2019届高考数学第二章函数导数及其应用课堂达标6函数的奇偶性与周期性文新人教版

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2019版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第2章函数、导数及其应用 2.3 函数的奇偶性与周期性

2.3　函数的奇偶性与周期性[知识梳理]1．函数的奇偶性(1)定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函数；一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．(2)奇偶函数的性质①奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．②若奇函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相同；若偶函数在关于坐标原点对称的区间上有单调性，则其单调性相反．2．函数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．4．函数的周期性定义：一般地，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的实数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，称T 为这个函数的周期．对于周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数周期的常见结论设函数y ＝f (x )，x ∈R ，a >0.(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ；(2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ；(3)若f (x ＋a )＝，则函数的周期为2a ；1f (x )(4)若f (x ＋a )＝－，则函数的周期为2a ；1f (x )(5)若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，那么函数f (x )的周期为2|b －a |；(6)若函数f (x )关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是2|b －a |；(7)若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b,0)对称，则函数f (x )的周期是4|b －a |；(8)若函数f (x )是偶函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为2a ；(9)若函数f (x )是奇函数，其图象关于直线x ＝a 对称，则其周期为4a .6．掌握一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x ＋a －x 为偶函数，函数f (x )＝a x －a －x 为奇函数；(2)函数f (x )＝＝(a >0且a ≠1)为奇函数；ax －a －x ax ＋a －x a 2x －1a 2x ＋1(3)函数f (x )＝log a 为奇函数；b －xb ＋x (4)函数f (x )＝log a (x ＋)为奇函数．x 2＋1[诊断自测]1．概念思辨(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数．( )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．( )(4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(b,0)中心对称．( )答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P 39A 组T 6)已知函数f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋，则f (－1)＝( )1x A ．－2B ．0C ．1D ．2答案　A解析　f (－1)＝－f (1)＝－＝－2.故选A.(12＋11)(2)(必修A1P 39B 组T 3)设f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内是减函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2)答案　C解析　∵f (x )为奇函数，且在(－∞，0)内单调递减，∴f (x )在(0，＋∞)内也单调递减，又∵f (－2)＝0，∴f (2)＝0，函数f (x )的大致图象如右图，∴xf (x )<0的解集为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选C.3．小题热身(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋)为偶函数，则a ＋x 2a ＝________.答案　1解析　由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋)＋ln (－x )＝0，a ＋x 2a ＋x 2a ＋x 2∴ln [()2－x 2]＝0，得ln a ＝0，∴a ＝1.a ＋x 2(2)(2018·山西四校联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f，且f (2)＝3，则f (2018)＝________.(x ＋32)答案　3解析　∵f (x )＝－f ，(x ＋32)∴f (x ＋3)＝f ＝－f ＝f (x )．[(x ＋32)＋32](x ＋32)∴f (x )是以3为周期的周期函数．则f (2018)＝f (672×3＋2)＝f (2)＝3.题型1　函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：典例(1)f (x )＝(1－x ) ；1＋x1－x (2)f (x )＝Error!(3)f (x )＝.4－x 2|x ＋3|－3用定义法，性质法．解　(1)当且仅当≥0时函数有意义，所以－1≤x <1，由于1＋x1－x 定义域关于原点不对称，所以函数f (x )是非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－2x －1＝－f (x )，当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．(3)解法一：因为Error!⇒－2≤x ≤2且x ≠0，所以函数的定义域关于原点对称．所以f (x )＝＝，4－x 2x ＋3－34－x 2x 又f (－x )＝＝－，4－(－x )2－x 4－x 2x 所以f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．解法二：求得函数f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]．化简函数f (x )，可得f (x )＝，4－x 2x 由y 1＝x 是奇函数，y 2＝是偶函数，4－x 2可得f (x )＝为奇函数．4－x 2x 方法技巧判断函数奇偶性的方法1．定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：＝±1(f (x )≠0)判断函数的奇偶性．f (－x )f (x )2．图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．3．验证法：即判断f (x )±f (－x )是否为0.4．性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：冲关针对训练　1．(2018·广东模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝B ．y ＝x ＋1＋x 21xC ．y ＝2x ＋D ．y ＝x ＋e x12x答案　D解析　易知y ＝与y ＝2x ＋是偶函数，y ＝x ＋是奇函1＋x 212x 1x 数．故选D.2．判断下列各函数的奇偶性：(1)f (x )＝；lg (1－x 2)|x 2－2|－2(2)f (x )＝Error!解　(1)由Error!得函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)，所以f (x )＝＝－.lg (1－x 2)－(x 2－2)－2lg (1－x 2)x 2因为f (－x )＝－＝－＝f (x )，所以f (x )为偶lg [1－(－x )2](－x )2lg (1－x 2)x 2函数．(2)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．又f (0)＝0，故对任意的x ∈(－∞，＋∞)，都有f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数.题型2　函数奇偶性的应用角度1　已知函数奇偶性求值 (2018·湖南质检)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶典例函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3本题用转化法，将f (x )－g (x )转化为f (x )＋g (x )．答案　C解析　∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1，又由题意可知f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝1.故选C.角度2　已知函数奇偶性求解析式设函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，且∀x ∈R ，满足f典例＝f ，当x ∈[2,3]时，f (x )＝x ，则当x ∈[－2,0]时，f (x )＝( )(x －32)(x ＋12)A ．|x ＋4|B ．|2－x |C ．2＋|x ＋1|D ．3－|x ＋1|利用函数的周期性结合奇偶性转化求解．答案　D解析　∀x ∈R ，满足f ＝f ，∴f (x ＋2)＝f (x )，故(x －32)(x ＋12)y ＝f (x )(x ∈R )是周期为2的函数．①当x ∈[－2，－1]时，x ＋4∈[2,3]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4；②当x ∈(－1,0]时，－x ∈[0,1)，－x ＋2∈[2,3)，又函数y ＝f (x )(x ∈R )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝f (－x ＋2)＝－x ＋2，综合①②可知，f (x )＝3－|x ＋1|.故选D.角度3　已知函数奇偶性求参数 (2017·安徽蚌埠二模)函数f (x )＝是奇函数，典例(x ＋2)(x ＋a )x 则实数a ＝________.根据f (x )＋f (－x )＝0，利用待定系数法求解，本题还可用赋值法．答案　－2解析　解法一：函数的定义域为{x |x ≠0}，f (x )＝＝x ＋＋a ＋2.x 2＋(a ＋2)x ＋2a x 2a x因函数f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即－x －＋a ＋2＝－＝－x －－(a ＋2)，则2a x (x ＋2a x ＋a ＋2)2a x a ＋2＝－(a ＋2)，即a ＋2＝0，则a ＝－2.解法二：由题意知f (1)＝－f (－1)，即3(a ＋1)＝a －1，得a ＝－2.将a ＝－2代入f (x )的解析式，得f (x )＝，经检验，(x ＋2)(x －2)x 对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都满足f (－x )＝－f (x )，故a ＝－2.角度4　函数性质的综合应用 (2017·合肥三模)定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a ) 典例上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)本题用平移法，利用图象的对称性结合函数的单调性进行判断．答案　A解析　因为函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，其图象关于y 轴对称，把这个函数图象平移|a |个单位(a <0左移，a >0右移)可得函数y ＝f (x )的图象，因此函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，此时函数y ＝f (x )在(a ，＋∞)上是减函数．由于x 1<a ，x 2>a 且|x 1－a |<|x 2－a |，说明x 1与对称轴的距离比x 2与对称轴的距离小，故f (x 1)>f (x 2)．故选A.方法技巧1．利用函数奇偶性转移函数值的策略将待求的函数值利用f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )转化为已知区间上的函数值求解．见角度1典例．2．利用函数奇偶性求解析式的策略将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．见角度2典例．3．利用函数的奇偶性求解析式中参数值的策略利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到含有待求参数的关于x的恒等式，由恒等性得到关于待求参数满足的方程(组)并求解．见角度3典例．4．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．见角度4典例．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．见角度2典例．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．冲关针对训练1．(2017·河南模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( )A．4B．－4C．6D．－6答案　B解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝3x＋m.∴f(0)＝0，即m＝－1.∴f(x)＝3x－1(x≥0)．f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－(5－1)＝－4.故选B.2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案　C解析　∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.故选C.题型3　函数的周期性及应用 (2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，典例1f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >时，f＝f 12(x ＋12).则f (6)＝( )(x －12)A ．－2B ．－1C ．0D ．2本题综合奇偶性、周期性求解．答案　D解析　当x >时，由f＝f 可得f (x )＝f (x ＋1)，所以12(x ＋12)(x －12)f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2.故选D. 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)典例2＝－f (x )＋2，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (1)＝2，2则f (2017)＝________.综合用奇偶性、周期性解决．答案　2解析　由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．22由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函数，所以f(2017)＝f(1＋252×8)＝f(1)＝2.方法技巧函数周期性的判定与应用1．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．见典例1.2．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．见典例2.冲关针对训练1．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)等于( )A．336B．339C．1678D．2012答案　B解析　∵f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＋f (2016)＝1×＝336.20166又f (2017)＝f (1)＝1，f (2018)＝f (2)＝2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝339.故选B.2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋3)＝－，当1f (x )1<x ≤3时，f (x )＝cos ，则f (2017)＝________.πx 3答案　2解析　由已知可得f (x ＋6)＝f [(x ＋3)＋3]＝－＝－＝f (x )，故函数f (x )的周期为6.1f (x ＋3)1－1f (x )∴f (2017)＝f (6×336＋1)＝f (1)．∵f (x )为偶函数，∴f (1)＝f (－1)，而f (－1＋3)＝－，所以1f (－1)f (1)＝f (－1)＝－＝－＝2.∴f (2017)＝2.1f (2)1cos2π3题型4　抽象函数的单调性、奇偶性、周期性已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，典例1且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)利用奇偶性和周期性将自变量转化到已知单调区间，再利用函数的单调性比较大小．答案　D解析　因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故选D.典例2 (2018·南昌期末)已知函数f(x)对于任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且当x>0时f(x)>1.(1)求证：函数f(x)在R上为增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.利用抽象函数的特殊条件，结合定义法解决函数的单调性，进而化抽象不等式为具体不等式求解．解　(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，则f(x2－x1)> 1.∵函数f(x)对于任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1成立，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，∴函数f(x)在R上为增函数．(2)∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋f(1)＋f(1)－2＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.∴f(a2＋a－5)<2，即为f(a2＋a－5)<f(1)，由(1)知，函数f(x)在R上为增函数，a2＋a－5<1，即a2＋a－6<0，∴－3<a<2.∴不等式f(a2＋a－5)<2的解集是{a|－3<a<2}．方法技巧把不给出具体解析式只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数．这类题目能全面考查学生对函数概念的理解，解答抽象函数的题目，掌握常见的基本函数及性质是关键．同时注意特殊值法、赋值法、图象法的应用．冲关针对训练1．(2018·太原检测)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上( )A ．有最小值f (a )B ．有最大值f(a ＋b2)C ．有最小值f (b )D ．有最大值f (b )答案　C解析　令y ＝－x ，则由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )得f (0)＝f (x )＋f (－x )，①再令x ＝y ＝0得f (0)＝f (0)＋f (0)得f (0)＝0，代入①式得f (－x )＝－f (x )．得f (x )是一个奇函数，图象关于原点对称．∵当x <0时，f (x )>0，即f (x )在R 上是一个减函数，可得f (x )在[a ，b ]上有最小值f (b )．故选C.2．(2017·池州模拟)已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件：①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有>0；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2②f (x ＋4)＝－f (x )；③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (6)，b ＝f (11)，c ＝f (2017)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．a <c <bD ．c <b <a答案　B解析　根据题意，若对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1<x 2时，都有>0，则函数f (x )在区间[4,8]上为增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2若f (x ＋4)＝－f (x )，则f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，若y ＝f (x ＋4)是偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，a ＝f (6)，b ＝f (11)＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2017)＝f (252×8＋1)＝f (1)＝f (7)，又由函数f (x )在区间[4,8]上为增函数，则有b <a <c .故选B.　1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]答案　D解析　∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.故选D.2．(2017·河南测试)已知函数f (x )＝ln (2x ＋)－，4x 2＋122x ＋1若f (a )＝1，则f (－a )＝( )A ．0B ．－1C ．－2D ．－3答案　D解析　令g (x )＝ln (2x ＋)，则g (－x )＋g (x )＝ln (－2x ＋4x 2＋1)＋ln (2x ＋)＝ln 1＝0，所以函数g (x )是奇函数，则4x 2＋14x 2＋1f (－a )＝g (－a )－＝－g (a )－.又f (a )＝g (a )－，2×2a 1＋2a 2×2a 1＋2a 22a ＋1两式相加，得f (－a )＋f (a )＝－＝－2.又f (a )＝1，所以2×(2a ＋1)1＋2af (－a )＝－3.故选D.3．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．答案　(－1,3)解析　∵f (2)＝0，f (x －1)>0，∴f (x －1)>f (2)，又∵f (x )是偶函数，∴f (|x －1|)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴|x －1|<2，∴－2<x －1<2，∴－1<x <3，∴x ∈(－1,3)．4．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ＋f (1)＝________.(－52)答案　－2解析　∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ＝f ＝－f ＝－4＝－2.(－52)(－12)(12)12∴f ＋f (1)＝－2.(－52)[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2017·重庆测试)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 3＋3x 2B ．y ＝e x ＋e －x2C ．y ＝x sin x D ．y ＝log 23－x3＋x答案　D解析　函数y ＝x 3＋3x 2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A ；函数y ＝是偶函数，排除B ；函数y ＝x sin x 是偶函数，e x ＋e －x2排除C ；函数y ＝log 2的定义域是(－3,3)，且f (－x )3－x3＋x ＝log 2＝－f (x )，是奇函数，D 正确．故选D.3＋x 3－x 2．下列函数中，既是定义域内的偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 2D ．f (x )＝sin x 1|x |答案　C解析　函数f (x )＝x 2在(－∞，0)上单调递减，排除A ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝2|x |＝x 在(－∞，0)上单调递减，排除(12)B ；当x ∈(－∞，0)时，函数f (x )＝log 2＝－log 2(－x )在(－∞，0)上1|x |单调递增，且函数f (x )在其定义域内是偶函数，C 正确；函数f (x )＝sin x 是奇函数，排除D.故选C.3．(2017·唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln (1＋x )．则当x <0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln (1－x )B ．x 3＋ln (1－x )C ．x 3－ln (1－x )D ．－x 3＋ln (1－x )答案　C解析　当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )3＋ln (1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln (1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln (1－x )．故选C.4．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－，当1f (x )2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝( )A ．－0.5B ．0.5C ．－2.5D ．2.5答案　D解析　∵f (x ＋2)＝－，1f (x )∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－＝－＝f (x )．∴函数f (x )1f (x ＋2)1－1f (x )的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)．∵2≤2.5≤3，∴f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5.故选D.5．(2017·金版创新)已知函数f (x )在∀x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时，f (x )＝2x ，则f (2017)等于( )A.B ．－1212C ．1D ．－1答案　B解析　由f (x －2)＝－f (x )，得f (x －4)＝－f (x －2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4.所以f (2017)＝f (4×504＋1)＝f (1)＝－f (－1)＝－.12故选B.6．(2018·青岛模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为( )A．2B．1C．－1D．－2答案　A解析　∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4为函数f(x)的周期，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故选A.7．(2018·襄阳四校联考)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x5－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，则f(2018)＝( )A．－2B．－1C．0D．2答案　D解析　因为当x>0时，f(x＋1)＝f(x)，所以当x>0时，函数f(x)是周期为1的周期函数，所以f(2018)＝f(1)，又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故选D.8．已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，则f(2018)的值为( )A．2B．0C．－2D．±2答案　A解析　∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f (x ＋1)＝－f (x －1)．∴f (x ＋2)＝－f (x )．∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴函数f (x )是周期函数，且周期为4.∴f (2018)＝f (2)＝2.故选A.9．(2017·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝，则实数a 的取值范围为( )2a －3a ＋1A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)答案　A解析　∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝，∴<1，即<0，解得－1<a <4.故选A.2a －3a ＋12a －3a ＋1a －4a ＋110．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点所构成的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－，1,3}D ．{－2－，1,3}77答案　D解析　当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3x ]＝－x 2－3x ，易求得g (x )＝Error!当x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 1＝1，x 2＝3；当－x 2－4x ＋3＝0时，可求得x 3＝－2－，x 4＝－2＋(舍去)77．故g (x )的零点为1,3，－2－.故选D.7二、填空题11．(2018·武昌联考)若函数f (x )＝在定义域上为奇函数，k －2x1＋k ·2x则实数k ＝________.答案　±1解析　∵f (－x )＝＝，k －2－x1＋k ·2－x k ·2x －12x ＋k ∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝.(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k )由f (－x )＋f (x )＝0，可得k 2＝1，∴k ＝±1.12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝Error!其中a ∈R .若f ＝f ，则f (5a )的值是________．(－52)(92)答案　－25解析　∵f (x )是周期为2的函数，∴f ＝f＝f ，(－52)(－2－12)(－12)f ＝f＝f ，(92)(4＋12)(12)又∵f ＝f ，∴f ＝f ，(－52)(92)(－12)(12)即－＋a ＝，解得a ＝，1211035则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋＝－.352513．(2017·郑州联考)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则称f (x )为准奇函数．给出下列函数：①f (x )＝(x －1)2，②f (x )＝，③f (x )1x ＋1＝x 3，④f (x )＝cos x ，其中所有准奇函数的序号是________．答案　②④解析　对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )＝－f (2a －x )，则函数f (x )的图象关于(a,0)对称．对于①，f (x )＝(x －1)2，函数图象无对称中心；对于②，f (x )＝，函数f (x )的图象关于(－1,0)对称；对于③，f (x )＝x 3，函数f (x )1x ＋1的图象关于(0,0)对称；对于④，f (x )＝cos x ，函数f (x )的图象关于(k ∈Z )对称．所以所有准奇函数的序号是②④.(k π＋π2，0)14．(2018·太原模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }的前n 项和为S n ，且(32－x )a 1＝－1，S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则f (a 5)＋f (a 6)＝________.答案　3解析　∵奇函数f (x )满足f ＝f (x )，∴f ＝－f (－x )，(32－x )(32－x )∴f (x )＝－f＝f (x ＋3)，∴f (x )是以3为周期的周期函数，(x ＋32)∵S n ＝2a n ＋n ①，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋n ＋1②，②－①可得a n ＋1＝2a n －1，结合a 1＝－1，可得a 5＝－31，a 6＝－63，∴f (a 5)＝f (－31)＝f (2)＝－f (－2)＝3，f (a 6)＝f (－63)＝f (0)＝0，∴f (a 5)＋f (a 6)＝3.三、解答题15．设函数f (x )在(－∞，＋∞)上满足f (2－x )＝f (2＋x )，f (7－x )＝f (7＋x )，且在闭区间[0,7]上，只有f (1)＝f (3)＝0.(1)证明：函数f (x )为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2018,2018]上的根的个数，并证明你的结论．解　(1)证明：由Error!⇒Error!⇒f(4－x)＝f(14－x)⇒f(x)＝f(x＋10)．∴f(x)为周期函数，T＝10.(2)∵f(3)＝f(1)＝0，f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0，故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解．从而可知函数y＝f(x)在[0,2018]上有404个解，在[－2018,0]上有403个解，所以函数y＝f(x)在[－2018,2018]上有807个解．16．定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．(1)判断k为何值时，f(x)为奇函数，并证明；(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解　(1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)＝0，令a＝b＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋k，所以k＝0.证明：由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，令a＝x，b＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有0＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R 成立，所以f(x)是奇函数．(2)因为f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，所以f(2)＝3.所以f(mx2－2mx＋3)>3＝f(2)对任意x∈R恒成立．又f(x)是R上的增函数，所以mx2－2mx＋3>2对任意x∈R恒成立，即mx2－2mx＋1>0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，显然成立；当m≠0时，由Error!得0<m<1.所以实数m的取值范围是[0,1)．。

2019届高考数学一轮复习第二篇函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课件理新人教版

定义域 x 定义 f(x)与f(-x) 的关系结论图象特征
2.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T 为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 ,
中心对称.
双基自测
1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是
( B
)
(B)(-a,-f(a))
(A)(a,-f(a))
(C)(-a,-f(-a)) (D)(a,f(-a)) 解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a), 所以点(-a,-f(a))在函数y=f(x)图象上.故选B.
D是关于原点对称的非空数集.
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量
互为相反数; 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
2.周期性的常用结论
4.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f((
5 )等于 2
A
1 2
) (B)1 4
(A)-
(C)
1 4
(D)
1 2
解析:因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,
1 1 1 1 5 5 5 所以 f(- )=-f( )=-f( -2)=-f( )=-2× ×(1- )=- .故选 A. 2 2 2 2 2 2 2

高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教师用书文

第三节函数的奇偶性与周期性———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )【导学号：31222032】A ．－13B.13C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意； B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意； C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．](1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴该函数为奇函数.4分(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数.8分(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数.12分 [规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1] (1)(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数(2)判断函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3的奇偶性．(1)C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．](2)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，3分即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.8分因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.12分(1)(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a ＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )【导学号：31222033】A ．－3B ．－1C ．1D ．3A [因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1，所以当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.]时，f (x )＝2x－x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________.1 009 [∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1)＝f (x ).5分故函数f (x )的周期为2.8分由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.12分 [迁移探究2] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f x”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝1f x， ∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1f x ＋1＝f (x ).5分故函数f (x )的周期为2.8分由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.12分[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ， (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)． [变式训练3] (2017·长沙模拟(一))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)D [由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2016·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]2．函数y ＝log 21＋x 1－x 的图象( ) 【导学号：31222034】A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x ＝－f (x )，∴函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.故选D.]4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f(2 019)＝( )A．－2 B．2C．－98 D．98A [∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a －x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是( )A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)D [由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]二、填空题6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：31222035】－－x－1 [∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝ x＋2 x＋ax是奇函数，则实数a＝________.－2 [由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a＝－2.]8．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝x2，若对于任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，则f(2)－f(3)的值为________．1 [由题意得f(2)＝f(－2＋4)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0.∵f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(2)－f(3)＝1.]三、解答题9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x －x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1－x 2－－x ＋1，3分又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，6分联立方程⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋g x ＝1x 2－x ＋1，－f x ＋g x ＝1x 2＋x ＋1，9分两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1.12分 10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，3分 ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.5分(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，9分综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈ 0，1 ，－2x 4x＋1，x ∈ －1，0 ，0，x ∈{－1，0，1}.12分B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 018)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2A [∵g (－x )＝f (－x －1)， ∴－g (x )＝f (x ＋1)．又g (x )＝f (x －1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 018)＝f (4×504＋2)＝f (2)＝2.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．【导学号：31222036】－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .2分又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.5分(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，9分所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].12分。

19版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.6对数与对数函数课件理

解析由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}， ∴a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.故选B.
2．(2017· 青岛统考)已知函数 g(x)＝|x－k|＋|x－1|，若对任意的x1，x2∈R，都有
方法技巧利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． 2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．见典例．
冲关针对训练 1．(2017· 郑州一模)若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为 {y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( )
角度2 解对数不等式典例 log
2 1 2
(2017· 江西名校联考)设函数f(x)＝ 8 (x ＋1)＋ 2 ，则不等式f(log2x)＋ 3x ＋1
2
f(log1 x)≥2的解集为( A．(0,2] C．[2，＋∞)
)
1 ， 2 B. 2 1 D.0，2 ∪[2，＋∞)
2 2 B. C．(1， 2) D．( 2，2) ， 1 2 2
a的取值范围是(
A. 0 ，
用数形结合法，排除法．
解析解法一：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞ 1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在
1 1 1 的图象，可知f 2 ＜g 2 ，即2＜loga 2 ，a＞范围为 2 ， 1 .故选B. 2 1 0 ， 2

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性精选教案理

第6讲函数的奇偶性与周期性1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期．5．函数周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 6．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x 轴上是关于坐标原点对称的．( √ )(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) 解析 (1)正确．根据函数奇偶性的定义，f (x )，f (－x )必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．(2)错误．若函数f (x )在点x ＝0处没有定义，如f (x )＝1x，则f (0)不存在．(3)正确．函数y ＝f (x ＋a )关于直线x ＝0对称，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． (4)正确．函数y ＝f (x ＋b )关于点(0,0)中心对称，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．2．下列函数为偶函数的是( D ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x解析易判断A ，B 项中的函数为非奇非偶函数；对于C 项，f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x－2－x )＝－f (x )为奇函数；对于D 项，f (－x )＝2－x ＋2x＝f (x )为偶函数，故选D ．3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A ．4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)＝( A )A ．－2B ．2C ．8D ．－8解析由f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)，又函数为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故选A ． 5．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝！！！－32 ###.解析函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，故ln e －3x＋1e 3x ＋1＝2ax ，即ln e －3x＝2ax ，则－3x ＝2ax ，∴a ＝－32.一函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断．(2)分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】判断下列各函数的奇偶性． (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，1－x1＋x ≥0，得定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )．综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．二函数奇偶性的应用函数奇偶性问题的解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．【例2】 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( C )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析 (1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C ．(2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin (－x )＋4，即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③ 又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f [lg(log 210)]＝f [－lg(lg 2)]＝5，又由③式知f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8， ∴5＋f [lg(lg 2)]＝8，∴f [lg(lg 2)]＝3.三函数的周期性函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【例3】定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝( B )A ．335B ．338C ．337D ．2 015解析由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋336×1＝338.四函数性质的综合应用函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例4】 (1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( A )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析 (1)由f (a －3)＋f (9－a 2)<0，得f (a －3)<－f (9－a 2)．又奇函数满足f (－x )＝－f (x )，得f (a －3)<f (a 2－9)．∵f (x )是定义域为(－1,1)的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.(2)由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c ，故选C ．1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( A )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数，故选A ．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( D )A ．－6B ．6C ．4D ．－4解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.3．已知定义在R 上的偶函数f (x )，在x ≥0时，f (x )＝e x＋ln(x ＋1)，若f (a )<f (a －1)，则a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1，＋∞)解析根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0，＋∞)上是增函数，根据偶函数图象的对称性，可知函数在(－∞，0]上是减函数，所以f (a )<f (a －1)等价于|a |<|a －1|，解得a <12，故选B ．4．若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在其定义域上为奇函数，则实数k ＝__±1__.解析根据奇函数的定义，当函数在x ＝0有定义时，可知f (0)＝k －11＋k＝0，解得k ＝1，当函数在x ＝0没有定义时，求得1＋k ＝0，解得k ＝－1．经验证，k ＝1或－1时，函数f (x )都是奇函数，故k ＝±1．易错点不会判断函数的周期性错因分析：对于定义域内的每一个x ，都满足条件f (a ＋x )＝±f (b ＋x )或f (x ＋a )＝±kf (x )的函数就是周期函数，简记为“x 同向走就有周期性”．【例1】 f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则x ∈(3,4)时，f (x )＝__________.解析由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x ＋2)＝f (x )，可知f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4)．设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵f (x )是偶函数，∴x ∈(－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵当x ∈(3,4)时，x －4∈(－1,0)，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋(x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3【跟踪训练1】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1．5)＝__2.5__.解析由已知得f (x ＋4)＝f (x )，即周期是4，于是f (1．5)＝f (－1．5)＝f (－1．5＋4)＝f (2.5)＝2.5.课时达标第6讲[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是( A ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1解析 B 项，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数，所以B 项错；C 项，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数，所以C 项错；D 项，f (x )＝x 3－1不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数，所以D 项错．只有A 项，满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( A ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，得b ＝0，所以a ＋b ＝17，故选A ．3．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则( C ) A ．函数f (g (x ))是奇函数 B ．函数g (f (x ))是奇函数 C ．函数f (x )·g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数解析令h (x )＝f (x )·g (x )，∵函数f (x )是奇函数，函数g (x )是偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数，故选C ．4．(2018·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝( D )A ．1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2解析因为当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)＝－f (2)＝－lg 2.5．(2018·河南南阳模拟)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( C )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )的图象如图．当x ∈[－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈[0,1)时，xf (x )>0无解；当x ∈[1,3]时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．故x ∈(－1,0)∪(1,3)．6．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，x －2≤ax ＋1时，a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是！！！ ⎝⎛⎭⎪⎫－13，43###. 解析因为偶函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以由f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，得f (|2x －1|)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，∴|2x －1|<53，即－53<2x －1<53，即－13<x <43.8．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，且f (2 017)＝2 018，则f (－2 017)＝__2_016__. 解析 f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，令g (x )＝ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2 017，f (2 017)＝g (2 017)＋2 017＝2 018，g (2 017)＝1，故f (－2 017)＝g (－2 017)＋2 017＝－g (2 017)＋2 017＝－1＋2 017＝2 016.9．设函数f (x )＝x1＋|x |，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x 的取值范围是__(－∞，2)∪(3，＋∞)__.解析函数f (x )＝x 1＋|x |为奇函数，当x >0时，f (x )＝1－11＋x，可得f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由奇函数的性质，可得f (x )在R 上单调递增，则由f (x 2－2x )>f (3x －6)，可得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3.三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解析 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ，又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解析 (1)当x <0时，－x >0，所以f (x )＝f (－x )＝log 12 (－x )，故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．解析 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性学案理(含解析)新人教A版

第三节函数的奇偶性与周期性2019考纲考题考情1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

1．一条规律奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。

2．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0。

(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。

3．函数周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)。

(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a≠0)。

(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a≠0)。

一、走进教材1．(必修1P 35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数。

故选B 。

答案 B2．(必修4P 46A 组T 10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________。

解析由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1。

新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课件

1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对
称．( √ )
(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条
件．( √ )
(4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周
期．( √ )
解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且 f(0) ＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．
(2)因为 y＝f(x＋a)为偶函数，则 f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－ x)，可知 x＝a 为对称轴．
1 2
.
解析：解法 1：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所
以 f(－x)＝f(x)，即(－x)3(2－x1－1＋a)＝x3(2x－1 1＋a)，所以 2a＝
－(2－x1－1＋2x－1 1)，所以 2a＝1，解得 a＝12.
解法 2：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所以 f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(2－11－1＋a)＝13×(21－1 1＋a)，解得 a＝12，经检验，当 a＝12时，函数 f(x)为偶函数．
时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，fx＋12＝fx－12，则 f(6)等于( D )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
解析：当 x>12时，fx＋12＝fx－12，即周期为 1，则 f(6)＝ f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，

高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性及周期性课件文

1＋2a＝0，∴a＝13．又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13．
答案：B
2．下列函数中，为奇函数的是
()
A．y＝3x＋31x
B．y＝x，x∈{0,1}
C．y＝x·sin x
1，x<0， D．y＝0，x＝0，
－1，x>0
解析：由函数奇偶性定义易知函数 y＝3x＋31x和 y＝x·sin x 都是
(2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x；解：(2)∵函数 f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称， ∴函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f(x)的定义域为 R， ∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数．
(2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1．又 f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝ f(0)＋f(1)＋f(2)＝1．
[小题体验]
1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ x
B．y＝cos x
C．y＝ex
D．y＝ln |x|
答案：D
2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)
＝x2＋1x，则f(－1)＝________．答案：－2
3．若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数，且满足 f(1)＝1，f(2)＝2，

2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标6函数的奇偶性与周期性理(1)

甘肃省白银市平川区2017-2018学年七年级政治下学期期中试题(考试时间60分钟总分100分）一、选择题(本题有30小题，每小题2分，共60分。

各题中只有一个正确答案，请选出最符合题意的正确选项，不选、错选、多选均不给分)热衷于参加集体活动C.班里的女同学遇到困难时，小军十分乐意帮助D.体育课上，小辉经常与班上的女同学一起进行锻炼6、青春让每个人都开一次花，但不担保让每个人都结一次果，能不能结果往往取决于你还是一朵花的时候。

这句话告诉我们（）A.要珍惜青春年华，努力充实自己B.度过青春期后，我们都会成为有才华的人C.要尽情享受青春，因为青春短暂D.不是每个人都能拥有青春7、“己所不欲，勿施于人”，这需要我们做到止于至善。

下列名言可以表达“止于至善”积极意义的是（）A.亲善产生幸福，文明带来和谐B.业精于勤，荒于嬉;行成于思，毁于随C.人皆有错，过分谦虚即是一错D.嫉妒——心灵上的肿瘤8、在学习完“品出情感的韵味”这一内容后，七年级（6)班的同学产生了以下观点，你认为正确的是（）①小军:高尚情感是天生的，不用培养②小红:我们可以通过正面的情感体验来培育高尚情感③小明：我们要通过追求正义、善良来培育高尚情感④小伟:我们可以通过欣赏美的事物来培育高尚情感A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④9、今年3月，中宣部命名了第四批全国学雷锋活动示范点和全国岗位学雷锋标兵，他们或以无私的奉献，或以平凡的感动，或以正义的力量，续写雷锋故事。

这告诉我们A. 见贤思齐，向榜样学习B. 只有成功人士才能成为榜样C. 勿以善小而为之D. 自省就能成为学雷锋标兵10、电影《厉害了，我的国》浓缩了中国5年来的飞速发展，记录了众多超燃的历史瞬间，凝聚中国力量，弘扬中国精神，让观众看得激情澎湃、热血沸腾，纷纷表示“有一种幸运叫我是中国人”。

材料中体现的情感有A. 使命感、恐惧感、爱国情感B. 归属感、自豪感、爱国情感C. 认同感、责任感、正义感D. 孤独感、胜任感、正义感11、右边漫画启示我们( )①学会调控自己的情绪②培养乐观、幽默的生活态度③掌握排解不良情绪的方法④在不良情绪面前我们无能为力A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④12、进入青春期，我们的生理在发生变化，我们的心理也发生着一系列的变化。

2019届高考数学一轮复习第2单元函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性课件理

3
f(-1)=(-1) -1=-2,∴f(6)=-f(-1)=2.
3
教学参考
3.[2017· 山东卷] 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈ [-3,0] 时,f(x)=6 ,则 f(919)=
-x
[答案]
6
.
[解析] 由 f(x+4)=f(x-2)可知周期 T=6,所以 f(919)=f(153×6+1)=f(1),又因为 f(x)为偶函数, 所以 f(1)=f(-1)=6
3 2
教学参考
4.[2015· 全国卷Ⅰ] 若函数 f(x)=xln(x+ �� + �� 2 )为偶函数,则 a= .
[答案]
1
[解析] 由 f(-x)=f(x)得 -xln(-x+ �� + �� 2 )=xln(x+ �� + �� 2 ),即 x[ln(x+ �� + �� 2 )+ln(-x+ �� + �� 2 )]=xln a=0 对定义域内的任意 x 恒成立,因为 x 不恒为 0, 所以 ln a=0,所以 a=1.
函数的奇偶性与周期性
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第6讲 PART 2
考试说明
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.
2.会运用函数图像理解和研究函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
教学参考
考情分析
考点
考查方向
考例 2014全国卷Ⅰ3 2017全国卷Ⅱ14,2017 全国卷Ⅰ5,2015全国卷Ⅰ13

2019版高考数学(文)第2章函数、导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

第讲函数的奇偶性与周期性
板块一知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点函数的奇偶性
考点函数的周期性
．周期函数
对于函数＝()，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有(＋)＝()，那么就称函数＝()为周期函数，称为这个函数的周期．
．最小正周期
如果在周期函数()的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()的最小正周期．
[必会结论]
．函数奇偶性的四个重要结论
()如果一个奇函数()在原点处有定义，即()有意义，那么一定有()＝.
()如果函数()是偶函数，那么()＝()．
()奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
()在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
．周期性的三个常用结论
对()定义域内任一自变量的值：
()若(＋)＝－()，则＝；
()若(＋)＝，则＝；
()若(＋)＝－，则＝.(>)
．对称性的三个常用结论
()若函数＝(＋)是偶函数，即(－)＝(＋)，则函数＝()的图象关于直线＝对称；
()若对于上的任意都有(－)＝()或(－)＝(＋)，则＝()的图象关于直线＝对称；
()若函数＝(＋)是奇函数，即(－＋)＋(＋)＝，则函数＝()关于点( )中心对称．
[考点自测]
．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()
()定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．()。

近年届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用课堂达标6函数的奇偶性与周期性文新人教版(2021年

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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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课堂达标（六) 函数的奇偶性与周期性［A基础巩固练]1．（2018·北京市东城区二模）下列函数中为奇函数的是( ）A．y＝x＋cos x B．y＝x＋sin xC．y＝错误!D．y＝e－｜x｜[解析]A和C为非奇非偶函数，y＝e－｜x｜为偶函数，令f（x）＝x＋sin x，定义域为R，f(－x）＝－x＋sin(－x）＝－x－sin x＝－f(x),故y＝x ＋sin x为奇函数，故选B。

[答案]B2．已知f（x），g(x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g （x）＝x3＋x2＋1,则f（1)＋g(1）＝（)A．－3 B．－1C．1 D．3［解析]因为f(x）是偶函数,g(x）是奇函数，所以f(1)＋g(1)＝f（－1）－g(－1)＝(－1）3＋（－1)2＋1＝1。

故选C。

［答案]C3．（2018·绵阳诊断)已知偶函数f（x)在区间[0，＋∞）上单调递增,则满足f（2x－1)＜f错误!的x的取值范围是( )A。

错误! B.错误!C。

错误! D。

错误!［解析］∵f(x)是偶函数，∴f（x)＝f(｜x｜)，∴f（|2x－1｜）＜f错误!，再根据f(x)的单调性，得｜2x－1|＜错误!，解得错误!＜x＜错误!，故选A。

2019届高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性理

第三节函数的奇偶性与周期性☆☆☆ 2017 考纲考题考情☆☆☆考大纲求真题举例命题角度1. 联合详细函数，认识函数奇偶性的含2016，山东卷， 9,5分 ( 函数的奇偶性、周期性 )2016，四川卷， 14,51. 函数的奇偶性与周期性是高考重要义；分( 函数的奇偶性、周期性 ) 2. 会运用函数图象理解和研究函数的奇2015，全国卷Ⅰ， 13,5考点，常将奇偶性、周期性与单一性分( 函数的奇偶性 )2014，全国卷Ⅱ， 15,5综合在一同交汇命题；偶性；分( 函数的奇偶性、单一3. 认识函数周期性、最小正周期的含义，性 )2. 题型多以选择题、填空题形式出现，一般为简单题，但有时难度也会很大。

会判断、应用简单函数的周期性。

2014，全国卷Ⅰ， 3,5分 ( 函数的奇偶性 )微知识小题练自| 主|排|查1．函数的奇偶性奇偶性条件图象特色偶函数对于函数 f ( x)的定义域 D内随意一个x，都有 f (－ x)＝f ( x)对于y轴对称奇函数对于函数 f ( x)的定义域 D内随意一个x，都有 f (－ x)＝－ f ( x)对于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝ f ( x)，假如存在一个非零常数T，使适当 x 取定义域内的任何值时，都有f (＋ ) ＝(x) ，那么就称函数y＝() 为周期函数，称T为这个函数的周期。

x T f f x(2)最小正周期：假如在周期函数 f ( x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f ( x)的最小正周期。

微点提示1．函数奇偶性常用结论(1) 假如函数 f ( x)是偶函数，那么 f ( x)＝f (| x|)。

(2)奇函数在两个对于原点对称的区间上拥有同样的单一性；偶函数在两个对于原点对称的区间上拥有相反的单一性。

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。

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课堂达标(六) 函数的奇偶性与周期性[A 基础巩固练]1．(2018·北京市东城区二模)下列函数中为奇函数的是( ) A ．y ＝x ＋cos x B ．y ＝x ＋sin x C ．y ＝xD ．y ＝e－|x |[解析] A 和C 为非奇非偶函数，y ＝e－|x |为偶函数，令f (x )＝x ＋sin x ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin(－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，故y ＝x ＋sin x 为奇函数，故选B.[答案] B2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3[解析] 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.故选C.[答案] C3．(2018·绵阳诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [解析] ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23，故选A.[答案] A4．(2018·刑台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)＜0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1, 2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)[解析] 依题意得，f ′(x )＞0，则f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)＜0等价于f (1－a 2)＜－f (1－a )＝f (a －1)，则－1＜1－a 2＜a －1＜1，由此解得1＜a ＜ 2.[答案] B5．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)＜f (x 2)，则( )A ．x 1＞x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1＜x 2D ．x 21＜x 22[解析] (1)f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e x ＝f (x )，∴f (x )在R 上为偶函数，f ′(x )＝e x －1ex ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫e x＋1ex ，∴x ＞0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由f (x 1)＜f (x 2)，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)， ∴|x 1|＜|x 2|，∴x 21＜x 22. [答案] D6．(2018·河南新野第三高级中学月考)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)[解析] 设x ＞0，则－x ＜0.∵x ＜0时，g (x )＝－ln(1－x )，∴g (－x )＝－ln(1＋x )．又∵g (x )是奇函数，∴g (x )＝ln(1＋x )(x ＞0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x ＞0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)＞f (x )，∴2－x 2＞x ，即－2＜x ＜1.[答案] D7．(2018·湖南省常德市一模)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x－1，则f (－2)＝______.[解析] 根据题意，当x ＞0时，f (x )＝2x－1，则f (2)＝22－1＝3，又由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－2)＝－f (2)＝－3；故答案为：－3.[答案] －38．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是______．[解析] ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 9．(2018·湖南衡阳第三次联考)已知函数f (x )＝log 18⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋18－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 8，则使得f (x ＋1)＜f (2x －1)成立的x 的范围是________．[解析] 由题意得，函数f (x )定义域是R ， ∵f (－x )＝log 18⎝⎛⎭⎪⎫－x2＋18－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 8＝f (x )，∴函数f (x )是偶函数，∵偶函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (x ＋1)＜f (2x －1)，∴|x ＋1|＞|2x －1|，解得0＜x ＜2，故答案为：0＜x ＜2.[答案] 0＜x ＜210．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0＜x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．[解] (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数． (2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.[B 能力提升练]1．(2018·安徽合肥一模)已知函数在f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝( )A. 4B. 2C. 1D. 0[解析] 设t ＝x －1，则f (x )＝(x 2－2x )sin(x －1)＋x ＋1＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，t ∈[－2,2]，记g (t )＝(t 2－1)sin t ＋t ＋2，则函数y ＝g (t )－2＝(t 2－1)sin t ＋t 是奇函数，由已知y ＝g (t )－2的最大值为M －2，最小值为m －2，所以M －2＋(m －2)＝0，即M ＋m ＝4，故选A.[答案] A2．(2018·宁夏银川市兴庆区长庆高中一模试卷)已知函数f (x )＝2sin x －3x ，若对任意m ∈[－2,2]，f (ma －3)＋f (a 2)＞0的恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3,3)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] ∵f (－x )＝2sin(－x )－3(－x )＝－(2sin x －3x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又f '(x )＝2cos x －3＜0，∴f (x )单调递减，f (ma －3)＋f (a 2)＞0可化为f (ma －3)＞－f (a 2)＝f (－a 2)，由f (x )递减知ma －3＜－a 2，即ma ＋a 2－3＜0，∴对任意的m ∈[－2,2]，f (ma －3)＋f (a 2)＞0恒成立，等价于对任意的m ∈[－2,2]，ma ＋a 2－3＜0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋a 2－3＜02a ＋a 2－3＜0，解得－1＜a ＜1，故选A.[答案] A3．(2018·广州调研)已知f (x )是奇函数，g (x )＝f (x )＋4，g (1)＝2，则f (－1)的值是 ________ .[解析] ∵g (x )＝f (x )＋4，∴f (x )＝g (x )－4，又f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－g (1)＋4＝2.[答案] 24．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝______.[解析] 因为f (x )为奇函数并且f (x －4)＝－f (x )．所以f (x －4)＝－f (4－x )＝－f (x )，即f (4－x )＝f (x )，且f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于x ＝2对称，并且是周期为8的周期函数．因为f (x )在[0,2]上是增函数，所以f (x )在[－2,2]上是增函数，在[2,6]上为减函数，据此可画出y ＝f (x )的图象．图象也关于x ＝－6对称，x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4， ∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8. [答案] －85．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． [解] (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x －1|＜16，解之得－15＜x ＜17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．[C 尖子生专练](2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是______．[解析]设x >0，则－x <0.∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(x ＋1)．又∵g (x )是奇函数，∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋X ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数．∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，即－2<x <1. 所以实数x 的取值范围是(－2,1)． [答案] (－2,1)。