指数对数函数求导
求导法则与求导公式
求导法则与求导公式求导法则是用来求导数的基本方法和公式，它是微积分的基础，被广泛应用于数学、物理等领域。
在求导过程中，有一些基本的法则和公式可以帮助我们简化计算。
一、基本求导法则1.常数法则：如果f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 变量法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.常数倍法则：如果f(x)=Cg(x)，其中g(x)可导且C为常数，则f'(x)=Cg'(x)。
4.加减法则：如果f(x)=g(x)±h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
5.乘法法则：如果f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)。
6.除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)可导且h(x)不等于0，则f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/h(x)^27.复合函数法则：如果f(x)=g(h(x))，其中g和h都是可导函数，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
8.反函数法则：如果f和g是互为反函数，则f'(x)=1/g'(f(x))。
二、常用的求导公式1. 幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)。
2.指数函数求导：(e^x)'=e^x。
3. 对数函数求导：(lnx)' = 1/x。
4. 三角函数求导：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x。
5. 反三角函数求导：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)。
求导基本公式16个
求导基本公式16个摘要：1.引言2.求导基本公式的定义与分类3.求导基本公式的16 个例子4.求导基本公式的应用5.结论正文：一、引言微积分是数学的一个重要分支，它在物理学、工程学、经济学等多个领域具有广泛的应用。
求导是微积分的基础，它有助于我们了解函数在某一点的变化率和趋势。
本文将介绍求导基本公式16 个，以帮助大家更好地理解和应用求导。
二、求导基本公式的定义与分类求导基本公式是对函数求导的一般方法。
根据导数的定义，导数可以表示为函数在某一点的瞬时变化率。
求导基本公式主要包括以下几类：1.幂函数求导公式2.三角函数求导公式3.指数函数求导公式4.对数函数求导公式5.反三角函数求导公式6.复合函数求导公式7.极限函数求导公式三、求导基本公式的16 个例子以下是求导基本公式的16 个例子：1.幂函数求导：(x^n)" = n * x^(n-1)2.三角函数求导：(sinx)" = cosx, (cosx)" = -sinx, (tanx)" = sec^2x3.指数函数求导：(a^x)" = a^x * ln(a)4.对数函数求导：(log_a(x))" = 1/(x * ln(a))5.反三角函数求导：(arcsin(x))" = 1/√(1-x^2), (arccos(x))" = -1/√(1-x^2), (arctan(x))" = 1/√(1+x^2)6.复合函数求导：(f(g(x)))" = f"(g(x)) * g"(x)7.极限函数求导：(lim(x->a) f(x))" = f"(a) (a 为函数的极限)四、求导基本公式的应用求导基本公式在微积分中有广泛的应用，例如：1.求解函数的极值和最值2.求解函数的曲率和拐点3.求解函数的平均变化率和瞬时变化率4.求解微分方程五、结论求导基本公式16 个是微积分中的重要知识，它们为我们提供了求解导数的方法。
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式1. 乘法法则（Product Rule）：如果y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = u'v + uv'。
2. 商法则（Quotient Rule）：如果y = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = (u'v - uv')/v²。
3. 链式法则（Chain Rule）：如果y=f(g(x))，其中g(x)是关于x的函数，f(u)是关于u的函数，则y'=f'(g(x))*g'(x)。
4.幂函数法则：如果y=xⁿ，其中n为常数，则y'=n*xⁿ⁻¹。
5.指数函数法则：如果y = aˣ，其中a为常数，x为变量，则y' = ln(a) * aˣ。
6.对数函数法则：如果y = logₐ(x)，其中a为常数，x为变量，则y' = (1/ln(a)) * (1/x)。
7.反三角函数法则：(1) 如果y = sin⁻¹(x)，则y' = 1/√(1-x²)。
(2) 如果y = cos⁻¹(x)，则y' = -1/√(1-x²)。
(3) 如果y = tan⁻¹(x)，则y' = 1/(1+x²)。
8.双曲函数法则：(1) 如果y = sinh(x)，则y' = cosh(x)。
(2) 如果y = cosh(x)，则y' = sinh(x)。
(3) 如果y = tanh(x)，则y' = sech²(x)。
9.导数的性质：(1) 常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。
(2) 变量的导数为1，即d/dx(x) = 1(3) 导数的线性性质，即d/dx(c₁f(x) + c₂g(x)) = c₁f'(x) +c₂g'(x)，其中c₁和c₂为常数，f(x)和g(x)是关于x的函数。
指数对数函数求导
一、自然常数e1、求导xa dxd令x a y = 已知导数差商公式定义式：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'由导数差商定义式得：xa a x a a x x f x x f x f xx x x x x x x ∆-•=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1)()()(limlim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即xa a f x x ∆-•=∆→∆1)0(lim 00'因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且x a f x f •=)0()('' 上述等式说明了任指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令xa a f a M x x ∆-•==∆→∆1)0()(lim 00'0，因为x a 已知，要求)('x f 必须求得)(0a M ，从xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00的定义式可以猜测)(0a M 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且当2=a ，69.012)0(lim 0'≈∆-=∆→∆x f x x当3=a ，10.113)0(lim0'≈∆-=∆→∆xf x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有x x dx d 2)69.0()2(•≈ x xdxd 3)10.1()3(•≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11)(lim00=∆-=∆→∆xe e M xx ，则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1)1(lim使得1)(0=e M，同样e 可能是一个无限不循环小数.再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义式xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知32<<e .数e 的定义：h h h e 1)1(lim+=→即e 是使11lim0=-→he h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函数x x x e e M e e dxd y =•==)('0，当然e 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.自然指数求导公式：x xe e dxd = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在x e y =图像中的几意义.0000')()(==•=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.当x 取值相等时，3232<<⇔<<e xx x a dxd e dx d dx d2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1)1(lim+=→来理解e 的含义，简单地说e 就是单位时间，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了1元，很不幸同时又发生了重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半余额7182817813.2≈元1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1一个有关复利的例子很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。
对数函数与指数函数的导数
(3)对数求导法的优点:一是可使问题简单化(积、商 变和、差,幂、根变积式),二是可使较复杂函数求 导变为可能(无求导公式变为有求导公式).
例如我们利用上面例题中的(2)可知 (xn)nnx 1(nQ ) 中的n的范围可以扩大到全体实数.
又如下面一题我们就有两种不同的解法:
y
x
(2)两边取对数,得lny=g(x)lnf(x),两边对x求导,可得:
1 yyg(x)lnf(x)g(x)ff((xx)); yy[g(x)lnf(x)g(x)ff((x x))]
y[f(x)g(]x)[g (x)ln f(x)g (x)f(x)]. f(x)
说明:(1)解法可能对lny求导不易理解,事实上,若u=lny,
解:(1) y [f(lx )n ]f(lx )n (lx )n 1f(lx )n.
x
(2) y [f(ex2)]f(e x2)(e x2)f(e x2)(e x2)( x2)
2x x e 2f(e x2). (3)y [f(ex)]ef(x)f(ex)[ef(x)]f(ex)exef(x)
f(ex)ef(x)f(x )ef(x)[f(ex)exf(ex)f(x )].
y1 21lgx e2(1 2x2)x x2l ge1.
(3) y 2 e 2 x c 3 x o e 2 x ( s 3 s3 x i ) n e 2 x ( 2 c 3 x o 3 ss 3 x i )n .
(4) y a 5 xln a (5 x ) 5 a 5 xln a .
例2:求下列函数的导数:
2.指数函数的导数:
(1) (ex)ex.
(2 )(a x ) a x la n (a 0 ,a 1 ).
一般常用求导公式
一般常用求导公式在微积分中，求导是一项重要的运算技巧。
为了便于计算和解决实际问题，人们总结出了一些常用的求导公式。
本文将介绍一般常用的求导公式，并通过例子来展示其具体应用。
一、常数函数求导公式对于常数函数y = C（C为常数），其导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
二、幂函数求导公式1. 对于幂函数y = x^n （n为正整数），其导数为y' = nx^(n-1)。
例如，对于y = x^2，其导数为y' = 2x。
2. 对于幂函数y = a^x （a>0且a≠1），其导数为y' = a^x * ln(a)。
例如，对于y = e^x，其导数为y' = e^x。
三、指数函数求导公式对于指数函数y = a^x （a>0且a≠1），其导数为y' = a^x * ln(a)。
这点与幂函数的导数规律相同。
四、对数函数求导公式1. 对于自然对数函数y = ln(x)，其导数为y' = 1/x。
例如，对于y = ln(x^2)，其导数为y' = 1/(x^2) * 2x = 2/x。
2. 对于一般对数函数y = log_a(x) （a>0且a≠1），其导数为y' =1/(xln(a))。
例如，对于y = log_2(x)，其导数为y' = 1/(xln(2))。
五、三角函数求导公式1. 对于正弦函数y = sin(x)，其导数为y' = cos(x)。
例如，对于y =sin(2x)，其导数为y' = cos(2x)。
2. 对于余弦函数y = cos(x)，其导数为y' = -sin(x)。
例如，对于y = cos(2x)，其导数为y' = -sin(2x)。
3. 对于正切函数y = tan(x)，其导数为y' = sec^2(x)。
例如，对于y = tan(2x)，其导数为y' = sec^2(2x)。
数学导数公式
数学导数公式目录1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于16、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a不等于18、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x9、(sinx)'=cosx10、(cosx)'=-sinx11、(tanx)'=(secx)^212、(cotx)'=-(cscx)^213、(secx)'=secxtanx14、(cscx)'=-cscxcotx15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2)16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2)17、(arctanx)'=1/(1+x^2)18、(arccotx)'=-1/(1+x^2)19、(f+g)'=f'+g'20、(f-g)'=f'-g'21、(fg)'=f'g+fg'22、(f/g)'=(f'g-fg')/g^223、(1/f)'=-f'/f^224、(f^(-1)(x))'=1/f'(y)常见导数公式4个基本求导公式可以分成三类。
第一类是导数的定义公式，即差商的极限. 再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。
最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。
基本函数求导公式
基本函数求导公式1.常数函数求导公式：如果f(x)=C，其中C为常数，则其导数为f'(x)=0。
因为常数函数的图像是一条平行于x轴的直线，其斜率为0，所以其导数恒为0。
2.幂函数求导公式：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则其导数为f'(x) = nx^(n-1)。
该公式可以通过指数函数对幂函数进行求导得到。
3.指数函数求导公式：如果f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1，则其导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
该公式可以通过对指数函数进行求导得到。
4.对数函数求导公式：如果f(x) = loga(x)，其中a为常数且a>0且a≠1，则其导数为f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
该公式可以通过对对数函数进行求导得到。
5.三角函数求导公式：(1) f(x) = sin(x)，则其导数为f'(x) = cos(x)。
该公式可以通过对正弦函数进行求导得到。
(2) f(x) = cos(x)，则其导数为f'(x) = -sin(x)。
该公式可以通过对余弦函数进行求导得到。
(3) f(x) = tan(x)，则其导数为f'(x) = 1 / (cos^2(x))。
该公式可以通过对正切函数进行求导得到。
6.反三角函数求导公式：(1) f(x) = arcsin(x)，则其导数为f'(x) = 1 / √(1 - x^2)。
该公式可以通过对反正弦函数进行求导得到。
(2) f(x) = arccos(x)，则其导数为f'(x) = -1 / √(1 - x^2)。
该公式可以通过对反余弦函数进行求导得到。
(3) f(x) = arctan(x)，则其导数为f'(x) = 1 / (1 + x^2)。
该公式可以通过对反正切函数进行求导得到。
7.双曲函数求导公式：(1) f(x) = sinh(x)，则其导数为f'(x) = cosh(x)。
大一高数求导公式大全
大一高数求导公式大全
现代高数中常用的求导公式是微积分中非常重要且基本的内容。
任何微积分知识的学习都是离不开对求导公式的学习，因为求导公式是求解积分、求微分等内容的基础。
高数中基本的求导公式包括：
一、高次幂函数求导公式：
函数f(x)=ax^n(a>0，n>0)，仅在n∈N中有定义。
令f'(x)=y，y表示函数f(x)的导数，则：
y=f'(x)=nax^（n-1）
二、指数函数求导公式：
函数f(x)=ax^(n)，a>0，n≠0 令f'(x)=y，则：
y=f'(x)=nanax^(n-1)
三、对数函数求导公式：
函数f(x)=loga (x)（a>0）令f'(x)=y，则：
y=f'(x)=1/x loga (e)
四、三角函数求导公式：
函数f(x)=sin x 令f'(x)=y，则：
y=f'(x)=cos x
函数f(x)=cos x 令f'(x)=y，则：
y=f'(x)=-sin x
五、三角函数和指数函数的组合求导公式：
函数f(x)= a*sinbx + c*cosdx（a，c>0，b，d∈R）令f'(x)=y，则：
y=f'(x)= ab*cosbx - cd*s。
基本求导积分公式
基本求导积分公式求导积分是微积分中最基本的概念之一，它们可以帮助我们理解函数的性质和计算函数在特定区间的变化。
在本文中，我将为您介绍一些基本的求导和积分公式，并详细解释它们的推导和应用。
一、求导公式1.常数函数求导公式如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
因为常数函数没有变化率，所以它的导数永远为零。
2.幂函数求导公式如果 f(x)=x^n，其中 n 是实数，则有 f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到，也可以通过使用指数函数的导数公式来得到。
3.指数函数求导公式如果 f(x)=a^x，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。
4.对数函数求导公式如果 f(x)=log_a(x)，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) =1/(x * ln(a))。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。
5.三角函数求导公式(1) sin(x) 的导数是 cos(x)；(2) cos(x) 的导数是 -sin(x)；(3) tan(x) 的导数是 sec^2(x)，其中 sec(x) 是 secant 函数，其定义为 sec(x) = 1/cos(x)；(4) cot(x) 的导数是 -csc^2(x)，其中 csc(x) 是 cosecant 函数，其定义为 csc(x) = 1/sin(x)；(5) sec(x) 的导数是 sec(x) * tan(x)；(6) csc(x) 的导数是 -csc(x) * cot(x)。
6.反三角函数求导公式(1) arcsin(x) 的导数是1/√(1-x^2)；(2) arccos(x) 的导数是 -1/√(1-x^2)；(3) arctan(x) 的导数是 1/(1+x^2)；(4) arccot(x) 的导数是 -1/(1+x^2)；(5) arcsec(x) 的导数是 1/(，x，* √(x^2-1))；(6) arccsc(x) 的导数是 -1/(，x，* √(x^2-1))。
对数求导公式大全
对数求导公式大全1.对数定义：ln(x)，即以e为底的自然对数，其导数为1/x。
2.对数的链式法则：若f(x) = ln(u(x))，则f'(x) = u'(x)/u(x)。
3.常用对数求导公式：a) 若f(x) = log_a(x)，其中a为常数，则f'(x) = 1/(xln(a))。
b) 若f(x) = log(x)，即以10为底的常用对数，其导数为f'(x) = 1/(xln(10))。
4.对数函数求导公式：a) 若f(x) = log_a(u(x))，则f'(x) = (u'(x)/(u(x)ln(a))。
b) 若f(x) = ln(u(x))，则f'(x) = u'(x)/u(x)。
5.幂函数与对数函数的关系：若f(x) = a^x，则f'(x) = ln(a) * a^x。
若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1/(xln(a))。
6.对数的和与差的求导：a)若f(x)=g(x)+h(x)，则f'(x)=g'(x)+h'(x)。
b)若f(x)=g(x)-h(x)，则f'(x)=g'(x)-h'(x)。
7.对数的积的求导：若f(x)=g(x)*h(x)，则f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
8.对数的商的求导：若f(x)=g(x)/h(x)，则f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/h^2(x)。
9.对数的复合函数求导：若f(x)=g(h(x))，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
10.对数的反函数求导：若f(x) = log_a^(-1)(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
11.对数的函数求导法则：a) 对于g(x)为多项式函数，则f(x) = log_a(g(x))的导数为f'(x) = g'(x) / (g(x) * ln(a))。
高数常用求导公式24个
高数常用求导公式24个引言在高等数学中，求导是一个重要的概念和技巧。
掌握常用的求导公式可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
本文将介绍24个常用的求导公式，并通过例题加以说明。
1.导数的定义导数表示函数的变化率，可以形象地理解为函数在某一点的切线斜率。
函数y=f(x)在点x0处的导数定义如下：```f'(x0)=l im┬(Δx→0)〖(f(x0+Δx)-f(x0))/Δx〗```2.常数函数求导对于常数函数y=c，其中c为常数，则其导数恒为0。
3.幂函数求导对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则其导数为：```(y)'=n x^(n-1)```4.指数函数求导对于指数函数y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=a^x*l n(a)```5.对数函数求导对于对数函数y=lo gₐ(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则其导数为：```(y)'=1/(x*ln(a))```6.三角函数求导对于三角函数y=si n(x)，其导数为：```(y)'=c os(x)```对于三角函数y=co s(x)，其导数为：```(y)'=-si n(x)```对于三角函数y=ta n(x)，其导数为：```(y)'=s ec^2(x)```7.反三角函数求导对于反三角函数y=ar c si n(x)，其导数为：```(y)'=1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c co s(x)，其导数为：```(y)'=-1/√(1-x^2)```对于反三角函数y=ar c ta n(x)，其导数为：```(y)'=1/(1+x^2)```8.双曲函数求导对于双曲函数y=si nh(x)，其导数为：```(y)'=c os h(x)```对于双曲函数y=co sh(x)，其导数为：```(y)'=s in h(x)```对于双曲函数y=ta nh(x)，其导数为：```(y)'=1/c os h^2(x)```9.两个函数之和/差求导对于两个函数f(x)和g(x)，其和函数F(x)=f(x)+g(x)或差函数H(x)=f(x)-g(x)，其导数为：```(F(x))'=(f(x))'+(g(x))'(H(x))'=(f(x))'-(g(x))'```10.两个函数之积求导对于两个函数f(x)和g(x)，其积函数P(x)=f(x)g(x)，其导数为：```(P(x))'=f(x)(g(x))'+g(x)(f(x))'```11.两个函数之商求导对于两个函数f(x)和g(x)，其商函数Q(x)=f(x)/g(x)，其导数为：```(Q(x))'=(f(x)(g(x))'-g(x)(f(x))')/(g(x))^2```12.复合函数求导（链式法则）对于复合函数y=f(g(x))，其中y是g(x)的函数，f(u)是u的函数，则其导数为：```(y)'=(f'(u))(g(x))'=(f'(g(x)))(g(x))'```13.反函数求导对于函数y=f(x)的反函数x=g(y)，若f'(x0)≠0，则其导数为：```(x)'=1/(y)'```14.参数方程求导对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，则x对t的导数为：```(d x)/(dt)=(d f)/(d t)```y对t的导数为：```(d y)/(dt)=(d g)/(d t)```15.隐函数求导对于隐函数方程F(x,y)=0，则y对x的导数可以通过隐函数求导公式计算得到。
第二节求导数的一般方法
第二节求导数的一般方法导数是微积分中的重要概念，求导数是微积分的基本方法之一。
下面我们将介绍求导数的一般方法。
一、基本初等函数的导数公式求导数的基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数的导数公式可以按照以下顺序排列：1.常数函数的导数为0；2.幂函数的导数为指数乘以幂函数；3.指数函数的导数为指数乘以幂函数再乘以指数函数的倒数；4.对数函数的导数为1除以函数值的平方；5.三角函数的导数为正弦函数、余弦函数和正切函数的导数之和。
二、求导数的四则运算法则求导数的四则运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
具体来说，如果两个函数分别可导，那么它们的和、差、积和商也可以求导数。
这些运算法则可以根据基本初等函数的导数公式进行推导。
三、复合函数的求导法则复合函数是指由多个基本初等函数通过四则运算得到的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则和乘法法则进行推导。
链式法则是指对于复合函数f(u)，其导数等于f'(u)乘以u的导数。
乘法法则是指对于两个可导函数f和g，它们的乘积的导数等于f的导数乘以g加上g的导数乘以f。
四、高阶导数的求法高阶导数的求法可以通过重复运用一阶导数的求法进行计算。
具体来说，如果一个函数f(x)的n阶导数存在，那么它的n+1阶导数可以通过n阶导数和x的n 次方的乘积得到。
例如，一个函数f(x)的二阶导数可以通过一阶导数乘以x的一阶导数得到，再进一步可以通过基本初等函数的导数公式和四则运算法则进行计算。
五、微分学基本定理的应用微分学基本定理是指如果一个函数f(x)在某个区间内可导，那么它在这个区间内是线性的。
这个定理可以用来解决一些实际问题，例如最小二乘法估计参数等。
在应用微分学基本定理时，需要注意定理的条件和结论，以及如何使用定理来解决实际问题。
六、求导数的实际应用求导数在实际问题中的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域都有应用。
例如，在物理学中，求导数可以用来解决力学、电磁学等方面的问题；在工程学中，求导数可以用来解决优化问题、控制系统设计等方面的问题；在经济学中，求导数可以用来解决边际分析、弹性分析等方面的问题。
求导法则公式大全
求导法则公式大全求导法则是微积分中的重要内容，可以帮助我们计算函数的变化率和极值等问题。
以下是一些常用的求导法则：1.常数法则：若f(x)=C，则f'(x)=0，其中C为常数。
2. 幂函数法则：若 f(x) = x^n，则 f'(x) = nx^(n-1)，其中 n 为常数。
3. 指数函数法则：若 f(x) = a^x，则 f'(x) = ln(a) * a^x，其中a 为常数，ln 表示自然对数。
4. 对数函数法则：若 f(x) = logₐ(x)，则 f'(x) = 1 / (x *ln(a))，其中 a 为常数，ln 表示自然对数。
5. 三角函数法则：对于 sin(x)，cos(x)，tan(x)等三角函数，其导数为 cos(x)，-sin(x)，sec²(x)。
6. 反三角函数法则：对于 arcsin(x)，arccos(x)，arctan(x)等反三角函数，其导数为 1 / √(1 - x²)，-1 / √(1 - x²)，1 / (1 + x²)。
7.基本初等函数法则：求导的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
8.和差法则：若f(x)=u(x)±v(x)，则f'(x)=u'(x)±v'(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数。
9.积法则：若f(x)=u(x)*v(x)，则f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)，其中u(x)和v(x)是可导函数。
10.商法则：若f(x)=u(x)/v(x)，则f'(x)=(u'(x)*v(x)-u(x)*v'(x))/v(x)²，其中u(x)和v(x)是可导函数。
11.复合函数法则：若f(x)=g(h(x))，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)，其中g(x)和h(x)是可导函数。
导数的基本公式14个
导数的基本公式14个目录1、f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]2、f(x)=a的导数， f'(x)=0, a为常数3、f(x)=x^n的导数， f'(x)=nx^(n-1), n为正整数4、f(x)=x^a的导数， f'(x)=ax^(a-1), a为实数5、f(x)=a^x的导数， f'(x)=a^xlna, a>0且a不等于16、f(x)=e^x的导数， f'(x)=e^x7、f(x)=log_a x的导数， f'(x)=1/(xlna), a>0且a不等于18、f(x)=lnx的导数， f'(x)=1/x9、(sinx)'=cosx10、(cosx)'=-sinx11、(tanx)'=(secx)^212、(cotx)'=-(cscx)^213、(secx)'=secxtanx14、(cscx)'=-cscxcotx15、(arcsinx)'=1/根号(1-x^2)16、(arccosx)'=-1/根号(1-x^2)17、(arctanx)'=1/(1+x^2)18、(arccotx)'=-1/(1+x^2)19、(f+g)'=f'+g'20、(f-g)'=f'-g'21、(fg)'=f'g+fg'22、(f/g)'=(f'g-fg')/g^223、(1/f)'=-f'/f^224、(f^(-1)(x))'=1/f'(y)常见导数公式4个基本求导公式可以分成三类。
第一类是导数的定义公式，即差商的极限. 再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。
最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。
高中数学 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法
高中数学幂函数、指数函数、对数函数、三角函数求导公式以及积与商的函数导数求法1、常见函数的导数公式：常数函数的导数：；幂函数的导数：；如下：；三角函数的导数：；对数函数的导数：指数函数的导数：2、求导数的法则（1）和与差函数的导数：．由此得多项式函数导数（2）积的函数的导数：,特例[C·f(x)]'＝Cf'(x)。
如①已知函数的导数为，则_____（答：）；②函数的导数为__________（答：）；③若对任意，，则是______（答：）（3）商的函数的导数：例1、求下列导数（1）y ＝；（2）y ＝x · sin x · ln x；（3）y ＝；（4）y ＝．（1）解析：∵y ＝＝∴（2）y'＝(x ·sin x ·ln x) '＝(x ·sin x) ' · ln x+(x · sin x )( ln x) '＝[x'sinx+x(sinx) ']·lnx+(x · sin x )＝[sinx+xcosx]lnx+sinx总结：如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．（3）y'＝（4）∵y ＝＝∴y'＝例2、求函数的导数①y＝（2 x2－5 x ＋1）e x②y＝解析：①y'＝（2 x2－5 x ＋1）′e x＋（2 x2－5 x ＋1）(e x)′＝(2x2－x－4)e x②∴y'总结：①求导数是在定义域内进行的．②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3、已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4（1）求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C是否还有其他公共点？解析：（1）把x ＝1代入C的方程，求得y ＝－4．∴切点为（1，－4）．Y'＝12 x3－6 x2－18 x，∴切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．∴切线方程为y ＋4＝－12（x－1），即y＝－12 x ＋8．由得3 x 4－2 x3 －9 x2＋12 x －4＝0(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0x ＝1，－2，．代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（，0）．除切点外，还有两个交点（－2，32）、（，0）．总结：直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．例4、曲线S ：y ＝x 3－6 x 2－x ＋6哪一点切线的斜率最小？ 设此点为P （x 0，y 0）．证明：曲线S 关于P 中心对称． 解析：y'＝3 x 2－12 x －1当x ＝＝2时，y ′有最小值，故x 0＝2，由P ∈S 知：y 0＝23－6 · 22－2＋6＝－12 即在P （2，－12）处切线斜率最小． 设Q （x ，y ）∈S ，即y ＝x 3－6 x 2－x ＋6则与Q 关于P 对称的点为R （4－x ，－24－y ），只需证R 的坐标满足S 的方程即可． (4－x)3－6(4－x)2－(4－x)＋6 ＝64－48 x ＋12 x 2－x 3－6（16－8 x ＋x 2）＋x ＋2＝－x 3＋6 x2＋x －30＝－x3＋6 x 2 ＋x －6－24＝－y －24故R ∈S ，由Q 点的任意性，S 关于点P 中心对称．总结：本题考查导数的几何意义．求切点时，要将取最小值的x 值代回原方程．例5、一质点的运动方程为s(t)＝asint+bcost(a>0)，若速度v(t)的最大值为，且对任意的t 0∈R,在t ＝t 0与t ＝ －t 0时速度相同，求a 、b 的值。
反函数求导公式大全
反函数求导公式大全1.幂函数的反函数求导公式设y=x^n(n≠0,1)，则x=y^(1/n)，对其求导可得：dy/dx = (1/n) * y^((1/n)-1) = (1/n) * x^((1/n)-1)2.指数函数的反函数求导公式设y = a^x (a > 0, a ≠ 1)，则 x = log_a(y)，对其求导可得：dy/dx = (1/ln(a)) * (1/y) = (1/ln(a)) * (1/x)3.对数函数的反函数求导公式设 y = log_a(x) (a > 0, a ≠ 1)，则 x = a^y，对其求导可得：dy/dx = (1/ln(a)) * (1/x)4.三角函数的反函数求导公式(1)正弦函数的反函数求导公式设 y = sin(x)，则 x = arcsin(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(1 - y^2) = 1 / sqrt(1 - sin^2(x))(2)余弦函数的反函数求导公式设 y = cos(x)，则 x = arccos(y)，对其求导可得：dy/dx = -1 / sqrt(1 - y^2) = -1 / sqrt(1 - cos^2(x))(3)正切函数的反函数求导公式设 y = tan(x)，则 x = arctan(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 + y^2) = 1 / (1 + tan^2(x))5.双曲函数的反函数求导公式(1)双曲正弦函数的反函数求导公式设 y = sinh(x)，则 x = arcsinh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(y^2 + 1) = 1 / sqrt(sinh^2(x) + 1) (2)双曲余弦函数的反函数求导公式设 y = cosh(x)，则 x = arccosh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(y^2 - 1) = 1 / sqrt(cosh^2(x) - 1) (3)双曲正切函数的反函数求导公式设 y = tanh(x)，则 x = arctanh(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 - y^2) = 1 / (1 - tanh^2(x))6.反三角函数的反函数求导公式(1)反正弦函数的反函数求导公式设 y = asin(x)，则 x = sin(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / sqrt(1 - x^2)(2)反余弦函数的反函数求导公式设 y = acos(x)，则 x = cos(y)，对其求导可得：dy/dx = -1 / sqrt(1 - x^2)(3)反正切函数的反函数求导公式设 y = atan(x)，则 x = tan(y)，对其求导可得：dy/dx = 1 / (1 + x^2)。
log求导公式高中
log函数，也就是对数函数，它的求导公式为y=logaX，y'=1/(xlna) (a>0且a≠1，x>0)【特别地，y=lnx，y'=1/x】。
对数函数是以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。
函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），即x>0。
如果ax=N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作
x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
对数函数实际上是指数函数的反函数。
对数函数的求导公式为为y=logaX，y'=1/(xlna) (a>0且a≠1，x>0)【特别地，y=lnx，y'=1/x】。
关于导数：
导数，是微积分中的重要基础概念。
设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，（x0+Δx）也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。
如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
注意：有的函数是没有导数的。
若某函数在某一点存在导数，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
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一、自然常数e1、求导xa dxd令x a y = 已知导数差商公式定义式：x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'由导数差商定义式得：xa a x a a x x f x x f x f xx x x x x x x ∆-•=∆-=∆-∆+=∆→∆∆+→∆→∆1)()()(limlim lim 000'（因子x a 与x ∆无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即xa a f x x ∆-•=∆→∆1)0(lim 00'因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且x a f x f •=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的.令xa a f a M x x ∆-•==∆→∆1)0()(lim 00'0，因为x a 已知，要求)('x f 必须求得)(0a M ，从xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00的定义式可以猜测)(0a M 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ∆值求得)(0a M 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值.hhh 12- hh 13- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.00010.69321.0987在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且当2=a ，69.012)0(lim 0'≈∆-=∆→∆x f x x当3=a ，10.113)0(lim0'≈∆-=∆→∆xf x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下：693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有x x dx d 2)69.0()2(•≈ x xdxd 3)10.1()3(•≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11)(lim00=∆-=∆→∆xe e M xx ，则有当0→∆x 时，x e x ∆=-∆1，x e x ∆+=∆1，因此x x e ∆∆+=1，再次说明了存在x x x e ∆→∆∆+=1)1(lim使得1)(0=e M，同样e 可能是一个无限不循环小数.再来看看上表中估计2=a 和3=a 时，)0('f 的数值，结合定义式xa a M x x ∆-=∆→∆1)(lim 00可以看出)(0a M 大小决定于a 的取值，可以证明)(0a M 在实数域单调递增，由)3()()2(000M e M M <<，可知32<<e .数e 的定义：h h h e 1)1(lim+=→即e 是使11lim0=-→he h h 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的)(00a M 确定一个具体的数0a ，即当)(0a M 值确定时，原函数x a y =也确定了一个具有确切数值的底数0a ，x y 2=与69.0)2(0≈M 和x y 3=与10.1)3(0≈M 都具有对应关系，所以e 存在且使1)(0=e M 的意义在于我们可以求得x e y =的导函数x x x e e M e e dxd y =•==)('0，当然e 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数x e y =的导函数x e y ='.自然指数求导公式：x xe e dxd = 指数函数x a y =曲线有一个重要特点，当0=x 时，1=y 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过)1,0(点；再来看看1)(0=e M 在x e y =图像中的几何意义.0000')()(==•=x y e M e e M ，也就是说)(0e M 表示指数函数在0=x 处的切线斜率10=m ，也只有x e y =在0=x 处导函数1)('0==e M y ，注意体会底数a 与0m 的唯一对应关系.在指数函数x a y =中，a 值的大小直接影响图像的形状. a 值越大，x a y =曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值'y 越大；a 值越小，x a y =曲线越平顺，即变化率越小，导函数'y 越小.当x 取值相等时，3232<<⇔<<e xx x a dxd e dx d dx d2. e 的含义 2.1 由定义式h h h e 1)1(lim+=→来理解e 的含义，简单地说e 就是单位时间内，持续翻倍增长所能达到的极限值.假设你在银行存了1元钱，很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半年付利息，半年后本息共计)2%1001(+，你可以把利息提前存入，利息生利息，1年本息共计2)2%1001(+元.假设银行超级实在，每4个月就付利息，4个月后本息共计)3%1001(+，8个月后本息共计2)3%1001(+，年底本息共计3)3%1001(+元 .假设银行人品爆发，时时刻刻都在付利息，则第一期本息共计)%1001(n+元，第二期本息共计2)%1001(n +元........第n 期本息共计nn)%1001(+元，这样年底本息余额7182817813.2≈元1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是nn n e )%1001(lim +=∞→，有兴趣可以用这个 网上计算器算一下.2.2.1一个有关复利的例子很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。
我们假设，你在一家银行有一个银行账户，该银行付给你一个慷慨的年利率12%，是一年一次的复利的形式.你将一笔初始存款1元存入账户.每一年你的财富增加12%.这意味着n 年后，你的财富将增加到原来的n %)121(+倍.特别地，一年后，你的财富就是%)121(+元.现在，假设你发现另一家银行.它也提供12%的年利率，但现在它是一年两次的复利的形式.当然，对于半年，你不会得到12%的利息；你必须用它除以2，这意味着半年你会得到6%的利息.一年后，它会以6%的利息复利两次；结果就是你的财富会增加到2%)61(+，其结果是1.1236元.第二个账户的收益比第一个账户略好一些.因此在相同的年利率下，复利越频繁结果会越好.我们试着计算一下年利率为12%的每年3次的复利.我们取12%，并将它除以3会得到4%,然后复利3次，我们的财富将会增加到原来的3%)41(+倍，其结果近似为1.1255元...同样一年时时刻刻都复利时即∞→n ，复利利率为n%12，复利n 次后，我们的财富会增长的倍数为nn n )%121(lim +∞→ 我们用r 代替0.12，并关心更一般的极限n n nr L )1(lim +=∞→首先，我们设n r h /=，这样n r n /=.那么，当∞→n 时，我们看到+→0h （由于r 是常数）故hr h h L /0)1(lim+=+→ 现在我们可以使用指数法则来写出 r h h h L ))1((/10lim+=+→我们来变个魔术，设hh h e /10)1(lim+=+→ 代入极限中有 rr h h e h L =+=+→))1((/10lim 所以r n n e n r =+∞→)1(lim 2.2.2 关于e 的更多内容让我们来更好地看一下这个极限，记得r n n e n r =+∞→)1(lim 这一次，设n h /1=，则h n /1=，当∞→n 时，有+→0h ，得到 rh h e rh L =+=+→/10)1(lim这是一个右极限.事实上，你可以用0→h 代替+→0h ，对于双侧极限仍成立.我们需要证明左侧极限也是r e ，然后左极限等于右极限，则双极限也等于r e .因此，我们考虑 ?)1(/10lim=+=-→h h rh L 用t -替换h ；那么，当-→0h 时，+→0t （当h 是一个很小的负数时，h t -=就是一个很小的正数）故 tt h h rt rh L /10/10)1()1(limlim -→→-=+=+-由于对于任意的0≠A ，有A A /11=-，我们可以将极限重新写成[]tt t r /10)(11lim -++→分母就是带有利率)(r -而不是r 的经典极限.这意味着，当+→0t 时，在极限中，分母趋于r e ，因此综合起来有[]rrtt tt hh e e t r rt rh L -→-→→==-+=-=+=++-1)(11)1()1(/10/10/10limlim lim 该极限在0=x 处可微且连续，所以有 rh h e rh =+→/10)1(lim二、自然对数求导 1.导数差商定义法由x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()()(lim 0'，令x y ln =，求'y 由定义式写出x x x x x xx x x xx x xx x x x x x x dx d ∆→∆→∆→∆→∆∆+=∆+∆=∆+∆=∆-∆+=1000)ln()1ln(1)ln(1ln )ln(ln lim lim lim lim令x x h /∆=，则有hx x =∆，当0→∆x 时，0→h ，上式可写成xe x h x h x dx dhx xhx 1ln 1)1ln(1)1ln(ln 11lim lim ==+=+=→∆→∆（通过换元巧妙地将x 从对数中提到极限号外面）2.隐函数微分法对自然对数求导，也可以用隐函数微分法，这是求导逆函数的一般办法；记住，这就是知道某函数的导数，求其逆函数导数的方法.原理如下：令x y ln = 左右同时取指数x e e x y ==lnx e y = 左右同时微分所以有 dxdye dy d e dx d y y •= ②1=x dxd③ 联立②③等式得：xe y y e yy 11'1'==⇔=• 代入x e y =是因为'y 最终要表达成关于x 的因式. 3.隐函数微分法求导指数函数原理如下：令x e y = 左右同时取对数 x e x e y x ===ln ln ln 则有 x y =ln 左右同时微分 所以yy dx dy y dy d y dx d 'ln ln =•= ④1=x dxd⑤ 联立④⑤等式得：1'=yy所以x e y y =='代入x e y =是因为'y 最终要变达成关于x 的因式.三、换底公式 1.指数换底公式a e a ln = ⑥对等式⑥左右同时取对数得：e a e a a ln ln ln ln ln •==2.对数换底公式证：)(log )(log )(log a b b c c a =令x b a =)(log则有 b a x = 左右同时取以c 为底的对数 a x b a c c x c log )(log )(log ==则有 )(log )(log a b x c c = 其中底数c 任意取值且0>c 且1≠c又)(log b x a = 所以 )(log )(log )(log a b b c c a =如何对)(log x a 进行换底求导呢？a x x a ln ln )(log =所以 ax x a x dx d a a x dx d x dx d a ln 11ln 1)(ln ln 1)ln ln ()(log =•=•==四、求导任意指数函数1. e 底法令x a y =，求导x a dxd 办法就是用e 做底数，也就是把底数a 转化为e ，把x a 变成e 的某次幂，应用指数函数的求导办法.a e e M e e dxd e dx d a dx d a x a x a x x a x ln )()(ln 0ln ln ln •=•=== 又因为x a x a e =ln联立两式得： a a a dxd x x ln •= a a M ln )(0= 2. 对数微分法求x a dxd 有时对原函数求导时会遇到问题，但求其对数导数会相对容易 因为uu u u dx du du u d u dx d ''1ln ln =•=•=（应用了链式法则及对数求导公式） 因此，令x a u = 直接求导较麻烦a x lina u x ln ln == 求导较容易所以 a u ln )'(ln = 又由uu u dx d 'ln =可知： a a a u u a uu x ln ln 'ln '•==⇔= 所以有 a a u x ln '•=:example 1.求导x x u =:example 2.求证1-•=r r x r x dxd r 为实数 1.e 底法因为()x r rx r e e x ln ln ==所以()1ln ln '-•=•=•==r r x r x r r x r x r x e x r e x dx d指数函数的定义域为什么是R （实数）.解：什么是实数，即一切可以测量长度的数，也即可以用直角坐标系x 轴表示的数.看看指数函数的图像x a y =（1,0≠>a a ）在x 轴可以无限延伸，也就是x 取值任何实数值，指数函数都成立.2. 对数微分法令r x u =则有x r x u r ln ln ln ==对u ln 求导有()()x r x r u uu ==='ln 'ln ' 所以 1'-=•=•=r r rx xr x x r u u五、求导任意对数函数1.自然对数化简法令()x y a log = 求()x dxd a log 将()x a log 化简成两个自然对数的形式，其中一个自然对数含有x .()ax x y a ln ln log == 则有 ()()a x x a x aa x x dx d a ln 11ln 1'ln ln 1ln ln log '=•=•=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 所以()a x x dx d a ln 1log =2.指数微分法令()x y a log = 求()x dxd a log 对()x y a log = 左右同时取指数 则有 ()x a a x y a ==log 左右同时求导 则有 ()()''ln 'x y a a a y y =••= 所以有ax a a y y ln 1ln 1'=•=3.现在来看看：如果原函数x a y =，那么我们知道()y x a log =，现在对()y x a log =关于y 求导，使用上述结论公式，我们得到a y dy dx ln 1=a a a y dx dy a y dy dx x ln ln ln 1•==⇒= 也可以用结论公式ax dx dy ln 1=（对换→y x ,x 换成y ，y 换成x ），则有a y dy dx ln 1=，变换写成a a a y dx dy x ln ln •==。