电磁学课件 第八章 静磁能

0 磁化
a ' 磁化 = ∫ da ' 磁化 = ∫ μ 0 HdM
等式右边沿磁滞回线的闭路积分正好等于磁滞回线 所围的“面积”。这部分功不改变磁场强度和介质的磁化状 态，它所传递的能量将转化为热量。这部分因磁滞现象而 损耗的能量称为磁滞损耗。 强调：在交流电路中，电感元件铁芯的磁滞损耗是有 害的，应当尽量使之减少，并采取措施防止铁芯过热。 3. 磁化率张量 类似于极化率张量的讨论，此处从略。
回顾： 各向异性电介质 r r 典型材料如石英， 与E 不平行，关系极为复杂。 P 在直角坐标系中， ⎛ P ⎞ ⎛E ⎞
⎜ x⎟ ⎜ x⎟ ⎜ Py ⎟ = (χ e )⎜ E y ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Pz ⎠ ⎝ Ez ⎠
Px = (χ e )xx E x + (χ e )xy E y + (χ e )xz E z Pz = (χ e )zx E x + (χ e )zy E y + (χ e )zz E z
下面来具体讨论两种情况。 1. 维持电流不变，电源作功 这时对应的是非孤立系统，因为要想维持各线圈中 电流不变，则需要外部电源反抗感应电动势作功，这部分 r导致第i个线圈 功记作 δA' 。设因受力载流线圈作虚位移 δ r 的磁通量变化 δφ i ，则该线圈中的反抗感应电动势作功应 为：
dφ i δA'i = −ε i I i dt = I i dt = I i δφ i dt
所以
讨论
要分析磁化功的具体形式及其后果，必须考虑介质 r r r r r 的磁化规律，即 M和H 的函数关系。 dB = μ (dH + dM ) 0 下面来具体分析。
1. 线性(无损耗)磁介质
r r 这时 M = χ m H
因此 所以
r r 所以 dM = χ m dH
r r r r r r r r μ 0 H ⋅ dM = μ 0 H ⋅ ( χ m dH ) = μ 0 χ m ( H ⋅ dH ) = μ 0 M ⋅ dH
dψ = Ndφ = NSdB
与此同时，电源克服感应电动势所作的元功为： dψ dA' = −εIdt = I dt = Idψ = INdφ = NSIdB dt dq dψ 其中再次利用了 dA' = −ε dq ，而 ε = − 和 i = dt dt
r 下面由安培环路定理来求出磁场强度为 H 和电流强度 为I之间的关系。
r r 由 ∫ H ⋅ dl = Hl = NI L
所以，
Hl I= 可得 N
dA' = NSIdB = HlSdB = VHdB
其中 V = Sl 为螺绕环的体积。考虑单位体积的螺绕环 介质，电源所作的元功为：
dA' da ' = = HdB V r r
r r r r 利用 B = μ 0 ( H + M ) ，可得 dB =
∫
∫
式中右式的沿电滞回线的闭合回路 积分正好等于电滞回线所包围的“面 积”。这部分能量既不改变电场，又 不改变电介质的极化状态，而是转 化为热量，使电介质发热。这部分因电滞现象而消耗的 能量，称为电滞损耗，类似于在铁磁体中也会存在磁滞损 耗一样。
类似于电介质中的极化功一样，我们也可以计算当从 某点A出发，沿着磁滞回线循环一周到A时，电源对单位 r r 体积所作的功为： μ H ⋅ dM = da '
(2) 当研究载流导线在外磁场中受到的磁力时，可用 载流导线在外磁场中的静磁能代替 Wm ，而不必计入载流 线圈和外磁场本身的自能。 前面已经得出结论：
Wm = ∑ I i ∫∫
i =1
N
Si
r r r B (ri ) ⋅ dS
r r 这是N个载流线圈置于一外磁场 B(ri ) 中，系统在外磁
场中的静磁能。 当外磁场为均匀磁场时，
所以
(δWm ) I = δA'−δA = 2(δWm ) I − δA
⇒ (δWm ) I = δA
物理意义：当维持各载流线圈电流不变时，磁力作 功等于系统磁能的增加，原因就是因为外界即电源同时参 与作功，且作功量正好是磁力作功的两倍。
r r 利用 δA = F ⋅ δr 和 (δWm ) I = δA 可得： r F = (∇Wm ) I
于是电源所作的总功为： 这时系统磁能的变化为：
δA' = ∑ δA'i = ∑ I iδφ i
i =1 i =1
N
N
δA' = 2(δWm ) I 与 δA' 比较可得：
1 N (δWm ) I = ∑ I i δφ i 2 i =1
该式表示维持所有载流线圈电流不变，电源所作的 功正好是系统磁能变化的两倍。 而系统磁能的变化又可以表示为：(δWm ) I = δA'−δA 该式表示电源作功 δA' 使系统磁能增加，这正好符合 前面的分析，而磁能作功 δA 则使系统磁能减少，这也是 符合能量守恒的。 即 δA'= 0 则有 δA = −(δWm ) I
§2 非线性介质及磁滞损耗
前面我们讨论的对象为线性无损耗介质，本节讨论 非线性介质的静磁能及磁滞损耗问题。 为简单起见，我们只讨论螺绕环情况。设螺绕环的截 面积为S，长度为 l ，线圈匝数为N，电流为I，内部填满 r 磁化强度为 M 的磁介质。设在dt时间内螺绕环内的磁感应 强度由B增至B+dB，则穿过线圈的总磁通量为：
⎛ ∂Wm ⎞ Fx = −⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠φ
⎛ ∂Wm F y = −⎜ ⎜ ∂y ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠φ
⎛ ∂Wm ⎞ Fz = −⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠φ
二．小结：
r F = (∇Wm ) I 或
和
(1)
⎛ ∂Wm ⎞ Fx = ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ I
⎛ ∂Wm Fy = ⎜ ⎜ ∂y ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠I
⎛ ∂Wm ⎞ Fz = ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ I
r ⎛ ∂Wm ⎞ F = −(∇Wm ) φ 或 Fx = −⎜ ⎟ ∂x
⎝
⎠φ
⎛ ∂Wm Fy = −⎜ ⎜ ∂y ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠φ
⎛ ∂Wm ⎞ Fz = −⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ φ
不仅适合于无磁介质时的情况，对有线性无损耗磁 介质存在时，上面诸式也成立。 只是注意此时系统的磁能 Wm 中应包括介质的磁化能 。上一节我们已经得到磁化能密度为 μ 0 r r 。 H ⋅M 2
1 r r 式中 μ0 H ⋅ M = a '磁化 ，通常称作磁化能密度。 2
r r 1 r r μ0 H ⋅ dM = d ( μ0 H ⋅ M ) = da '磁化 2
上式说明磁化功 da ' 磁化 全部转换为介质的磁化能 r r 1 d ( μ0 H ⋅ M ) 2
r r μ0 2 1 r r da ' = d ( H ) + μ0 H ⋅ dM = d ( H ) + d ( μ0 H ⋅ M ) 2 2 2 r r μ0 2 1 r r μ0 r r r 1 r = d ( H + μ0 H ⋅ M ) = d [ H ⋅ ( H + M )] = d [ H ⋅ μ0 ( H + M )] 2 2 2 2 r r 1 r r μ0 2 = d ( H ⋅ B ) = d ωm da ' = d ( H ) + μ0 H ⋅ dM 2 2
r 其中 mi 是整个系统的磁矩。这个结果后面还要用。
r ⎛ N r⎞ r r W m = B ⋅ ⎜ ∑ I i S i ⎟ = mi ⋅ B ⎝ i =1 ⎠
(3) 静磁能与静电能的比较 一般：
Wm = Wm ( I , φ ) 和 W = W (u , Q ) e e
Fmx
⎛ ∂We ⎞ ⎛ ∂Wm ⎞ ⎟ 对应； = −⎜ ⎟ 和 Fex = −⎜ ⎝ ∂x ⎠ Q ⎝ ∂x ⎠φ
⇒ da' = H ⋅ dB
（这是普遍表达式）
r r μ 0 (dH + dM )
r r r r r r r r μ0 2 da' = H ⋅ dB = μ 0 H ⋅ dH + μ 0 H ⋅ dM = d ( H ) + μ 0 H ⋅ dM 2 μ0 2 右边第1项 d ( H ) ，为宏观磁能密度的变化, 2 r r 第2项 μ 0 H ⋅ dM 为磁场对单位体积磁介质所作的磁化 功。 因此上式的物理意义为：电源所作的功一部分用来 增加宏观磁能，另一部分为对磁介质作的磁化功。
Fmx
⎛ ∂We ⎞ 对应。 ⎛ ∂Wm ⎞ 和 Fex = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ u ⎝ ∂x ⎠ I
φ 为磁通量；u为电势，Q为电荷。 其中I为电流， 由上式可以看出I与u对应；φ与Q 对应。
三．例题 例二． 具有恒定的高磁导率 μ r 的马蹄形磁介质，与 一磁导率相同的条形磁介质组成一磁路，它们的横截面积 为矩形，面积为A，长度为 l 。马蹄形磁介质上绕有N匝 导线，通以恒定电流I，求马蹄形与条形磁介质之间的吸 力。 μr 解： 1 Wm = IΨ A 因为 2 假定I不变，
Py = (χ e ) yx E x + (χ e ) yy E y + (χ e ) yz E z
极化率有九个量，通常称它为极化率张量。
§3. 利用磁能求磁力
一般来说，求静磁力的方法有2种： r r (1) 已知外磁场 B 和电流 J 的分布，用安培力公式 r r F = qv × B = ∫∫∫ J × BdV = ∫∫ i × BdS = ∫ Idl × B
⎛ ∂Wm ⎞ Lθ = ⎜ ⎟ ⎝ ∂θ ⎠ I
2. 维持磁通不变 下面推出另一个等效的由磁能求磁力的公式。假定在 受力线圈虚位移过程中，维持各线圈的磁通量 φ 不变，这 样在线圈中不会产生感应电动势，也就是说，这时电源将 不参与作功，磁力作功 δA 正好等于系统的磁能的减少。 即： (δWm ) φ = −δA 。 r 同样我们可得： F = −(∇Wm ) φ 或 W 式中下标 φ表示在求Wm 的梯度或偏导数时， m 表达式 r 中的 φ i 应视作常数。当用角位移 δθ 代替位移 δr 时，有 磁力矩公式： L = −⎛ ∂Wm ⎞ ⎜ ⎟ θ ⎝ ∂θ ⎠φ