线段和最小值问题

线段和最小值问题 问题模型：如下图，、是直线同旁的两个定点. 问题：在直线上确定一点，使的值最小.

方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，则的值最小（不必证明）

ABCD 中，对角线 AC=6，BD=8，点E 、F 分别是 在运

动过程中，存在 PE+PF 的最小值，则这个最小

方法总结：当有两个定点时，做任一定点关于线的对称点，连接另一点和 对称点，和线的交点即为所求。 —：三三跟踪练习：

如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且 AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，贝V △ BEQ 周长的最小值为 _________________ .

分别是线段ACAB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为

______________ 若点M 、N

值是

,AB=10 , BC=5

题型二：一定两动一线

方法总结：点P 在AD 上运动，则作线段 AD 关于线AE 的对称线段，结合垂线段最短求最 小值。 ABCD 的边长为4,/ DAC 的平分线交 DC 于点E ,若点P 、Q 分别是AD 和 则 DQ+PQ 的最小值是 .

题型三：三动一线（做法参照题型二）

例3:如图，菱形 ABCD 中，AB=2 , / BAD=60 , E 、F 、P 分别是

AB 、BC 、AC 上的动点, PE+PF 的最小值等于 .

题型四：一定两动两线

例4 :如图，/ AOB=45，角内有一动点 P , PO=10,在AO , BO 上有两动点 Q , R ,求

△ PQR 周长的最小值 _______ .

方法总结：分别作定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。

题型五：两定两动两线

跟踪练习 如

图，正方形 AE 上的动点,

拓展提升

随堂练习：

1•如图，正方形 ABCD 的边长为7,点E 、F 分别在AB 、BC 上，AE=3，CF=1，P

是对角线

AC 上的个动点，贝V PE+PF 的最小值是 . 2•如图，等边 △ ABC 的边长为6, AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是

AC 边上

一点，若AE=2 , EM+CM 的最小值为 .

正方形 ABCD 的面积为12,亠田E 是等边三角形，点E

在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点P ,使的和最小，则 PD+PE 这个最小值为 ______________

OA 、OB 上,

方法总结：分别作两定点关于两线的对称点，连接两对称点所得线段即为线段和的最小值。

D

4•如图，在Rt△ ABC 中，/ ACB=90 ,AC=6, BC=8,

AD是/ BAC的平分线•若P, Q分别是AD和AC上的动点，贝V PC+PQ的最小值是_______________

A E

8

五边形ABCDE 中，/ BAE=120，/ B= Z E=90° AB=BC=1 ,

AE=DE=2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△ AMN的周长最小，贝V △ AMN的周长最小值为•