“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
中考复习线段和差的最大值与最小值(拔高)
中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
填空题：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．综合题：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．第1题第2题第3题第4题2．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m ，0），N (0，n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A ＋PB ． （1）求S 1、S 2，并比较它们的大小； （2）请你说明S 2＝P A ＋PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P ，它与两定点A （4，-1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .2.已知A 、B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P ）在x 轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P ）的位置：（1）求直线AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A 、B 两村距离之差最大？ （2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ； (3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ． （1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．例题：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ． （1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由； （3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（ ）①若菱形ABCD 的边长为1，则AM ＋CM 的最小值1； ②△AMB ≌△ENB ；③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则AN ⊥BE ；⑤当AM ＋BM ＋CM 的最小值为23时，菱形ABCD 的边长为2． A ．①②③ B ．②④⑤ C ．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。
初中几何中线段和差最大值最小值典型分析最全
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
mmm mABm（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：nmnnmnnnm（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnmnm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度mmmm恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：QQP练习题1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值为．Q2、如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．3、如图，在锐角三角形ABC中，AB=52，∠BAC=45，BAC的平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC 上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC 上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大；（1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
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“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2019 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4,∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE=二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2019江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC＋PD 和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA ＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC ＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE ＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN ＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P 为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2019年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2019山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2019年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2019年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以 BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E 的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x轴交于点E，在EA上截EF=2.因为 GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又 DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以 BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
求线段之和的最小值问题的常用方法
求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。
比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。
先来说说对称法吧。
这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。
再讲讲三角形三边关系法。
这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。
就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。
就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。
比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。
咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。
有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。
你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。
哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。
咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。
中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短
中考数学疑难问题教学设计——线段之和最短一、课题分析最短路径问题是中考热点问题之一，也是学生的一大难点。
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的探讨，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题．主要是运用数形结合思想，综合轴对称、线段的性质和勾股定理以及一些常见的轴对称图形的性质解决线段之和最短问题，该问题的解决为我们提供了一种解题的思路和线索，构建模型，触类旁通，由此产生了一系列问题的解题思路.使学生在操作活动的过程中感受知识的自然呈现，体验数学的神秘与乐趣.二、教学目标（一）知识与技能：1.以将军饮马为情境问题，引出两种最短线路的模型，理解并会利用“两点之间线段最短”和“三角形任意两边之和大于第三边”原理解决问题；2.通过三角形、四边形、圆、立体图形及函数题的训练，让学生能利用转化思想，将问题抽象出两点一线，并利用模型解决问题.（二）过程与方法：培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力.（三）情感与态度：进一步培养探究心理，体会数学知识在生活中的应用.三、教学重难点教学重点:利用“两点一线”模型解决数学中的实际问题.教学难点：模型中，两点在线异侧，利用“三角形任意两边之和大于第三边”这一原理作图；具体问题中，判断是否为两点一线问题，并利用模型作图，根据实际条件解决问题.四、教学关键运用数形结合的思想，特别是从轴对称和线段的性质入手，获得求线段之和最短问题的直观形象，形成模型，以便准确理解本节课的内容，实现多题通解.五、教学策略利用教学资源，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展.六、学法指导：自主学习，小组合作、交流探究七、教学过程：环节师生活动设计意图创设情景相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能用所学的知识解决这个问题吗？BAl【学生活动】学生思考教师展示问题，并观察图片获得感性认识.以故事的方式，引出问题，激发学生的学习兴趣及探索欲望.知识回顾1. 两点之间线段最短; 2.轴对称的性质,如何作轴对称;3.勾股定理;4.三角形任意两边之和大于第三边.【学生活动】在教师的引导下回顾旧知识.为本节课的学习扫清知识障碍.合作交流1.如图，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A、B 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？活动(1)：观察思考，如何抽象为数学问题？【师生活动】学生思考，教师引导学生将A，B 两地抽象为两个点 ,将河抽象为一条直线l ，从而总结得到：两点之间线段最短。
两线段之和最短问题
中考压轴题之两条线段之和最短时未知点的确定一 例 1 在河L 的一旁有AB 两村，想在河上建一个水库，问在哪建能使得到两村的路程最短（两个村庄一条河问题）分析：要使到两个村庄的距离和最短，即可做A(或B)村庄关于河的对称点A ’(或B ’),连接A ’B(或AB ’)，与河L 的交点即为到两个村庄的最短距离。
二 例2：如图,菱形ABCD 中,AB=2,角A=120度,点M,N,分别为线段BC,CD,上的中点，点P 为线段BD 的任意一点,则PM+PN 的最小值是多少？总结：解决两个线段的距离和最短问题，即可做某一点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为到两点的距离和的最小值。
三 两条线段之和最短时未知点的确定的方法(1) 点位置的确定 作一已知点关于未知点所在直线的对称点, 连接对称点与另一个已知点,则与未知点所在直线的交点即为所求(2) 点坐标的确定 <1>利用对称性求出对称点坐标<2>利用对称点坐标与另一已知点坐标，结合待定系数法求出对称点与已知点所在直线解析式<3>将未知点所在直线的横坐标或纵坐标代入即可四 典型例题讲解：1.如图，抛物线2122y x bx =+-与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且()10A -，． 点(0)M m ，是x 轴上的一个动点，当MC MD +的值最小时，求m 的值．解析：先求出二次函数的解析式，作点C 关于X 轴的对称点C ’,连接C ’D 交X 轴于点M ，即MC+MD 的值最小。
五练习1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为()-，，连结OA，将线段OA绕原点O顺20时针旋转120︒，得到线段OB．⑴求点B的坐标；⑵求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；⑶在⑵中抛物线的对称轴上是否存在点C，使B O C∆的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线c-bx+=2与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，y+x（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.六拓展．当三点都不确定时的三角形周长最短问题：1.如图,菱形ABCD中,AB=2,角A=120°,点M,N,P分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PM+PN的最小值是多少？解析：作点M关于直线BD的对称点M’(必在AB上)，连接M’N，则M’N的长即为PM+PN的最小值，有平行线之间垂线段最短，当M’N垂直AB时PM+PN最小。
线段差的最大值与线段和的最小值问题
线段差的最大值与线段和的最小值问题有关线段差的最大值与线段和的最小值问题的主要应用原理是：1、两点这间线段最短。
2、三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值）。
3、三角形的任意两边之差小于第三边（找差的最大值）。
作图找点的关键：充分利用轴对称，找出对称点，然后，使三点在一条直线上。
即利用线段的垂直平分线定理可以把两条线段、三条线段、四条线段搬在同一条直线上。
证明此类问题，可任意另找一点，利用以上原理来证明。
一两条线段差的最大值：（1）两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB，︱PA－PB︱＜ABp'（2两点异侧：如图，如图，点P在直线L上运动，画出一点P，使︱PA－PB︱取最大值。
作法：1、作B关于直线L的对称点B。
B2、连结AB并延长AB交直线L于点P。
点P即为所求。
︱PA－PB︱=AB证明：在直线L上任意取一点P。
，连结PA、PB、PB。
︱PA－PB︱=︱PA－PB︱＜AB（三角形任意两边之差小于第三边）二、两条线段和的最小值问题：（1））两点同侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（三角形的任意两边之和大于第三边（找和的最小值），P A＋PB=AB（2）两点异侧：如图，点P在直线L上运动，画出一点P使P A＋PB取最小值。
（两点之间线段最短）三、中考考点：08年林金钟老师的最后一题：如图，在矩形ABCO中，B（3，2），E（3，1），F（1，2）在X轴与Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形EFNM的周长最小？若存在，请求出周长的最小值，若不存在，请说明理由。
提示：EF长不变。
即求F N＋NM＋MF的最小值。
利用E关于X轴的对称点E，F的对称点F，把这三条线段搬到同一条直线上。
一、以正方形为载体，求线段和的最小值例1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，边长是4，E 是BC 上一点，且CE ＝1，P 是对角线BD 上任一点，则PE ＋PC 的最小值是_____________。
与轴对称相关的线段之和最短问题
与轴对称相关的线段之和最短问题Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰一．问题的引入：在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42，有这样一个问题在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。
通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。
本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。
若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。
二．数学模型：1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△PAB的周长最小为方便归类，将以上三种情况统称为“两边之和大于第三边型”4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。
使四边形PAQB 的 周长最小。
为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小6. .如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小 为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三.两边之和大于第三边型 (一)直线类1．如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC ＝10千米，BD ＝30千米，且CD ＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少 作点B 关于直线CD 的对称点B'，连接AB'，交CD 于点M则AM+BM = AM+B'M = AB'，水厂建在M 点时，费用最小 如右图，在直角△AB'E 中，ME B'CDAAE = AC+CE = 10+30 = 40EB' = 30所以：AB' = 50总费用为：50×3 = 150万2．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。
换一种思路求线段和的最小值
2020^.^1i m换一种思路求战段和的最小值■马先龙摘要：解答几何题时，经常需求线段和的最小值. 对于有的问题，直接求解，非常困难；若换一种思路，则 柳暗花明，别有洞天.关键词：线段和；最小值;折叠解线段和的最小值问题时，换一种思路，往往别有 洞天，易于求解.一、加上定长线段例1 如图丨，矩形中，/lB JM D ==6,点 M 、/V 分别是边 4Z )、 \ 'P <Q nC D 上的动点，且M i V =4,点五是线段”M N 的中点，点P 是边B C 上的动A , B c求P/l +■的最小值.分析:如图1，直接求+洲的 ，最小值比较困难.依题意，易知线段 图！况的长为定值，故欲求/M +P £的最小值，可加上定长线段£>£，先求出+ /^ + 的最小值，然后再减去线段的长即可.解：如图1，因为四边形4B C D 为矩形，所以乙S /1D =/1/1B C = zlCZM = 90。
•在 R t A M /V D 中，因为 乙M Z W = 90。
，£；为 M)V 的中点，MTV = 4,所以 £>£ =^■娜=2.延长仙到点水,使似，=仙，则点关于直线B C 对称.连接/M '，则/M = /M ',所以/M +P £ + Z )£ =凡4' + P £ +连接I D ，根据“两点之间线段最短”，知线段的长就是W +洲+训即/M +洲+ £>£ 的最小值•在 Rt中，= 90°，/i4,== 8,/lD = 6,由勾股定理，得 47) = VAA'2 + AD2=782 + 62 = 10,所以（以+J P £ + £)£)mm = 10,所以 (/M +P £；)m i … = 10-2 =8,即/M +™的最小值为8.点评:本题把求两条线段和的最小值问题转化为 求三条线段和的最小值问题.其中，发现定长线段并能灵活转化是解题的关键.本题考查了“直角三角形 斜边上的中线等于斜边一半”这一重要性质，考查了 矩形的性质，考查了勾股定理的应用，考查了“两点之 间线段最短”这一公理，考查了转化、轴对称、等线段 代换、化折为直等基本的数学思想和方法[1].例2 如图2,矩形4BCZ?中 ==5,A/、7V 分别是边上的动点，点£在边上，且=1，将沿财£所在的直线折叠 得到 A /4'O Z ,连接 n/V D ，求/t 'i V+ /V D 的最小值.分析:如图2,直接求A W +图2的最小值比较困难.由图形的折叠,知线段的长为 定值，故欲求的最小值，可加上定长线段 ^先求出f /V + /VZ)的最小值，然后再减去线段4'£的长即可.解:如图2,由图形的折叠，知= 1.因为 四边形为矩形，所以乙fiCD == 90。
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以∠AME∠∠AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF∠BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∠BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∠BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以∠APE∠∠BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG∠BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∠BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE∠AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，果不取近似值）．分析：在这里∠PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt∠CDQ中，DQ==，所以∠PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的∠O的直径，点A在∠O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），∠AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使∠AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里∠AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时∠AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为∠BCE∠∠BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当∠CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以∠的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∠EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
“求两线段长度之和的最小值”问题全解析
“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以△AME≌△AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF⊥BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD ＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∥BC，所以∠EAP＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以△APE∽△BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG⊥BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∥BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE⊥AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．（结果不取近似值）．分析：在这里△PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt△CDQ中，DQ==，所以△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN ＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2(B) (C)1 (D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时△AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为△BCE∽△BAF,所以, 所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以△的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E 的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∥EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E 的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。
直线上一动点到两定点距离之和最小问题
如何求直线上一动点p到（同侧）两定点距离之和的最小值解题思路和步骤：一、作出点p的位置：即其中一定点关于点p所在直线的对称点与另一定点的连线跟点p所在直线的交点。
1、作其中一定点关于点p所在直线的对称点；2、连接该对称点和另一定点，所得直线与点p所在直线的交点即点p的位置。
二、其中一定点关于动点p所在直线的对称点与另一定点连结成的线段长即所求。
例题讲解1、平面直角坐标系内有A（2，-1），B（3，3）两点，点P是y轴上一动点，求：（1）P到A、B距离之和最小时的坐标；（2）P到A、B距离之和的最小值；（3）三角形PAB的周长的最小值。
例2、正方形ABCD的边长为8，点M在CD上且DM=2，动点N在对角线AC上，则DN+MN的最小值是多少？A D EPBC 例3．（2009，深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB . （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标和 △BOC 的最小周长；若不存在，请说明理由.巩固提高1、在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ， 则△PBQ 周长的最小值为____________㎝。
2、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．63、已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当P A +PD 取 最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 B A O y xOxyBD AC P 4、（2008，荆门）如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别 是边AB 、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是 。
两线段和的最小值问题
1.如图,正方形ABCD中,AB=2,P是对角线AC上一动点,若M是AB的中点，找出使PM+PB最短的P点位置，则PM+PB的最小值为。
2.如图:在△ABC,AC=BC=2,∠ACB=90º,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,找出使EC+ED最短的E点的位置，则EC+ED的最小值是。
2.如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6 和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC 的中点，则PM+PN 的最小值是_______．3.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是（2）△BPG周长的最小值是。
4.如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．5.已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点C是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是.MN是圆O的直径,MN=2,点A在圆上,∠AMN=30º .B为弧AN的中点,P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为。
6.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为。
7.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为。
8.已知:正比例函数y=4x的图像与反比例函数y= (k≠0) 在第一象限的图像交于A点,过A点作X轴的垂线,垂足为P点.已知△OAP的面积为, 如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且点B的横坐标为1,在X轴上求一点M,使MA+MB最小。
一次函数背景下的搭桥模型(解析版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数
模型介绍方法点拨二、求线段之和的最小值已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解)（1）点A、B在直线m两侧：过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P 点，此时P、Q即为所求的点.（2）点A、B在直线m同侧：过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q 向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点.例题精讲【例1】．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为（，）．解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ，∴四边形APQA'是平行四边形．∴AP＝A'Q．∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝．∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小．根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小．∵B'（0，1），A'（2，0），∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1．∴x＝﹣x+1．即x＝，∴Q点坐标（，）．故答案是：（，）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）解：如图，将点E（8，2）往左平移2个单位得到F（6，2），则EF＝2＝PQ，EF∥PQ，∴四边形EFPQ是平行四边形，∴FP＝QE，作点F关于x轴的对称点F'，连接PF'，则PF'＝PF，F'（6，﹣2），∴当点A、P、F在同一直线上上时，AP+PF'最小，即AP+EQ最小，∵A（0，4），F'（6，﹣2），∴直线AF'解析式：y＝﹣x+4，∴P（4，0），故选：C．【变1-2】．A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC＝40米，你能求出两村的最短路程吗？若能，请求出来．解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．（2）作MH⊥BC垂足为H．两村A、B之间的最短路程＝AN+KN+BK，∵四边形AMKN是平行四边形，∴AN＝MK，在RT△BMH中，∵BH＝70，MH＝40，∴BM＝＝10，∴AN+KN+BK＝BM+KN＝10+30，∴两村的最短路程为（10+30）米．【例2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为（﹣4，4）．解：BP+PH+HQ有最小值，理由是：∵直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，∵四边形PHCB是平行四边形，∴PB＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，∴只需CH+HQ最小即可，∵两点之间线段最短，∴当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，过点Q作QM⊥y轴，垂足为M，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴OA是△BQM的中位线，∴QM＝2OA＝12，OM＝OB＝8，∴Q（﹣12，﹣8），设直线CQ的关系式为：y＝kx+b，将C（0，4）和Q（﹣12，﹣8）分别代入上式得：，解得：，∴直线CQ的关系式为：y＝x+4，令y＝0得：x＝﹣4，∴H（﹣4，0），∵PH∥y轴，∴P（﹣4，4），故答案为：（﹣4，4）．变式训练【变2-1】．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于点A，B，Q为△AOB内部一点，则AQ+OQ+BQ的最小值等于（）A．2B．C．D．解：∵直线y＝﹣x+与x轴，y轴分别交于点A，B，当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＝1；∴OB＝，OA＝1，∴AB＝＝＝2，∴∠OBA＝30°，∠OAB＝60°，任取△AOB内一点Q，连接AQ、BQ、OQ，将△ABQ绕点A顺时针旋转60°得到△AB′Q′，过B′作B′C⊥x轴于C，如图所示：∴AB′＝AB＝2，AQ＝AQ′，BQ＝B′Q′，∠BAB′＝∠QAQ′＝60°，∴△QAQ′是等边三角形，∴AQ＝QQ′，∴OQ+AQ+BQ＝OQ+QQ′+Q′B′，∴当OQ、QQ′、Q′B′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+BQ的最小值＝OB′，∵∠BAO＝∠BAB′＝60°，∴∠B′AC＝60°，∴AC＝AB′＝1，B′C＝，∴OC＝OA+AC＝2，∴OB′＝＝＝，∴AQ、OQ、BQ之和的最小值是；故选：D．【变2-2】．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为（﹣，0）．解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．1．如图，CD是直线y＝x上的一条动线段，且CD＝2，点A（2+，1），连接AC、AD，则△ACD周长的最小值是2+2．解：在x轴上取点B（2，0），连接BC，AB，作AF⊥x轴于点F，∵点A（2+，1），∴Rt△ABF中，AF＝1，BF＝，∴AB＝2，∠ABF＝30°，∵CD是直线y＝x上的一条动线段，∴∠COB＝30°，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，要使得△ACD周长最小，只要AC+AD最小，也就是AC+BC最小，作点B关于直线CD的对称点E，根据对称得OE＝OB，且∠EOB＝60°，∴△EOB是等边三角形，∴点E坐标为（1，），当E，C，A三点共线时，EC+AC最小，此时AC+BC最小，∴EC+AC的最小值＝＝＝2，∴AC+AD最小值＝2，∴△ACD的周长＝2+2．2．如图，在直角坐标系中，直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为6+2．解：如图，连接CH，∵直线y＝x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，∴OB＝4，OA＝3，∵C是OB的中点，∴BC＝OC＝2，∵∠PHO＝∠COH＝∠DCO＝90°，∴四边形PHOC是矩形，∴PH＝OC＝BC＝2，∵PH∥BC，∴四边形PBCH是平行四边形，∴BP＝CH，∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2，要使CH+HQ的值最小，只需C、H、Q三点共线即可，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴Q（﹣6，﹣4），又∵点C（0，2），根据勾股定理可得CQ＝＝6，此时，BP+PH+HQ＝CH+HQ+PH＝CQ+2＝6+2，即BP+PH+HQ的最小值为6+2；故答案为：6+2．3．如图，在平面直角坐标系中，有二次函数，顶点为H，与x轴交于A、B两点（A在B左侧），易证点H、B关于直线l：对称，且A在直线l上．过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，则HN+NM+MK的最小值为8解：设＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），∵＝﹣（x+1）2+2，∴顶点H的坐标是（﹣1，2），设直线AH的解析式为y＝kx+b，把A和H点的坐标代入求出k＝，b＝3，∵过点B作直线BK∥AH，∴直线BK的解析式为y＝mx+n中的m＝，又因为B在直线BK上，代入求出n＝﹣，∴直线BK的解析式为：y＝x﹣，联立解得：，∴交点K的坐标是（3，2），则BK＝4，∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2），∴HN+MN的最小值是MMB，KD＝KE＝2，过K作KD⊥x轴于D，作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD＝KE＝2，则QM＝MK，QE＝EK＝2，AE⊥QK，∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，∵BK∥AH，∴∠BKQ＝∠HEQ＝90°，由勾股定理得QB＝＝8，∴HN+NM+MK的最小值为8．答：HN+NM+MK和的最小值是8．故答案为：8．4．如图，已知点A（4，0）、B（0，2），线段OA＝OC且点C在y轴负半轴上，连接AC．（1）如图1，求直线AB的解析式；＝3S△ABP，求满足条件的点P坐标；（2）如图1，点P是直线CA上一点，若S△ABC（3）如图2，点M为直线l：x＝上一点，将点M水平向右平移6个单位至点N，连接BM、MN、NC．求BM+MN+NC的最小值及此时点N的坐标．解：（1）直线AB的解析式为y＝kx+2，得4k+2＝0，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；（2）由OA＝OC＝4，得点C的坐标为（0，﹣4），设直线AC的解析式为y＝k'x﹣4，得4k'﹣4＝0，解得k'＝1，∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，由题意得，∠OAC＝∠ACO＝45°，AC＝OC＝4，＝3S△ABP，∵S△ABC∴AP＝AC＝，则点P的纵坐标应为或﹣，当点P的纵坐标应为时，得x﹣4＝，解得x＝；当点P的纵坐标应为﹣时，得x﹣4＝﹣，解得x＝．∴满足条件的点P坐标为（，）或（，﹣）．（3）设点M的坐标为（，y），则N的坐标为（，y），由点B离直线x＝的距离是，故在N处向右平移个单位长度出作直线x＝11，在该直线上取B′（11，2），连接CB'，则BM＝B′N，MN＝6，设直线CB'的解析式为y＝k″x﹣4，得11k″﹣4＝2，∴直线CB'的解析式为y＝x﹣4，将x＝代入得y＝＝×﹣4＝，即此时点N的坐标为（，），BM+MN+NC的最小值为MN+B'C＝6+＝6+．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x+4，与x轴交于点C，直线l 上有一点B的横坐标为，点A是OC的中点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）在直线BC上有两点P、Q，且PQ＝4，使四边形OAPQ的周长最小，求周长的最小值；（3）直线AB与y轴交于点H，将△OBH沿AB翻折得到△HBG，M为直线AB上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）对于y＝﹣x+4，令y＝0，则y＝﹣x+4＝0，解得x＝4，故点C（4，0），∵点A是OC的中点，则点A（2，0），当x＝时，y＝﹣x+4＝3，故点B（，3），设直线AB的表达式为y＝sx+t，则，解得，故直线AB的表达式为y＝﹣x+6；（2）过点A作点A关于直线BC的对称点A′，将点A′沿CB方向平移4个单位得到点A″，连接OA″交BC于点P，将点P沿BC方向平移4个单位得到Q，此时四边形OAPQ的周长最小．由点A、B、O的坐标知，OA＝AB＝OB＝2，故△OAB为等边三角形，由直线BC的表达式知∠BCO＝30°，则∠A′AC＝60°，故∠BAA′＝60°＝∠ABC+∠ABC＝30°+∠ABC，故∠ABA′＝60°，故△ABA′为等边三角形，则A′B＝AB＝2且A′B∥x轴，故点A′（3，3）；将点A′沿CB方向平移4个单位，相等于沿x轴负半轴方向平移2个单位向上平移3个单位，故点A″（，5）；由点A的平移知，A″A′＝PQ且A′A″∥PQ，故四边形OAQP为平行四边形，故A′Q＝A″P，此时，四边形OAQP的周长＝OA+PQ+AQ+OP＝OA+4+A′Q+OP＝2+4+OA″为最小，而OA″＝2，故以四边形OAQP的最小周长为2+4+2；（3）存在，理由：对于y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，故点H（0，6），如图2，按照（2）方法同理可得点G（3，3），则HG＝＝6，设点N（a，b），点M（m，6﹣m），①当GH是边时，点H向右平移3个单位向下平移3个单位得到点G，同样点M（N）向右平移3个单位向下平移3个单位得到点N（M），当点N在点M的下方时，由题意得：m+3＝a，6﹣m﹣3＝b①且HG＝HM，而HG＝HM，即36＝m2+（6﹣m﹣6）2②，联立①②并解得m＝±3，故点M（3，6﹣3）或（﹣3，6+3）；当点N在点M的下方时，同理可得点M（3，﹣3）；②当GH是对角线时，由中点公式得：（0+3）＝（a+m），（6+3）＝（b+6﹣m）③，由HM＝HN得：m2+（6﹣m﹣6）2＝a2+（b﹣6）2④，联立③④并解得：m＝，故点M（，3）；综上，点M的坐标为（3，6﹣3）或（﹣3，6+3）或（3，﹣3）或（，3）．6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝与x轴，y轴分别交于点A，D，直线l2与直线y＝﹣x平行，交x轴于点B（7，0），交l1于点C．（1）直线l2的解析式为y＝﹣x+，，点C的坐标为（1，3）；＝时，在x轴上有两动点M、N（M （2）若点P是线段BC上一动点，当S△P AB在N的左侧），且MN＝2，连接DM，PN，当四边形DMNP周长最小时，求点M的坐标；（3）在（2）的条件下，将OD绕O点顺时针旋转60°得到OG，点E是y轴上的一个动点，点F是直线l1上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵直线l2与直线y＝﹣x平行，∴设直线l2的解析式为y＝﹣x+b，∵直线l2交x轴于点B（7，0），∴﹣×7+b＝0，解得b＝，∴直线l2的解析式为y＝﹣x+，∵直线l2交l1于点C，∴，解得，∴C（1，3），故答案为：y＝﹣x+，C（1，3）；＝S△ABC，（2）∵S△P AB∴AB•y P＝×AB•y C，即y P＝，∴P（5，），∵l1：y＝与y轴交于点D，∴D（0，2），∴PD＝＝2，＝2+2+DM+PN，∴C四边形DMNP当DM+PN最小时，四边形DMNP的周长最小，将DM向右平移两个单位至D'N，则D'（2，2），过x轴作点P的对称点P'（5，﹣），连接D'P'交x轴于点N，此时D'N+P'N最小，即DM+PN最小，设直线D'P'的解析式为y＝mx+n，代入D'、P'坐标，得，解得，∴直线D'P'的解析式为y＝﹣x+4，∴N（4，0），∴M（2，0）；（3）存在，过G作GH⊥x轴，由题知，OG＝OD＝2，∵∠DOG＝60°，∴∠GOH＝30°，∴GH＝，OH＝3，∴G（3，），设E（0，a），F（b，），当GM为对角线时，，，解得，∴F（5，7），当GE为对角线时，，∴，解得，∴F（1，3），当GF为对角线时，，∴，解得，∴F（﹣1，3），综上，F点的坐标为（5，7）或（1，3）或（﹣1，）．7．如图1，直线l：交x轴于点A，交轴y于点B，交直线m：y＝x+3于点C，直线m交x轴于点D．（1）求点A、点C的坐标；（2）如图1，点E为第一象限内直线l上一点，满足△ACE的面积为6．①求点E的坐标；②线段PQ＝1（点P在点Q的上方）为直线x＝﹣1上的一条动线段，当EP+PQ+AQ的值最小时，求这个最小值及此时点P的坐标．（3）如图2，将直线l绕点C旋转，在旋转过程中，直线l交x轴于点M，是否存在某个时刻，使得△CDM为等腰三角形？若存在，求出线段OM的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）由﹣x+＝0得，x＝3，∴A（3，0），由得，，∴C（﹣1，2）；（2）①如图1，过点C作OB的平行线交OD于G，作EF⊥CG于F，设点E（x，x+3）∵C（﹣1，2），A（3，0），∴PE＝x+1，PC＝x+1，CG＝2，AG＝4，＝S梯形AEPG﹣S△PCE﹣S△ACG，∵S△ACE∴（AG+PE）•PG﹣﹣＝6，∴x＝1，∴E（1，4）；②如图2，作E点关于x＝﹣1的对称点I，将I向下平移1个单位至J，连接AJ，交x＝﹣1于Q，Q点向上平移1个单位是点P，∴EP＝IP，∵IJ＝PQ，IJ∥PQ，∴四边形PQJI是平行四边形，∴IP＝JQ，EP＝JQ，此时EP+PQ+AQ最小，∵E（1，4），∴I（﹣3，4），J（﹣3，3），∴AK＝6，JK＝3，∴AJ＝＝3，∴EP+PQ+AQ＝JQ+AQ+1＝AJ+1＝3+1，∴EP+PQ+AQ最小＝3+1，∵AJ的解析式是：y＝﹣x，∴P（﹣1，）；（3）∵D（﹣3，0），C（﹣1，2），∴CD＝2，当CD＝CM时，作CT⊥DM于T，如图3，∴TM＝DT＝2，∴M（1，0），∴OM＝1，当DM＝CD＝2时，如图4，M（2﹣3），∴OM＝3﹣2，当CM＝DM时，如图5，∵OD＝ON＝3，∴∠ODN＝45°，作CM⊥OD于M，∴∠DCM＝∠ODN＝45°，∴CM＝DM，∴M（﹣1，0），∴OM＝1，综上所述：当OM＝1或3﹣2时，△CDM为等腰三角形．8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与直线l2交于点C，C点到x轴的距离CD为，直线l2交x轴于点B，且∠ABC＝30°．（1）求直线l2的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标，以及CE+EF+AF的最小值；（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H重合，点C与点G重合，将△BGH沿直线BC平移，记平移中的△BGH为△B'G'H'，在平移过程中，设直线B'H'与x轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）点C的纵坐标为2，点C在直线l1上，则点C（﹣1，2），∴CD＝2，OD＝1，∵∠ABC＝30°，∴CD＝BD，BD＝CD＝6，∴OB＝BD﹣OD＝5，则l2的表达式为：y＝﹣x+b，将点C的坐标代入l2表达式并解得：b＝，故直线l2的表达式为：y＝﹣x+；（2）直线l2的表达式为：y＝﹣x+，则点B（5，0），直线与x轴交于点A，则点A（﹣3，0），作点A关于y轴的对称点A′（3，0），过点A′作x轴的垂线并取A′E′＝，连接E′C交y轴于点E，在E下方取EF＝，则点F是所求点，将点C、E′的坐标代入一次函数表达式，同理可得：CE′的函数表达式为：y＝﹣x+，故点E（0，），点F（0，）；CE+EF+AF的最小值＝FE+CE′＝+；（3）AB＝8，BC＝4，AC＝4，如图3，过点H作HR⊥x轴于点R，过点H作HK⊥y轴于点K，△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，则∠ABH＝60°，则RH＝HB sin60°＝AB sin60°＝8×＝4，同理HK＝1，故点H（1，﹣4），同理点G（﹣1，﹣2）；设△BHG向右平移m个单位，则向下平移m个单位，则点B′（5+m，﹣m）、点H′（1+m，﹣4﹣m）、点G′（﹣1+m，﹣2﹣m），将点H′、B′的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线H′B′的表达式为：y＝x﹣（5+4m），则点M（5+m，0），则B′M2＝（）2+m2＝，同理G′M2＝m2+48+8m，B′G′2＝BC2＝48，①当B′M＝G′M时，＝m2+48+8m，解得m＝﹣2；②当B′M＝B′G′时，＝48，解得：m＝±6；③当G′M＝B′G′，m2+48+8m＝48，解得：m＝0（舍去）或﹣6；故存在，点M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．故点M（5+8，0）或（5﹣8，0）或（﹣3，0）或（﹣19，0）．9．如图1，直线AB分别与x轴，y轴交于A，B两点，OA＝6，∠BAO＝30°，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）请求出直线BC的函数解析式．（2）如图1，取AC中点D，过点D作垂直于x轴的直线DE，分别交直线AB和直线BC于点F，E，过点F作关于x轴的平行线交直线BC于点G，点M为直线DE上一动点，作MN⊥y轴于点N，连接AM，NG，当AM+MN+NG最小时，求M点的坐标及AM+MN+GN的最小值．（3）在图2中，点P为线段AB上一动点，连接PD，将△PAD沿PD翻折至△PA'D，连接A'B，A'C，是否存在点P，使得△A'BC为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）∵x轴⊥y轴，OA＝6，∠BAO＝30°，∴∠BOA＝90°，∠ABO＝60°，则BO＝tan30°•OA＝•6＝，∴B（0，）；∵过点B作BC⊥AB交x轴于点C，∴∠CBA＝90°，∠CBO＝∠CBA﹣∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∴CO＝tan30°•OB＝•＝2，∴C（﹣2，0）；设直线BC的函数解析式为：y1＝kx+b，将点B（0，），C（﹣2，0）代入得，，解得，，∴直线BC的函数解析式为：y1＝x+．（2）∵MN⊥y轴，GF∥x轴，∴GF⊥y轴，直线GF上所有点的纵坐标都相等；将点G在直线GF上平移至点G'，使得GG'＝MN，连接AG'，交DE于点M'，过M'作M'N'∥MN交y轴于点N'，连接GN'，则MN＝M'N'，GN'＝G'M'，当M位于点M'时，AM+MN+NG有最小值；∵点D为线段AC的中点，C（﹣2，0），A（6，0），∴D（2，0），AD＝4，∵DE⊥x轴，∴GG'＝MN＝M'N'＝2，∠FDA＝90°，直线DE上所有点的横坐标都为2；∵AD＝2，∠BAO＝30°，∴DF＝tan30°•AD＝•4＝，则F（2，），∴设点G（x，），代入y＝x+得，x+＝，解得，x＝，则G（，），∴G'（，），则AG'＝＝，∴AM+MN+NG的最小值为：AM+MN+NG＝AM'+M'N'+N'G＝AG'+MN＝+2，设直线G'A的函数解析式为：y2＝kx+b，将点G（，），A（6，0），代入得，，解得，∴直线AG'的函数解析式为：y2＝﹣x+，设点M'（2，m），将点M'代入y2＝﹣x+得，m＝，当AM+MN+NG最小时，M点的坐标为：（2，）．（3）存在点P，使得△A'BC为等腰三角形．点A，D是定点，则AD是定长，△PAD沿PD翻折至△PA'D，则点A'是⊙D上的动点，（1）当A'C＝A'B时，如图，点P在x轴上方，点P（8﹣，2﹣）；（2）当BC＝BA'时，A'也在⊙B上，点P（4，）；（3）当CB＝CA'时，点A'也在⊙C上，点P（0，）．10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l2：y＝﹣x+与x轴交于点B，与直线l1：y＝x+b交于点C，C点到x轴的距离CD为2，直线l1交x轴于点A．（1）求直线l1的函数表达式；（2）如图2，y轴上的两个动点E、F（E点在F点上方）满足线段EF的长为，连接CE、AF，当线段CE+EF+AF有最小值时，求出此时点F的坐标以及CE+EF+AF的最小值；（3）如图3，将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，得到△BGH，使点A与点H对应，点C与点G对应，将△BGH沿着直线BC平移，平移后的三角形为△B′G′H′，点M 为直线AC上的动点，是否存在分别以C、O、M、G′为顶点的平行四边形，若存在，请求出M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）∵CD＝2，将y＝2代入y＝﹣得x＝﹣1，∴点C坐标为（﹣1，2），将（﹣1，2）代入y＝x+b，解得b＝3，∴直线l1的函数表达式为y＝x+3．（2）由y＝x+3得点A坐标为（﹣3，0），关于y轴作点A对称点再向上移动个单位得到A'（3，），连接CA'与y轴交点即为点E．设CA'所在直线解析式为y＝kx+b，将点（﹣1，2），（3，）代入可得，，解得，∴y＝﹣x+，∵x＝0时y＝，∴点E坐标为（0，），点F坐标为（0，）．作CG垂直于y轴于点G，在Rt△CGE和Rt△AFO中，由勾股定理得，CE＝＝＝，AF＝＝＝，∴CE+EF+AF＝+．（3）如图，直线BC交y轴于点K，点K坐标为（0，），∵点B坐标为（5，0），∴＝，∴∠KBO＝30°，∵将△ACB绕点B逆时针方向旋转60°，∴∠GOB＝30°，BK，BG关于x轴对称，∴点G坐标为（﹣1，﹣2），∴点G轨迹为过点G（﹣1，﹣2）且与BC平行的一条直线，设y＝﹣x+b，将（﹣1，﹣2）代入得b＝﹣，∴y＝﹣x﹣．设点M横坐标为m，则纵坐标为（m，m+3），点G'坐标为（a，b），∵点C坐标为（﹣1，2），点O坐标为（0，0），当CMG'O是平行四边形时，，解得，∴点G坐标为（m+1，）．将（m+1，）代入y＝﹣x﹣，解得m＝﹣，∴m+3＝，∴M坐标为（﹣，）．当G'MOC为平行四边形时，同理可得，解得，将（m﹣1，m+5）代入y＝﹣x﹣，解得m＝﹣，∴m+3＝﹣，∴M坐标为（﹣，﹣）．当CG'OM为平行四边形时，可得，解得，将（﹣m﹣1，﹣m﹣）代入y＝﹣x﹣，解得m＝，∴m+3＝，∴M坐标为（，）．综上所述，M点坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）或（，）．11．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．（1）直接写出点A，B的坐标，并求直线AB与CD交点的坐标；（2）动点P从点C出发，沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AB以每秒个单位长度的速度向终点B运动，过点P作PH ⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．①若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，求t的值；②点Q是点B关于点A的对称点，问BP+PH+HQ是否有最小值？如果有，求出相应的点P的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）A（﹣3，0），B（0，4）．当y＝2时，，．所以直线AB与CD交点的坐标为．（2）①当0＜t＜时，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△MPH的面积．过点M作MN⊥OA，垂足为N．由△AMN∽△ABO，得．∵AO＝3，BO＝4，∴AB＝＝5，∴．∴AN＝t．∴△MPH的面积为．当3﹣2t＝1时，t＝1．当＜t≤3时，设MH与CD相交于点E，△MPH与矩形AOCD重合部分的面积即△PEH的面积．过点M作MG⊥AO于G，MF⊥HP交HP的延长线于点F．FM＝AG﹣AH＝AM×cos∠BAO﹣（AO﹣HO）＝．．由△HPE∽△HFM，得．∴．∴．∴△PEH的面积为．当时，．经检验，t＝是原方程的解，综上所述，若△MPH与矩形AOCD重合部分的面积为1，t为1或．②BP+PH+HQ有最小值．连接PB，CH，则四边形PHCB是平行四边形．∴BP＝CH．∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+2．当点C，H，Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小．∵点C，Q的坐标分别为（0，2），（﹣6，﹣4），∴直线CQ的解析式为y＝x+2，∴点H的坐标为（﹣2，0）．因此点P的坐标为（﹣2，2）．12．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，过点B作直线l2⊥l1交x轴于点C，将直线l2沿y轴正方向平移2个单位得到直线l3，直线l1与直线l3交于点D．（1）求△ABC的面积；（2）如图2，点F在直线l1上，点F的纵坐标为7，点M、点N分别为直线l3、l2上的两个动点（点M的横坐标小于点N的横坐标），且∠MNB＝30°，连接FM、NO，求FM+MN+NO的最小值；（3）如图3，将△BOC绕着点（2，0）逆时针旋转90°得到△B'O′C'，作点B'关于直线C'O'的对称点B″，设动点K在直线l4：y＝x﹣2上，点T在直线C′O′上，是否存在点K，使得△B″KT为等边三角形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）y＝x+4分别与x轴、y轴交于点A、点B，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣，则A（﹣，0），B（0，4），OA＝，OB＝4，∴tan∠ABO＝＝，∠ABO＝30°，∵l2⊥l1，∴∠CBO＝60°，∴OC＝OB•tan60°＝4，∴△ABC的面积＝×（+4）×4＝；（2）由（1）可知C（4，0），B（0，4），∴l2解析式为：y＝﹣x+4，∵将直线l2沿y轴正方向平移2个单位得到直线l3，设直线l3与y轴交点为W，∴l3解析式为：y＝﹣x+6，l1和l3联立方程组得，，解得：，∴D点坐标为（，），点F的纵坐标为7，代入y＝x+4得，x＝，∴F点坐标为（，7），∵B（0，4），∴D为BF中点，∵BW＝2，BD＝BW•cos30°＝，过点M作MP⊥BC于P，作FQ∥MN交直线l3于点Q，连接OQ，∵∠MNB＝30°，∴MP＝BD＝，MN＝2，∵FD＝BD＝MP，∠FDQ＝∠MPN＝90°，∠MNB＝∠FQD＝30°，∴MN＝FQ，∴四边形FMNQ是平行四边形，∴FM＝NQ，∴FM+MN+NO＝FQ+ON+NQ，当O、N、Q共线时，值最小，如图所示，最小值为OQ+FQ，∵QD⊥BF，BD＝FD，∠FQD＝30°，∴QF＝QB＝2，∠FQB＝60°，∴∠FBQ＝60°，∴∠QBO＝90°，∴OQ＝＝2，∴FM+MN+NO的最小值为：2+2；（3）连接B″C′、B″O'，由对称性可知△B″C'B'是等边三角形，如图所示，当△B″KT是等边三角形时，如图3，图4；B″T＝B″K，B″C'＝B″B'，∠B'B″C'＝∠KB'T＝60°，∴∠B'B″K＝∠C'B″T，∴△B'B″K≌△C'B″T（SAS），∴∠B″B'K＝∠B″C'T＝30°，∴∠C′B'K＝90°，由旋转可知，B'的坐标为（﹣2，﹣2），C′的坐标为（2，4﹣2），如图3，图4，过点K作KS⊥B′B″于S，设K（x，x﹣2），则S（x，﹣2），∵∠B″B'K＝30°，∴tan∠B″B'K＝＝，即＝或＝，解得，x＝1﹣或x＝，∴x﹣2＝﹣1﹣或x﹣2＝﹣1，∴点K的坐标为（1﹣，﹣1﹣）或（+1，﹣1）．13．阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，求AC+CD+DB最小值．【思考交流】小明：如图2，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1交x轴于点D，将点D向左平移2个单位长度得到点C，连接AC．BD．此时AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小颖：如图3，先将点A向右平移2个单位长度到点A1，作点A1关于x轴的对称点A2，连接A2B可以求解．小亮：对称和平移还可以有不同的组合…．【尝试解决】在图2中，AC+CD+DB的最小值是7．【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），B（5，1），C（a，1），D（a+2，0），连接AC，CD，DB，则AC+CD+DB的最小值是，此时a＝2，并请在图5中用直尺和圆规作出AC+CD+DB最小时CD的位置（不写作法，保留作图痕迹）．【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3），C是一次函数y＝x 图象上一点，CD与y轴垂直且CD＝2（点D在点C右侧），连接AC，CD，AD，直接写出AC+CD+DA的最小值是，此时点C的坐标是（）．解：【尝试解决】由题意得A1（2，3），B1（5，﹣1），则A1B1＝＝5，故A1B1+CD＝5+2＝7，故答案为：7．【灵活应用】先将A点向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A1，作点B关于x轴的对称点B1，连接A1B1，与x轴的交点就是D点，以D点为圆心，AA1的长为半径画圆，与直线y＝1的交点就是C点，连接AC，CD，DB，此时AC+CD+DB 最小，最小值即为A1B1+CD，作图如下：由作图得，AA1＝DC，且AA1∥DC，∴四边形AA1DC是平行四边形，且A1（2，2），B1（5，﹣1），C（2，1），D（4，0），∴最小值为A1B1+CD＝+＝3+，此时a为C点的横坐标2，故答案为：；2；【拓展提升】先将点A向右平移2个单位长度得到点A1，得到平行四边形AA1DC，AC＝A1D，而AC+CD+DA中，CD为定值2，即求AC+DA＝A1D+AD的最小值，由题意得：D点在直线y＝x﹣2上，作点A关于直线y＝x﹣2的对称点A′，连接AA'交直线y＝x﹣2于B，连接A1A'，交直线y＝x﹣2的交点为D点，D点往左平移2个单位为C点．如图：∵AA'与直线y＝x﹣2垂直，∴设直线AA'解析式为y＝﹣x+m，将A（0，3）代入得：3＝m，∴直线AA'解析式为y＝﹣x+3，解得，∴B（2.5，0.5），∵B（2.5，0.5）是AA'中点，设A′（x，y），∴，解得，∴A′（5，﹣2）设A1A'所在直线的解析式为y＝kx+b，将A1（2，3）、A'（5，﹣2）代入得：得，解得，∴，∵D点是直线与直线y＝x﹣2的交点，解得，∴D（，），∵C点是将D点向左平移2个单位长度，∴C（，），∴此时AC+CD+AD＝＝，故答案为；（）．14．已知抛物线C1：y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，与y轴交于B（0，1）．（1）求抛物线C1的解析式；（2）如图1，平移直线AB交x轴于F，交y轴于E，交抛物线C1于点M、N，若ME＝NF，求直线EF的解析式；（3）如图2，把抛物线C1向下平移4个单位的抛物线C2交x轴于C、D两点，交y轴于点G，在抛物线C2的对称轴上一条动线段PQ＝1（P点在Q点上方），当四边形GCPQ 的周长最小时，求P点坐标．解：（1）将点B（0，1）代入y＝（x﹣m）2中，得：1＝（0﹣m）2中，解得：m＝±2，∵抛物线C1：y＝（x﹣m）2的顶点A在x轴正半轴上，∴m＝2，A（2，0），∴抛物线C1的解析式为y＝（x﹣2）2．（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（2，0）、B（0，1）代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1．∵直线EF∥AB，∴设直线EF的解析式为y＝﹣x+n．将y＝﹣x+n代入y＝（x﹣2）2中，得：﹣x+n＝（x﹣2）2，解得：x1＝1﹣，x2＝1+．当y＝0时，有﹣x+n＝0，解得：x＝2n．∵ME＝NF，∴0﹣x1＝2n﹣x2，既＝n，解得：n＝3或n＝1（舍去），∴直线EF的解析式为y＝﹣x+3．（3）在图2中，过点C作CC′∥y轴且CC′＝1（C点在C′点上方），作G关于x＝2的对称点G′，连接C′G′交抛物线对称轴x＝2于点Q，在抛物线的对称轴上取PQ ＝1（P在Q点上方），连接CP、GQ，则此时四边形GCPQ的周长最小．根据平移可知平移后抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣4，当y＝0时，有（x﹣2）2﹣4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴C（﹣2，0），D（6，0）．∵CC′＝﹣1，且点C在上方，∴C′（﹣2，﹣1）．当x＝0时，y＝（0﹣2）2﹣4＝﹣3，∴G（0，﹣3），∴G′（4，﹣3）．设直线C′G′的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0），∴，解得：，∴直线C′G′的解析式为y＝﹣x﹣，当x＝2时，y＝﹣×2﹣＝﹣．∴Q（2，﹣），∵PQ＝1，点P在点Q的上方，∴P（2，﹣）．15．在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（5，0），连接AB．（1）将绕点O按逆时针方向旋转，得到△OCD，（点A落到点C处），求经过B、C、D 三点的抛物线的解析式．（2）现将（1）中抛物线向右平移两个单位，点C的对应点为E，点B的对应点为N，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F；P、Q为平移后抛物线对称轴上的两个动点，（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形PQFE的周长最小，求出P、Q两点的坐标．解：（1）∵点A（0，3），B（5，0），∴OA＝3，OB＝5，∴OC＝OA＝3，OD＝OB＝5，∴C（﹣3，0），D（0，5），∵抛物线经过B、C、D三点，∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣5），代入D（0，5）得，5＝﹣15a，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣5），即y＝﹣x2+x+5；（2）由题意可知E点的坐标为（﹣1，0）平移前抛物线为y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣1）2+，∴向右平移2个单位后的抛物线为y＝﹣（x﹣3）2+，解方程组，解得；∴F（2，5）∴点E关于对称轴直线x＝3的对称点N（7，0），N向上平移一个单位得N′（7，1），连接N′F交对称轴于Q点，然后过N作N′F的平行线交对称轴于P点，连接PE，此时四边形PQFE的周长最小，设直线N′F的解析式为y＝kx+b，则有，解得；∴直线N′F的解析式为y＝﹣x+；当x＝3时，y＝，∴Q（3，），P（3，）．16．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．（2）如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C′（0，2），连接BC′交抛物线对称轴x＝1于点Q′，过点C作CP′∥BC′，交对称轴于点P′，连接AQ′，∵A、B关于直线x＝1对称，∴AQ′＝BQ′，∵CP′∥BC′，P′Q′∥CC′，∴四边形CC′Q′P′是平行四边形，∴CP′＝C′Q′，Q′P′＝CC′＝1，在Rt△BOC′中，BC′＝，＝＝．∴AQ′+Q′P′+P′C＝BQ′+C′Q′+Q′P′＝BC′+Q′P′＝+1，此时，C′、Q′、B三点共线，BQ′+C′Q′的值最小，∴AQ+QP+PC的最小值为+1．（3）线段EF的长为定值1．如图2，连接BE，设D（t，﹣t2+2t+3），且t＞3，∵EF⊥x轴，∴DF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，∵F（t，0），∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠DAF+∠BED＝180°，∵∠BEF+∠BED＝180°，∴∠DAF＝∠BEF，∵∠AFD＝∠EFB＝90°，∴△AFD∽△EFB，∴＝，∴＝，∴EF＝＝＝1，∴线段EF的长为定值1．。
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“求两线段长度值和最小”问题全解析在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学们有所帮助．一、在三角形背景下探求线段和的最小值1.1 在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法．我们要选用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决．解：如图1，在AC上截取AE=AN，连接BE．因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以∠EAM=∠NAM，又因为AM=AM，所以∠AME∠∠AMN，所以ME=MN．所以BM+MN=BM+ME≥BE．因为BM+MN有最小值．当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4，以BM+MN的最小值是4．故填4．1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2（2010 山东滨州）如图4所示，等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所学的知识求出这条线段的长度即可．解：因为等边∠ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称，连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM，所以EM+CM=BE，过点E作EF∠BC，垂足为F，因为AE=2，AC=6，所以EC=4，在直角三角形EFC中，因为EC=4, ∠ECF=60°，∠FEC=30°，所以FC=2,EF==2．因为BC=6，FC=2，所以BF=4．在直角三角形BEF中，BE==.二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∠BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E，连接CE，交AB于点P，此时PC ＋PD和最小，为线段CE．因为AD＝4，所以AE=4．因为∠ABC＝90°，AD∠BC，所以∠EAP ＝90°．因为∠APE＝∠BPC,所以∠APE∠∠BPC，所以.因为AE=4，BC＝6，所以，所以，所以,因为AB＝5，所以PB=3.2.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D，这是解题的一个关键点．其次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键．解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A，连接BD，交EF于点P，此时PA＋PB和最小，为线段BD．过点D作DG∠BC，垂足为G，因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，所以∠C=60°，∠GDC=30°，所以GC=,DG=．因为∠ABC＝60°，AD∠BC，所以∠BAD＝120°．因为AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=30°，所以∠ADBC=30°，所以BD=2DG=2×=．所以PA+PB的最小值为．2.3在菱形中探求线段和的最小值例5如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D，连接DE，交AC于点P，此时PE＋PB和最小，为线段ED．因为四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，所以三角形ABD是等边三角形．因为E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE∠AB，所以ED==．所以PE＋PB的最小值为．2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D，这是解题的一个关键点．解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B，连接BM，交AC于点N，此时DN＋MN和最小，为线段BM．因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8．因为DM=2，所以MC=6，所以BM==10.所以DN+MN的最小值为10.例7（2009?达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，果不取近似值）．分析：在这里∠PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值1，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题．因为题目中有一个动点P，两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ，交AC 于点P，连接PB．所以BP=DP，所以BP+PQ=DP+PQ=DQ．在Rt∠CDQ中，DQ==，所以∠PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ= +1．故答案为+1．三、在圆背景下探求线段和的最小值例8（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的∠O的直径，点A在∠O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为()(A)2(B) (C)1(D)2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D，连接DB，则线段和的最小值就是线段DB的长度．解：如图8，作出点A的对称点D，连接DB，OB,OD．因为∠AMN＝30°，B为AN 弧的中点，所以弧AB的度数为30°，弧AB的度数为30°，弧AN的度数为60°．根据圆心角与圆周角的关系定理得到：∠BON＝30°．由垂径定理得：弧DN的度数为60°．所以∠BOD＝∠BON +∠DON= 30°+60°=90°.所以DB==.所以选择B．四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值例9（2010山东济宁）如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键．要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了．解：（1）设点A的坐标为（x，y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y．因为三角形OAM的面积为1，所以所以xy=2，所以反比例函数的解析式为y=．（2）因为y=x与y=相交于点A，所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x＞0，所以x=2，所以y=1，即点A的坐标为（2，1）．因为点B的横坐标为1，且点B在反比例函数的图像上，所以点B的纵坐标为2，所点B的坐标为（1，2），所以点B关于x轴的对称点D的坐标为（1，-2）．设直线AD的解析式为y=kx+b，所以，解得k=3，b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=，所以当点P在（，0）时，PA+PB的值最小．五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），∠AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使∠AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里∠AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法．解：（1）由题意得:所以OB=2．因为点B在x轴的负半轴上，所以点B的坐标为（-2，）；（2）因为B(-2,0),O(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax（x+2），将点A的坐标为（1，）代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+x．（3）存在点C. 如图10，根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C，此时∠AOC的周长最小.设对称轴与x轴的交点为E．过点A作AF垂直于x轴于点F，则BE=EO=EF=1.因为∠BCE∠∠BAF,所以,所以，所以CE=．因为点C在第二象限，所以点C的坐标为（-1，）．六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当∠CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中．解：（1）如图12，作点D关于x轴的对称点，连接C与x轴交于点E，连接DE.若在边OA上任取点（与点E不重合），连接C、D、.由D+ C=+ C＞C= D+CE=DE+CE，所以∠的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3，DO=O=2.所以点C的坐标为（3，4），点的坐标为（0，-2），设直线C的解析式为y=kx+b，则，解得k=2，b=-2，所以函数的解析式为y=2x-2，令y=0，则x=1，所以点E的坐标为（1，0）；（2）如图13，作点D关于x轴的对称点，在CB边上截取CG=2，连接G与x 轴交于点E，在EA上截EF=2.因为GC∠EF，GC=EF，所以四边形GEFC为平行四边形，有GE=CF.又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.因为在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，CG=2,所以BC=3，DO=O=2,BG=1.所以点G的坐标为（1，4），点的坐标为（0，-2），设直线G的解析式为y=kx+b，则，解得k=6，b=-2，所以函数的解析式为y=6x-2，令y=0，则x=，所以点E的坐标为（，0）,所以点F的坐标为（+2，0）即F的坐标为（，0）。