中考数学复习指导：求线段长度问题的一般方法

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2023年中考数学专题复习课件：二次函数线段问题

专题复习:线段问题
典例精析
例如图，抛物线y＝－ 1 x2＋ 5 x－2与x轴交于A
22
，B两点(点A在点B右侧)，与y轴交于点C.
(1)如图①，点P是线段AC上方抛物线上一动点，过点P作PG⊥x轴且交x轴于点F，交AC于点G，当PF＝ 1 FG时，求点P的坐标；
2
例题图①
【思维教练】要求点P的坐标，用含x的函数解析式与点的特征设出点坐
D
第4题图①
∟
(3)如图②，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得2OH－OG＝7. 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)解：存在点M，使得2OH－OG＝7. 如图，过点M作 ME⊥x轴，垂足为点E
∵M(m，－m2＋4)，∴OE＝m，ME＝－m2＋4，∵B(2，0)，∴OB＝2，
∴AF＝3.设点P的坐标为(n，－n2＋4n＋5)， F
则点D的坐标为(n，－n＋2)，∴PD＝－n2＋4n＋5－(－n＋2)＝－n2＋5n＋3 D
PN PD n2 5n 3 1 (n 5 )2 37
AN AF
3
3 2 12
第1题图②
∵－ 1 ＜0，－1＜n＜5，
3
∴当n＝ 5 时，PN 有最大值，最大值为 37 .
将M，F的坐标代入，得
2k 5k
b b
0 3
，解得
k b
1 2
，∴射线MF的解析式为y＝x－2(x≥2)；
第1题图①
(2)在(1)的条件下，当抛物线与折线 EMF有两个交点时，设两个交点的
横坐标是x1，x2(x1＜x2)，求 x1＋x2的值；
(2)如图，设折线EMF与抛物线的交点为P，Q.
∵抛物线的对称轴为直线x＝－

中考复习专题：求线段的长度课件19张

类型三：与圆有关的线段长度的计算
例3 (2019·遵义)如图，已知⊙O的半径为1，AB，AC是⊙O
的两条弦，且AB＝AC，延长BO交AC于点D，连接OA，OC．若
AD2＝AB·DC，则O5D2－＝1
.
【思路分析】
由题意可证△AOB≌△AOC，推出∠ACO＝∠ABD．由OA＝OC，得∠OAC＝ ∠ACO＝∠ABD，再结合∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD．根据对应边成比例，设OD＝x，表示出AB，AD，根据AD2＝AB·DC，列方程求解即可．
人教版九年级数学
中考复习专题
求线段长度
专题解读：线段长度的计算是中考的必考题．此类试题通常以三
角形、四边形或圆为背景，结合图形的变换构造出较复杂的图形，然后计算其中某特定线段的长度. 此类试题通常为填空题的压轴题，考查的是各种图形的性质，要求学生具有较强的分解复杂图形、整合利用条件、合理添加辅助线、构造基本图形的能力，综合性较强，难度较大．解决此类问题需要熟练掌握求线段长的基本方法，如利用勾股定理、相似三角形的对应边成比例以及直角三角形的边角关系等，要注意总结添加辅助线、构造基本图形的方法，积累分析求解此类问题的经验．
2．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB
的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为
10 3
.
类型二：与四边形有关的线段长度的计算
例2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O， AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M， EM交BD于点N.若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为 44，且晴朗明澈，但是缺少深度。也有评论家认为好就好在没有深度，因为没有深度的 “看” 风景，其实就不为一般的社会价值所局限，这样也就抛弃了自以为是的优越感和置身事外的位置，而是在宇宙万汇的动静之中“看 ”。

初中图形求线段长度教案

初中图形求线段长度教案教学目标：1. 理解并掌握线段中点的性质，能够运用线段中点的性质解决实际问题。

2. 掌握线段的和差关系，能够运用线段的和差关系求解线段长度。

3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：1. 线段中点的性质。

2. 线段的和差关系。

教学难点：1. 如何运用线段中点的性质解决问题。

2. 如何运用线段的和差关系求解线段长度。

教学准备：1. 教师准备相关的图形示例。

2. 学生准备笔记本和文具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师展示一些实际问题，让学生尝试解决。

2. 学生尝试解决问题，发现需要求解线段长度。

3. 教师引导学生思考如何求解线段长度。

二、新课讲解（20分钟）1. 教师讲解线段中点的性质，让学生理解并掌握。

2. 教师讲解线段的和差关系，让学生理解并掌握。

3. 教师通过示例演示如何运用线段中点的性质和线段的和差关系解决问题。

三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些练习题，让学生独立解决。

2. 学生独立解决问题，教师巡回指导。

四、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学的知识点。

2. 学生分享自己在解决问题时的经验和困惑。

3. 教师给出建议和指导。

教学延伸：1. 教师可以给出一些综合性的问题，让学生运用线段中点的性质和线段的和差关系解决。

2. 教师可以组织一些小组活动，让学生合作解决问题，培养学生的团队合作能力。

教学反思：本节课通过实际问题的引入，让学生理解并掌握了线段中点的性质和线段的和差关系。

在课堂练习环节，学生能够独立解决问题，并对所学知识进行应用。

但在总结与反思环节，发现部分学生对知识点的理解不够深入，需要在今后的教学中加强巩固。

总体来说，本节课达到了预期的教学目标，学生对线段长度的求解有了更深入的理解和掌握。

2012中考数学考点求两线段长度值

2012中考数学考点求两线段长度值“求两线段长度值和最⼩”问题全解析⼭东沂源县徐家庄中⼼学校　左进祥在近⼏年的中考中，经常遇到求PA+PB最⼩型问题，为了让同学们对这类问题有⼀个⽐较全⾯的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最⼩”问题全解析，希望对同学们有所帮助．⼀、在三⾓形背景下探求线段和的最⼩值1.1 在锐⾓三⾓形中探求线段和的最⼩值例1　如图1，在锐⾓三⾓形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最⼩值为．分析分析：在这⾥，有两个动点，所以在解答时，就不能⽤我们常⽤对称点法．我们要选⽤三⾓形两边之和⼤于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，⼜因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最⼩值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最⼩值为4，以BM+MN的最⼩值是4．故填4．1.2在等边三⾓形中探求线段和的最⼩值例2（2010 ⼭东滨州）如图4所⽰，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上⼀点.若AE=2,EM+CM的最⼩值为.分析：要求线段和最⼩值，关键是利⽤轴对称思想，找出这条最短的线段，后应⽤所学的知识求出这条线段的长度即可．分析解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最⼩时的位置，如图5所⽰，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂⾜为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直⾓三⾓形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直⾓三⾓形BEF中，BE==.⼆、在四边形背景下⼆、在四边形背景下探求线段和的最⼩值探求线段和的最⼩值2.1在直⾓梯形中在直⾓梯形中探求线段和的最⼩值探求线段和的最⼩值例3（2010江苏扬州）如图3，在直⾓梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上⼀个动点，当PC ＋PD 的和最⼩时，PB 的长为__________．分析分析：在这⾥有⼀个动点，两个定点符合对称点法求线段和最⼩的思路，所以解答时可以⽤对称法．解：如图3所⽰，作点D 关于直线AB 的对称点E ，连接CE ，交AB 于点P ，此时PC ＋PD 和最⼩，为线段CE ．因为AD ＝4，所以AE=4．因为∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE ＝∠BPC,所以△APE ∽△BPC ，所以.因为AE=4，BC ＝6，所以，所以，所以,因为AB ＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中在等腰梯形中探求线段和的最⼩值探求线段和的最⼩值例4　如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的⼀点，则PA+PB 的最⼩值为．分析分析：根据等腰梯形的性质知道，点A 的对称点是点D ，这是解题的⼀个关键点．其次运⽤好直⾓三⾓形的性质是解题的⼜⼀个关键．解：如图4所⽰，因为点D 关于直线EF 的对称点为A ，连接BD ，交EF 于点P ，此时PA ＋PB 和最⼩，为线段BD ．过点D 作DG ⊥BC ，垂⾜为G ，因为四边形ABCD 是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC ＝60°，AD ∥BC ，所以∠BAD ＝120°．因为AB=AD ，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB 的最⼩值为．2.3在菱形中在菱形中探求线段和的最⼩值探求线段和的最⼩值例5　如图5菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对⾓线AC 上的⼀个动点，则PE+PB 的最⼩值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的⼀个关键点．分析解：如图5所⽰，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最⼩，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三⾓形ABD是等边三⾓形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最⼩值为．探求线段和的最⼩值在正⽅形中探求线段和的最⼩值2.4在正⽅形中例6　如图6所⽰，已知正⽅形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的⼀个动点，则DN+MN的最⼩值为．分析：根据正⽅形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的⼀个关键点．分析解：如图6所⽰，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最⼩，为线段BM．因为四边形ABCD是正⽅形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最⼩值为10.分析分析：在这⾥△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，⽽BQ是正⽅形边长的⼀半，是⼀个定值1，所以要想使得三⾓形的周长最⼩，问题就转化成使得PB+PQ的和最⼩问题．因为题⽬中有⼀个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最⼩的思路，所以解答时可以⽤对称法．解:如图7所⽰，根据正⽅形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最⼩值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最⼩值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上⼀动点，则PA＋PB的最⼩值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最⼩值就是线段DB的长度．分析解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆⼼⾓与圆周⾓的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB== .所以选择B．四、在反⽐例函数图象背景下探求线段和的最⼩值例9（2010⼭东济宁）如图9，正⽐例函数y=x的图象与反⽐例函数y=（k≠0）在第⼀象限的图象交于A点，过A点作x 轴的垂线，垂⾜为M，已知三⾓形OAM的⾯积为1.（1）求反⽐例函数的解析式；（2）如果B为反⽐例函数在第⼀象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求⼀点P，使PA+PB最⼩.分析：利⽤三⾓形的⾯积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第⼀个关键．分析要想确定出PA+PB的最⼩值，关键是明⽩怎样才能保证PA+PB的和最⼩，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明⽩了最⼩的内涵，解题的过程就迎刃⽽解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第⼀象限，所以OM=x,AM=y．解：因为三⾓形OAM的⾯积为1，所以所以xy=2，所以反⽐例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反⽐例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B 关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最⼩．五、在⼆次函数背景下探求线段和的最⼩值（1，），△AOB的⾯积是.例10（2010年⽟溪改编）如图10，在平⾯直⾓坐标系中，点A的坐标为（（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最⼩？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这⾥△AOC周长等于AC+CO+AO，⽽A,O是定点，所以AO是⼀个定长，所以要想使得三⾓形的周长最⼩，问题分析就转化成使得AC+CO的和最⼩问题．因为题⽬中有⼀个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最⼩的思路，所以解答时可以⽤对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代⼊解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最⼩.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第⼆象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平⾯直⾓坐标系背景下探求线段和的最⼩值例11（2010年天津）如图11，在平⾯直⾓坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的⼀个动点，当△CDE的周长最⼩时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最⼩时，求点E、F的坐标.分析：本题的最⼤亮点是将⼀个动点求最⼩值和两个动点求最⼩值问题糅合在⼀起，并很好的运⽤到平⾯直⾓坐标系中．分析解：（解：1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最⼩.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以 BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平⾏四边形，有GE=CF.⼜ DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最⼩.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以 BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。

初一数学教案：学习如何计算线段长度

初一数学教案：学习如何计算线段长度学习如何计算线段长度一、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1、了解什么是线段，并能够区分线段和直线；2、学会如何使用尺子测量线段的长度；3、了解如何使用勾股定理计算直角三角形的斜边长度；4、学会如何使用比例计算线段之间的长度关系。

二、教学内容1、引入通过展示一些线段的实际应用，如建筑物的地基、公路的长度等等，来激发学生对本节课内容的兴趣。

2、解释什么是线段在铺垫完引入后，进行本节课的学习内容。

我们知道，线段是指在两个端点之间的线段。

通过举例让学生理解线段的概念，同时可以区分线段和直线的区别。

3、如何使用尺子测量线段的长度尺子是测量线段长度最常用的工具之一。

学生应该第一次使用尺子，因此教师应该详细介绍如何正确使用尺子，如何处理尺子本身的长度，精度和尺寸等问题。

在教师的指导下，学生应该亲自拿起尺子，测量不同长度的线段。

4、如何使用勾股定理计算斜边长度我们知道，在直角三角形中，较大的直角边是斜边的长。

勾股定理可以帮助我们计算斜边的长度，从而使我们更好地应用和理解概念。

通过举例和计算，让学生掌握如何使用勾股定理计算斜边长度。

5、如何使用比例计算线段之间的长度关系通过展示一些折线图或图表，例如平面图或三维图形，引导学生学习如何使用比例计算线段之间的长度关系。

在实践中提高学生的计算能力。

三、教学方法1、讲解法讲解法是最常见的教学方法之一，本节课的教学方法依旧以讲解法为主要方式，引导学生了解和理解不同的概念和理论。

2、实践法教师应该让学生在实践中掌握如何使用尺子测量线段长度，如何使用勾股定理计算斜边长度，以及如何使用比例计算线段之间的长度关系。

实践锻炼让学生更好的应用学习内容。

3、小组讨论教师可以引导学生分为小组进行讨论和交流，通过发问和疑问，增强学生的学习兴趣和互动交流。

四、教学评价通过考查学生对本课学习内容和理论的理解，以及通过实践和讨论，检测和评估学生的学习成果。

中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)

中考压轴题-二次函数综合（八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题：有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题：两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题题型2：最值问题题型3：定值问题题型4：定点问题题型5：动点问题综合题型6：对称问题题型7：新定义题题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．（1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式；（2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+，代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16；（3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−，解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−；抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=．设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−，则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △．则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭，综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭，（3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ．（ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长；（ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

2021年中考数学提优专题一：三角形中线段长度的计算

中考提优专题一：三角形中线段长度的计算概述：计算三角形中有关线段的长度，主要工具是勾股定理、相似三角形和锐角三角函数.在具体问题中，条件可能是分散的或隐性的，这就需要设法把分散的条件集中起来或把隐性的条件显化.常见的处理方法如下.1.借助已知的等角（或等边）直接构造相似（或全等）三角形.2.涉及中点条件，通常可以倍长中线构造“X”型全等、构造三角形中位线或构造直角三角形斜边上的中线.3.涉及角平分线、垂线（高）、二倍角等条件，可以通过对称变换解决问题.4.借助旋转（全等或相似）变换将分散的条件集中起来.类型1：运用对称变换集中条件例1：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3，CD=3，则AC= .例2：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D是BC的中点，将△ABC沿AD 翻折得到△AED，连接CE，则CE的长为.例3:如图，∠B=90°，∠A=45°.D为AB上一点，且AD=11，G为BC上一点，且BG=8.连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点E，连接DE，恰好有∠ADE=∠BDC.求BD的长.类型2：运用旋转变换集中条件例4：如图，P为正△ABC内一点，且满足PA=2，PB=32，PC=4.求AB的长.例5：如图，点D在△ABC内，∠BDC=90°，∠BCD=∠DAC=30°，AD=3，AC=8，求AB的长.例6：如图，在△ABC中，∠ACB=45°，D是AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，DE⊥DF，连接EF.若BE=1，EF=5，则线段AF的长为.例7：在△ABC中，BD=CD，DAC∠tansin.若AB=3，AC=1，求BC的长.=BAC∠例8：在△ABC中，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，且BD⊥CE，垂足为O.若OD=2，OE=4，求OA的长.例9：如图，△ABC中，∠A=120°，∠ABC=2∠ACD，AD=5，BC=14，求AC的长.例10：在△ABC中，AD⊥BC于点D，BM=CM，且AB=10.若∠B=2∠C，求DM的长.例11：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，AC=4，若D为BC上一点，且∠DAB=45°，求BD的长.类型5：隐性条件与分类思想例12：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，53sin B ，O 是AB 的中点，∠MON=∠A.点M ，N 在线段BC 上，字母顺序为C ，M ，N ，B.若△OMN 为等腰三角形，求CM 的长.例13：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，连接AC=6，BC=8，CD ⊥AB 于点D.E 为BC 上的动点，连接AE ，交CD 于点F.当CE 为何值时，△CEF 是等腰三角形？例14：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的中线，AE ⊥CD 于点F ，交BC 于点E.若CD=3，AE=4，求AC 的长.。

中考数学复习指导：截长补短法的应用

截长补短法的应用在证明几条线段间的数量关系时，截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法，也是化难为易的基本方法．一、截长法1、要证明一段长线段等于两个小线段的和，用截长法在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等．例1 如图1所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB，∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD．分析根据题意，可在AB上截取AF＝AC，再证FB＝DB，就有AB＝AF＋FB：AC ＋BD．证明如图1，在AB上截取AF＝AC，连结EF．在△ACE和△AEF中，∵AC＝AF，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ACE △AEF，∠C＝∠EFA．又∵AC∥BD，∴∠C＋∠D＝180°，而∠EFA＋∠EFB＝1800，∴∠EFB＝∠D(等角的补角相等)．在△FBE和△DBE中，∵∠DBE＝∠FBE，BE＝BE，∠D＝∠EFB，∴△FBE≌△DBF．∴FB＝DB，∴AB＝AC＋BD．2、要证明边长和或差的数量关系，有时直接证明会很难，甚至无从着手，只要我们认真分析，通过截长法，把相关的线段转移到一个三角形中，思维会豁然开朗，问题会迎刃而解．例2 如图2所示，△ABC中，D是∠A平分线上的点，AB>AC，求证：AB－AC>BD －CD．分析本题直接证明有些难，因为AB－AC和BD－CD之间没有直接的线段可利用，这就需要找个中间线段作过渡，不妨在AB边上截取AE＝AC，那么AB－AC＝BE．若ED＝CD，那么BD－CD<BE．通过已知条件和所作辅助线可知△AED≌△ACD．证明如图2，在AB边上截取AE＝AC，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD．在△AED和△ACD中，∵AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△AED≌△ACD．ED＝CD．在△BED中，∵BD－ED<BE．∴AB－AC＝AB－AE＝BE> BD－ED＝BD－CD，∴AB－AC>BD－CD．二、补短法就是将一个已知的较短线段，延长至与另一个已知的较短线段的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系．对于具体问题，有时通过截长补短法，可构成某种特定的三角形来求解．1、中线倍长，构造全等三角形中线倍长就是把三角形的中线延长，使延长的线段等于原中线的长，想法构造全等三角形，使原来不在一个三角形的线段集中到一个三角形中，再根据题目已知条件进行求解．例3 如图3，在△ABC中，AB＝12，AC＝8，AD是BC边上的中线，求AD的取值范围．分析欲求AD的取值范围，联想到三角形三边的关系，必须设法把AB、AC、AD 转移到同一个三角形中，故可以延长AD到E，使DE＝AD，连结BE，若能证△BDE≌△CDA，则有BE＝AC．而AE＝2AD，在△ABE中不难求出AE的取值范围．解延长AD到E，使DE＝AD，连结BE．∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD．在△BDE和△CDA中，∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，DE＝DA，∴△BDE≌△CDA，∴BE＝AC＝8．在△ABE中，AB－BE<AE<AB＋BE，12－8<2AD<12＋8，∴2<AD<10．评注本题中，把三角形一边的中线延长，构造全等三角形，把分散的条件集中到一个三角形中，这是解决中线问题的常用方法．2、利用补短法构造等腰三角形这是几何证明常用的方法，它是把较短的线段延长，再根据角的关系，找出等腰三角形，通过腰相等进行转换，把两条线段转移到一条线段上来，最后利用三角形全等，使问题的结论水落石出．例4如图4，已知AD是△ABC的角平分线，∠B＝2∠C，求证：AB＋BD＝AC．分析欲证AB＋BD＝AC，可以延长AB到E，使BE＝BD，然后再证△AED≌△ACD．得出AE＝AC．证明如图4，延长AB到E，使BE＝BD，连结DE，∴∠E＝∠BDE．∵∠ABC＝2∠C，∠ABC＝∠E＋∠BDE，∴2∠E＝2∠C．∠E＝∠C．又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．在△AED和△ACD中，∵∠BAD＝∠CAD，∠E＝∠C，AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴AE＝AC，∴AB＋BE＝AC．即AB＋BD＝AC．另证本题还可以在AC边上截取AF(如图5)，使AF＝AB，这样△ABD≌△AFD，再证△DFC为等腰三角形，从而有BD＝DF＝FC，则AB＋BD＝AF＋FC＝AC．。

中考数学复习指导：利用“中点线段倍长”法解题

利用“中点线段倍长”法解题在解决线段的有关问题时，如果已知条件中有线段的中点，那么可以考虑将经过中点的线段延长一倍作为辅助线，以便构造全等三角形．我们不妨把这一添加辅助线的方法称为“中点线段倍长”法，现举例如下：一、求线段的长度例1 如图1，在等腰三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE＝4．FC＝3，求EF的长．解析如图1，延长ED至点G，使DG＝DE，连结GC、GF．易证△CDG≌△ADE，得CG＝AE＝4，∠1＝∠A＝45°，∴∠FCG＝90°．在Rt△CFG中，由勾股定理，得FC CG＝5FG＝22∵DE⊥DF，DG＝DE，∴FE＝FG＝5．二、求线段的范围例2 如图2，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，D为BC边上中点，求AD的取值范围．解析延长AD至点E，使DE＝AD，连结BE．易证△BDE≌△CDA，得BE＝CA＝4．在△ABE中，由三角形三边关系，得AB－BE<AE<AB＋BE，即6－4<2AD<6＋4，∴1<AD<5．三、证明线段垂直例3 如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．解析延长CE、BA交于F点，易证△AEF≌△DEC．得AF＝DC＝1，EF＝EC，∴BF＝2＋1＝3＝BC．在ABCF中，BF＝BC，EF＝EC，得CE⊥BE．四、证明线段相等例4 如图4，在△ABC中，D为BC的中点，F在AD上，BF＝AC，延长BF交AC于点E．求证：AE＝EF．解析延长AD至点G，使DG＝AD，连结DC．易证△BDG≌△CDA，得∠G＝∠1，BG＝CA．又BF＝AC，∴BF＝BG．∴∠G＝∠2．又∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝EF．例5 如图5，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AE、BF交于点M，连结DM．求证：AD＝MD．解析延长AD、BF交于G．易证△DFC≌△CFB，得DG＝CB．又AD＝BC，∴AD＝DG．又可证△ABE≌△BCF，得∠1＝∠2．又∠2＋∠3＝90°．∴∠1＋∠3＝90°，故AE⊥BF．在Rt△AMG中，AD＝DG，∴AD＝MD．五、证明线段和差关系例6 如图6，在正方形ABCD中，E是BC的中点，∠BAE＝∠EAF，AE、BF交于点M，连结DM．求证：BC＋CF＝AF．解析延长AE，DC交于点G，则易证△CEG≌△BEA．∴CG＝BA，∠G＝∠BAE，∠BAE＝∠EAF．∴∠G＝∠EAF．AF＝GF＝FC＋CG＝FC＋BA，∴BC＋CF＝AF．例7 （2012重庆中考）已知：如图7，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2．(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME．解析(1)因为四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD．AB∥CD，∴∠1＝∠ACD．又∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，∴MC＝MD．∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝2．∴BC＝CD＝2．(2)延长DF，BA交于点G，因为四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠DCA．∵BC＝2CF，CD＝2CE，∴CE＝CF，∵CM＝CM，∴ACEM≌△CFM，∴ME＝MF，∵AB／／CD，∴∠2＝∠G，∠GBF＝∠BCD，∵CF＝BF，∴△CDF≌△BGF，∴DF＝GF．∵∠1＝∠2，∠G＝∠2，∴∠1＝∠G，∴AM＝GM＝MF＋GF＝DF＋ME．六、证明线段不等关系例8 已知：如图8，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF≤12(AD＋BC)．解析当AD∥BC时，易证EF＝12(AD＋BC)；当AD与BC不平行时，延长AF至点G，使FG＝AF，连结BG、CG．易证△CFG≌△DFA，得CG＝DA，FG＝FA．又E是AB的中点，所以EF是△ABG的中位线，所以EF＝12 BG．又BG<BC＋CG，∴EF<12(AD＋BC)．以上方法实质上是根据点的对称性，构造两个全等的三角形解决问题，因此，利用“中点”或“中线”的条件，把有关线段延长一倍，是为了进行图形的旋转变换，这才是解题思想的根本．。

中考数学专题复习-例说线段的最值问题 (共62张)

MA MD 1 AD 1，FDM 60. 2
A
N
B
解答过程：
F M D 3 0 ， F D = 1 M D = 1 .
2
2
FM =MD cos30= 3 . 2
MC = FM 2+CF 2 = 7.
A 'C = M C M A ' = 7 1.
FD
C
M
A‘'
A
N
B
小结：
“关联三角形”的另外两条边尽可能长度已知（或可求），再利用三角形三边关系求解，线段取得最值时，“关联三角形”不存在（三顶点共线）.
解答过程：
连接OC交e O于点P，此时PC最小. 在RtBCO中， Q BC=4，OB=3， OC=5，PC=OC OP=2. 即PC最小值为2.
小结：
此道作业题构造“辅助圆”的突破口在于发现动点与两定点连线的夹角为确定值；若点P在△ABC外部，则CP 长存在最大值；若∠APB为非直角时，则作△ABP的外接圆，此时AB为非直径的弦.
'
2
2
2
在 R t C D D '中，
C D '= C D 2 D D '2 3 2 4 2 5 , 即 PC PD的最小值为 5.
小结：
1. 本题从形的角度得到点P的位置，再从数的角度计算出点P的坐标，进而得到最小值.这正是体现了数形结合的重要性.
典型例题2：
D
C
M
A‘'
，52
)，B(4，m)两点，点P是线段AB上异于A，B的动点
，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.
（1）求抛物线的表达式.
y

2021年中考数学提优专题二：四边形中线段长度的计算

中考提优专题二：四边形中线段长度的计算概述：点动成线，线动成面.线段是基本的几何图形之一，是组成三角形、四边形等几何图形的元素.线段的长短、位置的变动影响着图形的形状、大小，因此求线段长度是初中几何中常见的题型之一.下面给出几种常见的求线段长度的方法.1.将求线段长度的问题转化到直角三角形形中求解；勾股定理是平面几何中最重要的定理，揭示了直角三角形之间的数量关系，是连接代数与几何的桥梁，是用来求线段长度的基本方法.2.利用锐角三角函数求线段长度.三角函数揭示了角和边之间的关系，借助正弦定理、余弦定理可求线段的长度.3.借助证明结果求解线段长度.有些问题中，需要先根据已知条件证明线段之间所存在的数量关系，在一条线段已知的情况下，可求出另一条线段的长度.4.利用相似三角形求线段长度.相似三角形对应边成比例，构造相似三角形计算线段长度.5.利用面积法求线段长度.用不同的方法表示同一图形的面积，从而可以求出线段的长度.6.利用方程法求线段长度.设所求线段长度为x，寻找等量关系，列出关于x的方程，从而可求线段的长度.7.利用建系法求线段长度.建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用两点距离公式或点到直线的距离公式求线段的长度.上面归纳了几种常见的线段长度的求法，但遇到实际问题，我么需要根据实际情况具体分析，灵活运用数学思想来解决问题.类型1：利用特殊角度求解四边形中线段长度1.利用45°角的特殊性求线段长度45°角是几何中比较特殊的角度之一，通常出现在等腰直角三角形、正方形等图形中.例1：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°，若AD=9，DC=8，求EF的长.例2：如图，在四边形中，∠BAC=90°，∠BCD=90°，∠CAD=45°，CD=6，BC=8，求AC的长.例3：如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠DCB=45°，AD=23，DC=25，AB=7，求AC 的长.例4：如图，正方形ABCD 的边长为6，O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 在CD 上，且DE=2CE ，连接BE ，过点C 作CF ⊥BE ，垂足为F ，连接OF ，求OF 的长.例5：如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 上两个动点，满足AE=DF ，连接BF ，与DE 交于点G ，作CH ⊥BF ，垂足为H ，连接CG ，若DG=a ，BG=b ，且b a ,满足2,522==+ab b a ，求CH 的长.例6：如图，在正方形ABCD中，E，F，G三点分别在边AD、AB、CD上，且△EFG为等边三角形，若AF=3，DG=4，求正方形的边长.例7：如图，在正方形ABCD中，AB=2，若PD=1，∠BPD=90°，求点A到BP的距离.类型2：借助四边形中的“十字架”求线段长度例8：如图，边长为4的正方形OADB的边OA，OB分别在x轴、y轴上，C为OA的中点，OF⊥BC于点E，交AD于点F，求EF的长.类型3：利用对称变换求线段长度例9：如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，E是射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿着AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M、N，当B′为线段MN的三等分点时，求BE的长.例10：在正方形ABCD中，,AD=4，E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，交AC于点O.若F是AB的中点，求△EMN的周长.。

中考数学求线段长五大类常考必会的方法

中考数学求线段长五大类常考必会的方法常用求线段的方法：1.勾股定理2.等面积法3.构造相似4.作辅助圆5.三角函数在初中，求线段的方法基本就是利用上述五类方法，具体怎么用，我们用一道题来说明。

如图，三条平行线之间有个等边三角形，若l和2l的间距是1，2l和3l的间1距是2，求ABC的边长.方法一：勾股定理作垂线如下图，设三角形边长为x，则可以用勾股定理表示出AD，EC，CF12-=x AD ，42-=x EC ，92-=x CF然而AD=EC+CF ，因此解下面这个方程就可以了12-x 42-=x 92-=x这是一个无理方程，同学们不妨提前掌握其解法，毕竟上了高中后解无理方程是家常便饭，上述方程只需要平方两次即可。

记得用换元法，令2x y =941-+-=-y y y()()994241-+--+-=-y y y y y()()y y y -=--12942()()()212944y y y -=--14424144524222+-=+-y y y y 02832=-y y0,32821==y y （舍） 3212328==x总结：用勾股定理求线段是最基础的思想方法，以至于每一位同学都能想到它，既然大家都能想到的，说明辅助线或许很容易构造，但难题一定是计算量很大，因此同学们要加强计算能力，包括常见的思想方法比如换元法。

方法二：等面积法以下做法由运河中学张祖珩提供如下图所示，作BE ⊥AC ，AH ⊥2l ，CF ⊥2l ，取AC 与2l 的交点D由FC=2AH 可知DC=2AD 我们不妨设x AC 3=，则x AD 2=，x CD 2=，x AE 23=，x ED 21=，x BE 233= x DE BE BD 722=+=将线段都表示出来之后我们就可以利用等面积法了DBC ABD ABC S S S ∆∆∆+=CF BD AH BD BE AC ⋅+⋅=⋅212121 ()21721233321+⋅=⋅⋅x x x9212=x 32123==x AC 总结：当一个三角形出现两个高线，可以用面积公式表示两次面积并令其相等；或者三角形被分割成两个小三角形，我们也可以通过用割补法表示出面积的等式；这就是等面积法。

中考数学复习求解双动点线段长的最小值问题

如何求解双动点线段长的最小值问题双动点线段是指线段的两个端点都在某个图形上运动的线段．由于线段的两个端点都在运动，因此增加了解决问题的难度，这类问题的解题策略是：消点——将双动点转化为单动点，然后利用“垂线段最短”确定单动点线段长的最小值，进而得到双动点线段长的最小值．下面举例说明．例1 如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC，BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是_______．说明本题构造矩形，利用“矩形的对角线相等“将双动点线段DE转化为单动点线段CF．达到消点目的．例2 如图2，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD＝CE．连结DE，则DE长的最小值是_______．由“垂线段最短”可知，当DF⊥AC时DF长最小，此时，DF＝12AC=12×8＝4，∴DE长的最小值是42．说明本题构造等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的斜边与直角边的关系，将双动点线段DE与单动点线段DF建立联系，进行消点．例3 如图3，已知点A在反比例函数y＝6x的图象上，且点A横坐标为2．现将一个含30°的三角板的直角顶点与点A重合并绕点A旋转，旋转时三角板的两直角边与x 轴的交点分别为点B、C，则线段BC的最小值是_________．解析过点A作AD⊥BC于点D，取线段BC的中点E，连结AE．当x＝2时，y＝6x＝3，∴点A坐标为(2，3)，∴AD＝3．∵∠BAC＝90°，E为线段BC的中点，∴BC＝2AE．由“垂线段最短”可知，当AE⊥BC时AE最小，此时AE＝AD＝3．∴BC的最小值为6．说明本题构造三角形中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，将双动点线段BC与单动点线段AE建立联系，从而灵活消点．例4 如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（－4，0）、B(O，4)，⊙O 的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_______．解得OP＝22．说明本题构造直角三角形，利用勾股定理将双动点线段PQ与单动点线段OP建立联系，从而巧妙消点．例5 如图5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝22，D是线段BC 上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_______．解析作直径EG，则∠EFG＝90°，∠G＝∠BAC＝60°，EG＝AD．在Rt△EFG中，EF＝EG·sin∠G＝AD·sin60°＝32AD．过点A作AH⊥BC，垂足为点H，在Rt△ABH中，AH＝AB·s in∠ABC＝22·sin45°＝2222＝2．由“垂线段最短”可知，AD≥AH，∴线段EF长的最小值为3 2AH＝32×2＝3．说明本题构造直径为斜边的直角三角形，利用同圆的直径都相等，将双动点线段EF与单动点线段AD建立联系，实现消点．。

中考数学复习：专题9-9 探究动点背景下的线段最值问题

探究动点背景下的线段最值问题【专题综述】图形运动问题是中考数学命题的热点题型，其中有一类动点背景下线段长度的最值问题，常常使学生感到比较为难.本文谈谈破解这类问题的方法. 动点背景下线段长度的最值问题一般有两种解法:1、代数解法.通过设未知量，建立函数关系或列方程列不等式等，用函数最值、二次方程判别式、解不等式来求解.2、几何方法.常通取特殊点，如线段中点、端点;与动点的特殊位置相关的特殊线段，如三角形的高、中线、圆的直径等;特殊图形，如直角三角形、等边三角形、矩形等，用几何公理、定理来求解. 一般而言，用几何方法抓住特殊情形处理，比代数方法更有独特魅力. 【方法解读】一、从动点所在特殊位置入手图形中动点的运动有一定的范围，其较为特殊的位置有:线段上动点的两端点、线段中点等;若点在线段外运动，则与某线段共线就是特殊位置.这些特殊位置正是产生最值的关键点.例1 如图1，在四边形ABCD 中，90A ∠=︒，33AB =，3AD =，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点(含端点，但点M 不与点B 重合)，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为. 分析 DM ，MN 的长度随点M ，N 分别在线段BC ，AB 上运动而变化，点E ，F 分别为DM ，MN 的中点却保持不变.题设中EF 与不变量A ∠，AB ，AD 无直接数量关系，但连结DN ，则由三角形的中位线定理可知12EF DN =，如图1所示，从而可知DN 最大时，EF 最大.因为N 在线段AB 上，当点N 与其端点B 重合时DN 最大，如图2所示.此时，由勾股定理知6BD =，所以EF 长度的最大值为3.例2 如图3，在⊙O 中，直径6AB =，BC 是弦，30ABC ∠=︒，点P 是BC 上的一个动点，点Q 在⊙O 上，且OP PQ ⊥.求PQ 长的最大值.分析点P 在BC 运动时，OP ，PQ 的位置和大小都变化，但OP PQ ⊥，圆的半径不变，连结OQ ，则OPQ ∆保持直角三角形不变.在Rt OPQ ∆中，22223PQ OQ OP OP =-=-,所以OP 最小时PQ 的长的最大.由垂径定理知，此时点P 正好是CB 的中点，如图4所示，Q 点与C 点重合.分析连结OQ . ∵OP PQ ⊥，∴OPQ ∆为直角三角形. 又∵OP CB ⊥，132OB AB ==，30ABC ∠=︒， ∴32OP =由勾股定理，得223333()22PQ =-=即PQ 长的最大值332. 二、从动点产生的特殊线段入手在图形中，点的运动会引起相应线段位置和长度大小的变化，位置的变化会使线段成为具有某种特殊性质抓住这些线段变化的特殊性:如三角形的高、中线、圆的直径等，往往会找到最值的答案.例3 如图5，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，P 为AB 上(不与AB 重合)一动点，过点P 分别作PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，则EF 的最小值 .分析因为点P 在AB 上运动时，PE AC ⊥于点E ，PF BC ⊥与F ，90C ∠=︒，所以四边形CFDE 是矩形，且这些关系不变.连结PC ，则EF CP =，要求EF 的最小值，就是求CP 的最小值.显然当CD AB ⊥，即CD 是斜边AB 的高时，CD 最小.又由勾股定理，得5AB =，根据三角形面积不变，得AC BC CD AB ⨯=⨯，解得125CP =，所以EF 的最小值为125. 例4 如图6，在圆O 上有定点C 和动点P 位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点G .已知:圆O 半径为52，4tan 3ABC ∠=，则CG 的最大值是(). (A)5 (B)154(C)253(D)203分析点P 在AB 上运动时，PC 的位置和大小会随之变化，但CAB CPG ∠=∠，90ACB PCG ∠=∠=︒保持不变，故有ABCPGC ∆∆，∴BC AC CG PC =，即BC CG PC AC=，由3tan 4AC ABC PC ∠==，知43CG PC =，当PC 最大时，CQ 取到最大值易知，当PC 经过圆心，即PC 为圆O 的直径时，PC 最大(此时CG 是圆O 的切线). ∵圆O 半径为52， ∴PC 的最大值为5,∴315544CG =⨯=. ∴CG 的最大值154，故选B.三、抓住动点问题的特性，从构造特殊图形入手某些动点问题中，难以找到图形变化时与相关线段最值的特殊情形若要用几何解法，应联系整个问题所含条件添加辅助线，构造特殊图形，然后借助特殊图形的性质将问题进行有效转化.例5 如图7，ABC ∆中，45B ∠=︒，60BAC ∠=︒，22AB =. D 是BC 上的一个动点以AD 为直径画圆与AB ，AC 相交于E ，F 两点，求EF 的最小值.分析点D 在BC 上运动，AD 的位置改变引起圆O 的位置和大小变化，而所求EF 的值与不变量B ∠，BAC ∠以及AB 的关系不明显.连结OE ，OF ，构造含120︒角的特殊等腰三角形，如图8所示，过O 点作OH EF ⊥垂足为H ，由圆周角定理可知1602EOH EOF BAC ∠=∠=∠=︒.在Rt EOH ∆中，由垂径定理可知23EF EH OE ==.所以当OE 最小时，EF 的值最小，而12OE AD =，由垂线段的性质可知，当AD 为ABC ∆的边BC 上的高时，直径AD 最短，此时线段EF 最小.在Rt ADB ∆中，45ABC ∠=︒，22AB =∴2AD BD ==，即此时圆的直径为2. 在Rt EOH ∆中，33sin 122EH OE EOH =∠=⨯= ∴23EF EH ==，即EF 的最小值为3.四、从图形运动中相对保持不动的点入手若图形中的动点不止一个，这种情形相对单一动点问题要复杂一般会引起变化的量增加或整个图形发生运动，难以找到原图中保存不变的量，这时可着眼于图中的相对不变量.相对不变量是指在整个图形运动变化中，保持某种特性不变的量与动点下线段最值所对应的仍是图中特殊相对不变量透过图形运动的整体，抓住特殊相对不变量才是解题的关键.例6 如图9，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，8AC =，点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上.当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动中OB 的最大值是多少?分析当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，这样改变了ABC ∆的位置，点B 的位置也随之改变，OB 的长度随之发生变化.虽然BC 、AC 的长度不变，但些相对不变的量与OB 没有直接的关系. 仔细观察图9，AC 是Rt COA ∆的斜边，AC 长度不变，则点O 与其中点D 的连线段OD 的长度保持不变，这个隐含的相对不变的特殊量与OB 有关. 于是，连结DB ，则OB DB OD <+,所以，当O 、D 、B 三点共线时OB 值最大，即BO OD DB =+. 在Rt BCA ∆中，4CD =，3CB =，5DB =. 则OB 的最大值为549+=:.综上可知，解决动点背景下线段长度的最值问题时，一般可用几何方法从特殊情形出发考虑.1、在分析动点位置变化的同时，重点抓住图形中不变的量，不变的关系和性质，以不变应万变，动中求静.2、线段的最大值和最小值，常与下列知识相关:两点之间线段最短，垂线段最短，直径是圆中最大的弦，三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边等等.所以要抓住特殊情形，联系与问题相关的结论进行有效转化.【强化训练】1.（2017四川省内江市）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=430，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且P A+AB+BQ 最小，此时P A+BQ= ．2.（2017山东省东营市）如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为．3．（2017山东省威海市）如图，△ABC为等边三角形，AB=2．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB=∠ACP，则线段PB长度的最小值为．4. （2017甘肃省天水市）如图所示，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，且BE=1，P是对角线AC上的一动点，连接PB、PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是．5．（2017贵州省贵阳市）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =2，AD =3，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A ′EF ，则A ′C 的长的最小值是．6.（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上，已知EP =FP =6，EF =63，∠BAD =60°，且AB ＞63．（1）求∠EPF 的大小；（2）若AP =10，求AE +AF 的值；（3）若△E FP 的三个顶点E 、F 、P 分别在线段AB 、AD 、AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．7．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．8.（2017山东省烟台市）如图1，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，AB =4，矩形OBDC 的边CD =1，延长DC 交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 是直线EO 上方抛物线上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交直线EO 于点G ，作PH ⊥EO ，垂足为H ．设PH 的长为l ，点P 的横坐标为m ，求l 与m 的函数关系式（不必写出m 的取值范围），并求出l 的最大值；（3）如果点N 是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M ，使得以M ，A ，C ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9.（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．10. （2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标；（3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．。

中考数学数线段长度题答题技巧

中考数学数线段长度题答题技巧中考数学数线段长度题答题技巧介绍在中考数学中，数线段长度题是一种常见的题型。

对于这类题目，我们可以采用一些技巧来提高我们的解题效率。

技巧一：利用勾股定理勾股定理是我们解决尺规作图或求解直角三角形边长的重要工具。

对于给定的两个坐标点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用勾股定理求得线段AB的长度。

勾股定理的公式如下：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)技巧二：利用坐标点间的距离公式如果题目给出的点的坐标已知，我们可以直接使用坐标点间的距离公式计算线段的长度。

距离公式如下：AB = √((x2 - x1)^2 +(y2 - y1)^2)技巧三：利用图形特性当题目给出的是一些特殊的图形，我们可以利用图形的特性来计算线段的长度。

例如，如果题目给出的是一个正方形或者矩形，我们可以直接使用正方形或矩形的边长作为线段的长度。

技巧四：利用比例关系在某些情况下，我们可以利用线段之间的比例关系来计算未知线段的长度。

例如，如果我们知道两条平行线段之间的比例，我们可以利用这个比例来计算未知线段的长度。

技巧五：利用正弦定理或余弦定理如果题目给出的线段构成一个三角形，我们可以利用正弦定理或余弦定理来求解未知线段的长度。

正弦定理的公式如下： a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理的公式如下： c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC总结在中考数学中，数线段长度题是一种常见的题型。

在解决这类题目时，我们可以利用勾股定理、坐标点间的距离公式、图形特性、比例关系以及正弦定理或余弦定理来提高解题效率。

掌握这些技巧，我们能够更加灵活地解决数线段长度题，从而在考试中取得更好的成绩。

中考数学数线段长度题答题技巧（续）技巧六：利用平行线性质当题目中出现平行线时，我们可以利用平行线性质来计算线段的长度。

根据平行线的性质，平行线切割的线段成比例。

中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解36---矩形的折叠中的距离或线段长度问题

中考数学复习知识点总结与解题方法专题讲解专题36 矩形的折叠中的距离或线段长度问题【例题】在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5. 如图例1-1所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动. 若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为 .图例1-1【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端. 根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，二者之差即为所求.①当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，如图例1-2所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'Q=AQ，所以以点Q为圆心，以AQ长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'QA的角平分线，与AB的交点即为点P.图例1-2 图例1-3由折叠性质可知，AD= A'D=5，在Rt△A'CD中，由勾股定理得A C==='4②当点P与点B重合时，点A'的位置处于最右端，如图例1-3所示.确定点A'的位置方法：因为在折叠过程中，A'P=AP，所以以点P为圆心，以AP长为半径画弧，与BC的交点即为点A'. 再作出∠A'PA的角平分线，与AD的交点即为点Q.由折叠性质可知，AB= A'B=3，所以四边形AB A'Q为正方形. 所以A'C=BC－A'B=5－3=2.综上所述，点A移动的最大距离为4－2=2.【小结】此类问题难度较大，主要考察学生的分析能力，作图能力。

作图的依据是折叠前后线段长度不变，据此先找到点A的落点A'，再根据对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线，确定出折痕PQ的位置. 利用勾股定理、正方形的判定定理及其性质求得相应的线段长度.巩固练习1、如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，P为边AD上一动点，连接BP，把△ABP沿BP折叠，使A落在A′处，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为【分析】根据△A′DC为等腰三角形，分三种情况进行讨论：①A'D=A'C，②A'D=DC，③CA'=CD，分别求得AP的长，并判断是否符合题意．【解析】①如图，当A′D=A′C时，过A′作EF⊥AD，交DC于E，交AB于F，则EF垂直平分CD，EF垂直平分AB，∴A'A=A'B由折叠得，AB=A'B，∠ABP=∠A'BP，∴△ABA'是等边三角形，∴∠ABP=30°，∴AP===；②如图，当A'D=DC时，A'D=2由折叠得，A'B=AB=2，∴A'B+A'D=2+2=4连接BD，则Rt△ABD中，=，∴A'B+A'D ＜BD（不合题意），不存在；③如图，当CD=CA'时，CA'=2由折叠得，A'B=AB=2，∴A'B+A'C=2+2=4，∴点A'落在BC上的中点处，此时，∠ABP=12∠ABA'=45°∴AP=AB=2．综上所述，当△A′DC为等腰三角形时，AP的长为2【小结】本题以折叠问题为背景，主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论，分类时注意不能重复，不能遗漏．2、矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为( )A．3 B．32C．2或3 D．3或32【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形．【解析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得x=32，∴BE=32；②当点B′落在AD边上时，如图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为32或3．故选D．【小结】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．3、如图，在矩形ABCD中，AB＝√3，BC＝3，将△ABC沿对角线AC折叠，点B恰好落在点P处，CP与AD交于点F，连接BP交AC于点G，交AD于点E，下列结论不正确的是( )A．PGCG =13B．△PBC是等边三角形C．AC＝2AP D．S△BGC＝3S△AGP【分析】如图，首先运用勾股定理求出AC的长度，进而求出∠ACB＝30°，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明△BCP为等边三角形；运用射影定理求出线段CG、AG之间的数量关系，进而证明选项A、B、C成立，选项A不成立.【解析】如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°；由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2，而AB＝√3，BC＝3，∴AC＝2√3，AB＝12AC，∴∠ACB＝30°；由翻折变换的性质得：BP⊥AC，∠ACB＝∠ACP＝30°，BC＝PC，AB＝AP，BG＝PG，∴GC＝√3BG＝√3PG，∠BCP＝60°，AC＝2AP，∴△BCP为等边三角形，故选项B、C成立，选项A不成立；由射影定理得：BG2＝CG•AG，BG，CG＝3AG，∴AG＝√33∴S△BCG＝3S△ABG；由题意得：S△ABG＝S△AGP，∴S△BGC＝3S△AGP，故选项D正确；故选：A．【小结】考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．4、如图，矩形纸片ABCD ，5AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ∆沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE ，DE 分别交AB 于点O ，F ，且OP OF =，则AF 的值为_____________．【分析】由矩形的性质和已知条件OP OF =，可判定OEF OBP ∆≅∆,设EF x =，根据全等三角形的性质及矩形的性质可用含x 的式子表示出DF 和AF 的长，在Rt ADF ∆根据勾股定理可求出x 的值，即可确定AF 的值. 【解析】四边形ABCD 是矩形,∴ 5CD AB ==,3AD BC ==,90B C A ︒∠=∠=∠= DEP ∆是由CDP ∆沿DP 折叠而来的∴5DE CD ==,EP CP = ,90E C ︒∠=∠=B E ∴∠=∠又,FOE POB OP OF ∠=∠=∴OEF OBP ∆≅∆（AAS ）,EF BP OE OB ∴==BF BO OF EO OP EP CP ∴=+=+==设=EF BP x =,则5,3DF x BF CP x =-==-5(3)2AF AB BF x x ∴=-=--=+在Rt ADF ∆中，根据勾股定理得：222AD AF DF += ,即2223(2)(5)x x ++=-，解得67x = 620277AF ∴=+= 故答案为：207【小结】本题考查了求多边形中的线段长，主要涉及的知识点有矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，数学的方程思想，用同一个字母表示出直角三角形中的三边长是解题的关键.5、如图，在矩形ABCD 中， AB=3，BC=2，点E 为线段AB 上的动点，将△CBE 沿 CE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，则AF 的最小值为__．【分析】通过观察可以发现，当∠AFE=90°时，AF最小；然后设BE=x，则：EF=x，AE=3-x，然后多次使用勾股定理即可解答；【解析】设BE=x，则：EF=x，AE=3-x在Rt△ABC中，由勾股定理得：在Rt△EBC中，由勾股定理得由折叠可知CF=CB=2所以：【小结】本题考查几何图形中的最值问题，其中找到出现最值的位置和运用勾股定理解题是关键.6、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝，E是AB边上一点，AE ＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E，A′，C三点在一条直线上时，DF的长为_____．【分析】利用勾股定理求出CE，再证明CF=CE即可解决问题．（注意有两种情形）【解析】如图，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC==∴CF＝CE＝，∵AB＝CD＝6，，∴DF＝CD﹣CF＝6﹣当点F在DC的延长线上时，易知EF⊥EF′，CF＝CF′＝∴DF＝CD+CF′＝故答案为6﹣或．【小结】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，本题的突破点是证明△CFE的等腰三角形，属于中考常考题型．7、如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为_________.【解析】连接A′D，AD，∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=4，OC=AB=3，∠C=∠B=∠O=90°，∵CD=3DB，∴CD=3，BD=1，∴CD=AB，∵将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，∴A′D=AD，A′E=AE，在Rt△A′CD与Rt△DBA中，，∴Rt△A′CD≌Rt△DBA（HL），∴A′C=BD=1，∴A′O=2，∵A′O2+OE2=A′E2，∴22+OE2=（4﹣OE）2，∴OE=，【小结】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”8、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE 沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为．【解析】连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，根据勾股定理得，CF===．故答案为：．9、如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D′恰好在线段BE上．若AD=3，DE=1，则AB= 5 ．【解析】∵折叠，∴△ADE≌△AD'E，∴AD=AD'=3，DE=D'E=1，∠DEA=∠D'EA，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠DEA=∠EAB，∴∠EAB=∠AEB，∴AB=BE，∴D'B=BE﹣D'E=AB﹣1，在Rt△ABD'中，AB2=D'A2+D'B2，∴AB2=9+（AB﹣1）2，∴AB=5故答案为：510、如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把△BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或．【解析】①当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时∠MEN=∠B=90°，∠ENB=90°，∴四边形BMEN是矩形．又∵ME=MB，∴四边形BMEN是正方形．∴BM=BN=5．②当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NH⊥FG于H点，则NH=4．根据折叠的对称性可知EN=BN=5，∴在Rt△ENH中，利用勾股定理求得EH=3．∴FE=5﹣3=2．设BM=x，则EM=x，FM=4﹣x，在Rt△FEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4﹣x）2，解得x=，即BM=．故答案为5或．11、如图，矩形ABCD中，AD=4，O是BC边上的点，以OC为半径作⊙O 交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD 对应A′D′），当⊙O与A′D′相切时，线段AB的长是．【解析】设⊙O与A′D′相切于点F，连接OF，OE，则OF⊥A′D′，∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=A′=90°，由折叠的性质得：∠AEC=∠A′EC，∴∠B+∠BCE=∠A′EO+∠OEC，∴∠OEA′=∠B=90°，∵OE=OF，∴四边形A′FOE是正方形，∴A′E=AE=OE=OC，∵BE=AE，设BE=3x，AE=5x，∴OE=OC=5x，∵BC=AD=4，∴OB=4﹣5x，在R t BOE中，OE2=BE2+OB2，∴（5x）2=（3x）2+（4﹣5x）2，解得：x=，x=4（舍去），∴AB=8x=．故答案为：．12、如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作⊙O，将△ADE折叠至△A′DE，点A′在⊙O上，延长EA′交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点G．若FG=1，则AD= 2 ，⊙O半径= ．【解析】作OH⊥DG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，∵△ADE折叠至△A′DE，∴DA′=DA=x，∠DA′E=∠A=90°，∴DA′与⊙O相切，在△ODA′和△OCF中∴△DOA′≌△FOC．∴DA′=CF=x，∵DG是⊙O的切线，OH⊥DG，∴H点为切点，∴DH=DA′=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在Rt△DCG中，∵DC2+CG2=DG2，∴（2x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，∴AD=2，设⊙O的半径为r，则OC=OA′=r，OD=2x﹣r=4﹣r，在Rt△DOA′中，∵DA′2+OA′2=DO2，∴22+r2=（4﹣r）2，解得r=，即⊙O的半径为．故答案为2，．13、在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将△AED沿AE所在直线折叠，使点D落在点F处．（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且∠BAC=54°，则∠DAE的度数为18 °．（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长．（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵∠BAC=54°，∴∠DAC=90°﹣54°=36°，由折叠的性质得：∠DAE=∠FAE，∴∠DAE=∠DAC=18°（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠的性质得：AF=AD=10，EF=ED，∴BF===8，∴CF=BC﹣BF=10﹣8=2，设CE=x，则EF=ED=6﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+x2=（6﹣x）2，解得：x=，即CE 的长为；（3）连接EG，如图3所示：∵点E是CD的中点，∴DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，FE=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在Rt△CEG和△FEG中，，∴Rt△CEG≌△FEG（HL），∴CG=FG，设CG=FG=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BC﹣CG=10﹣y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：62+（10﹣y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为。

运用勾股定理求线段的长度

∴ AB2+BE2=AE2 ∴ 32 + x2 = (4 − x)2
例1. 如图，在 △ABC中，AD⊥BC于点D，AB=13，BC=21， AD=12，求AC的长。
分析：要求线段AC的长，在Rt△ACD中可用勾股定理转化为求线
解出：x = 7 8
∴ BE = 7 8
段AD的长。而求线段AD的长，可以在Rt△ABD中运用勾股定理求解。 3 利用两个有公共边的直角三角形建立方程求线段的长
教育视窗
运用勾股定理求线段的长度
余昌洪
（贵州省遵义市第一初级中学，贵州遵义 563000）
摘要：勾股定理是初中数学的重要定理之一，是求线段长度的重要方法，也是每年中考必考的内容，现将几种运用勾股定理求线段长度的方法叙述如下：
关键词：勾股定理；直角三角形；方程思想
1 直角三角形中，已知两边的具体长度，求第三边的长度
分析：在Rt△ABC中运用勾股定理易求BC=4，再由折叠易知 AE=EC，所以可以知道AE+BE=4。若设BE=x，则AE=4-x，在Rt△ABE中运用勾股定理建立关于x的方程可以解决BE的长。
∴ AB2-BD2=AD2 AC2-CD2=AD2 ∴ AB2-BD2=AC2-CD2 ∴ 132− x2 = 202 −−((221− x)2
解出： x =5
解：∵ ∠B=90°，AB=3，AC=5
∴ BD=5
∴ 设BE= x ，则EC=BC-BE=4- x 又由折叠可知：又∵ ∠B=90°
总结，勾股定理是解决线段长度的重要工具，我们在求线段的长度问题时，可以将线段放到直角三角形中用勾股定理直接求或用勾股定理建立方程来求。
2020 年 2 期 255

中考重点直线与线段的计算与应用

中考重点直线与线段的计算与应用中考重点：直线与线段的计算与应用直线和线段是几何学中的基础概念，对于中考来说，直线和线段的计算与应用是非常重要的考点之一。

本文将从计算直线的斜率、长度以及应用角度来讨论直线和线段的相关知识。

1. 直线的计算直线在平面上有无数个点，若已知其中两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以通过计算斜率来求解直线的方程。

斜率的计算公式为：m=(y2-y1)/(x2-x1)。

例如，已知直线上两点A(1, 2)和B(4, 6)，我们可以利用斜率公式来计算这条直线的斜率。

过点A和B的直线的斜率为：m=(6-2)/(4-1)=4/3。

除了计算斜率，我们还需要掌握直线的截距和一般式方程。

一般式方程是直线的标准表示形式，形如Ax + By + C = 0。

当我们已知直线的斜率和一点时，可以通过代入公式解出直线的一般式方程。

2. 线段的长度计算线段是直线上两个端点之间的有限部分。

计算线段长度是一个常见的应用问题。

我们可以利用两点间的距离公式来计算线段的长度。

设线段的两个端点为A(x1, y1)和B(x2, y2)，线段AB的长度计算公式为：d=Math.sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

例如，已知线段AB的两个端点分别为A(3, 4)和B(7, 8)，我们可以利用距离公式计算线段AB的长度。

线段AB的长度为：d=Math.sqrt((7-3)^2 + (8-4)^2) = Math.sqrt(16 + 16) = 4 * Math.sqrt(2)。

3. 直线与角度的应用直线与角度的应用非常广泛，特别是在解决两条直线的关系问题时经常用到。

常见的应用问题有直线的夹角、直线和椭圆/双曲线的切线等。

直线的夹角可以通过计算两条直线斜率之间的差值来求解。

具体地，两条直线的斜率分别为m1和m2，则两直线夹角的计算公式为：θ=Math.atan(|(m1-m2)/(1+m1*m2)|)。