安徽省黄山市2014届高三第三次模拟考试理科数学(2014.05)扫描版
安徽省黄山市高考数学三模试卷(理科)
安徽省黄山市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）集合，则集合为（）A . {1,2}B . {1}C . {2}D . {0,1}2. （2分） (2016高二下·芒市期中) 设复数z满足z（2﹣3i）=6+4i（i为虚数单位），则|z|=（）A . 4B . 2C .D . 13. （2分）若sin2x、sinx分别是sinθ与cosθ的等差中项和等比中项，则cos2x的值为（）A .B .C .D .4. （2分） (2015高二下·福州期中) （1+cosx）dx等于（）A . πB . 2C . π﹣2D . π+25. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的s的值为（）A . -7B . -5C . 2D . 96. （2分）(2017·张掖模拟) 若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（）A . πB . πC . πD . π7. （2分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意，都有f(x-1)=f(x+3)。
当时，f(x)=2x+1设函数f(x)在区间[-2,0]上的反函数为f-1(x),则f-1(19)的值为（）A . -log23B . -2log23C . 1-2log23D . 3-2log238. （2分） (2017高二下·故城期中) 已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c∈{0，1，2}，则不同的二次函数的个数共有（）A . 256个B . 18个C . 16个D . 10个9. （2分） (2019高三上·洛阳期中) 双曲线的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为、，虚轴的一个端点为，若是顶角为的等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·双鸭山月考) 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为（）A .B .C . 1D .11. （2分） (2016高三上·沙市模拟) 已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A . 25πB . 26πC . 27πD . 28π12. （2分）关于函数有下列命题：①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是的整数倍；②f(x)的表达式可改写为；③f(x)的图象关于点对称；④f(x)的图象关于直线对称；⑤f(x)在区间上是增函数；其中正确的是（）A . ②③⑤B . ①② ③C . ②③ ④D . ①③⑤二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·衡水开学考) 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足| |=||= • =2，则点集{P| =x +y ，|x|+|y|≤1，x，y∈R}所表示的区域的面积是________．14. （1分）(2018·齐齐哈尔模拟) 已知实数满足条件若的最小值为 ,则实数 ________．15. （1分）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌有关”．对以下说法：（1）在100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；（2）某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌；（3）在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；（4）在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其中正确的是________ ．（填上所有正确的序号）16. （1分） (2016高二上·嘉峪关期中) 已知数列满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．则通项公式为________．三、解答题 (共5题；共55分)17. （10分）(2019高二下·富阳月考) 在中，角所对的边分别为 .若.（1）求角的大小；（2）若的面积为，且，求的值.18. （10分）(2016·深圳模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，PA⊥PB，PC=2．（1）求证：平面PAB⊥平面ABCD；（2）若PA=PB，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19. （10分）(2016·黄山模拟) 如图是两个独立的转盘（A）、（B），在两个图中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°．用这两个转盘进行游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘（A）指针所对的区域为x，转盘（B）指针所对的区域为y，x、y∈{1，2，3}，设x+y的值为ξ．（1）求x＜2且y＞1的概率；（2）求随机变量ξ的分布列与数学期望．20. （15分）已知点M（3，1），直线ax﹣y+4=0及圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4（1）求过M点的圆的切线方程（2）若直线ax﹣y+4=0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2 ，求a的值（3）若电P（x，y）是圆上的任意一点，求k= 的取值范围．21. （10分） (2019高三上·双鸭山月考) 已知函数，其中为常数．（1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值；（2）当时，若函数在上有两个零点．求实数的取值范围．四、选修4-4：坐标与参数方程 (共1题；共10分)22. （10分）(2016·中山模拟) 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的参数方程为（ϑ为参数，且0≤ϑ＜2π），曲线l的极坐标方程为ρ= （k是常数，且k∈R）．（1）求曲线C的普通方程和曲线l直角坐标方程；（2）若曲线l被曲线C截的弦是以（，1）为中点，求k的值．五、选修4-5：不等式选讲 (共1题；共10分)23. （10分） (2019高三上·汉中月考) 已知函数，且的解集为.（1）解不等式：；（2）若均为正实数，且满足，求证： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、四、选修4-4：坐标与参数方程 (共1题；共10分) 22-1、22-2、五、选修4-5：不等式选讲 (共1题；共10分)23-1、23-2、。
数学文卷·2014届安徽省黄山市高三第三次质量检测(2014.05)WORD版
2014年安徽省黄山市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．如图所示的韦恩图中，阴影部分对应的集合是（）A．A∩B B．∁U（A∩B）C．A∩（∁U B）D．（∁U A）∩B 2．下列判断错误的是（）A．平行于同一条直线的两条直线互相平行B．平行于同一平面的两个平面互相平行C．经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行D．垂直于同一平面的两个平面互相平行3．若p：x2﹣4x+3＞0；q：x2＜1，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知三个数2，m，8构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或5．已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°，则z1•z2为（）A．B．C．D．6．已知数列{a n}，若点{n，a n}（n∈N*）在直线y+2=k（x﹣5）上，则数列{a n}的前9项和S9=（）A．18 B．﹣45 C．22 D．﹣187．已知函数f（x）=sin（2πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则（）•的值为（）A．B．C．1D．28．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）y的统计数据如下表根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元10．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2014x1+log2014x2+…+log2014x2013的值为（）A．﹣1 B．1﹣log20142013 C．﹣log20142013 D．1二、填空题11．（在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C 的中心，则过点A、M、N的平面截正方体的截面面积为_________．12．（5分）（2014•黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为_________．13．已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线y=的准线相切，则m=_________．14．已知O为坐标原点，点M（3，2），若N（x，y）满足不等式组，则的最大值为_________．15．对于函数y=f（x），如果存在区间[m，n]（m＜n），当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称f（x）在[m，n]上是“和谐函数”，且[m，n]为该函数的“和谐区间”，现有以下命题：①f（x）=（x﹣1）2在[0，1]上是“和谐函数”；②恰有两个不同的正数a使f（x）=（x﹣1）2在[0，a]上是“和谐函数”；③f（x）=+k对任意的k∈R都存在“和谐区间”；④存在区间[m，n]（m＜n），使f（x）=sinx在[m，n]上是“和谐函数”；⑤由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）必存在“和谐区间”．所有正确的命题的符号是_________．三、解答题16．（12分）在△ABC中，已知∠A=，边BC=2，设∠B=x，△ABC的周长记为y．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式，并指出其定义域；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间及其值域．17．（12分）2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：（Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？（Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；（Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．18．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的三视图及直观图如图所示，根据图中所给数据，解答下列问题：（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱CC1（不包含端点C、C1）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（Ⅲ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．19．（13分）已知数列{a n}，a1=a，a2=p（p为常数且p＞0），S n为数列{a n}的前n项和，且S n=．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）试判断数列{a n}是不是等差数列？若是，求其通项公式；若不是，请说是理由．（Ⅲ）若记P n=+（n∈N*），求证：P1+P2+…+P n＜2n+3．20．（13分）已知椭圆（a＞b＞0）和直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=，坐标原点到直线l的距离为．（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．（13分）设函数（a＞0），g（x）=bx2+2b﹣1．（1）若曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同的切线，求实数a，b的值；（2）当时，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求实数a的取值范围；（3）当a=1，b=0时，求函数h（x）=f（x）+g（x）在区间[t，t+3]上的最小值．19．解：（Ⅰ）依题意a1=a，又a1==0，∴a=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a1=0，∴，则，两式相减得（n﹣1）a n+1=na n，故有=（n﹣1）p，n≥2，又a1=0也满足上式，∴a n=（n﹣1）p，n∈N+，故{a n}为等差数列，其公差为p．（Ⅲ）由题意，∴P n=+==2+，∴P1+P2+…+P n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+）=2n+3﹣＜2n+3．20．解：（1）直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为．∴∴b=1∵椭圆的离心率e=，∴∴a2=3∴所求椭圆的方程是；（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0 ∴△=36k2﹣36＞0，∴k＞1或k＜﹣1设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=∵=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，∴EC⊥ED∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0∴（1+k2）×+（2k+1）×（）+5=0解得k=＞1，∴当k=时，以CD为直径的圆过定点E21．解：（1）因为，g（x）=bx2+2b﹣1，所以f′（x）=x2﹣a，g′（x）=2bx．…（1分）因为曲线y=f（x）与y=g（x）在它们的交点（1，c）处有相同切线，所以f（1）=g（1），且f′（1）=g′（1）．即，且1﹣a=2b，…（2分）解得．…（3分）（2）当a=1﹣2b时，（a＞0），所以h′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a=（x+1）（x﹣a）．…（4分）令h′（x）=0，解得x1=﹣1，x2=a＞0．当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，a）a（a，+∞）h′（x）+ 0 ﹣0 +h（x）↗极大值↘极小值↗所以函数h（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）．…（5分）故h（x）在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在区间（﹣1，0）内单调递减．…（6分）从而函数h（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，当且仅当…（7分）即解得．所以实数a的取值范围是．…（8分）（3）当a=1，b=0时，．所以函数h（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），单调递减区间为（﹣1，1）．由于，，所以h（﹣2）=h（1）．…（9分）①当t+3＜1，即t＜﹣2时，…（10分）[h（x）]min=．…（11分）②当﹣2≤t＜1时，[h（x）]min=．…（12分）③当t≥1时，h（x）在区间[t，t+3]上单调递增，[h（x）]min=．…（13分）综上可知，函数h（x）在区间[t，t+3]上的最小值为[h（x）]min=…（14分）。
2014年安徽省黄山市高考数学一模试卷(理科)
2014年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.若复数z=是纯虚数，则|z|为（）A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】解：∵复数z===a+6i是纯虚数，∴a=0．∴z=6i．∴|z|=6．故选：D．利用复数的运算法则和复数的模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和复数的模的计算公式，属于基础题．2.如图所示的算法流程图中，最后一个输出的数是（）A. B.2 C. D.3【答案】D【解析】解：由程序框图知：循环体第一次运行N=2，A=1+=；第二次运行N=3，A=+=2；第三次运行N=4，A=2+=；第四次运行N=5，A=+=3；当N=6；不满足条件N≤5，程序运行结束，∴输出的A=3．故选D．根据框图的结构，依次计算循环体运行的N与S的值，直到N＞5，程序运行结束，输出A值．本题考查了循环结构的程序框图，正确判断程序终止的条件是关键．3.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由已知中几何体的直观图，我们可得左视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在左视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确故B选项正确．故选B沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体，它的左视图首先应该是一个正方形，中间的棱在左视图中表现为一条对角线，分析对角线的方向，并逐一对照四个答案中的视图形状，即可得到答案．本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．4.从某校高三数学学业水平测试卷中随机抽取部分试卷，对其成绩进行分析，因某特殊原因，所得的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如图，则频率分布直方图中，从左往右第四个矩形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由茎叶图知数据在[50，60），[60，70），[70，80），[90，100）的频数分别为2、7，10，2，∵频率分布直方图的小矩形的高之比=频数之比，∴第二个矩形的高为7×=0.028∴第三个矩形的高为10×=0.040，∴频率分布直方图的第四个小矩形的高为0.016，∴第四个矩形的面积为0.016×10=0.16=．故选B．根据茎叶图求出数据在[50，60），[60，70），[70，80），[90，100）的频数，利用频数之比=矩形的高之比，求出第二，第三个小矩形的高，由频率分布直方图得第四个矩形的高，再乘以组距可得答案．本题考查了频率分布直方图与茎叶图，读懂图表中数据的含义是解答本题的关键，频率分布直方图小矩形的高=频数组距5.已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x-2的零点为a，函数g（x）=lnx+x-2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A.f（a）＜f（1）＜f（b）B.f（a）＜f（b）＜f（1）C.f（1）＜f（a）＜f（b）D.f（b）＜f（1）＜f（a）【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=e x+x-2的零点为a，f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，∴0＜a＜1．∵函数g（x）=lnx+x-2的零点为b，g（1）=-1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数f（x）=e x+x-2在（0，+∞）上是增函数，可得f（a）＜f（1）＜f（b），故选A．根据函数的零点的判定定理，可得0＜a＜1＜b＜2，再由函数f（x）=e x+x-2在（0，+∞）上是增函数，可得结论．本题主要考查函数的零点的判定定理，函数的单调性的应用，属于中档题．Array 6.由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是（）A.1B.C.D.2【答案】D【解析】解：曲线y=sin x，y=cos x的一个交点的横坐标为：，由曲线y=sin x，y=cos x与直线x=0，x=所围成的平面图形（图中的阴影部分）的面积是s=∫（cosx-sinx）dx+∫（sinx-cosx）dx=（sinx+cosx）|+（-cosx-sinx）|=-1+-1=2．故选D．先将围成的平面图形的面积用定积分表示出来，然后运用微积分基本定理计算定积分即可．本题主要考查了定积分在求面积中的应用，运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数，属于基础题．7.已知椭圆及以下3个函数①f（x）=-x；②f（x）=cos（x-）；③f（x）=lnx，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】解：我们知道：①f（x）=-x，②f（x）=cos（x-）=sinx都是奇函数，其图象关于原点对称，而椭圆的图象关于原点对称，故①②函数图象能等分该椭圆面积；而③f（x）=lnx，其图象关于原点不对称，故f（x）=lnx的图象不能等分该椭圆面积．综上可知：只有①②满足条件．故选：C．要使图象能等分椭圆面积，则函数必须关于原点对称，分别对所给函数，判断其奇偶性，即可得出结论．本题主要考查函数的奇偶性的性质的应用，正确理解题意是解决本题的关键．8.数列1，11，111，1111，…，个，…，的前10项之和是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：∵数列1，11，111，1111，…，个，…，中，，，，…，，∴S10=（10+102+…+1010）-=×-=-=．故选：D．由题设知，由此利用分组求和法和等比数列的前n项和公式能求出数列的前10项和．本题考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题的关键是推导出．9.函数y=ln|x-1|的图象与函数y=-2cosπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A.8B.6C.4D.2【答案】B【解析】解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x-1|的图象，再把x轴上方的图象不动，下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x-1||的图象又f（x）=-2cosπx的周期为T=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：x A+x B=-2，x D+x C=2，x E+x F=6故所有交点的横坐标之和为6故选B由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．10.设命题p：m＜1，命题q：函数f（x）=|x+3|+|x-m|+3+log2（4+m）在区间（0，+∞）为增函数，则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解：∵f（x）=|x+3|+|x-m|+3+log2（4+m）在区间（0，+∞）为增函数，∴若满足＞或者＜＞，即＞或＜＞，∴-3≤m≤0或-4＜m＜-3，综上-4＜m≤0．此时m＜1成立．当m=-5，满足m＜1，但log2（4+m）无意义，∴命题p是命题q的必要不充分条件，故选：B．根据函数单调性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，要求熟练掌握绝对值函数的单调性．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若向量、、满足，且•=0则（2+）= ______ ．【答案】【解析】解：∵•=0，∴≠；又∵∥，∴=λ，（λ∈R）；∴（2+）•=（2λ+）•=（2λ+1）•=（2λ+1）×0=0；故答案为：0．由•=0，且∥，可得用线性表示，代入（2+）•计算即可．本题考查了平面向量的数量积的运算问题，是基础题．12.若（1+2x）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014，则a0+a1= ______ ．【答案】4029【解析】解：在（1+2x）2014=a0+a1x+a2x+…+a2014x2014中，令x=0，可得a0=1．在展开式的通项公式T r+1=•（2x）r中，令r=1，可得x的系数a1=4028，∴a0+a1=4029，故答案为：4029．在展开式中，令x=0求得a0的值，在展开式的通项公式T r+1=•（2x）r中，令r=1，可得x的系数a1的值，从而求得a0+a1的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13.设圆x2+y2=a2+b2与双曲线=1（a＞0，b＞0）在第一象限的交点为P，若双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，且tan∠PF2F1=，则双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：如图，∵圆x2+y2=a2+b2与双曲线=1（a＞0，b＞0）在第一象限的交点为P，双曲线的左右焦点分别为F1、F2，∴F1，F2分别是圆与x轴的交点，∴PF1⊥PF2，∵tan∠PF2F1=，∴=，由双曲线定义知：|PF1|-|PF2|==2a，∴|PF1|=6a，|PF2|=4a，∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴（6a）2+（4a）2=（2c）2，解得c=a，∴e==．故答案为：．由已知条件推导出F1，F2分别是圆与x轴的交点，PF1⊥PF2，|PF1|=6a，|PF2|=4a，由此利用勾股定理能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．14.某个部件由两个电子元件按如图连接而成，当元件1或元件2正常工作，该部件正常工作．设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（800，100），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过800小时的概率为______ ．【答案】【解析】解：设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（800，100），两个电子元件的使用寿命超过800小时的概率均为p=，则该部件使用寿命超过800小时的概率为：p1=1-（1-p）2=，故答案为：．先根据正态分布的意义，两个电子元件的使用寿命超过800小时的概率均为p=，而所求事件“该部件的使用寿命超过800小时”当且仅当“超过800小时时，元件1、元件2至少有一个正常”，利用其对立事件求其概率即可．本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题15.定义在R上的连续函数y=f（x），对任意x满足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0．则下列结论正确的有______①函数y=f（x+2）为偶函数；②f（）＞f（sin18°+cos18°）；③若f（2）=2014，f（2014）=-2，则y=f（x）有两个零点；④若x1＜x2且x1+x2＞4则f（x1）＜f（x2）；⑤在△ABC中，若三个内角A、B、C成等差数列，且f（sin A）＜f（sin（C-）），则△ABC为钝角三角形．【答案】①②③⑤【解析】解：①∵y=f（x）对任意x满足f（4-x）=f（x），∴f（x）的图象关于直线x=2对称，将y=f（x）的图象向左平移2个单位，得到函数y=f（x+2）的图象，∴函数y=f（x+2）的图象关于y轴对称，即函数y=f（x+2）为偶函数，故①正确；②∵（x-2）f′（x）＜0，∴x＜2时f′（x）＞0，x＞2时f′（x）＜0，即f（x）在（-∞，2）上递增，在（2，+∞）上递减，又sin18°+cos18°=sin（45°+18°）＜，∴f（）＞f（sin18°+cos18°），故②正确；③若f（2）=2014，f（2014）=-2，∵f（4-x）=f（x），∴f（-2010）=f（2014）=-2，∴由零点存在定理得，f（x）在（-2010，2），（2，2014）内各有一个零点，∴y=f（x）有两个零点，故③正确；④∵x1＜x2且x1+x2＞4，∴2＜4-x1＜x2，∴f（4-x1）＞f（x2）即f（x1）＞f（x2），故④错误；⑤在△ABC中，若三个内角A、B、C成等差数列，则A+C=2B，又A+B+C=180°，∴B=60°，A+C=120°，∵f（x）在（-∞，2）上递增，且f（sin A）＜f（sin（C-）），∴sin A＜sin（C-30°），即sin（120°-C）＜sin（C-30°），即（cos C+sin C）＜sin C-cos C，化简得：cos C＜0，即C为钝角，△ABC是钝角三角形，故⑤正确；故答案为：①②③⑤．根据函数的对称性，求出函数y=f（x）的对称轴，进而根据函数图象的平移变换，求出函数y=f（x+2）的对称轴，可判断①；根据已知结合导数符号与原函数单调性的关系，分析出函数的单调性，进而可判断②，④，再结合零点存在定理可判断③；根据三数成等差数列，结合三角形内角和定理，求出B，A+C，根据函数在（-∞，2）上的单调性，去掉f，应用和差公式，化简得到cos C＜0，可判断⑤．本题以命题的真假判断为载体考查了函数的对称性，奇偶性，导数与单调性，零点，三角函数的化简等知识点，考查灵活运用公式的能力和灵活运用定义的能力，是一道不错的综合题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.一只箱中原来有若干个大小相同的球，其中3个红球，m个白球，现规定：进行一次操作是指“从箱中随机取一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；若取出是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中”．若进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率为．（1）求m的值；（2）进行第二次操作后，求箱中红球个数x的分布列和数学期望．【答案】解：（1）由题意知P=，化简，得2m2-13m+18=0，解得m=2．（2）由题意知ξ的所有可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）=，P（ξ=5）==，∴ξ的分布列为：∴Eξ==．【解析】（1）由题意知P=，由此能求出m．（2）由题意知ξ的所有可能取值为3，4，5，分别求出P（ξ=3），P（ξ=4），P（ξ=5），由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．17.已知函数f（x）=2cos（x）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．（1）求点A、B的坐标以及•的值（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（-2β）的值．【答案】解：（1）∵0≤x≤5，∴，∴-1≤cos（）≤．当，即x=0时，f（x）取得最大值1，当，即x=4时，f（x）取得最小值-2．因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，-2）．则，，，．∴•=0-2=-2；（2）∵点A（0，1）、B（4，-2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，则，，，则sin2β=2sinβcosβ=2×=，cos2β=2cos2β-1=2×=．∴sin（-2β）=sin（）===．【解析】（1）由x的范围求出x的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则•的值可求；（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（-2β）的值．本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．18.在长方体中ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=2，点E是棱DD1的中点，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角，又过A1、C1、E三点的平面再截去长方体的另一个角得到如图所示的几何体ABCD-A1C1E（1）若直线BC1与平面A1C1CA所成角的正弦值为，求棱AA1的长．（2）在（1）的前提下，求二面角E-A1C1-B的余弦值．【答案】解：（1）设AC∩BD=O，则BD⊥AC，∵BD⊥CC1，∴∠BC1O就是直线BC1与平面A1C1CA所成角．设AA1=h，则sin∠BC1O===，∴AA1=h=4；（2）取A1C1的中点F，连接EF，BF，∵A1B=BC，∴BF⊥A1C1，同理EF⊥A1C1，∴∠BFE就是求二面角E-A1C1-B的平面角．在△BFE中，EF=，BF=3，BE=2，则BF2=BE2+EF2=18，∴BE⊥EF，∴cos∠BFE==．【解析】（1）设AC∩BD=O，证明∠BC1O就是直线BC1与平面A1C1CA所成角，利用直线BC1与平面A1C1CA所成角的正弦值为，即可求棱AA1的长．（2）取A1C1的中点F，连接EF，BF，证明∠BFE就是求二面角E-A1C1-B的平面角，在△BFE中，求二面角E-A1C1-B的余弦值即可．本题考查线面角，考查面面角，考查学生的计算能力，正确作出线面角、面面角是关键．19.在数列{a n}中a1=0，且对任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k．（1）求a2k-1，a2k，以及数列{a n}的通项公式；（2）记T n=…+（n≥2），证明：T n＜2n-（n≥2）．【答案】解：（Ⅰ）∵数列{a n}中a1=0，且对任意k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，其公差为2k，∴a2k+1-a2k-1=4k对∀k∈N*恒成立，∴a2k-1=a1+（a3-a1）+（a5-a3）+（a7-a5）+…+（a2k-1-a2k-3）=0+4+8+12+…+4（k-1）==2k（k-1）．a2k=a2k-1+2k=2k（k-1）+2k=2k2．∴，，，．（Ⅱ）由上述结果得当n为奇数时，，则=2+=2+（），当n为偶数时，，=2，①当n=2k+1，k∈N*时，T n=2+2++2+2++2+2++ (2)=2（n-1）+[（）+（）+…+（）]=2n-2+=2n--＜．②当n=2k，k∈N*时，T n=2+2++2+2++2+2++…+2+2++2=2（n-1）+[（）+（）+…+（）]=2n-2+（）=2n-＜2n-，综上，T n＜2n-（n≥2）．【解析】（Ⅰ）由已知条件知a2k+1-a2k-1=4k，由此利用累加法求出a2k-1=2k（k-1），从而得到a2k=a2k-1+2k=2k（k-1）+2k=2k2，进而能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）当n为奇数时，，=2+（），当n为偶数时，，=2，由此能证明T n＜2n-（n≥2）．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法和分类讨论思想的合理运用．20.已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆C1上，又抛物线C2：x2=2py（p＞0）通径所在直线被椭圆C1所截得的线段长为（1）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（2）过点A的直线L与抛物线C2交于B、C两点，抛物线C2在点B、C处的切线分别为l1、l2，且l1与l2交于点P．是否存在满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标），若不存在，说明理由．【答案】解：（1）设椭圆C1：＞＞，根据椭圆的定义可得2a=|AF1|+|AF2|=8，∴a=4，∵c=2，∴b2=a2-c2=12，∴椭圆C1的方程为：；∵抛物线C2：x2=2py（p＞0）通径所在直线被椭圆C1所截得的线段长为，∴y=代入椭圆C1的方程，可得x=±，∴2=，∴p=2，∴抛物线C2：x2=4y；（2）设点B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由x2=4y，即y=x2，得y'=x∴抛物线C2在点B处的切线l1的方程为y-y1=（x-x1），∵y1=x12，∴y=-y1，∵点P（x0，y0）在切线l1上，∴y0=x0-y1．①同理，y0=x0-y2．②综合①②得点B（x1，y1），C（x2，y2）的坐标都满足方程y0=x0-y．∵经过B（x1，y1），C（x2，y2）的直线是唯一的，∴直线L的方程为y0=x0-y，∵点A（2，3）在直线L上，∴y0=x0-3．∴点P的轨迹方程为y=x-3若|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，又在直线y=x-3上，∵直线y=x-3经过椭圆C1内一点（3，0），∴直线y=x-3与椭圆C1交于两点．∴满足|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|的点P有两个．【解析】（1）利用椭圆的定义，可得椭圆的标准方程；根据抛物线C2：x2=2py（p＞0）通径所在直线被椭圆C1所截得的线段长为，即可求出抛物线C2的方程；（2）设出点B，C的坐标，利用A，B，C三点共线即可得出坐标之间的关系，利用导数的几何意义可得切线的斜率，在得出切线的方程，即可得出交点P的坐标代入上面得到的关系式即可得到交点P的轨迹方程．由|PF1|+|PF2|=|AF1|+|AF2|，则点P在椭圆C1上，而点P又在直线y=x-3上，直线经过椭圆C1的内部一点（3，0），即可判断出其交点个数．本题主要考查椭圆、抛物线曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归于转化的数学数学方法，以及推理论证能力、计算能力、创新意识．21.已知函数f（x）=x2-ax，g（x）=lnx（1）若函数F（x）=f（x）+g（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+g（），若对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式h（x）＞k（1-a2）成立，求实数k的取值范围．【答案】解：（1）∵F′（x）=（x＞0），∴F（x）既有极大值又有极小值⇔方程2x2-ax+1=0有两个不等的正实数根x1，x2．∴△=a2-8＞0，＞0，0-0+1＞0∴a＞2；（2）h（x）=f（x）+g（）=x2-ax+ln，∴h′（x）=，∵a∈（1，2），∴＜，∴x∈（，+∞）时，h（x）是增函数，∴x∈[，1]，h（x）max=h（1）=1-a+ln（a∈（1，2）），∵对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式h（x）＞k（1-a2）成立，∴对任意的a∈（1，2），不等式1-a+ln＞k（1-a2）成立．令φ（a）=1-a+ln-k（1-a2），则φ′（a）=（2ka+2k-1），①k=0时，φ′（a）=-＜0，函数单调递减，此时φ（a）＜φ（1）=0，不合题意；②k＜0，函数在（1，2）单调递减，此时φ（a）＜φ（1）=0，不合题意；③0＜k＜，函数在a=处取得最小值，不合题意；④k≥，函数在（1，2）单调递增，此时φ（2）＞0，符合题意；∴k≥．【解析】（1）求导数，由题意可得F（x）既有极大值又有极小值⇔方程2x2-ax+1=0有两个不等的正实数根x1，x2，即可求得a的取值范围；（2）求出x∈[，1]，h（x）max=h（1）=1-a+ln（a∈（1，2）），对任意的a∈（1，2），总存在x∈[，1]，使不等式h（x）＞k（1-a2）成立，转化为对任意的a∈（1，2），不等式1-a+ln＞k（1-a2）成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．本题考查函数在某点取得极值的条件，考查利用导数研究函数的单调性，突出考查构造函数的思想，转化与分类讨论的思想，考查恒成立问题，综合性强，难度大，属于难题．。
2014级高三三诊数学参考答案及评分标准(理)_看图王
������������������������５ 分 ２ ( ) ( ) 显然 h １ ＞ h e ． ２ ]上存在极值 , 结合函数图象可知 , 若 g( x )在 [ １, e )ȡ０ )＞０ h( １ h( e ������������������������７ 分 则 或 ． ２ )＜０ h( １ h( e )＜０ )＞０ h( e e ( , 当 即 １＜ a ＜ 时, ⅰ) )＜０ ２ h( １ ２ ２ ], 则必定 ∃x１ , 使得 h( 且 １＜ x１ ＜e＜ x２ ＜e x２ ɪ [ １, e x１) x２) ． ＝h( ＝０, ( ) , ( ) , ( ) : 当 x 变化时 , 的变化情况如下表 hx g ᶄx g x
{
������������������������９ 分
������������������������１ ２分
年龄不低于 ３ ５岁 ５
合计 ４ ０ １ ０ ５ ０ ������������������������２ 分
根据 ２ˑ２ 列联表中的数据 , 得到 K 的观测值为
k＝
( )的 ５ 个受访人中 , 由题意 , 年龄在 [ 有 ４ 人支持发展共享单车 ; 年龄在 Ⅱ) １ ５, ２ ０ [ )的 ６ 个受访人中 , 有 ５ 人支持发展共享单车 ． ２ ０, ２ ５ ������������������������７ 分 随机变量 的所有可能取值为 ʑ X ２, ３, ４．
高三数学 ( 理科 ) 三诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) ２ 页(
2014年高考安徽理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．若1i z =+，则i izz +=（ ）（A ）2- （B ）2i - （C ）2 （D ）2i 【答案】C【解析】1ii i (1i)(i 1)(i 1)2i iz z ++⋅=+⋅-=--++=，故选C ．（2）【2014年安徽，理2，5分】“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，所以“0x <”是“()ln 10x +<”的必要而不充分条件，故选B ．（3）【2014年安徽，理3，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）34（B ）55 （C ）78 （D ）89【答案】B 【解析】x 1 1 2 3 5 8 13 21 y 1 2 3 5 8 13 21 34z2 3 5 8 13 21 34 55 （4）【2014年安徽，理4，5分】以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） （A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22 【答案】D【解析】将直线l 方程化为一般式为：40x y --=，圆C 的标准方程为：22(2)4x y -+=，圆C 到直线l 的距离为：22d ==，∴弦长22222L R d =-=，故选D ．（5）【2014年安徽，理5，5分】,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）（A ）12或1- （B ）2或12（C ）2或1 （D ）2或1-【答案】D 【解析】画出约束条件表示的平面区域如右图，z y ax =-取得最大值表示直线z y ax =-向上平移移动最大，a 表示直线斜率，有两种情况：1a =-或2a =，故选D ．（6）【2014年安徽，理6，5分】设函数()()f x x R ∈满足()()sin f x f x x π+=+．当0x π≤<时，()0f x =，则236f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）（A ）12 （B ）3 （C ）0 （D ）12- 【答案】A【解析】2317171111175511171111()()sin ()sin sin ()sin sin sin 066666666662222f f f f ππππππππππ=+=++=+++=+-+=，故选A ．（7）【2014年安徽，理7，5分】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）（A ）213+ （B ）183+ （C ）21 （D ）18 【答案】A【解析】如右图，将边长为2的正方体截去两个角，∴213226112(2)2132S =⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯=+表，故选A ． （8）【2014年安徽，理8，5分】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有（ ）（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对 【答案】C【解析】与正方体一条对角线成060的对角线有4条，∴从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为060的共有41248⨯=（对），故选C ．（9）【2014年安徽，理9，5分】若函数()|1||2|f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为（ ） （A ）5或8 （B ）1-或5 （C ）1-或4- （D ）4-或8 【答案】D【解析】（1）当2a <时，12a-<-，此时31,11,1()2312x a x a x a x f x ax a x ---<-⎧⎪⎪--+-≤≤-=⎨⎪⎪++>-⎩；（2）当2a >时，12a->-，此时31,2()1,12311a x a x f x a x a x x a x ⎧---<-⎪⎪=⎨+--≤≤-⎪⎪++>-⎩，在两种情况下，min ()()|1|322a af x f =-=-+=，解得4a =-或8a =，（此题也可以由绝对值的几何意义得min ()|1|32af x =-+=，从而得4a =-或8a =），故选D ．（10）【2014年安徽，理10，5分】在平面直角坐标系xOy 中，向量,a b 满足||||1a b ==，0a b ⋅=．点Q 满足()2OQ a b =+，曲线{}|cos sin ,0C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{}|0||,P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C Ω为两段分离的曲线，则（ ）（A ）13r R <<< （B ）13r R <<≤ （C ）13r R ≤<< （D ）13r R <<< 【答案】A【解析】设(1,0),(0,1)a b ==则(cos ,sin )OP θθ=，(2,2)OQ =，所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如右图），∵||2OQ =，∴13r R <<<，故选A ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是 ．【答案】38π 【解析】()sin[2()]sin(22)44f x x x ππϕϕϕ-=-+=+-，∴2,()42k k Z ππϕπ-=+∈，∴,()82k k Z ππϕ=--∈，当1k =-时min 38πϕ=．（12）【2014年安徽，理12，5分】已知数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = ． 【答案】1q =【解析】∵{}n a 是等差数列且1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，∴2111(1)(45)(23)a a d a d +++=++，即2111(1)[(1)4(1)[(1)2(1)]a a d a d ++++=+++， 令11,1a x d y +=+=，则有2(4)(2)x x y x y +=+，展开的0y =，即10d +=，∴1q =．（13）【2014年安徽，理13，5分】设0a ≠，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012n n a a x a x a x ++++．若点()(),0,1,2i i A i a i =的位置如图所示，则a = ． 【答案】3a =【解析】由图易知0121,3,4a a a ===，∴122113,()4n n C C a a ⋅=⋅=，∴23(1)42na n n a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a =． （14）【2014年安徽，理14，5分】设1F ，2F 分别是椭圆()222:101y E x b b+=<<的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点，若11||3||AF BF =，2AF x ⊥轴，则椭圆E 的方程为 ．【答案】22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =，∴点B 坐标为251(,)33c B b --，将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b --+=，又221b c =-，解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴椭圆方程为22312x y +=．（15）【2014年安徽，理15，5分】已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）．①S 有5个不同的值；②若a b ⊥，则min S 与a 无关；③若//a b ，则min S 与||b 无关；④若||4||b a >，则min 0S >；⑤若||4||b a =，2min 8||S a =，则a 和b 的夹角为4π． 【答案】②④【解析】S 有下列三种情况：222222222123,,S a a b b b S a a b a b b b S a b a b a b a b b =++++=+⋅+⋅++=⋅+⋅+⋅+⋅+∵222212232()||0S S S S a b a b a b a b -=-=+-⋅=-=-≥，∴min 3S S =， 若a b ⊥，则2min 3S S b ==，与||a 无关，②正确； 若//a b ，则2min 34S S a b b ==⋅+，与||b 有关，③错误；若||4||b a >，则2222min 34||||cos ||4||||||||||0S S a b b a b b b b θ==⋅+≥-⋅+>-+=，④正确；若2min ||2||,8||b a S a ==，则2222min 348||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴1cos 2θ=，∴3πθ=，⑤错误．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2014年安徽，理16，12分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，1c =，2A B =．（1）求a 的值；（2）求sin 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．解：（1）∵2A B =，∴sin sin 22sin cos A B B B ==，由正弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅，∵3,1b c ==，∴212,a a ==（2）由余弦定理得22291121cos 2b c a A bc +-+-===-，由于0A π<<，∴sin A故1sin()sin coscos sin()4443A A A πππ+=+=-=（17）【2014年安徽，理17，12分】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．（1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；（2）记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值（数学期望）．解：用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”， k A 表示“第k 局甲获胜”， k B 表示“第k 局乙获胜”，则21(),(),1,2,3,4,533k k P A P B k ===．（1）121231234121231234()()()()()()()()()()(()()P A P A A P B A A P A B A A P A P A P B P A P A P A P B A P A =++=++2212221225633333333381=⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=． （2）X 的可能取值为2,3,4,5，121212125(2)()()()()()()9P X P A A P B B P A P A P B P B ==+=+=，1231231231232(3)()()()()()()()()9P X P B A A P A B B P B P A P A P A P B P B ==+=+=，123412341234123410(4)()()()()()()()()()()81P X P A B A A P B A B B P A P B P A P A P B P A P B P B ==+=+=8(5)1(2)(3)(4)81P X P X P X P X ==-=-=-==， 故X∴5234599818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）【2014年安徽，理18，12分】设函数()()()23110f x a x x x a =++-->．（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值． 解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2'()123f x a x x =+--，令'()0f x =得1212x x x x ==<，所以12'()3()()f x x x x x =---，当1x x <或2x x >时，'()0f x <；当12x x x <<时'()0f x >，故()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞内单调递减，在12(,)x x 内单调递增． （2）∵0a >，∴120,0x x <>，（ⅰ）当4a ≥时21x ≥，由（1）知()f x 在[0,1]上单调递增，∴()f x 在0x =和1x =处分别取得最小值和最大值．（ⅱ）当40a >>时，21x <，由（1）知()f x 在2[0,]x 上单调递增，在2[,1]x 上单调递减， ∴()f x 在2143ax x -++==处取得最大值，又(0)1,(1)f f a ==，∴当10a >>时()f x 在1x =处取得最小值，当1a =时()f x 在0x =和1x =处同时取得最小值，当41a >>时，()f x 在0x =取得最小值．（19）【2014年安徽，理19，13分】如图，已知两条抛物线()2111:20E y p x p =>和()2122:20E y p x p =>，过原点O 的两条直线1l 和2l ，1l 与1E ，2E 分别交于1A ，2A 两点，2l 与1E ，2E 分别交于1B ，2B 两点． （1）证明：1122//A B A B ；（2）过原点O 作直线l （异于1l ，2l ）与1E ，2E 分别交于1C ，2C 两点．记111A B C ∆与222A B C ∆的面积分别为1S 与2S ，求12SS 的值．解：（1）设直线12,l l 的方程分别为1212,,(,0)y k x y k x k k ==≠，则由1212y k x y p x =⎧⎨=⎩得11121122(,)p pA k k ；由1222y k x y p x=⎧⎨=⎩得22221122(,)p p A k k ，同理可得11122222(,)p p B k k ，22222222(,)p p B k k ，所以111111122222121212122221111(,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=--， 222222222222121212122221111(,)2(,)p p p p A B p k k k k k k k k =--=--，故111222p A B A B p =，所以1122A B A B //．（2）由（1）知1122A B A B //，同理可得1122B C B C //，1122AC A C //，所以111222A B C A B C ∆∆∽，因此2111222S ||()||A B S A B =， 又由（1）中的111222p A B A B p =知111222||||A B p p A B =，故211222S p S p =． （20）【2014年安徽，理20，13分】如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，且2AD BC =．过1A ，C ，D 三点的平面记为α，1BB 与α的交点为M ．（1）证明：M 为1BB 的中点；（2）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；（3）若14A A =，2CD =，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角大小． 解：（1）∵1//BQ AA ，//BC AD ，BCBQ B =，1ADAA A =，∴平面//QBC 平面1A AD ，从而平面1A CD 与这两个平面的交线相互平行，即1QC A D //，故QBC ∆与1A AD ∆的对应边相互平行，于是1A QBC AD ∆∆∽，∴11BQ BQ 1BB 2BC AA AD ===，即Q 为1BB 的中点． （2）如图，连接QA ，QD ．设1AA h =，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V 上和V 下，BC a =，则2AD a =．11112323Q A AD V a h d ahd -=⋅⋅⋅⋅=，1211()3224Q ABCD a a V d h ahd -+=⋅⋅⋅=，∴1712Q A AD Q ABCD V V V ahd --=+=下，又111132A B C D ABCD V ahd -=，∴1111371121212A B C D ABCD V V V ahd ahd ahd -=-=-=下上，故117V V =上下．MD 1C 1B 1A 1A（3）解法一：如图，在ADC ∆中，作AE DC ⊥，垂足为E ，连接1A E ，又1DE AA ⊥，且1AEAA A =，∴1DE AEA ⊥平面，∴1DE A E ⊥，∴1AEA ∠为平面α和平面ABCD 所成二面角的平面角．∵ //AD BC ，2AD BC =， ∴2ADC ABC S S ∆∆=，又∵梯形ABCD 的面积为6，2DC =，∴4ADC S ∆=，4AE =，于是11tan 1AA AEA AE ∠==，14AEA π∠=，故平面α和底面ABCD 所成二面角的大小为4π．解法二：如图，以D 为原点，DA ，1DD 分别为x 轴和z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设CDA θ∠=，因为22sin 62ABCD a a V θ+=⋅=，所以2sin a θ=，从而(2cos ,2sin ,0)C θθ，14(,0,4)sin A θ，设平面1A DC 的法向量为(,,1)n x y =，由1440sin 2cos 2sin 0DA n x DC n x y θθθ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩ 得sin ,cos x y θθ=-=，所以(sin ,cos ,1)n θθ=-，又平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =， 所以2cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅α和底面ABCD 所成二面角的大小为4π． （21）【2014年安徽，理21，13分】设实数0c >，整数1p >，*n N ∈．（1）证明：当1x >-且0x ≠时，()11px px +>+； （2）数列{}n a 满足11pa c >，111p n n np c a a a p p-+-=+，证明：11p n n a a c +>>． 解：（1）用数学归纳法证明①当2p =时，22(1)1212x x x x +=++>+，原不等式成立．②假设(2,*)p k k k N =≥∈时，不等式(1)1k x kx +>+成立，当1p k =+时，1(1)(1)(1)(1)(1)k k x x x x kx ++=++>++21(1)1(1)k x kx k x =+++>++ 所以1p k =+时，原不等式成立．综合①、②可得当1x >-且0x ≠时，对一切整数1p >，不等式()11px px +>+均成立． （2）解法一：先用数学归纳法证明1p n a c >．①当1n =时由假设11pa c >知1pn a c >成立．②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式1pk a c >成立，由111pn n n p c a a a p p-+-=+，易知0,*n a n N >∈， 当1n k =+时，1111(1)p k k p k k a p c c a a p p p a -+-=+=+-，由10p k a c >>得111(1)0p kcp p a -<-<-< 由（1）中的结论得111()[1(1)]1(1)p p k p p p k k k ka c c cp a p a p a a +=+->+⋅-=，因此1p k a c +>，即11p k a c +>，所以当1n k =+时，不等式1pn a c >也成立．综合①、②可得，对一切正整数n ，不等式1pn a c >均成立．再由111(1)n p n n a ca p a +=+-得11n na a +<，即1n n a a +<，综上所述，11,*p n n a a c n N +>>∈．解法二：设111(),p p p c f x x x x c p p--=+≥，则p x c ≥，并且11'()(1)(1)0p p p c p cf x p x p p p x ---=+-=->，1p x c >由此可见，()f x 在1[,)p c +∞上单调递增，因而当1p x c >时11()()p pf x f c c ==． ① 当1n =时由110pa c >>，即1p a c >可知121111111[1(1)]p p p c ca a a a a p p p a --=+=+-<， 并且121()pa f a c =>，从而112pa a c >>，故当1n =时，不等式11pn n a a c +>>成立．② 假设(1,*)n k k k N =≥∈时，不等式11pk k a a c +>>成立，则当1n k =+时11()()()pk k f a f a f c +>>，即有112pk k a a c ++>>，所以当1n k =+时原不等式也成立． 综合①、②可得，对一切正整数n ，不等式11pn n a a c +>>均成立．。
2014届高三第三次调研考试理科数学含答案
2014届高三第三次调研考试数 学(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式：如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A B 、相互独立，那么()()()P AB P A P B =一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1． 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A .1B .2C .1或2D .1-2．已知集合{|2}xS y y ==，集合{|ln(1)0}T x x =-<，则S T ⋂=（ ） A .φ B .(0,2)C .(0,1)D . (1,2)3．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则=24a S（A .2B .4C .152D .1724. 执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ）A .3B .4C .5D .65. 设椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y += B ．2211216x y += C ．2214864x y += D ．2216448x y +=6．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）A . 6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元7. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π8．已知函数3()),f x x x =-则对于任意实数,(0)a b a b +≠, 则()()f a f b a b++的值为（ ）A ．恒正 B.恒等于0 C ．恒负 D. 不确定二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 ．10. 已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b =，||a b λ+=0λ>，则λ= ．11. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ．（用数字作答）12. 若0,0a b ≥≥，且当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，时，恒有1ax by +≤，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于 ．13. 对于*n N ∈，将n 表示为1101102222kk k k n a a a a --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，当i k =时，1i a =；当01i k ≤≤-时，i a 为0或1. 定义n b 如下：在n 的上述表示中，当012,,,,ka a a a ⋅⋅⋅中等于1的个数为奇数时，1nb =；否则0n b =.则3456b b b b +++= ．俯视图正(主)视图 侧(左)视图FADBC（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
2014年安徽省马鞍山市高考数学三模试卷(理科)
2014年安徽省马鞍山市高考数学三模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：∵==-i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，-）∴它对应的点在第四象限，故选D先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限．判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．2.下列命题错误的是（）A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”B.若命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，则“¬p”为：∀x∈R，x2+x+1≠0C.“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要条件D.若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题【答案】D【解析】解：对于A，命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2-3x+2≠0”，是正确的；对于B，命题p：∃x∈R，x2+x+1=0，它的否定是“¬p”：∀x∈R，x2+x+1≠0，是正确的；对于C，x＞2时，x2-3x+2=（x-2）（x-1）＞0，充分性成立，x2-3x+2＞0时，x＞2或x＜1，必要性不成立，∴是充分不必要条件；命题正确；对于D，当“p∧q”为假命题时，p是假命题，或q是假命题；或p，q均为假命题；∴D 是错误的．综上，错误的命题是D；故选：D．A中，由命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，判定A是正确的；B中，由命题p的否定是“¬p”，判定B是正确的；C中，x＞2时，x2-3x+2＞0成立，x2-3x+2＞0时，x＞2不一定成立，判定C是正确的；D中，“p∧q”为假命题时，知p或q是假命题与p，q均为假命题，判定D是错误的．本题通过命题真假的判定，考查了逆否命题与命题的否定、充分与必要条件以及复合命题真假的判定问题，是综合性题目．3.如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：解法1：由题意可知当俯视图是A时，即每个视图是变边长为1的正方形，那么此几何体是立方体，显然体积是1，注意到题目体积是，知其是立方体的一半，可知选C．解法2：当俯视图是A时，正方体的体积是1；当俯视图是B时，该几何体是圆柱，底面积是，高为1，则体积是；当俯视是C时，该几何是直三棱柱，故体积是，当俯视图是D时，该几何是圆柱切割而成，其体积是．故选C．解法1：结合选项，正方体的体积否定A，推出正确选项C即可．解法2：对四个选项A求出体积判断正误；B求出体积判断正误；C求出几何体的体积判断正误；同理判断D的正误即可．本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，依据数据计算能力；注意三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．4.设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c-2），则c的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c-2），∴，∴c=3故选：C．随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c-2），结合曲线的对称性得到点c与点c-2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．5.公差不为零的等差数列{a n}中，a2，a3，a6成等比数列，则其公比q为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中a2，a3，a6成等比数列，∴a2•a6=a32，即（a1+d）（a1+5d）=（a1+2d）2∴d（d+2a1）=0∵公差不为零，∴d+2a1=0∴d=-2a1，∴所求公比故选C．根据等差数列中a2，a3，a6成等比数列，用等差数列的首项和公差表示出这三项，根据这三项成等比数列，用等比中项写出这三项之间的关系，化简整理得到等差数列的首项和公差的关系，求等比数列的公比只要求a3与a2的比值即可．本题是一个等差数列和等比数列综合题，解题时主要应用数列的基本量，这种问题可以出现在解答题中，也可以以选择和填空形式出现．6.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A.-3B.C.D.2【答案】B【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/21第一圈是-32第二圈是-3第三圈是4第四圈是25第五圈是-36…依此类推，S的值呈周期性变化：2，-3，-，，2，-3，…第2010圈是-2011第2011圈否故最终的输出结果为：-，故选B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．本题考查循环结构的程序框图，解决本题的关键是弄清开始和结束循环的条件．属于基础题．7.已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（）A.ω=2，φ=B.ω=2，φ=C.ω=，φ=D.ω=，φ=【答案】B【解析】解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，，所以0=sin（-+ϕ），0＜ϕ＜，ϕ=．故选B．通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A的坐标求出ϕ的值即可．本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力．8.若非零向量，满足|+|=||，则（）A.|2|＞|2+|B.|2|＜|2+|C.|2|＞|+2|D.|2|＜|+2|【答案】C【解析】解：∵|+2|=|++|≤|+|+||=2||，∵，是非零向量，∴必有+≠，∴上式中等号不成立．∴|2|＞|+2|，故选C本题是对向量意义的考查，根据|||-|||≤|+|≤||+||进行选择，题目中注意|+2|=|++|的变化，和题目所给的条件的应用．大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．9.下列函数中，与函数f（x）=的奇偶性、单调性相同的是（）A. B.y=x2 C.y=tanx D.y=e x【答案】A【解析】解：∵f（-x）=，∴函数f（x）是奇函数且为增函数．A.=，为奇函数，根据复合函数的单调性可知函数为增函数．B．为偶函数，在定义域上不单调．C．为奇函数，在定义域上不单调．D．在定义域上单调递增，为非奇非偶函数．故选：A．先判断函数f（x）的奇偶性和单调性，然后再分别判断即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．10.函数f（x）=sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得==…=，则n的最大值等于（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】解：设==…==k，则条件等价为f（x）=kx，的根的个数，作出函数f（x）和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f（x）最多有10个交点，即n的最大值为10，故选：C．作出函数f（x）的图象，设==…==k，则由数形结合即可得到结论．本题主要考查函数交点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若实数x，y满足，则的最小值是______ ．【答案】1【解析】解：令t=x+2y作出不等式组表示的平面区域，如图所示由于t=x+2y可得y=，根据直线在y轴上的截距越大，t越大∴直线t=x+2y平移到点O（O，0）时，t取得最小值0，此时，z=1故答案为：1令t=x+2y，要求z的最小值，只要求解t的最小值，作出不等式组表示的平面区域，由于t=x+2y，可知直线在y轴上的截距越大，t越大，可求t的最小值，进而可求z的最小值本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数的几何意义12.椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1、F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是______ ．【答案】【解析】解：由题意知F1（-2，0），F2（2，0），解方程组得，取P点坐标为（，），，，，cos∠F1PF2==故答案为：．先求出公共焦点分别为F1，F2，再联立方程组求出P，由此可以求出和，最后根据公式cos∠F1PF2=进行求解即可．本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，属基础题．13.已知直线C1：（t为参数）与圆C2：ρ=2交于A、B两点，当|AB|最小时a= ______ ．【答案】-1【解析】解：直线C1：（t为参数）化为普通方程是y+1=a（x+1），即ax-y+ax-1=0，∴直线C1过定点M（-1-1）；圆C2：ρ=2化为普通方程是x2+y2=4，圆心是O（0，0）；∵直线与圆交于A、B两点，∴当|AB|最小时，OM⊥C1；∴a=-=-=-1．故答案为：-1．把直线C1的参数方程化为普通方程，圆C2的参数方程化为普通方程，结合题意，求出a的值．本题考查了极坐标与参数方程的应用问题，也考查了直线和圆相关计算问题，是中档题．14.若不等式|x+1|+|x-3|≥|m-1|恒成立，则m的取值范围为______ ．【答案】m∈[-3，5]【解析】解：|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到-1和3对应点的距离之和，它的最小值等于4，由不等式|x+1|+|x-3|≥|m-1|恒成立知，|m-1|≤4，m∈[-3，5]故答案为m∈[-3，5]．根据绝对值的意义|x+1|+|x-3|表示数轴上的x对应点到3和-1对应点的距离之和，它的最小值等于4，可得答案．本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求出|x+1|+|x-3|的最小值，是解题的关键．15.在下列命题中①函数f（x）=在定义域内为单调递减函数；②已知定义在R上周期为4的函数f（x）满足f（2-x）=f（2+x），则f（x）一定为偶函数；③若f（x）为奇函数，则f（x）dx=2f（x）dx（a＞0）；④已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），则a+b+c=0是f（x）有极值的充分不必要条件；⑤已知函数f（x）=x-sinx，若a+b＞0，则f（a）+f（b）＞0．其中正确命题的序号为______ （写出所有正确命题的序号）．【答案】②④⑤【解析】解：对于①，函数f（x）=在定义域内的区间（-∞，0）和（0，+∞）上是减函数，∴①错误．对于②，由题意得f（2-（x+2））=f（2+（x+2）），即f（-x）=f（4+x）=f（x），∴f（x）是偶函数；∴②正确．对于③，根据定积分的几何意义是函数图象与x轴所围成的封闭图形的面积的代数和，且被积函数f（x）是奇函数，得f（x）dx=0，∴③错误．对于④，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c；当a+b+c=0时，（2b）2-4×3a×（-a-b）=4b2+12a2+12ab=4+3a2＞0，∴f′（x）有二不等零点，f（x）有极值；当f（x）有极值时，f′（x）=3ax2+2bx+c有二不等零点，即4b2-12ac＞0，不能得出a+b+c=0；∴是充分不必要条件，④正确．对于⑤，∵f（x）=x-sinx，∴f′（x）=1-cosx≥0，∴f（x）是增函数，∴当a+b＞0时，a＞-b，∴f（a）＞f（-b）；又∵f（-x）=-x-sin（-x）=-（x-sinx）=-f（x），∴f（x）是奇函数，∴f（-b）=-f（b）；∴f（a）＞-f（b），即f（a）+f（b）＞0；∴⑤正确．综上，正确的命题是②④⑤；故答案为：②④⑤．①中，函数f（x）=在定义域内的区间（-∞，0）和（0，+∞）上有单调性；②中，由题意可以推导出f（-x）=f（x），即f（x）是偶函数；③中，由定积分的几何意义与被积函数是奇函数，得出f（x）dx的值；④中，当a+b+c=0时，得出f′（x）有二不等零点，f（x）有极值；当f（x）有极值时，f′（x）有二不等零点，不能得出a+b+c=0；⑤中，由f′（x）≥0得出a＞-b时，f（a）＞f（-b）；又f（-x）=-f（x），得出f（-b）=-f（b）；从而得出f（a）+f（b）＞0．本题通过命题真假的判定，考查函数的单调性、周期性、奇偶性以及求定积分和利用导数研究函数极值的问题，解题时应对每一个命题认真分析，以便作出正确的选择，是较难的综合题．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C=（2b-c）cos A．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）已知a=，D点为边BC的中点，试求AD的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵acos C=（2b-c）cos A，∴sin A cos C=2sin B cos A-sin C cos A，∴sin（A+C）=2sin B cos A，∴sin B=2sin B cos A，∵又sin B≠0∴，∵＜＜．（Ⅱ）∵，∴b=2sin B∴AD2=b2+（）2-2••b•cos C=4sin2B+-2sin B cos C=4sin2B+-2sin B cos（-B）=sin2B+sin B cos B+=sin2B-cos2B+=sin（2B-）+∵，，∴，∴，【解析】（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中边转化成角的正弦，恒等变形整理后求得cos A的值，进而求得A．（Ⅱ）利用正弦定理表示出b，进而利用余弦定理表示出AD，进而利用三角函数的性质求得AD的范围．本题主要考查三角函数的正弦定理、余弦定理，值域等．综合考查了学生解决问题的能力．17.在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．下面临界值表供参考：参考公式：K2=．【答案】解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值k==≈4.582＞3.841．…2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关． (4)分（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．方法一：令事件B为“甲被抽到”；事件A为“乙丙被抽到”，则P（A∩B）=，P（A）=．所以P（B|A）====．…7分方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P（C）===．②由题知X的可能值为0，1，2．依题意P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==．从而X的分布列为…10分于是E（X）=0×+1×+2×==．…12分．【解析】（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）①方法一：令事件B为“甲被抽到”；事件A为“乙丙被抽到”，则P（B|A）=；方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P（C）=；②由题知X的可能值为0，1，2，求出相应的概率，可得X的分布列及数学期望E（X）．考查分类变量的独立性检验，条件概率，随机变量的分布列、数学期望等，中等题．18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（1）求证：AD⊥PB；（2）求证：DM∥平面PCB．【答案】解：（1）取AD的中点G，连接PG、GB、BD．∵PA=PD，∴PG⊥AD．（2分）∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD，又∵PG∩BG=G，PG、BG⊂平面PGB∴AD⊥平面PGB．∴AD⊥PB．（6分）（2）取PB的中点F，连接MF、CF，∵M、F分别为PA、PB的中点，∴MF∥AB，且．∵四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD且AB=2CD，∴MF∥CD且MF=CD．（10分）∴四边形CDMF是平行四边形．∴DM∥CF．∵CF⊂平面PCB，DM⊄平面PCB∴DM∥平面PCB．（12分）【解析】（1）由题意取AD的中点G，连接PG、GB、BD，因△PAD是等腰直角三角形，所以PG⊥AD，再由AB=AD，且∠DAB=60°得BG⊥AD，证出AD⊥平面PGB，即AD⊥PB；（2）由题意取PB的中点F，连接MF、CF，由中位线和题意证出CDMF是平行四边形，得到DM∥CF，由线面平行的判定定理得DM∥平面PCB．本题主要考查了线面垂直和平行的判定定理的应用，主要用了中位线和等腰三角形的中线证明线线平行和垂直．19.已知数列{a n}中，a n+1=S n-n+3，n∈N*，a1=2．（Ⅰ）求证：当n≥2，n∈N*时，{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）求{a n}的通项公式；（Ⅲ）利用错位相减法求出T n，即可证明不等式≤T n＜（n∈N*）．【答案】解：（Ⅰ）∵，∴a n+1-a n=a n-1⇒a n+1-1=2（a n-1），∴{a n-1}从第二项起为公比等于2的等比数列．（Ⅱ）∵{a n-1}从第二项起为公比等于2的等比数列．∴a2=S1-1+3=4，a1=2a2-1≠2（a1-1），∴，，，．（Ⅲ）由（Ⅱ）知⇒，则，，两式相减得=，即，∵＞，∴＜．【解析】（Ⅰ）根据等比数列的定义即可证明：当n≥2，n∈N*时，{a n-1}是等比数列；（Ⅱ）利用{a n-1}是等比数列，即可求{a n}的通项公式；（Ⅲ）设b n=（n∈N*）的前n项和为T n，求证：≤T n＜（n∈N*）．本题主要考查等比数列的应用，以及考查数列求通项、错位相减法求和，考查学生的计算能力．20.设M为抛物线C：x2=4py（p＞0）准线上的任意一点，过点M作曲线C的两条切线，设切点为A、B．（Ⅰ）直线AB是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由；（Ⅱ）当直线MA，MF，MB的斜率均存在时，求证：直线MA，MF，MB的斜率的倒数成等差数列．【答案】（Ⅰ）解：设M（m，-p），两切点为A（x1，y1），B（x2，y2），由x2=2py，得y=，求导得′．∴两条切线方程为y-y1=，①，②…2分对于方程①，代入点M（m，-p）得，-p-y1=，又，∴-p-=，整理得：，同理对方程②有，即x1，x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根．∴x1+x2=2m，x1x2=-4p2，③…4分设直线AB的斜率为k，==，∴直线AB的方程为y-=，展开得：y=（x1+x2）x-，代入③得：y=x+p，∴直线恒过定点（0，p）．…6分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）的结论，设M（m，-p），A（x1，y1），B（x2，y2），且有，，∴，，∴==+==+====-，又∵，∴．即直线MA，MF，MB的斜率倒数成等差数列．…13分【解析】（Ⅰ）设M（m，-p），两切点为A（x1，y1），B（x2，y2），由x2=2py，得y=，求导得两条切线方程为y-y1=，，从而求出x1，x2为方程x2-2mx-4p2=0的两根，由此能求出直线恒过定点（0，p）．（Ⅱ）设M（m，-p），A（x1，y1），B（x2，y2），，，由此能证明直线MA，MF，MB的斜率倒数成等差数列．本题考查直线是否恒过定点的判断，考查三条直线的斜率倒数成等差数列的证明，考查圆锥曲线切线，直线过定点，圆锥曲线计算能力等，是难题．21.已知函数f（x）=lnx-bx-（a、b为常数），在x=1时取得极值．（Ⅰ）求实数a-b的值；（Ⅱ）当a=-2时，求函数f（x）的最小值；（Ⅲ）当n∈N*时，试比较（）n（n+1）与（）n+2的大小并证明．【答案】解：（I）∵f（x）=lnx-bx-，∴f′（x）=，∵在x=1时取得极值，∴f′（1）=-b+1+a=0∴a-b=-1…4分（II）a=-2，b=-1，∴，∴′＞，∴f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值，∴f（x）min=f（1）=3…8分（III）由（II）知f（x）min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减．∵＜＜，∴＞∴ln+-＞0，∴n（n+1）ln＞0-（n+2），∴（）n（n+1）与（）n+2…（13分）【解析】（Ⅰ）求导数，利用函数在x=1时取得极值，可求实数a-b的值；（Ⅱ）确定f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，可得f（x）在（0，+∞）内有唯一极小值，也就是f（x）在（0，+∞）内的最小值；（Ⅲ）由（II）知f（x）min=f（1）=3且f（x）在（0，1]上单调递减，证明ln+-＞0，可得结论．本题考查导数极值、最值，辅助函数证明不等式等，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．。
2014届高三数学试题(理科)
2014届高三数学试题(理科）出卷人： 班别： 姓名： 学号： 分数： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1．集合{|lg 0}M x x =>，2{|9}N x x =≤，则MN =（ ）A ．(1,3)B ．[1,3)C ．(1,3]D ．[1,3]2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为（ ） A. 363(2)π+ B. 363(2)π+C. 1083πD. 108(32)π+(1,1)a =-，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ． 2B ．2-C ．3-D ．3ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ． 3B ．53 C ．5 D ．737．在△ABC 中，已知b ＝4 ，c ＝2 ，∠A＝120°，则a = （ ）A ．2B ．6C ．2 或6D ．278．函数,),(D x x f y ∈=若存在常数C ，对任意的,1D x ∈存在唯一的D x ∈2使得,)()(21C x f x f =则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C ．已知],2,1[,)(3∈=x x x f 则函数3)(x x f =在[1,2]上的几何平均数为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．22二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 . 10．62()x x-展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =． 若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a b a cc b ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 .13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()324πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O 的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = . 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域． 17．(本小题满分13分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
安徽省黄山市高考数学三模试卷(理科)
安徽省黄山市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合，则为（）A . {1,2,4,8,16}B . {1,2,4,8}C . {2,4,8}D . {2,4}2. （2分）在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知，，，则向量与向量的夹角是（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一上·巢湖期末) 函数f（x）= +lg（2x﹣4）的定义域是（）A . （2， ]B . [2， ]C . （2，+∞）D . [ ，+∞]5. （2分）过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为（）A . a＜﹣3或a＞1B . a＜C . ﹣3＜a＜1 或a＞D . a＜﹣3或1＜a＜6. （2分）(2018·朝阳模拟) 某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高一下·珠海月考) 把函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A .B .C .D .8. （2分）某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A . 10B . 15C . 20D . 309. （2分）如果执行框图，输入N=5，则输出的数等于（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·成都期中) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y 的最大值和最小值分别为（）A . 3，﹣11B . ﹣3，﹣11C . 11，﹣3D . 11，311. （2分） (2017高三上·嘉兴期末) 已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二下·雅安期中) 已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·沈阳模拟) 若正态变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则ξ在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别是0.6826，0.9544，0.9973．已知某大型企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N（172，52），则适宜身高在177～182cm范围内员工穿的服装大约要定制________套．（用数字作答）14. （1分）(2017·黑龙江模拟) 的二项展开式中第五项和第六项的二项式系数最大，则各项的系数和为________．15. （1分） (2017高一下·乾安期末) 在锐角中，分别为内角的对边，若b=2， c=3，，设角A的平分线交BC于D，则BD=________．16. （1分） (2016高一下·江阴期中) 设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分）(2018·天津) 在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a,b,c ．已知bsinA=acos(B– )．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin(2A–B)的值．18. （10分） (2019高一上·兰州期末) 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1 ， AB＝AC＝3，BC＝2 ，AA1＝，BB1＝2 ，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．19. （10分） (2017高一下·定西期中) 为了估计某人的射击技术情况，在他的训练记录中抽取50次检验，他的命中环数如下：10，5，5，8，7，8，6，9，7，8，6，6，5，6，7，8，10，9，7，9，8，7，6，5，9，9，8，8，5，8，6，7，6，9，6，8，8，8，6，7，6，8，107，10，8，7，7，9，5（1）列出频率分布表（2）画出频率分布的直方图．20. （10分）(2019·十堰模拟) 已知椭圆的离心率为，是椭圆的一个焦点．点，直线的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且．求的方程．21. （5分） (2015高二下·霍邱期中) 已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞﹣成立．22. （5分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；23. （10分）(2017·沈阳模拟) 已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、。
2014年安徽省高考理科数学试卷及参考答案(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔安徽卷〕数 学〔理科〕 第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.〔1〕设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数．假设i z +=1，则=⋅+z iz1〔 〕A ．－2 Ｂ．－2i Ｃ．２ Ｄ．2i〔2〕“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的〔 〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 〔3〕如下图，程序框图〔算法流程图〕的输出结果是〔 〕 A ．34 B ．55 C ．78 D ．89〔4〕以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31y y t x 〔t 为参数〕，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为〔 〕A ．14B ．142C ．2D ．22〔5〕x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，假设ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为〔 〕A ．21或-1 B ．2或21C ．2或1D ．2或-1 〔6〕设函数)(x f 〔R x ∈〕满足x x f x f sin )()(+=+π．当π≤≤x 0时，0)(=x f ，则=)623(πf 〔 〕 A ．21 B ．23 C ．0 D ．21-〔7〕一个多面体的三视图如下图，则该多面体的外表积为〔 〕． A ．21+3 B ．18+3 C ．21 D ．18〔8〕从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有〔 〕对．A ．24B ．30C ．48D ．60〔9〕假设函数a x x x f +++=21)(的最小值为3，则实数a 的值为〔 〕 A ．5或8 B ．-1或5 C ．-1或-4 D ．-4或8〔10〕在平面直角坐标系xoy 中，已知向量a ,b ，1==b a ,0=⋅b a ，点Q 满足)(2b a OQ +=．曲线πθθθ20,sin cos ≤≤+==b a OP P C丨，区域R r R PQ r P <≤≤<=Ω，丨0．假设Ω⋂C 为两段别离的曲线，则〔 〕A ．31<<<R rB ．R r ≤<<31C ．31<<≤R rD ．R r <<<31第（13）题图第II 卷〔非选择题 共100分〕二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分． 〔11〕假设将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ．〔12〕数列{}n a 是等差数列，假设11+a ，33+a ，55+a 构成公比为q 的等比数列，则q = ． 〔13〕设0≠a ，n 是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为nn x a x a x a a ++++ 22210．设点),(i i a i A 〔2,1,0=i 〕的位置如下图，则a = ．〔14〕设21,F F 分别是椭圆E ：1222=+by x 〔10<<b 〕的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 与A,B 两点，假设x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为 ．(15)已知两个不相等的非零向量a ,b ，两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成．记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值．则以下正确的命题的是〔写出所有正确命题的编号〕．①S 有5个不同的值； ②假设a ⊥b ，则min S 与a无关； ③假设a ∥b ，则min S 与b 无关；④假设b >a 4，则min S >0； ⑤假设b =a 4,min S =28a ，则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 〔16〕〔本小题总分值12分〕 设△ABC 的内角C B A ,,对边的长分别是a ,b ,c ，且3=b ,1=c ,B A 2=． 〔I 〕求a 的值： 〔II 〕求)4sin(π+A 的值．〔17〕〔本小题总分值12分〕甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，假设赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为32，乙获胜的概率为31，各局比赛结果互相独立． 〔I 〕求甲在4局以内〔含4局〕赢得比赛的概率；〔II 〕记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值〔数学期望〕．第（20）题图D A D 1〔18〕〔本小题总分值12分〕设函数32)1(1)(x x x a x f --++=，其中0>a ． 〔I 〕讨论)(x f 在其定义域上的单调性；〔II 〕当][1,0∈x 时，求)(x f 取得最大值和最小值时的x 的值．〔19〕〔本小题总分值13分〕如图，已知两条抛物线1E ：x p y 122=〔01>p 〕和2E ：x p y 222=1l 与1E ,2E 分别交于1A ,2A 两点，2l 与1E ,2E 分别交于1B ,2B 两点．〔I 〕证明：2211B A B A ∥；〔II 〕过O 作直线l 〔异于1l ,2l 〕与1E ,2E 分别交于1C ,2C 两点，记111C B A △,与222C B A △的面积分别为1S 与2S ，求21S S 的值．〔20〕〔本小题总分值13分〕如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，⊥A A 1底面ABCD ．四边形为梯形，∥，且．过D C A ,,1三点的平面记为α，1BB 与α的交点为Q ．〔I 〕证明：Q 为1BB 的中点；〔II 〕求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；〔III 〕假设41=AA ,2=CD ，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与底面ABCD 所成二面角的大小．〔21〕〔本小题总分值13分〕 设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈．〔I 〕证明：当1->x 且0≠x 时，()px x p+>+11；〔II 〕数列{}n a 满足p n n n pa pc a p p a c a -++-=>11111,，证明：p n n c a a 11>>+．数学〔理科〕试题参考答案一．选择题：此题考查基本知识和基本运算．每题5分，总分值50分．〔1〕C 〔2〕B 〔3〕B 〔4〕D 〔5〕D 〔6〕A 〔7〕A 〔8〕C 〔9〕D 〔10〕A二．填空题：此题考查基本知识和基本运算．每题5分，总分值25分． 〔11〕83π 〔12〕1 〔13〕3 〔14〕12322=+y x 〔15〕②④三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 〔16〕〔本小题总分值12分〕 解：〔I 〕∵B A 2=，∴B B B A cos sin 22sin sin ==．由正、余弦定理得：acb c a b a 22222-+⋅=．∵1,3==c b ，∴32,122==a a ． 〔II 〕 由余弦定理得：31612192cos 222-=-+=-+=bc a c b A ．∵π<<A 0，∴322911cos 1sin 2=-=-=A A ． ∴62422)31(223224sincos 4cossin )4sin(-=⨯-+⨯=+=+πππA A A ．〔17〕〔本小题总分值12分〕解：用A 表示“甲在4局以内〔含4局〕赢得比赛”，k A 表示“第k 局甲获胜”，k B 表示“第k 局乙获胜”， 则32)(=k A P ，31)(=kB P ，5,4,3,2,1=k ． 〔I 〕)()()()(432132121A A B A P A A B P A A P A P ++==)()()()()()()()()(432132121A P A P B P A p A P A P B P A P A P ++=8156323132323132222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛ 〔II 〕X 的可能取值为2,3,4,5．95)()()()()()()2(21212121=+=+==B P B P A P A P B B P A A P X P ， 92)()()()()()()()()3(321321321321=+=+==B P B P A P A P A P B P B B A P A A B P X P ，8110)()()()()()()()()()()4(4321432143214321=+=+==B P B P A P B P A P A P B P A P B B A B P A A B A P X P 818)4()3()2(1)5(==-=-=-==X P X P X P X P ∴X 的分布列为8181581493952=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ．〔18〕〔本小题总分值12分〕解：〔I 〕)(x f 的定义域为()+∞∞-,，2321)(x x a x f --+='．令0)(='x f ，得2121,3341,3341x x ax a x <++-=+--=．∴))((3)(21x x x x x f ---='．当1x x <或2x x >时，0)(<'x f ；当21x x x <<时，0)(>'x f ． ∴)(x f 在()1,x ∞-和()+∞,2x 内单调递减，在()21,x x 内单调递增． 〔II 〕∵0>a ，∴0,021><x x ．① 当4≥a 时，12≥x ．由〔I 〕知，)(x f 在][1,0上单调递增．∴)(x f 在0=x 和1=x 处分别取得最小值和最大值． ② 当40<<a 时，12<x ．由〔I 〕知，)(x f 在][2,0x 上单调递增，在][1,2x 上单调递减． ∴)(x f 在33412ax x ++-==处取得最大值．又1)0(=f ,a f =)1(，∴当10<<a 时，)(x f 在1=x 处取得最小值；当1=a 时，)(x f 在0=x 处和1=x 处同时取得最小值； 当41<<a 时，)(x f 在0=x 处取得最小值．〔19〕〔本小题总分值13分〕〔I 〕证：设直线21,l l 的方程分别为x k y x k y 21,==〔0,21≠k k 〕，则 由⎩⎨⎧==x p y xk y 1212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1121112,2k p k p A ，由⎩⎨⎧==x p y xk y 2212，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221222,2k p k p A ．同理可得⎪⎪⎭⎫⎝⎛2122112,2k p k p B ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222222,2kp k p B ． ∴⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122111212112211111,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ， ⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫- ⎝⎛-=122122212222122222211,11222,22k k k k P k p k p k p k p B A ． 故222111B A p p B A =，∴2211B A B A ∥． 〔II 〕解：由〔I 〕知2211B A B A ∥，同理可得2211C B C B ∥，2211A C A C ∥． ∴222111C B A C B A ∽△△．∴221=S S ．又由〔I 〕中的222111B A p p B A =21P P =． ∴222121P PS S =．〔20〕〔本小题总分值13分〕〔I 〕证：∵1AA BQ ∥，AD BC ∥，B BQ BC =⋂，A AA AD =⋂1． ∴平面QBC ∥平面AD A 1．从而平面CD A 1与这两个平面的交线互相平行，即D A QC 1∥． ∴△QBC 与△AD A 1的对应边相互平行，于是△∽QBC △AD A 1．∴2111===AD BC AA BQ BB BQ ，即Q 为1BB 的中点．第（20）题图1αEQ D AB A 1D 1C 1B 1C第（20）题图2〔II 〕解：如第〔20〕题图1，连接QA ,QD ．设h AA =1，梯形ABCD 的高为d ，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为上V 和下V ，a BC =，则a AD 2=．ahd d h a V AD A Q 31221311=⋅⋅⋅⋅=-， ahd h d a a V ABCD Q 41)21(2231=⋅⋅+⋅=-，∴ahd V V V ABCD Q AD A Q 1271=+=--下．又ahd V ABCD D C B A 231111=-，∴ahd ahd ahd V V V ABCD D C B A 121112723-1111=-==-下上，故711=下上V V ． 〔III 〕解法1如第〔20〕题图1，在ADC △中，作DC AE ⊥，垂足为E ，连接E A 1． 又1AA DE ⊥，且A AA DE =⋂1． ∴1AEA DE 平面⊥，于是E A DE 1⊥．∴∠1AEA 为平面α与底面ABCD 所成二面角的平面角． ∵AD BC ∥，BC AD 2=，∴BCA ADC S S △△2=．又∵梯形ABCD 的面积为6，2=DC ，∴4=ADC S △，4=AE ． ∴1tan 11==∠AE AA AEA ，41π=∠AEA ． 故平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π． 解法2如第〔20〕题图2，以D 为原点，1,DD DA 分别为x 轴和z 轴正方向建立空间直角坐标系． 设θ=∠CDA∵6sin 222=⋅+=θaa S ABCD ，∴θsin 2=a ．从而)(0,sin 2,cos 2θθC ，⎪⎭⎫⎝⎛4,0,sin 41θA ， ∴()0,sin 2,cos 2θθ=DC ，⎪⎭⎫⎝⎛=4,0,sin 41θDA ． 设平面DC A 1的法向量)1,,(y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0sin 2cos 204sin 41θθθy x n DC n DA ，得θsin -=x ，θcos =y ，∴)1,cos ,sin (θθ-=n ．又∵平面ABCD 的法向量)1,0,0(=m ，∴22,cos =>=<m n m n ， ∴平面α与底面ABCD 所成二面角的大小为4π．〔21〕〔本小题总分值13分〕 〔I 〕证：用数学归纳法证明① 当2=p 时，x x x x 2121)1(22+>++=+，原不等式成立． ② 假设),2(*N k k k p ∈≥=时，不等式kx x k+>+1)1( 成立． 当1+=k p 时，x k kx x k kx x x x x k k )1(1)1(1)1)(1()1)(1()1(21++>+++=++>++=++．∴1+=k p 时，原不等式也成立．综合①②可知，当0,1≠->x x 时，对一切整数1>p ，不等式px x p+>+1)1(均成立．〔II 〕证法1：先用数学归纳法证明pn c a 1>．① 当1=n 时，由题设p c a 11>知，pn c a 1>成立． ② 假设）（*,1N k k k n ∈≥=时，不等式pk c a 1>成立． 由pn n n a pc a p p a -++-=111易知*,0N n a n ∈>． 当1+=k n 时，)1(1111-+=+-=-+p kp k k k a cp a p c p p a a ． 由01>>pk ca 得0)1(111<-<-<-p ka cp p ． 由〔I 〕中的结论得p k p k pp k pk k a c a c p p a c p a a =-⋅+>⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+)1(11)1(111． 因此c a pk >+1，即pk c a 11>+．③ ∴1+=k n 时，不等式pk c a 1>也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk c a 1>均成立． 再由)1(111-+=+p nn n a cp a a 可得11<+n n a a ，即n n a a <+1．综上所述，*11,N n c a a pn n ∈>>+．证法2：设p p c x x p cx p p x f 111)(≥+-=-，，则c x p ≥，并且p p p c x xcp p x p p c p p x f 10)1(1)1(1)(>>--=-+-='-，．由此可得，)(x f 在),[1+∞pc 上单调递增．因而，当pc x 1>时，pp c c f x f 11)()(=>．① 当1=n 时，由011>>p ca ，即c a p>1可知1111112)1(111a a c p a a p c a p p a p p <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+-=-，并且pc a f a 112)(>=，从而p c a a 121>>．故当1=n 时，不等式pn n ca a 11>>+成立．②假设），（*1N k k k n ∈≥=时，不等式pk k c a a 11>>+成立，则 当1+=k n 时，)()()(11pk k c f a f a f >>+，即有pk k c a a 121>>++．∴1+=k n 时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式pk k ca a 11>>+均成立．。