2015步步高一轮文科第二章 2.1

数学
苏（文）
§2.1 函数及其表示
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1.函数的基本概念 (1)函数的定义 设 A， B 是两个非空的
数集
，如果按某种对应法则 f，对
于集合 A 中的每一个元素 x，在集合 B 中都有 唯一 元素 y 和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，记 y＝f(x)，x∈A 作 . (2)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈ A 中，其中所有的输入值 x 组成的集合 A 称为函数 y＝ f(x)的 定义域 ；将所有输出值 y 组成的集合叫 做函数的 值域 .
综上可知，正确的判断是②③.
(2)由题意知，方程－x2＋2x＝k 无实数根，即 x2－2x＋k＝0 无实 数根.∴Δ＝4(1－k)<0，∴k>1 时满足题意. 答案 (1)②③ (2)k>1 思维升华 函数是一种特殊的映射，要检验给定的两个变量之间
是否具有函数关系，只需要检验：①定义域和对应法则是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否 都有唯一确定的函数值.
基础知识 题型分类
即 ax＋5a＋b＝2x＋17 不论 x 为何值都成立，
a＝2， ∴ b＋5a＝17， a＝2， 解得 b＝7，
∴f(x)＝2x＋7.
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二 求函数的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华
1 x 【例 2】 (1)如果 f( )＝ ，则当 x 1－ x x≠ 0 且 x≠ 1 时，f(x)＝ ________. (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 2x ＋ 17 ，则 f(x)＝ ________. (3)已知函数 f(x)的定义域为 (0， 1 ＋∞ )，且 f(x)＝ 2f( )· x－ 1，则 x f(x)＝ ________.
②函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝ 1 的交点最多有 1 个； ③ f(x)＝ x2－ 2x＋ 1 与 g(t)＝t2－ 2t＋ 1 是同一函数； 1 ④若 f(x)＝ |x－ 1|－ |x |，则 f f ＝ 0. 2 其中正确判断的序号是 ________. (2)已知映射 f： A→ B.其中 A＝ B＝ R，对应法则 f： x→ y＝－ x2＋ 2x，对于实数 k∈ B，在集合 A 中不存在元素与之对应，则 k 的取 值范围是 ________.
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思想方法
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题型分类·深度剖析
题型二 求函数的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华
1 x 【例 2】 (1)如果 f( )＝ ，则当 x 1－ x x≠ 0 且 x≠ 1 时，f(x)＝ ________. (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 2x ＋ 17 ，则 f(x)＝ ________. (3)已知函数 f(x)的定义域为 (0， 1 ＋∞ )，且 f(x)＝ 2f( )· x－ 1，则 x f(x)＝ ________.
题型二 求函数的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华
1 x 【例 2】 (1)如果 f( )＝ ，则当 x 1－ x
1 1 (1)令 t＝ ，得 x＝ ， x t 1 x≠ 0 且 x≠ 1 时，f(x)＝ ________. t 1 (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 ∴f(t)＝ 1＝t－1 ， 1－ t 3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 2x ＋ 17 ，则 1 ∴f(x)＝ . f(x)＝ ________. x－1 (2)设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， (3)已知函数 f(x)的定义域为 (0， 则 3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋ 1 ＋∞ )，且 f(x)＝ 2f( )· x－ 1，则 x 3a＋3b－2ax＋2a－2b
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题型一 函数与映射的概念
值域和对应法则均相同，所以 f(x)和 g(t)表示同一函数；对于④， 1 1 1 1 由于 f ＝ －1－ ＝0，所以 f f 2 ＝f(0)＝1. 2 2 2
解析 (2)①中，g(x)＝|x|，∴f(x)＝g(x).
②中，f(x)＝|x|(x∈R)，g(x)＝x (x≥0)， ∴两函数的定义域不同. ③中，f(x)＝x＋1 (x≠1)，g(x)＝x＋1(x∈R)， ∴两函数的定义域不同.
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题型分类·深度剖析
① (2)下列各组函数中，表示同一函数的是 ________.
f(x)＝ ________.
基础知识 题型分类
＝ax＋5a＋b，
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题型二 求函数的解析式
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1 x 【例 2】 (1)如果 f( )＝ ，则当 x 1－ x x≠ 0 且 x≠ 1 时，f(x)＝ ________. (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 2x ＋ 17 ，则 f(x)＝ ________. (3)已知函数 f(x)的定义域为 (0， 1 ＋∞ )，且 f(x)＝ 2f( )· x－ 1，则 x f(x)＝ ________.
函数解析式的求法 (1)待定系数法： 若已知函数的 类型(如一次函数、 二次函数)， 可用待定系数法； (2) 换 元 法 ： 已 知 复 合 函 数 f(g(x))的解析式， 可用换元法， 此时要注意新元的取值范围；
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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2
答案
(1)× (2) × (3) ×(4) √ (5) × (6) √
[0,1)
解析
3
4
④
0
5
①②
基础知识
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ห้องสมุดไป่ตู้题型一
【例 1 】
函数与映射的概念
(1)有以下判断：
1 x≥ 0 |x | ① f(x)＝ 与 g(x)＝ 表示同一函数； x － 1 x<0
基础知识 题型分类
1 (1)令 t＝ ，反解出 x，代入 x 1 x f( )＝ ， 求 f(t)的表达式. x 1－x
(2) 设 f(x) ＝ax＋b(a≠0) ，结 合条件列出关于 x 的方程求 参数 a，b. 1 (3)用 代替 x，通过解方程组 x
求 f(x).
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大于或等于0
(3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)y＝ ax (a>0 且 a≠1)， y＝ sin x， y＝ cos x，定义域均为 R.
π x|x∈R且x≠ kπ＋ ，k∈Z 2
(5)y＝ tan x 的定义域为
.
(6)函数 f(x)＝xα 的定义域为 {x|x∈R 且 x≠0} .
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1 (3)在 f(x)＝2f( ) x－1 中，用 x 1 代替 x， x 1 1 得 f( )＝2f(x) －1， x x 1 2fx 将 f( ) ＝ －1 代入 f(x) x x 1 ＝2f( ) x－1 中， x 2 1 可求得 f(x)＝3 x＋3.
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而函数
1 g(x)＝ －1
x≥0 x<0
的定义域是 R，所以二者不是同一函
数；对于②，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域内的值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象没有交点，如果 x＝1 是 y＝f(x)定义域内的值，由函 数定义可知， 直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点， 即 y＝f(x) 的图象与直线 x＝1 最多有一个交点； 对于③， f(x)与 g(t)的定义域、
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知识回顾 理清教材
(3)函数的三要素： 定义域 、 对应法则
和
值域
.
、 图象法 和 列表法 .
唯一
的元素与之对应，那
么这样的单值对应叫做从集合 A 到集合 B 的一个
映射
.
、
换元法
、配
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4.常见函数定义域的求法 (1)分式函数中分母 不等于零 (2)偶次根式函数被开方式 . .
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题型二 求函数的解析式
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1 x 【例 2】 (1)如果 f( )＝ ，则当 x 1－ x 1 x≠ 0 且 x≠ 1 时，f(x)＝ ________. x－1 (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 2x ＋ 17 ，则
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题型二 求函数的解析式
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1 x 【例 2】 (1)如果 f( )＝ ，则当 x 1－ x 1 1 (3)在 f(x)＝2f( ) x－1 中，用 x x≠ 0 且 x≠ 1 时，f(x)＝ ________. x－1 1 代替 x， (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 x 1 1 3f(x＋ 1)－ 2f(x－ 1)＝ 2x ＋ 17 ，则 得 f(x)＝2f(x) －1， x 2x＋7 f(x)＝ ________. 1 2f x 将 f( )＝ －1 代入 f(x) x x (3)已知函数 f(x)的定义域为 (0， 1 1 ＋∞ )，且 f(x)＝ 2f( )· x－ 1，则 ＝2f(x) x－1 中， x 2 1 2 1 x ＋ 可求得 f ( x ) ＝ x ＋ . f(x)＝ ________. 3 3 3 3