连续小波变换
第二章-连续小波变换
2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。
STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
连续小波变换的概念
连续小波变换的概念swt,cwt,dwt1。
连续小波的概念。
就是把一个可以称作小波的函数（从负无穷到正无穷积分为零）在某个尺度下与待处理信号卷积。
改变小波函数的尺度，也就改变了滤波器的带通范围，相应每一尺度下的小波系数也就反映了对应通带的信息。
本质上，连续小波也就是一组可控制通带范围的多尺度滤波器。
2。
连续小波是尺度可连续取值的小波，里面的a一般取整数，而不像二进小波a取2的整数幂。
从连续小波到二进小波再到正交离散小波，其实就是a、b都连续，a不连续、b连续，a、b都不连续的过程。
操作他们的快速算法也就是卷积(快速傅里叶)，多孔(a trous)，MALLAT。
在MATLAB里，也就是CWT，SWT，DWT。
SWT称平稳小波变换、二进小波变换、或者非抽取小波变换。
3。
从冗余性上：CWT>SWT>DWT，前面两个都冗余，后面的离散小波变换不冗余。
4。
从应用上：CWT适合相似性检测、奇异性分析；SWT适合消噪，模极大值分析；DWT适合压缩。
5。
操作。
就是在某个尺度上得到小波的离散值和原信号卷积，再改变尺度重新得到小波的离散值和原信号卷积。
每一个尺度得到一个行向量存储这个尺度下的小波系数，多个尺度就是一个矩阵，这个矩阵就是我们要显示的时间-尺度图。
6。
显示。
“不要认为工程很简单”。
我的一个老师说过的话。
小波系数的显示还是有技巧的。
很多人画出的图形“一片乌黑”就是个例子。
第一步，一般将所有尺度下的小波系数取模；第二步，将每个尺度下的小波系数范围作映射，映射到你指定MAP的范围，比如如果是GRAY，你就映射到0-255；第三步，用IMAGE命令画图；第四步，设置时间和尺度坐标。
MATLAB是个很专业的软件，它把这些做的很好，但也就使我们懒惰和糊涂，我是个好奇心重的人就研究了下。
里面有个巧妙的函数把我说的(1,2)两个步骤封装在了一起，就是WCODEMAT，有兴趣的同学可以看看。
希望大家深入研究小波。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b，宽度为 ta,b=a t，ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
，宽度为 a,b
1 da
f(t)= C 0 a2 WT f (a,b) a,b (t)db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种（即八种基本比例尺）：1:5000 ，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother
wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许
性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
=
1 a
。
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。
第三章连续小波变换和离散小波变换.
ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b， 宽度为 ta,b=a t，
1 a , b 0 ，宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 a
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上， 设 f(t)是一个给定函数， 则当 s>1 时， f(st) 表示 f(t)的一个紧缩，当 s<1 时，则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中，当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀，当 a<1 时基函数被紧缩。
然后在尺度因子 a=1 处的小波向右移动 τ 个单位到 b=τ 处，在 a=1，b=τ 处计算 CWT，这相当于得到了时 间—尺度平面上对应于点 a=1，b=τ 的变换值。 重复上述过程， 直到到达信号的结束。 这时对应于尺 度因子 a=1 的时间—尺度平面上的一行点计算完毕。 然后 a 的值增加一点点。本来这是一个连续变换， 因此 b 和 a 的值应该连续增加。但如果用计算机来计算 小波变换的话，则 b 和 a 都必须以小步长增加。这就相 当于对时间—尺度因子相平面进行采样。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值，故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t，中心为 t0，它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ，中心为 0，则 t0= || ||
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号，我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波，则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言，由于所研究的实用信号是带限的，因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见，计算从 a=1 开始，a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时，小波将逐渐膨胀。
连续小波变换定义式
连续小波变换定义式连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种特殊的信号处理技术，用于在时间和频率域中分析信号。
它通过将信号与一组母小波进行卷积运算来捕捉信号在不同频率上的变化情况。
本文将详细介绍连续小波变换的定义式和其中的基本理论。
1. 连续小波变换的基本概念连续小波变换通过使用不同尺度的小波函数对信号进行分析，以便能够有效地捕捉到不同频率成分的变化情况。
在连续小波变换中，我们需要选取合适的小波函数作为基函数来进行卷积运算。
常用的小波函数包括Morlet小波函数、Haar小波函数、Daubechies小波函数等。
这些小波函数都具有一定的局部化特性，可以在时域和频域上实现信号的局部分析。
2. 连续小波变换的计算方法连续小波变换的定义式如下所示：$$ C(a, b) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x(t) \\frac{1}{\\sqrt{a}}\\psi^*\\left(\\frac{t-b}{a}\\right) dt $$其中，x(t)是原始信号，C(a,b)是连续小波系数，a和b分别表示尺度和平移参数。
$\\psi(t)$为小波函数，∗表示复共轭。
在计算连续小波变换时，我们需要将信号与不同尺度尺度和平移参数的小波函数进行卷积运算，并对结果进行积分。
这样可以得到一组连续小波系数，用来描述信号在不同频率上的变化情况。
3. 连续小波变换的性质连续小波变换具有许多重要的性质，下面介绍其中几个常用的性质：3.1 平移不变性连续小波变换具有平移不变性，即对信号进行平移操作后，其连续小波系数也相应地进行平移。
$$ C(a, b) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x(t-t_0) \\frac{1}{\\sqrt{a}}\\psi^*\\left(\\frac{t-t_0-b}{a}\\right) dt $$3.2 尺度伸缩性连续小波变换具有尺度伸缩性，即改变小波函数的尺度参数a，可以得到不同频率范围内的连续小波系数。
连续小波变换和梅尔倒谱系数
连续小波变换和梅尔倒谱系数连续小波变换和梅尔倒谱系数随着科技的不断发展，信号处理作为一门实用的学科越来越受到人们的关注。
在信号处理中，频谱分析是非常重要的一环，而在频谱分析中，连续小波变换和梅尔倒谱系数是两个非常常见的概念。
在本文中，我们将深入了解这两个概念和它们的应用。
一、连续小波变换1.1 原理连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种基于小波（Wavelet）理论的信号分析方法，它可以在时间和频率上同时对信号进行分析。
在CWT中，小波和原信号进行卷积，并通过平移和缩放小波，来分析原信号的局部频谱。
CWT具有多分辨率的特性，使得信号在时间和频率上的信息都可以得到准确的分析。
1.2 应用CWT广泛应用于信号处理、图像处理、生物医学工程等领域中。
其中在语音信号处理中，CWT被用于寻找语音信号的关键时刻。
二、梅尔倒谱系数2.1 原理梅尔倒谱系数（Mel-Frequency Cepstral Coefficients，MFCC）是一种将频率变换为人耳可以感知的方式，并用于语音识别的技术。
在MFCC算法中，将人类听觉感知到的声音频率划分成若干个区间，每个区间对应不同的滤波器。
在频域上，将滤波器输出结果进行离散余弦变换，得到MFCC。
2.2 应用MFCC广泛应用于语音信号处理、流派识别、音乐推荐等领域中。
在语音信号处理中，MFCC被用于将语音信号进行处理和特征提取，用于语音识别。
三、连续小波变换和梅尔倒谱系数的应用3.1 语音信号分析在语音信号的分析中，CWT可以对信号的局部频率进行分析，可用于语音信号打包、压缩，使得语音数据变得更加容易传输。
而MFCC则可对语音信号进行特征提取和降维，用于语音识别。
3.2 音乐分析在音乐分析中，CWT可以用于时间和频率上的分析，可获取音乐信号的时域信息、频域信息和相位信息。
而MFCC则可用于流派识别和音乐推荐，用于比较和匹配不同音频之间的差异性。
小波变换的数学模型及其实现方法
小波变换的数学模型及其实现方法引言：小波变换作为一种信号处理方法，在多个领域中得到了广泛的应用。
它可以将信号分解成不同频率的成分，并提供了一种有效的方式来分析信号的时频特性。
本文将介绍小波变换的数学模型以及实现方法。
一、小波变换的数学模型小波变换是一种基于时间频率局部性的信号分析方法。
它使用一组基函数（小波函数）来表示信号，并通过对信号进行连续或离散的变换来获取信号的时频信息。
1.1 连续小波变换（CWT）连续小波变换使用连续的小波函数对信号进行变换。
其数学模型可以表示为：CWT(f)(a,b) = ∫f(t)ψ((t-b)/a)dt其中，f(t)为原始信号，ψ为小波函数，a和b分别表示尺度和平移参数。
通过改变尺度和平移参数，可以得到不同尺度和位置上的小波变换系数。
1.2 离散小波变换（DWT）离散小波变换是连续小波变换的离散化形式。
它使用离散的小波函数对信号进行变换，并通过多级分解和重构来获取信号的时频信息。
其数学模型可以表示为：DWT(x)(n,k) = (1/√N) * ∑x(m)h(n-2m) * W(k-m)其中，x(n)为原始信号，h(n)为低通滤波器，W(k)为小波函数，N为信号的长度。
通过多级分解，可以得到不同尺度和位置上的小波变换系数。
二、小波变换的实现方法小波变换的实现可以通过不同的算法和工具来完成。
以下将介绍两种常用的实现方法。
2.1 基于快速傅里叶变换的实现方法通过将小波函数进行傅里叶变换，可以将小波变换转化为快速傅里叶变换（FFT）的计算问题。
这种方法在计算效率上具有优势，适用于连续小波变换和离散小波变换。
2.2 基于滤波器组的实现方法通过设计一组滤波器，可以实现小波变换的离散化计算。
这种方法适用于离散小波变换，通过多级分解和重构的方式来获取小波变换系数。
结论：小波变换作为一种信号处理方法，具有较好的时频局部性，能够有效地分析信号的时频特性。
本文介绍了小波变换的数学模型及其实现方法，包括连续小波变换和离散小波变换。
cwt 小波变换
cwt 小波变换1. 介绍小波变换（Wavelet Transform）是一种用于信号处理和数据分析的数学工具，它可以将信号分解成不同频率的子信号，并提供了对信号在时间和频率上的局部分析能力。
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是其中一种基本形式。
CWT 是通过将信号与一个母小波函数进行卷积来实现的，这个母小波函数可以进行平移和缩放。
通过调整平移和缩放参数，CWT 可以提供不同尺度下的频谱信息，从而提供了对信号局部特征的多尺度分析能力。
2. 算法原理CWT 的算法原理如下：1.选择一个合适的母小波函数（通常选择具有紧支集、平滑性和可调节性质的小波函数），如 Morlet 小波、Mexican Hat 小波等。
2.对于给定的输入信号 x(t) 和尺度参数 a，计算连续小波系数 C(a, b)：其中 x(t) 是输入信号，ψ(a, t) 是母小波函数在尺度 a 和时间 t 上的形状。
3.对不同尺度参数 a 进行迭代，计算得到一系列连续小波系数矩阵。
4.可以通过对连续小波系数矩阵进行反变换，恢复原始信号。
3. 特点与应用CWT 具有以下特点和应用：•多尺度分析能力：CWT 可以提供对信号在不同尺度下的频谱信息，从而实现多尺度分析。
这使得 CWT 在信号处理、图像处理、模式识别等领域有广泛应用。
•局部特征提取：CWT 可以通过调整母小波函数的尺度参数，实现对信号局部特征的提取。
例如，在音频处理中，可以利用 CWT 提取不同频率范围内的声音特征。
•压缩表示与去噪：CWT 可以将信号分解成不同频率的子信号，并且具有压缩表示的能力。
这使得 CWT 在数据压缩和去噪方面有应用潜力。
•图像处理与边缘检测：CWT 在图像处理中可以实现边缘检测、纹理分析等功能。
通过将图像进行连续小波变换，并根据不同尺度下的系数信息来进行图像分割和特征提取。
•信号识别与分类：CWT 可以提取信号的局部特征，并结合机器学习算法进行信号识别和分类。
第十一章--连续小波变换
尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部
11．2连续小波变换
连续小波变换的定义
信号 x(t ) L (R)
2
时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数 ( t ) 小波函数尺度伸缩与平移 CWT变换
* C W T a , ) xt () , t xt () td t x( a , () a ()
2 0
正则性 小波函数的阶原点距
CWTx (a, ) 1 1
k M * ( t)d t k t
a
x(t ) * (
t )dt a
(k ) (t )k * t )dt x ( ) ( k ! a a k 0 1 x(k ) ( ) t (t )k * ( )dt a a k 0 k !
t
a
) d t
1
t * xt ()* ( ) a a
1 * t ˆ I F T x ( ) F T ( ) a a * t * t e j t * j a u * F T ( ) ( ) d t a ( u ) ed u a () a a t a u a
常见小波函数
Morlet小波
() t e e
2 t t 0 T j
5 0
2 ˆ ( ) T e ( ) 0
T 4
1 () t Haar小波 1
2
c x ( t ) , x ( t ) W T ( a ,) , W T ( a ,) 1 2 x x 1 2
连续小波变换的定义
连续小波变换的定义连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种数学工具，用于在时域和频域之间转换信号。
它通过将信号与母小波进行卷积来分析信号的频率成分和时域特征。
连续小波变换在诸多领域中得到广泛应用，如信号处理、图像处理、模式识别等。
一、母小波母小波是连续小波变换中的基函数，用于分析信号的局部特征。
母小波必须满足一定的数学条件，其中最重要的是零平均性和正交性。
零平均性要求母小波的积分为零，这样可以排除信号的直流成分。
正交性要求母小波与不同尺度和平移的版本之间具有正交性，以便在不同频率和时间上分析信号。
一些常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波以及高斯小波。
每种母小波都有其特定的频率响应和时域特性，适用于不同类型的信号分析。
二、连续小波变换的计算步骤连续小波变换可以通过以下步骤进行计算：1.选择合适的母小波函数。
根据信号的特征选择适合的母小波函数，例如需要较好的时域分辨率时可以选择Morlet小波。
2.对母小波函数进行尺度变换和平移变换。
通过缩放和平移母小波函数，生成在不同时间尺度下的小波函数。
3.将信号与小波函数进行卷积。
对信号和不同尺度下的小波函数进行卷积运算，得到连续小波系数。
4.可选的信号重建。
根据需要，可以通过反向连续小波变换将小波系数重构为原始信号。
三、连续小波变换的特点连续小波变换相比于离散小波变换具有以下特点：1.连续性：连续小波变换可以在时间域上连续地变换信号，不需要进行离散化处理。
这使得连续小波变换对信号的时域特征更加敏感。
2.尺度可调性：连续小波变换可以通过改变母小波的尺度来分析不同频率成分的信号。
不同尺度的小波函数可以捕捉信号在不同频率范围内的变化。
3.多分辨率分析：连续小波变换可以提供多个尺度下的频谱信息，从而实现对信号的多尺度分析。
这有助于对信号中的局部特征进行更详细的分析和处理。
4.良好的时-频局部化特性：连续小波变换可以在时-频平面上对信号进行局部化分析，对信号的瞬时频率和局部时域特征进行更准确的刻画。
第十一章连续小波变换介绍
第十一章连续小波变换介绍
一、简介
连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一种处理时间序列信号的数学方法，由发明者Marcel Grossman和Jean Morlet于1986年提出。
它是理想小波变换的推广，也是时频分析的一种技术。
连续小波变换基于一种称为小波函数的正弦余弦函数，可以将一个时间信号分解为由不同频率和频带组成的一系列复合信号。
二、连续小波变换的基本原理
连续小波变换 (Continuous WaveletTransform,CWT)是一种将信号的时间序列变换为小波指数系数的一种变换。
它可以使用单点操作来将一个时间上连续的信号变换为时间上不连续的信号。
信号中的高频分量被窄带保留，而低频分量则被底带宽度突出发挥。
可以使用不同尺度的小波滤波器对信号进行分解和重建，确定信号各分量的能量分布。
三、连续小波变换的应用
(1)音频处理：连续小波变换可以用来处理声音信号，分析和处理噪声，增加音质，增强音量，去掉噪音，等等。
(2)运动控制：连续小波变换可以用来处理运动控制的信号，可以用来控制自动测量装置的稳定性，减少步进电机的抖动，改善舵机控制系统的表现等。
(3)数字图像处理：连续小波变换可以应用于数字图像处理方面，可以用来完成图像质量改善，图像去噪，以及实现视觉特征提取等任务。
连续小波变换公式
连续小波变换公式连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是信号处理中一种用于分析非平稳信号的方法。
它是由子带滤波技术发展而来, 相对于传统的傅里叶变换更适用于分析时域变化的信号。
连续小波变换公式描述了如何通过小波函数对信号进行分解和重构。
CWT(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \psi_{a,b}(t) dt\]其中，\(f(t)\) 表示输入信号，\(\psi_{a,b}(t)\) 是小波函数，\(a\) 和 \(b\) 是小波函数的尺度和平移参数。
小波函数是一种可以自适应调整尺度和平移的函数。
在连续小波变换中，小波函数的尺度参数\(a\)控制着小波函数的频率，而平移参数\(b\)控制着小波函数相对于时间轴的位置。
通过调整尺度和平移参数，可以对不同频率和时域位置的信号成分进行分析。
在连续小波变换中，小波函数通常选择为母小波（mother wavelet），它是一个能够完备描述信号的特征的函数。
常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。
不同的小波函数具有不同的频率和时域分辨率特性，适用于不同类型的信号分析。
为了实现小波变换，通常采用数值方法进行离散化计算。
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是连续小波变换的一种离散近似方法，通过对连续小波变换公式进行离散采样和求和来表示信号的小波变换。
DWT是一种非常高效的信号分析方法，被广泛应用于图像处理、信号压缩和模式识别等领域。
除了连续小波变换和离散小波变换，还有一种相对较新的小波变换方法，称为连续小波包变换（Continuous Wavelet Packet Transform，CWPT）。
连续小波包变换是连续小波变换的扩展，通过对小波系数进行进一步的分解，可以获得更高分辨率的小波变换结果。
小波变换课件 第6章 连续小波变换
第6章 连续小波变换6.1 小波及连续小波变换● 定义6.1 设函数12()()()t L R L R ψ∈ ，并且ˆ(0)0ψ=，既()0t dtψ+∞-∞=⎰，则称为一个基本小波或母小波。
对母小波()t ψ做伸缩平移得,()a b t b t a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭（6-1） 称为,()a b t ψ小波函数，简称小波。
其中0a ≠,b 、t 均为连续变量：1） a 为尺度因子，b 为平移因子。
变量a 反映了函数的宽度，b 反映了小波在t 轴上的平移位置，小波函数,()a b t ψ是基本小波函数()t ψ先b 做移位再由a 做伸缩，,a b 不断变化产生的一组函数，又称作小波基函数，或小波基。
2） 母小波的能量集中在原点，小波函数,()a b t ψ的能量集中在b 点。
3）一般，尺度因子0a >，作用是使小波()t ψ做伸缩，a 越大，()t aψ越宽，既小波的持续时间随aa 变化时保持小波,()ab t ψ的能量相等，既2,()a b t ψ2()t ψ=（保范性质）。
● 定义 6.2 设12()()()t L R L R ψ∈ ，且满足条件2ˆ()c d ψψωωω+∞-∞=<∞⎰（6-2） 则称()t ψ为允许小波，上式为允许条件。
由c ψ<+∞知，ˆ(0)0ψ=，既()0t dt ψ+∞-∞=⎰，因此允许小波一定是基本小波；反之，若()t ψ满足1()(1)(0)t c t εψε--≤+>，且ˆ(0)0ψ=，其中c 是一个常数，则式（6-2）成立。
这表明允许条件与()0t dt ψ+∞-∞=⎰几乎是等价的。
从小波的定义知，小波要求由振荡性，既包含着某些频率特征，还要求具有一定的局部性，既它在一定的区间上恒等于零或很快收敛到零。
● 设()t ψ是一个基本小波，,()b a t ψ是连续小波函数，对于()f t 2()L R ∈，其连续小波变换定义为(,)f WT ab ()*t b f t dt a ψ+∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭,,a b f ψ= （6-3）其中，0a ≠,b 、t 均为连续变量，*()t ψ表示()t ψ的共轭。
连续小波变换 4个参数
连续小波变换 4个参数连续小波变换（CWT）是一种在信号处理和图像处理中常用的分析工具。
它通过将信号与一系列不同尺度的小波函数进行卷积，来获取信号在不同频率和时间尺度上的分布情况。
CWT的主要参数包括小波基函数、尺度范围、尺度步长和边界处理方式。
1. 小波基函数：小波基函数是CWT中最重要的参数之一，它决定了CWT对信号的分析能力。
常用的小波基函数有Morlet小波、Mexican Hat小波、Haar小波等。
不同的小波基函数适用于不同类型的信号。
例如，Morlet小波适用于分析具有周期性成分的信号，Mexican Hat小波适用于分析具有脉冲特性的信号。
2. 尺度范围：尺度范围是指进行CWT时所选择的小波函数尺度的范围。
尺度越大，对应的频率越低，可以捕捉到信号的低频成分；尺度越小，对应的频率越高，可以捕捉到信号的高频成分。
选择合适的尺度范围可以更全面地分析信号的频率特性。
3. 尺度步长：尺度步长是指在尺度范围内选择小波函数尺度的间隔。
较小的尺度步长可以提高分析的精度，但同时也会增加计算量。
较大的尺度步长可以减少计算量，但可能会导致分析结果的精度降低。
根据具体需求，需要权衡精度和计算效率来选择合适的尺度步长。
4. 边界处理方式：CWT对信号的边界处理方式也是一个重要的参数。
边界处理方式决定了CWT在信号两端的分析结果。
常用的边界处理方式有零填充、对称填充和周期延拓等。
选择合适的边界处理方式可以避免边界效应对分析结果的影响。
CWT的应用非常广泛。
在信号处理领域，CWT可以用于信号的时频分析，可以提取出信号的瞬态特征和频率变化特征，对于识别和分类信号非常有用。
在图像处理领域，CWT可以用于图像的纹理分析、边缘检测和目标提取等。
此外，CWT还可以用于音频处理、生物医学信号分析、地震信号处理等领域。
连续小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，通过调整小波基函数、尺度范围、尺度步长和边界处理方式等参数，可以实现对信号在不同频率和时间尺度上的分析。
连续小波变换程序
实验一:连续小波变换实验目的：通过编程更好地理解连续小波变换，从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力！通过连续小波变换了解信号中的频率分量。
实验原理：一维连续小波变换公式：()1*2(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰当小波函数()t ψ为实函数时(,)f W a b ()12(,)f t b W a b af t dt a ψ+∞--∞-⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰在给定尺度下，对待分析信号()f t 和小波函数()t ψ按照s t nT =，s b nT =进行采样，其中s T 为采样间隔，则小波变换可近似如下：()12()(,)s f s sn n k T W a b T af nT a ψ-⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑ =()12nn k T af n a ψ--⎛⎫∆ ⎪⎝⎭∑对给定的a 值，依次求出不同a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔∆t 为0.03（常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归一化处理。
(,)(,)min*255max minm n wfab m n I -=-、实验结果：程序附录：（1）墨西哥小波函数function Y=mexh0(x)if abs(x)<=5Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2);elseY=0;end;（2）实验程序load('data.mat');n=length(dat);amax=70; % 尺度a的长度a=zeros(1,amax);wfab=zeros(amax,n); %小波系数矩阵mexhab=zeros(1,n); % ，某尺度下小波系数for s=1:amax %s 表示尺度for k=1:nmexhab(k)=mexh0(k/s);endfor t=1:n % t 表示位移wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s); %将积分用求和代替mexhab=[mexh0(-1*t/s),mexhab(1:n-1)]; %mexhab 修改第一项并右移 endendwfab_abs=abs(wfab);for index=1:amaxmax_coef=max(wfab_abs(index,:));min_coef=min(wfab_abs(index,:));ext=max_coef-min_coef;wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext;endfigure(1);plot(dat);title('原始数据图');xlabel('时间')ylabel('幅度')figure(2);image(wfab_abs);colormap(pink(255));title('连续小波变换系数图');xlabel('时间')ylabel('尺度')。
连续小波变换及其应用
连续小波变换及其应用连续小波变换及其应用小波变换（Wavelet Transform）是一种信号处理的重要方法，在信号处理、图像处理、模式识别等领域广泛应用。
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种连续域的小波变换方法，具有多尺度分析的特点。
本文将介绍连续小波变换的基本原理及其在各领域中的应用。
一、连续小波变换的基本原理连续小波变换是将被分析的信号与一组母小波进行卷积，得到不同尺度下的小波系数，从而实现对信号的频率分解和时频分析。
连续小波变换的基本原理是将信号通过与小波函数的卷积操作，实现对信号在时间和频率上的分析。
连续小波变换的数学表达式如下：\[ C(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \psi\left(\frac{t-b}{a}\right)dt \]其中，\[ a \in R^{+} \]为尺度参数，\[ b \in R \]为平移参数，\[ x(t) \]为原始信号，\[ \psi(t) \]为小波函数。
连续小波变换的特点是可以同时观察信号的时域和频域信息，提供了一种更加完备的分析手段。
相较于傅里叶变换，连续小波变换具有多尺度分析的能力，可以在不同尺度上对信号进行分解，对于瞬态信号和非平稳信号具有更好的适应性。
二、连续小波变换的应用1. 信号处理领域连续小波变换在信号处理领域中有着广泛的应用。
在信号分析中，连续小波变换可以对信号的时频信息进行分析，可以用来检测信号的瞬态特征、识别信号的频率成分等。
同时，连续小波变换还可以用于信号去噪、信号压缩、信号特征提取等方面。
2. 图像处理领域连续小波变换在图像处理领域中也具有重要的应用价值。
图像是二维信号，连续小波变换可以对图像的空间域和频率域信息进行分析，可以用于图像的边缘检测、纹理分析、图像增强等方面。
同时，连续小波变换还可以实现图像的压缩和去噪等操作。
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－
[W
－
(
f
________________
)(b, a) lim ( 0
g
, b,a
)
da a2
db
1 c
－
[W
－
(
f
)(b, a)b,a
da a2
db
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21
小波变换重构定理的一个推广：
令 1, 2是两个基小波，
c1 2 1 ˆ 1() ˆ 2 () d
则：
Meyer小波
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24
常见的基小波
Morlet小波
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25
常见的基小波
墨西哥帽子小波
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26
1、最困难的事就是认识自己。20.6.286.28.202020:1120:11:15Jun-2020:11 2、自知之明是最难得的知识。二〇二〇年六月二十八日2020年6月28日星期日 3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。20:116.28.202020:116.28.202020:1120:11:156.28.202020:116.28.2020 4、与肝胆人共事，无字句处读书。6.28.20206.28.202020:1120:1120:11:1520:11:15 5、三军可夺帅也。Sunday, June 28, 2020June 20Sunday, June 28, 20206/28/2020 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。8时11分8时11分28-Jun-206.28.2020 7、人生就是学校。20.6.2820.6.2820.6.28。2020年6月28日星期日二〇二〇年六月二十八日 8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。20:1120:11:156.28.2020Sunday, June 28, 2020
连续小波变换
——定义与特性
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1
引入连续小波变换的基本想法：
Gaobor变换的缺点在于其时频“窗口” 的宽度不随频率的变化而变化。
在实际应用中，窄的时间窗可以更精确 的描述信号的高频成分；宽的时间窗口 则有利于对信号低频特性的分析。
所以，在对信号进行时频局部化分析中， 我们需要一个自动随频率变化的时频窗 口。
*
,,
ˆ
]
a aa a
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11Leabharlann 对小波变换时频窗口的分析：
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12
对小波变换时频窗口的分析：
1.小波变换的时频窗口形状仅与参数a有关。
2.时频窗口形状与参数a的关系。 当a下降时：中心频率上升， 频域窗口变宽，时域窗口变窄。 当a上升时：中心频率下降， 频域窗口变窄，时域窗口变宽。
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13
*
a1
a1 a2
*
a2
b1 a1t* b2 a2t*
t
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14
小波变换的重构定理：
令是一个基小波，它定义了一个连续小波变换W ( f )(b, a),则：
－
[W
－
(
f
)(b,
a)
________________
W (g)(b, a)
da a2
db
c
f,g
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5
“容许性”条件：
若： L2,且满足条件：
ˆ ( ) 2
c :
d
则称为基小波, c为小波常数。
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6
对“容许性”条件的分析：
1.
"容许性”条件隐含着：
ˆ（0）＝0
即： (t)dt 0 （振荡性）
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7
对“容许性”条件的分析：
2.
为了“基小波”能提供一个局部的时频窗口， 我们还得要求满足：
W (g)(b, a)
da a2
db
c
f,g
取g (x)＝g（ t x)： (Gabor窗函数），
f
(x)
lim 0
f
, ga
lim
0
1 c
－
[W
－
(
f
________________
)(b, a)W (ga )(b, a)
da a2
db
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20
小波重构定理的证明：
1 c
)ˆ (a)
_____
g(t)
daddt
2 － －
a
1
a
eitˆ
(a)a2
fˆ
(
________
)ˆ (a)
_____
g(t)
daddt
2 － －
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17
小波重构定理的证明：
1
(
|ˆ (a) |2
da)eit
fˆ
(
)
_____
g(t)
ddt
2 － － a
c
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10
对小波变换频域窗口的分析：
若ˆ的时域中心在*,时域半径为ˆ ,则(a 0)：
^
由ˆ b,a
a
1 2
e it (t
b)dt
a
a
1 2
(
t
b) a
a
1 2
aeibˆ
(a
)
分析ˆ
可知
b,a
ˆ
的中心在 *
b,a
a
, 半径为 ˆ a
,
W ( f )(b, a)的频域窗口为
*
[
ˆ
eit
fˆ ()
_____
g(t)
ddt
2 －
c
( eit
fˆ
()d
)
_____
g(t)
dt
2 －
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18
小波重构定理的证明：
_____
c f (t) g(t) dt
－
c f , g
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19
小波重构定理的证明：
对
－
[W
－
(
f
)(b,
a)
________________
t (t) L2,ˆ () L2
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8
对“容许性”条件的分析：
3.
用
b,a
(t
)
a
1
2
(
t
a
b
),则
W ( f )(b, a) f , b,a
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9
对小波变换时域窗口的分析：
若的时域中心在t*,时域半径为 ,则： b,a的中心在b at*,半径为a ,
W ( f )(b, a)表征了信号f (t)在 [b at * a ,b at * a ]的信息。
对所有的f , g L2成立，并且对于f L2和f的连续点x R，有
f
(x)
1 c
－
[W
－
(
f
)(b, a) b,a (x)
da a2
db
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15
小波重构定理的证明：
左端＝
－
－
f , b,a
______________
g, b,a
da a2
db
－
1
－ 2
fˆ ,ˆ b,a
－
[
－
f
,
1 b,a
2 b,a
,
g
da a2
db
c
1
,
21
f,g
对所有的f , g L2成立，并且对于f L2和f的连续点x R，有
f (x)
1 c 1 , 21
－
－
f
,
1 b,a
2 b,a
da a2 db
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22
常见的基小波
Haar小波
1
1
1
1
2
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23
常见的基小波
______________
g, b,a
da a2
db
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16
小波重构定理的证明：
1
fˆ ()
2 － －
____________
_____
a eibˆ (a) d( g(t)
1 a
(
t
a
b
)dt)
da a2
db
1
(
eib
(
t
b
)db)(a
2
fˆ
(
________
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2
可用的工具：
利用Forier变换的时间展缩性：
^
x(at)
1
xˆ( )
aa
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3
连续小波变换的定义：
__________
W
(
f
)(b, a)
a
1 2
f
(t) (t
b) dt a
其中：f L2, a,b R , a 0
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4
应满足的条件：
1.时频局部化。即，ˆ 均有限。 2.振荡性。（表征f的局部频率特性）