2018届高三数学一轮复习： 第2章 第8节 函数与方程
北京市2018届高三数学理一轮复习 2.8 函数与方程课件 精品
名师点睛
2．必知联系 (1)研究方程 f(x)＝g(x)的解，实质就是研究 G(x)＝f(x)－g(x)的零点． (2)转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题； 已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题． (3)f(a)·f(b)<0 是 f(x)在区间(a，b)上有零点的充分不必要条件．
确定参数范围． 2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． 3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出
函数的图象，然后数形结合求解．
所以yy＝＝a－1x－2－x3，x， 有两组不同解． 消去 y 得 x2＋(3－a)x＋a＝0 有两个不等实根， 所以 Δ＝(3－a)2－4a＞0，即 a2－10a＋9＞0，解得 a＜1 或 a＞9. 又由图象得 a＞0，∴0＜a＜1 或 a＞9.
【答案】 (0,1)∪(9，＋∞)
归纳升华
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式
【解析】 ∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)， ∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内． 【答案】 A
显然函数在0，π2有 1 个交点，在π2，32π有 2 个交点， ∵cos 3π＝－1，log1103π＝－lg 3π>－1，函数 y＝log110x 在(0，＋∞)上递减， ∴两个函数在52π，72π有 2 个交点，共 5 个交点，故选 C.
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件 理
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有
唯
一零点，则a＝( )
A．－12
B．13
1 C.2
D．1
C [法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函数g(t)为偶函数． ∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点． 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得a＝12. 故选C.
则4m－m2＜m，即m2－3m＞0， 又m＞0，解得m＞3.]
[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式 确定参数范围. 2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. 3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数 的图像，然后数形结合求解.
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点．
()
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.
() (3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有
当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上为增函数， 又g(1)＝ln 1－2＝－2＜0，g(2)＝ln 2＋1＞0，且g(b)＝0，∴1＜b＜2， ∴a＜b， ∴fgba＞＜fgab＝＝00，. 故选A.
《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：第二章 第八节 函数与方程(共33张PPT)
2＋4 确度 ε＝0.01，取区间(2，4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算
得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点 x0 所在的区间为( )
A．(2，4)
B．(3，4)
探究·提知能
C．(2，3)
D．(2.5，3)
课后作
【解析】 由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C.
【答案】 C
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Δ＝b2－4ac
落实·固基础
Δ>0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
Δ＝0
Δ<0
高考体验·明
探究·提知能与x轴的交点 零点个数
_(_x_1，___0_)，___(x_2_，__0__) __(_x_1，___0_)_
2
1
无交点 课后作 0
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落实·固基础
1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注 高考体验·明 意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．
2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y
＝f(x)的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)
在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计
落实·固基础
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第八节 函数与方程
高考体验·明
探究·提知能 菜单
课后作
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落实·固基础 1．函数零点
高考体验·明
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____f_(x_)_＝_0___成
2018届高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第八节函数与方程学案文
第八节函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识点一函数的零点1．定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．2．函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与______有交点⇔函数y＝f(x)有______．3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y＝f(x)在区间________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．答案1．f(x)＝0 2.x轴零点3．f(a)·f(b)<0 (a，b) f(c)＝01．(必修①P92习题3.1A组第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A．(1,2) B．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数的零点在(2,3)内，故选B.答案：B2．(必修①P88例1改编)函数f (x )＝x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：函数f (x )＝x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数是方程x 12 －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的解的个数，即方程x 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解的个数，也就是函数y ＝x 12 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数．在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：B3．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0,1)上有零点．∴f (0)f (1)<0.即a (a ＋2)<0，解得－2<a <0.答案：(－2,0) 知识点二 二分法 1．二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且____________的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤第一步，确定区间[a ，b ]，验证__________，给定精确度ε； 第二步，求区间(a ，b )的中点x 1； 第三步，计算f (x 1)：①若____________，则x1就是函数的零点；②若____________，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若____________，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步．温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|a－b|<ε的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度ε下的近似值相同．这样所选的区间不同，但所得结果相同．答案1．f(a)f(b)<0 一分为二零点2．f(a)f(b)<0 ①f(x1)＝0 ②f(a)f(x1)<0③f(x1)f(b)<04．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案：A5．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.56热点一零点所在区间的判断【例1】 (1)(2017·吉林长春监测)函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(e,3)(2)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)【解析】 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－12＋1e －e －2<0，f (1)＝－2<0，f (2)＝12ln2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0，所以f (2)f (e)<0，所以函数f (x )＝12ln x ＋x －1x －2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.(2)函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．故选B.【答案】 (1)C (2)B(1)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)(2)(2017·永州模拟)若x 0是函数f (x )＝2x－x －3的零点，则[x 0](表示不超过x 0的最大整数)的值为________．解析：(1)因为f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数，且f (1)＝ln2－2<0，f (2)＝ln3－1>0，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选B.(2)函数f (x )＝2x－x －3的零点即函数y ＝2x与y ＝x ＋3的交点的横坐标．如图，因为f (－3)·f (－2)＝18×(14－1)<0，f (2)·f (3)＝(－1)×2＝－2<0.所以x 0∈(－3，－2)或x 0∈(2,3)， 所以[x 0]的值为－3或2.答案：(1)B (2)－3或2 热点二 函数零点个数的判断【例2】 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)函数f (x )＝cos x －log 8x 的零点个数为________．【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)由f(x)＝0得cos x＝log8x，设y＝cos x，y＝log8x，作出函数y＝cos x，y＝log8x的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.【答案】(1)2 (2)3(2017·佳木斯一模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝e x＋x－3，则f(x)的零点个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点．当x>0时，令f(x)＝e x＋x－3＝0.则e x＝－x＋3.分别画出函数y＝e x和y＝－x＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x <0时函数f (x )也有一个零点． 综上所述，f (x )的零点个数为3.故选C. 答案：C热点三 函数零点的应用 考向1 二次函数的零点问题【例3】 已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2，a ∈R .(1)若不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，求不等式f (x )≥1－x 2的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋x 2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)因为不等式f (x )≤0的解集为[1,2]，所以a ＝－3，于是f (x )＝x 2－3x ＋2. 由f (x )≥1－x 2得，1－x 2≤x 2－3x ＋2，解得x ≤12或x ≥1，所以不等式f (x )≥1－x 2的解集为{x |x ≤12或x ≥1}．(2)函数g (x )＝2x 2＋ax ＋3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g ，g，1<－a4<2，a 2－24>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5>0，2a ＋11>0，－8<a <－4，a <－26或a >26，解得－5<a <－2 6.所以实数a 的取值范围是(－5，－26).已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解：设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，即x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1. 故实数a 的取值范围为(－2,1)．考向2 利用函数的零点求参数的取值范围 【例4】 (2016·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a －x ＋3a ，x <0，log a x ＋＋1，x ≥0，(a >0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 【解析】 要使函数f (x )在R 上单调递减，只需⎩⎪⎨⎪⎧3－4a 2≥0，0<a <1，3a ≥1，解之得13≤a ≤34，因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点．如图所示．易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1a－1≤2，故由图可知，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2＋(4a －3)x ＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2－x 0＝x 20＋a －x 0＋3a ，－1＝2x 0＋a －，整理可得4a2－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34.【答案】 C(2017·南昌模拟)对于实数m ，n 定义运算“⊕”：m ⊕n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2mn －m ≤n ，n 2－mn m >n ，设f (x )＝(2x －1)⊕(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3的取值范围是________．解析：由2x －1≤x －1，得x ≤0，此时f (x )＝－(2x －1)2＋2(2x －1)·(x －1)－1＝－2x ，由2x －1>x －1，得x >0，此时f (x )＝(x －1)2－(2x －1)(x －1)＝－x 2＋x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤0，－x 2＋x ，x >0，作出函数f (x )的图象如图所示，要使方程f (x )＝a 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1<0,0<x 2<12<x 3<1，且x 2，x 3关于x ＝12对称，所以x 2＋x 3＝1，当－2x ＝14时，解得x ＝－18，∴－18<x 1<0，∴78<x 1＋x 2＋x 3<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫78，11．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．函数零点的判定常用的方法有(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.3．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．4．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．。
2018年高考数学一轮复习课件 第2章 第8节 函数与方程
2．函数 f(x)＝πx＋log2x 的零点所在的区间为( )
A.0，18
B.18，14
C.14，12
D.12，1
解析：因为选项中只有 f14·f12＜0，所以函数的零点所
在的区间为14示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分 法求图中交点横坐标的是( )
二、二分法 1．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝ f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ， 使 区 间的两个端点逐步逼近 零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做 二分法 ．
2．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如 下：
①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε； ②求区间(a，b)的中点c； ③计算f(c)； (i)若f(c)＝0，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))； (iii)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度ε，即若|a－b|＜ε，则得到零点近似 值a(或b)；否则重复②③④.
(2) f(a)·f(b)<0
就是方程f(x)＝0的根
2．函数零点存在性定理的条件是充要条件吗？ 提示：不是．满足函数零点存在性定理的条件一定有零 点，不满足这些条件也不能说就没有零点． 如图，f(a)·f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上 照样存在零点，而且有两个，因此 函数零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．
一、函数的零点 1．函数零点的定义 对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 成立的实数x叫做函 数y＝f(x)(x∈D)的零点．
1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？ 提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝ f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
(福建专用)2018年高考数学总复习 第二章 函数 2.8 函数与方程课件 理 新人教A版
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
关闭
B
答案
-10-
知识梳理 考点自测
12345
5.已知函数y=(k-8)x2+x+1至多有一个零点,则k的取值范围
为
.
关闭
函数至多有一个零点,则当 k=8 时,令 x+1=0,即 x=-1,有一个零点,符
合题意;
当 k≠8 时,令 Δ=1-4(k-8)≤0,解得 k≥33.
) (4)已知函数f(x)在(a,b)内图象连续且单调,若f(a)·f(b)<0,则函数
f(x)在[a,b]上有且只有一个零点.( ) (5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个.( )
(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
关闭
答案
-7-
知识梳理 考点自测
12345
2.已知函数y=x2-2x+m无零点,则m的取值范围为 ( )
.
思考已知函数零点所在的区间,怎样求参数的取值范围? 关闭
由题意可得f(2)f(3)<0,即(log22+2-k)·(log23+3-k)<0,整理得(3-k)(log23+3k)<0,解得3<k<3+log23,而4<3+log23<5.因为k∈Z,所以k=4.
关闭
4
解析 答案
-23-
考点1 考点2 考点3
4
故 k 的取值范围为 k≥33或 k=8.
4
关闭
k≥343或 k=8
解析 答案
考点1
考点2
考点3
考点 1
2018届高三数学文一轮复习课件：2-8 函数与方程 精品
3．函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
解析：函数 f(x)＝2x＋x3－2 显然是一个单调递增且是连续的函数，同时 f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0。由函数零点存在性定理可知，函数在(0,1)内必存在 唯一一个零点，故选 B 项。
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数 f(x)＝x2－1 的零点是(－1,0)和(1,0)。( × )
解析：错误。函数 f(x)＝x2－1 的零点为－1 和 1，而并非其与 x 轴的交 点(－1,0)与(1,0)。
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有 f(a)·f(b)＜0。( × )
答案：B
4．根据表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为
()
x －1 0 1
2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．－2，从表中可以看出 f(1)·f(2)<0，因此方程 ex－x －2＝0 的一个根所在的区间为(1,2)。
(2)用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)＜0 ，给定精确度 ε。
第二步，求区间(a，b)的中点 x1。 第三步，计算 f(x1)： ①若 f(x1)＝0 ，则 x1 就是函数的零点； ②若 f(a)·f(x1)＜0 ，则令 b＝x1(此时零点 x0∈(a，x1))； ③若 f(x1)·f(b)＜0 ，则令 a＝x1(此时零点 x0∈(x1，b))。
高三数学一轮复习 2.8函数与方程课件
【解析】选B.函数f(x)=
x
1 2
(的1 )零x 点
2
个数,是方程
1
x2
( 1的)x 解 0的个数,是
2
方程
x
1 2
(的1 )解x 的个数,也就是函数y=
2
x
12与y=
( 1的) x 图象的交点个数.在同一坐
2
标系中作出两个函数的图象,可得交点个数为1.
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13
4.(2014·北京模拟)已知方程lgx=2-x的解为x0,则下列说法 正确的是( )
效数字)为
.
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15
【解析】由题意知,函数零点在区间(1.5562,1.5625)内,又零 点近似值保留三位有效数字,故零点近似值为1.56. 答案:1.56
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16
考点1 方程根的个数的确定与应用
【典例1】(1)(2014·合肥模拟)若偶函数f(x)满足f(x-1)
=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=
14
5.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考数据如下:
f(1.600 0) =0.200
f(1.562 5) =0.003
f(1.587 5) =0.133
f(1.556 2) =-0.029
f(1.575 0) =0.067
f(1.550 0) =-0.060
据此数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(保留三位有
·f(2)>0.
③正确.当b2-4ac<0时,二次函数图象与x轴无交点,从而二次函
数没有零点.
④正确.由已知条件,数形结合得f(x)与x轴在区间[a,b]上有且仅
2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程课件文
解析
因为函数 f(x)为连续函数且 f(1)· f(3)<0， 所以函数
f(x) 在(1,3)内一定有零点．
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例1 (1)若
确定函数零点所在区间
1 3
1 x x0 是方程 ＝x 2
的解， 则 x0 属于区间(
2 D.3，1
3．若函数 f(x)在[ a，b] 上单调，且 f(x)的图象是连续不 断的一条曲线，则 f(a)· f(b)＜0⇒函数 f(x)在[ a，b] 上只有一 个零点．
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) 2． 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当 b2－4ac＜0 时没 有零点．( √ ) 3．函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不 断)，则 f(a)· f(b)＜0.( × )
x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有
f(x1)>0，f(x2)<0，选 C.
命题角度 2 例 4
已知函数零点所在区间求参数
[2017· 启东检测] 若函数 f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)
由题意可得 f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)· (log23
4 在区间(2,3)上有零点，则 k＝________.
|x|，x≤m， 2 x －2mx＋4m，x>m，
其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有 (3，＋∞) ． 三个不同的根，则 m 的取值范围是____________ [ 解题视点] 画出函数图象，合理寻找“临界”情况， 探究实数 m 满足的条件，从而确定 m 的取值范围．
高三数学一轮复习 第二章 第八节 函数与方程课件 理 新人教A版
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自 主
2．“f(a)·f(b)＜0”是“函数y＝f(x)(函数图象连续)在区
考 体
落 实
间(a，b)内有零点”的什么条件？
验 ·
· 固
【提示】 f(a)·f(b)＜0⇒函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零
明 考
基 础
点，反之不一定成立，如函数f(x)＝x2－2x＋1在区间(0， 情
明 考
基
础 由已知条件f(0)f(1)＜0，即a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0.
情
【答案】 (－2，0)
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自
考
主
体
落 实
(1)(2012·天津高考)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，1)内
验 ·
· 固
的零点个数是(
)
明 考
基 础
A．0
明 考
基 础
到零一点分近为似二值的方法叫做二分法．
零点
情
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·理科数学（广东专用）
高
自
考
主
体
落 实
1．函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？
验 ·
· 固
【提示】 不是．函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)
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第八节函数与方程[考纲传真]结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.()(3)若函数f (x )在(a ，b )上单调且f (a )·f (b )＜0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在b 2－4ac ＜0时没有零点．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B.1 C.2D.3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0， ∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B.y ＝sin x C ．y ＝ln xD.y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x －x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B.(1,2) C ．(－2，－1)D.(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23， f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5， ∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【导学号：01772059】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0， ∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.](1)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0,1) B.(1,2) C ．(2,3)D.(3,4)(2)函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点.【导学号：01772060】(1)B (2)存在 [(1)函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0， f (8)＝82－3×8－18＝22＞0， ∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．] [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1) B.(1,2) C ．(2,3)D.(3,4)C [∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，故选C.]0.5A ．1 B.2 C.3D.4(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0，4x ＋1，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0， 可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14， 综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝4cos 2x2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．2 [f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)| ＝2sin x cos x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|. 由f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.设y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln(x ＋1)|，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．](2017·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．[思路点拨] 先作出函数f (x )的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．[解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，3分所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x有三个不同的根，则满足⎩⎨⎧a ＞1，f (6)＜2，f (10)＞2，8分如图，即⎩⎨⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10).12分[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )A ．(1,3) B.(1,2) C ．(0,3)D.(0,2)(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0，∴0＜a ＜3.(2) 作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法．[易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．。