高考数学一轮复习第九章解析几何第十节热点专题--圆锥曲线中的热点问题课件理
高考数学一轮复习第九章解析几何第十节热点专题__圆锥曲线中的热点问题课后作业理
【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第十节热点专题——圆锥曲线中的热点问题课后作业 理1．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .2．(2015·陕西高考)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.3．(2016·太原模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，求的取值范围．4．(2016·兰州模拟)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝63，过C 1的左焦点F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．5．(2015·云南师大附中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且抛物线y 2＝43x 的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D (0,3)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点N 满足 (O 为原点)，求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．6.如图，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？说明理由．答 案1．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是线段AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b2，可得＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又＝(－a ，b )，从而有＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以＝0，故MN ⊥AB .2．解：(1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)， 代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知得Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k k －1 1＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －12k k －2＝2k －2(k －1)＝2.3．解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值， 此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，∴bc ＝43，∵e ＝12，∴b ＝23，a ＝4，∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，则F 1的坐标为(－2，0)，∵∴AC ⊥BD .①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得＝6＋8＝14.②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，则其方程为y ＝k (x ＋2)，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2 ，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k2，∴＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24 k 2＋13＋4k2， 此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1kx ＋2 ，x 216＋y212＝1，可得＝24 k 2＋13k 2＋4， ∴＝24 k 2＋1 4k 2＋3＋24 k 2＋1 3k 2＋4＝168 k 2＋1 23k 2＋4 4k 2＋3， 令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1，∴＝16812＋t －1t2，∵t >1，∴0<t －1t 2≤14， ∴∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14. 由①②可知，的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.4．解：(1)∵直线l 的方程为x －y ＋2＝0， 令y ＝0，得x ＝－2，即F 1(－2,0)， ∴c ＝2，又e ＝ca ＝63， ∴a 2＝6，b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1.(2)∵圆心C 2(3,3)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|3－3＋2|2＝2，又直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为22， ∴r ＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2＋2＝2， 故圆C 2的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.设圆C 2上存在点P (x ，y )，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|，即|PF 1|＝3|PF 2|，且F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2，0)，则 x ＋2 2＋y 2＝3 x －2 2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝94，它表示圆心是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，半径是32的圆．∵|CC 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－522＋ 3－0 2＝372，故有2－32<|CC 2|<2＋32，故圆C 与圆C 2相交，有两个公共点．∴圆C 2上存在两个不同的点P ，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|.5．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，∵离心率为32， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝34，∴3a 2＝4c 2， 又点(3，0)是抛物线的焦点， ∴c 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵∴四边形OANB 为平行四边形，当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 24＋y 2＝1⇒(1＋4k 2)x 2＋24kx ＋32＝0.由Δ＝(24k )2－128(1＋4k 2)>0⇒k 2>2.x 1＋x 2＝－24k 1＋4k 2，x 1x 2＝321＋4k2. ∵S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝32|x 1－x 2|，∴S ▱OANB ＝2S △OAB ＝3|x 1－x 2|＝3 x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 1＋4k 22－4×321＋4k 2＝3242k 2－128 1＋4k 21＋4k 22＝24k 2－21＋4k 22，令k 2－2＝t ，则k 2＝t ＋2(由上式知t >0)， ∴S ▱OANB ＝24t4t ＋92＝24172＋16t ＋81t≤241144＝2， 当且仅当t ＝94，即k 2＝174时取等号，∴当k ＝±172时，平行四边形OANB 的面积的最大值为2. 此时直线l 的方程为y ＝±172x ＋3. 6.解：(1)依题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)， 将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－8k24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14， 解得k ＝±12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x 轴，y 轴垂直． 由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3. 设点D 坐标为(x D,0)．因为DG ⊥AB ， 所以3k 4k 2＋3－4k24k 2＋3－x D×k ＝－1， 解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0.因为△GFD ∽△OED ，所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0.因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.。
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
圆锥曲线复习课课件
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第10讲圆锥曲线的综合问题课件
y
＝
－
t2－1 2t
(x
－
1)
，
直
线
BN
：
y＝－ຫໍສະໝຸດ 2 t，所
以
Ntt22＋－31，－2t .
设 M(m，0)，由 A，M，N 三点共线得t2－2tm＝t2－2t＋tt22＋－2t 31， 于是 m＝t22－t21＝2＋t2－2 1. 所以 m<0 或 m>2.
经检验，m<0 或 m>2 满足题意．
因为－12<x<32，所以直线 AP 斜率的取值范围是(－1，1)．
(2)联立直线
AP
与
BQ
的方程kx－y＋12k＋14＝0， x＋ky－94k－32＝0，
解得点 Q 的横坐标是 xQ＝－2（k2k＋2＋4k1＋）3.
因为|PA|＝ 1＋k2x＋12＝ 1＋k2(k＋1)， |PQ|＝ 1＋k2(xQ－x)＝－（k－1）k2（＋k1＋1）2， 所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3. 令 f(k)＝－(k－1)(k＋1)3， 因为 f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2， 所以 f(k)在区间－1，12上单调递增，12，1上单调递减， 因此当 k＝12时，|PA|·|PQ|取得最大值2176.
y20＝－t·x20＋t
y0＝t2＋2t 1
即 Bt22＋t21，t2＋2t 1.
直线 AF 的斜率为 kAF＝t2－2t 1(t≠±1)， 直线 BF 的斜率为 kBF＝tt222＋＋2tt211－－01＝t2－2t 1(t≠±1)， 所以 kAF＝kBF，即 A，B，F 三点共线． 当 t＝±1 时，A(1，±2)，B(1，±1)，此时 A，B，F 三点共线． 所以直线 AB 过定点 F(1，0)．
高考数学一轮复习第九章解析几何第十节热点专题__圆锥曲线中的热点问题课后作业理.doc
【创新方案】2017届高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第十节热点专题——圆锥曲线中的热点问题课后作业 理1．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .2．(2015·陕西高考)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.3．(2016·太原模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1，F 2，其离心率e ＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.(1)求椭圆的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，求的取值范围．4．(2016·兰州模拟)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝63，过C 1的左焦点F 1的直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为2 2.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设C 1的右焦点为F 2，在圆C 2上是否存在点P ，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|？若存在，指出有几个这样的点(不必求出点的坐标)；若不存在，说明理由．5．(2015·云南师大附中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且抛物线y 2＝43x 的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D (0,3)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点N 满足 (O 为原点)，求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．6.如图，已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于D ，E 两点．(1)若点G 的横坐标为－14，求直线AB 的斜率；(2)记△GFD 的面积为S 1，△OED (O 为原点)的面积为S 2.试问：是否存在直线AB ，使得S 1＝S 2？说明理由．答 案1．解：(1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510. 进而a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)证明：由N 是线段AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b2，可得＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6.又＝(－a ，b )，从而有＝－16a 2＋56b 2＝16(5b 2－a 2)．由(1)可知a 2＝5b 2，所以＝0，故MN ⊥AB .2．解：(1)由题设知ca ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)， 代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知得Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －1＋2k2，x 1x 2＝2kk －1＋2k2.从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k k －2k k －＝2k －2(k －1)＝2.3．解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值， 此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，∴bc ＝43，∵e ＝12，∴b ＝23，a ＝4，∴椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，则F 1的坐标为(－2，0)，∵∴AC ⊥BD .①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得＝6＋8＝14.②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，则其方程为y ＝k (x ＋2)，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k 23＋4k2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k2，∴＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)， 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1kx ＋，x 216＋y212＝1，可得＝k 2＋3k 2＋4，∴＝k 2＋4k 2＋3＋k 2＋3k 2＋4＝k 2＋2k 2＋k 2＋，令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1，∴＝16812＋t －1t2，∵t >1，∴0<t －1t 2≤14， ∴∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14. 由①②可知，的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.4．解：(1)∵直线l 的方程为x －y ＋2＝0， 令y ＝0，得x ＝－2，即F 1(－2,0)，∴c ＝2，又e ＝c a ＝63， ∴a 2＝6，b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1.(2)∵圆心C 2(3,3)到直线l ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|3－3＋2|2＝2，又直线l ：x －y ＋2＝0被圆C 2：(x －3)2＋(y －3)2＝r 2(r >0)截得的弦长为22， ∴r ＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2222＝2＋2＝2， 故圆C 2的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝4.设圆C 2上存在点P (x ，y )，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|，即|PF 1|＝3|PF 2|，且F 1，F 2的坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2，0)，则x ＋2＋y 2＝3x －2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋y 2＝94，它表示圆心是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，半径是32的圆．∵|CC 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－522＋－2＝372， 故有2－32<|CC 2|<2＋32，故圆C 与圆C 2相交，有两个公共点．∴圆C 2上存在两个不同的点P ，满足|PF 1|＝a 2b2|PF 2|.5．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，∵离心率为32， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝34，∴3a 2＝4c 2， 又点(3，0)是抛物线的焦点， ∴c 2＝3.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵∴四边形OANB 为平行四边形，当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 24＋y 2＝1⇒(1＋4k 2)x 2＋24kx ＋32＝0.由Δ＝(24k )2－128(1＋4k 2)>0⇒k 2>2.x 1＋x 2＝－24k 1＋4k 2，x 1x 2＝321＋4k2. ∵S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝32|x 1－x 2|，∴S ▱OANB ＝2S △OAB ＝3|x 1－x 2|＝3x 1＋x 22－4x 1x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 1＋4k 22－4×321＋4k 2＝3242k 2－＋4k2＋4k22＝24k 2－2＋4k22，令k 2－2＝t ，则k 2＝t ＋2(由上式知t >0)， ∴S ▱OANB ＝24t t ＋2＝24172＋16t ＋81t≤241144＝2， 当且仅当t ＝94，即k 2＝174时取等号，∴当k ＝±172时，平行四边形OANB 的面积的最大值为2. 此时直线l 的方程为y ＝±172x ＋3. 6.解：(1)依题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋1)， 将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－8k24k 2＋3.故点G 的横坐标为x 1＋x 22＝－4k 24k 2＋3＝－14， 解得k ＝±12.(2)假设存在直线AB ，使得S 1＝S 2，显然直线AB 不能与x 轴，y 轴垂直． 由(1)可得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 24k 2＋3，3k 4k 2＋3. 设点D 坐标为(x D,0)．因为DG ⊥AB ，所以3k 4k 2＋3－4k24k 2＋3－x D×k ＝－1， 解得x D ＝－k 24k 2＋3，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3，0.因为△GFD ∽△OED ，所以S 1＝S 2⇔|GD |＝|OD |. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 24k 2＋3－－4k 24k 2＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 4k 2＋32＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－k 24k 2＋3， 整理得8k 2＋9＝0.因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得S 1＝S 2.。
2016届 数学一轮(文科) 人教A版 课件 第九章 平面解析几何 专题探究课 圆锥曲线问题中的热点
热点突破 热点一 圆锥曲线中的定点、定值问题
解答圆锥曲线中的定点、定值问题的一般步骤：
第一步
研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标 关系所要探求的定点、定值．
第二步
探究一般情况．探究一般情形下的目标结论．
第三步
下结论，综合上面两种情况定结论．
第7页
返回目录 结束放映 第七页，编辑于星期五：十八点 三十六分。
因为直线 AB 的斜率 kAB＝xy11，
又 AB⊥AD，所以直线 AD 的斜率
k＝－xy11.
设直线AD的方程为y＝kx＋m，由题意知k≠0，m≠0.
y＝kx＋m，
由x42＋y2＝1， 可得(1＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－4＝0.
第15页
返回目录 结束放映 第十五页，编辑于星期五：十八点 三十六分。
【例 1】(13 分)(2015·石家庄模拟)椭圆 C：xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的离
心率为 23，过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1. (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是直线 x＝1 上的动
点，直线 PA 与椭圆的另一交点为 M，直线 PB 与椭圆的另一交点 为 N.求证：直线 MN 经过一定点．
则|MN2|2－|MN1|2＝2a－a2＋42－(2a＋a)2＝8，
即|MN2|2－|MN1|2为定值8.
第10页
返回目录 结束放映 第十页，编辑于星期五：十八点 三十六分。
热点突破
热点二 圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的 最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元 素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题．
(新课标)高考数学总复习第9章解析几何第9节热点专题圆锥曲线中的热点问题课件文新人教A版
求定值问题常见的两种方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从 而得到定值．
第二十六页，共41页。
圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面： (1)探索点的存在性；(2)探索曲线的存在性；(3)探索最值的存在性； (4)探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥 曲线的位置关系．
第二十二页，共41页。
[听前试做] (1)①由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1，解得 a2＝8，b2＝4.所以 C 的方程为x82＋y42＝1.
②证明：设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2， y2)，M(xM，yM)．将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1，得 (2k2＋1)x2＋ 4kbx＋2b2－8＝0.故 xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，yM＝k·xM＋b＝2k2b＋1.
第一页，共41页。
第二页，共41页。
圆锥曲线中的最值问题大致可以分为两类：①涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中 几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一 些问题．
第三页，共41页。
角度一：数形结合利用几何性质求最值
[典题 1] 设 P 是椭圆2x52＋y92＝1 上一点，M，N 分别是两
第十页，共41页。
(2)①由题意知 2a＝4，则 a＝2. 又ac＝ 23，a2－c2＝b2，可得 b＝1， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1. ②由①知椭圆 E 的方程为1x62＋y42＝1. (ⅰ)设 P(x0，y0)，||OOQP||＝λ，由题意知 Q(－λx0，－λy0)． 因为x420＋y20＝1，又－1λ6x02＋－λ4y02＝1，即λ42x402＋y02＝1， 所以 λ＝2，即||OOQP||＝2.
高三数学第9讲 圆锥曲线的热点问题
第9讲 圆锥曲线的热点问题基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(·南京模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝12．直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．解析 由⎩⎨⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0，若k ＝0，则y ＝2，若k ≠0，若Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1，因此直线y ＝k x ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k ＝0或1. 答案 1或03．(·济南模拟)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是________．解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y ＝3x 应在两渐近线之间，所以有ba ≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1<e ≤2. 答案 (1,2]4．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________． 解析 设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件． 答案 4x －y －7＝05．(·烟台期末考试)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ，代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2，所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4. 答案 46．(·西安模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为________．解析 设点P (x ，y )，其中x ≥1.依题意得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，则有y 23＝x 2－1，y 2＝3(x 2－1)，P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝(x ＋1)(x －2)＋y 2＝x 2＋3(x 2－1)－x －2＝4x 2－x －5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －182－8116，其中x ≥1.因此，当x ＝1时，P A 1→·PF 2→取得最小值－2.答案 －27．(·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.解析 如图，设|AF 1|＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m －2a ＋2m －2a ＝m ，得m ＝22a ，又由|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，可得m 2＋(m －2a )2＝4c 2，即得(20－82)a 2＝4c 2，∴e 2＝c2a 2＝5－2 2.答案 5－228．(·青岛调研)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |的值是________．解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1>x 2，易知直线AB 的方程为y ＝3x －32p ，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得x 1＋x 2＝53 p ，x 1x 2＝p 24，可得x 1＝32p ，x 2＝p 6，可得|AF ||BF |＝x 1＋p2x 2＋p 2＝3p 2＋p 2p 6＋p 2＝3. 答案 3 二、解答题9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为原点)．(1)求证：1a 2＋1b 2等于定值；(2)若椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，22，求椭圆长轴长的取值范围．(1)证明 由⎩⎨⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2，x ＋y －1＝0消去y ，得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0，①∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即4a 4－4(a 2＋b 2)a 2(1－b 2)＞0⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0， ∵a ＞b ＞0，∴a 2＋b 2＞1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1 、x 2是方程①的两实根． x ＝a 2±a 2b 2(a 2＋b 2－1)a 2＋b 2∴x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2.②由OP ⊥OQ 得x 1x 2＋y 1y 2＝0， 又y 1＝1－x 1，y 2＝1－x 2， 得2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0.③式②代入式③化简得a 2＋b 2＝2a 2b 2.④∴1a 2＋1b 2＝2.(2)解 利用(1)的结论，将a 表示为e 的函数 由e ＝ca ⇒b 2＝a 2－a 2e 2，代入式④，得2－e 2－2a 2(1－e 2)＝0.∴a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2).∵33≤e ≤22，∴54≤a 2≤32. ∵a ＞0，∴52≤a ≤62.∴长轴长的取值范围是[5，6]．10．(·佛山模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 为圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，0，证明： MA →·MB →为定值．解 (1)化圆的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝1，则圆心为(－1,0)，半径r ＝1，所以椭圆的半焦距c ＝1.又椭圆上的点到点F 的距离最小值为2－1，所以a －c ＝2－1，即a ＝ 2. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，l 的方程为x ＝－1. 可求得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，B ⎝⎛⎭⎪⎫－1，－22.此时，MA→·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋54，22·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋54，－22＝－716. ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x ＝－2k 2±2k 2＋21＋2k 2则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2. 因为MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋54，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋54＋y 1y 2＝x 1x 2＋54(x 1＋x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋k (x 1＋1)·k (x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋54(x 1＋x 2)＋k 2＋2516＝(1＋k 2)·2k 2－21＋2k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋54⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋k 2＋2516 ＝－4k 2－21＋2k 2＋2516＝－2＋2516＝－716. 所以， MA →·MB →为定值，且定值为－716.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(·石家庄模拟)若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM 与两坐标轴均不平行，k AM ，k BM 分别表示直线AM ，BM 的斜率，则k AM ·k BM ＝________. 解析 设A (x 1，y 1)，M (x 0，y 0)， 则B (－x 1，－y 1)，k AM ·k BM ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－b 2a 2x 20＋b 2＋b 2a 2x 21－b 2x 20－x 21＝－b 2a 2. 答案 －b 2a 22．(·兰州诊断)若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________． 解析 ∵直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点， ∴4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<4，∴m 29＋n 24<m 24＋n 24<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个． 答案 23．(·上海普陀一模)若C (－3，0)，D (3，0)，M 是椭圆x 24＋y 2＝1上的动点，则1|MC |＋1|MD |的最小值为________．解析 由椭圆x 24＋y 2＝1知c 2＝4－1＝3，∴c ＝3， ∴C 、D 是该椭圆的两焦点， 令|MC |＝r 1，|MD |＝r 2， 则r 1＋r 2＝2a ＝4，∴1|MC |＋1|MD |＝1r 1＋1r 2＝r 1＋r 2r 1r 2＝4r 1r 2，又∵r 1r 2≤(r 1＋r 2)42＝164＝4， ∴1|MC |＋1|MD |＝4r 1r 2≥1.当且仅当r 1＝r 2时，上式等号成立． 故1|MC |＋1|MD |的最小值为1. 答案 1 二、解答题4．(·合肥一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，由四个点M (－a ，b )、N (a ，b )、F 2和F 1组成了一个高为3，面积为33的等腰梯形．(1)求椭圆的方程；(2)过点F 1的直线和椭圆交于两点A ，B ，求△F 2AB 面积的最大值． 解 (1)由条件，得b ＝3，且2a ＋2c2×3＝33，所以a ＋c ＝3.又a 2－c 2＝3，解得a ＝2，c ＝1. 所以椭圆的方程x 24＋y 23＝1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为x ＝my －1，直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my －1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，因为直线过椭圆内的点，无论m 为何值，直线和椭圆总相交．y ＝3m ±6m 2＋13m 2＋4.∴y 1＋y 2＝6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4.S △F 2AB ＝12|F 1F 2||y 1－y 2|＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋1(3m 2＋4)2＝4m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋132＝41m 2＋1＋23＋19(m 2＋1)，令t ＝m 2＋1≥1，设y ＝t ＋19t ，易知t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，函数单调递减，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞函数单调递增，所以当t ＝m 2＋1＝1，即m ＝0时，y min ＝109.S △F 2AB 取最大值3.。
高考数学一轮总复习第九章解析几何专题研究4圆锥曲线中的探索性问题课件理
(2018·湖南湘西自治州一检)已知抛物线 C：x2＝2py(p>0) 的焦点为 F，直线 2x－y＋2＝0 交抛物线 C 于 A，B 两点，P 是 线段 AB 的中点，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q.
(1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(－1，3)，若直线 AB 过焦 点 F，求|DF|＋|DE|的最小值；
(2)问：是否存在实数 p，使|2Q→A＋Q→B|＝|2Q→A－Q→B|？若存在， 求出 p 的值；若不存在，请说明理由．
第十一页，共48页。
【解析】 (1)∵直线 2x－y＋2＝0 与 y 轴的交点为(0，2)， ∴F(0，2)，
∴抛物线 C 的方程为 x2＝8y，准线 l：y＝－2. 过点 D 作 DG⊥l 于点 G，则|DF|＋|DE|＝|DG|＋|DE|， 当 E，D，G 三点共线时，|DE|＋|DG|取得最小值，即|DE|＋ |DF|取得最小值，最小值为 2＋3＝5.
第十二页，共48页。
(2)假设存在实数 p，使得|2Q→A＋Q→B|＝|2Q→A－Q→B|. 将抛物线 x2＝2py 与直线 y＝2x＋2 的方程联立并消去 y，得 x2－4px－4p＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝4p，x1x2＝－4p，∴Q(2p， 2p)． ∵|2Q→A＋Q→B|＝|2Q→A－Q→B|， ∴Q→A·Q→B＝0，即(x1－2p)(x2－2p)＋(y1－2p)(y2－2p)＝0，
(1)求曲线 C 的方程； (2)试探究|MN|和|OQ|2 的比值能否为一个常数．若能，求出 这个常数；若不能，请说明理由．
第十九页，共48页。
【解析】 (1)设圆 P 的坐标为(x，y)，半径为 r，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1＋k2
64k2－8m2＋32
1＋2k2
.
将 m2＝83(k2＋1)代入可得|AB|＝ 1＋k2
2×1＋3642kk22＋332＝
32 3
1＋k24k2＋1 1＋2k22
.|AB|
＝
32 3
1＋1＋4kk42＋4k2 ＝
32 3
1＋k12＋41k2＋4≤2 3，当且仅当 k2＝12即 k＝± 22时等号成立．
圆锥曲线中的最值问题大致可以分为两类：①涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中 几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一 些问题．
角度一：数形结合利用几何性质求最值
[典题 1] 设 P 是椭圆2x52＋y92＝1 上一点，M，N 分别是两
圆：(x＋4)2＋y2＝1 和(x－4)2＋y2＝1 上的点，则|PM|＋|PN|的
＝2
16k12＋＋44k－2 m2|m|＝2
16k2＋4－m2m2 1＋4k2
＝2
4－1＋m42k21＋m42k2.
设1＋m42k2＝t.将 y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由 Δ≥0，可得 m2≤1＋4k2.(**)
由(*)(**)可知 0<t≤1， 因此 S＝2 4－tt＝2 －t2＋4t，故 S≤2 3. 当且仅当 t＝1，即 m2＝1＋4k2 时取得最大值 2 3. 由(ⅰ)知，△ABQ 的面积为 3S， 所以△ABQ 面积的最大值为 6 3.
①求椭圆 C 的方程； ②设椭圆 E：4xa22＋4yb22＝1，P 为椭圆 C 上任意一点．过 点 P 的直线 y＝kx＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭 圆 E 于点 Q. (ⅰ)求||OOQP||的值； (ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．
[听前试做] (1)①设 M(x，y)，P(x1，y1)． 由|MD|＝ 22|DP|，得xy11＝＝x，2y. 又 P(x1，y1)在圆 x2＋y2＝8 上， ∴x21＋y21＝8，即 x2＋( 2y)2＝8. ∴点 M 的轨迹 E 的方程为x82＋y42＝1. ②1°.假设直线 l 的斜率存在，设其方程为 y＝kx＋m. 联立xy＝2＋k2xy＋2＝m8，， 可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
Δ>0，
∴x1＋x2＝－1＋4k2mk2，*
∵
xபைடு நூலகம்x2＝21m＋2－2k82 .**
＝0，
∴x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 化简，可得(k2＋1)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. 将(*)，(**)式代入，化简可得 3m2＝8k2＋8.
又|AB|＝ 1＋k2 |aΔ| ，
∴|AB|＝
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由 Δ>0，可得 m2<4＋16k2.(*)
则有 x1＋x2＝－1＋8k4mk2，x1x2＝41m＋2－4k126.
所以|x1－x2|＝4
16k2＋4－m2 1＋4k2 .
因为直线 y＝kx＋m 与 y 轴交点的坐标为(0，m)，
所以△OAB 的面积 S＝12|m||x1－x2|
答案：C
利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等 进行求解，也叫做几何法．
角度二：构造函数或利用基本(均值)不等式求最值 [典题 2] (1)(2016·成都模拟)在圆 x2＋y2＝8 上任取一点 P，
过点 P 作 x 轴的垂线 PD，D 为垂足，M 为垂线段 PD 上的点，
且满足|MD|＝
最小值、最大值分别为( )
A．9,12
B．8,11
C．8,12
D．10,12
[听前试做]
如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点， 由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接 PA，PB 分别与圆相交于 M， N 两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接 PA， PB 并延长，分别与圆相交于 M，N 两点，此时|PM|＋|PN|最大，最 大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为 8,12.
2 2 |DP|.
①求点 M 的轨迹 E 的方程；
②若直线 l 与①中的轨迹 E 相交于不同两点 A，B，且满
足
(O 为坐标原点)，求线段 AB 长度的取值范围．
(2)(2015·山东高考)平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，左、右焦点分别是 F1，F2. 以 F1 为圆心、以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心、以 1 为半径 的圆相交，且交点在椭圆 C 上．
解决该题的方法为代数法，即把要求最值的几何量或代数表 达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、 不等式方法等进行求解．
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定 值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．
角度一：定点问题 [典题 3] (2016·洛阳模拟)设 M 是焦距为 2 的椭圆 E：xa22＋by22＝ 1(a>b>0)上一点，A，B 是椭圆 E 的左、右顶点，直线 MA 与 MB 的斜 率分别为 k1，k2，且 k1k2＝－12.
又1＋4kk42＋4k2≥0，∴|AB|≥
332＝4
3
6 .
∴436≤|AB|≤2 3.
2°.若直线 l 的斜率不存在，易得|AB|＝436. 综上，|AB|的取值范围为436，2 3. (2)①由题意知 2a＝4，则 a＝2. 又ac＝ 23，a2－c2＝b2，可得 b＝1， 所以椭圆 C 的方程为x42＋y2＝1.
②由①知椭圆 E 的方程为1x62＋y42＝1. (ⅰ)设 P(x0，y0)，||OOQP||＝λ，由题意知 Q(－λx0，－λy0)． 因为x420＋y20＝1， 又－1λ6x02＋－λ4y02＝1，即λ42x420＋y20＝1， 所以 λ＝2，即||OOQP||＝2.
(ⅱ)设 A(x1，y1)，B(x2, y2)． 将 y＝kx＋m 代入椭圆 E 的方程，
(1)求椭圆 E 的方程； (2)已知椭圆 E：xa22＋by22＝1(a>b>0)上点 N(x0，y0)处切线方程为xa02x＋ yb02y＝1.若 P 是直线 x＝2 上任意一点，从 P 向椭圆 E 作切线，切点分 别为 C，D，求证直线 CD 恒过定点，并求出该定点坐标．