高中数学必修3北师大版 相关性 教案

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相关性-北师大版必修3教案

相关性-北师大版必修3教案

相关性-北师大版必修3教案课程背景相关性是高中数学中的一个重要概念,也是后续学习数学课程的基础,因此,相关性的教学对于学生以后的学习过程具有非常重要的意义。

本教案是北师大版必修3数学课程的相关性教案。

教学目标1.知识目标:了解相关系数的定义,计算方法及其特点,学会如何计算相关系数。

2.技能目标:能够应用相关系数的概念以及计算方法来解决实际问题。

3.情感目标:增强学生的数学兴趣和探究精神,提高学生的数学思维能力。

教学重点1.相关系数的定义及计算方法。

2.协方差的概念与性质。

3.相关系数与协方差之间的关系。

教学难点1.相关系数与协方差之间的关系理解。

2.相关系数在实际问题中的应用。

教学过程导入环节在引导学生体验和思考两个变量之间联系的实际问题中,自然而然地引出了相关性。

讲解环节1.相关系数的定义及计算方法–引入样本方差、标准差的概念。

–讲解协方差的概念,表示两个变量的变化趋势是否一致。

–讲解相关系数的定义及计算方法。

2.协方差的概念与性质–引入协方差矩阵的概念。

–讲解协方差的性质。

3.相关系数与协方差之间的关系–讲解相关系数与协方差之间的公式关系及其推导。

拓展环节通过实际问题中相关系数的应用和实例的演示,让学生进一步加深对相关性概念的理解和应用。

实验环节在实验中,班级分成若干组,每组随机抽取两项数据,并用Excel等工具计算相关系数。

总结环节通过回答问题和举例,巩固并深入理解相关系数的概念及其计算方法。

并提出不同的问题来提高学生学习兴趣。

课后作业1.完成课本上 P69 练习。

2.搜集实际问题并应用相关系数进行计算和分析。

教学效果评估教师根据学生的课堂表现、测试成绩和实验结果,进行课堂效果的评估。

对于所发现的问题进行及时调整和改进。

结论本教案通过引导学生思考实际问题和运用数学原理来教授相关性的知识,同时通过实例等教学方法增加学生的学习兴趣。

这些都有助于让学生更好地理解相关性的概念和应用,并帮助他们为将来的学习打下扎实的基础。

1.7相关性教案(北师大版必修3)

1.7相关性教案(北师大版必修3)

§7 相关性●三维目标1.知识与技能通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.过程与方法明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.3.情感、态度与价值观通过对事物之间相关关系的了解,让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想.●重点难点重点:①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系;②利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系;难点:①变量之间相关关系的理解;②作散点图和理解两个变量的正相关和负相关.本节课要继续探讨的是变量之间的相关关系,它为接下来要学习的两个变量的线性相关打下基础.这是一个与现实实际生活联系很紧密的知识,在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.(教师用书独具)●教学建议结合本节课的教学内容和学生的认知水平,在教法上,采用“问答探究”式的教学方法,做到层层深入.充分发挥教师的主导作用,让学生真正成为教学活动的主体.在手段上,要尽量通过多媒体辅助教学,充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性.●教学流程创设问题情境,引导学生关注生活中两个变量之间还存在相关关系?引导学生根据样本数据利用电子表格作出散点图,数形结合感知变量之间的相关关系?通过例1及变式训练,使学生掌握变量之间相关关系的判断?通过例2及变式训练,使学生掌握散点图的制作及应用?归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节所学知识?完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈课标解读1.理解两个变量的关系,明确函数关系和相关关系的异同点(难点).2.会作散点图,并根据散点图判断变量间是否为线性相关(重点).。

高中数学北师大版必修三+1.7+相关性+教案+

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1.7 相关性1.知识与技能:(1)了解函数关系与相关关系的不同.(2)会做出散点图,并能利用散点图直观认识变量间的相关关系. 2.过程与方法:通过动手操作培养学生观察,分析,比较和归纳能力,通过自主探究体会数形结合的思想.3.情感,态度与价值观:通过利用散点图直观认识变量间的相关关系,并能用普遍联系的观点思考思考和解决生活中的数学现象,进一步增强创新意识,提高创新能力教学重点:修改删除上移下移相关关系的概念,画出给定变量间的散点图教学难点:修改删除上移下移寻求两个变量间线性相关关系的直线方程.教学过程(一),创设情境,导入新课[师]请同学们阅读“相关”的由来(多媒体展示)英国人类学家盖尔顿首次在《自然遗传》一书中,提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概念,为相关论奠定了基础。

其后,他和英国统计学家皮尔逊对上千个家庭的身高、臂长、一拃长做了测量。

为研究父亲与成年儿子身高之间的关系,皮尔逊测量了1078对父子的身高。

他把1078对数字表示在坐标上,形成了下面的图形(X轴上的数代表父亲身高,Y轴上的数代表儿子的身高):(图见幻灯片) 儿子身高(Y,单位:英寸)与父亲身高(X,单位:英寸)存在线性关系Y=33.73+0.516X,这种关系被称为“相关关系”,这就是相关的由来(二)新课探究[师]请同学们阅读以下问题:问题1:正方形的面积y与边长x之间具有什么样的关系?问题2:某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确定性的关系?问题3:人的身高与体重之间有确定性的关系吗?[生]答略[师]某某同学回答正确.问题1中两变量具有确定性关系,问题2中及问题3中的两变量具有关系,但不是确定性关系.[师]抽象概括1.散点图:再考虑两个量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,人们通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这种图为变量之间的散点图2曲线拟合:从散点图上可以看出,如果变量之间存在某种关系,这些点会有一个集中的大趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样近似的过程成为曲线拟合。

北师大版高中数学必修三《相关性》教案-新版

北师大版高中数学必修三《相关性》教案-新版
数学实验1:画出回归直线
教师展示学生画图情况,学生说明理由
学生方案一学生方案二
学生方案三
生总结:第二种方法好,因为所有的点离这条直线最近。
师:即,从整体上看,各点与此直线的距离和最小。
(四)、例题探析
例1:在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系?
①正方形边长与面积之间的关系;②作文水平与课外阅读量之间的关系;③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.【答案:②③④】
【设计意图:通过学生熟悉的函数关系,引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。】
(二)、初步探索,直观感知
1、根据样本数据利用电子表格作出散点图,直观感知变量之间的相关关系
师:在研究相关关系前,同学们先回忆一下:函数的表示方法有哪些?
1、找回归直线
师:下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图,从整体上看,它们是线性相关的。
如果可以求出回归直线的方程,我们就可以清楚地了解年龄与体内脂肪含量的相关性。这条直线可以作为两个变量具有线性相关关系的代表。同学们能否画出这条直线?请完成数学实验1、画出回归直线。(学生在计算机上用电子表格画回归直线)
生:图1呈上升趋势,图2呈下降趋势。
师生:这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大,另一个变量也从小到大,或从大到小。对于图1中的两个变量的相关关系,我们称它为正相关。图2中的两个变量的相关关系,称为负相关。师:我们还可以判断出:年龄与身高是正相关,网速与下载文件所需时间是负相关。
生:后面两个图很乱,前面两个图中点的分布呈条状。
1.7相关性
一、教学目标:
1.通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图,利用散点图直观认识变量间的相关关系.

高中数学(相关性)学案1 北师大版必修3 学案

高中数学(相关性)学案1 北师大版必修3 学案

相关性-课文知识点解析全析提示1.散点图为了了解人的身高与体重的关系,我们随机地抽取9名15岁的男生,测得身高、体重如下表:从表中不难看出,同一身高157 cm 对应着不同的体重44 kg 和47 kg ,体重不是身高的函数.如果把身高看作横坐标、体重看作纵坐标,在坐标系中画出对应的点,就会发现,随着身高的增长,体重基本上是呈直线增加的趋势. 重/k g0 150 155 160 165 170 175 180 身高/c m图1-8-1 在考虑两个量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,人们通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常把这种图叫做变量之间的散点图.散点图的制作通常有两种方法:一是手工绘图;二是用计算机作图.手工作图比较烦琐,也易出现误差,不够精确,我们通常利用计算机作图,简单而准确.下面,我们再看一个例子:在一次对人体脂肪含量和年龄关系的为了使取得的样本具有广泛代表性,应采用抽样的方法,如简单随机抽样、分层抽样等抽样方法. 思维拓展如果身高和体重存在函数关系,则图象应为平滑的直线或曲线,或为均匀分散在直线或曲线上的点.全析提示可利用计算机中的电子表格软件制作两个变量间的散点图.全析提示要从实践中不断提高分析数据的能力,我们往往借助于列表和作图来分析数据.研究中,研究人员得到了一组数据(如下表): 人体的脂肪百分比和年龄根据上述数据,人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系? 一般地,对于某个人来说,他的体内脂肪不一定随年龄增长而增加或减少.但是把很多个体放在一起,这时就可能表现出一定的规律性来.观察表中数据,大体上来看,随着年龄的增长,人体中的脂肪百分比也在增加.为了确定这一细节,我们需要对数据进行分析,可以作一个散点图,使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断.肪含量20 25 30 35 40 45 50 55 60 65年龄图1-8-2从散点图中我们可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论. 2.线性相关全析提示在作散点图时,假设年龄影响体内脂肪含量,按习惯,以x 轴表示年龄,以y 轴表示脂肪含量. 全析提示我们通常利用变量间的散点图来判断变量间的关系.如果所有点看上去都在一条直线附近波动,则变量间是线性相关;若在某条曲线附近波动,则称非线性相关;若没有显示任何关系,则称不相关.我们看下面几个散点图.x yO ax yObxyOc图1-8-3从散点图上看,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个大致的趋势(如图a 、图b ), 这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样近似的过程称为曲线拟合.若在两个变量x 和y 的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,则称变量间是线性相关的.此时,我们可以有一条直线来近似表示(如图a ).若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动,则称此相关为非线性相关.此时,可以用一条曲线来拟合(如图b ).如果所有的点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间是不相关的(如图c ).我们重点来研究相关中的线性相关.下面我们再来看体内脂肪的含量与年龄的关系.那么,当人的年龄增长时,体内脂肪含量到底以什么方式增加呢?我们从脂肪含量与年龄的散点图中可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,这两个量之间具有线性相关性.年龄图1-8-4那么,如何确定这条直线呢?这条直线有什么特点呢?全析提示这条直线必须能近似地代表散点的变化发展趋势.思维拓展此种方法确定直线有不足之处,通过移动直线使距离和最小,只是一种直观的感觉,缺乏严格逻辑.思维拓展此种方法保证直线两侧点数基本相同,但并不能保证所有散点到直线的距离和最小.要想确定这条直线,必须先弄清该直线的特点.这条直线代表了所有散点的发展变化趋势,也就是说所有散点到该直线的距离最小,使散点都尽可能地处在该直线的附近.下面我们看几种确定这条直线的方法.(1)我们可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到达一个使距离和最小的位置,测量出此时直线的斜率和截距,就确定了这条直线.年龄图1-8-5(2)在图中选择这样两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.年龄图1-8-6(3)我们还可以在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的平均数,将这两个平均数作为要确定直线的斜率和截距.年龄思维拓展用此种方法来确定直线,由于图中点较多,任意两点确定一条直线,直线条数较多,难操作,并且也很难保证所有点到直线的距离和最小. 全析提示用电子表格制散点图时,在第一列应输入x 轴所表示的数据(身高),在第二列应输入y 轴所表示的数据(右手一拃长).全析提示这四种方法都带有一定的主观性,缺乏严格的理论根据和逻辑性.图1-8-7有较大的差别.但是这种探索活动是非常有意义的,案的必要前提.问题:(课本第54页)(1(Excel),以身高作为横坐标,右手一拃长/c m2520151001501551601651701751801851高/c m 图1-8-8从散点图1-8-8势是成一条直线,也就是说它们之间是线性相关的.对第(2)小问题,课本给出四个解决方案,个人的右手一拃长,是十分有意义的.一节要讨论的内容.。

高中数学必修3北师大版1.7相关性教案

高中数学必修3北师大版1.7相关性教案

第一章 统计 7 相关性一 相关性1.变量之间的关系(1)现实生活中,有些量与量之间存在着明确的函数关系,例如: 正方形的边长a 和面积S ,有着2a S =的关系;真空中的自由落体运动其下落的距离h 和下落的时间t 有着221gt h =的关系; 一辆行驶在公路上的汽车,每个时刻t 都有一个确定的速度v ,它们之间也是函数关系,尽管我们无法知道这个函数的解析表达式式,也画不出它的图像。

(2)现实生活中,有些量与量之间不满足函数关系,但从总的变化趋势来看变量之间存在着某种关系即有相关关系,例如:人的身高与体重。

一般说来,人的身高超高,体重越重,二者确实有关系。

但是身高相同的人,体重却不一定相同,也就是说,给定身高h 不可能有唯一的体重m 与之对应。

像这样例子还有很多,如人的年龄与血压、农作物的施肥量与产量、商品销售收入与广告支出经费等。

2.散点图散点图又称散点分布图,是以一个变量为横坐标,另一变量为纵坐标,利用散点(坐标点)的分布形态反映变量统计关系的一种图形。

特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。

优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态,以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。

散点图不仅可传递变量间关系类型的信息,也能反映变量间关系的明确程度。

3.散点图与两个变量的相关性两个变量之间除了函数关系之外,还有相关关系,但这种关系又不能用函数关系精确表达出来。

为了对变量之间的关系有一个大致的了解,人们通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这种图为变量之间的散点图。

图1—7—1从上散点图可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个集中的大致均势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样挖的过程称为曲线拟合。

若两个变量x 和y 的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,则称变量间是线性相关的。

此时我们可以用一条直线来近似,如图1—7—1(a)。

数学北师大版3教案:1.7相关性含解析

数学北师大版3教案:1.7相关性含解析

§7相关性错误!教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过身高与体重的关系,引导学生考察变量之间的关系,在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.三维目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.重点难点教学重点:通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系;利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系;根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.教学难点:变量之间相关关系的理解;作散点图和理解两个变量的正相关和负相关.课时安排1课时错误!导入新课思路1。

在学校里,老师对学生经常这样说:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?请同学们如实填写下表(在空格中打“√" ):关系(似乎就是数学好的,物理也好;数学差的,物理也差,但又不全对.)。

物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的,但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等.(总结:不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.)为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)思路2。

某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,有人经统计发现了一个有趣的现象,如果村庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率低,于是,他就得出一个结论:天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗?如何证明这个结论的可靠性?教师点出课题.推进新课错误!错误!1.粮食产量与施肥量有关系吗?“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系?你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗?2.两个变量间的相关关系是什么?有几种?3.如何判断两个变量间的相关关系?讨论结果:1.粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高;教师的水平与学生的水平是相关的;能举出,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.2.相关关系的概念:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫作相关关系.两个变量之间的关系分两类:。

1.6-7统计活动、相关性 教案(高中数学北师大版必修3)

1.6-7统计活动、相关性 教案(高中数学北师大版必修3)

§6统计活动:结婚年龄的变化(略)§7相关性[读教材·填要点]1.散点图在考虑两个变量的关系时,为了对变量之间的关系有一个大致的了解,通常将变量所对应的点描出来,这些点就组成了变量之间的一个图,通常称这种图为变量之间的散点图.2.变量之间的相关关系从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个集中的大趋势,这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似,这样的近似过程称为曲线拟合.若两个变量x 和y的散点图中,所有点看上去都在一条直线附近波动,则称这两个变量是线性相关的,而若所有点看上去在某条曲线(不是直线)附近波动,则称此相关为非线性相关.如果所有点在散点图中没有显示任何关系,则称变量间是不相关的.[小问题·大思维]1.相关关系和函数关系有什么异同?提示:如果一个变量每取一个值,另一个变量总有唯一确定的值与之对应,那么,这两个变量就是函数关系;如果一个变量每取一个值,另一个变量的取值带有一定的随机性,并且从总体上来看有关系,但不是确定性关系,那么,就说这两个变量具有相关关系.2.判断下列图中的两个变量,具有相关关系的有哪些?提示:由图易知,(1)、(3)描述的是函数关系,(2)、(4)是散点图,其中(4)不存在明显的依赖关系,所以只有(2)中的两个变量具有相关关系.[研一题][例1]下列关系中,属于相关关系的是________.①正方形的边长与面积之间的关系;②农作物的产量与施肥量之间的关系;③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.[自主解答]在①中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;在②中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;在③中,人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而它们不具有相关关系;在④中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.[答案]②④[悟一法]两个变量x和y相关关系的确定方法:(1)散点图法:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定规律,直观地判断;(2)表格、关系式法:结合表格或关系式进行判断;(3)经验法:借助积累的经验进行分析判断.[通一类]1.下列关系中为相关关系的有()①学生的学习态度和学习成绩之间的关系;②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系;③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系;④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.A.①②B.①③C.②③D.②④解析:由相关关系定义可知,①②是相关关系,③④无相关关系.答案:A[研一题][例2]下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据:(1)将上述数据制成散点图;(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗?水稻产量会一直随施化肥量的增加而增加吗?[自主解答](1)散点图如下:(2)从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系,当施化肥量由小到大变化时,水稻产量由小变大,图中的数据点大致分布在一条直线的附近,因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系,但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增大.[悟一法]利用散点图判断不同变量的相关性时,其关键是正确画出散点图,然后观察分布规律:是分布在一条直线附近波动还是一条曲线附近波动,还是没有任何规律,从而得出线性相关、非线性相关或不相关的结论.[通一类]2.5个学生的数学和物理成绩如下表:画出散点图,并判断它们是否具有线性相关关系.解:以x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,可得相应的散点图如图所示,由散点图可知,两者之间具有线性相关关系.下列关系中带有随机性相关关系的有________. ①光照时间与果树的亩产量的关系; ②圆柱体积与其底面直径的关系;③自由下落的物体的质量与落地时间的关系; ④球的表面积与球半径之间的关系. [错解] ①[错因] ①光照时间与果树的亩产量之间的关系是相关关系;②圆柱体积与两个变量相关,一是底面面积,一是高,这里直径决定了底面面积,而高还是一个可变量,因此在高没有确定的情况下,圆柱体积与底面直径只具有相关关系,而不是函数关系;③自由下落的物体的质量与落地时间无关,它们不具有相关关系;④球的表面积与球半径满足S=4πR2,故它们具有函数关系.[正解]①②1.下列变量是线性相关的是()A.人的体重与视力B.圆心角的大小与所对的圆弧长C.收入水平与购买能力D.人的年龄与体重解析:B为确定关系;A、D不具有线性关系,C具有相关关系.答案:C2.下列分别是3对变量的散点图,则具有相关关系的是()A.①②③B.①③C.②③D.②答案:B3.对于给定的两个变量的统计数据,下列说法正确的是()A.都可以分析出两个变量的关系B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系C.都可以作出散点图D.都可以用确定的表达式表示两者的关系解析:给出一组样本数据,总可以作出相应的散点图,但不一定都能分析出两个变量的关系,更不一定是具有线性相关或函数关系.答案:C4.为了判断两个变量x,y之间是否具有相关关系,在直角坐标系中,描出每一组观测值(x,y)表示的点,得到的图形称为________.答案:散点图5.有下列关系:①曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系;②苹果的产量与气候之间的关系;③森林中的同一种树木,其断面直径与高度之间的关系.其中,具有相关关系的是________.答案:②③6.李老师为了了解学生的计算能力,对某同学进行了10次试验,收集数据如下:画出散点图,并判断它们是否有线性相关关系.解:散点图如图,由散点图可以看出,两者之间具有线性相关关系.一、选择题1.下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A.瑞雪兆丰年B.名师出高徒C.吸烟有害健康D.喜鹊叫喜,乌鸦叫丧解析:瑞雪兆丰年和名师出高徒是根据多年经验总结归纳出来的,吸烟有害健康具有科学根据,所以它们都是相关关系,所以A、B、C三项具有相关关系;结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反映,与人无任何关系,不具有相关关系.答案:D2.试从下面四个图中的点在散点图上的分布状态,直观上初步判断两个变量之间有线性相关关系的是()答案:C3.下列两个变量间的关系,是相关关系的是()A.任意实数和它的平方B.圆半径和圆的面积C.正多边形的边数和对角线的条数D.天空中的云量和下雨解析:很明显A、B、C三项都是函数关系;根据生活经验,天空中的云量和下雨之间不是确定性关系,虽然有云彩不一定下雨,但是如果没有云彩一定不下雨,这说明它们之间是相关关系.答案:D4.下列说法正确的是()A.相关关系是函数关系B.函数关系是相关关系C.线性相关关系是一次函数关系D.相关关系有两种,分别是线性相关关系和非线性相关关系解析:函数关系和相关关系互不包含,所以A、B、C三项不正确;根据定义,相关关系有两种,分别是线性相关关系和非线性相关关系.答案:D5.2003年春季,我国部分地区SARS流行,党和政府采取果断措施,防治结合,很快使病情得到控制.根据某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS病患者治愈的数据绘制出的散点图如图所示.下列说法:①根据此散点图,可以判断日期与人数具有线性相关关系;②根据此散点图,可以判断日期与人数具有一次函数关系.其中正确的为()A.①②B.①C.②D.以上都不对解析:①正确.答案:B二、填空题6.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是________.①圆的周长和它的半径②正方体的表面积与它的棱长。

高中数学 第一章 统计 1.7 相关性教案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案

高中数学 第一章 统计 1.7 相关性教案 北师大版必修3-北师大版高一必修3数学教案

1.7相关性本节教材分析一、三维目标1、知识与技能(1) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.(2) 明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.(3) 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.2、过程与方法引出问题——提出问题互助讨论——得出结果.二、教学重点:通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系;利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系;根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.三、教学难点:变量之间相关关系的理解;作散点图和理解两个变量的正相关和负相关.四、教学建议《相关性》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系,主要研究线性相关关系.主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等.研究方法为先绘制散点图,直观表示观测数据,定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度.然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式,描述变量间的数量规律,并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值.这部分内容涉及到一些重要的统计思想和方法,对学生的学习和教师的教学都有一定的难度.本文就研究对象、核心概念、研究方法、统计思想及相关应用进行简单的解读,提出一些教学建议,希望对教学能提供一些帮助.相关关系的概念:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性,则两个变量之间的关系叫做相关关系.对相关关系的理解应当注意以下几点:其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系,而相关关系是一种非确定性关系,即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此,不能把相关关系等同于函数关系.其二是函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.例如,有人发现,对于在校儿童,鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而,学会新词并不能使脚变大,而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些,他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系,如何判断和描述相关关系,统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性,这需要通过收集大量的数据,对数据进行统计分析,发现规律,才能作出科学的判断.新课导入设计导入一在学校里,老师对学生经常这样说:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?请同学们如实填写下表(在空格中打“√” ):某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,有人经统计发现了一个有趣的现象,如果村庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率低,于是,他就得出一个结论:天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗?如何证明这个结论的可靠性?通过本节的学习,我们就可以对这种说法做出自己的判断.教学过程:案例分析:一般说来,一个人的身高越高,他的人就越大,相应地,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。

高中数学北师大版必修3第一章《相关性》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案

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高中数学北师大版必修3第一章《相关性》优质课公开课教
案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
(1)知识与技能
会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。

会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。

(2)过程与方法
通过复习变量之间的函数关系引出变量相关关系,有熟悉到生疏的过程便于学生理解。

通过对本课的学习,引导学生关注社会,关注生活,进一步学会观察、比较、归纳、分析等一般方法的运用。

(3)情感、态度与价值观
通过引导学生观察生活中的例子,激发学生的求知欲,让学生感受生活中实际问题转化为数学问题的过程。

2学情分析
学生已经学习过变量间的确定性关系:函数关系,在这个基础上来学习相关关系,又因为经过了一学期的学习,学生已经适应了高中数学学习的方法,所以接受新知识能力较强。

相关相关性问题是日常生活中普遍存在的问题,教科书从生活的问题展开讨论.生活中,有些变量之间存在明显的函数关系,这对于研究这两个变量之间关系是非常重要的;有些变量之间不满足函数关系,但是它们之间又存在着一种明显的依赖关系,例如人的身高与体重,一般说来,身高越高的人体重越重,但是又没有明显的函数关系.
本节课首先从生活的问题展开,提出相关性问题.接着,从一个实际的例子展开讨论,重点放在散点图和用不同的方法来拟合两个变量之间的线性关系.在下一节课,主要讨论如何用最小二乘法来对两个变量的线性关系进行拟合.
3重点难点
教学重点:通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图,利用散点图直观认识变量间的相关关系.
教学难点:变量之间的函数关系与变量相关关系的区别。

经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程.。

北师大版数学高一(北师大)必修3课学案 1.7相关性

北师大版数学高一(北师大)必修3课学案 1.7相关性

§1.7 相关性授课
时间第周星期第节课型新授课
主备课

学习目标
1.了解非确定性关系中两个变量的统计方法;掌握散点图的画法及在统计中的作用;
能根据散点图判断变量间是否为线性相关.
2.若两个变量为线性相关,告诉一个变量的值,能估计出与其对应另一变量的值.
重点难点
重点:变量之间相关关系的理解,利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系;
难点:作散点图及理解两个变量的正相关和负相关.
学习过程与方法自主学习
1.变量之间的散点图指:
2.两个变量之间的相关关系是什么? 有几种?
新知探究:
1.正相关与负相关的概念是?
2.两个变量之间的相关关系的判断方法是什么?
精讲互动
课本例1
小结:
1.下列关系中,带有相关关系的是 ( )
①正方形的边长与面积之间的关系;②水稻产量与施肥量之间的关系;
③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
小结:
达标训练
1.在现实生活中,请你举出几个两个量之间存在明确函数关系的例子.
2.请在现实生活中举出两个变量不满足函数关系,但二者确实有关系的例子.。

1.7 相关性 学案1 高中数学必修三北师大版

1.7 相关性 学案1 高中数学必修三北师大版

学案 必修三 第一章第七节 相关性一、学习目标了解变量间的相关关系,能利用散点图直观认识变量间的相关关系,并能初步判定这种相关关系。

二、重点、难点重点:、经历描述两个变量线性相关关系的过程。

难点:体会统计思想与确定性思维的差异。

三、课前预习1.相关关系的概念在实际问题中,变量之间的常见关系有两类:一类是确定性函数关系,变量之间的关系可以用函数表示。

例如正方形的面积S 与其边长x 之间的函数关系2x S(确定关系);一类是相关关系,变量之间有一定的联系,但不能完全用函数来表达。

例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系(非确定关系)相关关系:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。

相关关系与函数关系的异同点: 相同点:均是指两个变量的关系。

不同点:函数关系是一种确定关系;而相关关系是一种非确定关系;函数关系是自变量与因变量之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系;而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

2.散点图将两个变量的各对 在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图.3.曲线拟合: 。

4.线形相关: 。

5.非线形相关: 。

四、堂中互动【教师点拨】不要认为两个变量间除了函数关系,就是相关关系,事实上,两个变量间可能毫无关系。

比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。

函数关系和相关关系的区别关键在于“确定性”还是“随机性”.例1:下列各组变量哪个是函数关系,哪个是相关关系? (1)电压U 与电流I (2)圆面积S 与半径R(3)自由落体运动中位移s 与时间t (4)粮食产量与施肥量 (5)人的身高与体重 (6)广告费支出与商品销售额分析:函数关系是一种确定关系;而相关关系是一种非确定关系;函数关系是自变量与因变量之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系;而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。

点评:区分函数关系与相关关系主要紧扣相关关系的定义。

高中数学教案7北师大版必修3教案

高中数学教案7北师大版必修3教案

高中数学教案7北师大版必修3教案教案标题:高中数学必修三(北师大版)第七章函数的应用一、教学目标:1.知识与能力目标:1)了解概念:函数、映射、定义域、值域、因变量、自变量等。

2)掌握求解一元一次方程组的方法。

3)熟练应用函数的概念与性质解决实际问题。

2.过程与方法目标:1)通过引入函数的概念,培养学生分析问题、解决问题的能力。

2)通过数学模型的建立,培养学生抽象思维的能力。

3.情感态度与价值观目标:1)培养学生的数学兴趣,提高学生对数学的认识和理解。

2)培养学生的实际问题解决能力,增强他们的数学应用能力。

二、教学重难点:1.教学重点:1)掌握函数的概念与性质。

2)熟练应用函数解决实际问题。

2.教学难点:1)理解函数概念的抽象性。

2)应用函数解决实际问题。

三、教学过程:1.导入(5分钟)引入函数的概念,通过生活中的例子引发学生对函数的思考,例如:小明去超市买东西,物品的数量与金额之间是否存在其中一种关系?考虑具体例子并进行讨论。

2.概念解释(20分钟)1)引导学生定义函数的概念,并介绍函数的基本性质。

2)与学生一起讨论函数的自变量、因变量、定义域、值域等概念的含义。

3)给出函数的表示形式,如f(x)=3x+2,解释其中的含义。

3.实例讲解(30分钟)1)通过几个实例,让学生进一步理解函数的概念和性质。

2)引导学生分析问题,建立数学模型,并利用函数解决实际问题。

3)引导学生分析解题过程,掌握函数的应用方法。

4.练习与讨论(20分钟)1)布置练习题,让学生独立完成。

2)与学生一起讨论练习题解法,引导学生思考和交流。

5.归纳总结(10分钟)1)回顾本节课所学的知识点。

2)总结函数的概念和性质。

四、教学资料准备:1.教学课件。

2.活动题。

五、教学评价与反馈:1.在教学过程中及时观察学生的学习情况,通过讨论和提问检查学生的掌握情况。

2.针对学生的错误和不足进行及时反馈和指导。

3.记录学生的表现和进步情况,为下一节课的教学调整和提高提供参考。

高中数学 7《相关性》教案 北师大版必修3

高中数学 7《相关性》教案 北师大版必修3

相关性-备课资料学习导航学习提示1.能根据数据,利用计算机制出反映两个变量间关系的散点图.2.能根据散点图判断变量间是否为线性相关.3.若两个变量为线性相关,告诉一个变量的值,能估计出其对应另一变量的值. 本节重点是能根据散点图,判断两个变量是否为线性相关;难点是根据一个变量的值估计出另一个变量的值. 教材习题探讨 方法点拨练习(第59页) 解:(1)散点图如图1-8-13.杯数气温/ oC (2)从散点图1-8-13中可以看出气温越低,销售热茶的杯数越多,近似地成一条直线,成线性相关. (3)画一条直线近似地表示这种线性关系(如图1-8-13). (4)如果某天的气温为-5℃,则这天的热茶卖出的杯数大约为67杯. 习题1—8 1.解:(1)第一步,先抽取样本.为使抽取的样本具有广泛的代表性,我们可采取分层抽样,按身高分层.. 第三步,根据得到的数据画出散点图.第四步,根据散点图,写出分析报告.(2)利用前面抽取的样本,测量每个个体的左、右手的一拃长,其余同(1).2.解:(1)散点图如图1-8-14.利用计算机电子表格软件作散点图,由散点图推断它们之间是否线性相关.本解答只提供步骤方法,具体由学生根据学过的方法知识、实际数据完成答案,然后互相交流比较.我们用计算机电子表格软件作散点图,由散点图推断身高与体重之间成线性相关,画出近似直线.由直线再估算身高为172 cm 的体重.12108642体重/k g 身高/c m图(2)从散点图1-8-14中可以看出,总体上体重随身高增大而增大,近似地成一条直线,成线性相关. (3)所画直线如图1-8-14.(4)身高为172 cm 的运动员,他的体重大约为61 kg. 3.解:(1)散点图如图1-8-15.7654321最大可识别距离/英尺 年龄/岁图我们从散点图1-8-15中可以发现,年龄与最大可识别距离总体趋势成一条直线,它们之间是线性相关的. (2)所画直线如图1-8-15.(3)如果一个美国司机年龄是50岁,估计他最大可识别距离为440英尺左右.(4)一般情况,年龄越大,可识别最大距离越小.老年司机开车时车速应比年青人要小一些. 4.解:肝功能原始值年龄76050 100图1-8-16 图1-8-16为年龄与肝功能原始值的散点图,由散点图可以看出年龄与肝功能原始值之间成线性相关.同样,年龄与肝功能对数变换值之间也成线性相关.同学们一定要熟练应用计算机电子表格软件作散点图.本题散点较多,如果用手工描图工作量非常大,故熟练应用现代计算机信息技术,利用计算机电子表格软件作散点图效率很高且比较准确.生存天数原始值10008006040200年龄50 100图1-8-17 图1-8-17是年龄与生存天数原始值的散点图.由散点图可以看出年龄与生存天数原始值之间成线性相关.同样年龄与生存天数对数变换值之间也成线性相关.108642-2图图1-8-18为肝功能原始值与生存天数原始值之间的散点图.由散点图可以看出它们之间成线性相关.同样,肝功能对数变换值与生存天数对数变换值之间也成线性相关. 互动学习知识链接1.在现实生活中,请你举出几个两个量之间存在明确函数关系的例子.2.请在现实生活中举出两个变量不满足函数关系,但二者确实有关系的例子.解:1.圆的半径r 和面积S ,有着S=πr2的关系.工作效率a和工作量W ,有着W=at 的关系.物体的质量m 和体积V ,满足m=ρV 的关系.2.(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关. (2)粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素,因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.(3)人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等因素有关,可能还与个人的先天体质有关.在现实生活中,有些量之间存在着函数关系,还有很多量之间不满足函数关系,但二者之间确实有关系,这种关系正是本节所要研究的问题.高中数学 7《相关性》教案 北师大版必修3两个变量间的关系有两种:一种是函数关系;另一种是相关关系.理解两种关系的定义及两者之间的联系.另外散点图非常重要,要会画散点图,并会根据散点图判断两个变量间是何种关系.。

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§7 相关性整体设计教学分析变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过身高与体重的关系,引导学生考察变量之间的关系,在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.三维目标1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系.2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系.重点难点教学重点:通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系;利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系;根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程.教学难点:变量之间相关关系的理解;作散点图和理解两个变量的正相关和负相关.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.在学校里,老师对学生经常这样说:“如果你的数学成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?学生讨论:我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.(似乎就是数学好的,物理也好;数学差的,物理也差,但又不全对.)物理成绩和数学成绩是两个变量,从经验看,由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法.数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的.但决非唯一因素,还有其他因素,如是否喜欢物理,用在物理学习上的时间等等.(总结:不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少.但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义.)为很好地说明上述问题,我们开始学习变量之间的相关关系和两个变量的线性相关.(教师板书课题)思路2.某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,有人经统计发现了一个有趣的现象,如果村庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率低,于是,他就得出一个结论:天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗?如何证明这个结论的可靠性?教师点出课题.推进新课新知探究提出问题(1)粮食产量与施肥量有关系吗?“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系?你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗?(2)两个变量间的相关关系是什么?有几种?(3)两个变量间的相关关系的判断方法.讨论结果:(1)粮食产量与施肥量有关系,一般是在标准范围内,施肥越多,粮食产量越高;教师的水平与学生的水平是相关的,如水滴石穿,三人行必有我师等.我们还可以举出现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如:商品销售收入与广告支出经费之间的关系.商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系,但商品销售收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质量、居民收入等因素有关.粮食产量与施肥量之间的关系.在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高.但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素.因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响.人体内的脂肪含量与年龄之间的关系.在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个人的先天体质有关.应当说,对于上述各种问题中的两个变量之间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规律”.但是,不管你的经验多么丰富,如果只凭经验办事,还是很容易出错的.因此,在分析两个变量之间的相关关系时,我们需要一些有说服力的方法.在寻找变量之间相关关系的过程中,统计同样发挥着非常重要的作用.因为上面提到的这种关系,并不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的,而是带有不确定性.这就需要通过收集大量的数据(有时通过调查,有时通过实验),在对数据进行统计分析的基础上,发现其中的规律,才能对它们之间的关系作出判断.(2)相关关系的概念:自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫作相关关系.两个变量之间的关系分两类:①确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等;②带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.(还与商品质量、居民收入、生活环境等有关)(3)两个变量间的相关关系的判断:①散点图.②根据散点图中变量的对应点的离散程度,可以准确地判断两个变量是否具有相关关系.③正相关、负相关的概念.例如:分析数据:大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析.散点图的概念:将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫作散点图,如图1.图1从散点图我们可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.正相关与负相关的概念:如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.(注:散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系)应用示例思路1例1 下列关系中,带有相关关系的是___________.①正方形的边长与面积之间的关系②水稻产量与施肥量之间的关系③人的身高与年龄之间的关系④降雪量与交通事故的发生率之间的关系分析:两变量之间的关系有两种:函数关系与带有随机性的相关关系.①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系.②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系,但是具有相关性,因而是相关关系.③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系,也不是相关关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了,因而他们不具备相关关系.④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系,因此填②④.答案:②④例 2 有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗?解:从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康,但是除了吸烟之外,还有许多其他的随机因素影响身体健康,人体健康是很多因素共同作用的结果.我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸烟而引发的患病者,所以吸烟不一定引起健康问题.但吸烟引起健康问题的可能性大.因此“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法是不对的.点评:在探究研究的过程中,如果能够从两个变量的观察数据之间发现相关关系是极为有意义的,由此可以进一步研究二者之间是否蕴涵因果关系,从而发现引起这种相关关系的本质原因是什么.本题的意义在于引导学生重视对统计结果的解释,从中发现进一步研究的问题.思路2例1 有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:品牌所含热量的百分比口味记录A 25 89B 34 89C 20 80D 19 78E 26 75F 20 71G 19 65H 24 62I 19 60J 13 52(1)作出这些数据的散点图.(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?解:(1)散点图如图2:图2(2)基本成正相关关系,即食品所含热量越高,口味越好.例 2 一般说来,一个人的身高越高,相应地,他的右手一拃长就越长,因此,人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系.为了对这个问题进行调查,我们收集了北京市某中学2003年高性别身高/cm 右手一拃长/cm 性别身高/cm 右手一拃长/cm 女152 18.5 女153 16.0女156 16.0 女157 20.0女158 17.3 女159 20.0女160 15.0 女160 16.0女160 17.5 女160 17.5女160 19.0 女160 19.0女160 19.0 女160 19.5女161 16.1 女161 18.0女162 18.2 女162 18.5女163 20.0 女163 21.5女164 17.0 女164 18.5女164 19.0 女164 20.0女165 15.0 女165 16.0女165 17.5 女165 19.5女166 19.0 女167 19.0吗?(2)如果近似成线性关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性关系. (3)如果一个学生的身高是188 cm,你能估计他的一拃大概有多长吗?解:根据上表中的数据,制成的散点图如图3.图3从散点图上可以发现,身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线,也就是说,它们之间是线性相关的.那么,怎样确定这条直线呢?同学1:选择能反映直线变化的两个点,例如(153,16),(191,23)两点确定一条直线.同学2:在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本相同.同学3:多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线的斜率、截距.同学4:从左端点开始,取两条直线,如图4.再取这两条直线的“中间位置”作一条直线.图4同学5:先求出相同身高同学右手一拃长的平均值,画出散点图,如图5,再画出近似的直线,使得在直线两侧的点数尽可能一样多.图5同学6:先将所有的点分成两部分,一部分是身高在170 cm以下的,一部分是身高在170 cm 以上的;然后,每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长,即(164,19),(177,21);最后,将这两点连接成一条直线.同学7:先将所有的点按从小到大的顺序进行排列,尽可能地平均分成三等份;每部分的点按照同学3的方法求一个“平均点”,最小的点为(161.3,18.2),中间的点为(170.5,20.1),最大的点为(179.2,21.3).求出这三个点的“平均点”为(170.3,19.9).我再用直尺连接最大点与最小点,然后平行地推,画出过点(170.3,19.9)的直线.图6同学8:取一条直线,使得在它附近的点比较多.在这里需要强调的是,身高和右手一拃长之间没有函数关系.我们得到的直线方程,只是对其变化趋势的一个近似描述.对一个给定身高的人,人们可以用这个方程来估计这个人的右手一拃长,这是十分有意义的.知能训练一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,收集数据如下:零件数x(个)10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y(min) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122(1)画出散点图;(2)关于加工零件的个数与加工时间,你能得出什么结论?答案:(1)散点图如图7:图7(2)加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系.拓展提升房屋面积(m2)115 110 80 135 105销售价格(万元)24.8 21.6 18.4 29.2 22(2)指出是正相关还是负相关;(3)关于销售价格y和房屋的面积x,你能得出什么结论?解:(1)数据对应的散点图如图8所示:图8(2)散点图中的点分布在从左下角到右上角的区域内,所以是正相关.(3)关于销售价格y和房屋的面积x,房屋的面积越大,价格越高,它们呈正线性相关的关系. 课堂小结通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间。

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