高三数学综合试题
广东省韶关市2023届高三上学期综合测试(一)数学试题含答案
韶关市2023届高三综合测试（一）数学注意事项：1.考生务必将自己的姓名、准考证号、学校和班级用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}2,1A =-，{}2320B x x x =-+=∣，则()UA B =（ ） A.{}0,2B.{}1,0-C.{}1,2D.{}1,02．若11z i =+，21(2)z z i =+，1z 是1z 的共轭复数，则2z =（ ）B.2D103．下列区间中，函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A.0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B.,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭4．函数433()1x xf x x --=+的部分图象大致为（ ）A. B. C. D.5．已知(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若b c ⊥，则向量c 在向量a 上的投影向量为（ ） A.1625a -B.1625a C.45a -D.45a 6．某污水处理厂采用技术手段清除水中的污染物，同时生产出有用的肥料和清洁用水．已知在处理过程中，每小时可以清理池中残留污染物10％，若要使池中污染物不超过原来的12，至少需要的时间为（结果保留整数，参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ） A ．6小时B ．7小时C ．8小时D ．9小时7．已知点O 为坐标原点，点F 是双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的右焦点，以OF为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，线段PF 交双曲线C 于点Q .若Q 为PF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）C.2D.38．已知函数()2lne xf x x e ex-=-+，若2202120222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（ ）A.34C.54D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某电视传媒机构为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，其中女性占40％．根据调查结果分别绘制出男、女观众两周时间收看该类体育节目时长的频率分布直方图，则A.0.08m =B ．女观众收看节目时长的中位数为6.5小时 C.女观众收看节目的平均时长小于男观众的平均时长D ．收看节目不少于9小时观众中的女观众人数是男观众人数的1310．已知正方体1111ABCD A B C D -，设E 是棱BC 的中点，则 A ．1BD ∥平面1C DE B.1BC AC ⊥C ．平面11A BC 与平面ABCD D ．三棱锥1D ACD -与三棱锥1B ACD -体积相等11．设A 是抛物线2:4C x y =上一点，F 是C 的焦点，A 在C 的准线l 上的射影为M ，M 关于点A 的对称点为N ，曲线C 在A 处的切线与准线l 交于点P ，直线NF 交直线l 于点Q ，则A ．F 到l 距离等于4 B.FM FN ⊥C ．FPQ △是等腰三角形D ．||MQ 的最小值为412．以下四个不等关系，正确的是 A.ln1.5ln 41⋅<B.ln1.10.1>C.19202019<D.22ln 24ln 4e >- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的中间一项的系数为________（具体数字作答）.14．已知(0,)απ∈，且1cos 22sin 2αα-=-，则cos()πα-=________.15．我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念．数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=--.已知P 是直线:2150l x y +-=上的动点，当P 与o （o 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为________.16．已知三棱锥P ABC -中，PBC △为等边三角形，AC AB ⊥，PA BC ⊥，PA =BC =________；若M 、N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段MN 的长度的最大值为________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题10分）在ABC △中，D 为AC 的中点，且sin 2sin BDC BAC ∠=∠.（1）证明：2BA BD =；（2）若22AC BC ==，求ABC △的面积． 18．（本小题12分） 已知数列{}n a 的首项145a =，且满足143n n n a a a +=+，设11n n b a =-. （1）求证：数列{}n b 为等比数列； （2）若1231111140na a a a ++++>，求满足条件的最小正整数n . 19．（本小题12分）北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X 为选出“基地学校”的个数，求X 的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 20．（本小题12分）已知矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，E 是CD 的中点，如图所示，沿BE 将BCE △翻折至BFE △，使得平面BFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：BF AE ⊥；（2）若(01)DP DB λλ=<<是否存在λ，使得PF 与平面DEF 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21．（本小题12分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ，点D （不在x 轴上）为直线6x =上一点，直线AD 交曲线C 于另一点P . （1）证明：PB BC ⊥；（2）设直线BD 交曲线C 于另一点Q ，若圆O （O 是坐标原点）与直线PQ 相切，求该圆半径的最大值. 22．（本小题12分）已知函数2()1f x x =-，()ln(1)g x m x =-，m R ∈.（1）若直线:20l x y -=与()y g x =在(0,(0))g 处的切线垂直，求m 的值；（2）若函数()()()h x g x f x =-存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()1122x h x x h x >．2023届高三综合测试（一） 数学参考答案及评分标准1.参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题（每小题5分）1.【解析】由题意，23201,2B x x x =-+==，所以2,1,2AB =-，所以(){} 1,0UA B =-，故选B.2.【解析】21(2)(1)(2)3z z i i i i =+=-+=-，所以，2z ==，故选C.3.【解析】函数()3sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意，322()262k x k k Z πππππ+<+<+∈，解得422()33k x k k Z ππππ+<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递减区间为4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 4.【解析】()f x 是奇函数且(1)0f <，所以选D.5.【解析】因为b c ⊥，所以3t =-，()0,4c =，所以向量c 在向量a 上的投影向量为1625a c a a a a ⋅⋅=，所以选B. 6.【解析】设原来池中污染物的质量为m ，依题意，经过n 小时污染物的质量0.9nm ⋅，所以，10.92nm m ⋅≤，lg 2lg 27.51lg912lg3n ≥=≈--，故选C. 7.【解析】∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∵直线OP 的方程为b y x a =，(),0F c ，∴直线PF 的方程为()ay x c b=--，由()b y x a a y xc b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2P a x c =，P ab y c =，∵12PQ PF =，∴Q 是PF 的中点，故222Q a c x c +=，2Q ab y c =，代入双曲线方程，得222222221a c ab c c a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，整理，得()2222222144aca a c c+-=，222c a =，e =故选A. 法2：∵以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线交于点P ，∴OP PF ⊥，∴PF b =，从而1122PQ PF b ==，设双曲线左焦点为1F ，连结1QF ，则由定义知11222QF a QF a b =+=+，在Rt FPO △中，cos PF bPFO OF c∠==， 在1FQF △中，由余弦定理得：2221112cos QF QF QF QF QF QFO =+-⋅⋅∠，即2221112(2)22222b a b b c b c c ⎛⎫⎛⎫+=+-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得a b =，所以e =8.【解析】因为()()()2ln 2()ln 2()e x e e xf x f e x x e e x e ex e e x ---+-=-++--+=-- 由上面结论可得22021202220222023202320232023e e e e f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，23a =，43b =时等号成立； 当0a <时，1||112152()11222222ab a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1531224⎛≥-++= ⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b+的最小值为34.故选：A.二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）.误；对于B ，由频率分布直方图可知，女观众收看时间的352 6.54+⨯=，故B 正确； 对于C，男性观众收看节目的平均时长为40.160.150.480.210120.158.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时，女性观众收看节目的平均时长为40.260.40.380.110 6.6⨯+⨯+⨯+⨯=小时，故C 正确； 对于D ，由频率直方图可知，男性观众收看到达9小时人数为20060%(0.20.15)42⨯⨯+=人，女性观众收看达到9小时人数为20040%0.18⨯⨯=人，故D 错误.故选：BC. 10.【解析】对于A ，设1CD 交1C D 于F ，可得1EF BD ∥，从而得到1BD ∥平面1C DE ；所以A 正确；对于B ，可以求得1BC ，AC 所成角为3π，所以B 不正确. 对于C ，转化为求平面11A BC 与平面1111A B C D C 不正确； 对于D ，设正方体棱长为1，1116D ACD B ACD V V --==，D 正确.所以选AD. 11.【解析】对于A ，焦点到准线距离2p =，A 不正确.对于B ，因为C ：24x y =的准线为l ：1y =-，焦点为()0,1F ，设()00,A x y ，则()0,1M x -，()00,21N x y +，所以()()200000,2,240FM FN x x y y x ⋅=-⋅=-+=，所以90MFN ∠=︒，（或由抛物线定义知AM AN AF ==，所以90MFN ∠=︒，）故选项B 正确；对于C ，因为A 处的切线斜率，02AP x k =，而20000012242NF x y x k x x ⋅===，所以AP NF k k =， 从而AP NF ∥，又A 是线段MN 中点，所以，P 是线段MQ 的中点，又90MFN ∠=︒， 所以，PQ PF =，所以C 正确. 对于D ，因为02NFx k =，所以直线FN 的方程为012x y x -=，令1y =-，得04,1Q x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以0000444MQ x x x x -=-=+≥=，当且仅当02x =时，最小值为4，故选项D 正确；综上可知选BCD.12.【解析】对于A ，因为，2222ln1.5ln 4ln 6ln ln1.5ln 41244e+⎛⎫⋅<=<= ⎪⎝⎭，所以，A 正确；对于B ，由切线不等式()ln 11x x x <-≠，得ln1.1 1.110.1<-=，B 不正确 对于C ，由19202019<得19ln 2020ln19<，1920ln19ln 20<，设()ln x f x x=，0x >且1x ≠，()()2ln 10ln x f x x -'==，得x e =，当01x <<和1x e <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当x e >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以1920ln19ln 20<，C 正确. 对于D ，因为24ln 2ln 4=，22242222ln ln ln 422e e e e e e ==⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()24f f =，且2242e e <<<， 所以()222e f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即224ln 4ln 2e <-，D 正确.故选ACD.二、填空题（第13、14、15题每小题5分，第16题第一空2分，第二空3分）.13.【解析】依题意，展开式的中间一项是第4项，334621(2)T C x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其系数为33362(1)160C ⋅⋅-=-.14.【解析】∵21cos 22sin tan sin 22sin cos αααααα-==，∴tan 2α=-， ∵()0,απ∈，sin 5α=，cos 5α=-，∴cos()cos 5παα-=-=. 15.【解析】因为点P 是直线l ：2150x y +-=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =-，所以12POk =，由方程组215012x y y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，6x =，3y = 所以，P ，Q 两点之间的比雪夫距离为6.16.【解析】由已知可证明PA ，AB ，AC 两两垂直且长度均为成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球，设外接球的半径为R ，则11322R AG ===. 设三棱锥外接球球心为1O ，内切球球心为2O ，内切球与平面PBC 的切点为K ，易知：1O ，2O ，K 三点均在AG 上，且AK ⊥平面PBC ，设内切球的半径为r ，由等体积法：()1133ACP ABP ABC BCP ABCS S S Sr S AP +++=⋅，得1r =，将几何体沿截面PAEG切开，得到如下截面图：两圆分别为外接球与内切球的大圆，注意到12AK GK =，6AG =，∴4GK =，∴M ，N 两点间距离的最大值为241)2GK r +=+=.四、解答题（第17题10分，第18-22题每题12分）. 17.（本小题满分10分）（1）证明：在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BA BDBDA BAD∠∠=即，sin sin BA BDABD BAD∠∠=2分因为()sin sin sin BDA BDC BDC ∠π∠∠=-=，所以，sin sin BA BDCBD BAD∠∠=又由已知sin 2sin BDC BAD ∠∠=所以，2BABD= 2BA BD = 4分设BD x =，则2BA x =，在BCD △中，由余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD BCD ∠=+-⋅即222cos x BCD ∠=-在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB BC AC BC AC BCA ∠=+-⋅即2454cos x BCD ∠=- 7分 解得：3cos 4BCA ∠=，sin BCA ∠∴=所以11sin 1222ABCSBC AC BCA =⋅⋅∠=⨯⨯=. 10分 18.（本小题满分12分）解：（1）11311141111n n n nnn na b a a b a a +++--==-- 2分()()313414n n a a -==- 111114b a =-=数列{}n b 为首项为114b =，公比为34等比数列 5分 （2）由（1）可得12311111111n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13144314n⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-314n⎛⎫=- ⎪⎝⎭8分即1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++-=- ⎪⎝⎭∴1231111314nn n a a a a ⎛⎫++++=+- ⎪⎝⎭10分 而314nn ⎛⎫+- ⎪⎝⎭随着n 的增大而增大要使1231111140n a a a a ++++>，即311404nn ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，则140n ≥ ∴n 的最小值为140. 12分 19.（本小题满分12分）解：记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A ，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B则()26210C P A C =，()24210C P AB C =所以，()()()25P AB P B A P A ==∣. 4分 （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3，参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，所以()034631020101206C C P X C ⋅====，()124631060111202C C P X C ⋅====， ()2146310363212010C C P X C ⋅====，()304631041312030C C P X C ⋅====， 所以X 的分布列如下表：所以()23210305E X =+⨯+⨯= 8分（3）记“小小明同学在一轮测试中要想获得“优秀””为事件C ， 则()2332122033327P C C b ===+=， 由题意，小明同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意列式20827n ≥，得545n ≥，因为*n N ∈，所以n 的最小值为11，故至少要进行11轮测试 12分 20.（本小题满分12分） （1）证明：依题意ABCD 矩形，4AB =，2BC =，E 是CD 中点分别在等腰直角三角形ADE 和BCE 求得AE BE ==，又4AB =，所以， 222AE BE AB +=AE BE ⊥ 2分因为，平面BEF ⊥平面ABCD 平面BEF 平面ABCD BE = 所以，AE ⊥平面BEF ，又BF ⊂平面BEF ，所以AE BF ⊥ 5分（2）以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C ，()4,0,0D ，()0,2,0B ，()2,0,0E ， 设N 是BE 的中点，FE FB =有FN BE ⊥， 又平面BEF ⊥平面ABCD .平面BEF平面ABCD BE =FN ∴⊥平面ABCD ，()1,1,2F 8分假设存在满足题意的λ，则由(01)DP DB λλ=<<. 可得，(43,12PF DB DF λλλ=-+=--. 设平面DEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，则00DE DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2030x xy -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令y =0x =，1z =-，即()1=-n 10分∴PF 与平面DEF 所成的角的正弦值sin cos ,||||PF PF PF θ⋅===nn n=解得34λ=（1λ=舍去） .综上，存在34λ=，使得PF 与平面ADE12分21.（本小题满分12分） 解（1）设()00,P x y ∴002AP y k x =+，直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 令6x =，得0086,2y D x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴0000822622BDy x y k x +==-+， 2分 又∵002BPy k x =-，且2200142x y += ∴20002000221224BD BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， ∴PB BD ⊥， 4分（2）当直线PQ 不垂直x 轴时，设直线PQ 方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由方程组2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩得()222124240k xkmx m +++-=()()222Δ(4)412240mk k m =-+⋅->，2242k m +>21212224241212km m x x x x k k --+=⋅=++ 6分由（1）可知，1BD BP k k ⋅=-1212122y yx x ⋅=--- ()121212240x x x x y y ⋅-++⋅+= 又()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ⋅=++=⋅+++，代入上式得：()()()2212121240k x x km x x m +⋅+-+++= 8分即：()()()2222222124401212m k km km m k k -+-⋅-++=++得到223840mmk k ++=23m k =-或2m k =-（舍去），10分 所以直线PQ 方程为23y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭恒过2,03S ⎛⎫⎪⎝⎭，当PQ 垂直x 轴时，同样成立。
高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)5
高三数学试题（文 ）一、选择题1．已知集合{}{}N M x x g y x N x y y M x 则,)2(1,0,22-==>==为 （ ）A ．（1，2）B ．),1(+∞C ．),2[+∞D ．),1[+∞2．若函数b ax x f +=)(的零点为2，那么函数ax bx x g -=2)(的零点是 （ ）A ．0，2B ．0，21C ．0，21-D ．21,2 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，若==84,1S S 则 （ ）A ．17B ．171 C ．5 D ．51 4．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为n m ,，则点),(n m P 在直线4=+y x 上的概率是（ ）A ．31 B ．41 C ．61 D ．121 5．已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如右图，若图中圆的半径为１，等腰三 角形的腰长为5，则该几何体的体积为（ ）A ．32πB ．34π C ．π2D ．π46．已知复数z 满足i izi z 431+=-+⋅（i 是虚数单位）， 则=z （ ） A ．i +3 B ．i -3 C ．i 32-D ．i 34-7．已知O 是ABC ∆内部一点，0=++OC OB OA 2=⋅AC AB ，且,60︒=∠BAC 则OBC ∆的面积为（ ）A ．21 B ．33 C ．23 D ．32 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若01,1211=--+>+-m m m a a a m 且，3912=-m S ，则m 等于（ ）A ．39B ．20C ．19D ．10 9．设函数='=≠+=003),(3)3(),0(31)(x x f f a bx ax x f 则若 （ ）A ．1±B ．2C ．3±D ．21 2 2 3 4 34 7 7 45 11 14 11 56 16 25 25 16 6 … … … … … … …10．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为20102009，则判断框内应填入的条件是 （ ） A ．?2008=i B ．?2009>i C ．?2010>iD ．?2012=i11．过抛物线x y 22=的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（ ） A ．有且只有一条 B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条12．定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且为奇函数，若实数t s ,满足不等式s t s t t f s s f +≤≤--≥-3,41),2()2(22时则当的取值范围是（ ）A ．]10,2[-B ．]16,2[-C ．]10,4[D ． [4，16] 二、填空题13．已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线的方程为x y 2=，则双曲线C 的离心率为 。
高三数学综合训练试题
数学综合训练试题一．选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．设集合}log ,3{2a P =，{}b a Q ,=，若}0{=Q P ，则=Q P （ ）A.{}0,3B.{}2,0,3C.{}1,0,3D.{}2,1,0,32．复数31i i +（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A ．12iB ．12-iC ．12-D ．123．已知p ：20<<x ，q ：11≥x,则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．已知等比数列{}n a 的前n 项和为112,6n n S a -=⋅+则a 的值为（ ）A ．13-B ．13C ．12-D ．125．一个体积为柱的侧(左)视图的面积为（ ）A ． 12B ．8C ．D ．6．将函数)3cos(π-=x y 的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）A.9π=x B. 8π=x C. 2π=x D. π=x7．已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是（ ）A.)+∞B.)+∞C.[3,)+∞D.(3,)+∞ 8．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）． 若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150] 三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人 参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生 中选取的人数应为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AO AC AB 2=+，且||||AC OA =，则向量BA 在向量BC 方向上的射影为（ ）A.B. C.3 D.10．对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为33313355++=，如此 反复操作，则第2011次操作后得到的数是 （ ）A.25B.250C.55D.13311．已知椭圆2214x y +=的焦点为1F ，2F ，在长轴12A A 上任取一点M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ⋅<的点M 的概率为（ ）A．3 BC ．D ．1212．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（ ） A ．γβα<< B ．βγα<< C ．βαγ<< D ．γαβ<<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．经过圆0222=++y x x 的圆心，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是 ． 14．已知(cos 23,cos67)AB =︒︒ ,(2cos68,2cos 22)BC =︒︒，则ABC ∆的面积为 ． 15．用{}b a ,max 表示b a ,两个数中的最大数，设(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛≥=41,max 2x x x x f ，那么由函数()x f y =的图象、x 轴、直线41=x 和直线2=x 所围成的封闭图形的面积是 ． 16．已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，()()x f x f -=+4，且在[]2,0上()x f 是增函数，则下列结论：①若4021<<<x x 且421=+x x ，则()()021>+x f x f ； ②若5,402121=+<<<x x x x 且，则()()21x f x f >；③若方程()[]8,8-=在m x f 内恰有四个不同的解4321,,,x x x x ，则84321±=+++x x x x ．其中正确的命题序号有 ． 三．解答题（共6小题）17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和，122++=n n S n 。
2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题(含解析)
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2024-2025学年四川省成都市高三上学期数学综合测试试题.1. 已知复数112i z =+，则z 的虚部是（ ）A. 2B. 2iC. 2i 5-D. 25-【答案】D 【解析】【分析】应用复数的除法计算化简，再结合复数的虚部的定义判断即可.【详解】因为()()2112i 12i 12i 12i 12i 12i 14i 55z --====-++--，所以z 的虚部为25-.故选：D.2. 一个盒子中装有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球.若从中任取两个球，则恰有一个红球的概率为（ ）A.35B.23C.25D.13【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解.【详解】根据题意，任取两球恰有一个红球的概率为112325C C 63C 105P ===.故选：A.3. 对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，则m 的取值范围为（ ）A. ()1,1-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】分离参数，可得()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对任意的()20,,210x x mx ∞∈+-+>恒成立，即对任意的()110,,2x m x x ∞⎛⎫∈+<+ ⎪⎝⎭恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，故1m <，故m 的取值范围为(),1∞-.故选：B4. 已知tan 2α=，则1cos2sin2αα+=（ ）A. 3B.13C. 2D.12【答案】D 【解析】【分析】应用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式计算再结合同角三角函数关系求解.【详解】21cos22cos 11sin22sin cos tan 2αααααα+===.故选：D.5. 设,a b ∈R ，则使a b >成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 33a b > B. ()lg 0a b ->C. 22a b > D. a b>【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件及必要条件定义结合不等式的性质判定各个选项即可.【详解】对于A ，33a b a b >⇔>，故33a b >是a b >的充要条件；对于B ，由()lg 0a b ->得1a b >+，能推出a b >，反之不成立，所以()lg 0a b ->是a b >的充分不必要条件；对于C ，由22a b >无法得到,a b 之间的大小关系，反之也是，所以22a b >是a b >的既不充分也不必要条件；对于D ，由a b >不能推出a b >，反之则成立，所以a b >是a b >的必要不充分条件．故选：B ．6. 定义在(0,)+∞上函数()f x 的导函数为()f x '，若()()0xf x f x '-<，且(3)0f =，则不等式(2)()0x f x -<的解集为（ ）A. (0,2)(2,3)⋃B. (0,2)(3,)+∞C. (0,2)(2,)⋃+∞D. (0,3)(3,)+∞ 【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件构造函数()()f x g x x=，利用导数确定单调性，结合(3)0f =求解不等式即得.【详解】依题意，令()()f x g x x =，求导得2()()()0'-'=<xf x f x g x x，则()g x 在(0,)+∞上单调递减，由(3)0f =，得(3)0g =，不等式(2)0(2)0(2)0()()()f x f x x g x x xx -<⇔-⋅<⇔-<，则20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即203x x <⎧⎨<<⎩或23x x >⎧⎨>⎩，解得02x <<或3x >，所以不等式(2)()0x f x -<解集为(0,2)(3,)+∞ .故选：B7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，O 为坐标原点，若在C 的右支上存在关于x轴对称的两点,P Q ，使得1PF Q △为正三角形，且1OQ F P ⊥，则C 的离心率为（ ）A.B. 1C.D. 1+【答案】D 【解析】【分析】根据条件，利用几何关系得到12π2F PF ∠=，又21π6F F P ∠=，得到21,PF c PF ==，再结2c a -=，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为2(0)c c >，右焦点为2F ，直线OQ 交1F P 于点M ，连接2PF ，因为1PF Q △为正三角形，1OQ F P ⊥，所以M 为1F P 的中点，所以2//OM F P ，的的故12π2F PF ∠=，易知21π6F F P ∠=，所以21,PF c PF ==，由双曲线的定义知122PF PF a -=，2c a -=，得1c e a ===+故选：D ．8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =，2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】取AC 的中点O ，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立空间坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】解：取AC 的中点O ，则,BO AC BO ⊥=，以OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，O 与11A C 中点连线所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，所以()()10,1,0,,0,1,0A B C -，所以()1,0,2,0AB CA ==-，所以CA 在1AB上的投影的长度为11||||CA AB AB ⋅==，故点C 到直线1AB的距离为d ===故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9. 对于函数()ln 1f x x =-，则下列判断正确的是（ ）A. 直线22exy =是()f x 过原点一条切线B. ()f x 关于y x =对称的函数是1e x y +=C. 过一点(),a b 可以有3条直线与()f x 相切D. ()2f x x ≤-【答案】ABD 【解析】【分析】由导数的几何意义可判定A ，由反函数的概念可判定B ，利用对数函数的图像可判定C ，利用常用的切线放缩可判定D.【详解】对于A ，设切点(),ln 1m m -，则()1ln 100m k f m m m --=='=-，∴1ln 1m m m-=⋅，∴ln 2m =，∴2e m =，切点()2e ,1所以过原点的切线方程为222e 1e ex xy y --=⇒=，∴A正确；的对于B ，由反函数的概念可得111ln ee y x y x x y +++=⇒=⇒=，故与()f x 关于y x =对称的函数为1e x y +=，∴B 正确；对于C ，当点(),a b 在()f x 上方，如下图所示，结合图象可知，最多有两条切线，如果在()f x 下方，没有切线，在曲线上，只有一条切线C 正错误；对于D ，由于x +∀∈R ，设()()1ln 1x g x x x g x x'-=--⇒=，令()01g x x >'⇒>，令()001g x x <⇒<<'，∴()g x 在(1,+∞)上单调递增，在()01，上单调递减；∴()()()10ln 12g x g x x f x x ≥=⇒≤-⇒≤-，∴D 正确．故选：ABD10. 等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ）A. 若374a a +=，则918S =B. 若125a a +=，349a a +=，则7817a a +=C. 若150S >，250S <，则2219a a <D. 若910S S =，则110S >【答案】ABD 【解析】【分析】利用等差数列的性质，对于A ，()()193799922a a a a S ++==，计算即可；对于B ，由已知计算数列公差，再求值即可；对于C ，结合数列单调性比大小；对于D ，由10a >，100a =，得()111116111102a a S a +==>.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，设公差为d ，若374a a +=，则()()19379991822a a a a S ++===，A 正确；若125a a +=，349a a +=，则()()3412954a a a a d +-+=-=，得1d =，27811251217a a a d a ++===++，B 正确；若()115158151502a a S a +==>，()1252513252502a a S a +==<，所以公差0d <，当90a >时，有190a a >>，则有2219a a >，当90a <时，有79820a a a +=>，得790a a >->，所以1790a a a >->>，则有2219a a >，C 错误；若910S S =，则100a =，因为10a >，所以()111116111102a a S a +==>，D 正确．故选：ABD ．11. 设定义在R 上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '.若()()42f x g x --=，()()2g x f x ''=-，且()2f x +为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点()2,0对称B. ()()352g g +=-C.20241()2024k g k ==-∑D.20241()0k f k ==∑【答案】AD 【解析】【分析】根据给定条件，结合奇函数性质，借助赋值法探讨对称性、周期性，再逐项分析判断即得.【详解】对于A ，由(2)f x +为奇函数，得(2)(2)f x f x -+=-+，即(2)(2)0f x f x -++=，因此函数()f x 的图象关于点(2,0)对称，A 正确；由()(2)g x f x ''=-，得()(2)g x f x a =-+，则(4)(2)g x f x a -=-+，又()(4)2f x g x --=，于是()(2)2f x f x a =-++，令1x =，得2a =-，即()(2)f x f x =-，则(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 是周期函数，周期为4，对于B ，由()(2)2g x f x =--，得(3)(5)(1)2(3)24g g f f +=-+-=-，B 错误；对于C ，显然函数()g x 是周期为4的周期函数，(1)(3)(3)(5)4g g g g +=+=-，(2)(4)(0)2(2)24g g f f +=-+-=-，则2024411()506()506(8)4048k k g k g k ====⨯-=-∑∑，C 错误；对于D ，(1)(3)0f f +=，(2)(4)0f f +=，则2024411()506()0k k f k f k ====∑∑，D 正确.故选：AD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.12. 在5ax ⎛ ⎝展开式中2x 的系数为270-，则a 的值为__________.【答案】3-【解析】【分析】根据二项式定理可得展开式的通项为()35255C 1r rrrxa--⋅-，令3522r -=，求得r 代入运算即可.【详解】因为展开式的通项为()()3552555C C ,0,1,2,3,,145rr r r rrrax x r a ---⎛⋅= ⎝=-，令3522r -=，解得2r =，因为2x 的系数为()5323211C 2700a a -=-=，解得3a =-.故答案为：3-.13. 函数2()ln 2f x x ax =+-在[1,2]内存在单调递增区间，则a 的取值范围是______.【答案】1(,)2-+∞【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 的导数()f x '，再利用()0f x '>在(1,2)内有解即可.【详解】函数2()ln 2f x x ax =+-，求导得1()2f x ax x'=+，由函数()f x 在[1,2]内存在单调递增区间，得不等式()0f x '>在(1,2)内有解，不等式21()02f x a x'>->⇔，而函数212y x =-在(1,2)上单调递增，当(1,2)x ∈时，21122x ->-，因此12a >-，所以a 的取值范围是1(,)2-+∞.故答案为：1(,)2-+∞14. 双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数1y x=的图象是双曲线，它的实轴在直线y x =上，虚轴在直线y x =-上，实轴顶点是()()1,1,1,1--，焦点坐标是，(，已知函数y x =+e .则其在一象限内的焦点横坐标是__________，其离心率2e =__________.【答案】 ①.②.43【解析】【分析】根据材料得到双曲线的轴和顶点的定义，根据双曲线的离心率和其渐近线的斜率之间的关系求双曲线的离心率，利用双曲线的离心率的定义求双曲线的焦点坐标.【详解】直线y x =和y 轴是双曲线的两条渐近线，由阅读材料可知，双曲线的焦点所在的对称轴是直线y =，由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得2y x x y ⎧⎫=+⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，解得：1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩(，若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线y x =，则双曲线的离心率e ==243e =，设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为()00,x y ，则01x =，所以0x =，所以002y ==，所以双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为2⎫⎪⎪⎭，.43.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤15. 根据统计， 某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量 y (百千克)与某种液体肥料每亩的使用量x (千克)之间 的对应数据的散点图如图所示．（1）从散点图可以看出， 可用线性回归方程拟合 y 与x 的关系， 请计算样本相关系数r 并判断它们的相关程度；（2）求 y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+， 并预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量．附：()()()121ˆˆˆnn i i i n i i x x y y x x y y r b ay bx x x ==----===--∑∑，．【答案】（1）r = ； y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强． （2） 1.50.7y x =+； 9.9 百千克．【解析】【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，再由0.75r >即可求解；（2）求出线性回归方程，再取12x =代入，即可求解.【小问1详解】由题知： 24568345675555x y ++++++++====，所以()()()()55522111142010i i i i i i i x x y y x x y y ===--=-=-=∑∑∑，，所以50.75x x y y r --===>所以 y 与x 程正线性相关， 且相关程度很强．小问2详解】因为 ()()()51521140.70ˆ2i ii i i x x y y b x x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx =-=-⨯=，所以 y 关于x 的线性回归方程为 1.507ˆ.yx =+，当 12x =时， 1.50.712ˆ9.9y=+⨯=．所以预测液体肥料每亩的使用量为 12 千克时西红柿亩产量的增加量为 9.9 百千克．16. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且223n S n n =+，数列{b n }满足24log 1n n a b =+.（1）求,n n a b ；（2）设n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【【答案】（1）41,2n n n a n b =+=（2）()16432n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系，再结合24log 1n n a b =+即可求解；（2）由错位相减法即可求解.【小问1详解】由223n S n n =+，当2n ≥时，()221232(1)3141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦.当1n =时，115a S ==，也适合41n a n =+.综上可得，41n a n =+.由24log 141n n a b n =+=+，所以2n n b =.【小问2详解】由（1）知()412nn n a b n =+⋅()125292412nn T n =⨯+⨯+++ ()()23125292432412n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ①①-②得()21104242412n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅ ②()()()111412104412643212n n n n T n n -++--=+⨯-+⋅=---⋅-，所以()16432n n T n +=+-⋅.17. 在三棱柱111ABC A B C -中，平面11AA C C ⊥平面ABC ，11AA A C =，2AC =，AC BC ⊥，11AA AC ⊥.（1）证明：1BB ⊥平面1A BC ；（2）若异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，求BC .【答案】（1）证明过程见解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到BC ⊥1AA ，结合11AA A C ⊥得到1AA ⊥平面1A BC ，再由平行关系得到证明；（2）作出辅助线，证明出1A P ⊥平面ABC ，建立空间直角坐标系，设BC m =，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出m =，得到答案.【小问1详解】因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，AC BC ⊥，⊂BC 平面ABC ，所以BC ⊥平面11AAC C ，因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥1AA ，因为11AA A C ⊥，1A C BC C = ，1,AC BC ⊂平面1ABC ，所以1AA ⊥平面1A BC ，又1//BB 1AA ，所以1BB ⊥平面1A BC ；【小问2详解】取AC 的中点P ，连接1PA ，因为11AA A C =，所以1A P ⊥AC ，因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，交线为AC ，1A P ⊂平面11AAC C ，所以1A P ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接PH ，则//PH BC ，因为AC BC ⊥，所以PH ⊥AC ，故以P 为坐标原点，1,,PH PC PA 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为2AC =，所以1112A P AC ==，故()()()101,0,0,1,0,0,0,1A C A -，设BC m =，则(),1,0B m ，设()1,,B s t h ，由11AA BB = 得()()0,1,1,1,s m t h =--，解得,2,1s m t h ===，故()1,2,1B m ，()()11,3,1,0,1,1AB m CA ==- ，因为异面直线11,AB CA 所成角的余弦值为13，所以11cos ,3AB =，解得m =，故BC =18. 已知抛物线Γ：24y x =，在Γ上有一点A 位于第一象限，设A 的纵坐标为(0)a a >．（1）若A 到抛物线Γ准线的距离为3，求a 的值；（2）当4a =时，若x 轴上存在一点B ，使AB 的中点在抛物线Γ上，求O 到直线AB 的距离；（3）直线l ：3x =-，抛物线上有一异于点A 的动点P ，P 在直线l 上的投影为点H ，直线AP 与直线l 的交点为.Q 若在P的位置变化过程中，4HQ >恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）a =（2（3）(]0,2【解析】【分析】（1）先求出点A 的横坐标，代入抛物线方程即可求解；（2）先通过中点在抛物线上求出点B 的坐标，进一步求出直线AB 方程，利用点到直线距离公式求解即可；（3）设22(,),(,),(3,)(0)44t a P t Aa H t t a -≠>，联立方程求出点Q 的坐标，根据4HQ >恒成立，结合基本不等式即可求解.【小问1详解】抛物线Γ：24y x =的准线为1x =-，由于A 到抛物线Γ准线的距离为3，则点A 的横坐标为2，则2428(0)a a =⨯=>，解得a =【小问2详解】当4a =时，点A 的横坐标为2444=，则()4,4A ，设(),0B b ，则AB 的中点为4,22b +⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可得24242b +=⨯，解得2b =-，所以B (−2,0)，则402423AB k -==+，由点斜式可得，直线AB 的方程为()223y x =+，即2340x y -+=，所以原点O 到直线AB =；【小问3详解】如图，设()22,,,,3,(0)44t a P t A a H t t a ⎛⎫⎛⎫-≠> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22444AP t a k t a t a -==+-，故直线AP 的方程为244a y a x t a ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，令3x =-，可得2434a y a t a ⎛⎫=-+⋅ ⎪+⎝⎭，即243,34a Q a t a ⎛⎫⎛⎫--+⋅ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则2434a HQ t a t a ⎛⎫=-++⋅ ⎪+⎝⎭，依题意，24344a t a t a⎛⎫-++⋅> ⎪+⎝⎭恒成立，又2432204a t a a a t a⎛⎫+++⋅-≥-> ⎪+⎝⎭，则最小值为24a ->，即2a >+2a >+，则221244a a a +>++，解得02a <<，又当2a =时，1624442t t ++-≥-=+，当且仅当2t =时等号成立，而a t ≠，即当2a =时，也符合题意．故实数a 的取值范围为(]0,2．19. 已知函数22()ln(1),(1,)2x f x x x x ax=+-∈-+∞++.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处切线的方程；（2）当0a =时，试判断()f x 零点的个数，并说明理由；（3）是否存在实数a ，使(0)f 是()f x 的极大值，若存在，求出a 的取值集合；若不存在，请说明理由.【答案】（1）388ln270x y -+-=；（2）1个，理由见解析；（3）存在，1{}6a ∈-.【解析】【分析】（1）把1a =代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）把0a =代入，利用导数探讨函数的单调性即可得解.（3）利用连续函数极大值意义求出a 值，再验证即可得解.【小问1详解】当1a =时，22()ln(1)2x f x x x x =+-++，求导得222142()1(2)x f x x x x -=-+++'，则3(1)8f '=，而1(1)ln22f =-，于是切线方程是13ln2)(1)(28x y -=--，所以曲线()y f x =在1x =处切线的方程388ln270x y -+-=.【小问2详解】当0a =时，24()ln(1)ln(1)222x f x x x x x=+-=++-++，的求导得22214()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=≥++++，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =，所以函数()f x 有且仅有一个零点，是0.【小问3详解】由(0)f 是()f x 的极大值，得0,0m n ∃<>，使得当(,)x m n ∈时，220x ax ++>且()(0)f x f ≤恒成立，求导得22222(461)()(1)(2)x a x ax a f x x ax x '+++=+++，因此0x =是22()461h x a x ax a =+++的变号零点，即(0)0h =，解得16a =-，经检验，当16a =-时，322(24)()(1)(612)x x f x x x x -=+--'，则当(1,0)x ∈-时()0f x '>，当(0,24)x ∈时()0f x '<，于是(0)f 是()f x 的极大值，符合条件，所以a 的取值集合为1{}6-.【点睛】结论点睛：函数()y f x =是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。
高三数学试题及解析答案
高三数学试题及解析答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)解析：奇函数满足f(-x) = -f(x)的性质。
选项A是偶函数，选项B是偶函数，选项D是偶函数，只有选项C满足奇函数的定义。
因此，正确答案是C。
2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第5项a5的值。
解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
将已知条件代入公式，得到a5 = 2 + (5-1)×3 = 2 + 12 = 14。
3. 计算下列积分：∫(3x^2 - 2x + 1)dx解析：根据积分的基本公式，我们可以计算出：∫(3x^2 - 2x + 1)dx = x^3 - x^2 + x + C4. 已知圆的方程为(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25，求圆心坐标和半径。
解析：圆的标准方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。
根据题目给出的方程，圆心坐标为(3, 4)，半径为5。
二、填空题（每题4分，共12分）1. 若sinθ = 3/5，且θ为锐角，求cosθ的值。
答案：根据勾股定理，cosθ = √(1 - sin²θ) = √(1 -(3/5)²) = 4/5。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4，求f(2)的值。
答案：将x=2代入函数f(x)，得到f(2) = 2³ - 2×2² + 3×2- 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2。
3. 求方程2x + 5 = 7x - 3的解。
答案：将方程化简，得到5x = 8，解得x = 8/5。
三、解答题（每题18分，共54分）1. 解不等式：|x - 3| < 2。
2024届陕西省城固县第一中学高三第一次综合检测试题数学试题
2024届陕西省城固县第一中学高三第一次综合检测试题数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 2．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（ ） A ．方差B ．中位数C ．众数D ．平均数3．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ） A ．45B ．105C ．150D ．2104．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．235．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）A ．1624B ．1024C ．1198D ．15606．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．267．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．48．正方体1111ABCD A B C D -，()1,2,,12i P i =是棱的中点，在任意两个中点的连线中，与平面11A C B 平行的直线有几条（ ）A ．36B ．21C ．12D ．69．已知函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．264- B ．264+ C ．624- D ．622+ 10．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．11．若()*13n x n N x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项，且n 的最小值为a ，则22aaa x dx --=⎰（ ）A ．36πB ．812πC ．252πD ．25π12．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学综合试题
高三数学综合试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1．集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，映射f ：A →B 使得B 中有且只有一个元素。
在A 中的原象为2个，这样的映射f 的个数为 （ ）A ．3B ．5C ．6D ．82．已知 EMBED Equation.3的值为 （ ）A ． EMBED Equation.3B ． EMBED Equation.3C ．EMBED Equation.3 D ． EMBED Equation.33．下列判断错误的是 （ ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若⌝p 则⌝q ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“ EMBED Equation.3 ”为真（其中 EMBED Equation.3 为空集）4．若实数a 、b 满足ab<0，则有 （ ）A ．|a －b|<|a|－|b|B ．|a －b|<|a|+|b|C ．|a+b|>|a －b|D ．|a+b|<|a －b|5．若 EMBED Equation.3 的展开式第二项的值大于1000，则实数x 的取值范围为（ ）A ．x <－10或x >10B ． EMBED Equation.3C ． EMBED Equation.3D ．x >106．图中阴影部分可用哪一组二元一次不等式表示（ ） A ． EMBED Equation.3B ． EMBED Equation.3C ． EMBED Equation.3D ． EMBED Equation.37．生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级.在H 1→H 2→H 3这个生物链中，若能使H 3获得10kj 的能量，则需H 1提供的能量为 （ ）A ．105kjB ．104kjC ．103kjD ．102kj8．函数y=x 3－3x 在[－1，2]上的最小值为 （ ）A ．2B ．－2C ．0D ．－49．给定两个向量 EMBED Equation.3 ，则x 的等于 （ ）A ．－3B ． EMBED Equation.3C ．3D ．－EMBED Equation.310．若某等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 16为一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是 （ ） O 2 x y -1 -1EMBED PBrush A ．S 17 B ．S 15 C ．S 8 D ．S 711．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点（2，0）与点（－2，4）重合，若点（7，3）与点（m ,n ）重合，则m+n 的值为 （ ）A ．4B ．－4C ．10D ．－1012．方程 EMBED Equation.3 所表示的曲线图形是 （ ）二、填空题：本大题共4小题，共16分，把答案填在题中横线上. 13．某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了 人.14．已知 EMBED Equation.3 .15．在一个水平放置的底面半径为 EMBED Equation.3 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入下个半径为R 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R ，则R= .16．设函数 EMBED Equation.3，则方程 EMBED Equation.3 的解为 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分） 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求⑴“摸出2个或3个白球”事件发生的概率. ⑵“至少摸出一个黑球”事件发生的概率.18．（本小题满分12分）如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1= EMBED Equation.3AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N.⑴求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1；⑵求二面角B —A 1N —B 1的正切值.19．（本小题满分12分）已知函数 EMBED Equation.3⑴将f (x )写成 EMBED Equation.3 的形式，并求其图象对称中心的横坐标；⑵如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足b 2=ac ，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域.20．（本小题满分12分）设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n+1－a n }（n∈N*）是等差数理，数列{b n －2}(n ∈N*)是等比数列.⑴求数列{a n }和{b n }的通项公式；⑵是否存在k ∈N*，使a k －b k ∈（0， EMBED Equation.3）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由.O 1 x y A O 1 x y C O 1 x y D O 1 x y B 222本小题满分12分）已知椭圆 EMBED Equation.3的一条准线方程是 EMBEDEquation.3 其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线 EMBED Equation.3的一条渐近线方程为3x －5y=0.⑴求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；⑵在第一象限内取双曲线C 2上一点P ，连结AP 交椭圆C 1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C 1于点N ，若 EMBED Equation.3 。
高三数学高中数学综合库试题
高三数学高中数学综合库试题1.（本小题满分15分）已知函数的图像过点，且在该点的切线方程为.（Ⅰ）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数恰好有一个零点，求实数的取值范围.【答案】解：（1）由…1分所以…………………………3分在上恒成立即……………………………………………………5分（2）和恰好有一个交点①时在区间单调递减，在上单调递增，极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴上方，并且无限接近于轴）所以或………………………8分②当时：(ⅰ)当，即时，在区间单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）当即时，或当时，即时，或……………………………………11分(ⅱ)当时，即时在区间单调递增，在上单调递减，极小值为，极大值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）或………………………13分（ⅲ）时，即时，在R上单调增（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）此时………………………15分【解析】略2.已知各项都不相等的等差数列的前6项和为60，且为和的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，且，求数列的前项和【答案】（1）设等差数列的公差为()，则解得…………………4分∴．………………6分（Ⅱ）由，∴，．∴．…………………8分∴………………10分【解析】略3.图2是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略4.方程的根所在区间为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】略5.已知关于的不等式的解集为,则（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】略6.在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点，若满足其中且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略7..设椭圆C：的左焦点为，上顶点为，过点作垂直于直线交椭圆于另外一点,交轴正半轴于点，且⑴求椭圆的离心率；（6分）⑵若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程. （6分）【答案】解：⑴设Q（，0），由F（，0）（0，）知设，得因为点P在椭圆上，所以整理得，即2()=3，,故椭圆的离心率=⑵由⑴知，于是F（－，0）， Q△AQF的外接圆圆心为（0），半径r=|FQ|=所以，解得=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为【解析】略8.若正四棱柱的对角线与底面所成的角的余弦值为，且底面边长为2，则高为()A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】略9.满足线性约束条件的目标函数的最大值是（）A．1.B．.C．2.D．3.【答案】C【解析】略10.（本小题满分12分）已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．（1）求的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．【答案】，【解析】解：（1）．因为为偶函数，所以对，恒成立，因此．即，整理得．因为，且，所以．又因为，故．所以．由题意得，所以．故．因此．……………………………6分（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，所以．当（），即（）时，单调递减，因此的单调递减区间为（）．………………………12分11.设数列｛an ｝的前n项和为Sn，（I）求证: 数列｛an｝是等差数列;（II）设数列的前n项和为Tn ，求Tn．【答案】Tn【解析】解：（I）由得即是以1为首项，4为公差的等差数列…………6分（II）…………12分12.函数的反函数为________________.【答案】【解析】略13.(本小题满分10分)已知奇函数f(x)＝(1)求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围.【答案】－3≤a<－1或1<a≤3【解析】17.解：(1)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－(x)2＋2(－x)＝－x2－2x1分又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－x2－2x，∴f(x)＝x2＋2x，∴m＝2，y＝f(x)的图象如右所示4分(2)由(1)知f(x)＝，由图象可知，f(x)在[－1,1]上单调递增，要使地f(x)在[－1，|a|－2]上单调递增，只需8分解之得－3≤a<－1或1<a≤3···········10分14.向的区域内投一石子，则石子落在区域内的概率是．【答案】【解析】略15.函数的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】略16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：（Ⅰ）打满3局比赛还未停止的概率；（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E。
(完整版)高三数学综合测试题试题以及答案
高三数学综合测试题一、选择题1、设集合{}U =1,2,3,4，{}25M =x U x x+p =0∈-，若{}2,3U C M =，则实数p 的值 为( B )A ．4-B ． 4C ．6-D ．6 2． 条件,1,1:>>y x p 条件1,2:>>+xy y x q ，则条件p 是条件q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件}2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D3. 设函数()1xf x e =-的图象与x 轴相交于点P, 则曲线在点P 的切线方程为( C ) （A ）1+-=x y （B ）1+=x y （C ）x y -= （D ）x y = 4．设a =120.6，b =120.7，c =lg0.7，则 ( C )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c 5．函数f (x )=e x -x -2的零点所在的区间为 ( C )A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)6、设函数1()7,02(),0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，若()1f a <，则实数a 的取值范围是（ C ）A 、(,3)-∞-B 、(1,)+∞C 、(3,1)-D 、(,3)(1,)-∞-+∞U 7．已知对数函数()log a f x x =是增函数,则函数(||1)f x +的图象大致是( D )8．函数y ＝log a (x ＋1)＋x 2－2(0＜a ＜1)的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．无法确定解析：选C.令log a (x ＋1)＋x 2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y 1＝log a (x ＋1)与y 2＝－x 2＋2的交点个数9．若函数f (x )=-x 3+bx 在区间(0，1)上单调递增，且方程f (x )=0的根都在区间[-2，2]上，则实数b 的取值范围为 ( D )A ．[0，4]B ．[)3+∞，C ．[2，4]D ．[3，4]10．已知定义在R 上的奇函数f (x )是(]0，∞-上的增函数，且f (1)= 2，f (-2)=-4，设P ={x |f (x +t )-4<0}，Q ={x |f (x )<-2}．若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是（ B ）A ．t ≤-1B ．t >3C ．t ≥3D ． t >-1二、填空题11．命题“若12<x ，则11<<-x ”的逆否命题为________________ 12．已知偶函数f (x )=242n n x -(n ∈Z )在(0，+∞)上是增函数，则n = 2 ．13、已知函数32()(6)1f x x mx m x =++++既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是__、6m >或3m <-_____________14．若不等式1一log )10(x a a -＜0有解，则实数a 的范围是 ； 15．已知函数)(x f 定义域为[-1, 5], 部分对应值如表)(x f 的导函数)(x f '的图象如图所示, 下列关于函数)(x f 的命题① 函数)(x f 的值域为[1,2]; ② 函数)(x f 在[0,2]上是减函数; ③ 如果当],1[t x -∈时, )(x f 的最大值是2, 那么t 的最大值为4; ④ 当21<<a 时, 函数a x f y -=)(有4个零点. 其中真命题是 ② (只须填上序号).三、解答题16．已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题，（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围． 答案:(1) 124M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭(2) 94a >或 14a <-17．（本题满分12分）已知二次函数y = f (x )的图象过点(1，-4)，且不等式f (x )<0的解集是(0，5)．（Ⅰ）求函数f (x )的解析式；（Ⅱ）设g (x )=x 3-(4k -10)x +5，若函数h (x )=2f (x )+g (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y =h (x )在[-3，1]上的最大值和最小值．17．解：（Ⅰ）由已知y = f (x )是二次函数，且f (x )<0的解集是(0，5)， 可得f (x )=0的两根为0，5， 于是设二次函数f (x )=ax (x -5)，代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a =1，∴ f (x )=x (x -5)． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）h (x )=2f (x )+g (x )=2x (x -5)+x 3-(4k -10)x +5=x 3+2x 2-4kx +5， 于是2()344h x x x k '=+-，∵ h (x )在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减， ∴ x =-2是h (x )的极大值点，∴ 2(2)3(2)4(2)40h k '-=⨯-+⨯--=，解得k=1． …………………………6分 ∴ h (x )=x 3+2x 2-4x +5，进而得2()344h x x x '=+-． 令22()3443(2)()03h x x x x x '=+-=+-=，得12223x x =-=，． 由下表：可知：h (-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h (1)=13+2×12 -4×1+5=4， h (-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h (23)=(23)3+2×(23)2-4×23+5=9527， ∴ h (x )的最大值为13，最小值为9527．……………………………………12分 18、（本题满分12分） 已知函数),(log )(1011≠>-+=a a x x x f a（1）求)(x f 的定义域，判断)(x f 的奇偶性并证明；（2）对于],[42∈x ，)()(log )(x x mx f a -->712恒成立，求m 的取值范围。
2024学年山东省烟台第二中学高三数学试题综合练习(四)含附加题
2024学年山东省烟台第二中学高三数学试题综合练习（四）含附加题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3-B ．6-C ．4D ．92．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别是()()12,0,,0,F c F c -直线2bc y a =与双曲线C 的两条渐近线分别相交于,A B 两点.若12,3BF F π∠=则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．423CD 4．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点A 在抛物线上，且5AF =，过点F 的动直线l 与抛物线,B C 交于两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与x 轴的交点为M .给出下列四个命题： ①在抛物线上满足条件的点A 仅有一个；②若P 是抛物线准线上一动点，则PA PO +的最小值为 ③无论过点F 的直线l 在什么位置，总有OMB OMC ∠=∠；④若点C 在抛物线准线上的射影为D ，则三点B O D 、、在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 6．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 7．35(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m nx y 的系数之和为（ ）A ．640B ．416C ．406D ．236-8．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.369．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．C ．6D ．10．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，31log2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>11．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．3012．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则AB =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤D ．{}21x x -≤<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学综合测试题(含答案)
高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。
河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第一次综合素养测评数学试题
河北省衡水中学2024-2025学年高三上学期第一次综合素养测评数学试题一、单选题1．已知不等式2230x x --<的解集为A ，不等式302x x +<-的解集为B ，则A B ⋂为（ ） A ．[]3,3-B ．()3,3-C ．[]1,2-D ．()1,2-2．已知1,9a b a b ==⋅=-r r r r ，则向量a r与b r 的夹角为（ ）A ．2π3B ．5π6 C ．π3D ．π63．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角30MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒，从C 点测得60MCA ∠=︒，已知山高100m BC =，则山高MN =（ ）A ．120mB ．150m C． D ．160m4．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，若342n n S n T n +=+，则378210a a ab b ++=+（ ） A ．11113B ．3713C ．11126D ．37265．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且线段1PF 的中点N 在另一条渐近线上．若213cos 5PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．53B ．54C ．2 D6．点(2,1)P --到直线:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A3250x y +-=B3250x y +-=C2310x y -+= D2310x y -+=7．已知函数()f x 的定义域为()3,3-，且()32lg ,303332lg ,0333xx x x f x x x x x -⎧+-<<⎪⎪+-=⎨+⎪-≤<⎪-+⎩若3[(2)]20f x x -+>，则x 的取值范围为（ ）A ．(3,2)-B ．(3,0)(0,1)(1,2)-⋃⋃C ．(1,3)-D ．(1,0)(0,2)(2,3)-⋃⋃8．已知1ln x ax x x-≥+对0x ∀>恒成立，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．1eC ．eD ．1二、多选题9．若数列{}n a 为递增数列，则{}n a 的通项公式可以为（ ） A ．1n n a n =+ B ．21n a n =- C ．23n a n n =-D ．2n n a =10．函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图中实线所示，C 为函数()f x 与x 轴的交点，圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则（ ）A ．2ω= BC ．函数()f x 的图象关于点4π,03⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．函数()f x 在2021π2023π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增11．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，点P 在椭圆C 上，若1212,PF PF F PF ⊥V 的面积等于4.则下列结论正确的是（ ）A ．若点P 是椭圆的短轴顶点，则椭圆C 的标准方程为22184x y +=B ．若P 是动点，则b 的值恒为2C ．若P 是动点，则椭圆的离心率的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．若P 是动点，则12PF PF +的取值范围是)⎡+∞⎣三、填空题12．已知α是第四象限角，且2sin 23α=-，则cos sin αα-=.13．已知()2cos f x x x =+，若34e af -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 按从小到大排列为：.14．定义：对于函数()f x 和数列{}n x ，若()()()10n n n n x x f x f x +'-+=，则称数列{}n x 具有“()f x 函数性质”.已知二次函数()f x 图象的最低点为()0,4-，且()()121f x f x x +=++，若数列{}n x 具有“()f x 函数性质”，且首项为1的数列{}n a 满足()()ln 2ln 2n n n a x x =+--，记{}n a 的前n 项和为n S ，则数列52n n S ⎧⎫⎛⎫⋅-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭的最小值为.四、解答题15．已知数列{}n a 为递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且3214,4S a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记m b 为数列{}n a 在区间2(2,2]()m m m N ∈*中的所有项的和，求数列{}m b 的前m 项和m T .16．已知函数()()22log log 1442x x f x x =⋅≤≤，()44221x x x xg x a a --=+-⋅-⋅+.(1)求函数()f x 的最大值；(2)设不等式()0f x ≤的解集为A ，若对任意1x A ∈，存在[]20,1x ∈，使得()12x g x =，求实数a 的值.17．如图，抛物线2:2(0),(2,1)Γy px p M =>是抛物线内一点，过点M 作两条斜率存在且互相垂直的动直线12,l l ，设1l 与抛物线Γ相交于点2,,A B l 与抛物线Γ相交于点C ，D ，当M 恰好为线段AB 的中点时，||AB =(1)求抛物线Γ的方程；(2)求AC DB ⋅u u u r u u u r的最小值． 18．已知函数()ln f x x x a =-+.(1)若直线()e 1y x =-与函数()f x 的图象相切，求实数a 的值；(2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ，且12x x <，证明：12121ln x x x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭.（e 为自然对数的底数）19．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：①当ABC V 的三个内角均小于120o 时，满足120AOB BOC COA ∠=∠=∠=o 的点O 为费马点； ②当ABC V 有一个内角大于或等于120o 时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题：已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，点M 为ABC V 的费马点，且cos2cos2cos21A B C +-=. (1)求C ；(2)若4c =，求MA MB MB MC MC MA ⋅+⋅+⋅的最大值； (3)若MA MB t MC +=，求实数t 的最小值.。
高 三 数 学 综 合 模 拟 测 试 题(附答案)3
高三文科数学综合测试题一、选择题1. 与集合{}1,3x x x ∈>≤N 且相等的集合是（ ）A. {}2B. {}123，，C. {}3,2x x x ==或D.{}3,2x x x ==且2. 若四边形ABCD 满足：AB DC = ，且||||AB AD =，则四边形ABCD 的形状是（ ）A.矩形B.正方形C. 等腰梯形D.菱形3. 设221()1x f x x +=-，则11()()(2)(3)23f f f f +++=（ ） A.3512 B.3512- C. 1 D.0 4. 球的内接正方体的体积与球体积之比是A ．2∶πB ．2C ．1∶2πD ．4∶3π5. 若,x y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是 （ ）A.3-B.32C.2D.36. 函数(1)||xxa y a x =>的图象的大致形状是（ ）7. 设:431p x -≤，()()2:2110q x a x a a -+++≤.若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[0,]2B.1(0,)2C.(,0]-∞∪1[,)2+∞D.(,0)-∞∪1(,)2+∞ 8. 若函数()2cos 2y x ϕ=+是奇函数，且在(0,)4π上是增函数，则实数ϕ可能是（ ）A.2π-B.0C.2πD.π 9. 数列{}n a 中,114a =-,111(2)n n a n a -=-≥,则2008a =（ ） A.2008 B.14-C.45D.5 10.下列说法中正确的是（ ）①命题：“a 、b 都是奇数，则a +b 是偶数”的逆否命题是“a +b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数”；②若等式()sin sin sin αβαβ+=+对任意角β都成立，则角α可以是2π； ③若a <0，10b -<<，则ab >a >ab 2；④椭圆2212516x y +=上一点P 到左焦点的距离等于3，则P 到右准线的距离是5.A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题(本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．)11.平行四边形两条邻边的长分别是4π，则平行四边形中较长的对角线的长是12. 数列{}n a 中，()321n n a S n =-≥ , 则{}n a 的通项n a = 13. 当[,]2παπ∈时，方程22sin cos 1x y αα-=表示的曲线可能是 .（填上你认为正确的序号） ① 圆 ②两条平行直线 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线三、解答题：(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 14. （本题满分12分）已知锐角ABC ∆中，三个内角为A 、B 、C ，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+ ，(sin cos ,1sin )q A A A =-+ 。
高三数学高中数学综合库试题答案及解析
高三数学高中数学综合库试题答案及解析1.一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm) ，如右图所示，则该几何体的侧面积为 cm【答案】80【解析】略2.对于给定数列，如果存在实常数,使得对于任意都成立，我们称数列是“类数列”．（Ⅰ）若，，，数列、是否为“类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则数列也是“类数列”；（Ⅲ）若数列满足，，为常数．求数列前2012项的和．并判断是否为“类数列”，说明理由．【答案】解：（Ⅰ）因为则有故数列是“类数列”，对应的实常数分别为…………… 1分因为，则有，.故数列是“类数列”，对应的实常数分别为. …………… 3分（Ⅱ）证明：若数列是“类数列”，则存在实常数，使得对于任意都成立，且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，故数列也是“类数列”．对应的实常数分别为．……………6分（Ⅲ）因为则有，，故数列前2012项的和+++……………9分若数列是“类数列”，则存在实常数使得对于任意都成立，且有对于任意都成立，因此对于任意都成立，而，且，则有对于任意都成立，可以得到，当时，，，，经检验满足条件.当时，，，经检验满足条件.因此当且仅当或时，数列是“类数列”.对应的实常数分别为或．…………………13分【解析】略3. 以点（2，-1）为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是 . 【答案】【解析】略4. .为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如 下： 则y 对x 的线性回归方程为( )父亲身高x (cm)174176176176178A 、．B 、C 、D 、 【答案】C【解析】解法二：因为＝176，＝176，又y 对x 的线性回归方程表示的直线恒过点(，)，所以将(176,176)代入选项A 、B 、C 、D 中检验知选C.5. （本小题满分12分） 设为数列的前n 项和，，，其中k 是常数． (1) 求及； (2) 若对于任意的，，，成等比数列，求k 的值． 【答案】解：(1)由S n ＝kn 2＋n ，得a 1＝S 1＝k ＋1， a n ＝S n －S n －1＝2kn －k ＋1(n≥2).a 1＝k ＋1也满足上式，所以a n ＝2kn －k ＋1，n ∈N *.……………6分(2)由a m ，a 2m ，a 4m 成等比数列，得 (4mk －k ＋1)2＝(2km －k ＋1)(8km －k ＋1)，将上式化简，得2km(k －1)＝0， 因为m ∈N *，所以m≠0，故k ＝0，或k ＝1.……12分 【解析】略6. 已知函数，则下列判断正确的是（ ） A ．其最小正周期为，图象的一个对称中心是B ．其最小正周期为，图象的一个对称中心是C ．其最小正周期为，图象的一个对称中心是D ．其最小正周期为，图象的一个对称中心是【答案】D 【解析】略7.数列是公差不为0的等差数列，且为等比数列的连续三项，则数列的公比为（）A．B．4C．2D．【答案】C【解析】略8.已知实数x,y满足的最小值是【答案】－17【解析】略9.如图是函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在(－2,1)内f(x)是增函数B．在(1,3)内f(x)是减函数C．在(4,5)内f(x)是增函数D．在x＝2时，f(x)取到极小值【答案】C【解析】在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数f(x)在(1,3)上也不是单调函数．在x＝2的左侧，函数f(x)在上是增函数，在x＝2的右侧，函数f(x)在(2,4)上是减函数，所以在x＝2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f(x)在这个区间上为增函数．答案：C10.（本小题满分12分）如图，三棱柱的所有棱长都相等，且底面，为的中点，（Ⅰ）求证：∥（Ⅱ）求证：平面．【答案】（1）、∵CE∥,CE=CE∥,CE=CD∴OD∥EC（2）、CE⊥AB,CE⊥∴CE⊥面∴OD⊥∵⊥∴⊥面【解析】略11.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式是A．B．C．D．【答案】A【解析】略12.三棱锥A-BCD的三条侧棱两两互相垂直，且AB=2， AD=，AC=1，则A,B两点在三棱锥的外接球的球面上的距离为（）【答案】C【解析】略13.已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【解析】略14.设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数k，定义函数fk (x) ＝，取函数f(x)＝2－.当k＝时，函数fk(x)的单调递增区间为()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)【答案】C【解析】略15.根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2010年3月15日至3 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 _______．【答案】4320【解析】醉酒驾车的人数为。
北京市东城区2023届高三综合练习数学试题(含解析)
A． a b
B． 2a 2b
C． a b
D． log2 a2 log2 b2
5．已知
(x3
2 x2
)n
的展开式中各项系数和为
243，则展开式中常数项为（
）
A．60
B．80
C．
D．
6．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则
AB （ ）
C．1, 2
2．已知向量
a
1,
m，b
3,
2
，且
(a
b)
b
，则
m=
D． 2,
A．−8
B．−6
C．6
D．8
3．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． f x sin x
B． f x 2 x
C． f x x3 x
D． f x 1 ex ex 2
4．若实数 a 、 b 满足 a2 b2 0 ，则下列不等式中成立的是（ ）
评分 9.6 9.5 9.6 8.9 9.7
（1）求 a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评
分不小于 9 的概率； （2）从 5 名专家中随机选取 3 人，X 表示评分不小于 9 分的人数；从场外观众中随机 选取 3 人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于 9 分的人数；试求 E（X）与 E（Y）的 值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分
六、填空题
15．在数列an 中，对任意的 n N*
都有 an
0
，且
an
2 1
an1
an
，给出下列四个结论：
①对于任意的 n 3 ，都有 an 2 ；
高三数学高中数学综合库试题
高三数学高中数学综合库试题1.已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.(I)求数列的通项；(II)记，数列的前项和为.求证【答案】（I）设公差为，则即解得或（舍去）……………………………………………4分所以………………………………………………5分（II），………..6分<【解析】略2.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略3.．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，圆：，则圆心到直线的距离是．【答案】【解析】略4.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是 .【答案】48【解析】略5.若复数是纯虚数,则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略6.若定义在R上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】略7.（本小题满分12分）已知函数f（x）=，其中a>0.（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若在区间上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.【答案】解不等式组得-5<a<5.【解析】略8.在平面直角坐标系中，点在曲线上，且在第二象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为2，则点的坐标为 .【答案】（-2,15）【解析】略9.已知直线经过坐标原点，且与圆相切，切点在第四象限，则直线的方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】略10.已知p: ,q: ,若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
【答案】解：由p：【解析】略11.已知直线a，b与平面α，给出下列四个命题：①若a∥b，bα，则a∥α；②若a∥α，bα，则a∥b；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊥α，b∥α，则a⊥b．其中正确命题的个数是A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】略12.设曲线y＝＋bx2＋cx在点处的切线斜率为k(x)，且k(－1)＝0.对一切实数x，不等式x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立(a≠0)．(1) 求k(1)的值；(2) 求函数k(x)的表达式；(3) 求证：＋＋…＋＞.【答案】(1)由x≤k(x)≤(x2＋1)得1≤k(1)≤1，所以k(1)＝1.(2)k(x)＝y′＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由k(1)＝1，k(－1)＝0得⇒a＋c＝，b＝.又x≤k(x)≤(x2＋1)恒成立，则由ax2－x＋c≥0(a≠0)恒成立得⇒a＝c＝，同理由(－a)x2＋x＋－c≥0恒成立，也可得：a＝c＝.综上a＝c＝，b＝，所以k(x)＝x2＋x＋.(3)证明：法一(分析法)：k(n)＝＝⇒＝.要证原不等式成立，即证＋＋…＋>.因为>＝－，所以＋＋…＋>－＋－＋…＋－＝－＝，所以＋＋…＋>.法二：(数学归纳法)由k(n)＝＝⇒＝.①当n＝1时，左边＝1，右边＝，左边>右边，所以n＝1，不等式成立．②假设当n＝m(m∈N*，且m≥1)时，不等式成立，即＋＋…>.当n＝m＋1时，左边＝＋＋…＋＋>＋＝由－＝>0所以＋＋…＋＋>即当n＝m＋1时，不等式也成立．综上得＋＋…＋>.【解析】略13.已知函数,,那么集合中所含元素的个数是（）A．0个B．1个C．0或1个D．0或1或无数个【答案】A【解析】略14.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）设，求数列的前n项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）,【解析】解：（Ⅰ）由解得……………………4分∴………………………………………6分（Ⅱ）………………………………8分∴是以2为首项，2为公比的等比数列…………………………10分∴……………………………12分15.已知下列四个命题：①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行一个平面，另一条直线垂直这个平面，则这两条直线垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另外一条直线垂直；其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】D【解析】略16.已知，,则的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】略17.以下四个命题中正确的命题为（）（1）从均匀传递的产品生产流水线上，质检人员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样（2）两个随机变量线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于（3）在回归直线方程中，当每增加一个单位时，平均增加个单位（4）对分类变量与，它们的随机变量的观测值来说，越小，认为“与有关系”的把握程度越大A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（3）（4）【答案】C【解析】略18.某公司为改善职工的出行条件，随机抽取名职工，调查他们的居住地与公司的距离(单位:千米)．若样本数据分组为，，，，，，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过千米的人数为人．【答案】24【解析】略19.若复数满足（i是虚数单位），则=__________；【答案】【解析】略20.设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，，则有（）A．且B．或C．D．【答案】B【解析】由已知得，．又因，所以,解得，或．故选B．【考点】由函数性质解不等式．【方法点睛】本题是对函数性质的一个综合考查．要求出a的范围，必须列出关于a的不等式，而题目中的不等关系只有，所以我们应该考虑如何联系与的关系，结合已知函数的奇偶性及周期性易得，，从而得出并列出关于a的不等式，最后解不等式即可．21.已知锐角是的一个内角，，，是三角形中各角的对应边，若，则下列各式正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知等式左边变形后利用二倍角的余弦函数公式化简，求出cos2A的值，由A为锐角求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入并利用基本不等式得出关系式，即可做出判断．由余弦定理，故选C．【考点】余弦定理；基本不等式22.已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在，使得不等式成立．若，是数列的前项和．设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令，则数列的变号数是．【答案】3．【解析】∵在定义域内有且只有一个零点，，当=0时，函数在上递增，故不存在，使得不等式成立，综上，得，．由题设，时，时，数列递增，，由，可知即时，有且只有1个变号数；又，即，∴此处变号数有2个．综上得数列共有3个变号数，即变号数为3．【考点】1、二次函数的根的分布；2、数列的单调性；3、数列前项和．【思路点晴】本题主要考查了二次函数的性质、递推关系的应用、裂项求和和新定义“变号数”，综合考查了学生的推理能力、创新能力与计算能力，属中高档题．其解题的一般思路为：首先由函数在定义域内有且仅有一个零点，可知方程的判别式，解之可得或．分别验证这两种情形是否满足条件，易知只有符合题意．于是可得出函数，进而得出，于是可求出数列的通项公式；从而可得出数列的通项公式，运用数列的增减性的定义可判断其增减性，进而确定其变号数．23.（2015秋•扬州期末）某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy．（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小．现隧道口的最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为S=lh）【答案】（1）40米；（2）当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．【解析】（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），利用待定系数法求出，由此能求出隧道设计的拱宽．（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，利用待定系数法求出，从而20＜l≤40，S=，由此利用导数性质能求出当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．解：（1）设抛物线的方程为：y=﹣ax2（a＞0），则抛物线过点，代入抛物线方程解得：，令y=﹣6，解得：x=±20，则隧道设计的拱宽l是40米．（2）抛物线最大拱高为h米，h≥6，抛物线过点（10，﹣（h﹣）），代入抛物线方程得：令y=﹣h，则，解得：，则，，∵h≥6，∴≥6，即20＜l≤40，∴，∴，当时，S'＜0；当时，S'＞0，即S在上单调减，在（20，40]上单调增，∴S在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小．【考点】直线与圆锥曲线的关系．24.（2015秋•晋城期末）点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为（）A．7πB．14πC．D．【答案】B【解析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【考点】球内接多面体．25.在平面直角坐标系中，满足的点的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足，的点的集合对应的空间几何体的体积为A．B．C．D．【答案】B【解析】所求的空间几何体是以原点为球心，为半径的球位于第一卦限的部分，体积为，故选B．【考点】球的体积．26.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为．【答案】5．【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值即可．解：根据约束条件画出可行域直线z=5x+y过点A（1，0）时，z最大值5，即目标函数z=5x+y的最大值为5，故答案为5．【考点】简单线性规划的应用．27.如图，已知直线切圆于点，割线交圆于点两点，的角平分线分别与交于两点.（1）证明：；（2）若，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由弦切角可知，由平分可得，得；（2）由切割线定理得，由∽得，则可转化成求.试题解析：（1）因为直线切圆于点，所以，因为平分，所以，又因为，，所以，所以.（2）因为直线切圆于点，所以由切割线定理得，即，因为直线切圆于点，所以，所以∽，得，又，，所以，所以，所以.【考点】弦切角定理、切割线定理.28.设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；（2）过“相关圆”上任意一点作相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.①证明：为定值；②连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.【答案】（1），；(2)①证明见解析；②.【解析】（1）由题意可知椭圆右焦点为，即，再由短轴顶点与两焦点围成直角三角形可知，这样便可求得，从而求得椭圆的方程和“相关圆”的方程；（2）①当直线的斜率不存在时，由（1）可知直线为，分别求出两点坐标，并求得，当斜率存在时，可假设直线为，并且假设，将椭圆与直线方程联立，再结合根与系数的关系可得到与的关系，再由切线定理可得到的关系，因为前面已经求得，所以可以利用利用向量法证明的值为；②由于于是“相关圆”的直径，即，所以，即只要求得的范围即可求得面积的范围.试题解析：（1）因为抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以.又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以，故椭圆的方程为，“相关圆”的方程为.（2）①当直线的斜率不存在时，不妨设直线方程为，则所以，当直线的斜率存在时，设其方程设为，设联立方程组得，即，，即，因为直线与相关圆相切，所以，∴，∴∴，∴为定值.②由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围.当直线的斜率不存在时，由①知，因为，时，为，所以，所以，所以，当且仅当时取“=”.当时，，的取值范围为，所以面积的取值范围是.【考点】椭圆的性质及其方程，动点问题的证明，重要不等式的运用.思路点睛：本题主要考察了椭圆（圆，抛物线的）性质，以及相关的计算，在证明有关动点的定值问题时，可先找特殊点求得，再结合已知条件利用向量法证明对任意点都有，而对于求三角形的面积的范围，首先通过观察图形用选用合适的面积公式，其次将面积转化为某一变量的函数，通过函数的范围（不等式性质）来求面积的范围.29.已知与都是定义在R上的函数，＜,,在有穷数列｛｝，中，任意前K项相加，则前K项和大于的概率是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得，所以单调递减，所以，由因为，解得或，所以共有10项数列是以为首项，以为公比的等比数列,在有穷数列｛｝，中，任意前K项相加的和为，令，可解得则前K项和大于的概率是.【考点】数列及概率公式.30.下列说法正确的是（）A．“，方程有正实根”的否定为“，方程有负实根”B．命题“，若，则”的逆否命题是“，若，且b≠0，则”C．命题p：若回归方程为，则y与x负相关；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题p∨q为真命题D．若X～N（1，4），则成立的一个充分不必要条件是t=1【答案】D【解析】对于A，否定应该为“没有正根”；对于B，逆否命题应为“，或”；对于C，为假命题，故为假命题.【考点】1.四种命题及其相互关系；2.全称命题与特称命题；3.充要条件.31.向量满足，，，则向量与的夹角为．【答案】【解析】向量与的夹角为．【考点】向量及其运算.32.已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知有函数是周期为，当时，有，故，同理，当时，有，又知是偶函数，故时，有，故，即时，有，故选B．【考点】函数的奇偶性；周期性；求函数的解析式．33.在等比数列中，若，，则__________．【答案】【解析】原式．【考点】等比数列及其性质．34.若的展开式中各项系数的和2，则该展开式中的常数项为__________．【答案】40【解析】由题意得，因此该展开式中的常数项为【考点】二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.35.已知命题；命题在中，若，则．则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】为真命题，为假命题，故为真命题，故选B.【考点】命题的真假.36.已知球的半径为13，其球面上有三点，若，，则四面体的体积为__________．【答案】【解析】，,，的外接圆的半径为，到平面的距离为，，四面体的体积为.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．37.设函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得，试判断与的大小关系并给出证明.【答案】（Ⅰ）当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）详见解析【解析】【试题分析】（Ⅰ）依据题设条件先求导，再分类讨论探求；（Ⅱ）借助题设条件，运用等价转化与化归的数学思想进行转化，然后再运用导数的知识分析探求：解（Ⅰ）的定义域为，.当时，则，所以在上单调递增.当时，则由得，，（舍去）.当时，，当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增.当时，在上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，存在极值..由题设得.又，所以.设，则，则.令，则，所以在上单调递增，所以，故.又因为，因此，即.又由知在上单调递减，所以，即.点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两道综合运用导数知识的问题。
高三数学函数综合试题答案及解析
高三数学函数综合试题答案及解析1.给出四个函数，分别满足①；②；③；④，又给出四个函数的图象如下：则正确的配匹方案是（）A．①—M ②—N③—P ④—QB．①—N②—P③—M④—QC．①—P②—M③—N④—QD．①—Q②—M③—N④—P【答案】D【解析】图象M是指数型函数，具有性质②；图象N是对数型函数，具有性质③图象P是幂函数，具有性质④，图象Q是正比例函数，具有性质①，故选D【考点】基本初等函数的图象与性质．2.平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，命题：①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点；③如果与都是有理数，则直线必经过无穷多个整点；④存在恰经过一个整点的直线；其中的真命题是（写出所有真命题编号）．【答案】①④【解析】不与坐标轴平行的直线中横坐标为整数时，纵坐标为分数，同理纵坐标为整数时，横坐标为分数，即不经过任何整点，所以①正确，③不正确. 直线中与都是无理数，但经过唯一一个整数点所以②不正确.设直线经过整数点则直线必经过点由于不同时成立，所以点有无数个.【考点】直线整点3.设函数f(x)＝，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于x的不等式f(x)≤1的解集为()A．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)B．[－3，－1]C．[－3，－1]∪(0，＋∞)D．[－3，＋∞)【答案】C【解析】x≤0时，由f(－4)＝f(0)得f(x)＝x2＋bx＋c的对称轴x＝－2，即－＝－2，∴b＝4．又f(－2)＝0，∴c＝4，故f(x)＝因此f(x)≤1⇔或解得x>0或－3≤x≤－1．4.已知函数．（1）求的解集；（2）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象等基础知识，考查学生的转化能力、计算能力和数形结合思想.第一问，先将被开方数写成完全平方式，开方需要加绝对值，解绝对值不等式，利用零点分段法去掉绝对值符号，解不等式组；第二问，“对任意的都成立”转化为“的图象恒在图象的上方”利用零点分段法将绝对值去掉，转化成分段函数，画出分段函数图象，而恒过（3,0）点，将的直线绕（3,0）点旋转，找出符合题意的位置，得到k的取值范围.试题解析：（1）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：无解③：所以的解集为或． 5分（2）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴由图可知，要使得的图象恒在图象的上方∴实数的取值范围为． 10分【考点】绝对值不等式的解法、分段函数图象、直线图象.5.已知函数f(x)＝在区间[－1，1]上是增函数．(1)求实数a的值组成的集合A；(2)设x1、x2是关于x的方程f(x)＝的两个相异实根，若对任意a∈A及t∈[－1，1]，不等式m2＋tm＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）A＝{a|－1≤a≤1}（2）(－∞，－2]∪[2，＋∞)【解析】(1)f′(x)＝，因为f(x)在[－1，1]上是增函数，所以当x∈[－1，1]时，f′(x)≥0恒成立，令φ(x)＝x2－ax－2，即x2－ax－2≤0恒成立．解得－1≤a≤1.所以A＝{a|－1≤a≤1}．(2)由f(x)＝得x2－ax－2＝0.设x1，x2是方程x2－ax－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝，因为a∈[－1，1]，所以≤3，即|x1－x2|max＝3，不等式对任意a∈A及t∈[－1，1]不等式恒成立，即m2＋tm－2≥0恒成立．设g(t)＝m2＋tm－2＝mt＋m2－2，则解得m≥2或m≤－2.故m的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)6.已知x、y为正数，则的最大值为________．【答案】【解析】设t＝∈(0，＋∞)，则令f(t)＝＝，求导得f(t)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，故所求的最大值为f(1)＝.7.设函数f(x)＝ (a<0)的定义域为D，若所有点(s，f(t))(s、t∈D)构成一个正方形区域，则a的值为________．【答案】－4【解析】|x1－x2|＝fmax(x)，＝，|a|＝2，∴a＝－48.已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围．【答案】（1）－<m<－.（2）－<m≤1－【解析】设二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0所对应的函数为f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.(1)要使方程的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则结合函数图象(如图)，有解得－<m<－.(2)要使方程两根均在区间(0，1)内，则结合函数图象(如图)，有解得即－<m≤1－9.对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x)＝x成立，则称x为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．【答案】（1）－1，3（2）0<a<1【解析】(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3，故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1，3.(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，∴Δ＝b2－4ab＋4a>0(b∈R)恒成立．于是Δ′＝(4a)2－16a<0，解得0<a<1，故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0<a<110.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为()A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0)的图象如图所示.令x+2=10-x,得x=4.当x=4时,f(x)取最大值,f(4)=6.故选C.11.知函数y=f(x)的值域为C,若函数x=g(t)使函数y=f[g(t)]的值域仍为C,则称x=g(t)是y=f(x)的一个等值域变换,下列函数中,x=g(t)是y=f(x)的一个等值域变换的为()A．f(x)=2x+b,x∈R,x=B．f(x)=e x,x∈R,x=costC．f(x)=x2,x∈R,x=e tD．f(x)=|x|,x∈R,x=lnt【答案】D【解析】A中,f(x)∈R,而f[g(t)]=+b≠b,A错;B中,f(x)∈(0,+∞),而f[g(t)]=e cos t∈,B错;C中,f(x)∈[0,+∞),而f[g(t)]=(e t)2∈(0,+∞),C错.故选D.12.已知函数f（x十1）是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式f（1－x）<0的解集为( )A．（一，0）B．（0，＋）C．（一，1）D．（1，＋）【答案】C【解析】因为函数是定义在R上的奇函数，所以函数满足.又因为不等式恒成立，所以可得.所以函数在R上递减，求的解集等价于，又由函数在R上递减，且函数是定义在R上的奇函数.所以故选C.【考点】1.函数的性质.2.隐函数的性质.3.函数的单调性.4.函数的图像的应用.13.“求方程x＋x＝1的解”有如下解题思路：设f(x)＝x＋x，则f(x)在R上单调递减，且f(2)＝1，所以原方程有唯一解x＝2.类比上述解题思路，不等式x6－(x＋2)＞(x＋2)3－x2的解集是________．【答案】(－∞，－1)∪(2，＋∞)．【解析】原不等式等价于x6＋x2＞(x＋2)3＋(x＋2)，令f(x)＝x3＋x，易知函数在R上为单调递增函数，故原不等式等价于x2＞x＋2，解得x＞2或x＜－1，故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．14.方程lnx=6-2x的根必定属于区间()A．(-2,1)B．(,4)C．(1,)D．(,)【答案】B【解析】设f(x)=lnx+2x-6,则f(1)=ln1+2-6=-4<0,f()=ln+2×-6<0,f()=ln+2×-6<0,f(4)=ln4+2×4-6>0,∴f()·f(4)<0,且函数f(x)的图象在(0,+∞)上连续不断且单调递增,故方程lnx=6-2x的根所在的区间是(,4).15.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(4,0),且函数的最大值为9,则这个二次函数的表达式是.【答案】y=-x2+2x+8【解析】设y=a(x+2)(x-4),对称轴为x=1,当x=1时,ymax =-9a=9,∴a=-1,∴y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.16.若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是()A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)【答案】D【解析】法一：不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<x.在同一平面直角坐标系内作出直线y＝x －a与y＝x的图像．由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a<1，所以a>－1，选D项．法二：不等式2x(x－a)<1可变形为a>x－x.记g(x)＝x－x(x>0)，易知当x增大时，y＝x与y＝－x的函数值都增大，故g(x)为增函数，又g(0)＝－1，所以g(x)∈(－1，＋∞)．由题意可知a>－1.17.已知函数f(x)＝|x2＋2x－1|，若a＜b＜－1，且f(a)＝f(b)，则ab＋a＋b的取值范围是________．【答案】(－1,1)【解析】作出函数图象可知若a＜b＜－1，且f(a)＝f(b)，即为a2＋2a－1＝－(b2＋2b－1)，整理得(a＋1)2＋(b＋1)2＝4，设θ∈∪，所以ab＋a＋b＝－1＋2sin 2θ∈(－1,1)．18.已知函数f(x)＝2x＋1，x∈N*.若∃x0，n∈N*，使f(x)＋f(x＋1)＋…＋f(x＋n)＝63成立，则称(x，n)为函数f(x)的一个“生成点”．则函数f(x)的“生成点”共有()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】2＋n＋1＝63，即2(n＋1)x0＋n(n＋1)＋(n＋1)＝63，即x＝，如果x0为正整数，则(n＋1)2<63，即n＝1，2，3，4，5，6.当n＝1时，x＝，不是整数；当n＝2时，x0＝＝9，点(9，2)为函数f(x)的一个“生成点”；当n＝3时，x＝，不是整数；当n＝4时，x0＝，不是整数；当n＝5时，x＝，不是整数；当n＝6时，x＝＝1，故(1，6)为函数f(x)的一个“生成点”，共2个，选B.19.若函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是______．【答案】(0,1)∪(2,3)【解析】对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.20.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3，或x>－2}，求k的值；(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围．【答案】（1）－（2）【解析】(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0.由已知{x|x<－3，或x>－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－(2)∵x>0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号．由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.21.函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间是________．【答案】(1,2)【解析】利用零点存在定理求解．因为f(1)f(2)＝(－1)·＜0，所以由零点存在定理可知零点所在的区间是(1,2)．22.设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是 ()．A．x1＋x2＞0，y1＋y2＞0B．x1＋x2＜0，y1＋y2＞0C．x1＋x2＞0，y1＋y2＜0D．x1＋x2＜0，y1＋y2＜0【答案】C【解析】设F(x)＝x3－bx2＋1，则方程F(x)＝0与f(x)＝g(x)同解，故其有且仅有两个不同零点x1，x2.∵F′(x)＝3x2－2bx，由F′(x)＝0，得x＝0或x＝b. 易知x＝0，x＝b为F(x)的极值点．又F(0)＝1.由题意F(x)的图象与x轴有两个公共点．因此，F＝0，从而b＝.不妨设x1＜x2，则x2＝b＝.所以F(x)＝(x－x1)(x－)2，比较F(x)的系数．∴－x1＝1，∴x1＝－.故x1＋x2＝＞0，y 1＋y2＝＝＜0.23.方程的解所在的区间（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，由于，，，，，根据零点存在定理可知方程的解所在的区间为，故选C.【考点】零点存在定理24.对于正整数，若，当最小时，则称为的“最佳分解”，规定．关于有下列四个判断：①；②；③；④.其中正确的序号是 .【答案】①②.【解析】的分解中，最小，故，①正确；只有一个分解，即，故，②正确；的分解中，最小，则，③错误；的分解中，较小，因此，④错误；故正确的序号是①②.【考点】新定义25.已知是函数图象上的任意一点，是该图象的两个端点，点满足，（其中是轴上的单位向量），若(为常数)在区间上恒成立，则称在区间上具有“性质”.现有函数：①; ②；③；④.则在区间上具有“性质”的函数为 .【答案】①②③④【解析】①;显然；②；直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.所以具有T性质；③，直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则；④.直线AB的方程为：，设D点的横坐标为，则.【考点】1、新定义；2、函数及重要不等式.26.已知实数，方程有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数的取值范围____.【答案】【解析】令，根据函数的图象，发现：当x＞1时，函数的图象是由的图象向下平移单位而得，它与x轴必有一个交点，且交点的横坐标大于1；而x≤1的图象是抛物线的一部分；若方程有且仅有两个不等实根，且较大实根大于３，则有：，，即，解得实数的取值范围．【考点】根的存在性与根的个数的判定．27.已知函数的定义域为，部分对应值如表.的导函数的图象如图所示.下列关于函数的命题：①函数是周期函数；②函数在是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；④当时，函数有4个零点.其中真命题的个数是 .【答案】1【解析】由函数导函数知，函数在单增，单减，单增，单减；故①错，②正确；对于③，当，依然是2，故③不正确；对于④，当时，函数不确定有4个，故真命题的个数是1.【考点】1.函数与导函数的关系；2.函数零点的应用.28.函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数，设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于( ) A．B．C．D．无法确定【答案】A【解析】由，令，得，因为，所以.由②，令，得.由③，令，得，所以.再由②，令，得.②中再令，得.又函数在[0，1]上为非减函数，，所以，故.所以有=1+++++=.【考点】抽象函数的运算、新概念的理解29.函数的零点个数为．【答案】1【解析】函数是减函数，且，，所以在上有唯一零点.【考点】函数的零点.30.岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截．（I）问：海监船接到通知时，距离岛A多少海里？（II）假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．【答案】（I）海监船接到通知时，距离到A 海里.（II）海监船航行方位角（或东偏南），航行的时间为1小时.【解析】（I）首先根据三角形内角和定理，确定有关角的大小，应用正弦定理求.难度不大，注重了基础知识的考查.（II）设海监船航行的时间为小时，则，应用余弦定理建立的方程，注意舍去负值.根据，得到方位角.试题解析：（I）依题意，，在三角形中，由正弦定理得，，，答：海监船接到通知时，距离到A 海里.（II）设海监船航行的时间为小时，则，又因为，,所以，，解得，或（舍去），所以，，所以，，答：海监船航行方位角（或东偏南），航行的时间为1小时.【考点】正弦定理、余弦定理的应用31.已知函数（1）当时，求函数在的值域；（2）若关于的方程有解，求的取值范围.【答案】(1)值域为；（2）的取值范围为.【解析】（1）当时，是个指数形式的函数，求其值域为可以使用换元法求解，令，将转化为关于的二次函数形式，，根据二次函数在给定区间上求解即可.易错点：要注意定义域的变化，其中的取值范围为在的值域.（2）问有解，求得取值范围，可使用分离参数法，，保证函数和函数有交点即可，既是求函数的值域，求值域的方法是先换元后配方，但要注意定义域的变化，求出函数的值域为，即是在内，则. 试题解析：（1）当时，，令，则，因而，故值域为 .（2）方法一:由得；由题意可知与有交点即可.令，得则得，所以即的取值范围为.方法二：方程有解,令，则原题意等价于在有解，记,当时，得，不成立；当时，根据根的分布的.方法三：方程有解,令，则原题意等价于在有解，即：的值域就是的取值范围，所以.【考点】1.值域的求法；2.函数有解问题；3.根的分布.32.已知函数，若存在，使得，则的取值范围为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，当时，；当时，.因为存在，使得，所以使得的，那么，所以设，则，在上是单调递增的，设，则，，所以的取值范围为.【考点】1.分段函数的图像与性质；2.二次函数的单调性与最值33.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上，恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知当时，在上是“凸函数”，则在上（）A．既没有最大值，也没有最小值B．既有最大值，也有最小值C．有最大值，没有最小值D．没有最大值，有最小值【答案】A【解析】，因为在上是“凸函数”，所以在上恒成立，所以在上恒成立，故，所以在上既没有最大值，也没有最小值.【考点】1.恒成立问题；2.导数.34.已知函数（Ⅰ）若在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，方程有实根，求实数的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）0．【解析】（Ⅰ）函数在上为增函数，则它的导函数在上恒成立，于是问题转化为不等式恒成立问题，这类问题若方便分离参数一般分离参数，若不方便分离参数，则可从函数自身的单调性解决，但往往会涉及分类讨论，较为麻烦，根据题目特点，本题需要采用第二种方法；（Ⅱ）这是一个由方程有解求参数取值范围（或最值）的问题，这类问题若方便分离参一般可分离参数，转化为求函数的值域问题，若不方便分离参数，则根据函数类型，采用数形结合方法解答，本题适合于第一种方法，但本题分离参数后，若直接求的最值，则较为困难，比较巧妙的做法是，将问题转化为求的最值.试题解析：（I）因为函数在上为增函数，所以在上恒成立•当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意‚当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立令函数，其对称轴为，因为，所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以因为，所以.综上所述，的取值范围为（Ⅱ）当时，可化为，问题转化为在上有解，即求函数的值域，令，，所以当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数，因此，而，所以，即当时，取得最大值0.【考点】函数的单调性、函数与方程的综合问题.35.若是定义在上周期为2的周期函数，且是偶函数，当时，，则函数的零点个数为__________.【答案】4【解析】令，由，所以函数的零点就是函数与图像的交点，作出函数的图像：从图像可以看出有四个交点，于是零点的个数为4.【考点】周期函数、函数的零点、偶函数、函数的图像.36.已知二次函数与两坐标轴分别交于不同的三点A、B、C.（1）求实数t的取值范围；（2）当时，求经过A、B、C三点的圆F的方程；（3）过原点作两条相互垂直的直线分别交圆F于M、N、P、Q四点，求四边形的面积的最大值。
高三数学直线综合试题答案及解析
高三数学直线综合试题答案及解析1.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3B．2C．3D．4【答案】A【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3．2.在点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点，一分钟后，其位置在点，且，再过两分钟后，该物体位于点，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，由题意知，直线的方程为：，.设直线直线的方程为：解方程组可得：.由得.选B.【考点】坐标法.3.点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是________．【答案】8【解析】由题意得，将的最小值转化为直线上的点到原点距离的最小值的平方，即原点到直线的垂线段长的平方，所以.所以正确答案为8.【考点】解析法的应用4.若直线同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线为该三角形的“Share直线”，已知△ABC的三边长分别为3、4、5，则这样的“Share直线”（）A．存在一条B．存在三条C．存在六条D．不存在【答案】A【解析】（1）直线过的某个顶点，如图，假设直线过点A.若直线平分的面积则有，此时，，所以周长相等不可能．同理直线过B、C也不存在．若直线交AB、BC于点M、N．如下图，设．设，则，作，由，得.接着根据，解得或者（舍），即这样的直线存在，且只有一条，综上，同时平分这个三角形周长和面积的直线只有1条.故选A.【考点】1.确定直线的位置关系.5.过点的倾斜角为的直线与圆交于两点，则 .【答案】22【解析】如图，直线的方程为：，即：，由点到直线的距离公式得：，因为，所以由勾股定理得：，由两点距离公式得：，所以由勾股定理得：，则，，求得【考点】直线的方程点评：当涉及到曲线的交点时，不一定就要联立曲线的方程组去求出交点的坐标，像本题，求出交点的坐标是相当麻烦的。
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高三数学综合测试题（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡上．1.P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的 A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心2.直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃3.已知()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>=，（，（，（)00)0)02x x x x x f π则()[]{}3-f f f 的值等于( )A ．0B ．πC ．2π D ．94．已知⋅︒︒=︒︒=则),65sin ,25(sin ),35sin ,55(sin =（ ）A ．︒10sinB ．23C ．21D ．21-5.在R 上定义运算⊗：)1(y x y x -=⊗．若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则a 的取值范围 ( )A ．1a 1<<-B ．2a 0<<C ．21a 23<<-D ． 23a 21<<-6．要得到函数1)42cos(+-=πx y 的图象，只需将函数x y sin =的图象作下列变换，其中正确的变换是 （ ）A ．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21再按向量（1,8π-）平移 B ．先纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21再按向量（1,4π）平移C ．先按向量（1,4π）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,21D ．先按向量（1,8π-）平移，再纵坐标不变，横坐标缩短原来的,217.设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，)1(l o g )(21x x f -=，则)(x f 在)2,1(上( )A ．是减函数，且0)(>x f ；B ．是增函数，且0)(<x f ；C ．是减函数，且0)(<x fD ．是增函数，且0)(>x f ；8. 由动点Ｐ向圆x 2 + y 2=1引两条切线P A 、PB,切点分别为A 、B ，∠APB=60°,则动点Ｐ的轨迹方程为 ( )A x 2+y 2=4B x 2+y 2=3C x 2+y 2=2D x 2+y 2=1二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在答卷相应的横线上．9．半径为5的圆过点A (－2, 6)，且以M (5, 4)为中点的弦长为25，则此圆的方程是 。
10.已知函数2()ln[(2)(1)]f x mx m x m =+-+-的值域为R ，则实数m 的取值范围是 ．11．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===- ，且A 、B 、C 三点共线，则k=_ __ 12.已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使⋅取得最小值的点P 的坐标是 ． 13.过点M (1，2)的直线l 将圆22(2)9x y -+=分成两段弧，其中的劣弧最短时，l的方程为 ．14. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是 海里.三、解答题：本大题共6小题，共80分．写出简要答案与过程。
15.（本题12分）已知△ABC 中,∠C ＝120°，c=7,a+b=8,求)cos(B A -的值。
16（本题13分）已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两相等实根，且()22f x x '=+ （1）求()f x 的解析式．（2）求函数()y f x =与函数241y x x =--+所围成的图形的面积．17.( 本题13分)已知点A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈(23,2ππ)。
(1)若||||AC CB = ，求角α的值； (2)若AC CB ⋅ =－1，求a a a tan 12sin sin 22++的值.18. 已知定点A(0,1)，B(0,－1)，C(1,0)。
动点P 满足：2||AP BP k PC ⋅= 。
(1)求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；(2)当|2|,2BP AP k +=求时的最大值和最小值。
19.（本题14分）设函数32()24f x ax bx cx d =-++（,,,a b c d R ∈）的图象关于原点对称，且1x =时，f(x)取极小值13-①求,,,a b c d 的值；②当[]1,1x ∈-时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。
③若[]12,1,1x x ∈-，求证：124()()3f x f x -≤。
20.（本题14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n k n a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和为n T ；（Ⅲ）设*},|{N n k x x Q n ∈==，*},2|{N n a x x R n ∈==，等差数列}{n c 的任一项R Q c n ∈，其中1c 是R Q 中的最小数，11511010<<c ，求}{n c 的通项公式．高三级数学（5）（理科）一．D D C B D A B A二．9：(x －1)2＋(y －2)2＝25或(x －53141)2＋(y －53414)2＝25 10： 11：23-12：(0，0) 13：230x y -+= 14 ：5 三、解答题15．解：由正弦定理：314120sin 7sin 2=︒==C c R ，…………………………3分 代入82cos 2sin23148)sin (sin 28=-+⋅⇒=+⇒=+BA B A B A R b a …7分 7342cos 82cos 212314=-⇒=-⋅⋅⋅⇒B A B A ………………………10分 ∴247cos()2cos 1249A B A B --=-=………………………………………12分16．解：（1）设2().(0)f x ax bx c a =++≠．240222b ac ax b x ⎧-=⎨+=+⎩ ----------------------- 4分 得：1,2,1a b c ===2()21f x x x ∴=++----------------------- 6分（2）由题22213041y x x x x y x x ⎧=++⎪⇒=-=⎨=--+⎪⎩或------------------- 8分223[(41)(21)]S x x x x dx -=--+-++⎰------------------- 10分32032(3)|3x x -=--＝9 ------------------------------------------------------- 13分17．解：解：(1)∵AC =(cos α－3, sin α), BC=(cos α, sin α－3). ……2分∴∣AC∣=∣BC∣=a a a sin 610)3sin (cos 22-=-+。
………………………4分 由∣AC ∣=∣BC ∣得sin α=cos α.又∵α)23,2(ππ∈，∴α=45π……6分(2)由AC ·BC=－1,得(cos α－3)cos α+sin α (sin α－3)=－1∴ sin α+cos α=32.① ………………………………………………8分又a a aa aa a aa a cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222=++=++. 由①式两边平方得1+2sin αcos α=94 , ∴2sin αcos α=95-, ………12分∴95tan 12sin sin 22-=++a a a ………………………………………………13分18解：(1)设动点的坐标为P(x ,y ),则AP ＝(x ,y －1)，BP＝(x ,y +1)，PC ＝(1－x ,－y )∵AP ·BP＝k |PC |2，∴x 2+y 2－1＝k [(x －1)2+y 2] 即(1－k )x 2+(1－k )y 2+2kx －k －1=0。
若k =1，则方程为x =1，表示过点（1，0）是平行于y 轴的直线。
若k ≠1，则方程化为：2221()()11k x y k k++=--， 表示以(－1k k -,0)为圆心，以1|1|k -为半径的圆。
(2)当k =2时，方程化为(x －2)2+y 2=1。
∵2AP ＋BP ＝2(x ,y －1)＋(x ,y +1)＝(3x ,3y －1)，∴|2AP ＋BP|x 2+y 2＝4x －3，∴|2AP ＋BP|∵(x －2)2+y 2＝1，∴令x ＝2＋cosθ，y ＝sinθ。
则36x －6y －26＝36cosθ－6sinθ+46＝cos (θ+φ)+46∈[46－,46＋]，∴|2AP ＋BP |m ax 3|2AP ＋BP|m in -3。
19．解：① 函数()f x 的图象关于原点对称∴对任意实数x ，有()()f x f x -=-∴ 32322424ax bx cx d ax bx cx d ---+=-+--…………………………………3分即220bx d -=恒成立 ∴0,0b d ==32(),()3f x ax cx f x ax c '∴=+=+1x = 时，()f x 取极小值23-，30a c ∴+=且32-=+c a ，1,13a c ∴==-…………………………………………………………………………5分②当[]1,1x ∈-时，图象上不存在这样的两点使结论成立。
假设图象上存在两点1122(,),()A x y B x y ，使得过此两点处的切线互相垂直，则由2()1f x x '=-知两点处的切线斜率分别为2211221,1K x K x =-=-…………………………………………… …6分 且2212(1)(1)1x x --=- （*）12,x x ∈ [-1，1]2212(1)(1)0x x ∴--≥与（*）矛盾………………………………9分 ③2()1f x x '=- 令()0f x '=得1x =±，(,1)x ∈-∞- 或(1,)x ∈+∞时，()0f x ' ， (1,1)x ∈- 时()0f x '∴()f x '在[-1，1]上是减函数，且max 2()(1)3f x f =-=…………………………11分min 2()(1)3f x f ==- ∴在[-1，1]上2()3f x ≤[]12,1,1x x ∈- 时，1212224()()()()333f x f x f x f x -≤+≤+= (14)分20（本题14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若n k n a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和为n T ；（Ⅲ）设*},|{N n k x x Q n ∈==，*},2|{N n a x x R n ∈==，等差数列}{n c 的任一项R Q c n ∈，其中1c 是R Q 中的最小数，11511010<<c ，求}{n c 的通项公式． 20． 解：（Ⅰ）因为点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上 所以n n S n 22+= *N n ∈当1=n 时，32111=+==S a ------------------ 2分当2≥n 时，12)]1(2)1[(2221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n （*）------- 3分令1=n ，3121=+=a ，也满足（*）式所以，数列}{n a 的通项公式是12+=n a n ． -------------- 4分 （Ⅱ）由x x x f 2)(2+=求导可得 22)('+=x x f∵ 过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k∴ 22+=n k n ------------- ------ 6分 又∵n k n a b n ⋅=2∴n n n n n b 4)12(4)12(222⋅+=+⋅=+ -------------- 7分∴++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 32474454434n T n n 4)12(4⋅+ ① 由①4⨯可得++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 4324744544344n T 14)12(4+⋅+n n ②①-②可得)444(243[4332n n T +++⋅+⨯⋅=- ]4)12(1+⋅+-n n41)41(4243[412--⋅+⨯⋅=-n ]4)12(1+⋅+-n n ∴ 91649162-⋅+=+n n n T -------------- 9分 （Ⅲ）∵*},22|{N n n x x Q ∈+==，*},24|{N n n x x R ∈+== ∴R R Q = --------------------------- 10分又∵R Q c n ∈，其中1c 是R Q 中的最小数，∴61=c ， --------------------------- 11分 ∴ 6410+=m c *N m ∈ ({}n c 的公差是4 的倍数!)又∵11511010<<c∴⎩⎨⎧∈<+<*11564110N m m 解得27=m∴11410=c --------------------------- 12分 设等差数列}{n c 的公差为d则1296114110110=-=--=c c d∴ 61212)1(6-=⋅-+=n n c n所以，}{n c 的通项公式为612-=n c n ． -------------------------- 14分。