2017年秋季新版北师大版八年级数学上学期5.5、应用二元一次方程组——里程碑上的数教案1
北师大版八年级数学上册《5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数》 同步练习
5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数一．选择题1．今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，商品的价格为y，依题意可列方程组为（）A．B．C．D．2．一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）A．B．C．D．3．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，其中A型粽子28元/千克，B 型粽子24元/千克．若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，且购进两种粽子共用了2560元．设购进A型粽子x千克，B型粽子y千克，则可列方程为（）A．B．C．D．4．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，若分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．5．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：捐款（元）35810人数2■■31表格中捐款5元和8元的人数不小心技墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（）A．B．C．D．6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（）A．B．C．D．7．甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g，乙种盐水120g，混合后，制成的盐水浓度为8%；若分别取甲种盐水80g，乙种盐水160g，混合后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水的浓度各是多少？如果设甲种盐水的浓度为x，乙种盐水浓度为y，根据题意，可列出下方程组是（）A．B．C．D．8．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（）A．B．C．D．9．一道来自课本的习题：甲乙两人相距27km．若两人同时出发相向而行，则出发1.5h相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发30min，则乙出发70min后两人相遇，求甲乙两人的速度．嘉琪将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设甲乙两人的速度分别为x、ykm/h，已经列出一个方程1.5x+1.5y＝27，则另一个方程是（）A．0.3x+0.7y＝27B．x+y＝27C．x+y＝27D．x+y＝2710．某果园现有桃树和杏树共500棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，可列方程组为（）A．B．C．D．11．A地至B地的航线长9360km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机无风时的平均速度是（）A．720km B．750km C．765km D．780km 12．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？则该问题中，哑巴所带的钱共能买到的肉为（）A．10两B．11两C．12两D．13两13．如图，有四个相同的小长方形和两个相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长与宽的差是（）A．B．﹣C．D．2m﹣3n14．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km15．小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（）cm．A．150cm B．56cm C．57cm D．81cm二．填空题16．街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有名环卫工人．17．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知B（﹣8，5），则点A的坐标是．18．某图书馆分两次购进一批图书．第一次购买了A、B两种经典名著若干本，用去5890元；第二次购买了C、D两种现代文学若干本，用去3770元，其中A、B两种图书的数量分别与C、D两种图书的数量相等，且A种图书与D种图书的进价相同，B种图书与C种图书的进价相同．若A、B两种图书的进价之和为105元，则该图书馆购进的这一批图书共有本．19．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果甲乙同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果甲乙同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．则甲每分钟跑圈．20．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若AD＝12cm，BE＝4cm，则一个小长方形的面积为．21．方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为．22．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是．23．甲、乙两种车辆运土，已知5辆甲车和四辆乙车一次可运土140立方米，3辆甲车和2辆乙车一次可运土76立方米，若每辆甲车每次运土x立方米，每辆乙车每次运土y立方米，则可列方程组．24．一个两位数的十位数字与个位数字的和是13，把这个两位数减去27，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数为．25．解古算题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48．则甲带了钱．三．解答题26．某景点的门票价格如下表：购票人数（人）1～5051～99100以上（含100）门票单价（元）484542（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？27．哈美加在疫情期间决定往灾区捐赠物资，租用了甲和乙两种型号的货车，将已经装箱的药品、食品、日用品运往灾区，每辆车中均装有药品、食品、日用品，其中甲货车总共装箱400箱，药品的箱数占甲车总箱数的．（1）甲货车中药品多少箱？（2）若乙货车的总箱数比甲货车的总箱数多，且乙货车中食品箱数占乙货车总箱数的一半，求乙货车中食品有多少箱？（3）在（1）、（2）的条件下，甲货车中日用品的箱数是乙货车中日用品的箱数的，到灾区两车救灾物资在一起，此时日用品的箱数占两车总箱数的，求甲货车中食品有多少箱？28．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价；（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降m（m＞0）元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．29．某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，需要205元．（1）求A、B两种纪念品的购进单价；（2）已知商店购进两种纪念品（A、B都要有）共花费750元，那么该商店购进这A、B 两种纪念品有几种可行的方案，并写出具体的购买方案．30．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴的正半轴上，坐标为（0，a），点B在x轴的负半轴上，坐标为（b，0），同时a、b满足．连接AB，且AB＝10．点D是x轴正半轴上的一个动点，点E是线段AB上的一个动点，连接DE．（1）求A、B两点坐标；（2）若∠BED＝90°，点D的横坐标为x，线段DE的长为d，请用含x的式子表示d；（3）若∠BED＝100°，AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE相交于点F，求∠F的度数．参考答案一．选择题1．解：设有x人，商品的价格为y，依题意，得．故选：D．2．解：由题意可得，，故选：A．3．解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意，得，故选：D．4．解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，所以可得方程组：．故选：D．5．解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：，即．故选：A．6．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，依题意，得：．故选：C．7．解：甲种盐水的浓度为x，乙种盐水的浓度为y，依题意有，故选：A．8．解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由“这个长方形的长比宽多10cm”得到方程：x﹣y＝10．由长方形的周长是80cm得到方程：2x+2y＝80．所以由题意可得方程组，，故选：B．9．解：设甲乙两人的速度分别为x、ykm/h，已经列出一个方程1.5x+1.5y＝27，则另一个方程是：（+）x+y＝27，整理得：x+y＝27．故选：C．10．解：设现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，根据题意得：，故选：B．11．解：设飞机无风时的平均速度是akm/h，风速为bkm/h，，解得，，即飞机无风时的速度为750km/h，故选：B．12．解：设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，依题意，得：，解得：，∴＝＝11．故选：B．13．解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：m+y﹣x＝n+x﹣y，即2x﹣2y＝m﹣n，整理得：x﹣y＝．则小长方形的长与宽的差是．故选：C．14．解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：，解得：．∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．或者：设AC＝ykm即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C回到A．从A到C，甲、乙两车都行驶了AC，即乙车耗油量为ykm，也即甲车注入燃料量为ykm，注入后甲车剩余ykm（刚好返回A地），所以对于甲车，y+y+y＝210，所以y＝70．从乙车角度，从C出发是满燃料，所以AB（105+70）÷2＝140（km）．故选：B．15．解：设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，依题意，得：，解得：，∴x+（50﹣1）y＝56．故选：B．二．填空题（16．解：设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个，依题意，得：，解得：．故答案为：8．17．解：设长方形纸片的长为x，宽为y，依题意，得：，解得：，∴x﹣y＝3，x+2y＝6，∴点A的坐标为（﹣3，6）．故答案为：（﹣3，6）．18．解：设购进A种图书x本，B种图书y本，A种图书的单价为a元，则购进C种图书x 本，D种图书y本，B种图书的单价为（105﹣a）元，C种图书的单价为（105﹣a）元，D种图书的单价为a元，依题意，得：，由①+②，得：105（x+y）＝5890+3770，∴x+y＝92，∴2（x+y）＝184．故答案为：184．19．解：设甲的速度为x圈/分钟，乙的速度为y圈/分钟，依题意，得：或，解得：或．故答案为：或．20．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，解得：，∴小长方形的面积＝2×6＝12（cm2）．故答案为：12cm2．21．解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组，故答案为：．22．解：根据题意，得．故答案为：．23．解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，由题意得，，故答案为：．24．解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意，得：，解得：，∴10x+y＝85．故答案为85．25．解：设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，根据题意，得，解得：故答案为：36．三．解答题26．解：（1）设七年级1有x名学生，2班有y名学生，由题意得：，解得：，答：七年级1有49名学生，2班有53名学生；（2）设八年级报名x人，九年级报名y人，分两种情况：①若x+y＜100，由题意得：，解得：，（不合题意舍去）；②若x+y≥100，由题意得：，，解得：，符合题意；答：八年级报名48人，九年级报名58人．27．解：（1）400×＝100（箱），答：甲货车中药品100箱；（2）400×（1+）＝600（箱），600×＝300（箱），答：乙货车中食品有300箱；（3）甲货车和乙货车共有：400+600＝1000（箱），1000×＝280（箱），设甲货车中日用品为x箱，乙货车中日用品为y箱，由题意得：，解得：，即甲货车中日用品为120箱，则甲货车中食品的箱数为：400﹣100﹣120＝180（箱），答：甲货车中食品有180箱．28．解：（1）设甲款积木的进价为每盒x元，乙款积木的进价为每盒y元，则，解得：，答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元；（2）由题可得：（80﹣m）（40+2m）+24×40＝5760，解得m1＝20，m2＝40．因为顾客能获取更多的优惠，所以m＝40．29．解：（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，依题意，得：15x+13y＝750，∴x＝50﹣y．∵x，y均为正整数，∴y为15的倍数，∴或或，∴该商店共有3种进货方案，方案1：购进37件A种纪念品，15件B种纪念品；方案2：购进24件A种纪念品，30件B种纪念品；方案3：购进11件A种纪念品，45件B种纪念品．30．解：（1）∵a、b满足，∴解方程组得，，∴点A坐标为（0，8），点B坐标为（﹣6，0）；（2）如图1，连接AD，∵A（0，8），B（﹣6，0），∴OA＝8，OB＝6，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝10．∵点D是x轴正半轴上的一个动点，点D的横坐标为x，∴OD＝x，∴BD＝6+x，∵AB＝10，DE＝d，∠BED＝90°，∴S△BAD＝AB•DE＝BD•OA，∴10d＝8（6+x），∴d＝x+（x＞0）；（3）如图2，延长AF，交BD于点C，∵AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE，∴∠CAO＝∠BAO，∠CDF＝∠BDE，∵∠BED＝100°，∠BOA＝90°，∴∠ABD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝80°﹣∠BDE，又∵∠ABD＝90°﹣∠BAO，∴80°﹣∠BDE＝90°﹣∠BAO，∴∠BAO﹣∠BDE＝10°，∵∠ACD＝90°﹣∠CAO＝90°﹣∠BAO，∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝∠ACD+∠CDF＝90°﹣∠BAO+∠BDE＝90°﹣（∠BAO﹣∠BDE）＝90°﹣×10°＝85°．。
八年级数学上册第五章二元一次方程组5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数习题课件(新版)北师大版 (1)
所以这种出租车的起步价是5元，超过3 km后每千 米收费1.5元．
◎基础训练 1. 用8块相同的长方形地砖 拼成一块矩形地面地砖的拼放方 式及相关数据如图所示，设每块 地砖的长为x cm，宽为y cm.下列方程不能正确反映图中 所提供的信息的是( A．x＋y＝60 C．4y＝60
D
) B．2x＝x＋3y D．x＋3y＝120
“我乘这种出租车走11 km，付了17元；”乙说：“我 乘这种出租车走了23 km，付了35元”．请你算一算： 出租车的起步价是多少元？超过3 km后，每千米的车费 是多少元？
解：设出租车的起步价是x元，超过3 km后每千米
x＋(11－3)y＝17， 收费y元，则 x＋(23－3)y＝35， x＝5， 解得 y＝1.5，
10x＋y＝11， A． 10x＋y＋45＝10y＋x x＋y＝11， C． 10x＋y＋45＝10y＋x
C
)
10x＋y＝11， B． x＋y＋45＝y＋x
D．以上各式均不对
2. 甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍 少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x，y，则
18(x＋y)＝360， A． 24(x－y)＝360 18(x－y)＝360， C． 24(x－y)＝360
A
)
18(x＋y)＝360， B． 24(x＋y)＝360 18(x－y)＝360， D． 24(x＋y)＝360
4. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发， 4 2 相向而行，1 小时相遇．如果甲比乙先走 小时，那么 5 3 3 在乙出发后 小时两人相遇．设甲、乙两人速度分别为 2 每小时x千米和y千米，则根据题意可列方程组为
2. 甲、乙两人相距8 km，两人同时出发，如果同 向而行，甲4小时可追上乙；如果相向而行，两人1小时 相遇．问两人的平均速度各是多少？若设甲的平均速度 是每小时行x km，乙的平均速度是每小时行y km，根据 题意，列方程组正确的是(
北师大版八年级数学上册：5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)
-例如：在本节课的里程碑问题中，学生需要理解小明和小华行走速度与相遇时间的关系，将这一关系转化为方程组中的未知数和方程。
（2）熟练运用加减消元法和代入法解二元一次方程组，求解实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有一个未知数的方程构成的，它们共同拥有两个未知数。它在解决两个相关联的量的问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将里程碑问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组找到小明和小华相遇的情况。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立方程组和如何选择消元方法这两个重点。对于难点部分，如如何从实际问题中抽象出数学模型，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。通过角色扮演，学生可以直观地感受方程组中各变量的意义。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识。
2.通过二元一次方程组的建立与求解，锻炼学生的逻辑思维和推理能力，增强数学抽象素养。
3.在小组合作与交流中，提高学生的数学表达与沟通能力，培养团队合作精神。
4.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，增强数学建模素养，激发学习兴趣。
-通过实际例题，让学生动手操作，加深对方程组解的实际意义的理解。
-对于拓展案例，鼓励学生自主探索，教师适时提供指导，帮助学生适应问题条件的变化，灵活运用所学知识。
北师大版初中八年级数学上册第5章5应用二元一次方程组——里程碑上的数课件
x
y
10x+y
原两位数
y
x
10y+x
新两位数
相等关系:①个位数字+十位数字=7;②原来的两位数+45=对调后组成的
两位数.
解 设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,根据题意,得
+ = 7,
= 1,
解得
= 6.
10 + + 45 = 10 + ,
所以原两位数是16.
知识点二
工程问题
【例2】 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务,要求在规定期限内完
成,按照这个服装厂原来的生产能力,每天可生产这种服装150套,按这样的
生产进度在客户要求的期限Leabharlann 只能完成订货的45
;现在工厂改进了人员组
织结构和生产流程,每天可生产这种工作服200套,这样不仅比规定时间少
用1天,而且比订货量多生产25套,求定做的工作服是几套?要求的期限是几
所以定做的工作服是3 375套,要求的期限是18天.
【规律总结】
解决工程问题关键要抓好三个基本量的关系,即“工作量=工作时间×工作
效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率,工作效率=工作量÷
工作时间”.其次注意当题目与工作量的大小、多少无关时,通常用“1”表示
总工作量.
二元一次方程组
5
应用二元一次方程组——里程碑上的数
核心·重难探究
知识点一
数字问题
【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7,如果这个两位数加上
45,则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数,求这个两位数.
思路分析 设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,用下表表示:
北师大版初中数学八年级(上)备课资料5-5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三 列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是
( D) A．14分钟
B．17分钟
C．18分钟
D．20分钟
11．有两个两位数的和为88，把较小的两位数写在较大的两位数的 右边，得到一个四位数，把较小的两位数写在较大的两位数的左边， 得到另一个四位数，这两个四位数的差为3 564，则较小的两位数为 __2_6___．
7．(4 分)小颖家离学校 1 200 m，其中有一段为上坡路，另一段为下
坡路．她去学校共用了 16 分钟．假设小颖上坡路的平均速度是 3 km/h，
下坡路的平均速度是 5 km/h.若设小颖上坡用了 x 分钟，下坡用了 y 分钟，
根据题意可列方程组为( B )
3x＋5y＝1 200 A.x＋y＝16
B．xy
C．100x＋10y
D．100x＋y
3．(4 分)一个两位数的十位数字与个位数字的和是 8，把这个两位数
加上 18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位
数字为 x，十位数字为 y，所列方程组正确的是( B )
x＋y＝8 A.xy＋18＝yx
x＋y＝8 C.10x＋y＋18＝yx
3x＋5y＝1.2 C.x＋y＝16
B.630x＋650y＝1.2 x＋y＝16
D.630x＋650y＝1 200 x＋y＝16
8．(8 分)学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以 60 km/h 的速
度走平路，后又以 30 km/h 的速度爬坡，共用了 6.5 h；回校时汽车以 40
km/h 的速度下坡，又以 50 km/h 的速度走平路，共用了 6 h，问平路和坡
6 余 2，则这个两位数是___5_6___．
6．(8 分)有一个三位数，现将左边的数字移到最右边，则比原数小 45，又 已知百位数字的 9 倍比十位和个位组成的两位数小 3，试求原来的三位数．
北师大版初中数学八年级上册第五章 二元一次方程组5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 课件
和货车的速度分别为x km/h、y km/h，则下列方程组正确的
是（ D ）
A.
45(x y) 126, 45(x y) 6.
3 (x y) 126,
B. 4
x y 6.
3
(
x
y)
126,
C.
4 45(x y) 6.
D.
3 4 3 4
(x (x
y) y)
126, 6.
是一个两位数， 它的两个数字
之和为7．
十位与个位数字 与12:00时所看 到的正好互换
了．
比12:00时看 到的两位数中 间多了个0．
探究新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
是一个两位数， 它的两个数字之
和为7．
十位与个位数字 与12:00时所看到 的正好互换了．
比12:00时看到 的两位数中间
北师大版 数学 八年级 上5.册5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数
导入新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟. 归时四分行六百，风速多少才称雄？
素养目标
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
3. 能分析复杂问题中的数量关系，建立方程组 解决问题.
表达式
12：00 13：00
x
y
10 x ＋ y
y
x
10 y ＋ x
14：00
x
0
y
100 x ＋ y
相等关系：① 12：00看到的数，两个数字之和是7 ②路程差相等
探究新知
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数/
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案 新版北师大版
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版一. 教材分析《里程碑上的数》是北师大版八年级数学上册第五章《方程与不等式》的第五节内容，主要介绍了解二元一次方程组的方法及其应用。
本节内容是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行的，通过实例引导学生将实际问题转化为二元一次方程组，进一步巩固和提高学生的数学建模能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力，对于二元一次方程组的概念和求解方法有一定的了解。
但在实际应用中，学生可能对于如何将实际问题转化为数学模型还有一定的困难，需要通过实例进行引导和训练。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解二元一次方程组的方法，能够将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.难点：如何引导学生发现实际问题中的数量关系，建立数学模型。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例引导学生自主探索和合作交流，从而达到教学目标。
六. 教学准备1.教具：多媒体教学设备2.学具：笔记本、文具3.教学素材：相关的生活实例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如购物问题、路线问题等，引导学生发现这些问题都可以用数学模型来表示，从而引出本节课的主题——应用二元一次方程组。
2.呈现（10分钟）呈现一个购物问题，让学生尝试将其转化为数学模型。
在学生思考的过程中，教师给予适当的引导和提示，帮助他们发现问题的数量关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二元一次方程组，并求解。
教师在这个过程中给予适当的指导，帮助他们解决遇到的问题。
5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数例题与讲解
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数1．数字问题(1)多位数字表示问题两位数＝十位数字×10＋个位数字．三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．如：一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，所以这个两位数是b 个10和a 个1的和，那么这个数可表示为10b ＋a ；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a ＋b .(2)数位变换后多位数的表示两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x 个100，而两位数y 在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y 个1.因此用x ，y 表示这个四位数为100x ＋y .同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y ＋x .一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果在它们之间添上零，十位上的n 便成了百位上的数．因此这个三位数是由n 个100,0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n ＋m .【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．分析：用下表表示(这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ) 十位数字 个位数字 两位数原两位数 x y 10x ＋y新两位数 y x 10y ＋x相等关系：(1)个位数字＋十位数字＝7；(2)原来的两位数＋45＝对调后组成的两位数．解：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝7，10x ＋y ＋45＝10y ＋x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.所以原两位数是16.析规律 数字与数位的关系 解决此类问题，关键是从实际问题中确定相等关系，根据相等关系的个数确定列方程还是列方程组，当问题中涉及两个相等关系时，列方程组解决问题比较简单．2．行程问题(1)行程问题：路程＝速度×时间①追击问题：一般特征：同地、同向、不同时，抓路程之间的关系建立等量关系． ②相遇问题：一般特征：同时、相向、不同地，常用的关系：路程和＝全程． ③航行问题：顺水航行的速度＝船在静水中的速度＋水速；逆水航行的速度＝船在静水中的速度－水速．(2)行程问题的应用：借助图示解答【例2】 已知某一铁路桥长1 000 m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min ，整列火车完全在桥上的时间为40 s ，求火车的长度和速度． 分析：解此类问题的关键是分析好火车“开始上桥到完全过桥”与“整列火车完全在桥上”的含义，可根据“路程”与“速度”找等式．解：设火车的长度为x m ，火车的速度为y m/s ，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1 000＋x ＝60y ，1 000－x ＝40y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝200，y ＝20.所以火车的长度为200 m ，火车的速度为20 m/s.3．怎么解答图形信息题在近几年的中考试题中，出现了一类有趣的图形信息题，即根据日常生活和生产中的实际应用问题绘出图形，让同学们看图分析，捕捉图中提供的数学信息，然后求解．这类问题，大多可用列二元一次方程组的方法求解．图形信息题作为一种新型的中考试题，越来越受到命题者青睐，一类和二元一次方程组有关的图形信息题，不仅考查了同学们从图形中获取信息的能力，而且还考查了根据所得信息列出方程组的能力．图形信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题．解答信息题时，首先要仔细阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息(如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等)，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解．【例3】 根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )．A ．51元B ．35元C ．8元D ．7.5元 解析：本题以实物图形给出信息，从图中可以知道，一个水壶和一个杯子共43元，两个水壶和三个杯子共94元，因此可设杯子的单价为x 元，水壶的单价为y 元，根据图形信息，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝43，3x ＋2y ＝94.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝35.所以一个杯子的价格是8元，选C.答案：C谈重点 审清题意列方程组列二元一次方程组解实际问题，重点在于正确找出实际问题中的两个等量关系，并把它们表示成两个方程．难点是一些难度较大的题目，有迷惑人的因素存在，等量关系隐蔽，往往不易找到或容易找错．解题时必须弄懂题中奥妙，突破解题瓶颈，理清数量之间的内在联系．4．用方程组解决与图形有关的问题用二元一次方程组解图形中的问题，是一种重要的解题方法，这种解题思想就是重要的数形结合思想．利用数形结合思想解决问题，需要认真观察，分析图形性质中隐含的相等关系．列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．这类问题的相等关系一般隐含在图形中，掌握图形的特征，从隐含条件中发现相等关系是解决问题的关键．【例4】 用8块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽．分析：列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．解：设每块地砖的长为x cm ，宽为y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝60，2x ＝x ＋3y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝45，y ＝15.所以每块地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.。
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案 新版北师大版
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是北师大版八年级数学上册5.5应用二元一次方程组。
这部分内容是学生在学习了二元一次方程组的基本概念和解法的基础上，进一步探究二元一次方程组在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够熟练运用二元一次方程组解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习了二元一次方程组的基本概念和解法后，对于如何将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解，还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过适当的例子，让学生理解二元一次方程组在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决问题的态度。
四. 教学重难点1.教学重点：将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过举例子的方式，让学生理解二元一次方程组在实际问题中的应用。
同时，运用小组合作的学习方式，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备一些实际问题，用于引导学生转化为数学问题。
2.学生准备：学生需要预习相关知识，了解二元一次方程组的基本概念和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引导学生将其转化为数学问题。
例如，某商店进行促销活动，一件商品原价80元，现在打八折，同时赠送一件价值30元的商品，求购买一件商品的实际花费。
2.呈现（10分钟）教师呈现问题，让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。
引导学生列出二元一次方程组，并解释为什么这样表示。
2017-2018学年北师大版八年级数学上册课件5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 (共22张PPT)
24 s t , h.根据题意，得 50 60 s t 24 . 60 75
答：从甲地到乙地的路程为120 km.
一定要先将时间单位统一后，再列方程组求解， 否则会得到错误ห้องสมุดไป่ตู้结果.
题型一 行程问题
例4 已知李明骑车和步行的速度
在利用二元一次方程组解决实际问题时，单位 不统一 例3 某人要在规定时间内由甲地赶往乙地，他开车如果 以每小时50 km的速度行驶，就会迟到24 min；如果以每 小时75 km的速度行驶，那么可提前24 min到达乙地.求从 甲地到乙地的路程.
解：设从甲地到乙地的路程为s km，从甲地到乙地的 规定时间为t 解得
和是143，求这个两位数.
解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数 字为y，则原数为10y+x，把两个数字的位置对换后，所得 的新数为10x+y.
x y =5, 根据题意，得
x =9, 解得 y 4.
10 y x 10 x y 143.
故这个两位数为10y+x=10×4+9=49.
解
读
放在a的左边，则这个五位数表示为100b+a
巧记乐背： 在十位上乘10， 在百位上乘100，
在千位上乘1 000，
以此类推得结论，
还有一种组合数，
两个数组更大数， 其实结论也简单， 右面是几位数， 左面乘10的几次方.
例2 有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5， 如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的
x y 2, 80 x y 4. 240
答：李明从家到学校的路程为720 m，闫红从家步行 到学校所需的时间是7 min.