第1章(矢量分析)

矢量分析与张量初步第一章矢量分析U STU STU ST标量（数量）：有大小，没方向的物理量。

矢量：既具有大小又具有方向的物理量，矢量又称为向量。

矢量与标量的根本区别是：有没有方向性。

如：温度、质量、角度、长度等。

如：力、速度、电场强度、力矩等。

矢量的模：矢量的大小。

矢量的模记为：或。

A K A ||A KU STU STU ST自由矢量：矢量平移后，其作用效果不变。

即自由矢量就是具有平移不变性的矢量。

FK 只考虑刚体的质心运动，作用力可以平移。

能不能平移？下面只讨论自由矢量。

如果要考虑刚体的转动，则作用力不能平移。

U STU STU ST始端在坐标原点的矢量常称为矢径，显然矢径的末端与直角坐标系中的三个坐标分量之间具有一一对应的关系，则矢径可用其末端的空间坐标来表示：①在直角坐标中的表示对矢量，始端平移到坐标原点，表示为：A Kr xi yj zk=++KK K K、、：单位矢量，分别指向三个坐标轴的正向。

i K j K k K x y z A A i A j A k=++K K K KU STU STU ST其中：为矢量的模，为指向矢量方向上的单位矢量。

R A A e A 三个：、和。

R βαcos cos cos A e i j kαβγ=++K K K KAKRxy zO因为222cos cos cos 1αβγ++=的直角坐标表示为A e K有几个独立坐标量？A Kr e =KU STU STU STOxe ρρK zA kK A K cos sin e i j ρϕϕ=+K K K三个：、和。

ρϕz 的直角坐标表示为e ρK在矢量的球坐标及柱坐标表示中，只要分别把单位矢量和的直角坐标表示代入，即得到矢量的直角坐标表示。

e ρKr e K 有几个独立坐标量？A K第一章矢量分析U STU ST U ST U STU STcos xA Aα=cos yA Aβ=cos zA A γ=(cos cos cos )A A i j k αβγ=++K K K K④方向余弦表示：设矢量与直角坐标三个坐标轴正向的夹角分别为、和，则：αγβA K用方向余弦（）表示矢量：A Kcos ,cos ,cos αβγcos x A A α=这实际上就是直角坐标表示，因为：cos y A A β=cos z A A γ=U STU STU ST不能按大小排列）。

与哪个大？34i j −K K 5kK 在矢量范围内，不能说比大。

5i K0A Bλ=K K（2）两个矢量相等，是指它们的大小相等，且方向相同。

或者说在坐标系中的各个方向上的分量分别相等。

（3）两个矢量和的方向平行，则有：A KB K为唯一实数。

λU STU STU ST()()x y z x y z A B A i A j A k B i B j B k +=+++++K K K K K K K K()()()x x y y z z A B i A B j A B k =+++++K K K2.矢量相减()()()x x y y z z A B i A B j A B k=−+−+−K K K()A B A B −=+−K K K K 矢量的加减合称为矢量的合成。

U STU STU ST由标积的定义，有：cos A B AB α⋅=K K1i i j j k k ⋅=⋅==⋅K KK K K K 0i j j i i k k i j k k j ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=K K K K K K K K K K K K 矢量和的标积，实质上就是的大小，与在方向上投影的大小的乘积。

cos B αA K B K A KA B K A K 其中为矢量、之间的夹角（以后谈到两矢量之间的夹角，均指小于的夹角）。

αB KA K o180第一章① ② ③ ④矢量分析UST UST青岛科技大学矢量的标积遵守K K K K 交换率： A⋅ B = B ⋅ A K K K K K K K 分配率： ( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C K K 正定性： A⋅ A ≥ 0 K （等号仅当 A = 0 时成立） K K K K Schwartz 不等式： | A ⋅ B |≤| A | | B |UST UST王 河UST这是因为：K K | A ⋅ B |= AB | cos α | K K ≤ A B =| A | | B |等号仅当两矢量 方向平行时成立第一章4. 矢量的矢积矢量分析K K 矢量 A和 B 的矢积（也称为叉乘），定义为 K K K A × B = AB sin α e K K K 其中 e 为由 A和 B根据右手螺旋定则判定的单位矢量。

K K K K e⊥A且 e⊥B K K K B 矢量 A、 B K e 的方向 α 之间的夹角，是 o 指小于 180 的 K 夹角。

AUST UST青岛科技大学UST UST王 河UST第一章矢量分析U由矢积的定义得：K K K i × j =k K K K j × i = −kK K K K K K i ×i = j × j = k ×k = 0 STK K K j ×k = i K K K k × j = −iK K K K K K K K K i ⇒ j ⇒ k ⇒ i ⇒ j ⇒ k ⇒ i ⇒ j ⇒ k ⋅⋅⋅记忆方式USTK K K k ×i = j K K K i ×k = − jUST UST王 河UST青岛科技大学正向叉乘为正，逆向叉乘为负。

（注意坐标轴的右手螺旋定则）第一章矢量分析叉乘具有以下性质： ① 不遵守交换率和结合率：UST UST青岛科技大学② ③K K K K A × B = − B × A K K K K K K A × ( B × C ) ≠ ( A × B) × C K K K K K K K 遵守分配率： C × ( A + B ) = C × A + C × B平行或反平行的两矢量的矢积为 0 。

UST UST王 河UST叉乘的几何意义：其 模等于以两矢量为边所构 成的平行四边形的面积， 方向垂直于该平行四边形 所在的平面。

K K A × B | AB sin α | K B K α A第一章矢量分析K K K K K K K K A × B = ( Ax i + Ay j + Az k ) × ( Bx i + By j + Bz k ) K K = ( Ay Bz − Az By )i −( Ax Bz − Az Bx ) j K + ( Ax By − Ay Bx )kUST USTBx青岛科技大学在直角坐标系中UST UST王 河K i = AxK j AyByUSTK k AzBz矢量叉乘的行 列式表示。

第一章矢量分析K K K A ⋅ (K B ×K C) K 称为矢量 A、 B 、 C 的混合积。

混合积的几何意义： 组 成平行六面体相邻三边。

5. 矢量的混合积UST UST底面积青岛科技大学K K B×CK AUSTK CK K K 如图， A 、B 、 CUSTKα BβK K | B × C |= BC sin α 高 A cos βK K K | A ⋅ (B × C) |UST王 河为平行六面体的体积K i K K B × C = BxUST=K j By第一章K k Bz矢量分析USTBz K By j+ Cz Cy Bz Cz Ay + By Bz K k Cz Bz CyCx BxCx K K K A ⋅ (B × C) Bx By Bx = Ax − Cx C y CxC y Cz By K Bx i− Cy CxUSTUST青岛科技大学USTCz王 河AzK K K A ⋅ (B × C) Bx By Bx = Ax − Cx C y Cx第一章矢量分析USTAx Ay By CyBz CzAy +Bz AzBy CyUSTBz Cz AzCx Bx Cy Ay By Cz Az BzAz CzBx Ax= Bx CxBz = C xUSTBy Ay CyCz = AxUST青岛科技大学K K K A ⋅ (B × C)K K K B ⋅ (C × A)UST王 河K K K C ⋅ ( A × B)—— 混合积的轮换对称性。

第一章6. 二重矢量积矢量分析K K K A × (B × C) K K K 称为矢量 A 、B 、C 的二重矢量积。

UST UST青岛科技大学UST UST王 河在直角坐标系中，把二重矢量积的定义式展开、整 理，可以证明下面的关系式：K K K A × (B × C) K K K K K K = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B )CUST第一章三 1. 矢性函数的定义矢量分析UST UST青岛科技大学矢性函数常矢：大小与方向都保持不变的矢量。

UST UST王 河K 若对于任意的标量 K t（ t ∈ G ），都有一个矢量 A 与之对应，则称变矢 A为变量 t 的矢性函数或矢量函 K K 数，记为 A = A(t ) K G 称为矢性函数 A的定义域。

在直角坐标系中表示为 K变矢：大小和方向或其中之一会改变的矢量。

USTK K K A(t ) = Ax (t )i + Ay (t ) j + Az (t )k第一章矢量分析U STU STU ST U STUST xzyo 一个矢性函数与三个有序的数性函数（标量函数）构成了一一对应的关系。

物理上常把矢径称为位置矢量，简称位矢。

2.位置矢量rK *Px yz iK jK kK r xi yj zk=++K K K K222||r r x y z==++K ()()()()x y z A t A t i A t j A t k=++K K K KU STU STU STxzo)(t x )(t z ()A t K 把的始点取在坐标原点时，实际上就是矢量终点的矢径，()A t K ()A t K()x x A t =()y y A t =()z z A t =此即曲线的参数方程。

矢量末端就描绘出一条曲线，这条曲线就叫做矢性函数的矢端曲线。

称为矢端曲线的矢量方程。

()A t K ()A t K 于是有U STU STU STOxϕRR ϕsin R ϕsin x R R ϕϕ=−(sin )R ϕϕ=−(1cos )y R ϕ=−参数方程矢量方程(sin )(1cos )r R i R jϕϕϕ=−+−K K KU ST U STU ST练习题第19页习题1第19页习题2U STU STU ST①极限的定义：若对于任意给定的正数，都存在一个正数，当时，有εδ0||t t δ−<0|()|A t A ε−<K K 0lim ()t t A t A →=K K 也有与标量函数类似的极限运算法则。