第十章 分析的严格化

F ( x) = ∫ f ( x)dx
x0
x
定义的新函数 F (x) 就是 f (x) 的原函数或反导数，即在 [ x0 , x] 上有
F ' ( x) = f ( x)
柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收 敛性，并研究了判别级数收敛的条件．令 S n = u 0 + u1 + L + u n −1 是所研究的无穷级数前 n 项的和， n 为自然数，若当 n 趋向 于无限大时，和 S n 无限趋近于某一极限 S ，柯西就说级数是 收敛的． 柯西在数学发明方面有特别丰富能力，其多产能力在历史 上只被超过了两次（被欧拉和凯莱超过）。他的工作就象他的 时代，是革命的。
哥尼斯堡大学一位数学教授亲自到魏尔斯特拉斯当时任教 的布伦斯堡中学向他颁发了哥尼斯堡大学博士学位证书．普鲁 士教育部宣布晋升魏尔斯特拉斯，并给了他一年假期带职从事 研究．此后，他再也没有回到布伦斯堡．1856年，也就是他当 了15年中学教师之后，魏尔斯特拉斯被任命为柏林工业大学数 学教授，同年被选进柏林科学院．他后来又转到柏林大学任教 授直到去世，晚年享有很高的声誉，几乎被看成是德意志的民 族英雄． 在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获 得了“现代分析之父”的称号．这种严格化的突出表现是创造 ε 了一套− δ 语言，用以重建分析体系．可以说，数学分析达 到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工 作.
∞ n =0
其中 a是奇数， b ∈ (0,1) 常数，使 得 ．
ab > 1 +
3π 2
高斯曾经称“数学是眼睛的科学”，但是要看清魏尔斯特 拉斯摆在数学家们面前的这条曲线，单靠一双好眼睛是无论如 何不够的．魏尔斯特拉斯的例子使人们迫切感到彻底摆脱对几 何直觉的依赖，重新认识考察分析基础的必要性． 另一位德国数学家戴德金(R.Dedekind)在1858年开始讲授微 积分时说过的一段话，也反映出当时的数学家不满足于柯西的 标准，而寻求使分析进一步严格化的途径的愿望： “我比以往任何时候更加强烈地感到这种算法缺乏真正科学 的基础．在讨论一个变量逼近于一个固定的极限值的概念时， 特别是在证明每个连续增加但不超过一切界限的量必定趋向于 一个极限这一定理时，我依靠的是几何上的证据．……但是， 决不能认为以这种方式引入微分学是科学的．这一点已经得到 公认．至于我本人，也无法克制这种不满意的感觉而下定决心 研究这个问题，直到为无穷小分析原理建立纯粹算术的和完全 严格的基础为止．”
5.连续函数．柯西第一次解决了函数连续性的定义问 题．按他的定义，函数 f (x) 在给定限之间关于 x 保持连续， 如果在这两限之间变量的每个无限小增量总产生函数 f (x) 本 身的一个无限小增量． 6.导数与微分．柯西把导数明确定义为差商
∆ y f ( x + h) − f ( x ) = ,∆ x = h ∆x h
当 h 无限地趋向于零的极限，函数的微分则定义 为 dy = f ' ( x) dx . 7.积分．柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以 前，应先证明它们是存在的．也就是说需要首先对一大类函数 给出积分的一般定义．设函数 y = f (x) 在给定区间 [ x 0 , x] 上连续， 并用点 x0 , x1 ,L , x n = x 把区间 [ x 0 , x] 划分为 n 个子区间，对应 于每个这样的划分，构造近似和：
10.2 分析的算术化
柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在 的混乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现 柯西的理论实际上也存在漏洞 .例如，他用了许多“无限趋近”、 “想要多小就多小”等直觉描述的语言．特别是，微积分计算是 在实数舞台上进行的，但直到19世纪中叶，对于什么是实数，竟 还没有明确的定义．数学家们对实数系本身仍然是以直观的方式 来理解的，他们相当随意地使用无理数(如 )，而没有认真考 2 察它们的确切意义和性质．为了进行计算，他们依靠了这样的假 2 设：任何无理数都能用有理数来任意逼近，如 =1.4142…．由 于对实数系缺乏充分的理解，就不可能真正为微积分奠定牢固的 基础．例如，柯西在证明连续函数积分(作为和式的极限)的存在 性、证明级数 收敛判别准则的充分性以及证明中值定理 {S n } f ( x) − f ( x0 ) = f ' ( x0 + θ ( x − x0 ))( x − x0 ),θ ∈ (0,1) 时，都需要实数的完备性，而实数系的这种基本性质在当时并 没有证实．
S = ∑ f ( xi −1 )( xi − xi −1 ),
i =1
n
柯西证明这个和数当区间长 xi − xi −1 趋向于零时的极限与划分的 方式无关，并把这个极限定义为 f (x) 在区间[ x 0 , x] 上的积分
∫
x
x0
f ( x)dx.
这个定义后来被黎曼直接推广，将每个区间端点 xi −1 用区间内 任一点 xi 来代替，就得到现在所说的黎曼积分． 在以上一系列定义的基础上，柯西得以严格地表述并证明微 积分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微积分基本定理 被表述为： 在区间 [ x0 , x] 上给定连续函数 f (x) ，对于 x ∈ [ x0 , x]，由
把分析建立在“纯粹算术”的基础之上，这方面的努 力在19世纪后半叶酿成了数学史上著名的“分析算术化” 运动，这场运动的主将是上面已经提到的魏尔斯特拉 斯．魏尔斯特拉斯认为实数赋予我们极限与连续等概念， 从而成为全部分析的本源．要使分析严格化，首先就要使 实数系本身严格化．为此最可靠的办法是按照严密的推理 将实数归结为整数(有理数)．这样，分析的所有概念便可 由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补．这就是 所谓“分析算术化”纲领，魏尔斯特拉斯本人和他的学生 们为实现这一纲领作出了艰苦的努力并应归功于柯西，这两 个问题中的每一个都标志着与十八世纪数学的断然决裂。 第一个是把严格性引进了数学分析。 第二个是组合方面。 柯西(A-L.Cauchy，1789—1851)于1789 年8月21日（巴士底狱陷落后不到六个星期） 出生在巴黎。 ○1813年，柯西已经以他光辉的研究工 作，特别是关于多面体的论文和关于对称函 数的论文，吸引了法国主要数学家们的注意。
以下是这方面的一些例子： 1.变量.“依次取许多互不相同的值的量叫作变量”． 2.函数.“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变 量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通 常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为 自变量，而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函 数”． 3.极限.“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值， 最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值 就称为所有其他值的极限”． 4.无限小量.“当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致 比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限 小量”．
10.2.1 魏尔斯特拉斯
魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass，1815— 1897)出生于德国威斯特伐里亚地区一个海 关官员家庭，中学毕业时成绩优秀，共获7 项奖，其中包括数学，但他的父亲却把他送 到波恩大学去学习法律和商业．魏尔斯特拉 斯对商业和法律都毫无兴趣．在波恩大学他 魏尔斯特拉斯 把相当一部分时间花在自学他所喜欢的数学 上，攻读了包括拉普拉斯的《天体力学》在内的一些名著。他 在波恩的另一部分时间则花在了击剑上．魏尔斯特拉斯体魄魁 伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人 心目中的击剑名星． 这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里， 没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得 到．这使他父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患 病
分析的严格化
10.1 柯西与分析基础
经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重 建微积分的努力到19世纪初开始获得成效．这方面的先声来自捷 克学者波尔察诺(B.Bolzano，1781—1848)，他在1817年发表了 《纯粹分析证明》，以证明连续函数的中值定理为目的，其中包 含了对函数连续性、导数等概念的合适定义，但波尔察诺的工作 长期湮没无闻．19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学 家柯西． 柯西长期担任巴黎综合工科学校教授，他有许多著作都是以 工科大学讲义形式面世的．在分析方法方面，他写出了一系列著 作，其中最有代表性的是《分析教程》(1821)和《无限小计算教 程概论》(1823)，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念， 如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明 确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定 理．
的人”．这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被送到明 斯特去准备教师资格考试．1841年，他正式通过了教师资格考 试．在这期间，他的数学老师居德曼认识到他的才能． 居德曼(C.Gudermann)是一位椭圆函数论专家，他的椭圆函数 论给了魏尔斯特拉斯很大影响，魏尔斯特拉斯为通过教师资格 考试而提交的一篇论文的主题就是求椭圆函数的幂级数展 开．居德曼在这篇论文的评语中写道： “论文显示了一位难得的数学人才，只要不被埋没荒废， 一定会对科学的进步作出贡献”． 居德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特拉斯在获得中 学教师资格后开始了漫长的中学教师生活．他在两处偏僻的地方 中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月．
对实数系缺乏认识不仅造成逻辑上的间断，而且实际上常常 导致错误．由于没有建立一致收敛性概念，柯西得出过一个错误 判断： 若 u n ( x)(n = 1,2,L) 皆连续，且级数 ∑ u n ( x) = F ( x) 收敛，则F (x) n =1 连续；他还断定这时对收敛级数可以逐项积分
∞
∫
b
a
他在中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚至体育和 书法课，而所得薪金连进行科学通信的邮资都付不起．但魏尔斯 特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重的生活．他白天教课，晚上 攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文．其中有少数 发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物“教学简介”上，但 正如魏尔斯特拉斯后来的学生、瑞典数学家米塔·列夫勒所说的 那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数 学论文。”不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了 他一生数学创造的基础． 一直到1853年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论 文寄给了德国数学家克雷尔主办的《纯粹与应用数学杂志》(常 常简称《数学杂志》)，这才使他时来运转． 克雷尔的杂志素以向有创造力的年青数学家开放而著称．他 接受了魏尔斯特拉斯的论文并在第二年就发表出来，随即引起了 轰动．