
要遵循循序渐进的原则，拔高内容可以作为有余力学生的研究题目。
（3）学生本课学习过程中出现的错误，迸发出的思维火花，情感等都是本节课较好的教学资源。
3、从学法和教法的角度看（1）本节课的教学方法涉及思路是要改变长期以来主宰课堂的“以教师讲为中心”的教法为“以学生的学为中心”的教学法，主要体现以学生自主、合作、探究为主的教学思想。
让学生真正成为课堂的主人。
（2）把竞争机制引入课堂，调动学生学习的积极性。
以小组为单位回答问题，做题都累计加分，开展竞赛活动，调动学生的积极性。
（3）让学生在亲自体验知识的发生发展过程中去学习知识。
掌握知识、从而达到不仅知其然还要知其所以然。
避免学生死记硬背套公式，一问“为什么这样做？”便不知所措。
北师版八年级下册数学第4章 因式分解 平方差公式(2)
15．【中考·大庆】已知x2－y2＝12，x＋y＝3，求2x2－2xy的值．
解：∵x2－y2＝12， ∴(x＋y)(x－y)＝12. ∵x＋y＝3①， ∴x－y＝4②. 由①＋②，得2x＝7.∴2x2－2xy＝2x(x－y)＝7×4＝28.
北师版八年级下
第四章 因式分解
3 公式法 第1课时 平方差公式
提示：点击 进入习题
1 (a＋b)(a－b)；和；差 2C 3A 4A 5 见习题
6A
答案显示
7C 8D
9 a(b＋1)(b－1)
(x＋2y)(x－2y)；(2a＋3)(2a 10 －3)
11 －4 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
(3)3a2－48; 解：原式＝3(a2－16)＝3(a＋4)(a－4)；
(4)2a2(n－m)＋8(m－n)． 原式＝2a2(n－m)－8(n－m)＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－m)(a＋2)(a －2)．
13．计算：
(1)25×1012－992×25；
解：原式＝25×(1012－992) ＝25×(101＋99)×(101－99) ＝25×200×2 ＝10000；
8．因式分解的结果是(x＋y－z)(x－y＋z)的多项式是( )
D
A．x2－(y＋z)2
B．(x－y)2－z2
C．－(x－y)2＋z2
D．x2－(y－z)2
9．【2020·安徽】分解因式：ab2－a＝_____________a_(.b＋1)(b－1)
10．【2021·江西】因式分解：x2－4y2＝______________(x_＋. 2y)(x－2y) 【2021·乐山】因式分解：4a2－9＝________________.
八年级数学北师大版初二下册--第四单元 4.3《公式法--第三课时：分组分解法及分解因式的方法》课件
知1－讲
例2 分解因式：－x2－2xy＋1－y2.
导引：按分组分解法，第一、二、四项提出负号后符 合完全平方式，再与“1”又组成平方差公式.
ìïïíïïî
4x－4 y＝96， x2－y2＝960，
但直接解方程组很烦琐，可利用平方差公式分解
因式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)，再利用整体思想求
出x＋y的值，从而转化为二元一次方程组求解．
知2－讲
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，
由题意得
ìïïíïïî
4x－4 y＝96，① x 2－y2＝960，②
知1－练
3 将多项式a2－9b2＋2a－6b分解因式为( D ) A．(a＋2)(3b＋2)(a－3b) B．(a－9b)(a＋9b) C．(a－9b)(a＋9b＋2) D．(a－3b)(a＋3b＋2)
知1－练
4 分解因式x2－2xy＋y2＋x－y的结果是( A ) A．(x－y)(x－y＋1) B．(x－y)(x－y－1) C．(x＋y)(x－y＋1) D．(x＋y)(x－y－1)
知1－练
5 分解因式： (1) ac＋ad＋bc＋bd＝__(_a_＋__b_)_(c_＋__d_)__； (2) x2－xy＋xz－yz＝___(_x_－__y_)(_x_＋__z_)_．
6 分解因式： a2－4ab＋4b2－1＝_(_a_－__2_b_＋__1_)_(a_－__2_b_－___1_) ．
2.分解技巧：分组分解是因式分解的一种复杂的方法， 让我们来须有预见性. 能预见到下一步能继续分解. 而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特 点，恰当的分组是分组分解法的关键 .
北师版八年级数学下册教学课件(BS) 第四章 因式分解 第1课时 平方差公式
,
y
3. 2
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问 题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题： (1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400； (2)原式＝4(53.52－46.52) =4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7=2800.
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
x＋y＝1①， ∴x－y＝－2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x
1 2
(x a p)2 (x b q)2
(x p) (x q) (x p) (x q)
(2x p q)( p q).
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只
要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因 式分解.
针对训练 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
8. (1)992-1能否被100整除吗？
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？ 解：(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
∴992-1能否被100整除. (2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4) =2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2). ∵n为整数 ∴(2n+1)2-25能被4整除.
初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解3.公式法-章节测试习题(3)
章节测试题1.【答题】把x2y－y分解因式，正确的是（）A. y（x2－1）B. y（x+1）C. y（x－1）D. y（x+1）（x－1）【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：原式选D.2.【答题】已知a-b=3，则的值是（）A. 4B. 6C. 9D. 12【答案】C【分析】先分解因式，再代入求值即可.【解答】∵a-b=3，∴=(a+b)(a-b)-6b=(a+b)(a-b)-6b=3(a+b) -6b=3a+3b-6b=3(a-b)=3×3=9.选C.3.【答题】下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（）A. -x2-2x-1B. x2-2x-1C. x2+xy+y2D. x2+4【答案】A【分析】能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项，其中两个平方项的符号必须相同，第三项为两平方项底数乘积的2倍．【解答】解：A、－x2－2x－1＝－(x2＋2x＋1)＝－(x＋1)2，能用完全平方公式分解因式，故此选项正确；B、x2－2x－1不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误；C、x2＋xy＋y2不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误；D、x2＋4不符合能用完全平方公式分解因式的式子的特点，故此选项错误．选A.4.【答题】下列多项式中，在有理数范围内能够分解因式的是（）A. ﹣5B. +5x+3C. 0.25﹣16D. +9【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：0.25x2－16y2＝(0.5x)2－(4y)2＝(0.5x＋4y)( 0.5x－4y)，所以在有理数范围内能够分解因式的是C，选C.5.【答题】把多项式x3-2x2+x分解因式结果正确的是（）A. x（x2-2x）B. x2（x-2）C. x（x+1）（x-1）D. x（x-1）2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2选D.6.【答题】下列分解因式正确的是（）A. x3﹣x=x（x2﹣1）B. x2+y2=（x+y）（x﹣y）C. （a+4）（a﹣4）=a2﹣16D. m2+m+=（m+）2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：A、x3﹣x＝x(x＋1)(x－1)，故此选项错误；B、x2＋y2不能够进行因式分解，故错选项错误；C、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项错误；D、正确．选D.7.【答题】把代数式x3﹣4x2+4x分解因式，结果正确的是（）A. x（x2﹣4x+4）B. x（x﹣4）2C. x（x+2）（x﹣2）D. x（x﹣2）2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】原式=x（x2﹣4x+4）=x（x﹣2）2，选D.8.【答题】下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A. 16x2＋1B. x2＋2x－1C. a2＋2ab＋4b2D. x2－x＋【答案】D【分析】根据完全平方公式因式分解.【解答】解： A. 16x2＋1只有两项，不能用完全平方公式分解；B. x2＋2x-1，不能用完全平方公式分解；C. a2＋2ab＋4b2，不能用完全平方公式分解；D. x2－x＋=，能用完全平方公式分解．选D.9.【答题】分解因式结果正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解：选D.10.【答题】把代数式3x3-12x2+12x分解因式,结果正确的是（）A. 3x(x2-4x+4)B. 3x(x-4)2C. 3x(x+2)(x-2)D. 3x(x-2)2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】3x3-12x2+12x=3x(x2-4x+4)=3x(x-2)2选D.11.【答题】2 0152-2 015一定能被（）整除A. 2 010B. 2 012C. 2 013D. 2 014【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】解析：2 0152-2 015=2 015×（2 015-1）=2 015×2 014，所以一定能被2 014整除.选D.12.【答题】下列因式分解正确的是（）．A.B.C.D.【答案】C【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】A选项中，因为，所以本选项分解错误；B选项中，因为，所以本选项错误；C选项中，因为，所以本选项正确；D选项中，因为，所以本选项错误；选C.13.【答题】把2x-4x分解因式，结果正确的是（）A. (x+2)(x-2)B. 2x(x-2)C. 2(x-2x)D. x(2x-4)【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】2x2-4x=2(x2-2x)=2x(x-2).选B.14.【答题】计算：2-(-2) 的结果是（）A. 2B. 3×2C. -2D. ()【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】22014-(-2)2015=22014+22015=22014(1+2)=3×22014.选B.15.【答题】下列多项式① x²+xy-y²② -x²+2xy-y²③ xy+x²+y²④1-x+ x其中能用完全平方公式分解因式的是（）A. ①②B. ①③C. ①④D. ②④【答案】D【分析】根据完全平方公式分解因式.【解答】①③均不能用完全平方公式分解；②－x2＋2xy－y2＝－(x2－2xy＋y2）＝－（x－y)2，能用完全平方公式分解，正确；④1－x＋＝（x2－4x＋4）＝（x－2）2，能用完全平方公式分解.选D.16.【答题】下列各式是完全平方公式的是（）A. 16x²-4xy+y²B. m²+mn+n²C. 9a²-24ab+16b²D. c²+2cd+c²【答案】C【分析】根据完全平方式解答即可.【解答】A.16x²-4xy+y²，不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误；B.m²+mn+n²不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误；C.9a²-24ab+16b²=(3a-4b)2，故本选项正确；D.c²+2cd+c²不能分解成两个因式的乘积，故本选项错误.选C.17.【答题】下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A.B.C.D.【答案】C【分析】根据平方差公式分解因式解答即可.【解答】平方差公式为：a2－b2=（a+b）（a－b），C选项-x2+4y2= -（x2－4y2）= -（x+2y）（x－2y）.方法总结：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）.18.【答题】一次数学课堂练习，小明同学做了如下四道因式分解题．你认为小明做得不够完整的一题是（）A. 4x2－4x＋1＝(2x－1)2B. x3－x＝x(x2－1)C. x2y－xy2＝xy(x－y)D. x2－y2＝(x＋y)(x－y)【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】B选项中，(x2－1)仍能继续运用平方差公式，最后结果应为x（x+1）（x-1）；选B.19.【答题】把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是（）A. 2a(4a2－4a＋1)B. 8a2(a－1)C. 2a(2a＋1)2D. 2a(2a－1)2【答案】D【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】8a3－8a2＋2a=2a(4a2-4a+1)=2a(2a－1)2.选D.20.【答题】下列各式不能用公式法分解因式的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解的方法，在因式分解时首先要观察多项式中有没有公因式，如有公因式，一定要先提取公因式，再看能否套用平方差公式或完全平方公式.【解答】选项A能用平方差公式分解因式；选项C、D能用完全平方公式因式分解；选项B不能因式分解，选B.。
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解 小结与复习
四、公式法 —— 完全平方公式 1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2 a2 - 2ab + b2 = ( a - b )2 2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_平__方__和__
的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的_乘__积___
考点三 利用提公因式法求值
例3 计算： (1) 39×37－13×91； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. 解：(1) 39×37－13×91＝3×13×37－13×91
＝ 13×(3×37－91)＝13×20＝260； (2) 29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积 的差， 而正方形的面积是其边长的平方， 则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
考点五 完全平方公式分解因式
例5 因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2. 解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2. (2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
练一练
5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3的值.
2
2
解：1 a3b＋a2b2＋ 1 ab3＝ 1 ab(a2＋2ab＋b2)
八下4.3公式法(1)
学习目标 问题引入 例题讲解 巩固训练 课堂小结
例1.把下列各式因式分解.
1 25 16x2
解： 52 4x2
5 4x5 4x
29a2 1 b2
4
3a
2
1 2
b
2
3a
1 2
b
3a
1 2
b
例题讲解
25 16x2 52 4x2 5 4x5 4x a2 b2 a ba b
问题引入
对下列各式进行因式分解
x2 25 __ _x__5___x__5____________; 9x2 y2 __3_x__y___3_x___y_________; 9m2 4n2 _3_m___2_n__3_m___2_n_______.
问题引入
平方差公式： aa2 bb2=aabb=a2bb 2
变式练习
变式练习2.把下列各式因式分解.
13ax2 3ay4
解：
2 16x4 81y4
注意事项
使用平方差公式因式分解时要注意：
02
例题讲解
例3
解：由题意得，剩余部分的面积为：
a2 4b2
a2 2b2
a 3.6,b 0.8, 代入得 原式=10.4cm2
a 2ba 2b 答：剩余部分的面积是10.4cm2.
使用公式分解因式 去括号整理
4m 2n2m 4n
42mnm2n
分解彻底
例题讲解
例2.把下列各式因式分解.
22x3 8x
2xx2 4
2xx 2x 2
当多项式的各项含 有公因式时，先提 出公因式
变式练习
变式练习2.把下列各式因式分解.
13ax2 3ay4
解：
北师大版数学八年级下册第四章因式分解4.3公式法(第1课时)教案设计
4.3 公式法（第1课时运用平方差公式因式分解）教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力.教学重点掌握运用平方差公式分解因式的方法.教学难点能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.课时安排1课时教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2.平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】填空：（1）（x+5）（x-5）＝；（2）（3x+y）（3x-y）＝；（3）（3m+2n）（3m–2n）＝.它们的结果有什么共同特征？答案：（1）x2–25；（2）9x2–y2；（3）9m2–4n2学生：以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的.【问题2】根据问题1中等式填空：（1）x2-25＝；（2）9x2−y2＝；（3）9m2-4n2＝.答案：（1）（x+5）（x-5）（2）（3x+y）（3x-y）；（3）（3m+2n）（3m–2n）.教师总结：公共特点：是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，等于这两个数（式）的平方差，反过来，两个数（式）的平方差就可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式，这种变形就是我们今天学习的内容，引出课题.探究新知探究点一用平方差公式因式分解(a+b)( a-b)＝a2-b2反过来，a2-b2＝(a+b)( a-b).两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【注意】公式中的a,b既可以是单项式，也可以是多项式活动2（学生交流，教师点评）【问题3】（师生互动）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2-20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中-x2+9＝-x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.【方法总结】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.【互动】(小组交流)下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是.(填序号)①x2+y2；②1-x2；③-x2-y2；④x2-xy.答案：②.活动3小组讨论(师生互学)【例1】因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.解：(1) a4-116b4＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎪⎫a2－14b2＝⎝⎛⎭⎪⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎪⎫a－12b⎝⎛⎭⎪⎫a＋12b.(2) x3y2-xy4＝xy2(x2-y2)＝xy2(x+y)(x-y).【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.【例2】分解因式：9(m+n)2-(m-n)2.解：原式＝[3(m+n)]2-(m-n)2＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)＝(4m+2n)(2m+4n)＝4(2m+n)(m+2n).【总结】1.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.2.当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.【即学即练】(学生独学)因式分解：(1)(a+b)2-4a2； (2) x4-y4.解：(1) (a+b)2-4a2＝(a+b-2a)(a+b+2a)＝(b-a)(3a+b)；(2)x4-y4＝(x2)2-(y2)2＝(x2+y2)(x2-y2)＝(x2+y2)(x+y)(x-y).活动4（合作探究，解决问题）探究点二用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）【例2】248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝(224+1)(224-1)＝(224+1)(212+1)(212-1)＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).∵26＝64，∴26-1＝63,26+1＝65，∴这两个数是65和63.【题后总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.活动5拓展延伸(学生对学)【例3】利用因式分解计算：(1)1012-992；(2)5722×14-4282×14.【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解. 解：(1)1012-992＝(101+99)(101-99)＝400.(2)5722×14-4282×14＝(5722-4282)×14＝(572+428)(572-428)×14＝1000×144×14＝36 000.【题后总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便.【即学即练】 (学生独学)求证：当n 为整数时，多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.证明：原式＝(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)＝4n ·2＝8n ，∵n 为整数，∴8n 被8整除，即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.课堂练习1下列多项式中能用平方差公式因式分解的是( )A.a 2+(−b )2B.5m 2−20mnC.x 2−y 2D.x 2+92.因式分解(2x +3)2 -x 2的结果是（ ）A.3(x 2+4x +3)B.3(x 2+2x +3)C.(3x +3)(x +3)D.3(x +1)(x +3)3 若a +b ＝3，a -b ＝7，则b 2-a 2的值为（ ）A.-21B.21C.-10D.104.用平方差公式进行简便计算:（1）38²-37² ； （2）213²-87²；（3）229²-171²； （4）91×89.5.已知x 2-y 2＝-1，x +y ＝12，求x -y 的值.6.已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5.求(m +2n )2-(3m -n )2的值.参考答案：1.C 解析：A.a 2+(−b )2中两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故A 选项错误；B.5m 2−20mn 两项不都是平方项，不能用平方差公式因式分解，故B 选项错误；C.x 2−y 2中两项符号相反，能用平方差公式因式分解，故C 选项正确；D.x 2+9中，两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故D 选项错误.选C.2.D 解析：(2x +3)2 -x 2＝(2x +3+x )（2x +3-x )＝(3x +3)（x +3)＝3(x +1)(x +3)3.A 解析： b 2-a 2＝(b +a )(b -a )＝ 3×(−7)＝ −21.4.解：（1）38²−37²＝（38+37）（38−37）＝75.（2）213²-87²＝(213+87)(213-87)＝300×126＝37800.（3）229²-171²＝（229+171）（229-171）＝400×58＝23200.（4）91×89＝（90+1）（90−1）＝90²-1＝8100-1＝8099.5.解：∵x 2-y 2＝(x +y )(x -y )＝-1，x +y ＝12，∴x -y ＝-2.6.解：原式＝(m +2n +3m −n )(m +2n −3m +n )＝(4m +n )(3n −2m )＝− (4m +n )（2m −3n ).当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结(学生总结，老师点评，当堂达标)一、运用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).二、平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.布置作业教材第100页习题4.4板书设计3 公式法第1课时运用平方差公式因式分解用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).【问题1】例1因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【问题2】例2 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.。
2023八年级数学下册第四章因式分解3公式法第1课时用平方差公式进行因式分解教案(新版)北师大版
- 通过例题，展示平方差公式的应用过程，分析解题思路。
- 对不同类型的题目进行分类解析，让学生掌握各类题型的解题方法。
8. 练习题设计与解析：
- 设计不同难度的练习题，涵盖平方差公式的各种应用场景。
- 对练习题进行详细解析，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
9. 小组讨论与交流：
3. 成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
五、总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、推导、应用以及在实际问题中的运用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
重点题型整理
题型一：应用平方差公式进行因式分解
例1：对多项式x^2 - 4进行因式分解。
解答：观察多项式x^2 - 4，符合平方差公式的结构特点，即a^2 - b^2的形式。这里a是x，b是2。因此，应用平方差公式，得到：
x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)。
题型二：解决实际问题中的平方差问题
x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)。
进一步，注意到x^2 - 4可以继续分解，得到：
x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)。
题型五：综合应用平方差公式
例5：对多项式4x^2 - 9y^2进行因式分解。
解答：观察多项式4x^2 - 9y^2，可以看出它是两个平方项的差，即a^2 - b^2的形式。这里a是2x，b是3y。因此，应用平方差公式，得到：
导学第四章3公式法
15. （1）已知x=-5，y=- ，求x2·x2n·（yn）2（n为 正整数）的值； （2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，7252=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等 式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.
13. 已知x2+y2-4x+6y+13=0，求x2-6xy+9y2的值.
解：∵x2+y2-4x+6y+13 =（x-2）2+（y+3）2 =0，
∴x-2=0，y+3=0，即x=2，y=-3. 则x2-6xy+9y2
=（x-3y）2 =112 =121.
能力提升
14. 248-1可以被60和70之间某两个数整除，求这两 个数.
（3）y4-8y2+16 =（y2-4）2 =（y+2）2（y-2）2.
3. 已知x-y=1，xy=3，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：x3y-2x2y2+xy3 =xy（x2-2xy+y2） =xy（x-y）2. 当x-y=1，xy=3时， 原式=3×12=3.
课后作业
夯实基础 新知 综合运用提公因式法和公式法因式分解
=（x-y）（a2-9）
= （x-y）（a+3）（a-3）.
【例3】已知x+y=4，xy=2，求2x3y+4x2y2+2xy3的 值.
八年级数学下册 第四章 4.3 公式法
（2） x2 25 (5 x)(5 x) （3）(m n)2 n2 m(m 2n)
4 （4） x2 16 4(x 2)(x 2)
简便计算：
（5）25 2652 1352 25
1300000
13
满足要求： 1、编一道因式分解的题目； 2、必须用到提公因式和平方差公式。
a2 b2 (a b)(a b)
注意：公式中的 a 和 b 可以表示单项式，
也可以表示多项式。
8
9(m n)2 (m n)2
3(m n)2 (m n)2 3(m n) (m n)3(m n) (m n)
(3m3n m n)(3m3n m n) (4m 2n)(2m 4n) 4(2m n)(m 2n)
(A) 9 a2 (B)a2 16x2 (C) m2 n2 (D) y2 36
5
3x 2y3x 2y
6
请将下列各式分解因式：
（1） m2 9n2
（2） 0.25a2 121b2
（3） 9x2 4 y2
（4） y2 25 x2 4
7
(m n)2 9 (m n)2 32 (m n 3)(m n 3)
1
计算： 992 1
2
义务教育教科书《数学》八年级下册
3
下列各式能利用平方差公式分解因式吗？
25 x2
4x2 y a3
16x2 y2 y2 16x2
16x2 y2
16x2 y2 16x2 y
满足什么条件才能利用平方差公式分解因式？
与同伴交流。
4
下式中不能用平方差公式分解的是（ C ）
北师大版八年级数学下册第四章 因式分解练习题
4D．4x2-4x-1第四章因式分解一、单选题1．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x B．(x+5)(x-2)=x2+3x-10C．x2-8x+16=(x-4)2D．6ab=2a g3b2．如果x2+mx-14=(x+2)(x-7)，那么m的值为（）．A．9B．-9C．-5D．53．多项式-6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（）A．2ab B．-6ab C．-6a2b D．-6ab24．将2x2a-6xab+2x分解因式，下面是四位同学分解的结果：①2x（xa-3ab），①2xa（x-3b+1），①2x（xa-3ab+1），①2x（-xa+3ab-1）．其中，正确的是（）A．①B．①C．①D．①5．下列各式能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2+9B．x2-2x+4C．x2-x+16．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”，则下面哪个数是“神秘数”（）A．56B．60C．62D．88x27．下列多项式能用公式法分解因式的有（）①x2﹣2x﹣1；①﹣x+1；①﹣a2﹣b2；①412．因式分解： x ﹣2 x 2 y + xy 2 = __________．﹣a 2+b 2；①x 2﹣4xy+4y 2；①m 2﹣m+1A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个8．已知 ab ＝4，b ﹣a ＝7，则 a 2b ﹣ab 2 的值是（）A ．11B ．28C ．﹣11D ．﹣289．小颖用下面四个图形拼成一个大长方形，并据此写出了一个把某多项式因式分解的等式，这个等式是()A ． x 2 + 3x + 2 = ( x + 1)(x + 2)B ． x 2 - 3x + 2 = ( x - 1)(x - 2)C ． ( x + 1)(x + 2) = x 2 + 3x + 2D ． x 2 + 3x + 2 = x( x + 3) + 210．若一个正方形的面积为(ɑ+1)(ɑ+2)+14，则该正方形的边长为（ ）A ． a - 2B ． a +32C ． a + 2D ． a +52二、填空题11．若将 3x 2 - mx + n 进行因式分解的结果为 (3x + 2)( x - 1) ，则 mn =_____．313．已知 x 、y 满足{ 2 x + y = 66，则 x 2﹣y 2 的值为______．x + 2 y = -6014．在日常生活中如取款、上网等都需要密码.．一种用“因式分解”法产生的密码，方便记()忆.原理是：对于多项式x4-y4，因式分解的结果是(x-y)(x+y)x2+y2，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：x-y=0，x+y=18，x2+y2=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3-xy2，取x=11，y=8时，用上述方法产生的密码是______（写出一个即可）．三、解答题15．因式分解：（1）4x2-36（2）12ab2c-6ab（3）-2m3+8m2-12m16．对于二次三项式x2+2ax+a2，可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式，但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使x2+2ax-3a2中的前两项与a2构成完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，最后再用平方差公式进步分解．于是x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=(x+a)2-(2a)2=(x+3a)(x-a)．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做配方法．请用配方法将下列各式分解因式：（1）x2+4x-12；（2）4x2-12xy+5y2．17．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：①m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，①（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0①（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，①（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，①n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；（2）已知①ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求①ABC 的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．18．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如x2-4y2-2x+4y,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为：x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2)，这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题．(1)分解因式：a2-9-2ab+b2；a2-4bc+4ac-ab=0，判断①ABC的形状(2)①ABC三边a、b、c满足答案1．C2．C3．B4．C5．C6．B7．C8．D9．A10．B11．-212．x(x-y)213．25214．113014或11143015．（1）4(x+3)(x-3)，（2）6ab(2bc-1)，（3）-2m(m2-4m+6)．16．（1）(x+6)(x-2)；（2）(2x-y)(2x-5y)17．(1)9；（2）①ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.18．（1）(a-b+3)(a-b-3)；（2）①ABC的形状是等腰三角形。