《复变函数论》教学大纲
《复变函数论》教学大纲
《复变函数论》教学大纲一、课程基本信息中文名称：复变函数论英文名称：Theory of Functions of Complex Variable课程编号：06109B课程类别：专业基础课总学时数：48(理论42，实践6)学分：3适用专业：数学与应用数学专业开课系部：应用数学系先修课程：数学分析二、课程性质与教学目的复变函数是数学、物理及电子类各专业必修的一门基础课，其理论随着它的应用领域不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。
一方面讲述复变函数的基本理论与方法，另一方面渗透复分析领域内的相关内容。
教学目的使学生掌握复变函数的基本内容和方法，为进一步学习复分析，从事工程和电子应用、科研及其它工作打好坚实基础。
三、课程教学基本要求第一部分复数与复变函数1、复数及其几何表示内容：复数域、复平面、复数的模与辐角。
要求：明确幅角的概念，会用模与幅角的性质解决一些集合问题。
2、复平面上的点集内容：基本概念、区域。
要求：了解其基本概念，明确有关概念。
3、复变函数内容：复变函数概念、极限与连续。
要求：理解复变函数概念、极限、连续性及其性质。
4、复球面与无穷远点内容：复球面、扩充复平面。
要求：掌握扩充复平面上的几个基本概念。
第二部分解析函数1、解析函数概念及C_R条件。
内容：复变函数的导数、复变函数、C_R条件。
要求：深刻理解解析函数概念，掌握C_R条件，会用其判断函数的解析性。
2、初等解析函数内容：指数函数、三角函数与双曲函数。
要求：熟悉指数函数、三角函数与双曲函数及其映照性质。
3、初等多值函数内容：根式函数、对数函数、幂函数与反三角函数。
要求：了解初等多值函数。
能将初等多值函数分解为若干个单值函数。
第三部分复变函数的积分1、复变函数积分的概念及其性质内容：复变函数积分的定义、复变函数积分的计算、复变函数积分的性质。
要求：理解并掌握复变函数积分的概念及其性质。
2、柯西积分定理内容：柯西积分定理、不定积分、柯西积分定理的推广。
复变函数论教学大纲
《复变函数论》教学大纲第一部分总则（一）本课程基本情况课程编号: 11101203课程类别: 学科基础适用专业: 数学教育与统计学开课学期: 大二下总学时: 60 讲课学时: 52习题课学时: 8 其它: 学分: 3开课教研室: 函数论（二）本课程的性质、目的和任务本课程是数学专业的重要课程，是《数学分析》的后续课程，其数学基础主要是《数学分析》，其主要任务是在复数域中建立微积分理论，其思想方法与《数学分析》紧密相关。
但是，《复变函数论》并非对《数学分析》内容在复数域中作简单平行推广，而是更注重研究新问题，建立新理论，因此，学生在学这门课程时，既要注意与《数学分析》的相似之处，更要注意之间的相异之处。
特别许多实函数不具有而复函数具备。
（三）本课程的基本要求通过本课程的学习，使学生进一步加深和提高对《数学分析》课程的理解。
使学生掌握解析函数，复积分Cauchy定理及Cauchy积分公式，泰勒展式，罗朗展式及保形映射理论，注重参数定理及应用，使学生会用他们来解决《数学分析》不能解决的积分问题。
凡书中标有*号处均略去不讲，另外关于调和函数的平均值定理与极限定理，波阿松积分与狄利克莱问题作一般了解要求。
（四）本课程与其他课程的联系和分工本课程为数学教育专业与统计学专业课，与数学分析、积分变换有承上启下的联系，在数学物理方法和工程技术中有广泛应用。
（五）课程的结构与学时安排使用教材：钟玉泉.《复变函数论》.第三版.北京：高等教育出版社，2004.参考书目：1.余家荣.《复变函数论》. 北京：高等教育出版社2.庄圻泰，张南岳.《复变函数》.北京：北京大学出版社3.钟玉泉.《复变函数论学习指导书》. 北京：高等教育出版社第二部分各章节内容和学时分配第一章复数和复变函数教学目标1.掌握复数的基本概念及复数的五种表达方式2.充分理解复函数的定义——相当于两个二元函数3.掌握复极限，连续定义及性质4.理解复球面、无穷远点意义教法提示：讲授法.教学内容与学时分配1.复数域、复平面、复数的模、幅角、复数四则运算，乘方与方程，共轭复数（2学时）2.复平面上的点集概念，区域与约当曲线（1学时）3.复变函数极限与连续性（2学时）4.复球面与无穷远点（1学时）第二章解析函数教学目标1.掌握复变函数的导数、微分概念及性质2.掌握解析函数的概念及性质3.熟练掌握函数可微的C-R方程4.掌握z e、sinz、cosz、tgz、ctgz、secz、cscz函数的性质5.掌握n z、Lnz的性质，了解a z的性质教法提示：讲授法教学内容与学时分配1.函数导数及微分，解析性、C-R条件（3学时）2.初等解析函数sinz、cosz、tgz、ctgz、secz、cscz （2学时）3.初等多值解析函数；n z、z a、Lnz，支点、交割线（3学时）第三章复函数的积分教学目标1.理解复积分的定义及性质2.熟练掌握复积分的条件计算方法3.掌握柯西积分定理。
《复变函数论》标准教学大纲
课程名称：复变函数英文名称：适用对象：数学与应用数学专业函授生先修课程：数学分析执笔人：于兴江审定人：孟晗一、课程地性质、目地和任务《复变函数》课程是数学与应用数学专业函授生地一门必修课.它在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术…）有着广泛应用.另外，它地某些内容与中学数学教育还有着密切联系.通过本课程地学习,使学生系统掌握复变函数地基本理论与方法,从而增强分析问题与解决问题地能力.文档收集自网络，仅用于个人学习开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数地基本理论与方法地基础上，一方面对于学生建立良好地数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定地解决实际问题地能力，再就是使学生对中学数学地某些知识有比较透彻地理解与认识，从而增强做好中学数学教育工作地能力.文档收集自网络，仅用于个人学习学习复变函数课程需要数学分析课程地有关知识，同时它也为泛函分析与数学物理方程等后继课地学习做好了必要地准备.文档收集自网络，仅用于个人学习二、课程教学和教改基本要求熟练掌握复变函数地基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数地泰勒展开与罗朗展开、留数理论、保形变换、解析开拓、调和函数等有较深入地了解.文档收集自网络，仅用于个人学习三、课程各章节重点与难点、教学要求与教学内容、学时分配第一章复数与复变函数重点难点：无穷远点与扩充复平面教学要求：．熟练掌握复数地模与幅角、复数地三种表示、复数地基本性质，掌握复数地乘幂与方根地求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单地几何问题.文档收集自网络，仅用于个人学习．理解平面点集地几个基本概念，理解区域与约当曲线地概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域.文档收集自网络，仅用于个人学习．充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数地几何表示，会求简单平面图形地变换象（或原象），理解复变函数地极限，掌握极限地等价刻划定理，理解复变函数地连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数地性质.文档收集自网络，仅用于个人学习．了解复球面，理解无穷远点与扩充复平面.教学内容：复数地表示，复数地性质与运算，平面图形地复数表示，区域与约当曲线，复变函数地概念，复变函数地极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面.文档收集自网络，仅用于个人学习第二章解析函数重点：解析函数地概念，解析函数地充要条件.难点：支点地概念，具有多个支点地多值函数.教学要求：．理解复变函数地导数地概念，掌握解析函数地定义及其简单性质，熟练掌握解析函数地等价刻划定理特别是柯西黎曼条件.文档收集自网络，仅用于个人学习．熟练掌握指数函数地定义与主要性质，掌握三角函数地定义与基本性质，了解双曲函数定义与基本性质.．掌握幂函数与指数函数地变换性质与单叶性区域，理解并逐步掌握通过限制幅角或割破平面地方法求根式函数和对数函数地单值解析分支，了解一般幂函数与一般指数函数，理解并掌握求具有多个支点地多值函数地支点从而使其能分出单值解析分支地方法，会由已知单值解析分支地初值计算终值，了解反三角函数与反双曲函数.文档收集自网络，仅用于个人学习教学内容：复变函数地导数与微分，解析函数及其简单性质，柯西黎曼条件，指数函数，三角函数，双曲函数，根式函数，对数函数，一般幂函数与一般指数函数，具有多个支点地多值函数，反三角函数与反双曲函数.文档收集自网络，仅用于个人学习第三章复变函数地积分重点：柯西积分定理，柯西积分公式.难点：柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数地关系.教学要求：．理解复变函数地积分地定义，掌握复积分地性质与计算方法.．掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们地应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定地单值解析函数，会用牛顿莱布尼兹公式计算复定积分.文档收集自网络，仅用于个人学习．熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解析函数地平均值定理、无穷可微性以及它地第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理.文档收集自网络，仅用于个人学习．掌握调和函数与共轭调和函数地概念，理解解析函数与调和函数地关系，掌握由解析函数地实部（或虚部）求虚部（或实部）地两种方法.文档收集自网络，仅用于个人学习教学内容：复变函数地积分地定义、性质与计算，柯西积分定理及其推广，不定积分，柯西积分公式或高阶导数公式，解析函数地无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理，解析函数与调和函数地关系.文档收集自网络，仅用于个人学习第四章解析函数地幂级数表示法重点：解析函数地第三充要条件，第四充要条件，解析函数地唯一性定理，解析函数零点地孤立性.难点：解析函数地唯一性定理，解析函数零点地孤立性.教学要求：．理解复数项级数敛散性地定义，掌握其收敛性地两个刻划定理，掌握复级数地绝对收敛性及绝对收敛复级数地性质，掌握关于复变函数项级数地柯西一致收敛准则与优级数准则，熟悉复连续函数项级数地性质，了解复变函数项级数地内闭一致收敛性，熟练掌握关于解析函数项级数地维尔斯特拉斯定理.文档收集自网络，仅用于个人学习．掌握阿贝尔定理，充分理解幂级数地敛散性，熟练掌握幂级数收敛半径地求法，掌握幂级数和函数地解析性.文档收集自网络，仅用于个人学习．掌握泰勒定理，理解幂级数地和函数在收敛圆周上地情况，掌握一些初等函数地泰勒展开式，会用间接法把解析函数展开为幂级数.文档收集自网络，仅用于个人学习．掌握解析函数零点地概念及具有零点地解析函数地表达式，掌握解析函数零点地孤立性与解析函数地唯一性定理，熟练掌握最大模原理及其推论.文档收集自网络，仅用于个人学习教学内容：复数项级数及其基本性质，一致收敛地复变函数项级数及其性质，解析函数项级数地维尔斯特拉斯定理，阿贝尔定理和幂级数地敛散性，幂级数收敛半径地求法，幂级数和函数地解析性，泰勒定理，幂级数地和函数在收敛圆周上地情况，一些初等函数地泰勒展开式，解析函数零点地孤立性，解析函数地唯一性定理，最大模原理.文档收集自网络，仅用于个人学习第五章解析函数地罗朗展式与孤立奇点重点：罗朗定理，孤立奇点地类型及其判别法.难点：罗朗定理，孤立奇点地类型及其判别法.教学要求：．了解双边幂级数地敛散性及其和函数地解析性，掌握罗朗定理，理解罗朗级数与泰勒级数地关系，会用间接法把解析函数在孤立奇点邻域内展成罗朗级数.文档收集自网络，仅用于个人学习．掌握孤立奇点地三种类型及其判别法，掌握席瓦尔兹引理，了解关于本性奇点地维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理.文档收集自网络，仅用于个人学习．理解解析函数在无穷远点邻域内地性态，掌握无穷远点作为孤立奇点地分类及相应地判别法.．掌握整函数地概念及其分类，了解亚纯函数地概念及其与有理函数地关系.教学内容：双边幂级数，罗朗定理，解析函数在孤立奇点邻域内地罗朗展式，孤立奇点地三种类型及其判别法，席瓦尔兹引理，关于本性奇点地维尔斯特拉斯定理和皮卡（大）定理，解析函数在无穷远点地性质，整函数与亚纯函数. 文档收集自网络，仅用于个人学习第六章留数理论及其应用重点：留数定理，留数地求法，儒歇定理.难点：用留数计算实积分，幅角原理，儒歇定理.教学要求：．掌握留数地定义与留数定理，熟练掌握留数地求法，掌握无穷远点地留数地定义及其求法.．掌握用留数计算三角函数有理式在一个周期上地积分、有理函数地无穷限广义积分、有理函数与纯虚变量指数函数（或三角函数）乘积地无穷限广义积分地方法，了解积分路径上有奇点地积分地求法.文档收集自网络，仅用于个人学习．掌握关于解析函数零点与极点个数地定理，掌握幅角原理及其应用，掌握儒歇定理及其应用.教学内容：留数地定义，留数定理，留数地求法，函数在无穷远点地留数，用留数计算实积分，对数留数，幅角原理，儒歇定理.文档收集自网络，仅用于个人学习第七章保形变换重点：保形变换.难点：儒可夫斯基变换，黎曼映射定理，边界对应定理.教学要求：．理解并掌握解析变换地保域性，理解解析变换地保角性（导数地几何意义），理解单叶解析变换地保形性.文档收集自网络，仅用于个人学习．熟练掌握分式线性变换，掌握分式线性变换地保形性、保交比性、保圆（周）性、保对称点性及分式线性变换地应用.文档收集自网络，仅用于个人学习．掌握幂函数与根式函数所构成地保形变换及其作用，掌握指数函数与对数函数所构成地保形变换及其作用，了解由圆弧所构成地两角形区域地保形变换及其作用，了解儒可夫斯基变换.文档收集自网络，仅用于个人学习．充分理解黎曼映射定理及其重要意义，理解边界对应定理.教学内容：解析变换地保域性和保角性，单叶解析变换地保形性，分式线性变换及其分解，分式线性变换地保形性、保交比性、保圆（周）性、保对称点性，分式线性变换地应用，幂函数与根式函数所构成地保形变换，指数函数与对数函数所构成地保形变换，由圆弧构成地两角形区域地保形变换，儒可夫斯基变换，黎曼映射定理，边界对应定理.文档收集自网络，仅用于个人学习四、课外习题及课堂讨论课外习题及课堂讨论及见教材《复变函数论》钟玉泉编（第三版）高等教育出版社.五、作业与考核方式作业：见《复变函数论》钟玉泉编（第三版）高等教育出版社.考核方式：闭卷考试六、推荐教材教学参考书：教材：《复变函数论》钟玉泉编（第三版）高等教育出版社.参考书：、[德]著：《复变函数论》，第一卷(赵彦达译)，高等教育出版社文档收集自网络，仅用于个人学习、[俄]普里瓦洛夫《复变函数引论》，闵嗣鹤，程民德等译，人民教育出版社，.、(阿尔福斯):《复分析》（张立、张靖译），上海科学技术出版社，.文档收集自网络，仅用于个人学习、庄圻泰，张南岳著：《复变函数》，北京大学出版社，、华北师范大学：《复变函数论》，辽宁人民出版社，、余家荣，路见可主编：《复变函数专题选讲》（一），高等教育出版社，、[苏联]沃尔科维斯基：《复变函数论习题集》（宋国栋等译），上海科学技术出版社，、余家荣编：《复变函数》，人民教育出版社，、范宜传，彭清泉：《复变函数习题集》，人民教育出版社，李建林编：《复变函数与积分变换》典型题分析解集，西北工业大学出版社，、周正中，郑吉富编《复变函数与积分变换》，高等教育出版社，。
复变函数课程教学大纲
4． 复数项级数与复变函数项级数、绝对收敛与一致收敛、逐项积分与逐项求导、
幂级数与泰勒（Taylor）展式、罗朗（Laurent）展式、解析函数的孤立奇点
与唯一性、最大摸原理、解析函数孤立奇点的分类与在无穷远点的性质、施瓦
尔兹（Schwarz）引理
基本要求：熟悉复数项级数和复函数项级数的基本性质，掌握复函数项级数的
专业必修课
授课对象 （Audience）
数学系本科生
授课语言
(Language of
中文
Instruction) *开课院系 （School） 先修课程
（Prerequisite） 授课教师
数学系 数学分析课程网址来自（Instructor）
(Course Webpage) 复变函数是数学分析的一门后继课程，也是全日制大学数学系本科生必修的一
典型的复积分和实积分；掌握幅角原理及儒歇定理。(A4,A5,B2,B3,B7,C2,C4)
6． 共形映射、分式线形变换与某些初等函数构成的共形映射、黎曼映照定理与边
界对应原理
基本要求：熟悉单叶解析函数和共形映射的概念，了解解析变换的保域性和保角性；
熟悉分式线形映射（变换）的性质，了解分式线性变换群，会用分式线形映射与一
门专业基础课，通常放在大学二年级数学分析的主要内容学习完之后开设。复变函
数论（又称复分析）是经过数个世纪发展起来的一门数学学科，且很多方面发展得
相当成熟，结果也相当丰富。通过学习，可以使学生更进一步感受数学之美。同时
复变函数论也是和实际相联系的一门学科，一些平面上（甚至更广）的实际问题可
*课程简介（Description） 以用复变函数建立模型并加以解决。本课程属于数学基础课程，和数学分析有一些 相通之处，但也有着本质的不同。推广与创新是数学乃至科学研究中的一个很通用
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。
教学内容第一章复数与复变函数复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。
复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。
（一）教学内容1．复数发展史略；2．复数的定义及运算。
复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。
3．平面上的点集。
平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、开集、闭集、有界集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、闭区域、单连通区域、复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。
《复变函数》课程简介及教学大纲
《复变函数》课程简介及教学大纲课程代码：112000091课程名称：复变函数/Function of a Complex Variable课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共性映射共六章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数、映射的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数及映射概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
3 初等函数。
基本要求：1 理解复变函数的导数及解析函数的概念，掌握复变函数连续、可导、解析之间的关系及求导法则。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《复变函数》是数学与应用数学（教师教育）专业的一门重要的专业限选课程，它是重要的基础课程。
本课程的任务是使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数相关知识的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
（二）课程教学的目的和要求在学习本课程之前，学生已经学过数学分析。
本课程本质上是复分析的基本内容。
通过本课程的学习，使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
掌握：解析函数概念及几个与解析函数相关的等价命题、残数理论及其应用、最大模原理及其应用。
理解：复积分、复级数理论。
了解：复几何的基本思想。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学相结合的方法进行。
基本知识与重要内容如基本定理与重要定理从叙述到详细证明，应用等由教师讲授，其它由学生自学。
为了贯彻少而精的原则，本大纲在内容选取上注意突出基本理论与基本方法。
对与数学分析中平行的概念和结果，既指出其相似之处，更强调其不同之点。
对本课程所具有的新内容，包括其证明方法，在课程教学中教师都将给予较详尽的讲解。
有*号的内容，可视教学情况而取舍。
（四）课程与其它课程的联系本课程的先行课程是数学分析，而本课程所讨论的内容和研究方法是其它许多数学理论的基础。
例如在微分几何、偏微分方程、动力系统、计算数学、近代物理、工程技术等理论中都有广泛的应用。
（五）教材与教学参考书教材：钟玉泉编，《复变函数论》，高等教育出版社，2004年第三版教学参考书：余家荣编，《复变函数》，高等教育出版社，1988年第二版二课程的教学内容、重点和难点第一章复数与复变函数教学内容：复数及其表示、几何上的应用，复平面点集，复变函数，复球面与无穷远点重点：复平面点集，复变函数难点：复球面与无穷远点第二章解析函数教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼条件、初等解析函数、初等多值函数重点：解析函数的概念与柯西-黎曼条件难点：支点的概念与初等多值函数第三章复变函数的积分教学内容：复积分的概念及其简单性质、柯西积分定理、柯西积分公式及其推论、解析函数与调和函数的关系、*平面向量场——解析函数的应用（一）重点：柯西积分定理、柯西积分公式及其推论难点：柯西积分公式及其推论第四章解析函数的幂级数表示法教学内容：复级数的基本性质、幂级数、解析函数的泰勒展式、解析函数零点的孤立性及唯一性定理重点：解析函数零点的孤立性及唯一性定理难点：解析函数的泰勒展式与唯一性定理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学内容：解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点、解析函数在无穷远点的性质、*平面向量场——解析函数的应用（二）重点：解析函数的罗朗展式难点：解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质第六章残数理论及其应用教学内容：残数、用残数定理计算定积分、辐角原理及其应用重点：用残数定理计算定积分难点：辐角原理及其应用*第七章保形变换教学内容：解析变换的特性、线性变换、某些初等函数所构成的保形变换重点：线性变换难点：某些初等函数所构成的保形变换三建议学时分配。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲课程类别：专业基础课课程代码：LX2107总学时：72 学时学分：4学分适用专业：数学与应用数学本科专业先修课程：数学分析、解析几何一、课程地位、性质和任务复变函数论是数学专业的一门重要必修基础课，又是数学分析的后继课，它的理论与方法深刻渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学的各个分支；同时，在物理的热力学、流体力学、弹性物理等和其它科学领域以及工程技术中都有广泛的应用。
通过本课程的学习，使学生掌握复变函数的基本知识、基本理论和基本方法，了解复变函数在其它学科中的有关应用，进一步理解分析数学的思想和方法。
并通过该课程的系统性和严谨性，以锻炼学生思考问题和逻辑推理能力，提高应用知识解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求通过本课程的学习，使学生熟练掌握复变函数的基本概念、基本理论、基本运算及基本方法。
进一步理解分析数学的思想和方法。
了解本学科数学发展的前沿。
同时，通过课堂教学及进行大量的习题训练等各个教学环节，使得学生做到概念清晰、推理严密、运算准确，并且学会应用这些基本理论及方法去处理实际问题，来提高分析问题解、决问题的能力。
三、教学内容与学时分配第一章复数及复平面（8学时）本章介绍了复数及复平面的相关概念，是复变函数论的基础。
需要理解复数的概念；熟悉复数的多种表示法、复数的代数运算；理解复数运算的几何意义；了解区域、曲线和复球面等概念；掌握用复数的方程来表示常用曲线及用不等式表示区域。
重点是复数的运算以及用复数方程表示曲线，用不等式表示区域。
难点是用不等式表示区域。
第二章复变函数（10学时）本章介绍了复变函数概念及其极限与连续、复变函数的导数与解析函数的概念以及它的一些充要条件、初等函数及性质。
需要掌握复变函数概念、复变函数的极限与连续性；掌握解析函数的概念与柯西—黎曼条件；掌握复变函数的导数、初等解析函数的概念及性质；了解初等多值函数。
重点是解析函数的概念，函数解析的充要条件，初等函数的概念及其解析性。
《复变函数论》教学大纲
《复变函数论》教学大纲一、课程基本信息课程编码：0601112B中文名称：复变函数论英文名称：Theory of Functions of Complex Variable课程类别：专业基础及核心课总学时：48总学分：3适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何二、课程目标（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解复变函数的发展历史，遵循周易中的复卦的复。
【支撑毕业要求1】2.理解复数的表示方法。
【支撑毕业要求2】3.理解复变函数的基本概念、基本理论、基本方法。
【支撑毕业要求3】4.掌握留数的计算和应用。
【支撑毕业要求5】5.能够应用复变函数方法解决实际问题，理解不同学科间的联系与渗透。
【支撑毕业要求3、4】6.培养了抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、科学计算能力及分析和解决实际问题的能力。
【支撑毕业要求4、6、7、8】（二）课程目标与毕业要求的对应关系表1 课程目标与毕业要求的对应关系（一）课程内容与课程目标的关系表2 课程内容与课程目标的关系（二）具体内容第一章复变函数的基本概念(10学时）【学习目标与要求】1、学习目标：了解复变函数的发展历史，理解“复”的含义。
会用复数的6种表示方法互相变换，会准确计算六种表示方法中复数的实部、虚部、模、辐角等。
会应用复数乘除的几何意义证明一些几何问题。
会计算复数列的极限。
掌握复变函数极限与实二元函数二重极限关系，会计算复变函数的极限。
掌握柯西黎曼方程，理解可微分的必要条件，理解可微分的充要条件，理解可微分的必要条件。
2、学习要求：理解复数的相关基本概念，掌握复数的代数运算，理解复数的三角形式乘除运算，掌握三角形式的幂运算和开方运算。
理解复数的几何表示和几何意义，掌握复数乘法除法的几何意义，了解复数幂和开方的几何意义。
理解复数极限的定义，掌握复数列极限的充要条件，理解复变函数的定义，理解复变函数定义域和值域的关系，了解复变函数的分类，理解复变函数极限的定义和充要条件，理解连续性的定义，掌握复变函数连续的性质，理解复变函数连续的充要条件。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲课程名称：复变函数课程编码：英文名称：ComplexAnalysis学时：48学分：3适用专业：信息与计算科学课程类别：任选课程性质：学科基础课先修课程：数学分析高等代数空间解析几何教材：复变函数论钟玉泉第三版高等教育出版社一、课程性质与任务复变函数论是一门古老而富有生命力的学科;早在19世纪,Cauchy、Weierstrass及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础;复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广,而且作为一种强有力的工具,它不仅在数学学科众多分支如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…有着广泛应用,而且还被广泛的应用于自然科学的众多领域,如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等,目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域;复变函数论课程是信息与计算科学专业的一门重要必修基础课;开设本课程,主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上,一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助,另一方面,使学生具备一定的分析问题、解决实际问题的能力;二、课程教学的基本要求复变函数论作为一门学科,有其自身的特点和研究方法与研究工具,在学习过程中,应注意与微积分理论的比较,从而加深理解,同时也须注意复变函数本身的特点,并掌握它自身所固有的理论和方法,抓住要点,融会贯通;本课程主要包括：复数与复变函数、解析函数——柯西黎曼定理、复变函数的积分——柯西定理、柯西积分公式与高阶导数公式、级数——泰勒级数与洛朗级数、应用留数计算及其应用;教学要求层次：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求;在复变函数论的学习过程中,使学生逐步提高数学修养,掌握数学研究的基本思想方法,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高,同时极大的扩展学生的学习思路,使他们了解更多的应用知识,特别是和现代生活息息相关的数学应用知识;三、课程内容及教学要求第一章复数与复变函数教学基本内容：1.复数发展史略；2.复数定义及运算：复数的定义、相等及运算,复数的代数式,复数的模与辐角,共轭复数；3.复平面与复球面：复平面,复数的向量式、三角式与指数式,复数的乘幂与n次方根,无穷远点与复球面；4.复数的应用举例；5.平面点集：邻域,聚点,孤立点,内点,外点,边界点,边界,开集,闭集,有界集,曲线连续曲线,简单曲线,简单闭曲线,光滑曲线,逐段光滑曲线,区域,闭区域,单连通区域,复连通区域,几个重要定理闭矩形套定理,有限覆盖定理,聚点原理,无穷远点的邻域；6.复变函数,极限,连续：复变函数单值函数,多值函数,单叶函数,反函数,无界函数,极限,有界数列,无界数列,几个定理柯西收敛准则等,复变函数的连续性,复变函数连续性与其实部和虚部连续性的关系;重点：1．复数及其运算；2．复平面,复数的模与辐角；3．复平面上的点集,区域；4．无穷远点与扩充复平面；5．复变数函数,极限与连续概念;难点：复数的球面表示及无穷远点的概念的理解;本章节主要教学要求：了解复数定义及其几何意义,熟练掌握复数的运算；知道无穷远点邻域；了解单连通区域与复连通区域；理解复变函数、极限与连续;第二章解析函数教学基本内容：1．复变函数的导数定义；2．解析函数的概念及基本性质；3．解析函数的求导公式与求导法则；4．柯西－黎曼条件.条件；5．指数函数；6．多值函数导引：辐角函数；7、对数函数；8．幂函数；9．三角函数;重点：1.解析函数定义；2.解析函数的充分必要条件及柯西－黎曼条件所揭示的解析函数的特征；3．初等函数概念与性质;难点：1．已知解析函数的实部或虚部,求该解析函数、支点;本章节主要教学要求：复变函数的概念,能把复变函数理解为两个复平面集合间的映射,能把一个复变函数看成两个实的二元函数；能精确的叙述复变函数的极限概念,并直观的理解起意义；掌握复变函数的连续性概念和基本性质；理解复变函数可导与解析的概念,弄清这两个概念之间的关系；熟练掌握解析函数的.条件；能运用.条件判定函数的解析性；熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式；熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义、基本性质和简单映射性质,并会运用欧拉公式和复数的指数表示；掌握各初等多值函数的定义和基本性质,了解其多值性;第三章复变函数积分教学基本内容：1．复变函数积分的定义及基本性质；2．单连通区域内的柯西积分定理；3．不定积分概念；4．多连通区域内的柯西积分定理；5．柯西积分公式,高阶导数公式；6．平均值公式,最大模原理；7．柯西不等式,刘维尔定理,代数基本定理的证明,摩勒拉定理; 重点：1．柯西积分定理；2．柯西积分公式；3．高阶导数公式;难点：1．计算非解析函数沿积分路径为非闭曲线的积分;本章节主要教学要求：掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义,基本性质和计算方法,及其与实函数积分的关系；熟练掌握柯西积分定理,能证明柯西积分定理；理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念；熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式；掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理,并能应用它们做一些较简单的证明题,了解摩勒拉定理;第四章解析函数的幂级数表示法数学基本内容：1．复数项级数、序列,柯西收敛准则；2．复函数项级数,一致收敛及其判别准则,维尔斯特拉斯定理；3．幂级数的收敛圆,收敛半径公式,幂级数在收敛圆内表示解析函数；4．解析函数在一点邻域内展开成泰勒级数,展开式的唯一性、系数公式,初等函数的泰勒展开；5．解析函数零点的孤立性,唯一性定理;重点：1.幂级数的收敛圆及收敛半径的求法；2.将函数在一点展成幂级数的方法；3.解析函数的唯一性定理;难点：1．利用级数乘法将函数在指定点展成泰勒级数;本章节主要教学要求：理解复数项级数的基本概念,掌握一致收敛性的判别法；掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式,理解幂级数在收敛圆内的内闭一致收敛性与所定义函数的解析性；牢记e z,In1+z,sinz,cosz和1+z a的幂级数展开式,并能熟练的运用；掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理;第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点教学基本内容：1．洛朗级数的定理与收敛域,内闭一致收敛性,所定义函数的解析性；2．解析函数洛朗展开式的系数公式、收敛域；3．解析函数的孤立奇点包括无穷远点的分类,三类奇点的特征与性质；4．整函数与亚纯函数的概念;重点：1.将函数展成洛朗级数的方法；2.识别孤立奇点类别的方法；3.解析函数在其孤立奇点的去心邻域内的性质;难点：1.孤立奇点类别的识别；2.将在其孤立奇点展成洛朗级数;本章节主要教学要求：理解洛朗级数的概念,会求出一些简单的洛朗级数的收敛域；能熟练的求出一些较简单函数的洛朗展开式；掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质,了解解析函数在无穷远点的性质；了解整函数与亚纯函数的概念;第六章留数理论及其应用教学基本内容：1．留数的定义及计算方式,在无穷远点的留数；2．留数定理；3．利用留数定理计算实积分；重点：1.计算留数的方法；2.留数基本定理;难点：1．函数在无穷远点处留数的计算;本章节主要教学要求：理解留数的定义；熟练掌握计算留数的方法；理解留数基本定理,会用留数理论计算积分；知道利用留数定理计算实积分的一般方法,并能计算常见的三种类型的实积分;三、课程学时分配五、课程习题要求每章根据学生学习情况,留有一定数量的思考题供学生课后复习,巩固课堂教学效果,并进行讲评;六、考核方式以期末闭卷考试成绩为主,参考课堂提问、课堂讨论、实验、平时作业及出勤情况等,综合评定给出成绩;七、课程的主要参考书1、复变函数论钟玉泉编高等教育出版社2、复变函数余家荣编人民教育出版社3、复变函数引论N·N·普里瓦洛夫着人民教育出版社。
复变函数 课程教学大纲
复变函数课程教学大纲适用专业：本科数学各专业学时：50先修课程：数学分析、高等代数制定日期：2002年9月一、本课程的地位和作用复变函数论是数学各专业的一门重要基础课，也是数学分析的一门后继课程。
本课程用分析的、几何的、代数的等方法研究复变量的解析函数的有关问题，已经形成了十分丰富、系统、完美、和谐的理论体系，其理论和方法已经渗入到纯粹数学和应用数学的各个分支，同时在流体力学、空气动力学、弹性力学、电磁学、热学、电工及通讯等方面都有着极其重要的应用。
另外，还可以利用复变函数论知识解决中学数学中的问题。
学习复变函数论这门课程，可以使学生获得必要的数学知识修养，提高数学素质，锻炼逻辑思维和复杂的计算能力，并为学生学习后继课程打下良好的基础。
二、本课程的教学目标通过讲授本课程，使学生获得：（1）复变函数的积分理论；（2）复变函数的级数理论；（3）复变函数的几何理论等方面的基本概念、基本理论和基本方法。
认识到高等数学对初等数学的指导作用；认识到一些不同数学分支之间的内在联系和互相影响。
培养学生的运算能力，抽象思维能力和逻辑推理能力。
三、课程内容和基本要求（一）复数与复变函数1．教学基本要求（1）详细介绍引进复数的过程以及复数在整个数学发展过程中所起的重要作用；（2）熟练掌握复数的三种形式的表示法，复数的代数运算。
（3）掌握用复数解决几何问题的思想和方法。
（4）了解复平面上点集的一般概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线。
（5）能精确叙述复变函数的极限与连续的概念，掌握其基本性质。
（6）详细介绍引进扩充复平面的思想和方法，说明紧化的重要作用。
2．教学内容（1）*复数及其运算。
复平面。
*复数的模与辐角及其三种表示法。
（2）△复数的乘幂与方根。
（3）复数在几何中的应用。
（4）复平面上点集的有关概念。
*区域、曲线的有关概念，约当定理。
△复数方程表示曲线以及不等式表示区域。
（5）*△复变函数与映射（或变换）的概念，一个复变函数与一对二元实变函数的关系。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲一、引言复变函数是数学中重要的概念和工具之一，它在多个学科领域中具有广泛的应用。
本教学大纲旨在介绍复变函数的基本概念、性质和相关定理，培养学生的复变函数思维和解题能力。
二、基础知识1. 复数的基本概念1.1 复数的定义和表示1.2 复数的运算规则1.3 复数平面2. 复数函数的基本性质2.1 复数函数的定义2.2 复数函数的分类2.3 复数函数的连续性三、解析函数与调和函数1. 解析函数的概念1.1 解析函数的定义1.2 拟解析函数1.3 解析函数的运算性质2. 调和函数的概念与性质2.1 调和函数的定义2.2 调和函数的性质2.3 调和函数的应用案例四、复变函数的微积分1. 复变函数的导数与全纯函数1.1 复变函数的导数定义1.2 全纯函数的性质1.3 Cauchy-Riemann方程2. 积分和级数2.1 线积分的定义2.2 级数收敛性与收敛域2.3 保形映射与调和函数的全纯性五、留数理论与积分计算1. 留数的概念与计算1.1 留数的定义1.2 计算留数的方法1.3 应用案例：圆周积分计算2. 积分计算与柯西公式2.1 柯西公式的概念与应用2.2 柯西积分定理与柯西奇点定理2.3 辐角原理与Rouché定理六、解析函数的应用1. 解析函数在物理学中的应用1.1 电磁场中的解析函数1.2 流体力学中的解析函数1.3 其他物理学领域的应用2. 解析函数在工程学中的应用2.1 线性系统与解析函数2.2 信号处理与解析函数2.3 通信系统与解析函数七、实际案例与综合应用1. 热区变换与应用1.1 极坐标变换1.2 电场中的热区变换2. 综合案例分析2.1 基于复变函数的工程问题求解2.2 基于复变函数的物理问题求解八、教学评估与提升1. 教学评估方式1.1 课堂表现评估1.2 作业和实验评估1.3 考试评估2. 教学内容提升2.1 添加实例和案例分析2.2 引入计算机辅助教学2.3 拓展教材资料和参考书目九、总结通过本次复变函数教学，学生将掌握复数的基本概念和运算规则，理解解析函数和调和函数的性质，学会应用留数理论和积分计算复变函数，了解复变函数在不同学科和领域的应用，并通过综合应用案例提升解题能力和综合分析能力。
复变函数教学大纲
复变函数教学大纲(Functions of Complex V ariable)学分数 3 周学时 3+1课程性质：数学系基础课学分数： 3总学时：(3+1)×18=72教学对象：数学系二年级本科生使用教材：《复变函数论》，张锦豪、邱维元编，高等教育出版社，2001参考教材：《复变函数论》，范莉莉、何成奇编，上海科学技术出版社，1987 《复分析》(第三版), L. Ahlfors 著, McGraw-Hill, 1979.教学内容：第1章复数与复值函数(学时数9+3)1.1 复平面与扩充复平面A. 复数B. 复数的平面表示C. 直线和圆的方程D. 复数的球面表示1.2 邻域与开集A. 复平面上的邻域与开集B. 序列与极限C. 扩充复平面上的邻域与开集1.3 连续函数A. 复坐标下的连续函数B. 连续函数序列C. 等度连续1.4 平面曲线A. 曲线的表示B. 连通集C. 连续的辐角函数第2章可微函数(学时数9+3)2.1 函数的微分A. 实坐标下函数的微分B. 复坐标下函数的微分2.2 全纯函数的定义A. Cauchy-Riemann 条件B. 一些初步讨论C. 反函数的存在性D. 保角性质2.3 分式线性变换A. 分式线性函数B. 对称C. 交比A. 复数项级数B. 函数项级数C. 幂级数D. 指数函数与三角函数第3章复积分(学时数9+3)3.1 积分的基本性质A. 区间上的复积分B. 光滑曲线上的积分C. 复坐标下的面积元D. Green 公式的复形式3.2 多值函数的单值支A. 绕数的积分表示B. 单连通区域C. 对数函数的单值支D. 一般幂函数的单值支第4章全纯函数与半纯函数(学时数9+3)4.1 Cauchy 积分理论A. Cauchy 积分公式B. 全纯函数的幂级数展开C. 函数全纯的积分判别法D. Cauchy 定理的一般形式4.2 零点与极点A. 零点的孤立性B. 在极点附近的分解式C. 辐角原理D. 全纯函数的局部行为4.3 留数理论A. Laurent 级数B. 本性奇点C. 留数D. 留数定理4.4 分解理论A. 部分分式B. 无穷乘积C. 全纯函数的因子分解第5章调和函数(学时数6+2)5.1 调和函数A. 均值性质B. Poisson 积分C. Laplace 方程D. 调和函数的孤立奇性E. 典型区域上调和函数的边值问题5.2 次调和函数A. 次均值性质B. Perron 族C. 一般的Dirichlet 问题D. Green 函数第6章双全纯映射(学时数6+2)6.1 典型区域的全纯自同构A. 单位圆的全纯自同构B. 复平面的全纯自同构6.2 Riemann 映射定理A. 凝聚原理B. 单连通区域到单位圆的双全纯映射C. Riemann 映射的极值性质D. 边界对应6.3 上半平面到多边形的双全纯映射A. Schwarz 对称原理B. 关于解析曲线的对称C. 上半平面到多边形内的双全纯映射6.4 全纯函数空间A. 平方可积全纯函数空间B. 完备正规正交系C. Bergman 核D. 不变度量第7章解析延拓(学时数6+2)7.1 解析延拓A. 解析延拓的一般概念B. 对数函数与幂函数的解析延拓C. Riemann 面7.2 单值性定理A.沿曲线的解析延拓B. 单值性定理。
(完整版)《复变函数》教学大纲.docx
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
复变函数教学大纲(工科)(2)
课程编号：×××课程名称：复变函数(Complex Functions)《复变函数》教学大纲一、课程说明复变函数的理论和方法，对物理、力学、工程及数学的其他分支都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数的基本理论和基本方法，培养学生具有较好的分析问题和解决问题的能力。
为了贯彻“少而精”的原则，本大纲在内容选取上注意了突出基本理论和基本方法，本大纲内容，重点放在单复变函数的微分、积分、解析函数的级数展开、残数定理等内容上。
对于初等多值解析函数和解析开拓，要求只作初步介绍。
本课程总时数为36学时左右，其中讲授时数与习题课时数之比大致是3:1。
二、学时分配表三、教学目的与要求教学目的：1、通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为其他实际工作打好基础。
2、通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
基本要求：掌握解析函数的基本性质，并能初步地运用这些性质来证明或计算四、教学内容纲要第一章复数与复变函数主要内容：复数的有关概念，复数点集的概念，复数的运算。
要求：1、理解复数的下列概念：实部、虚部、模、幅角、共轭复数、乘幂与方根，熟练掌握相应的运算。
）2、理解平面点集(复数集)的下列概念：区域、单连通区域，边界、闭区域。
3、了解Jordan曲线概念，复变函数的极限与连续定义并能进行相应的运算，知道复球面与无穷远点的关系。
重点: 复变函数的概念，极限与连续性难点: 同上第二章解析函数主要内容：解析概念与初步运算性质，Cauchy——Riemann 条件，初等解析函数与初等多值函数。
要求：1、了解复函数的可导与微分的概念，理解解析的概念及其与Cauchy——Riemann 条件的关系。
2、熟练掌握初等解析函数的运算。
复变函数论教学大纲
复变函数论课程教学大纲一、课程说明1、课程性质《复变函数》是数学与应用数学专业的一门专业主干课程，是数学分析的后续课程。
本课程的主要内容是讨论单复变量的复值可微函数的性质，其主要研究对象是全纯函数，即复解析函数。
复变函数论又称复分析，是数学分析的推广和发展。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在逻辑结构方面也非常类似。
复变函数论是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等数学巨匠就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论作为一种强有力的工具，已经被广泛应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
复变函数论作为一门学科，有其自身的特点，有其特有的研究方法。
在学习过程中，应注意将所学的知识融汇贯通，并通过与微积分理论的比较加深理解，掌握它自身所固有的理论和方法。
2、课程教学目标与要求（1）通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决某些相关理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学，科研及其他实际工作打好基础。
（2）通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，逐步提高学生的数学修养。
同时注意扩展学生的学习思路，使他们了解更多的和现代生活息息相关的数学应用知识。
（3）作为师范专业，在有关内容方面注重高等数学对初等数学的提高和指导意义，使学生在今后工作中有较高的起点。
3、先修课程与后续课程先修课程：数学分析，解析几何，高等代数后续课程：数学建模，概率论与数理统计，拓扑学，解析数论等4、教学时数分配表5、使用教材：《复变函数论》（第三版），钟玉泉编；高等教育出版社。
6、教学方法与手段（1）学与思的结合：既要了解相关内容，又要对此进行深入的思考与分析；（2）听与说的结合：要求学生既要认真听老师的讲解，又要勇于单独发表自己的见解；（3）知与做的结合：通过对数学方法的掌握，解决与之相关的其他数学问题；（4）理论与实践的结合：通过本课程理论学习形成的数学思想方法，应用于实际之中，同时加深对其他数学专业课的理解。
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《复变函数论》教学大纲
一、课程基本信息
中文名称：复变函数论
英文名称：Theory of Functions of Complex Variable
课程编号：06109B
课程类别：专业基础课
总学时数：48(理论42，实践6)
学分：3
适用专业：数学与应用数学专业
开课系部：应用数学系
先修课程：数学分析
二、课程性质与教学目的
复变函数是数学、物理及电子类各专业必修的一门基础课，其理论随着它的应用领域不断扩大而发展成为一门庞大的数学分支。
一方面讲述复变函数的基本理论与方法，另一方面渗透复分析领域内的相关内容。
教学目的使学生掌握复变函数的基本内容和方法，为进一步学习复分析，从事工程和电子应用、科研及其它工作打好坚实基础。
三、课程教学基本要求
第一部分复数与复变函数
1、复数及其几何表示
内容：复数域、复平面、复数的模与辐角。
要求：明确幅角的概念，会用模与幅角的性质解决一些集合问题。
2、复平面上的点集
内容：基本概念、区域。
要求：了解其基本概念，明确有关概念。
3、复变函数
内容：复变函数概念、极限与连续。
要求：理解复变函数概念、极限、连续性及其性质。
4、复球面与无穷远点
内容：复球面、扩充复平面。
要求：掌握扩充复平面上的几个基本概念。
第二部分解析函数
1、解析函数概念及C_R条件。
内容：复变函数的导数、复变函数、C_R条件。
要求：深刻理解解析函数概念，掌握C_R条件，会用其判断函数的解析性。
2、初等解析函数
内容：指数函数、三角函数与双曲函数。
要求：熟悉指数函数、三角函数与双曲函数及其映照性质。
3、初等多值函数
内容：根式函数、对数函数、幂函数与反三角函数。
要求：了解初等多值函数。
能将初等多值函数分解为若干个单值函数。
第三部分复变函数的积分
1、复变函数积分的概念及其性质
内容：复变函数积分的定义、复变函数积分的计算、复变函数积分的性质。
要求：理解并掌握复变函数积分的概念及其性质。
2、柯西积分定理
内容：柯西积分定理、不定积分、柯西积分定理的推广。
要求：熟练掌握柯西积分定理，并能灵活应用。
3、柯西积分公式及其推论
内容：柯西积分公式、解析函数的无穷可微性、柯西不等式与刘维尔定理、摩勒拉定理。
要求：灵活运用柯西积分公式，深刻理解解析函数的无穷可微性，掌握摩勒拉定理。
4、解析函数与调和函数的关系
内容：解析函数与调和函数的关系。
要求：明确解析函数与调和函数的关系。
第四部分解析函数的幂级数表示法
1、复级数的基本性质
内容：复数项级数、一致收敛的复函数项级数、解析函数项级数。
要求：掌握复函数项级数的基本概念与性质，能将解析函数表示为函数项级数。
2、幂级数
内容：幂级数的敛散性、收敛半径R的求法、幂级数和的解析性判断。
要求：掌握幂级数的收敛半径求法及其性质，判断幂级数和的解析性。
3、解析函数的泰勒（Taylor ）展式
内容：泰勒定理、幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况、一些初等函数的泰勒展式 要求:掌握解析函数的泰勒展式，会求初等函数的泰勒展式。
4、解析函数零点的孤立性及唯一性定理
内容：解析函数零点的孤立性、唯一性原理、最大模原理 要求：明确解析函数零点的孤立性及唯一性定理
第五部分 解析函数的洛朗展式与孤立奇点
1、解析函数的洛朗展式
内容：双边幂级数、解析函数的洛朗展式、洛朗级数与泰勒级数的关系、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗 展式
要求：会求解析函数的洛朗展式，理解洛朗展式和泰勒展式的关系。
2、解析函数的孤立奇点
内容：孤立奇点的三种类型、可去奇点、施瓦茨（Schwarz ）引理、极点、本性奇点、皮卡（Picard ）定理。
要求：切实掌握孤立奇点的三种类型及其判断方法和性质，了解皮卡（Picard ）定理。
3、解析函数在无穷远点的性质 内容：解析函数在无穷远点的性质。
要求：了解解析函数在无穷远点的性质，会判断无穷远点孤立奇点类型。
4、整函数与亚纯函数的概念 内容：整函数、亚纯函数
要求：了解整函数与亚纯函数的概念及其性质
第六部分 留数理论及其应用
1、留数
内容：留数的定义及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的留数
要求：掌握留数定理及其留数求法，理解无穷远点留数和有限点留数的关系，理解留
数和复变函数积分的关系。
2、用留数定理计算实积分
内容：计算
()θθθπ
d R ⎰
20
sin ,cos 型积分、计算()()⎰
∞
+∞-dx x Q x P 型积分、计算()()⎰∞+∞-dx e x Q x P imx
型积分、积分路径上有奇点的积分、应用多值函数的积分。
要求：会用用留数定理计算实积分，了解积分路径上有奇点的积分和应用多值函数的积分。
3、辐角原理及其应用
内容：对数留数、辐角原理、儒歇定理。
要求：理解辐角原理，掌握儒歇定理。
第七部分共形映射
1、解析变换的特性
内容：解析变换的保域性、解析变换的保角性---导数的几何意义、单叶解析变换的共形性。
要求：掌握解析变换的特性，深刻理解导数的几何意义，明确共形映射的概念。
2、分式线性变换
内容：分式线性变换及其分解、分式线性变换的共形性、分式线性变换的保交比性。
要求：掌握分式线性变换及其性质。
3、某些初等函数所构成的共形映射
内容：幂函数与根式函数、指数函数与对数函数、由圆弧构成的两角形区域的共形映射、儒可夫斯基函数的单叶性区域
要求：深刻理解某些初等函数所构成的共形映射。
4、关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理
内容：黎曼存在定理、边界对应定理。
要求：了解黎曼存在定理和边界对应定理。
第八部分解析延拓
1、解析延拓的概念与幂级数延拓
内容：解析延拓的概念、解析延拓的幂级数方法
要求：了解解析开拓的概念和一般原理。
2、透弧解析延拓、对称原理
内容：透弧直接解析延拓、黎曼--施瓦茨对称原理。
要求：了解透弧解析延拓，了解对称原理。
3、完全解析函数及黎曼面的概念
内容：完全解析函数、单值性定理、黎曼面的概念。
要求：了解完全解析函数及黎曼面的概念。
第九部分调和函数
1、平均值定理与极值原理
内容：平均值定理、极值原理。
要求：了解平均值定理与极值原理。
2、泊松积分公式与狄利克雷问题
内容：泊松积分公式、狄利克雷问题、单位圆内狄利克雷问题的解、上半平面内狄利克雷问题的解。
要求：了解泊松积分公式与狄利克雷问题。
四、有关教学环节的要求
1、以课堂教学与多媒体教学为主，自学为辅，教学形式以理论教学为主。
2、解题练习时数学课教学的一个重要环节，每次课布置作业一次。
3、组织学生2-3次课外实践活动。
培养学生科研意识。
考核方式：考试；采用闭卷考试形式进行，考试内容覆盖考试大纲80%以上内容，难易程度适中，客观题占40%左右，主观题占60%左右。
题型要求灵活，具有一定的应用性，注重实践性题目逐年增加，比重要逐步增加，提高学生创新和实践的能力。
五、学时分配
六、使用教材与主要教学参考书
1．钟玉泉编．复变函数论．北京：高等教育出版社,2004.
２．余家荣编．复变函数．北京：高等教育出版社,2008.
七、大纲编写依据和说明
根据2012年4月修订的《数学与应用数学专业培养方案》的要求，以及我院地方性、教学型、应用型的特色，并参考了其他国内同类高校相同专业的课程设置，制定了该课程的教学大纲.
执笔教师:刘俊俏教研室主任：常敏慧教学系（部）主任：姚喜妍。