2017年秋季新版苏科版八年级数学上学期6.6、一次函数、一元一次方程和一元一次不等式素材6
6苏科版数学八年级上册精品教案.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式【学习目标】基本目标：1．通过函数图象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系；2. 了解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数在解决问题过程中的作用和联系.提高目标：通过解决实际问题，使学生认识到数学来源于生活又应用于生活，从而激发学生的学习兴趣. 【教学重难点】重点：通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．难点：了解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数在解决问题过程中的作用和联系.【预习导航】1. 已知y=2x+4.①当x=时，y=0.②当x满足什么条件时，y>0？③当x满足什么条件时，y<0？2. 画出函数y=2x+4的图象，根据图象回答问题．（1）当x=时，y=0；（2）当x=时，y>0；（3）当x=时，y<0.【课堂导学】活动一：如图直线l与x轴，y轴分别交于A，B ，根据图象回答问题：①当x=时，y=0.②当x满足什么条件时，y>0？③当x满足什么条件时，y<0？例题：例1．如图是一个一次函数的图象，请根据图象回答问题：（1）当x=0时，y= ，当y=0时，x= ；（2）写出直线对应的一次函数的表达式：；（3）根据图象可知，当x时，y<0，当x时，y>0.例2. 在同一直角坐标系中画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点P的坐标；（2）直接写出：当x取何值时，y1>y2，y1<y2.【课堂检测】1．如图，一次函数的图象经过点P（-3，2），根据图象回答问题：①当x=时，②当x满足什么条件时，y>2 ？③当x满足什么条件时，y<2 ？2．当x取什么值时，函数y=-3x+1的值大于-2？等于-2？小于-2？【课后巩固】基本检测1．如图，直线y12=-x+3相交于点A，若y1<y2，则（）A. x>2B. x<2C. x>1D. x<12．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图，则关于x的不等式k2x<k1x+b拓展延伸1．如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b>ax+3的解集为．2．已知函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象，观察图象并回答问题：（1）当x取何值时，2x-4>0？（2）当x取何值时，-2x+8>0？（3）当x取何值时，2x-4>0与-2x+8>0同时成立？（4）求函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积？。
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6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教学目标：1．经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.2．了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.3．通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点：通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．教学难点：了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.教学方法：引导发现法教具：电脑、投影仪等多媒体设备。
教学过程：一、热身训练填空：（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；不等式2x＋4＜0的解集为________.（3）当x为何值时，函数y=2x＋4的值为0？正数？负数？二、例题讲解：例一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．解:（1）根据题意，y与x之间的函数表达式为：y=0.5x+25(2)画出图像因为所挂物体越重，弹簧伸得越长，又因为挂上物体后弹簧得长度不能超过35cm，所以当y＝35时，该弹簧所挂物体得质量最大。
解一元一次方程0．5x+25=35x=20所以该弹簧所挂物体的最大质量是20kg.问题一：你能不能用一元一次不等式的方法来求该弹簧所挂物体得最大质量？问题二：通过上述问题请你谈谈一元一次不等式与一元一次方程、一次函数之间存在怎样的关系？三、课堂小结：一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系：已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围.四、趁热打铁1．x取什么值时，函数y＝－2x＋2的值是正数？负数？非负数？五、探索（一）、例题再探利用图求当长度为35cm时，弹簧所挂物体质量利用图求弹簧在所允许的弹性限度内所挂物体的最大质量（二）、1．试根据一次函数y＝2x＋4的图像，说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0 、2x＋4＜0的解.探索１：1．画出一次函数y＝2x＋4的图像。
苏科版数学八年级上册 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 教案
《6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》教案一、教材学情分析“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第6章第6节的内容，研究一次函数在数学内部的运用.函数、方程、不等式是第三学段“数与代数”内容的核心，函数与方程、不等式有着密切的内在联系，是“数与代数”内容的主线.引导学生探索研究一次函数与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的内在联系，有助于学生的数学思维逐步实现由常量数学到变量数学的飞跃.一次函数是在一次方程（组）、一次不等式之后学习的，不仅需要用到之前的数式运算、方程不等式的解法基础，而且可以从一次函数视角反观方程（组）、不等式，获得高观点下的结构认识，感受到数学知识、不同分支之间的关联与和谐一致.本课时是引导学生在探索过程中体验数形结合的思想方法，能用数形结合的方法去分析、解决一些数学问题，在探索过程中体会由数想形，由形思数，增强数形结合的意识，这对今后的学习有着重要的意义.二、教学目标1. 知识与技能：体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系，了解它们在解决问题过程中的作用和联系.2. 过程与方法：通过探究学习，让学生拥有辨别一元一次不等式与一元一次方程、一次函数关系的能力，使得学生的知识能够形成网状结构，使知识能互相交融，培养触类旁通的能力，培养学生的发散思维.在探索过程中感受数形结合思想方法.3. 情感态度与价值观：经历数学实验的探究过程，感受数学文化熏陶，传播正能量的情感态度价值观.三、教学重难点1.教学重点：理解一次函数与一元一次方程以及一元一次不等式的转化关系及本质联系.2.教学难点：能用数形结合方法去分析、解决数学问题，体会数形之间内在联系.四、教学过程1. 提出问题，激活已有经验问题1B A x yO 4 2【设计意图】引导学生可以从图像的形状、经过象限、上升或下降、与坐标轴交点位置等思考函数的性质，确定某些特征字母的范围、自变量、函数值的取值范围.体会“由形思数”. 问题2：若直线y =kx ＋b 经过点A (4，0)、B (0，2).（1）关于x 的方程kx ＋b =0的解是_______ ；（2）关于x 的不等式kx ＋b ＞0的解集为________；（3）关于x 的不等式kx ＋b ＜0的解集为________．根据学生情况，适当增加变式.【设计意图】通过“读图”常常可以为解决有关、方程不等式的问题提供方便，函数的图像直观，便于从“形”的特征解决方程、不等式问题.体会“由数想形”.2. 动手实践，探究内在联系【例1】已知函数y 1＝－12x ＋2与y 2＝3x －5的图像，观察图像并回答问题： （1）x 取何值时， y 1＞0？（2）x 取何值时， y 1＞0与y 2＞0同时成立？学生自主设计问题，互相提问解决.【设计意图】某些代数问题，可以寻求图形解决，利用图形的直观性，某些图形问题，需要通过x y O y 1＝－12x ＋2y 2＝3x －5代数手段，利用方程、函数等方法，数和形本来就是同一个东西的两个侧面，要善于从不同角度看问题，如从数、形，从正、反等.体会“数形转化”.3.巩固深化，探究结果沉淀【练习】如图，函数y＝－2x和y＝kx＋b的图像相交于点A(m，3)，则关于x的不等式kx＋b＋2x ＞0的解集为根据学生情况，适当增加变式.【设计意图】在解决问题过程中要增强数形结合的意识，以期达到学生自我反省主动上形.4.体验收获，提炼升华拓展【例2】兄弟俩在一直线型跑道赛跑，哥哥先让弟弟跑9 米，然后自己才开始跑. 已知弟弟每秒跑3米，哥哥每秒跑4米.哥哥出发t秒时，哥哥所跑路程为S1米，弟弟所跑路程为S2米.（1）试分别写出S1、S2与t之间的函数关系式.（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）何时两人相距5米？【设计意图】解决问题有时侧重在数，有时侧重在形，有时要进行转化，可以多种方式解决此问题.5. 布置作业（略）五、板书设计（略）六、教学反思。
苏科版数学八年级上册6.6《一次函数一元一次方程和一元一次不等式》word学案
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式【学习目标】1.通过具体实例，初步体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系2.了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系 【重点难点】难点：对一次函数图像的理解一、【学前预习反馈】 1.已知. ①当 时，②当满足什么条件时，？ ③当满足什么条件时，2.画出函数的图像 二、【新知探求】1.思考：在预习·质疑中由函数 的图像能否直接回答1中的三个问题？结论：2.练习：如图直线与轴，轴分别交于A 、B ，根据图像回答问题：②当满足什么条件时，？ ③当满足什么条件时，？ 42+=x y =x 0=y x 0>y x 0<y 42+=x y 42+=x y l x y x 0>y x 0<y 家长签名23B23.例题：如图一次函数的图像经过点P(-3,2)据图像回答问题：③当满足什么条件时，？4.练习：取什么值时，函数的值大于？等于？小于？5.例题：直线与相交于点A，若y1＜y2，那么（）A. B. C. D.6.练习：直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象x2<yx13+-=xy2-2-2-21xy=32+-=xy2>x2<x1>x1<x1l bxky+=12l xky2=三、【课后巩固】补充习题 P92-93四、【知识梳理】1.小结所学知识：2.本节课易错点：（可以找与错题类似的题目补充在下面）五、【课后反思】。
苏科版数学八年级上册 6.6 一次函数、一元一次方程和一元 一次不等式 教案.doc
一次函数与方程、不等式一、教学目标：1、知识技能目标1.使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；2.使学生能初步运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．2、过程性目标1.使学生体会到一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；2.使学生感受到“数形结合”在数学研究和探究现实生活数量关系及其变化规律中的作用．3.能运用函数的图象来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并能通过函数图象来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集．二、教学过程1、创设情境观察与思考:Party”.x+y=5这是怎么回事？x+y=5应该坐在哪里呢？二元一次方程一次函数2、讲授新课我们先来看下面两个问题：（1）解方程2x+20=0（2）当自变量x为何值时函数y=2x+20的值为0讨论：1.对于2x+20=0 和y=2x+20，从形式上看，有什么不同？2.根据直线y=2x+20的图象，分析：（1）和（2）是怎样的一种关系？(1)解方程2x+20=0(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？观察图象：思考:函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0?与x轴的交点(-10,0)这样从图象中也可以观察出2x+20=0的解是x=-10即方程2x+20=0的解就是函数y=2x+20的图像与x轴的交点的横坐标的值.归纳：从数的角度看求2x+20=0的解，相当于求函数y=2x+20的值为0时，对应的自变量x的值。
从图象上看（从形的角度看）求2x+20=0的解,这相当已知直线y=2x+20,确定它与x 轴交点的横坐标。
举一反三“练一练”：结论:由于任何一元一次方程都可转化为ax+b=0（a 、b 为常数，a ≠ 0）的形式，所以解一元一次方程都可转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看：这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值.例:利用函数图象解-3x+6=0的解.小结：从数的角度看：求ax+b=0（a ≠0）的解为何值时y=ax+b 的值为0求ax+b=c （a ≠0）的解为何值时y=ax+b 的值为c从形的角度看求ax+b=0（a ≠0）的解y=ax+b 与x 轴的交点求ax+b=cx+d （a ，c ≠0且a ≠c ）的解确定直线y=ax+b 与y=cx+d 的交点的横坐标强化训练：1、直线 39y x =+ 与 x 轴的交点是（ ）A ．（0，-3）B ．（-3，0）C ．（0，3）D ．（0，-3）2、方程 328x += 的解是______，则函数 32y x =+ 在自变量 x 等于______时的函数值是8.3、根据图象，你能直接说出一元一次方程 03=+x 的解吗？解：由图象可知x+3=0的解为x= −3．直线y=x+3的图象与x轴交点坐标为（-3, 0 ），这说明方程x＋3＝0的解是4.直线y=ax+b在坐标系中的位置如图，则方程y=ax+b的解是x=___5.利用图象求方程6x-3=x+2的解6、当自变量取何值时函数y=5x+17 与 y=25x+1的值相等？这个函数值是多少？解：由已知可得：2.5χ+ 1 = 5χ+ 17,解得：χ=6.4y=5 x 6.4 + 17y=49归纳总结:一次函数与一元一次方程的关系:作业：1.一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒钟速度17m/s？2.直线y=3x+6与 x轴的交点的横坐标的值是方程2x+a=0的解，求 a 的值.。
苏科版数学八年级上册教学设计《6-6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》
苏科版数学八年级上册教学设计《6-6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第六章第六节主要介绍了“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”。
这部分内容是学生学习数学的基础知识，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
通过本节课的学习，学生需要掌握一次函数的定义、性质，以及一元一次方程和一元一次不等式的解法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式、方程等基础知识，对于解决实际问题有一定的能力。
但部分学生在理解一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的关系方面可能存在困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习需求，通过实例讲解、小组讨论等方式，帮助他们理解和掌握知识点。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一次函数的定义和性质，掌握一元一次方程和一元一次不等式的解法。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，增强学生面对困难的自信心。
四. 教学重难点1.一次函数的定义和性质。
2.一元一次方程和一元一次不等式的解法。
3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式之间的关系。
五. 教学方法1.实例分析：通过具体例子，让学生了解一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的应用，提高学生的学习兴趣。
2.小组讨论：分组讨论，培养学生的团队协作能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.问题引导：引导学生提出问题，培养学生解决问题的能力。
4.板书设计：清晰的板书，帮助学生理解和记忆知识点。
六. 教学准备1.教学PPT：制作精美的PPT，展示一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的相关知识点。
2.实例素材：准备一些实际问题，用于引导学生运用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决问题。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学知识解决问题，从而引出一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的概念。
苏科版八年级数学上册《6章 一次函数 6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式》公开课教案_14
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教学目标1．经历实际问题中的数量关系的分析,初步体会一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的内在联系.2．了解函数、方程与不等式在解决问题过程中的作用和联系.3．通过解决实际问题，使学生认识数学与生活实际的密切联系，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.4.经历一般规律的探索过程、发展抽象思维能力。
教学重、难点通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．教学过程一．【预学提纲】1．回忆：一元一次方程和一元一次不等式的解法。
2．填空：（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；（3）不等式2x＋4＜0的解集为________。
3．自学课本163～164页，体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系。
归纳：当一次函数中一个变量确定时，可以由相应的确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的确定另一个变量的取值范围。
二．【预学练习】1．一次函数y＝2x- 4的图像是一条经过点（，）和点（，）的直线．2．画出一次函数y=2x-4的图像，并回答下列问题。
(1)当x取什么值时，一次函数y=2x-4的值是0；(2)当x取什么值时，一次函数y=2x-4的值是正数；(3)当x取什么值时，一次函数y=2x-4的值是负数?3．如图，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax+b<0的解集是三．【新知探究】问题1：一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为xkg,弹簧的长度为ycm.（1）直接写出y与x之间的函数表达式；（2）挂10kg物体后求弹簧的长度；（3）弹簧的长度为32.5cm时，求所挂物体的质量；（4）求出这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量；（5）你能用一元一次不等式求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量?问题2：已知一次函数y=2x+4的图像．(1)根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4=0的解；你能说说这个解的意义吗？(2)根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4＞0的解集；你能说说这个解集的意义吗？(3)根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4＜0的解集？变式：(一) 试根据一次函数y=2x+4的图像，直接说出2x+4=4、2x+4＞4、2x+4＜4的解或解集.你是如何看出的？(二) 试根据一次函数y=2x+4的图像，求当-2＜x＜4时，y的取值范围。
苏教版八年级数学上册第六章 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式一．选择题（共8小题）1．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞3D．x＜32．如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣23．如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2B．x＞3C．x＜﹣2或x＞3D．﹣2＜x＜34．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x≥3D．x≥﹣15．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞16．已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：x…﹣m2﹣112…y…﹣20n2+1…则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．无法确定7．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于（）A．B．C．D．8．已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（）A．B．C．D．0＜x＜2二．填空题（共6小题）9．如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为．10．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为．11．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为．12．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c 的解为．13．如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是．14．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为．三．解答题（共6小题）15．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；17．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；20．【感知】如图①，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，0.5），点A的坐标为（1，0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，易知△AOC≌△CMB，得到点B的坐标为（0.5，1.5）．【探究】如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB（1）求点B的坐标．（用含m的代数式表示）（2）直接写出点B所在直线对应的函数表达式．【拓展】如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C在y轴上，将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，连结BO、BA，则BO+BA的最小值为．答案与解析一．选择题（共8小题）1．如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞3D．x＜3【分析】根据点A的坐标找出b值，令一次函数解析式中y＝0求出x值，从而找出点B 的坐标，观察函数图象，找出在x轴上方的函数图象，由此即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，∴点B（，0）．观察函数图象，发现：当x＜时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．故选：B．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出交点B的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键．2．如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2【分析】利用函数图象写出直线l1：y＝x+6与在直线l2：y＝﹣x﹣2上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：当x＞﹣2时，x+6＞﹣x﹣2，所以不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是x＞﹣2．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．3．如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2B．x＞3C．x＜﹣2或x＞3D．﹣2＜x＜3【分析】根据两条直线与x轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集即可．【解答】解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是能够结合图象作出判断，难度不大．4．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点（﹣1，3），则不等式kx+b≥3的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜﹣1C．x≥3D．x≥﹣1【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．【解答】解：观察图象知：当x≥﹣1时，kx+b≥3，故选：D．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．5．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（）A．x＜0B．x＞0C．x＜1D．x＞1【分析】直接利用已知点画出函数图象，利用图象得出答案．【解答】解：如图所示：不等式kx+b＞1的解为：x＞1．故选：D．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合分析是解题关键．6．已知一次函数y＝kx+b中x取不同值时，y对应的值列表如下：x…﹣m2﹣112…y…﹣20n2+1…则不等式kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．无法确定【分析】首先根据函数的值确定一次函数的增减性，然后根据函数经过点（1，0），即可进行判断．【解答】解：∵﹣m2﹣1＜2，﹣2＜n2+1，∴函数y＝kx+b中y随x的增大而增大，又∵函数经过点（1，0），∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为：x＞1．故选：A．【点评】本题考查一次函数的性质，解题时应认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．7．如图所示，已知直线与x、y轴交于B、C两点，A（0，0），在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长等于（）A．B．C．D．【分析】根据题目已知条件可推出，AA1＝OC＝，B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．【解答】解：∵OB＝，OC＝1，∴BC＝2，∴∠OBC＝30°，∠OCB＝60°．而△AA1B1为等边三角形，∠A1AB1＝60°，∴∠COA1＝30°，则∠CA1O＝90°．在Rt△CAA1中，AA1＝OC＝，同理得：B1A2＝A1B1＝，依此类推，第n个等边三角形的边长等于．故选：A．【点评】本题考查了一次函数综合题．解题时，将一次函数、等边三角形的性质及解直角三角形结合在一起，从而归纳出边长的规律．8．已知一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象与正比例函数y2＝mx（m＞0）的图象交于点（），则不等式的解集为（）A．B．C．D．0＜x＜2【分析】将点（）代入y1＝kx+1，得出m＝k+1，即m＝k+2，再把m＝k+2代入不等式组，得到，解此不等式组即可．【解答】解：∵一次函数y1＝kx+1（k＜0）的图象过点（），∴m＝k+1，∴m＝k+2，∴不等式组即为，解得＜x＜2．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象上点的坐标特征，一元一次不等式组的解法．得出m＝k+2是解题的关键．二．填空题（共6小题）9．如图所示，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为x＜4．【分析】由于一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），再根据图象得出函数的增减性，即可求出不等式ax+b＜1的解集．【解答】解：函数y＝ax+b的图象如图所示，图象经过点A（4，1），且函数值y随x的增大而增大，故不等式ax+b＜1的解集是x＜4．故答案为：x＜4．【点评】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．10．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为x＜2．【分析】直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，再利用一元一次不等式解法得出答案．【解答】解：∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，则b＝6k，故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，∵k＜0，∴x﹣2＜0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确得出k与b之间的关系是解题关键．11．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，则不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．【分析】先把不等式x（kx+b）＜0化为或，然后利用函数图象分别解两个不等式组．【解答】解：不等式x（kx+b）＜0化为或，利用函数图象得为无解，的解集为﹣3＜x＜0，所以不等式x（kx+b）＜0的解集为﹣3＜x＜0．故答案为﹣3＜x＜0．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．12．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+c相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2≤ax+c 的解为x≤1．【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标；结合函数图象可知当x≤1时x+2≤ax+c，即可求解；【解答】解：点P（m，3）代入y＝x+2，∴m＝1，∴P（1，3），结合图象可知x+2≤ax+c的解为x≤1；故答案为x≤1；【点评】本题考查一次函数的交点于一元一次不等式；将一元一次不等式的解转化为一次函数图象的关系是解题的关键．13．如图所示，一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．【分析】一次函数y＝ax+b的图象与x轴交点横坐标的值即为方程ax+b＝0的解．【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），∴关于x的方程ax+b＝0的解是x＝2．故答案为x＝2．【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．14．如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组的解集为﹣2＜x＜2．【分析】先将点P（n，﹣4）代入y＝﹣x﹣2，求出n的值，再找出直线y＝2x+m落在y ＝﹣x﹣2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），∴﹣4＝﹣n﹣2，解得n＝2，∴P（2，﹣4），又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），∴关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣2＜0的解集为﹣2＜x＜2．故答案为﹣2＜x＜2．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．三．解答题（共6小题）15．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q．（1）试确定三角板ABC的面积；（2）求平移前AB边所在直线的解析式；（3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．【分析】（1）与m轴相交于点P（，0），可知OB＝，OA＝1；（2）设AB的解析式y＝kx+b，将点B（0，），A（1，0）代入即可；（3）在移动过程中OB＝﹣m，则OA＝tan30°×OB＝（﹣m）＝1﹣m，所以s＝×（﹣m）×（1﹣m）＝﹣m+，（0≤m≤）；当m＝0时，s＝，即可求Q（0，）．【解答】解：（1）∵与m轴相交于点P（，0），∴OB＝，∵∠ABC＝30°，∴OA＝1，∴S＝＝；（2）∵B（0，），A（1，0），设AB的解析式y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+；（3）在移动过程中OB＝﹣m，则OA＝tan30°×OB＝（﹣m）＝1﹣m，∴s＝×（﹣m）×（1﹣m）＝﹣m+，（0≤m≤）当m＝0时，s＝，∴Q（0，）．【点评】本题考查直角三角形平移，一次函数的性质；能够通过函数图象得到B（0，）是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；【解答】解：（1）∵y＝x+4，∴A（﹣3，0）B（0，4），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BC的解析式y＝﹣；（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．∵OA＝OC＝3，OB＝4，∴AC＝6，AB＝BC＝5，∴sin∠ACD＝，即，∴AD＝，∵点P为直线y＝x+4上，∴设P（t，t+4），∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，即，∴，∵sin∠ABC＝，∴PN＝＝，∵AP＝BQ，∴BQ＝5+，∴S＝，即S＝；17．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝那么称点T是点A，B的融合点．例如：A（﹣1，8），B（4，﹣2），当点T（x，y）满足x＝＝1，y＝＝2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H．当△DTH为直角三角形时，求点E的坐标．【分析】（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，即可求解；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），即可求解；②分∠DTH＝90°、∠TDH＝90°、∠HTD＝90°三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）x＝（﹣1+7）＝2，y＝（5+7）＝4，故点C是点A、B的融合点；（2）①由题意得：x＝（t+3），y＝（2t+3），则t＝3x﹣3，则y＝（6x﹣6+3）＝2x﹣1；②当∠DHT＝90°时，如图1所示，点E（t，2t+3），则T（t，2t﹣1），则点D（3，0），由点T是点D，E的融合点得：t＝，2t﹣2＝解得：t＝，即点E（，6）；当∠TDH＝90°时，如图2所示，则点T（3，5），由点T是点D，E的融合点得：点E（6，15）；当∠HTD＝90°时，由于H点为定点，则∠HTD不可能等于90°．故点E（，6）或（6，15）．【点评】本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解．18．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，2），动点P在y＝x的图象上运动（不与O重合），连接AP．过点P作PQ⊥AP，交x轴于点Q，连接AQ．（1）求线段AP长度的取值范围；（2）试问：点P运动的过程中，∠QAP是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当△OPQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．【分析】（1）作AH⊥OP，由y＝x知：∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°，由三角函数得出AH的值即为AP的最小值；（2）分点P在第三象限、点P在第一象限的线段OH上、点P在第一象限的线段OH的延长线上三种情况，用四点共圆求解；（3）分OQ＝PQ、PO＝OQ、PQ＝OP三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1，作AH⊥OP，则AP≥AH，∵点P在y＝x的图象上∴∠HOQ＝30°，∠HOA＝60°∵A（0，2）∴AH＝AO•sin60°＝∴AP≥（2）①当点P在第三象限时，如图2，由∠QP A＝∠QOA＝90°，可得Q、P、O、A四点共圆，∴∠P AQ＝∠POQ＝30°②当点P在第一象限的线段OH上时，如图3由∠QP A＝∠QOA＝90°可得Q、P、O、A四点共圆∴∠P AQ+∠POQ＝180°，又此时∠POQ＝150°∴∠P AQ＝180°﹣∠POQ＝30°③当点P在第一象限的线段OH的延长线上时，由∠QP A＝∠QOA＝90°可得∠APQ+∠AOQ＝180°∴Q、P、O、A四点共圆∴∠P AQ＝∠POQ＝30°（3）设P（m，m），则l AP：y＝∵PQ⊥AP∴k PQ＝∴l PQ：y＝（x﹣m）+m∴Q（，0）∴OP2＝m2，OQ2＝m2﹣m+PQ2＝m2﹣m+①OP＝OQ时，则m2＝m2﹣m+整理得：m2﹣4m+3＝0解得m＝2±3∴Q1（2+4，0），Q2（2﹣4，0）②当PO＝PQ时，则m2＝m2﹣m+整理得：2m2+解得：m＝或m＝﹣当m＝时，Q点与O重合，舍去，∴m＝﹣∴Q3（﹣2，0）③当QO＝QP时，则整理得：m2﹣解得：m＝∴Q4（）∴点Q的坐标为（2+4，0）或（2﹣4，0）或（﹣2，0）或（）．【点评】本题为一次函数综合题，涉及到四点共圆、等腰三角形性质，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．19．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，过点C（2，0）作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式；（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；（3）当∠CBE＝∠ABO时，点E的坐标为（11，3）．【分析】（1）利用待定系数法求出直线表达式；（2）先确定出直线l的解析式，最后用三角形的面积公式建立方程求解即可得出结论；（3）先判断出△ABO∽△EBC，得出，再判断出△BOC∽△CFE，即可求出CF，EF即可得出结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A（﹣9，0），B（0，6）两点，∴，∴，∴一次函数y＝kx+b的表达式为y＝x+6；（2）如图，记直线l与y轴的交点为D，∵BC⊥l，∴∠BCD＝90°＝∠BOC，∴∠OBC+∠OCB＝∠OCD+∠OCB，∴∠OBC＝∠OCD，∵∠BOC＝∠COD，∴△OBC∽△OCD，∴，∵B（0，6），C（2，0），∴OB＝6，OC＝2，∴，∴OD＝，∴D（0，﹣），∵C（2，0），∴直线l的解析式为y＝x﹣，设E（t，t﹣），∵A（﹣9，0），C（2，0），∴S△ACE＝AC×y E＝×11×（t﹣）＝11，∴t＝8，∴E（8，2）；20．【感知】如图①，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，0.5），点A的坐标为（1，0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，易知△AOC≌△CMB，得到点B的坐标为（0.5，1.5）．【探究】如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，m）（m＞0），将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB（1）求点B的坐标．（用含m的代数式表示）（2）直接写出点B所在直线对应的函数表达式．【拓展】如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点C在y轴上，将线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，连结BO、BA，则BO+BA的最小值为．【分析】【探究】（1）证明△AOC≌△CMB（AAS），即可求解；（2）点B的坐标为（m，m+1），即可求解；【拓展】BO+BA＝+，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，即可求解．【解答】解：【探究】（1）过点B作BM⊥y轴，垂足为点M，∴∠BMC＝90°，∴∠MCB+∠B＝90°，∵线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，∴∠BAC＝90°，CB＝CA，∴∠MCB+∠ACO＝90°，∴∠B＝∠ACO，∵∠AOC＝90°，∴△AOC≌△CMB（AAS），∴MC＝OA，MB＝OC，∵点C（0，m），点A（1，0），∴点B的坐标为（m，m+1）；（2）点B的坐标为（m，m+1），则点B所在的直线为：y＝x+1；【拓展】如图作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，则点B（m，1+m），则：BO+BA＝+，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，M′N＝＝，故：BO+BA的最小值为，故答案为．【点评】本题为一次函数综合题，主要考查的是三角形全等的思维拓展，其中【拓展】，将BO+BA的值转化点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，是本题的新颖点。
苏科版数学八年级上册6.6《一次函数一元一次方程和一元一次不等式》教学设计
苏科版数学八年级上册6.6《一次函数一元一次方程和一元一次不等式》教学设计一. 教材分析《一次函数一元一次方程和一元一次不等式》是苏科版数学八年级上册第六章第六节的内容。
本节内容是在学生已经学习了代数式、方程、不等式等基础知识的基础上进行讲解的，是进一步培养学生解决实际问题能力的重要环节。
本节内容主要包括一次函数的定义、性质，一元一次方程的解法，以及一元一次不等式的解法。
通过本节内容的学习，使学生能够熟练掌握一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的基本概念、性质和解法，并能够运用所学知识解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了代数式、方程、不等式等基础知识，具备了一定的逻辑思维和解决问题的能力。
但部分学生对一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的概念、性质和解法理解不够深入，对于如何将实际问题转化为数学问题还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重对基本概念、性质的讲解，并通过大量的例子让学生加深理解，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解一次函数的定义、性质，能够判断两个一次函数是否相等。
2.掌握一元一次方程的解法，能够解简单的一元一次方程。
3.掌握一元一次不等式的解法，能够解简单的一元一次不等式。
4.能够将实际问题转化为数学问题，并用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数的定义、性质。
2.一元一次方程的解法。
3.一元一次不等式的解法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流来学习一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的基本概念、性质和解法。
2.利用多媒体教学，通过动画、图片等形式展示一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的性质，增强学生的直观感受。
3.注重练习，通过大量的例子让学生加深对基本概念、性质的理解，提高解题能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学PPT。
3.练习题。
苏科版八年级数学上册6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教案
苏科版八年级数学上册6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教案6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式班级姓名教学目标：1、经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系。
2、了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系。
3、通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣.教学重点：一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系教学难点：一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系教学过程一、创设问题情境，引入新课一根长20cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体。
在弹簧伸长后的长度不超过30cm的限度内，每挂1㎏质量的物体，弹簧伸长0.5cm.如果所挂物体的质量为x㎏，弹簧的长度是ycm。
（1）、求y与x之间的函数关系式，并画出函数的图像。
二、探索新知1、一元一次方程、一次函数的关系由于任何一元一次方程都可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当时，求的值。
从图像上看，这相当于已知，确定的值。
2、一元一次不等式与一次函数的关系（1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）•的函数值的情形．（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b 0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b 0的解集．三、例题精选例1 如图是一个一次函数，请根据图像回答问题：（1）当x＝0时，y＝，当y＝0时，x ＝；（2）写出直线对应的一次函数的表达式；（3）一元一次方程 和一次函数 有什么联系？例2 画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．例 3 某用煤单位有煤m 吨，每天烧煤n 吨，现已知烧煤三天后余煤102吨，烧煤8天后余煤72吨.(1)求该单位余煤量y 吨与烧煤天数x 之间的函数解析式；(2)当烧煤12天后，还余煤多少吨？(3)预计多少天后会把煤烧完？例4 某人点燃一根长度为25㎝的蜡烛，已知蜡烛每小时缩短5㎝，设xh 后蜡烛剩下的长度为y ㎝。
苏科版数学八年级上册6.6《一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》教学设计
苏科版数学八年级上册6.6《一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》教学设计一. 教材分析苏科版数学八年级上册6.6《一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》是本册教材的重要内容，它帮助学生建立数学模型的初步概念，培养学生解决实际问题的能力。
本节课的内容包括一次函数的图像与性质，一元一次方程的解法，以及一元一次不等式的解法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式、方程等基本知识，具备了一定的逻辑思维和解决问题的能力。
但部分学生对于一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的联系和应用还不够清晰，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.理解一次函数的图像与性质，掌握一次函数的解析式。
2.学会解一元一次方程，掌握解题方法。
3.学会解一元一次不等式，掌握解题方法。
4.能够运用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题。
四. 教学重难点1.一次函数的图像与性质。
2.一元一次方程和一元一次不等式的解法。
3.一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过设置问题，引导学生探究一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的性质和关系；通过案例分析，让学生学会解决实际问题；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.PPT课件。
2.教学案例和习题。
3.笔记本电脑、投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）讲解一次函数的图像与性质，展示一次函数的解析式，让学生理解一次函数的斜率和截距的含义。
3.操练（20分钟）让学生通过解一元一次方程和一元一次不等式，巩固所学的知识。
提供一些练习题，让学生独立完成，教师进行讲解和指导。
4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生运用一次函数、一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题。
八年级数学上册 第六章 一次函数 6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教案 (新版)苏科版
课题
6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
课型
新授课
教学目标
1．初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系.
2．了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.
重点
通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．
2．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解．
归纳总结：
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.
已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值．
当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．
五、课堂小结
这节课你有什么收获？
尝试用不同的方法解决问题．
函数求值和变量范围确定的问题可以通过方程、不等式解决
板书设计
（用案人完成）
教学札记
难点
了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.
教法及教具
教
学
过
程
教 学 内 容
个案调整
教师主导活动
学生主体活动
一、热身训练
（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；
（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；
（3）不等式2x＋4＜0的解集为________
二、探索归纳
1．一次函数y＝2x＋4的图像是一条经过点（ ， ），点（ ， ）的直线．
你还能用什么方法解决这个问题？
四、巩固练习
1．x取什么值时，函数y＝－2(x＋1)＋4的值是正数？负数？非负数？
苏科版八年级数学上册《6.6 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式》课件
y（m/s）与气温x（℃）之间的函数表达式
为y＝ 3 x＋331.求： 5
（1）音速为340m/s时的气温；
（2）音速超过340m/s时的气温范围.
4. 一根长25 cm的弹簧，一端固定，另一端挂物 体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内， 每挂1 kg质量的物体，弹簧伸长0.5 cm.设所挂物 体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm.写出y与x之 间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧 在所允许的限度内所挂物体的最大质量.
2．（1）一次函数y＝kx＋4的图像是一条 经过点（ ， ），点（ ， ）的直线.
（2）试根据一次函数y＝kx＋4 的图像说出方程kx＋4＝0的解和 不等式kx＋4＞0 、kx＋4＜0的 解.
y＝kx＋4
试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程 2x＋4＝6的解和不等式2x＋4＞6、2x＋4＜6 的解集.
•1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” •2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 •5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
（4）当x为何值时，y <－4、 －4 < y < 0？
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式 有着紧密的联系.
已知一次函数的图像，当其中一个变量的值确 定时，可以由图像上相应的点的坐标确定另一个变 量的值；
当其中一个变量的取值范围确定时，可以由图 像上对应的部分确定另一个变量的取值范围.
八年级数学上册第六章一次函数6.6一次函数一元一次方程和一元一次不等式教案新版苏科版
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式教学目标【知识与能力】了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系．【过程与方法】经历实际问题中的数量关系的分析、抽象初步体会一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系．【情感态度价值观】通过解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣．教学重难点【教学重点】通过具体实例，初步体会一次函数、一元一次方程和一元一次不等式的内在联系．【教学难点】了解不等式、方程、函数在解决问题过程中的作用和联系.教学过程一、热身训练填空：（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；（3）不等式2x＋4＜0的解集为________.二、探索归纳1．一次函数y＝2x＋4的图像是一条经过点（，），点（，）的直线．2．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解．归纳总结：一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值．当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围．三、例题讲解例一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量．你还能用什么方法解决这个问题？四、巩固练习见课本P164练习题1、2小结这节课你学到了什么？。
苏科版数学八年级上册 6.6一次函数、一元一次方程和一元 一次不等式 教案 (3)
一次函数、一元一次方程一元一次不等式班级姓名学习目标1．通过具体实例，初步体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系．2．了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决问题过程中的作用和联系．重、难点重点：运用一元一次方程、一元一次不等式解决一次函数问题．难点：运用一次函数的图像解一元一次不等式．一、自主学习：已知一次函数y=2x-3，（1）当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是0；(2) 当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是正数；（3）当x取什么值时，一次函数y=2x-3的值是负数?二、合作、探索交流：问题1：一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm 的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为xkg,弹簧的长度为ycm（1）写出y与x之间的函数表达式；（2）画出函数图像；（3）求出这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量；（4）请用一元一次不等式求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量?问题2：已知一次函数y=2x+4的图像．(1) 根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4=0的解；(2) 根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4＞0的解集；(3) 根据一次函数y=2x+4的图像，求出2x+4＜0的解集？问题3：一辆汽车行驶35km 后，驶入高速公路，并以105km/h 的速度匀速行驶了xh ．(1) 请根据上述情境，提出一个用一次函数来解决的问题，并解答；(2) 请根据上述情境，提出一个用一元一次方程来解决的问题，并解答；(3) 请根据上述情境，提出一个用一元一次不等式来解决的问题，并解答？三、展示交流：1．已知函数y ＝32x ＋3，先画出函数的图像，再根据图像回答下列问题：（1）当x 取哪些值时，函数值y 等于0、大于0、小于0？（2）在函数图象中，y 值等于0的点在什么位置；（3）y 值大于0的点对应的横坐标在什么范围； （4）y 值小于0的点对应的横坐标在什么范围？2.已知y 1=-x+1,y 2=4x-2,当x 取何值时，（1）y 1=y 2；(2)y 1＞y 2；(3)y 1＜y 2?四、课堂测试：1.已知函数y 1＝2x －4与y 2＝－2x ＋8的图像，观察图像并回答问题：（1）x 取何值时，2x －4＞0；（2）x 取何值时，－2x ＋8＜0；（3）当-4≤x ≤8,求y 1的范围；（4）当-4≤y 2≤8,求x 的范围?-3-2-1-3-2-1321321oy x五、课后作业：1、一次函数y＝2x＋4的图像是一条经过点（，），点（，）的直线．试根据一次函数y＝2x＋4的图像写出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解．2、x取什么值时，函数y＝－2(x＋1)＋4的值是正数？负数？非负数？3、声音在空气中的传播速度（简称音速）y（m/s）与气温x（℃）之间的函数表达式为y＝35x＋331．求：（1）音速为340m/s时的气温；（2）音速超过340m/s时的气温范围.4、根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝6的解和不等式2x＋4＞6、2x＋4＜6的解．5、已知函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像，观察图像并回答问题：（1）x取何值时，2x－4＞0？（2）x取何值时，－2x＋8＞0？（3）x取何值时，2x－4＞0与－2x＋8＞0同时成立？（4）求函数y1＝2x－4与y2＝－2x＋8的图像与x轴所围成的三角形的面积？。
苏科版八年级数学上册《6章 一次函数 6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式》公开课教案_15
6.6一次函数、一元一次方程和一元一次不等式主备人：审核人：班级姓名授课时间评价等第【目标定向】[B]1.经历实际问题中的数量关系的分析,体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系.[C]2.了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决问题中的作用和联系. 【个体自学】活动一：体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系.一、热身训练：[A]1．填空：（1）方程2x＋4＝0解是_______ ；（2）不等式2x＋4＞0的解集为________；（3）不等式2x＋4＜0的解集为________.二、探索归纳[B]2．试根据一次函数y＝2x＋4的图像说出方程2x＋4＝0的解和不等式2x＋4＞0、2x＋4＜0的解集.（看图说话）当x= 时，y=0；（看直线y＝2x＋4与轴的交点）当x 时，y＞0；(看轴方的图像)当x 时，y＜0；(看轴方的图像)归纳总结：一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系.已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的确定另一个变量的取值范围.活动二：了解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式在解决问题中的作用和联系. [C]例题讲解一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为x kg，弹簧的长度为y cm.写出y与x之间的函数表达式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最大质量． (你还能用什么方法解决这个问题？)【同伴互导】1.学习对子交流个体自学情况：说出自己对问题的理解和观点.2.组长带领小组讨论：⑴说说一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系. ⑵例题的不同解决方法3.学习小组展示学习成果.【教师解难】1.我的疑问是2.教师点评学生在个体自学过程中出现的生成性问题和学生提出的疑问.【练习检测】1．x 取什么值时，函数y ＝－3x ＋1的值大于-2？小于-2？等于-2？2．声音在空气中的传播速度（简称音速）y （m /s ）与气温x （℃）之间的函数表达式为y ＝35x ＋331．求：（1）音速为340 m /s 时的气温；（2）音速超过340 m /s 时的气温范围.变式训练：3．试根据一次函数y ＝2x ＋4的图像说出方程2x ＋4＝6的解和不等式2x ＋4＞6、2x ＋4＜6的解．【补充学习】一辆汽车行驶了35 km 后，驶入高速公路，并以105 km /h 的速度匀速行驶了x h .试根据上述情境，提出一些问题，并用一次函数、一元一次方程或一元一次不等式求解．。
苏科版八年级数学上册《6章 一次函数 6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式》公开课教案_16
导问研学下三个“一次”的教学设计[内容摘要]：本节课以问题为引领，以活动为主线，引导学生观察、思考、探索、交流，从而初步体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，主动构建认知结构，感受数形结合的思想，感悟一次函数是数学知识和方法的自然延伸，有助于学生的数学思维逐步实现由常量数学到变量数学的飞跃.[关键词]：问题、活动、方法、思想“导问研学”顾名思义，是在教师的问题引领下，学生或独立思考，或和同伴交流或和老师一起讨论解决问题的教学模式.它是由一个一个的研学任务或一个一个的研学“问题+活动”所组成.“师生互动共同探究”是“导问研学”教学的重要特征，课堂教学中，同学们要在老师问题的引导下，与教师一起或与同学一起积极研讨交流完成教学中的每一个学习任务，也可以在交流思考中提出问题，在教师引导中获得解决问题的途径与方法.本文是笔者整理近期执教的苏科版八年级上册6.6节“一次函数、一元一次方程、一元一次不等式”三个“一次”的课堂教学中的“导问研学”设计.我们知道函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型.之前，学生已经从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集.而本节课通过函数图像动态的变化和点的对应来探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系.通过本节课的探究，学生不仅能加深对函数、方程、不等式的理解，而且能在函数的观点下将三者统一起来，感受数学中数形结合的统一美，加强知识间横向与纵向的融会贯通.一、三个“一次”的关联在“导问研学”下的教学片断师：在我们以前的学习中，我们曾经依次学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，那么这三个“一次”之间究竟有什么联系呢？我们首先从具体的实际问题入手.问题1：如何利用一次函数解决实际问题.活动1：一根长25cm的弹簧，一端固定，另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不超过35cm 的限度内，每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm,写出y与x之间的函数关系式，画出函数图像，并求这根弹簧在所允许的弹性限度内所挂物体的最大质量.师：根据“每挂1kg质量的物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm”，你能写出y与x之间的函数关系式吗？生（齐说）：y=0.5x+25师：你能求出这根弹簧在所允许的弹性限度内所挂物体的最大质量吗？生1：因为y=0.5x+25，所以可以令y=35.则0.5x+25=35，解得x=20. 所以弹簧所物体的最大质量是20kg.师：也就是在一次函数（y=0.5x+25）的表达式中，当其中一个变量的值确定时（y=35），可以由相应得一元一次方程（0.5x+25=35）确定另一个变量的值（x=20）师：你还有别的方法求出弹簧所物体的最大质量吗？生2：因为y=0.5x+25，根据题目中“弹簧的长度不超过35cm”，所以y≤35.则0.5x+25≤35，解得x≤20，所以弹簧所物体的最大质量是20kg.师：也就是在一次函数（y=0.5x+25）的表达式中，当其中一个变量的取值范围确定时（y≤35），可以由相应得到一元一次不等式（0.5x+25≤35）确定另一个变量的取值范围（x≤20）.师：如果弹簧的长度为30cm时，弹簧所挂物体的质量又是多少呢？生3：因为y=0.5x+25，所以可以令y=30.则0.5x+25=30，解得x=10. 所以弹簧所物体的质量是10kg.师：也就是说你还是从“数”的角度将一次函数的问题转化为一元一次方程解决，那么你能不能从“形”的角度求出弹簧所挂物体的质量呢？（多媒体呈现一次函数的图像）师：其实从“形”的角度考虑，要找到弹簧长度为30cm时所挂物体的质量，只要在一次函数的图像上找到纵坐标是30的点所对应的横坐标，即为弹簧所挂物体的质量.【设计意图】数学源于生活.让学生经历“问题情境---建立模型---求解验证”的数学活动过程，初步学会从数学的角度发现问题和解决问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.让学生了解一元一次方程、一元一次不等式和一次函数这三个“一次”之间的相互转化关系，以及同一个问题，既可以从“数”的角度求解，又可以从“形”的角度直接读出.问题2：如何求下列函数中变量的值或取值范围.活动2：已知函数y=2x+4,当y>0时，求x的取值范围师：你有哪些求x的取值范围的方法？生4：当y>0时，即2x+4>0，解得x>-2.师：这是大家最容易想到的方法，而且也是最容易理解的方法，不错！还有没有别的方法？生5：令y=0，则2x+4=0，解得x=-2.因为一次函数中k=2>0，所以y随x的增大而增大.所以当x>-2时，y>0.师：这位同学实际上先找到函数中的特殊值，即y=0时所对应的x值为-2，再根据一次函数的性质求解，说的非常好！那么同学们还有没有其他的方法了？（学生讨论了一会儿）生6：因为一次函数的图像是一条直线，我们可以将它画出来.由图像可以发现：当y>0时，图像在x轴的上方，此时函数图像所对应的自变量x>-2.所以当x>-2时，y>0.师：说的太好了.其实一次函数的图像被x轴分成了上下两部分，x轴上方的图像对应的y>0，x 轴下方的图像对应的y ＜0，所以要求y>0时x 的取值范围，实际上只要找到函数图像在x 轴上方的图像所对应的x 的取值范围，在这里图像与x 轴的交点（-2,0）就是分界点. 师：那么 y ＜0呢？y=0呢？生7：y ＜0时，x ＜-2；y=0时，x=-2.师：若将“y>0”改为“y>2”呢？“y>4呢”“ 0＜y ＜4呢”生8： 因为图像上y>2的部分在y=2上方 ，此时图像所对应的x 应该大于-1.因为图像上y>4的部分在y=4上方 ，此时图像所对应的x 应该大于0.因为图像上0＜y ＜4的部分在0~4之间的部分 ，此时图像所对应的x 应该位于-2~0之间. 师：所以直接从图像上读出某个变量的取值范围，前提是要找到图像上的关键点.【设计意图】对于同一个问题，启发学生从不同的角度去思考，既可以借助于不等式求解，也可以利用一次函数的性质求解，更可以直接从图像上读出某个变量的取值范围，让学生充分比较各种方法的优缺点，并能提升学生思维，加强知识的前后联系和融合贯通！ 师：如果将活动2中的y>0改为x>0，求y 的取值范围，怎么求？活动3：(变式) 已知函数y=2x+4,当x>0时，求y 的取值范围. 生9：（解法一）因为y=2x+4,所以24-=y x ，因为x ﹥0，所以24-y ﹥0，所以y ﹥4.所以x ﹥0 ,y ﹥4 . 师：说的好，只不过稍微麻烦一点，要先将表达式转化为用y 的代数式表示为x ，然后在转化为解一元一次不等式的方法求解.有没有更好的方法呢？生10：（解法二）也可以像活动2那样，利用一次函数的性质解决.令x=0，则y=4.因为一次函数中k=2>0，所以y 随x 的增大而增大.所以当x ﹥0 ,y ﹥4 时.生11：（解法三）也可以像刚才那样直接从图像上读出来.由图像可以发现：当x>0时，图像在y 轴的右侧，此时函数图像所对应的y ﹥4.所以x ﹥0 ,y ﹥4.师：说的很好.从图像上我们可以发现一次函数的图像被x 轴分成了上下两部分，x 轴上方的图像对应的y>0，x 轴下方的图像对应的y ＜0；其实一次函数的图像也被y 轴分成了左右两部分，y 轴右侧的图像对应的x>0，y 轴左侧的的图像对应的x ＜0，所以要求x>0时y 的取值范围，实际上只要找到函数图像在y 轴右侧的图像所对应的y 的取值范围，在这里图像与y 轴的交点（0，4）就是分界点.（学生若有所思的点点头）师：那么如果改成x>0呢？x=0呢？生（看着图像齐说）：当x>0时，y>4；当x=0时，y=4.师：那么对于这样的一个变式，同学们比较一下哪一种方法更好呢？（学生议论纷纷，有的说解法二，有的说解法三……）生12：老师，我觉得是解法三更简单，因为那样直接可以从图像上读出来，更形象、更直观！生13：我觉得也不一定，得看具体的题目，如果题目提供了现成的图像，那我们可以直接从图像上直接读出来，如果没有给图像，那我觉得还是直接利用一次函数的性质来解决更简单！而且如果一定要用图像去解决，首先要将图像画准确，要找到关键点才行！ （其他学生表示赞许，频频点头……）师：看来同学们对一道题目究竟选用什么方法有自己的思路，有了自己的思想了，很好！但是下面我们再来看下面的一条题目，你们又有什么想法呢？活动4.一次函数a x y +=1与b kx y +=2的图像如图，x 的取值范围是 时，21y y >x 的取值范围是 时，21y y <（学生思考了一会儿，然后开始议论起来）师：能不能像活动2和3那样，利用不等式解决？由21y y >得到x+a>kx+b ，然后再解这个不等式？生：可是这个不等式不好解，因为不等式里面含有参数a 、k 和b师：那怎们办呢？生：可以从图像上直接看出来生14：，因为这两个一次函数的图像有一个交点，也就是公共点，而且当x=3时，两个函数的函数值相等，即21y y =.在这个交点的左侧，任意取一个x<3的x 值，所对应的函数值12y y >；在这个交点的右侧，任意取一个x>3的x 值，所对应的函数值21y y >.所以x 的取值范围是 x<3 时，21y y <；x 的取值范围是 x>3 时，21y y >. 师：说的很好.也就是从图像上直接可以看出，当x=3时，21y y =图像有一个交点.而在这个交点的左侧，即x<3时，21y y <，y 2的图像在y 1的图像的上方，反之，在这个交点的右侧，即x>3时，21y y >，y 1的图像在y 2的图像的上方【设计意图】活动4主要是让学生不可以从数的角度去解决，而是必须借助于形，即从图像上直接读出变量的取值范围，让学生体会数形结合的好处，形可以帮助学生直观的分析题目. 师：通过这一节课的学习，同学们谈谈今天都有哪些收获？生15：我知道了一次函数、一元一次方程和一元一次不等式三者之间的联系，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程来确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围. 生16：我学会了如何根据图像直接求一元一次不等式生17：在解决问题时，我们可以将一次函数转化为解一元一次不等式，也可以转化为解一元一次方程，也可以通过观察图像直接得出结论生18：在解决问题时，如果我们可以用图像来解决，那么就要正确的画图，还要，找出关键点，并且理解关键点的含义生19：一个问题可以有多种解决方法，这就启发了我们平时解决问题要多角度，多思考，多动脑，注意前后知识的相互联系和融会贯通.……师：大家都总结的非常好！（教师利用多媒体边展示边用数学家华罗庚先生的名言总结）二．本节课的教学反思本节课是研究一次函数在数学内部的应用，通过研究，引导学生建立一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，主动构建认知结构，从中感受数形结合的思想，感悟引入并研究一次函数是数学知识和方法的自然延伸，有助于学生的数学思维逐步实现由常量数学到变量数学的飞跃.本节课的特色主要有三处：一是注重设计问题串，以问题引导学生思考探究，促进学生理解，从两个主问题“如何利用一次函数解决实际问题”和“如何求下列函数中变量的值或取值范围”入手，设计了一连串的子问题，层层逼近，让学生将数的问题和形的问题自然联系在一起；二是注重从学生的生活实际出发，让学生经历“问题情境---建立模型---求解验证”的数学活动过程，初步学会从数学的角度发现问题和解决问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力.让学生了解三个“一次”之间的相互转化关系，以及同一个问题，既可以从“数”的角度求解，又可以从“形”的角度读出；三是在课堂的小结处，在充分让学生发表自己的见解之后，然后从不同的角度进行总结，感悟，教师再通过多媒体展示本节课的知识脉络和思想方法，从而将这一节课的知识点和思想方法清晰的展示出来！。
苏科版八年级数学上册《6章 一次函数 6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式》公开课教案_4
14．3．2一次函数与一元一次不等式教学目标1．知识与技能理解一次函数与一元一次不等式的关系，发展学生的认知体系．2．过程与方法经历探索一次函数与一元一次不等式的关系的过程，掌握其应用方法．3．情感、态度与价值观培养良好的数学抽象思维，体会本节课知识在现实生活中的应用价值．重、难点与关键1．重点：一次函数与一元一次不等式的关系．2．难点：如何应用一次函数性质解决一元一次不等式的解集问题．3．关键：从一次函数的图象出发，直观地呈现出一元一次不等式的解的范围．教具准备采用“问题解决”的教学方法．教学过程一、回顾交流，知识迁移问题提出：请思考下面两个问题：（1）解不等式2x-4>0（2）当自变量x为何值时，函数y=2x-4的值大于0？这两个问题有什么关系？【学生活动】观察屏幕，通过思考，得到（1）、（2）的答案，回答问题．【教师活动】在学生充分探讨的基础上，引导学生思考：“一元一次不等式与一次函数之间有何内在联系？”【思路点拨】在问题（1）中，不等式5x+6>3x+10可以转化为2x-4>0，•解这个不等式得x>2；问题（2）就是解不等式2x-4>0，得出x>2时函数y=2x-4的值大于0，•因此这两个问题实际上是同一个问题，从直线y=2x-4（如图）可以看出．当x>2时，•这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=2x-4>0．这两个问题实际上是同一个问题。
能否通过图像来求解一元一次不等式？【学生活动】画函数y=2x-4的图像并思考你能看图像估计出点P横坐标和纵坐标的范围吗？【问题探索】教师叙述：由上面两个问题的关系，能进一步得到“解不等式ax+b>0”与“求自变量x在什么范围内，一次函数y=ax+b的值大于0”有什么关系？【学生活动】小组讨论，观察上述问题的图象，联系不等式、函数知识，解决问题．【师生共识】由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看出：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．【教学形式】师生互动交流，生生互动．二、范例点击，领悟新知【例2】用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10．【教师活动】激发思考．【学生活动】小组合作讨论，运用两种思维方法解决例2问题．解法1：原不等式化为3x-6<0，画出直线y=3x-6（左图），可以看出，当x<2时，这条直线上的点在x轴的下方，即这时y=3x-6<0，所以不等式的解集为x<2．解法2：将原不等式的两边分别看作两个一次函数，画出直线y=5x+4与直线y=2x+10（右图），可以看出，它们交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y=5x+4上的点在直线y=2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2．【评析】两种解法都把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低．三、随堂练习，巩固深化【随堂练习1】1. 当自变量x的取值满足什么条件时函数y=3x+8的值满足下列条件？（1）y= -7 （2）y＜22. 利用函数图象解出x：（1）5x-1=2x+5 （2）6x-4＜3x+2【随堂练习2】1.若y1=－x+3，y2=3x+4，当x取何值时，y1＞y2？2.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m.列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？【随堂练习3】1、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知(如图)，当x________时，选用个体车较合算．2. A,B两个商场平时以同样的价格出售同样的产品，在中秋节期间让利酬宾。
初中数学苏科版八年级上册6.6 一次函数、一元一次方程组和一元一次不等式
2.求出这根弹簧在所允许的限度内所挂物体的最 大质量。
根据题意，y=0.5x+25
问题：求该弹簧所 挂物体的最大质量.
同学们参观周恩来纪念馆回来后，想刻录一批电脑光盘作为纪念， 若到电脑公司刻录，每张需要8元；若学校自己刻，除租用刻录 机需要120元外，每张还需成本4元，设需要刻录光盘X张，到电 脑公司刻录需要Y1 元，学校自己刻录需要Y2元。
探究一次函数与一元一次不等式的联系
画图 观察 计算 验证 发现
已知一次函数的表达式，当其中一个变量的 值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一 个变量的值.
已知一次函数的表达式，当其中一个变 量的取值范围确定时，可以由相应的一元一 次不等式确定另一个变量的取值范围.
学以致用
一根长25cm的弹簧，一端固定， 另一端挂物体.在弹簧伸长后的长度不 超过35cm的限度内，每挂1kg质量的 物体，弹簧伸长0.5cm.设所挂物体的 质量为xkg,弹簧的长度为ycm。
1.求Y1和Y2与X的函数关系式
2.刻录这批光盘，到电脑公司刻录合算还是学校自己刻录合算？
解:(1) Y1＝8x,Y2=4x+120
(2)由图象可知1 =8x
y
Y2=4x+120
当X>30时，学校自己刻录省钱， 当X<30时，电脑公司刻录省钱.
0 30 x
课堂小结：
本节课你有什么收获？
一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
学习目标
1.初步体会一次函数与一元一次方程、一元一次不等 式的内在联系。
2.了解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式在 解决问题过程中的作用和联系。
3.通过解决实际问题，认识数学与人类生活的密切联 系，体会“数学是有用的”，激发学习数学的兴趣。
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一元一次不等式考点举例
同学们在学习一元一次不等式时，应抓住不等式的考点内容，对知识点进行归类，做到学习有目的，做题有方法.下面对不等式的考点进行举例，供同学们赏析.
考点1. 不等式的变形
不等式的变形是指在定义的基础之上，对不等式进行变形，以考查同学们对概念的掌握情况.
例1.如果0<<n m ，那么下列结论中错误的是（ ）
A ．99-<-n m B. n m ->- C. m n 11> D.1>n
m 分析：本题主要考查不等式的三条基本性质及同学们的运算技巧和方法.
解：依据性质1，由n m <，得99-<-n m ，故A 正确；
由n m <，且0>mn ，依据性质2，得m
n 11<，故C 不正确； 依据性质3，由0<<n m ，得n m ->-、
1>n m ，故B 、D 正确. 因此选C.
考点2. 解一元一次不等式（组）
解一元一次不等式（组）是不等式中的常规题型，它考查同学们对解集的表示及意义.
例2 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≥--<+-132
154)2(3x x x x x 分析：本题主要考查解一元一次不等式组，
（1）求出这个不等式组的各个不等式的解集.
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即可求出这个不等式组的解集. 解：⎪⎩⎪⎨⎧+≥--<+-)2(1321)1(54)2(3x x x x x
不等式（1）的解集是：1->x .
不等式（2）的解集是：7
3-≤x . 所以不等式组的解集是7
31-≤<-x 例3 试写出一个由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组，使它的解集是21≤<-x ，这个不等式组是 .
分析：本题是一道开放性试题，把不等式的解与不等式的性质综合在一起，主要考查不等式知识的应用能力，答案不惟一.
解：把21≤<-x 可变为：⎩⎨⎧≤->2
1x x .根据不等式的性质可得出不同的不等式组.
如：⎩⎨⎧≤+->-8
)2(232x x 等.
考点3. 求不等式（组）的特殊解
它是在不等式（组）的解集的基础之上又进行其他知识的考察，锻炼同学们综合运用知识的能力.
例4 不等式组⎩
⎨⎧-≤-->x x x 28132的最小整数解是（ ） A ．－1 B ．0 C ．2 D ．3
分析：本题主要考查解不等式组及解集的确定，解决这类问题，最好要借助于数轴确定不等式组的解集.
解：不等式组的解集是：32
3≤<-x ，在数轴上表示为：
从数轴上可以看出最小整数解是－1，故选A.
考点4. 求不等式（组）中字母系数的取值范围
该考点主要考查在不等式中如何确定字母系数的取值范围，考查同学们对解集的理解. 例5 如果不等式组⎩
⎨⎧≥≥-m x x 023有解，则m 的取值范围是（ ）.
A.23<m
B.23≤m
C.23>m
D.2
3≥m 分析：本题主要考查解不等式组有解如何确定字母系数的取值范围，解决这类问题，最好要借助于数轴确定不等式组的解集。
解：⎩⎨⎧≥≥-)
2()1(0
23m x x 由不等式（1）得：23≤x ，在数轴上表示为：
又因为不等式（2）m x ≥，要使不等式组有解，两一元一次不等式解集的公共部分，则2
3≤m ，故选B 考点5. 不等式（组）的综合应用
不等式（组）的综合应用是有关方程与不等式（组）的综合知识的考查.
例6 已知关于x 的方程52361x m x m -=-+的解为x ，满足32x -<≤，求m 的整数值. 分析：本题主要考查一元一次方程与不等式的综合应用，先求出一元一次方程的解，再根据32x -<≤，求m 的整数值.
解：解关于x 的方程52361x m x m -=-+得：2
41m x -=， 所以22413≤-<-m ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-->-22
413241m m 解得：4743<≤-m . 则m 的整数值为：0、1.
注：如二元一次方程组与不等式的结合，可以先求出方程组的解，再结合不等式求解如，已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=++=-a
y x a y x 523的解满足0>>y x ，化简a a -+3.
考点6. 用不等式（组）解决实际问题
该考点是运用不等式（组）来解决实际问题，它的解题的关键是如何建立不等式模型. 例7 小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解知这两种灯的照明效果和使用寿命都一样.
已知小王家所在地的电价为每度0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算. [用电量（度）=功率（千瓦）×时间（时）]
分析：本题主要考查如何利用不等式有关知识进行决策分析，小王要选择节能灯才合算，说明在使用寿命相同的情况下，购买和使用节能灯过程中花去的费用比白炽灯少.
解：设使用寿命为x 小时时，选择节能灯才合算。
依题意得：
x x 1000
405.03210001005.02⨯+>⨯+. 解得：1000>x .
答：当这两种灯的使用寿命超过1000小时时，小王选择节能灯才合算.
在解决有关实际问题时，关键是建立不等式模型，求出不等式（组）的解、检验，得出结论.。