静电场习题10

5－ * 5－ 9
匀强场
静电场中的电偶极子
+q
1. 外电场对电偶极子的力矩和取向作用
合力： 合力： F = F+ + F− = qE − qE = 0 力矩大小： 力矩大小：M = qEr0 sin θ = pE sin θ 矢量式： M = p× E 矢量式：
垂直屏幕向里, 顺时针(右螺旋) 图中M— 垂直屏幕向里,转动方向 — 顺时针(右螺旋) 取向( 正向平行(稳定平衡) 取向( M≠0 ) → p E 与 正向平行(稳定平衡) 静止( 其中反向平行 不稳定平衡) 反向平行( 静止( M = 0 ) 其中反向平行(不稳定平衡)
S1 q S2 q 2a
o
x
[ C ]
4. 有一带电球体，其电荷体密度为 ρ = k 有一带电球体， 内任一点的电场强度为
为常数， 为球内任一点的半径， k 为常数，r 为球内任一点的半径，则球
r
k k ρ ρ (a) , (b) r, (c) , (d) 3 0 ε 2ε0 2ε0 3 0 ε
解：左边 ∫∫ E • ds = 4πr
(A)0
y
λ ( B ) 2πε a i 0
λ ( C ) 4 πε a i 0 λ (i + j ) (D) 2πε 0 a
(0 , a )
+λ −λ
x
o
[ B ]
3. 有两个点电荷 , 相距为 ,今以左边的点电荷 有两个点电荷q 相距为2a 今以左边的点电荷 所在处为球心,以 为半径作一球形高斯面 为半径作一球形高斯面. 所在处为球心 以a为半径作一球形高斯面 在球 面上取两块面积相等的小面积 S1和 S2 ,其位置如 其位置如 图所示. 设通过S 图所示 设通过 1和 S2的电场强度通量分别为Φ 1 和Φ 2 , 通过整个球面的电场强度通量为ΦS , 则 ( A ) Φ 1=Φ 2 ，ΦS =q /ε0 ε ( B ) Φ 1<Φ 2 ，ΦS = 2q /ε0 ε ( C ) Φ 1>Φ 2 ，ΦS =q /ε0 ε ( D ) Φ 1<Φ 2 ，ΦS =q /ε0 ε
若 > R， ∫∫ r 则
E ⋅ 4πr =
2
∑q E ⋅ ds =
kπR4
q
Q
(3)
V =∫
∞ R
ε0
=
ε0
kR ∴E = 2 4ε0r
∞
ε0
R
4
E
n
o r
kR4 kR3 E ⋅ dl = ∫ dr = 2 R4 ε0r 4ε0
4.一顶角为 的圆台，上下地面半径为 1和R2 , 在 一顶角为θ的圆台 上下地面半径为R 一顶角为 的圆台， 它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 它的侧面上均匀带电，电荷面密度为 ，求顶点 的电势。（以无穷远处为电势零点） 。（以无穷远处为电势零点 的电势。（以无穷远处为电势零点） 沿母线取ol轴 在距o为 处取一 解：沿母线取 轴，在距 为l处取一 厚度为dl的小圆环 的小圆环， 厚度为 的小圆环， 其环的面积 ds=2πrdl θ 而 r = l sin 2 则小圆环的电量为： 则小圆环的电量为：
r
1
r
等式
4πr E =
2
2πr
2
ε0
k k ∴E = 2ε0
选项 (b)
5.下面说法正确的是 下面说法正确的是 (A)等势面上各点场强的大小一定相等； 等势面上各点场强的大小一定相等； 等势面上各点场强的大小一定相等 (B)在电势高处，电势能也一定高； 在电势高处，电势能也一定高； 在电势高处 (C)场强大处，电势一定高； 场强大处，电势一定高； 场强大处 (D)场强的方向总是从电势高处指向低处. 场强的方向总是从电势高处指向低处. 场强的方向总是从电势高处指向低处 [D]
r0
F−
−q
θ
F+
E
p E p E
非匀强场
F ≠0
M ≠0
平动 + 转动
2. 电偶极子在电场中的电势能和平衡位置
匀强场
Ep = qV+ − qV− = −q[−(V+ −V− )]
V+ −V− = −q(− )r0 cosθ r0 cosθ
+q
r0
F−
−q
θ
F+
E
= − pEcosθ
即
Ep = − p ⋅ E
讨论题
1.两个同心的均匀带电球面，内球面半径为 R1、 两个同心的均匀带电球面， 两个同心的均匀带电球面 带电量 Q1，外球面半径为 R2、带电量 Q2，则在 内球面里面、 内球面里面、距离球心为 r处的 P 点的场强大小 处的 E 为：
Q1 + Q 2 (A) 2 4πε 0 r
Q1 Q2 (B) + 2 2 4πε 0 R1 4πε 0 R 2
x
d
λ 1
dq
x
l
3. 一带电球体半径为R ,其电荷体密度分布为
kr (r ≤ R) ρ = 0 (r > R)
k为一正的常数， 为一正的常数， 为一正的常数
带电球体的总电荷； 求（1）带电球体的总电荷； 球体内、外的电场强度； （2）球体内、外的电场强度； （3）球面电势。 ）球面电势。 r
σ
a
o b
x
x
计算题
q = 3.12×10−9 c 正电荷） 1. 细导线均匀带电 （正电荷）
弯曲成一残缺的圆形， 弯曲成一残缺的圆形，半径 R = 0.5m ， 两端缺口d = 2.0×10−2 m，求圆心处电场强 度大小和方向 解：取 dq → dE → dE = ⋯ 今用补偿（叠加） 今用补偿（叠加）法 +
p 与 E正向平行 Ep = − pE ( 势能最低 )
M=0
— 稳定平衡 p 与 E反向平行 Ep = pE ( 势能最高 ) — 不稳定平衡
[例] 一偶极矩为 p 的电偶极子放在场强为 E的 例 均匀外电场中， 均匀外电场中， p与 E的夹角为 α角，在此电 偶极子绕垂直于（ 偶极子绕垂直于（ p，E 的平面的轴沿 α 角 ） 增加的方向转过180°的过程中，求电场力做功 的过程中， 增加的方向转过 的过程中 求电场力做功.
∫ E⋅ dS = ES
S
2） 一般场 —— 微元法与叠加法 ） Ⅰ法
E = ∫ dE 或 E = ∑Ei V = ∫ dV 或 V = ∑Vi
U12 =V1 −V2
Ⅱ法 先用叠加法求出V 先用叠加法求出 分布
∂V ∂V ∂V E=− （ i + j + k) ∂x ∂ y ∂z
关键： 关键：利用基本场结论和对称性的利用 记住： 记住： 点电荷( E、V ) 、 均匀带电球面内外( E、V ) 、 均匀带电细圆环轴线( E、V ) 、 无限大均匀带电平面( E ) 无限长均匀带电直线( E )
分析： 分析：
由电偶极子在电场 中的电势能 Ep = − p ⋅ E
+q
r0
−q
α
E
W = −2pE cosα
静电场习题课
基本要求
1. 掌握电场强度的概念和电场叠加原理 掌握已知 掌握电场强度的概念和电场叠加原理,掌握已知 电荷的分布，计算电场强度的方法。 电荷的分布，计算电场强度的方法。 2. 理解静电场的两个基本定理，掌握用高斯定 理解静电场的两个基本定理， 理计算电场强度的方法。 理计算电场强度的方法。 3. 掌握电场力做功特点，掌握电势的概念和电势 掌握电场力做功特点， 叠加原理， 叠加原理，掌握已知电荷分布计算电势的方法
10. 一个均匀带的簿圆环，环上的面电荷密度 一个均匀带的簿圆环， 为σ ,环的内、外半径分别为 环的内 外半径分别为a和b 。有人求得 再环的轴线上的距离环心O为x 处的电场强度大 再环的轴线上的距离环心 为 σ x x 小为 E = [1+ 2 2 − 2 2 ] 2ε0 a +x b +x 试分析该结果与否合理(不能通过重新求解来 试分析该结果与否合理 不能通过重新求解来 说明)。若此结果不合理，请试探着修改一下 说明 。若此结果不合理， 结果，使其合理。 结果，使其合理。
R 2 0
R
解：(1)
Q = ∫ ρ ⋅ dV =∫ kr⋅ 4πr dr
= 4πk∫ r dr = πkR
3 0 R 4
(2) 若r < R，则
ε0 2 r kπ 4 kr 1 2 2 E ⋅ 4πr = ∫ kr ⋅ 4πr dr = r ∴E = ε0 ε0 0 4ε0
∫∫
∑q E ⋅ ds =
2
E
2
ρV 1 k 4 3 4πr = = ⋅ ⋅ πr = k 右边 ε0 ε0 ε0 r 3 3ε0 由高斯定律 2 4πr k 2 4πr E = k 得 = E 3ε0 3ε0
∑Qi
r
应积分计算高斯面内的电荷
r
2
dr
2
∑Qi
ε0
k 2πkr = ∫ ρdV = ∫ (4πr dr) ⋅ = r ε0 0 ε0 0 ε0 1
6. 图示在点电荷 +q 和 -q 产生的电场中 将一点 产生的电场中, 点移至b点 电荷+q 沿箭头所示路径由a点移至 电荷 0沿箭头所示路径由 点移至 点，则外力 的做功为 。 − q0q 8πε0l b
l
+q
−q
l
a
+q0
l/2 l/2
7.半径为 r 的均匀带电量为 q 的球面 1， 半径为 ， 其外有一同心的半径为 R 的均匀带电量 为Q的球面 2，则此两球面之间的电势差 的球面 ， U1-U2 为： q 1 1 − (A) 4πε 0 r R 1 q Q − (C) 4πε 0 r R q 1 1 − (B) 4πε 0 R r