2016年河南省普通高中招生考试数学试卷(含答案)
2024年河南省普通高中招生考试试卷(文字版,含答案)
2024年河南省普通高中招生考试试卷语文注意事项：1.本试卷共6页，五个大题，满分120分，考试时间120分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、积累与运用（共23分）班级开展“知河南，爱河南”主题学习活动，你所在的小组搜集整理了一些材料，请你完善。
1. 小组成员想用下面这段文字介绍登封“天地之中”历史建筑群，里面有一些字词拿不准，请你判断。
登封“天地之中”历史建筑群共8处11项，其中有闻名遐．迩的千年古刹少林寺、久 ① （符 负）盛名的学府嵩阳书院、我国现存最古老的天文台——观星台等。
这些历史建筑宛如镶嵌在 ② （崇 祟）山峻岭间的颗颗明珠，闪耀着中华文明的璀璨光芒。
数千年来，它们以各自的方式向世人展示何为“天地之中”，是当之无愧．的世界文化遗产。
（1）语段中的两个加点字应该怎么读？请写出正确的拼音。
（2）语段中两个横线处应分别选用哪个字？请工整书写。
2. 小组成员梳理了河南“米”字形高铁网的构建过程，请你根据提示，将时间轴上的空缺信息补充完整。
3. 小组成员写了一段与河南小麦育种有关的文字，中间几句的顺序有待推敲。
请你重新排列出最恰当的顺序，将句子序号依次填在横线上，使该段文字语意连贯。
河南是全国小麦主产区，小麦种植面积、单位面积产量、总产量均居全国第一。
＿＿＿。
＿＿＿。
______，_____，促进了优质小麦品种的更新换代，为河南小麦的丰产作出了突出贡献。
①每一个优质麦种都凝聚着育种人的智慧②多个“第一”的背后，优质麦种是关键③创新集成了多套小麦育种技术体系④河南小麦育种人综合利用远缘杂交、分子标记等技术4. 小组成员想用图文结合的方式讲述焦裕禄同志的故事，需要给下面文字材料配一幅图。
A 、B 两幅备选图，你建议选择哪一幅？请结合画面内容，简要说明理由。
5. 小组成员围绕活动主题写了一段感言，请你将空缺的古诗文名句补充完整。
2016高考全国3数学试卷及解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试（III）一．选择题（共12小题）1．设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．3．已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选：A．【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．4．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D．【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判断是解决本题的关键．5．若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．6．已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【分析】b==，c==，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选：A．【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．7．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的关键，属于基础题．8．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得c osθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA 是关键，也是亮点，属于中档题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的直四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．11．已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF 交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12．定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．二．填空题（共4小题）13．若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．14．函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．15．已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题．16．已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．18．如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD 内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题．20．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PQF，即可证明AR∥FQ；（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．21．设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的思想方法，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|＜1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++＞1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，以及换元法，转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+co sθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．【点评】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【分析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣|+|x﹣|≥，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．。
5年年河南省中招考试数学试题卷及答案
2007年河南省高级中等学校招生学业考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟.请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内.【 】A.— 1B. 1C.-3 2. 使分式有意义的x 的取值范围为A.x≠2B.X≠-2C.X>-23. 如图，△ABC 与△AB ℃关于直线1对称， 则 Z B 的 度 数 为 【 】A.30°B. 50°C. 90°D. 100°4. 为了某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：D. 3【 】C. x<2( 第 3 题 )则关于这10户家庭的约用水量，下列说法错误的是【 】A. 中位数是5吨B. 极 差 是 3 吨 C . 平均数是5 . 3吨 D . 众 数 是 5 吨一 、选择题(每小题3分，共18分)1. 计算( - 1)3 的结果是得分 评卷人5. 由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表 示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是 【 】A. B. C. D. (第5题图)6. 二次函数y=ax²+x+a² - 1 的图像可能是 【 】A. B. C. D.7. 的相反数是 .8. 计算：(-2x²) · 3x ⁴=9. 写出一个经过点(1, — 1)的函数的表达式10. 如图， PA 、PB 切◎O 于点A 、B,点C 是◎O 上 一 点，且ZACB=65°,则ZP=.(第10题图) (第11题图)11. 如图，在直角梯形ABCD 中， AB//CD,ADICD,AB=1cm,AD=2cm,CD=4cm, 则BC= ·12. 已知x 为整数，且满足- √2≤x≤ √3,则x= .13. 将图①所示的正六边形进行分割得到图②,再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③,再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割， … ,则第n 个图形中共有 个正六边形.● ·0度 二、 填空题(每小题3分，共27分)得分评卷人14.将图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点○为圆心的EF上，若OA=3,Z1=22,则扇形OEF的面积为 .15.如图，点P是ZAOB的角平分线上一点，过P作P C//OA交OB于点C .若ZAOB=60°,O C = 4 , 则点P 到O A 的距离P D 等于三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16 . (8分)(第15题图)17 . (9分)如图，点E 、F 、G分别是□ABCD 的边AB 、BC、CD 、DA 的中点.求证：△BEF丝△DGH .18. (9分)下图是2006年某省各类学校在校生数情况制作的扇形统计图和不完整的条形统计图.人数 ( 万人)得分评卷人得分评卷人已知2006年该省普通高校在校生为97.41万人，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：(1)2006 年该省各类学校在校生总人数约多少万人? (精确到1万)(2)补全条形统计图；(3)请你写出一条合理化建议.19.(9分)张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到了入场券；否则，王华得到入场券；王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中.从中随机取出一个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球.若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券.请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平.20. (9分)如图，A BCD 是边长为1的正方形，其中D E 、EF 、FG 的圆心依次是点A 、B 、C .(1)求点D 沿三条圆弧运动到G 所经过的路线长； (2)判断直线GB 与DF 的位置关系，并说明理由 .(2)在你所画的等腰△ ABC 中设底边BC=5米，求腰上的高BE . 22. (10分)某商场用36万元购进A 、B 两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：(注：获利=售价一进价)(1)该商场购进A 、B 两种商品各多少件?底边上的高AD=BC .(1)求tanB 和sinB 的值；21. (10分)请你画出一个以BC 为底边的等腰△ ABC,使(2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品.购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售.若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?23 . (11分)如图，对称轴为直线的抛物线经过点A ( 6 , 0 ) 和B ( 0 , 4 ) .(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形?②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.2007年河南省实验区中考数学试题参考答案79例三、解答题16.解：方程两边同乘以(x+2)(x-2),得3x(x-2)+2(x+2)=3(x+2)(x-2)解之，得X= 4检验：当x=4时，(x+2)(x-2)=(4+2)(4-2)≠0所以，X=4是原方程的解.17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，·ZB= ZD,AB = CD,BC =AD.又∵E、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 的四边中点， . · B E = DG,BF = DH. · △BEF 丝△DGH.18. 解：(1)2006年该省种类学校在校生总数为97 .41÷4 . 87%≈2000(万人) .(2)普通高中在校生人数约为2000×10 . 08%= 201 . 6(万人) . (没有计算，但图形正确者可给满分)(3)(答案不唯一 ，回答合理即可) .19. 解：张彬的设计方案：,,,所以，张彬的设计方案不公平.王华的设计方案：可能出现的的所有结果列表如下：第一次第二次1 2 31 2 3 42 3 4 53 4 5 65: P ( 王华得到入场券) = P ( 和为偶数) = 9 ,4P(张彬得到入场券)=P(和不是偶数)=9因头所以，王华的设计方案也不公平.20.解：(1)∵AD=1,ZDAE=90°,. D E 的长同理，EF的长所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l+1z+l3=3π(2)直线GBLDF .理由如下：延长GB交DF于H.∵CD=CB,LDCF= ZBCG,CF = CG,·△FDC丝△GBC .·ZF =LG.又∵ZF+ ZFDC = 90°,LG + ZFDC = 90°,即ZGHD = 9 0 ,故G B L D F .21. 解：如图，正确画出图形.(1)∵A B=A C,A D工B C,A D=B C,·:AB=√ED²+AD⁷=√5BD即AD=2BD ..(2)作BELAC 于E .在Rt △BEC 中，又 ∵·故BE=2 √5(米).22. (1)设购进A 种商品X 件，B 种商品Y 件.根据题意，得化简，得解之，得答：该商场购进A 、B 两种商品分别为200件和120件. (2)由于A 商品购进400件，获利为(1380- 1200)×400 = 72000(元).从而B 商品售完获利应不少于81600-72000 = 9600(元).设B 商品每件售价为x 元，则120(x- 1000)≥9600. 解之，得x≥1080.所以，B 种商品最低售价为每件1080元.23. 解：(1)由抛物线的对称轴是,可设解析式为把A 、B 两点坐标代入上式，得解之，得故抛物线解析式为,顶点为.(2)∵点E(x y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合:y<0,即-y>0,-y 表示点E 到OA 的距离.∵0A是口OEAF 的对角线，因为抛物线与X 轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以，自变量X 的取值范围是1<X<6.根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得×=3,X2= 4. 故所求的点E 有两个，分别为El(3,-4),E2(4,—4).点E1(3,-4)满足OE = AE,所以□OEAF 是菱形；点E2(4,—4)不满足OE = AE,所以□OEAF 不是菱形.当OALEF,且OA=EF 时，口OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是(3, 一 3) .而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E,使□OEAF为正方形.(实验区)(濮阳市的中原油田、南阳市的南阳油田)2008年河南省高级中等学校招生统一考试试卷数 学注意事项：1、本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。
河南省普通高中自主招生数学试卷(含答案解析)
年河南省普通高中自主招生数学试卷（月份）一、选择题（本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．﹣的相反数是（）．﹣．．．﹣．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是人一年的口粮．将用科学记数法表示为（）．×．×．×．×．如图所示的几何体的主视图是（）．．．．．在下列的计算中，正确的是（）．＝．÷＝．（）＝．（）＝．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：，，，，，则这组数据的众数是（）．．．．．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意得（）．．．．．若关于的方程﹣＝有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（）．﹣．．．．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，∥，与交于点，则∠的度数为（）．°．°．°．°．如图．在直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为（，），将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（）．．．．．如图，在△中，∠＝°，∠＝°，点，分别为边，上的点，且∥，＝＝，＝，＝．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿→→→匀速运动，运动到点时停止．过点作⊥于点，设△的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（）．．．．二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）．计算：＝．．将抛物线＝﹣先向左平移个单位．再向下平移个单位，可以得到新的抛物线是：．在一个不透明的纸箱里装有个红球、个黄球、个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为．．如图，在▱中，以点为圆心，的长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，延长与⊙相交于点．若的长为，则图中阴影部分的面积为．．如图，矩形中，＝，＝，点为中点，点为线段上一个动点，连接，将△沿折叠得到△，连接，，当△为直角三角形时，的长为．三、解答题（本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．先化简，再求值：（）（﹣）（）﹣（﹣），其中＝，＝﹣．．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（）学校这次调查共抽取了名学生；（）补全条形统计图；（）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为；（）设该校共有学生名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？．如图所示，半圆的直径＝，＝，⊥于，⊥于，连接，，．（）求证：△≌△；（）当＝时，四边形是菱形；（）当＝时，四边形是正方形．．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点处，测得河的南岸边点处在其南偏东°方向，然后向北走米到达点处，测得点在点的南偏东°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到米，参考数据：°＝，°≈，°＝，≈）．如图，反比例函数＝（＞）的图象过格点（网格线的交点）．（）求反比例函数的解析式；（）在图中用直尺和铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点，点；②矩形的面积等于的值．．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午：﹣：，下午：﹣：，每月工作天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得元，每生产一件乙种产品得元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为元，请根据以上信息，解答下列问题：（）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（）年月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？．问题：如图①，在△中，＝，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转°得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为；探索：如图②，在△与△中，＝，＝，将△绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形中，∠＝∠＝∠＝°．若＝，＝，求的长．．如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝与轴交于（﹣，），（，）两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．（）求抛物线的解析式和直线的解析式；（）请在轴上找一点，使△的周长最小，求出点的坐标；（）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．年河南省普通高中自主招生数学试卷（月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．﹣的相反数是（）．﹣．．．﹣【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案．【解答】解：﹣的相反数是，故选：．【点评】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．．“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行，最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合粮食大约是人一年的口粮．将用科学记数法表示为（）．×．×．×．×【分析】科学记数法的表示形式为×的形式，其中≤＜，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞时，是正数；当原数的绝对值＜时，是负数．【解答】解：将用科学记数法表示为：×．故选：．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为×的形式，其中≤＜，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．．如图所示的几何体的主视图是（）．．．．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边一个小正方形，故选：．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．．在下列的计算中，正确的是（）．＝．÷＝．（）＝．（）＝【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：、原式不能合并，不符合题意；、原式＝，符合题意；、原式＝，不符合题意；、原式＝，不符合题意，故选：．【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．．在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：，，，，，则这组数据的众数是（）．．．．【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．【解答】解：数据出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是．故选：．【点评】考查了众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换枚后，甲袋比乙袋轻了两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重两，根据题意得（）．．．．【分析】根据题意可得等量关系：①枚黄金的重量＝枚白银的重量；②（枚白银的重量枚黄金的重量）﹣（枚白银的重量枚黄金的重量）＝两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重两，每枚白银重两，由题意得：，故选：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．．若关于的方程﹣＝有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值是（）．﹣．．．【分析】根据根的判别式即可求出的范围．【解答】解：由题意可知：△＞，∴﹣（﹣）＞，解得：＞故满足条件的最小整数的值是，故选：．【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点，∥，与交于点，则∠的度数为（）．°．°．°．°【分析】由平行线的性质求出∠＝°，再求出∠＝°，然后根据三角形的外角性质即可得出结论．【解答】解：∵∥，∠＝°，∴∠∠＝°，∴∠＝°，∴∠＝°﹣°＝°，∴∠＝∠∠＝°°＝°；故选：．【点评】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键．．如图．在直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为（，），将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（）．．．．【分析】如图，过作⊥于，根据折叠可以证明△≌△，然后利用全等三角形的性质得到＝，＝＝，设＝，那么＝﹣，＝，利用勾股定理即可求出的长度，而利用已知条件可以证明△∽△，而＝＝，接着利用相似三角形的性质即可求出、的长度，也就求出了的坐标．【解答】解：如图，过作⊥于，∵点的坐标为（，），∴＝，＝，根据折叠可知：＝，而∠＝∠＝°，∠＝∠，∴△≌△，∴＝，＝＝，设＝，那么＝﹣，＝，∴在△中，＝，∴（﹣）＝，∴＝，又⊥，∴∥，∴△∽△，而＝＝，∴＝＝﹣＝，∴，即，∴＝，＝，∴＝﹣＝，∴的坐标为（﹣，）．故选：．【点评】此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．．如图，在△中，∠＝°，∠＝°，点，分别为边，上的点，且∥，＝＝，＝，＝．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿→→→匀速运动，运动到点时停止．过点作⊥于点，设△的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（）．．．．【分析】根据题意易知道当在上由向运动时，△的高和底都随着的增大而增大，那么△就是和两个一次函数相乘再乘以二分之一，结果是一个二次函数，然后根据它们的斜率乘积的正负性判别抛物线开口方向；当在上有向运动时，高不变，底随着的增大而增大，则△是一个一次函数，然后根据斜率的正负性判别图象上升还是下降；当在上由向运动时高逐渐减小，底逐渐增大，△的图象会是一二次函数，再根据和两个一次函数的斜率乘积的正负性来判断抛物线开口方向．【解答】解：∵⊥∴在、运动过程中△始终是直角三角形．＝•∴△①当点在上，在上时（即≤≤）＝，＝•°＝，＝•°＝＝•＝••＝△此时的图象是关于（≤≤）的二次函数．△∵＞∴抛物线开口向上；②当在上，在上时（即＜≤）＝•°＝×＝，＝•°（﹣）＝﹣△＝•＝••（﹣）＝﹣此时△的图象是关于（＜≤）的一次函数．∵斜率＞∴△随的增大而增大，直线由左向右依次上升．③当在上，在上时（即＜≤）＝[﹣（﹣）]•°＝﹣（＜≤），＝﹣＝﹣[﹣（﹣）]•°＝﹣（﹣）＝△＝•由于展开二次项系数＝•＝•（﹣）•（）＝﹣抛物线开口向下， 故选：．【点评】本道题考查了图形动点分析能力与分段函数分析能力．充分体现了数形结合的思想． 二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分）．计算：＝﹣ ．【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值． 【解答】解：原式＝﹣＝﹣， 故答案为：﹣【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．．将抛物线＝﹣先向左平移个单位．再向下平移个单位，可以得到新的抛物线是：＝﹣﹣﹣ 【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵抛物线＝﹣先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴新抛物线顶点坐标为（﹣，﹣），∴所得到的新的抛物线的解析式为＝﹣（）﹣， 即＝﹣﹣﹣， 故答案为＝﹣﹣﹣．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．．在一个不透明的纸箱里装有个红球、个黄球、个蓝球，这些球除颜色外完全相同，小明从纸箱里随机摸出个球，记下颜色后放回，再由小亮随机摸出个球，则两人摸到的球颜色不同的概率为．【分析】先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两人摸到的球颜色不同的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：列表如下：由表格可知，共有种等可能的结果，其中两人摸到的球颜色不同的情况有种，所以两人摸到的球颜色不同的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．．如图，在▱中，以点为圆心，的长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，延长与⊙相交于点．若的长为，则图中阴影部分的面积为．【分析】求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积＝△的面积﹣扇形的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．【解答】解：连接，∵是⊙的切线，∴⊥，又∵＝＝，∴△是等腰直角三角形， ∴∠＝°，又∵四边形是平行四边形， ∴∥， ∴∠＝∠＝°， 又∵＝， ∴∠＝∠＝°， ∴∠＝∠＝°，∵的长为，∴，解得：＝，∴阴影＝△﹣扇形＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．．如图，矩形中，＝，＝，点为中点，点为线段上一个动点，连接，将△沿折叠得到△，连接，，当△为直角三角形时，的长为或 ．【分析】分两种情况进行讨论：当∠＝°时，△是直角三角形；当∠＝°时，△是直角三角形，分别根据直角三角形的勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：如图所示，当∠＝°时，△是直角三角形，由折叠可得，∠＝∠＝°，＝＝，∴∠＝°，即点，，在一条直线上，在△和△中，，∴△≌△（），∴＝＝，设＝＝，则＝﹣，＝，在△中，＝，即（﹣）＝（），解得＝，即＝；如图所示，当∠＝°时，△是直角三角形，过作⊥于，作⊥于，则∠＝∠＝°，又∵∠∠＝°＝∠∠，∴∠＝∠，∴△∽△，∴＝＝，即＝＝，解得＝，＝，∴＝＝，＝，设＝＝，则＝﹣，∵△中，＝，即（﹣）（）＝，解得＝，即＝．综上所述，的长为或．【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理．解题时注意：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．三、解答题（本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．先化简，再求值：（）（﹣）（）﹣（﹣），其中＝，＝﹣．【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将、的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（）（﹣）（）﹣（﹣）＝﹣﹣﹣＝，当＝，＝﹣时，原式＝×（）（﹣）＝．【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．．为弘扬中华传统文化，我市某中学决定根据学生的兴趣爱好组建课外兴趣小组，因此学校随机抽取了部分同学的兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：（）学校这次调查共抽取了名学生；（）补全条形统计图；（）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为°；（）设该校共有学生名，请你估计该校有多少名学生喜欢书法？【分析】（）用“戏曲”的人数除以其所占百分比可得；（）用总人数乘以“民乐”人数所占百分比求得其人数，据此即可补全图形；（）用°乘以“戏曲”人数所占百分比即可得；（）用总人数乘以样本中“书法”人数所占百分比可得．【解答】解：（）学校本次调查的学生人数为÷＝名，故答案为：；（）“民乐”的人数为×＝人，补全图形如下：（）在扇形统计图中，“戏曲”所在扇形的圆心角度数为°×＝°，故答案为：°；（）估计该校喜欢书法的学生人数为×＝人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．．如图所示，半圆的直径＝，＝，⊥于，⊥于，连接，，．（）求证：△≌△；（）当＝时，四边形是菱形；（）当＝时，四边形是正方形．【分析】（）根据角平分线的性质，可得与的关系，根据圆周角定理，可得与的关系，根据，证明即可；（）根据菱形的性质，可得与，与的关系，根据等边三角形的性质，得到∠的度数，根据正弦的定义计算即可；（）根据圆周角定理，可得⊥，根据勾股定理，可得答案．【解答】（）证明：∵＝，∴∠＝∠，又⊥于，⊥于，∴＝，∵＝，∴＝，在△和△中，，∴△≌△（）；（）四边形是菱形时，＝＝＝，∴∠＝°，∴＝∠＝°＝，故答案为：；（）当⊥，即与重合时，四边形是正方形，由勾股定理，得＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质、正方形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、圆周角定理是解题的关键．．某数学活动小组实地测量湛河两岸互相平行的一段东西走向的河的宽度，在河的北岸边点处，测得河的南岸边点处在其南偏东°方向，然后向北走米到达点处，测得点在点的南偏东°方向，求出这段河的宽度．（结果精确到米，参考数据：°＝，°≈，°＝，≈）【分析】延长交于点，得⊥，设＝，得＝米，＝（）米，根据＝∠列方程求出的值即可得．【解答】解：如图，延长交于点，则⊥，由题意知，∠＝°，∠＝°，设＝米，则＝米，＝（）米，在△中，＝∠，∴≈，解得≈，答：这段河的宽约为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．．如图，反比例函数＝（＞）的图象过格点（网格线的交点）．（）求反比例函数的解析式；（）在图中用直尺和铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点，点；②矩形的面积等于的值．【分析】（）将点坐标代入＝，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；（）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．【解答】解：（）∵反比例函数＝（＞）的图象过格点（，），∴＝×＝，∴反比例函数的解析式为＝；（）如图所示：矩形、矩形即为所求作的图形．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．．小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工人工作时间：每天上午：﹣：，下午：﹣：，每月工作天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得元，每生产一件乙种产品得元．信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为元，请根据以上信息，解答下列问题：（）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；（）年月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【分析】（）设生产一件甲种产品需分，生产一件乙种产品需分，利用待定系数法求出，的值．（）设生产甲种产品用分，则生产乙种产品用（××﹣）分，分别求出甲乙两种生产多少件产品．【解答】解：（）设生产一件甲种产品需分，生产一件乙种产品需分．由题意得：，解这个方程组得：，答：生产一件甲产品需要分，生产一件乙产品需要分．（）设生产甲种产品共用分，则生产乙种产品用（××﹣）分．则生产甲种产品件，生产乙种产品件．＝××∴总额＝×＝﹣＝﹣，又≥，得≥，由一次函数的增减性，当＝时取得最大值，此时＝﹣×＝（元），则小王该月收入最多是＝（元），此时甲有＝（件），乙有：＝（件），答：小王该月最多能得元，此时生产甲、乙两种产品分别，件．【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．．问题：如图①，在△中，＝，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转°得到，连接，则线段，，之间满足的等量关系式为＝；探索：如图②，在△与△中，＝，＝，将△绕点旋转，使点落在边上，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：如图③，在四边形中，∠＝∠＝∠＝°．若＝，＝，求的长．【分析】（）证明△≌△，根据全等三角形的性质解答；（）连接，根据全等三角形的性质得到＝，∠＝∠，得到∠＝°，根据勾股定理计算即可；（）作⊥，使＝，连接，，证明△≌△，得到＝＝，根据勾股定理计算即可．【解答】解：（）＝，理由如下：∵∠＝∠＝°，∴∠﹣∠＝∠﹣∠，即∠＝∠，在△和△中，，∴△≌△，∴＝，∴＝＝，故答案为：＝；（）＝，理由如下：连接，由（）得，△≌△，∴＝，∠＝∠，∴∠＝°，∴＝，在△中，＝，又＝，∴＝；（）作⊥，使＝，连接，，∵∠∠＝∠∠，即∠＝∠，在△与△中，，∴△≌△（），∴＝＝，∵∠＝°，∠＝°，∴∠＝°，∴＝＝，∵∠＝°，∴＝＝＝．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．．如图，在平面直角坐标系中，抛物线＝与轴交于（﹣，），（，）两点，与轴交于点，点是该抛物线的顶点．（）求抛物线的解析式和直线的解析式；（）请在轴上找一点，使△的周长最小，求出点的坐标；（）试探究：在拋物线上是否存在点，使以点，，为顶点，为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（）设交点式＝（）（﹣），展开得到﹣＝，然后求出即可得到抛物线解析式；再确定（，），然后利用待定系数法求直线的解析式；（）利用二次函数的性质确定的坐标为（，），作点关于轴的对称点′，连接′交轴于，如图，则′（﹣，），利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，则此时△的周长最小，然后求出直线′的解析式即可得到点的坐标；（）过点作的垂线交抛物线于另一点，如图，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线的解析式为＝﹣，把点坐标代入求出得到直线的解析式为＝﹣，再解方程组得此时点坐标；当过点作的垂线交抛物线于另一点时，利用同样的方法可求出此时点坐标．【解答】解：（）设抛物线解析式为＝（）（﹣），即＝﹣﹣，∴﹣＝，解得＝﹣，∴抛物线解析式为＝﹣；当＝时，＝﹣＝，则（，），设直线的解析式为＝，把（﹣，），（，）代入得，解得，∴直线的解析式为＝；（）∵＝﹣＝﹣（﹣），∴顶点的坐标为（，），作点关于轴的对称点′，连接′交轴于，如图，则′（﹣，），∵＝′，∴＝′＝′，此时的值最小，而的值不变，∴此时△的周长最小，易得直线′的解析式为＝，当＝时，＝＝，∴点的坐标为（，）；（）存在．过点作的垂线交抛物线于另一点，如图，∵直线的解析式为＝，∴直线的解析式可设为＝﹣，把（，）代入得＝，∴直线的解析式为＝﹣，解方程组，解得或，则此时点坐标为（，）；过点作的垂线交抛物线于另一点，直线的解析式可设为＝﹣，把（﹣，）代入得＝，解得＝﹣，∴直线的解析式为＝﹣﹣，解方程组，解得或，则此时点坐标为（，﹣），综上所述，符合条件的点的坐标为（，）或（，﹣），【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2024年河南省中考数学试题(原卷版)
2024年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 如图，数轴上点P 表示的数是（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 22. 据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元，数据“5784亿”用科学记数法表示（ ） A. 8578410×B. 105.78410×C. 115.78410×D. 120.578410×3. 如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（ ）A. 60°B.50°C. 40°D. 30°4. 信阳毛尖是中国十大名茶之一．如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）A. B.C. D.为5. 下列不等式中，与1x −>组成的不等式组无解的是（ ） A. 2x >B. 0x <C. <2x −D. 3x >−6. 如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F ．若4AB =，则EF 的长为（ ）A.12B. 1C.43D. 27. 计算3···a a a a个的结果是（ ）A 5aB. 6aC. 3a a +D. 3a a8. 豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱．正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）A.19B.16C.15D.139. 如图，O是边长为ABC 的外接圆，点D 是 BC的中点，连接BD ，CD ．以点D 为圆心，BD 的长为半径在O 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）A.8π3B. 4πC.16π3D. 16π.10. 把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）A. 当440W P =时，2A I =B. Q 随I 的增大而增大C. I 每增加1A ，Q 的增加量相同D. P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题（每小题3分，共15分）11. 请写出2m 的一个同类项：_______．12. 2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分．13. 若关于x 的方程2102x x c −+=有两个相等的实数根，则c 的值为___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()20−，，点E 在边CD 上．将BCE 沿BE 折叠，点C 落在点F 处．若点F 的坐标为()06，，则点E 的坐标为___________．15. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 垂线，交射线AD 于点E ．若1CD =，则AE 的最大值为_________，最小值为_________.的的三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16. （1(01−；（2）化简：231124a a a + +÷−−． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下．技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲26.5 82 乙26103根据以上信息，回答下列问题．（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分．（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好．（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误()1×−，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好．18. 如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0ky x x=>的图象经过点A ．（1）求这个反比例函数的表达式．（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 19. 如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，∥B E D C 交AC 的延长线于点E ．（1）请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠，使ECM A ∠=∠，且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹，不写作法）．（2）证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形20. 如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置．当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角．（1）请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠．（2）经测量，最大视角APB ∠为30°，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60°，点P 到塑像的水平距离PH 为6m ．求塑像AB 的高（结果精确到0.1m1.73≈）． 21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A ，B 两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为50g ，营养成分表如下．（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ 热量和70g 蛋白质，应选用A ，B 两种食品各多少包？（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g ，且热量最低，应如何选用这两种食品？22. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =−+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．（1）小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）． （2）若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 综合与实践在学习特殊四边形过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．的（1）操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）． （2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质． 如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线． ①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）． （3）拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长．。
2023年河南省中考数学真题(解析版)
2023年河南省普通高中招生考试试卷数学一、选择题1. 下列各数中，最小的数是（ ）A. －lB. 0C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．【详解】解：∵101-<<<，∴最小的数是-1．故选：A【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同【答案】A【解析】【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【详解】解：这个花鹅颈瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A ．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．3. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ）A. 74.5910´B. 845.910´C. 84.5910´D. 90.45910´【答案】C【解析】【分析】将一个数表示为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【详解】解：4.59亿8459000000 4.9510==´．故选：C ．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为10n a ´，其中110a £<，确定a与n 的值是解题的关键．4. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若180∠=︒，230∠=︒，则AOE ∠的度数为（ ）A. 30︒B. 50︒C. 60︒D. 80︒【答案】B【解析】【分析】根据对顶角相等可得180AOD ∠=∠=︒，再根据角和差关系可得答案．【详解】解：∵180∠=︒，∴180AOD ∠=∠=︒，∵230∠=︒，∴2803050AOE AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．5. 化简11a a a -+的结果是（ ）A 0 B. 1 C. a D. 2a -【答案】B【解析】的.【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可．【详解】解：11111a a a a a a a--++===，故选：B ．【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．6. 如图，点A ，B ，C 在O e 上，若55C ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A. 95︒B. 100︒C. 105︒D. 110︒【答案】D【解析】【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵55C ∠=︒，∴由圆周角定理得：2110AOB C ==︒∠∠，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．7. 关于x 的一元二次方程280x mx +-=的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】A【解析】【分析】对于20(0)ax bx c a ++=¹，当0D >, 方程有两个不相等的实根，当Δ0=, 方程有两个相等的实根，Δ0<, 方程没有实根，根据原理作答即可．【详解】解：∵280x mx +-=，∴()2248320m m D =-´-=+>，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．8. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）A. 12 B. 13 C. 16 D. 19【答案】B【解析】【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．【详解】设三部影片依次为A 、B 、C ，根据题意，画树状图如下：故相同的概率为3193=．故选B ．【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．9. 二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a 、b 的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知a<0，由对称轴b x 02a=->，得0b >．∴一次函数y x b =+的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a 、b 的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．10. 如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PB y PC=，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A. 6B. 3C.D. 【答案】A【解析】【分析】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB PC =，AO =30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为AO OB ==O 作OD AB ^，解直角三角形可得cos303AD AO =×︒=，进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，1PB PC=，∴PB PC =，AO =又∵ABC V 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，∴BAO CAO ∠=∠，∴30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为∴OB =AO OB ==，∴30BAO ABO ∠=∠=︒，过点O 作OD AB ^，∴AD BD =，则cos303AD AO =×︒=，∴6AB AD BD =+=，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．二、填空题11. 某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．【答案】3n【解析】【分析】根据总共配发的数量=年级数量´每个年级配发的套数，列代数式．【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式．12. 方程组35,37x y x y +=ìí+=î的解为______．【答案】12x y =ìí=î【解析】【分析】利用加减消元法求解即可．【详解】解：3537x y x y +=ìí+=î①②由3´-①②得，88x =，解得1x =，把1x =代入①中得315y ´+=，解得2y =，故原方程组的解是12x y =ìí=î，故答案为：12x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键．13. 某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x （cm ）的统计图，则此时该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有______棵．【答案】280【解析】【分析】利用1000棵乘以样本中不低于300cm 的百分比即可求解．【详解】解：该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗所占百分比为10%18%28%+=，则不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约为：100028%280´=棵，故答案为：280．【点睛】本题考查用样本估计总体，明确题意，结合扇形统计图中百分比是解决问题的关键．14. 如图，PA 与O e 相切于点A ，PO 交O e 于点B ，点C 在PA 上，且CB CA =．若5OA =，12PA =，则CA 的长为______．【答案】103【解析】【分析】连接OC ，证明OAC OBC V V ≌，设CB CA x ==，则12PC PA CA x =-=-，再证明PAO PBC V V ∽，列出比例式计算即可．【详解】如图，连接OC ，∵PA 与O e 相切于点A ，∴90OAC ∠=︒；∵OA OB CA CB OC OC =ìï=íï=î,∴OAC OBC V V ≌，∴90OAC OBC ∠=∠=︒，∴90PAO PBC ∠=∠=︒，∵P P ∠=∠，∴PAO PBC V V ∽，∴PO AO PC BC=，∵5OA =，12PA =，∴13PO ==，设CB CA x ==，则12PC PA CA x =-=-，∴13512x x=-，解得103x =，故CA 的长为103，故答案为：103．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．15. 矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且1AN AB ==．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______．【答案】21【解析】分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时，∵四边形ABCD 矩形，∴90A ∠=︒，则∥MN AB ，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD =，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM MD =，∴1AN BM ND MD==，即：1ND AN ==，【∴2AD AN ND =+=，当90NMD ∠=︒时，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD ∠=︒∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND =，∵四边形ABCD 矩形，1AN AB ==∴90A ∠=︒，则BN ==∴BN ND ==∴1AD AN ND =+=，综上，AD 的长为21，故答案为：21+．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．三、解答题16. （1）计算：135---+；（2）化简：()()224x y x x y ---．【答案】（1）15；24y 【解析】【分析】（1）先求绝对值和算术平方根，再进行加减计算即可；（2）先利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式1=335-+15=；（2）解：原式222444x xy y x xy=-+-+24y =．【点睛】本题考查实数的混合运算、多项式乘多项式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．17. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10b ．服务质量得分统计图（满分10分）：c ．配送速度和服务质量得分统计表：配送速度得分服务质量得分项目统计量快递公司平均数中位数平均数方差甲78m 72s 甲乙8872s乙根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的m =______；2s 甲______2s 乙（填“>”“=”或“<”）．（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？【答案】（1）7.5；<.（2）甲公司，理由见解析（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）【解析】【分析】（1）根据中位数和方差概念求解即可；（2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可；（3）根据题意求解即可．【小问1详解】由题意可得，787.52m +==，()()()()22222137748726757110s éù=´´-+´-+´-+-=ëû甲()()()()()()()222222221478721072679725777 4.210s éù=´-+-+´-+´-+-+´-+-=ëû乙，∴22s s <甲乙，故答案为：7.5；<；【小问2详解】∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，∴甲更稳定，∴小丽应选择甲公司；【小问3详解】还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键．18. 如图，ABC V 中，点D 在边AC 上，且AD AB =．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出A ∠的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的角平分线与边BC 交于点E ，连接DE ．求证：DE BE =．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；的（2）证明()SAS BAE DAE △≌△，即可得到结论．【小问1详解】解：如图所示，即为所求，【小问2详解】证明：∵AE 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∵AB AD =，AE AE =，∴()SAS BAE DAE △≌△，∴DE BE =．【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．19. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数k y x =图象上的点)A 和点B 为顶点，分别作菱形AOCD 和菱形OBEF ，点D ，E 在x 轴上，以点O 为圆心，OA 长为半径作 AC ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求扇形AOC 的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．【答案】（1（2）半径为2，圆心角为60︒（3）23p -【解析】【分析】（1）将)A 代入k y x=中即可求解；（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出AOD ∠的度数，最后结合菱形的性质求解；（3）先计算出AOCD S =菱形，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k 的几何意义可求出FBO S =V 【小问1详解】解：将)A 代入k y x=中，得1=，解得：k =【小问2详解】解：Q 过点A 作OD 的垂线，垂足为G ，如下图：)A Q ，1,AG OG \==，2OA \==，\半径为2；12AG OA =Q ，∴1sin 2AG AOG OG ∠==，30AOG \∠=︒，由菱形的性质知：30AOG COG ∠=∠=︒，60AOC \∠=︒，\扇形AOC 的圆心角的度数：60︒；【小问3详解】解：2OD OG ==Q ，1AOCD S AG OD \=´=´=菱形221122663AOC S r p p p =´=´´=Q 扇形，如下图：由菱形OBEF 知，FHO BHO S S =V V ，2BHO k S ==V Q2FBO S \==V ，2233FBO AOCD AOC S S S S p p \=+-=+=V 阴影部分面积菱形扇形．【点睛】本题考查了反比例函数及k 的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握k 的几何意义．20. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，30cm AB =，顶点A 处挂了一个铅锤M ．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D ，A 与树顶E 在一条直线上，铅垂线AM 交BC 于点H ．经测量，点A 距地面1.8m ，到树EG 的距离11m AF =，20cm BH =．求树EG 的高度（结果精确到0.1m ）．【答案】树EG 的高度为9.1m 【解析】【分析】由题意可知，90BAE MAF BAD ∠=∠=∠=︒， 1.8m FG =，易知EAF BAH ∠=∠，可得2tan tan 3EF EAF BAH AF ∠==∠=，进而求得22m 3EF =，利用EG EF FG =+即可求解．【详解】解：由题意可知，90BAE MAF BAD ∠=∠=∠=︒， 1.8m FG =，则90EAF BAF BAF BAH ∠+∠=∠+∠=︒，∴EAF BAH ∠=∠，∵30cm AB =，20cm BH =，则2tan 3BH BAH AB ∠==，∴2tan tan 3EF EAF BAH AF ∠==∠=，∵11m AF =，则2113EF =，∴22m 3EF =，∴22 1.89.1m 3EG EF FG =+=+»，答：树EG 的高度为9.1m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到EAF BAH ∠=∠是解决问题的关键．21. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a 元，请直接写出a 的取值范围．【答案】（1）活动一更合算（2）400元 （3）当300400a £<或600800a £<时，活动二更合算【解析】【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；（2）设这种健身器材的原价是x 元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；（3）由题意得活动一所需付款为0.8a 元，活动二当0300a <<时，所需付款为a 元，当300600a £<时，所需付款为()80a -元，当600900a £<时，所需付款为()160a -元，然后根据题意列出不等式即可求解．【小问1详解】解：购买一件原价为450元的健身器材时，活动一需付款：4500.8360´=元，活动二需付款：45080370-=元，∴活动一更合算；【小问2详解】设这种健身器材的原价是x 元，则0.880x x =-，解得400x =，答：这种健身器材的原价是400元，【小问3详解】这种健身器材的原价为a 元，则活动一所需付款为：0.8a 元，活动二当0300a <<时，所需付款为：a 元，当300600a £<时，所需付款为：()80a -元，当600900a £<时，所需付款为：()160a -元，①当0300a <<时，0.8a a >，此时无论a 为何值，都是活动一更合算，不符合题意，②当300600a £<时，800.8a a -<，解得300400a £<，即：当300400a £<时，活动二更合算，③当600900a £<时，1600.8a a -<，解得600800a £<，即：当600800a £<时，活动二更合算，综上：当300400a £<或600800a £<时，活动二更合算．【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．22. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m OA =，2m CA =，击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．（1）求点P 的坐标和a 的值．（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【答案】（1）()0,2.8P ，0.4a =-，（2）选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近【解析】【分析】（1）在一次函数上0.4 2.8y x =-+，令0x =，可求得()0,2.8P ，再代入()21 3.2y a x =-+即可求得a 的值；（2）由题意可知5m OC =，令0y =，分别求得0.4 2.80x -+=，()20.41 3.20x --+=，即可求得落地点到O 点的距离，即可判断谁更近．【小问1详解】解：在一次函数0.4 2.8y x =-+，令0x =时， 2.8y =，∴()0,2.8P ，将()0,2.8P 代入()21 3.2y a x =-+中，可得： 3.2 2.8a +=，解得：0.4a =-；【小问2详解】∵3m OA =，2m CA =，∴5m OC =，选择扣球，则令0y =，即：0.4 2.80x -+=，解得：7x =，即：落地点距离点O 距离为7m ，∴落地点到C 点的距离为752m -=，选择吊球，则令0y =，即：()20.41 3.20x --+=，解得：1x =±+（负值舍去），即：落地点距离点O 距离为()1m +，∴落地点到C 点的距离为()(514m -=-，∵42-<，∴选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点()4,0M 的直线l y P 轴，作ABC V 关于y 轴对称的图形111A B C △，再分别作111A B C △关于x 轴和直线l 对称的图形222A B C △和333A B C △，则222A B C △可以看作是ABC V 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；333A B C △可以看作是ABC V 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．（2）探究迁移：如图2，ABCD Y 中，()090BAD a a ∠=︒<<︒，P 为直线AB 下方一点，作点P 关于直线AB 的对称点1P ，再分别作点1P 关于直线AD 和直线CD 的对称点2P 和3P ，连接AP ，2AP ，请仅就图2的情形解决以下问题：①若2PAP b ∠=，请判断b 与a 的数量关系，并说明理由；②若AD m =，求P ，3P 两点间的距离．（3）拓展应用：在（2）的条件下，若60a =︒，AD =，15PAB ∠=︒，连接23P P ．当23P P 与ABCD Y 的边平行时，请直接写出AP 的长．【答案】（1）180︒，8．（2）①2b a =，理由见解析；②2sin m a（3）或【解析】【分析】（1）观察图形可得222A B C △与ABC V 关于O 点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离；（2）①连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ∠=∠∠=∠，，进而可得22PAP BAD ∠=∠，即可得出结论；②连接113,PP PP 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ^，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ==，且113PP AB PP CD ^^，，得出32PP EF =，证明四边形EFDG 是矩形，则DG EF =，在Rt DAG △中，根据sin DG DAG DA∠=，即可求解；（3）分23P P AD ∥，23P P CD ∥，两种情况讨论，设AP x =，则12AP AP x ==，先求得1PP x =，勾股定理求得13PP ，进而表示出3PP ，根据由（2）②可得32sin PP AD a =，可得36PP =，进而建立方程，即可求解．【小问1详解】（1）∵ABC V 关于y 轴对称的图形111A B C △，111A B C △与222A B C △关于x 轴对称，∴222A B C △与ABC V 关于O 点中心对称，则222A B C △可以看作是ABC V 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180︒∵()1,1A -，∴12AA =，∵()4,0M ,13,A A 关于直线4x =对称，∴131248A A AA +=´=，即38AA =，333A B C △可以看作是ABC V 向右平移得到的，平移距离为8个单位长度．故答案为：180︒，8．【小问2详解】①2b a =，理由如下，连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ∠=∠∠=∠，，2112PAP PAB P AB P AD P AD∠=∠+∠+∠+∠1122P AB P AD=∠+∠()112P AB P AD =∠+∠2BAD=∠∴2b a =，②连接113,PP PP 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ^，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ==，且113PP AB PP CD ^^，，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD∥∴13P P P ，，三点共线，∴311311222PP PE PE PF P F PE PF EF =+++=+=，∵113,,PP AB PP CD DG AB ^^^，∴1190PFD PEG DGE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFDG 是矩形，∴DG EF =，在Rt DAG △中，DAG a ∠=，AD m=∵sin DG DAG DA∠=，∴sin sin DG AD DAG m a =×∠=,∴3222sin PP EF DG m a===【小问3详解】解：设AP x =，则12AP AP x ==，依题意，12PP AD ^，当23P P AD ∥时，如图所示，过点P 作1PQ AP ^于点Q ，∴12390PP P ∠=︒∵15PAB ∠=︒，60a =︒，∴1320P PAP AB ∠=︒∠=，1245DAP DAP ∠=∠=︒∴2190P AP ∠=︒，则12PP =，在1APP V 中，()111180752APP PAP ∠=︒-∠=︒，∴213180457560P PP ∠=︒-︒-︒=︒，则13230PP P ∠=︒，∴13212PP P P ==在Rt APQ △中，30PAQ ∠=︒，则1122PQ AP x ==，AQ x ==，在1Rt PQP V 中，11PQ AP AQ x x =-=，1PP x ====，∴3113PP PP PP x x =+=+=由（2）②可得32sin PP AD a =，∵AD =∴326PP =´=6x =，解得：x =；如图所示，若23P P DC ∥，则13290PP P ∠=︒，∵21360P PP ∠=︒，则32130P P P ∠=︒，则131212PP PP x ==，∵1PP x =，3PP x x x =+=，∵36PP =，6=，解得：x =，综上所述，AP 的长为或【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．。
2024年河南省普通高中招生考试《数学》试卷(附答案)
2024年河南省普通高中招生考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分 120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)1.如图，数轴上点 P 表示的数是A. -1B.0C.1D.22. 据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为 A.5784×10⁸ B.5.784×10¹⁰ C.5.784×10′′ D.0.5784×10¹² 3.如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为 A.60° B.50° C.40° D.30°4.信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为(第4题)A. x>2B. x<0C. x<-2D. x>-36. 如图,在▱ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,点E 为OC 的中点,EF∥AB 交BC 于点 F.若AB = 4,则EF 的长为 A. 12 B.1 C. 43 D.2 7. 计算 (a ⋅a ,⋯⋅a )3的结果是a 个A. a ⁵B. a ⁶C. a ⁴⁺³D. a³a数学试卷 第1页(共6页)8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为A. 19B. 16C. 15D. 139. 如图,⊙O 是边长为4 √3的等边三角形ABC 的外接圆，点D 是BC 的中点,连接BD,CD.以点 D为圆心，BD 的长为半径在⊙O 内画弧，则阴影部分的面积为 A.8π3 B.4π C.16π3 D.16π10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象(如图2).下列结论中错误．．的是A. 当P =440 W 时, I =2 AB. Q 随I 的增大而增大C. I 每增加 1 A,Q 的增加量相同D.P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题(每小题3分，共15分)11. 请写出2m 的一个同类项: .12.2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分.数学试卷 第 2页(共6页)13. 若关于x的方程12x2−x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(-2，0)，点 E在边 CD 上. 将△BCE沿BE折叠,点C落在点F 处. 若点 F的坐标为(0,6),则点 E 的坐标为 .15. 如图,在Rt△ABC 中,∠ACB =90°,CA = CB =3,线段 CD 绕点 C 在平面内旋转,过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1，则AE的最大值为，最小值为 .三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16. (10分)(1) 计算:√2×√50−(1−√3)0; (2) 化简:(3a−2+1)÷a+1a2−4.17.(9分)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.比赛得分统计图队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题.(1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是 (填“甲”或“乙”)；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为分.(2)请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.(3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×(-1)，且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.数学试卷第 3 页(共6页)18.(9分)如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC，BD相交(x⟩0)的图象经过点 A.于点 E，反比例函数y=kx(1)求这个反比例函数的表达式.(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象.(3)将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 .19.(9分)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE‖DC交AC的延长线于点 E.(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A,且射线 CM交 BE 于点 F(保留作图痕迹，不写作法).(2) 证明(1) 中得到的四边形 CDBF是菱形.20.(9分)如图1，塑像AB在底座BC上，点D 是人眼所在的位置.当点 B 高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时(如图2)，在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角.(1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB.(2) 经测量,最大视角∠APB为30°,在点P处看塑像顶部点A 的仰角∠APE为60°,点P到塑像的水平距离PH为6m . 求塑像AB的高(结果精确到0.1m.参考数据：√3≈1.73).数学试卷第4页(共6页)21.(9分)为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.(1) 若要从这两种食品中摄入4600 kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B 两种食品各多少包?(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品?22.(10分)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式ℎ=−5t²+v₀t,其中t(s)是物体运动的时间，v₀(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.(1)小球被发射后 s时离地面的高度最大(用含v₀的式子表示).(2)若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度.(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.数学试卷第5页(共6页)23. (10分) 综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.(1)操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号).(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,，AC 是它的一条对角线.①写出图中相等的角，并说明理由；②若.BC=m,DC=n,∠BCD=2θ,,求AC 的长(用含m,n,θ的式子表示).(3)拓展应用如图3，在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 BN的长.数学试卷第6页(共6页)2024年河南省普通高中招生考试数学试题参考答案(注：第15题只填对1空得2分)三、解答题(本大题共8个小题，共75分)16.(1)原式=10-1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分=9.……………………………………………………………………5分(2) 原式=a+1a−2⋅(a+2)(a−2)a+1…4分=a+2.………………………………………………………………………5分17.(1)甲29⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.(注：答案不唯一，合理即可)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分(3) 甲的综合得分为:26.5×1+8×1.5+2×(-1)=36.5.乙的综合得分为:26×1+10×1.5+3×(-1)= 38.因为38>36.5,所以乙队员表现更好.…………………………………………9分18.(1)∵ 反比例函数y=kx(x⟩0)的图象经过点A(3,2),∴2=k3.∴ k = 6.∴ 这个反比例函数的表达式为y=6x.………………3分数学试题参考答案第1页(共4页)(2) 如图.7分(3)92………………………………………………………9分19.(1) 如图.……………………… ……… 4分(2) 由(1),得∠ECF =∠A.∴ CF∥AB.∵ BE∥DC,∴四边形CDBF是平行四边形.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分∵ CD 是Rt△ABC斜边AB上的中线,∴ CD =BD.∴□CDBF是菱形.…………………………………………………………9分20.(1) 如图,连接BM.则∠AMB=∠APB.∵ ∠AMB>∠ADB,∴∠APB>∠ADB.…………………………3分(2) 在Rt△AHP 中,∠APH = 60°,PH = 6.,∵tan∠APH=AHPH∴ AH = PH·tan 60°=6×√₃ =6√₃. …… 6分∵ ∠APB = 30°,∴ ∠BPH =∠APH--∠APB =60°-30°=30°.数学试题参考答案第2页(共4页)在Rt△BHP 中, tan∠BPH =BHPH ,∴BH =PH ⋅tan30∘=6×√33=2√3. … …8分∴AB =AH −BH =6√3−2√3=4√3≈4×1.73≈6.9(m).答:塑像AB 的高约为6.9m.……………………………………………………9分21.(1) 设选用A 种食品x 包，B 种食品y 包，根据题意，得{700x +900y =4600,10x +15y =70.…3分解方程组，得 {x =4,y =2.答：选用A 种食品4包，B 种食品2包.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)设选用A 种食品a 包，则选用B 种食品(7-a)包，根据题意，得10a+15(7-a)≥90.∴a≤3.…………………………………………………………………………7分设总热量为wkJ ，则w=700a+900(7-a)=-200a+6300.∵ -200<0,∴ w 随a 的增大而减小. ∴ 当a=3时,w 最小.∴ 7-a=7-3 =4.答：选用A 种食品3包，B 种食品4包.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分22.(1)ⁿ₀…………………………………3分(2)根据题意,得当 t =v10时,h=20.∴−5×(v 010)2+v 0×v 010=20.∴v₀=20(m s ⁄). …………………………………………………6分 (3)小明的说法不正确.(注：若没写出结果，但后续说理正确，不扣分)⋯7分理由如下：由(2),得 ℎ=−5t²+20t.当h = 15时, 15=−5t²+20t.解方程，得 l₁=1,t₂=3.……………………………………………9分 ∵ 3-1=2(s),∴小明的说法不正确.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分数学试题参考答案 第3 页(共4页)23.(1)②④(注：全部填对的得2分，对但不全的得1分，有错的得0分)⋯⋯⋯2分(2)①∠ACD=∠ACB.(注:若没写出结果,但后续说理正确,不扣分)………4分理由如下：延长CB至点 E,使 BE = DC. 连接AE.∵ 四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴∠ABC+∠D=180°.∵∠ABC+∠ABE=180°,∴ ∠ABE =∠D.∵AB=AD,∴△ABE≅△ADC.∴∠E=∠ACD,AE=AC.∴ ∠E =∠ACB.∴∠ACD=∠ACB.………………………………………………………6分②过点A作AF⊥EC,垂足为点 F.∵ AE=AC,∴CF=12CE=12(BC+BE)=12(BC+DC)=m+n2.∵ ∠BCD =2θ,∴ ∠ACB =∠ACD=θ.在Rt△AFC中,cosθ=CFAC,∴AC=CFcosθ=m+n2cosθ.…8分(3)12√25或12√27.…10分数学试题参考答案第4页(共4页)。
2024年河南省中考数学试题
2024年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.如图，数轴上点P 表示的数是（ ）A.-1B.0C.1D.22.据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A.8578410⨯ B.105.78410⨯ C.115.78410⨯ D.120.578410⨯3.如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°4.信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）A. B.C. D.5.下列不等式中，与1x ->组成的不等式组无解的是（ ）A.2x >B.0x <C.2x <- D.3x >-6.如图，在ABCD □中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F .若4AB =，则EF 的长为（ ）A.12 B.1 C.43D.27.计算()3a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅个 的结果是（ ）A.5a B.6a C.3a a + D.3aa 8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随 ）A.19 B.16 C.15 D.139.如图，O是边长为的等边三角形ABC 的外接圆，点D 是 BC的中点，连接BD ，CD .以点D 为圆心，BD 的长为半径在O 内画弧，则阴影部分的面积为（）A.8π3 B.4π C.16π3 D.16π10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（ ）A.当P =440W 时，I =2AB.Q 随I 的增大而增大C.I 每增加1A ，Q 的增加量相同D.P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题（每小题3分，共15分）11.请写出2m 的一个同类项：_______.12.2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分.13.若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为___________.14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为（-2，0），点E 在边CD 上.将BCE △沿BE 折登，点C 落在点F 处.若点F 的坐标为（0，6），则点E 的坐标为___________.15.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E .若1CD =，则AE 的最大值为_________，最小值为_________.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（10分）（1(01-；（2）化简：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.17.（9分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题.（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分.（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（-1），且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.18.（9分）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A .（1）求这个反比例函数的表达式.（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象.（3）将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________.19.（9分）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，BE DC ∥交AC 的延长线于点E .（1）请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠，使ECM A ∠=∠，且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹，不写作法）.（2）证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形20.（9分）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置.当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角.图1图2（1）请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠.（2）经测量，最大视角APB ∠为30°，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60°，点P 到塑像的水平距离PH 为6m.求塑像AB 的高（结果精确到0.1m. 1.73≈）.21.（9分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A ，B 两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g ，营养成分表如下.（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ 热量和70g 蛋白质，应选用A ，B 两种食品各多少包?（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g ，且热量最低，应如何选用这两种食品?22.（10分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =-+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.（1）小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）.（2）若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度.（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由.23.（10分）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.（1）操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）.图1（2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线.①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）.图2图3（3）拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长.2024年河南省普通高中招生考试数学试题参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案A C B A A B D D C C二、填空题（每小题3分，共15分）三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）原式=10-1=9.（2）原式()()221221a a a a a a +-+=⋅=+-+.17.（1）甲 29（2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.（3）甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（-1）=36.5.乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（-1）=38.因为38>36.5，所以乙队员表现更好.18.（1）∵反比例函数()0k y x x =>的图象经过点()3,2A ，∴23k =.∴6k =.∴这个反比例函数的表达式为6y x =.（2）如图19.（1）如图.（2）由（1），得ECF A ∠=∠.∴CF AB ∥.∵BE DC ∥，∴四边形CDBF 是平行四边形.∵CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线，∴CD BD =.∴CDBF □是菱形.20.（1）如图，连接BM .则AMB APB ∠=∠.∵AMB ADB ∠>∠，∴APB ADB ∠>∠.（2）在Rt AHP △中，60APH ∠=︒，6PH =.∵tan AH APH PH∠=，∴tan 606AH PI =⋅︒==∵30APB ∠=︒，∴603030BPH APH APB ∠=∠-∠=︒-︒=︒.在Rt BHP △中，tan BH BPH PH ∠=，∴tan 306BH PH =⋅︒==.∴()4 1.73 6.9m AB AH BH =-=-=≈⨯≈.答：塑像AB 的高约为6.9m.21.（1）设选用A 种食品x 包，B 种食品y 包，根据题意，得7009004600,101570.x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组，得4,2.x y =⎧⎨=⎩答：选用A 种食品4包，B 种食品2包.（2）设选用A 种食品a 包，则选用B 种食品()7a -包，根据题意，得()1015790a a +-≥.∴3a ≤.设总热量为w kJ ，则()70090072006300w a a a =+-=-+.∵-200<0，∴w 随a 的增大而减小.∴当3a =时，w 最小.∴7734a -=-=.答：选用A 种食品3包，B 种食品4包.22.（1）010v （2）根据题意，得当010v t =时，20h =.∴20005201010v v v ⎛⎫-⨯+⨯= ⎪⎝⎭.∴()020m /s v =.（3）小明的说法不正确.理由如下：由（2），得2520h t t =-+.当15h =时，215520t t =-+.解方程，得11t =，23t =.∴小明的说法不正确.23.（1）②④（2）①ACD ACB ∠=∠.理由如下：延长CB 至点E ，使BE DC =.连接AE .∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴180ABC D ∠+∠=︒∵180ABC ABE ∠+∠=︒，∴ABE D ∠=∠.∵AB=AD ，∴ABE ADC ≌△△.∴E ACD ∠=∠，AE AC =.∴E ACB ∠=∠.∴ACD ACB ∠=∠.②过点A 作AF EC ⊥，垂足为点F .∵AE AC =，∴()()1112222m n CF CE BC BE BC DC +==+=+=.∵2BCD θ∠=，∴ACB ACD θ∠=∠=.在Rt AFC △中，cos CF ACθ=，∴cos 2cos CF m n AC θθ+==.（3.。
2020河南省普通高中招生考试试卷数学试卷(word版)含答案
2020年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1. 2的相反数是A.-2B.-12C.12D.22如下摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是3.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是A.中央电视台《开学第一课》的收视率B.某城市居民6月份人均网上购物的次数C.即将发射的气象卫星的零部件质量D.某品牌新能源汽车的最大续航里程4.如图，11∥l2，l3∥14，若∠1=70°，则∠2的度数为A.100°B.110°C.120°D.130°5.电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB=210MB，1MB=210KB，1KB=210B.某视频文件的大小约为1GB，1GB等于A.230BB.830BC.8×1010BD.2×1030B6若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在反比例函数y= -6x的图象上，则，y1，y2，y3的大小关系是A. y1> y2> y3B. y2> y3> y1C. y1> y3> y2D. y3> y2> y17定义运算：m☆n=mn2-mn-1。
例如：4☆2=4x22-4x2-1=7.则方程1☆x=0的根的情况为A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根8.国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为A.5000(1+2x)=7500B.5000×2(1+x)=7500C.5000(1+x)2=7500D.5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=75009.如图，在△ABC中，∠ACB=90，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为A.(32，2) B.(2.2) C.(114，2) D.(4，2)10.如图，在△ABC中，AB=BC=3，∠BAC=30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为A.6 3B.9C.6D.33二、填空题(每小题3分，共15分)11.请写出一个大于1且小于2的无理数12已知关于x的不等式组其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为13.如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色，固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，则两次颜色相同的概率是(第13题) (第14题) (第15题)14.如图，在边长为2 2 的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为15.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点.若OB=2，则阴影部分周长的最小值为三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.(8分)先化简，再求值：其中a=5+117.(9分)为发展乡村经济，某村根据本地特色.创办了山药粉加工厂.该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲，乙两台不同品牌的分装机中选择.试用时，设定分装的标准质量为每袋500g，与之相差大于10g为不合格.为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：【收集数据】从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实际质量(单位：g)如下：甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486502 503 498 497 491 500 505 502 504 505乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498502 503 501 490 501 502 511 499 499 501【整理数据】整理以上数据，得到每袋质量x(g)的频数分布表.【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量，根据以上信息，回答下列问题：(1)表格中的a= ，b=(2)综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由.18.(9分)位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一。
2022年河南省中招考试数学试题及答案
相切于点D,取值范畴是( )．中华人民共和国中东部大某些地区持续浮现雾霾天气,某市记者为了理解、为顶点四边形是直角梯形.需对原水库大坝进行混凝土培厚加品牌和3个B品牌计算器共需重叠放置,其中∠C=90°,∠B=∠E=30°数量关系是__________;AC.若AB =4,AC =6,则BD长是( )(B) 9 (C)10 (D)11Rt △ABC中,∠C=900,AC=1cm,BC=2cm,点延长线上一点,过点P作⊙O切线PA、PB,切点分A3.据记录,国内高新产品出口总额达40570亿元,将数据40570亿用科学记数法表达为( )A.4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×10124.如图,直线a,b 被直线c,d 所截,若∠1=∠2,∠3=1250,则∠4度数为( )A.550B.600 C .700 D.7505.不等式组解集在数轴上表达为( )x 503x 1+≥⎧⎨-⎩＞GURUILINDCBAO 2-5O 22O -5-5O 26.小王参加某公司招聘测试,她笔试,面试,技能操作得分分别为85分,80分,90分,若依次按照2:3:5比例拟定成绩,则小王成绩是( )A.255分 B.84分 C.84.5分 D.86分7.如图,在平行四边形ABCD 中,用直尺和圆规作∠BAD 平分线AG,交BC 于点E,若BF=6,AB=5,则AE 长为( ) A.4 B.6 C.8 D.108.在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度半圆O 1,O 2,O 3…构成一条平滑曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒个2π单位长度,则秒时,点P 坐标是( )A.(,0) B.(,-1) C.(,1) D.(,0)PO 3O 2O 1Oy x二、填空题(每小题3分,共21分)9.计算:(-3)0+3-1= 。
全国统一高考数学练习卷及含答案 (4)
普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.若直线)(042R n m ny mx ∈=-+，始终平分圆042422=-+-+y x y x 的周长，则m 、n 的关系是()A．02=--n m B．02=-+n m C．04=-+n m D．04=+-n m 2.与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有()A．4条B．3条C．2条D．1条3.在一口袋中有2个白球和3个黑球，从中任意摸出2球，则至少摸出一个黑球的概率是（）（A）73（B）109（C）51（D）614.若,1sin )(3++=x b ax x f 且，）75(=f 则=-)5(f （）A7-B5-C 5D75.函数)(x f y =的图象过点（0，1），则函数)3(+=x f y 的图象必过点（）A)1,3(-B （3，1）C （0，4）D)4,0(-6.过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是()111121212112211211211211...()()()()0.()()()()0y y x x y y x x A B y y x x y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y ----==---------=-----=7.已知a ∥α，b ∥α，则直线a ，b 的位置关系①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.其中可能成立的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个8.已知a、b、c 是三条互不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：①;//,//,//ααa b b a 则②a、;//,//,//,βαββα则b a b ⊂③;,//,βαβα⊥⊥则a a ④b a b a ⊥⊥则,//,αα.其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9.已知等差数列==16884,31,}{S S S S S n a n n 那么且项和为的前（）A．81B．31C．91D．10310.定义在R 上的偶函数0)(log ,021(,),0[)(41<=+∞=x f f x f y 则满足且上递减在的x 的集合（）A．),2()21,(+∞⋃-∞B．)2,1()1,21(⋃C．),2()1,21(+∞⋃D．),2(21,0(+∞⋃11.在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），若使目标函数z=ax+y(a>0)取最大值的最优解有无穷多个，则a 的值等于（)A．31B．1C．6D．312.已知函数)41(,2),3(log ,2,43)(1162-⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-=-f x x x x x f 则的值等于（）A．2116B．25-C．4D．－4二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）1.某校有初中学生1200人，高中学生900人，老师120人，现用分层抽样方法从所有师生中抽取一个容量为N 的样本进行调查，如果应从高中学生中抽取60人，那么N=_______.2.在经济学中，定义)()(),()1()(x f x Mf x f x f x Mf 为函数称-+=的边际函数，某企业的一种产品的利润函数N x x x x x P ∈∈++-=且]25,10[(100030)(23*)，则它的边际函数MP（x）=______.（注：用多项式表示）3.已知c b a ,,分别为△ABC 的三边，且==+-+C ab c b a tan ,02333222则______.4.已知下列四个函数：①);2(log 21+=x y ②;231+-=x y ③;12x y -=④2)2(3+-=x y .其中图象不经过第一象限的函数有______.（注：把你认为符合条件的函数的序号都填上）三、大题：(满分30分)1.如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长.2.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.3.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n k k c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N .（i）求数列(){}221nna c -的通项公式；（ii）求()2*1ni ii a c n =∈∑N .4.设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.5.设首项为1的正项数列{an}的前n 项和为Sn，数列的前n 项和为Tn，且，其中p 为常数．（1）求p 的值；（2）求证：数列{an}为等比数列；（3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y 均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”．6.已知函数f（x）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（1）当x1＝0，x2＝1，x3＝2时，求函数f（x）的减区间；（2）求证：方程f′（x）＝0有两个不相等的实数根；（3）若方程f′（x）＝0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较，与α，β的大小，并说明理由．参考答案：一、选择题：1-5题答案:AABBA 6-10题答案:CDBDD 11-12题答案:BD二、填空题：1、148；2、]25,10[(295732∈++-x x x且)*N x ∈(未标定义域扣1分)；3、22-；4、①，④（多填少填均不给分）三、大题：1.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.依题意，可以建立以A 为原点，分别以AB AD AE，，的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)A B C D ，(0,0,2)E .设(0)CF h h =>>，则()1,2,F h .（Ⅰ）证明：依题意，(1,0,0)AB = 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h = ，可得0BF AB ⋅=，又因为直线BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE .（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0),(1,0,2),(1,2,2)BD BE CE =-=-=--.设(,,)n x y z =为平面BDE 的法向量，则0,0,n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x y x z -+=⎧⎨-+=⎩不妨令1z =，可得(2,2,1)n =.因此有4cos ,9||||CE n CE n CE n ⋅==-.所以，直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49.（Ⅲ）解：设(,,)m x y z =为平面BDF 的法向量，则0,0,m BD m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,x y y hz -+=⎧⎨+=⎩不妨令1y =，可得21,1,m h ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由题意，有||1cos ,||||3m n m n m n ⋅〈〉==，解得87h =.经检验，符合题意.所以，线段CF 的长为87.2.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。
2019年河南省普通高中招生考试试卷数学(word版,含答案)
普通高中招生考试试卷数 学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1.52-的相反数是 （A ）52- （B ）52 （C ）25- （D ）25 2.今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（A ）210147.2⨯ （B ）3102147.0⨯ （C ）1010147.2⨯ （D ）11102147.0⨯3.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是（A ）厉 （B ）害 （C ）了 （D ）我4.下列运算正确的是（A ）532)x x -=-（ （B ）532x x x =+ （C ）743x x x =• （D ）1233=-x x 5.河南省旅游资源丰富，2013~2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3.%，14.5%，17.1%，关于这组数据，下列说法正确的是（A ）中位数是12.7% （B ）众数是15.3%（C ）平均数是15.98% （D ）方差是06.《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱.问合伙人数，羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，根据题意，可列方程组为（A ）⎩⎨⎧+=+=37455x y x y （B ）⎩⎨⎧+=-=37455x y x y （C ）⎩⎨⎧-=+=37455x y x y （D ）⎩⎨⎧-=-=37455x y x y 7.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（A ）0962=++x x （B ）x x =2 （C ）x x 232=+ （D ）01)12=+-x （8.现有4张卡片，其中3张卡上正面上的图案是“”，一张卡片正面上的图案是“”，他们除此之外完全相同.把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同的概率是（A ）169 （B ）43 （C ）83 （D ）21 9.如图，已知□AOBC 的顶点O （0,0），A （-1,2），点B 在x 轴正半轴上.按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA ，OB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆心，大于21DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G ，则点G 的坐标为（A ））（2,15- （B ））（2,5 （C ））（2,53- （D ））（2,25-10.如图1，点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →D →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B.图2是点F 运动时，△FBC 的面积y （2cm ）随时间x （s ）变化的关系图象，则a 的值为（A ）5 （B ）2 （C ）25 （D ）52 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.计算：95--=__________.12.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥AB 于点O ，∠EOD=50°，则∠BOC 的度数为__________.13.不等式组⎩⎨⎧≥-+3425x x ，＞的最小整数解是__________.14.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A ＇B ＇C ＇，其中点B 的运动路径为弧＇BB ，则图中阴影部分的面积为__________.15. 如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A ＇BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称.点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A ＇B 所在直线于点F ，连接A ＇E.当△A ＇EF 为直角三角形时，AB 的长为__________.三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：11112-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，其中x=12+.17.（9分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代.漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰.为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如图所示）， E.其他根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次接受调查的市民共有__________人.（2）扇形统计图中，扇形E 的圆心角度数是__________.（3）请补全条形统计图.（4）若该市约有90万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”的人数.18.（9分）如图，反比例函数xk y （x ＞0）的图象过格点（网格线的交点）P . （1）求反比例函数的解析式.（2）在图中用直尺和2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O ，点P ；②矩形的面积等于k 的值.19.（9分）如图，AB 是○O 的直径，DO ⊥AB 于点O ，连接DA 交○O 于点C ，过点C 作○O 的切线交DO 于点E ，连接BC 交DO 于点F.（1）求证：CE=EF.（2）连接AF 并延长，交○O 于点G.填空：①当∠D 的度数为__________时，四边形ECFG 为菱形；②当∠D 的度数为__________时，四边形ECOG 为正方形.20.（9分）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答.如图所示，底座上A ，B 两点间的距离为90cm ，低杠上点C 到直线AB 的距离CE 的长为155cm ，高杠上点D 到直线AB 的距离DF 的长为234cm ，已知低杠的支架AC 与直线AB 的夹角∠CAE 为82.4°，高杠的支架BD 与直线AB 的夹角∠DBF 为80.3°，求高、低杠间的水平距离CH 的长.（结果精确到1cm ，参考数据：sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）21.（10分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系.关于销售单价，日销售量，日销售利（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）及m 的值.（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是__________元.当销售单价x=__________元时，日销售利润w 最大，最大值是__________元.（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本.预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系.若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？22.（10分）（1）问题发现如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC ，BD 交于点M.填空：①BDAC 的值为__________. ②∠AMB 的度数为__________.（2）类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M.请判断BDAC 的值及∠AMB 的度数，并说明理由.（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M.若OD=1，OB=7，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.23.（11分）如图，抛物线c x ax y ++=62交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C.直线y=x -5经过点B ，C.（1）求抛物线的解析式.（2）过点A 的直线交直线BC 于点M.①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标.②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标.。
2016高考全国1数学试卷及解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）理科数学第Ⅰ卷一．选择题（共12小题）1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．23．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．974．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π7．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．8．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c9．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．811．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5二．填空题（共4小题）13．设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=．14．（2x+）5的展开式中，x3的系数是．（用数字填写答案）15．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为．16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三．解答题（共7小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？20．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l 交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}=（1，3），B={x|2x﹣3＞0}=（，+∞），∴A∩B=（，3），故选：D．【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．【点评】本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键．3．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100 B．99 C．98 D．97【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，S9===9a5．∴9a5=27，a5=3，又∵a10=8，∴d=1，∴a100=a5+95d=98，故选：C．【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．4．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：设小明到达时间为y，当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选：B．【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．5．已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，） C．（0，3） D．（0，）【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得：4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=1，∵方程﹣=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．当焦点在y轴上时，可得：﹣4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2=﹣1，无解．故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．6．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．7．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．8．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c【分析】根据已知中a＞b＞1，0＜c＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，∴函数f（x）=x c在（0，+∞）上为增函数，故a c＞b c，故A错误；函数f（x）=x c﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c﹣1＜b c﹣1，故ba c＜ab c，即ab c ＞ba c；故B错误；log a c＜0，且log b c＜0，log a b＜1，即=＜1，即log a c＞log b c．故D错误；0＜﹣log a c＜﹣log b c，故﹣blog a c＜﹣alog b c，即blog a c＞alog b c，即alog b c＜blog a c，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小，熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键．9．执行如图的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|AB|=4，|DE|=2，则C的焦点到准线的距离为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】画出图形，设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可．【解答】解：设抛物线为y2=2px，如图：|AB|=4，|AM|=2，|DE|=2，|DN|=，|ON|=，x A==，|OD|=|OA|，=+5，解得：p=4．C的焦点到准线的距离为：4．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线与圆的方程的应用，考查计算能力．转化思想的应用．11．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．二．填空题（共4小题）13．设向量=（m，1），=（1，2），且|+|2=||2+||2，则m=﹣2．【分析】利用已知条件，通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可．【解答】解：|+|2=||2+||2，可得•=0．向量=（m，1），=（1，2），可得m+2=0，解得m=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直条件的应用，考查计算能力．14．（2x+）5的展开式中，x3的系数是10．（用数字填写答案）【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3，求出r，即可求出展开式中x3的系数．【解答】解：（2x+）5的展开式中，通项公式为：T r==25﹣+1r，令5﹣=3，解得r=4∴x3的系数2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为64．【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值．【解答】解：等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，可得q（a1+a3）=5，解得q=．a1+q2a1=10，解得a1=8．则a1a2…a n=a1n•q1+2+3+…+（n﹣1）=8n•==，当n=3或4时，表达式取得最大值：=26=64．故答案为：64．【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力．16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三．解答题（共7小题）17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）证明AF⊥平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC；（Ⅱ）解：由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角；由ABEF为正方形，AF⊥平面EFDC，∵BE⊥EF，∴BE⊥平面EFDC即有CE⊥BE，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF，∴四边形EFDC为等腰梯形．以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，a），=（﹣2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，﹣1）．设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，，4）．设二面角E﹣BC﹣A的大小为θ，则cosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．19．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X的分布列；（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（Ⅱ）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P （X≤n）≥0.5中n的最小值．（Ⅲ）法一：由X的分布列得P（X≤19）=．求出买19个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望EX2，由此能求出买19个更合适．法二：解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．【解答】解：（Ⅰ）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，P（X=16）=（）2=，P（X=17）=，P（X=18）=（）2+2（）2=，P（X=19）==，P（X=20）===，P（X=21）==，P（X=22）=，∴X的分布列为：X16171819202122 P（Ⅱ）由（Ⅰ）知：P（X≤18）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）==．P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．∴P（X≤n）≥0.5中，n的最小值为19．（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）得P（X≤19）=P（X=16）+P（X=17）+P（X=18）+P（X=19）=+=．买19个所需费用期望：EX1=200×+（200×19+500）×+（200×19+500×2）×+（200×19+500×3）×=4040，买20个所需费用期望：EX2=+（200×20+500）×+（200×20+2×500）×=4080，∵EX1＜EX2，∴买19个更合适．解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当n=19时，费用的期望为：19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040，当n=20时，费用的期望为：20×200+500×0.08+1000×0.4=4080，∴买19个更合适．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．20．设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l 交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．【分析】（Ⅰ）求得圆A的圆心和半径，运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB=ED，再由圆的定义和椭圆的定义，可得E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，求得a，b，c，即可得到所求轨迹方程；（Ⅱ）设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|MN|，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），求得A到PQ的距离，再由圆的弦长公式可得|PQ|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：圆x2+y2+2x﹣15=0即为（x+1）2+y2=16，可得圆心A（﹣1，0），半径r=4，由BE∥AC，可得∠C=∠EBD，由AC=AD，可得∠D=∠C，即为∠D=∠EBD，即有EB=ED，则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E的轨迹方程为+=1（y≠0）；（Ⅱ）椭圆C1：+=1，设直线l：x=my+1，由PQ⊥l，设PQ：y=﹣m（x﹣1），由可得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，则|MN|=•|y1﹣y2|=•=•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相交的弦长公式，考查不等式的性质，属于中档题．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2可得：f′（x）=（x﹣1）e x+2a （x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），对a进行分类讨论，综合讨论结果，可得答案．（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，则﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，分析g（x）的单调性，令m＞0，则g （1+m）﹣g（1﹣m）=，设h（m）=，m＞0，利用导数法可得h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，∴f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①若a=0，那么f（x）=0⇔（x﹣2）e x=0⇔x=2，函数f（x）只有唯一的零点2，不合题意；②若a＞0，那么e x+2a＞0恒成立，当x＜1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数；当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数；此时当x=1时，函数f（x）取极小值﹣e，由f（2）=a＞0，可得：函数f（x）在x＞1存在一个零点；当x＜1时，e x＜e，x﹣2＜﹣1＜0，∴f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2＞（x﹣2）e+a（x﹣1）2=a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e，令a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e=0的两根为t1，t2，且t1＜t2，则当x＜t1，或x＞t2时，f（x）＞a（x﹣1）2+e（x﹣1）﹣e＞0，故函数f（x）在x＜1存在一个零点；即函数f（x）在R是存在两个零点，满足题意；③若﹣＜a＜0，则ln（﹣2a）＜lne=1，当x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＜ln（﹣2a）﹣1＜lne﹣1=0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当ln（﹣2a）＜x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=ln（﹣2a）时，函数取极大值，由f（ln（﹣2a））=[ln（﹣2a）﹣2]（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1]2=a{[ln（﹣2a）﹣2]2+1}＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；④若a=﹣，则ln（﹣2a）=1，当x＜1=ln（﹣2a）时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当x＞1时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；⑤若a＜﹣，则ln（﹣2a）＞lne=1，当x＜1时，x﹣1＜0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，当1＜x＜ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＜e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＜0恒成立，故f（x）单调递减，当x＞ln（﹣2a）时，x﹣1＞0，e x+2a＞e ln（﹣2a）+2a=0，即f′（x）=（x﹣1）（e x+2a）＞0恒成立，故f（x）单调递增，故当x=1时，函数取极大值，由f（1）=﹣e＜0得：函数f（x）在R上至多存在一个零点，不合题意；综上所述，a的取值范围为（0，+∞）证明：（Ⅱ）∵x1，x2是f（x）的两个零点，∴f（x1）=f（x2）=0，且x1≠1，且x2≠1，∴﹣a==，令g（x）=，则g（x1）=g（x2）=﹣a，∵g′（x）=，∴当x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；设m＞0，则g（1+m）﹣g（1﹣m）=﹣=，设h（m）=，m＞0，则h′（m）=＞0恒成立，即h（m）在（0，+∞）上为增函数，h（m）＞h（0）=0恒成立，即g（1+m）＞g（1﹣m）恒成立，令m=1﹣x1＞0，则g（1+1﹣x1）＞g（1﹣1+x1）⇔g（2﹣x1）＞g（x1）=g（x2）⇔2﹣x1＞x2，即x1+x2＜2．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，分类讨论思想，难度较大．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。
2022年河南省普通高中招生考试试卷数学含答案
2022年河南省普通高中招生考试试卷数学含答案一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1.12的相反数是（）A.2B.2C.12D.12【答案】D【解析】【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．【详解】解：因为-12+12＝0，所以-12的相反数是12．故选：D．【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．2.2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人心同”的中华文化内涵，将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是（）A.合B.同C.心D.人【答案】D【解析】【分析】根据正方体的展开图进行判断即可；【详解】解：由正方体的展开图可知“地”字所在面相对的面上的汉字是“人”；故选：D．【点睛】本题主要考查正方体的展开图相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手是解题的关键．3.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为O ．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A.26°B.36°C.44°D.54°【答案】B 【解析】【分析】根据垂直的定义可得90COE ，根据平角的定义即可求解．【详解】解：∵EO ⊥CD ，90COE ，12180COE ∵，2180905436 ．故选：B ．【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．4.下列运算正确的是（）A.2B.2211a a C.325a a D.2322a a a 【答案】D 【解析】【分析】根据二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式逐项分析判断即可求解．【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；B.22112a a a ，故该选项不正确，不符合题意；C.326a a ，故该选项不正确，不符合题意；D.2322a a a ，故该选项正确，符合题意；故选：D.【点睛】本题考查了二次根式的加减，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘以单项式，正确地计算是解题的关键．5.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（）A.6B.12C.24D.48【答案】C 【解析】【分析】由菱形的性质可得出BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，再根据中位线的性质可得26BC OE ，结合菱形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵四边形ABCD 为菱形，∴BO =DO ，AB =BC =CD =DA ，∵OE =3，且点E 为CD 的中点，OE 是BCD △的中位线，∴BC =2OE =6．∴菱形ABCD 的周长为:4BC =4×6=24．故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质以及中位线的性质，解题的关键是求出AD =6．6.一元二次方程210x x 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.只有一个实数根【答案】A 【解析】【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解．【详解】解：241450b ac 一元二次方程210x x 的根的情况是有两个不相等的实数根，故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程20ax bx c (0a a b c ，，，为常数)的根的判别式24b ac ，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．7.如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（）A.5分B.4分C.3分D.45%【答案】B 【解析】【分析】根据扇形统计图中得分情况的所占比多少来判断即可；【详解】解：由扇形统计图可知：1分所占百分比：5%；2分所占百分比：10%；3分所占百分比：25%；4分所占百分比：45%；5分所占百分比：15%；可知，4分所占百分比最大，故4分出现的次数最多，∴所打分数的众数为4；故选：B ．【点睛】本题主要考查众数的概念，扇形统计图，理解扇形统计图中最大百分比是所打分数的众数，这是解本题的关键．8.《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（）A.810B.1210 C.1610D.2410【答案】C【解析】【分析】将1万表示成410，1亿表示成810，然后用同底数幂的乘法法则计算即可．【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，∴1兆＝4481610101010创=，故选：C ．【点睛】本题考查同底数幂的乘法法则，科学记数法的表示方法，其中a 的范围是110a ，n 是整数，正确确定a ，n 的值是解答本题的关键．9.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF 的中心与原点O 重合，AB x ∥轴，交y 轴于点P ．将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A 的坐标为（）A.1B.1, C.1D. 【答案】B 【解析】【分析】首先确定点A 的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A 的坐标即可．【详解】解：正六边形ABCDEF 边长为2，中心与原点O 重合，AB x ∥轴，∴AP ＝1，AO ＝2，∠OPA ＝90°，∴OP∴A （1，第1次旋转结束时，点A -1）；第2次旋转结束时，点A 的坐标为（-1，）；第3次旋转结束时，点A 的坐标为（，1）；第4次旋转结束时，点A 的坐标为（1；∵将△OAP 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴4次一个循环，∵2022÷4＝505……2，∴经过第2022次旋转后，点A 的坐标为（-1，），故选：B【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．10.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的1R ），1R 的阻值随呼气酒精浓度K 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M 与呼气酒精浓度K 的关系见图3．下列说法不正确．．．的是（）A.呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小B.当K ＝0时，1R 的阻值为100C.当K ＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D.当120 R 时，该驾驶员为醉驾状态【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象分析即可判断A ，B ，根据图3公式计算即可判定C ，D ．【详解】解：根据函数图象可得，A.R 随K 的增大而减小，则呼气酒精浓度K 越大，1R 的阻值越小，故正确，不符合题意；B.当K ＝0时，1R 的阻值为100，故正确，不符合题意；C.当K ＝10时，则332200102200101022mg/100ml M K ，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；D.当120 R 时，40K ，则332200102200401088mg/100ml M K ，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意；故选:C.【点睛】本题考查了函数图像，根据函数图像获取信息是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11.请写出一个y 随x 增大而增大的一次函数表达式_________．【答案】y x （答案不唯一）【解析】【分析】在此解析式中，当x 增大时，y 也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可．【详解】解：如y x ，y 随x 的增大而增大．故答案为：y x （答案不唯一）．【点睛】此题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．12.不等式组30,12x x的解集为______．【答案】23x 【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：3012x x①②解不等式①得：3x 解不等式②得：2x ∴不等式组的解集为：23x 故答案为：23x 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．13.为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．【答案】16【解析】【分析】根据题意，画出树状图，可得一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，再根据概率公式计算，即可求解．【详解】解：根据题意，画出树状图，如下∶一共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丙的有2种，所以恰好选中甲和丙的概率为21126．故答案为：16【点睛】利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．14.如图，将扇形AOB 沿OB 方向平移，使点O 移到OB 的中点O 处，得到扇形A O B ．若∠O ＝90°，OA ＝2，则阴影部分的面积为______．【答案】332【解析】【分析】设A O 与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，解Rt OCO ，求得3,60O C COB ，根据阴影部分的面积为 OCO A O B OCB S S S 扇形扇形，即可求解．【详解】如图，设A O 与扇形AOB 交于点C ，连接OC ，如图O ∵是OB 的中点11122OO OB OA ,OA ＝2，∵AOB ＝90°，将扇形AOB 沿OB 方向平移，90A O O 1cos 2OO COB OC60COB sin 60O C OC阴影部分的面积为OCO A O B OCB S S S扇形扇形OCO AOB OCB S S S 扇形扇形2290601221360360232故答案为：332【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得60COB 是解题的关键．15.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC，点D 为AB 的中点，点P 在AC 上，且CP ＝1，将CP 绕点C 在平面内旋转，点P 的对应点为点Q ，连接AQ ，DQ ．当∠ADQ ＝90°时，AQ 的长为______．【答案】【解析】【分析】连接CD ，根据题意可得，当∠ADQ ＝90°时，Q 点在CD 上，且1CQ CP ，勾股定理求得AQ 即可．【详解】如图，连接CD ，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC BC ，4AB ，CD AD ，122CD AB，根据题意可得，当∠ADQ ＝90°时，Q 点在CD 上，且1CQ CP ，211DQ CD CQ ，在Rt ADQ △中，AQ ，．【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点Q 的位置是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）计算：01123；（2）化简：2111x x x．【答案】（1）52；（2）1x 【解析】【分析】（1）根据求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂进行计算即可求解；（2）原式括号中两项通分并利用异分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【详解】（1）解：原式＝131252（2）解：原式＝ 111x x x x x111x x xxx 1x 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，零指数幂，负整指数幂，分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．17.2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：a ．成绩频数分布表：成绩x （分）5060x 6070x 7080x 8090x 90100x 频数7912166b ．成绩在7080x 这一组的是（单位：分）：707172727477787878797979根据以上信息，回答下列问题：（1）在这次测试中，成绩的中位数是______分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为______．（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．【答案】（1）78.5，44%（2）不正确．理由见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）因为共50名学生参加测试，故中位数为第25、26名学生成绩的平均数，用成绩不低于80分的人数除以总人数即可求出所占百分比；（2）根据中位数的意义进行判断；（3）根据测试成绩合理评价即可，答案不唯一．【小问1详解】解：由成绩频数分布表和成绩在7080x 这一组的数据可知，排在第25、26名学生的成绩分别为78分，79分，因此成绩的中位数是：787978.52分．成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为：166100%44%50，故答案为：78.5，44%；【小问2详解】解：不正确．因为甲的成绩77分低于中位数78.5，所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩．【小问3详解】解：成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好．【点睛】本题考查调查统计时中位数的计算方法，以及运用中位数做决策等知识点，利用成绩频数分布表和成绩在7080x 这一组的数据得出中位数是解题的关键．18.如图，反比例函数 0k y x x的图像经过点 2,4A 和点B ，点B 在点A 的下方，AC 平分OAB ，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图）（3）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D ，连接CD ．求证：CD AB ∥．【答案】（1）8y x（2）图见解析部分（3）证明见解析【解析】【分析】（1）把点A 的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案；（2）利用基本作图作线段AC 的垂直平分线即可；（3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到BAC DCA ，然后利用平行线的判定即可得证.【小问1详解】解：∵反比例函数 0k y x x的图像经过点 2,4A ，∴当2x 时，42k ，∴8k =，∴反比例函数的表达式为：8y x；【小问2详解】如图，直线EF 即为所作；【小问3详解】证明：如图，∵直线EF 是线段AC 的垂直平分线，∴AD CD ，∴DAC DCA ，∵AC 平分OAB ，∴DAC BAC ，∴BAC DCA ，∴CD AB ∥．【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识．解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．19.开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC 的高度，如图，在A 处用测角仪测得拂云阁顶端D 的仰角为34°，沿AC 方向前进15m 到达B 处，又测得拂云阁顶端D 的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m ，测量点A ，B 与拂云阁DC 的底部C 在同一水平线上，求拂云阁DC 的高度（结果精确到1m ．参考数据：sin 340.56 ，cos340.83 ，tan 340.67 ）．【答案】拂云阁DC 的高度约为32m【解析】【分析】延长EF 交CD 于点G ，则四边形,AEFB AEGC 是矩形，则 1.5CG AE ，15EF AB ，在Rt DGF △，Rt DGE △中，分别表示出,FG EG ，根据15EG FG ，建立方程，解方程求解可得DG ，根据DC DG GC 即可求解．【详解】如图，延长EF 交CD 于点G ，则四边形,AEFB AEGC 是矩形，则 1.5CG AE ，15EF AB ，在Rt DGF △中，tan tan 45DG DG FG DG DFG，在Rt DGE △中，tan tan 340.67DG DG DG EG DEG ，15EG FG ∵，即150.671DG DG ，解得30.5DG ，30.5 1.532DC DG GC (m)．拂云阁DC 的高度约为32m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．20.近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A 种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用300元在市场上购买的A 种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．（1）求菜苗基地每捆A 种菜苗的价格．（2）菜苗基地每捆B 种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A ，B 两种菜苗共100捆，且A 种菜苗的捆数不超过B 种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A ，B 两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．【答案】（1）20元（2）2250元【解析】【分析】（1）设菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为x 元，根据题意列出方程，解出方程即可；（2）设：购买A 种菜苗m 捆，则购买B 种菜苗 100m 捆，花费为y 元，根据A 种菜苗的捆数不超过B 种菜苗的捆数，解出m 的取值范围，列出花费y 与A 种菜苗m 捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可．【小问1详解】解：设：菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为x 元，300300354x x 51530030044x 15754x 解得20x =检验：将20x =代入55202544x ，值不为零，∴20x =是原方程的解，∴菜苗基地每捆A 种菜苗的价格为20元．【小问2详解】解：设：购买A 种菜苗m 捆，则购买B 种菜苗 100m 捆，花费为y 元，有题意可知：100m m ，解得50m ≤，又∵ 20301000.9y m m ，∴ 9270050y m m ，∵y 随m 的增大而减小∴当50m 时，花费最少，此时95027002250y ∴本次购买最少花费2250元．【点睛】本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键．21.红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m ，水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高，最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为 2y a x h k ，其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离，y （m ）是水柱距地面的高度．（1）求抛物线的表达式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P 水平距离3m ，身高1.6m 的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．【答案】（1） 20.15 3.2y x （2）2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点 5,3.2，设抛物线的表达式为 25 3.2y a x ，将点 0,0.7P ，代入即可求解；（2）将 1.6y 代入（1）的解析式，求得x 的值，进而求与点 3,0的距离即可求解．【小问1详解】解：根据题意可知抛物线的顶点为 5,3.2，设抛物线的解析式为 25 3.2y a x ，将点 0,0.7代入，得0.725 3.2a ，解得0.1a ，抛物线的解析式为 20.15 3.2y x ，【小问2详解】由 20.15 3.2y x ，令 1.6y ，得 21.60.15 3.2x ，解得121,9x x ，∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P 水平距离3m ， 当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为312 (m)，或936 (m)．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．22.为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环⊙O 与水平地面相切于点C ，推杆AB 与铅垂线AD 的夹角为∠BAD ，点O ，A ，B ，C ，D 在同一平面内．当推杆AB 与铁环⊙O 相切于点B 时，手上的力量通过切点B 传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC ＋∠BAD ＝90°．（2）实践中发现，切点B 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B 是该区域内最低位置，此时点A 距地面的距离AD 最小，测得3cos 5BAD．已知铁环⊙O 的半经为25cm ，推杆AB 的长为75cm ，求此时AD 的长．【答案】（1）见解析（2）50cm 【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得OC CD ，AB OB ，根据AD CD ，可得AD OC ∥，过点B 作BE AD ∥，根据平行线的性质可得BAD EBA ，COB OBE ，进而即可得证；（2）过点B 作CD 的平行线，交AD 于点G ，交OC 于点F ，由（1）得到OBF A ，在Rt ABG △，Rt OBF △中，求得,AG BF ,进而求得,OF FC ，根据AD AG GD 即可求解．【小问1详解】证明：∵⊙O 与水平地面相切于点C ，OC CD ，AD CD ∵，AD OC ∥，∵AB 与⊙O 相切于点B ，AB OB ，90OBA ，过点B 作BE AD ∥，BAD EBA ，BE OC ∥，COB OBE ，90COB BAD OBE ABE OBA ，即∠BOC ＋∠BAD ＝90°．【小问2详解】如图，过点B 作CD 的平行线，交AD 于点G ，交OC 于点F ，,FG AD FG OC ，则四边形CFGD 是矩形，90BOC BAD ∵，90 ABO ，90OBF FOB A ，在Rt ABG △中，∵3cos 5BAD ，75cm AB ，3cos 75455AG AB BAD （cm)，在Rt OBF △中，3cos cos 5OBF A ，25OB cm ，33251555BF OB (cm)，2222251520OF OB BF (cm)，25205FC OC OF (cm)，5DG FC cm ，45550AD AG GD (cm)．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，解直角三角形的应用，掌握以上知识是解题的关键．23.综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．（1）操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM ，BM ．根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30°的角：______．（2）迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．①如图2，当点M 在EF 上时，∠MBQ ＝______°，∠CBQ ＝______°；②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图3，判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．（3）拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD 的边长为8cm ，当FQ ＝1cm 时，直接写出AP 的长．【答案】（1）BME 或ABP 或PBM 或MBC（2）①15，15；②MBQ CBQ ，理由见解析（3）4011APcm 【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，得12BE BM ，结合矩形的性质得30BME ，进而可得30ABP PBM MBC ；（2）根据折叠的性质，可证 Rt Rt HL BQM BQC ，即可求解；（3）由（2）可得QM QC ，设8AP PM x PD x ，，由勾股定理即可求解；【小问1详解】解：12AE BE AB AB BM ∵，12BE BM ∴90BEM∵30BME∴60MBE∴ABP PBM∵30ABP PBM MBC∴【小问2详解】∵四边形ABCD 是正方形∴AB =BC ，∠A =∠ABC =∠C =90°由折叠性质得：AB =BM ，∠PMB =∠BMQ =∠A =90°∴BM =BC①BM BC BQ BQ∵，∴Rt Rt HL BQM BQC MBQ CBQ∴30MBC Ð=°Q 15MBQ CBQ∴②BM BC BQ BQ∵，Rt Rt HL BQM BQC ∴MBQ CBQ∴【小问3详解】1cm 4cm 8cmFQ DF FC AB ∵，，8413(cm)QC CD DF FQ ∴，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm)由（2）可知，QM QC设8AP PM x PD x ，，222PD DQ PQ ∴，即222853x x 解得：4011x∴40cm11 AP【点睛】本题主要考查矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．。
2025届全国普通高等学校招生统一考试高三(最后冲刺)数学试卷含解析
2025届全国普通高等学校招生统一考试高三（最后冲刺）数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 2．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．193．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15164．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-325．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（ ）A ．3B ．2C ．4D ．236．已知复数z 满足()1z i i =-，(i 为虚数单位)，则z =( ) A ．2B ．3C ．2D ．37．已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为1的正方形，1ED =，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．26B ．13C ．23D ．18．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 9．若双曲线222:14x y C m -=的焦距为5C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4C 19D ．1910．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ） A ．5B ．22C ．4D ．1611．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ）A ．356B ．328C ．314D ．14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河南省2015年普通高中招生考试数学试题(附答案)
河南省2015年普通高中招生考试数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列各数中最大的数是（）A．5 B．C．πD．－8答案：A 【解析】本题考查实数的大小比较，难度较小．，最大的是5，故选A．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A B C D答案：B 【解析】本题考查三视图的知识，难度较小．俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，故选B．3．据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40570亿元．将数据40570亿用科学记数法表示为（）A．4.0570×109B．0.40570×1010C．40.570×1011D．4.0570×1012答案：D 【解析】本题考查科学记数法，难度较小．科学记数法是将一个数写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数的绝对值大于等于10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．40570亿＝4057000000000＝4.0570×1012，故选D．4．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为（）A．55°B．60°C．70°D．75°答案：A 【解析】本题考查平行线的判定和性质，难度较小．因为∠1＝∠2，根据“同位角相等，两直线平行”，得a∥b，再根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠3的对顶角与∠4互补，所以∠3与∠4互补，又∠3＝125°，则∠4的度数为55°，故选A．5．不等式组的解集在数轴上表示为（）A BC D答案：C 【解析】本题考查解不等式组，难度较小．解不等式①得x ≥－5，解不等式②得x＜2，故不等式组的解集是－5≤x＜2，结合选项知只有C正确，故选C．6．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分、80分、90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A．255分B．84分C．84.5分D．86分答案：D 【解析】本题考查加权平均数的计算方法，难度较小．根据题意小王的成绩是（分），故选D．7．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（）A．4 B．6C．8 D．10答案：C 【解析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形三线合一定理，难度中等．设BF与AG相交于O，由AG平分∠BAD和AB＝AF得AG垂直平分BF于点O，可得．又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FAE＝∠BAE，∴△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝5，AE＝2AO．在Rt△AOB中，，所以AE＝8，故选C．8．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是（）A．(2014，0) B．(2015，－1) C．(2015，1) D．(2016，0)答案：B 【解析】本题考查规律探索，难度较大．一个半圆的周长是πr＝π，点P运动的，设点P走了n个半圆，则有，所以，因为，走1007个半圆时点P的横坐标是1007×2＝2014，再走个半圆，正好在下半圆弧的中点，因此点P的横坐标是2014＋1＝2015，纵坐标是－1，即点P的坐标是(2015，－1)，故选B．第Ⅱ卷（非选择题共96分）二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．请把答案填在题中的横线上）9．计算：(－3)0＋3－1＝_________．答案：【解析】本题考查零次幂和负指数幂，难度较小．因为(－3)0＝1，，故．10．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝_________．答案：【解析】本题考查平行线分线段成比例，难度较小．因为DE∥AC，所以，即，解得．11．如图，直线y＝kx与双曲线(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_________．答案：2 【解析】本题考查直线与双曲线的交点问题，难度较小．点A在双曲线上，所以1×a＝2，则a＝2，点A(1，2)，又点A(1，2)在y＝kx上，所以k＝2．12．已知点A(4，y1)，B(，y2)，C(－2，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是_________．答案：y3＞y1＞y2【解析】本题考查二次函数函数值的大小比较，难度较小．将A，B，C三点的坐标分别代入函数解析式得y1＝(4－2)2－1＝3，，y3＝(－2－2)2－1＝15，所以y3＞y1＞y2．13．现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是_________．答案：【解析】本题考查用列表法或画树状图求概率，难度较小．列表如下：共有16种等可能的情形，两次抽出的卡片所标数字不同的有10种，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是．14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E．以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为_________．答案：【解析】本题考查扇形的面积及直角三角形的性质，难度中等．连接OE，因为点C为OA的中点，OA＝2，所以OC＝1．在Rt△OCE中，可证∠EOC＝60°，，，，，所以．15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为_________．答案：16或【解析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的性质，难度较大．本题分两种情况：（1）如图1，若DB′＝DC，则DB′＝DC＝16；（2）如图2，若DB′＝CB′，过B′作MN⊥CD于点M，交AB于点N，则CM＝DM＝8＝BN，又AE＝3，则BE＝13，所以EN＝5，由翻折可知EB′＝13，在Rt△EB′N中，可求NB′＝12，所以B′M＝4，在Rt△DB′M 中，．综上，DB′的长为16或．【易错分析】本题要注意分类讨论，画出符合条件的图形很重要．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分8分）先化简，再求值：，其中．答案：本题考查分式的化简求值，难度较小．解：（4分），（6分）当，时，．（8分）17．（本小题满分9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．（1）求证：△CDP≌△POB；（2）填空：①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________；②连接OD，当∠PBA的度数为_________时，四边形BPDO是菱形．答案：本题考查全等三角形的判定与性质、菱形的判定、面积最值问题，难度中等．解：（1）证明：∵D是AC的中点，且PC＝PB，∴DP∥AB，，∴∠CPD＝∠PBO．（3分）∴，∴OP＝OB，∴△CDP≌△POB．（5分）（2）①4．（7分）②60°．（注：若填为60，不扣分）（9分）18．（本小题满分9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．调查结果扇形统计图调查结果条形统计图根据以上信息解答下列问题：（1）这次接受调查的市民总人数是_________；（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是_________；（3）请补全条形统计图；（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．答案：本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，难度较小．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：（1）1000．（2分）（2）54°．（注：若填为54，不扣分）（4分）（3）（按人数为100正确补全条形统计图）．（6分）（4）80×(26%＋40%)＝80×66%＝52.8（万人），所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻最主要途径”的总人数约为52.8万人．（9分）19．（本小题满分9分）已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．答案：本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，难度较小．解：（1）证明：原方程可化为x2－5x＋6－|m|＝0，（1分）∴Δ＝(－5)2－4×1×(6－|m|)＝25－24＋4|m|＝1＋4|m|．（3分）∵|m|≥0，∴1＋4|m|＞0，∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．（4分）（2）把x＝1代入原方程得|m|＝2，∴m＝±2．（6分）把|m|＝2代入原方程，整理得x2－5x＋4＝0，∴x1＝1，x2＝4，∴m的值为±2，方程的另一个根是4．（9分）20．（本小题满分9分）如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数．参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，）答案：本题考查解直角三角形的应用，构造符合条件的直角三角形，利用直角三角形的性质解题是关键，难度较小．解：延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H．由题意知∠DAE＝∠BGA＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6，∴，∴．（2分）设BC的长为x米．在Rt△GBC中，．（4分）在Rt△ABC中，．（6分）∵GC－AC＝GA，∴，（8分）∴x≈13，即大树的高度约为13米．（9分）21．（本小题满分10分）某游泳馆普通票价20元/张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数，设游泳x次时，所需总费用为y元．（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．答案：本题考查列函数关系式、一次函数图象的理解及应用、方案选择问题，难度中等．解：（1）银卡：y＝10x＋150；（1分）普通票：y＝20x．（2分）（2）把x＝0代入y＝10x＋150，得y＝150，∴A(0，150)．（3分）由题意知∴∴B(15，300)．（4分）把y＝600代入y＝10x＋150，得x＝45，∴C(45，600)．（5分）（3）当0＜x＜15时，选择购买普通票更合算；（注：若写为0≤x＜15，不扣分）当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当15＜x＜45时，选择购买银卡更合算；当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当x＞45时，选择购买金卡更合算．（10分）22．（本小题满分10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝_________；②当α＝180°时，＝_________．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化，请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．答案：本题考查旋转的性质、三角形中位线性质、平行线分线段成比例、勾股定理、相似三角形的应用等，考查考生的阅读理解能力，分类讨论能力，逻辑推理能力，难度较大．解：（1）①；（1分）②．（2分）（2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）（3分）在图1中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB．∴，∠EDC＝∠B＝90°．如图2，∵△EDC在旋转过程中形状、大小均不变，∴仍然成立．（4分）又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴．（6分）在Rt△ABC中，，∴，∴，∴的大小不变．（8分）（3）或．（10分）【提示】当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴；当△EDC在BC的下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD＝8，∴AE＝6，根据可求得．23．（本小题满分11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P 是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(－4，0)，连接PD，PE，DE．（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．答案：本题考查抛物线的解析式、动点问题、面积的计算、周长最值问题、点的存在性等，考查考生的阅读理解能力，逻辑推理能力，难度较大．解：（1）抛物线解析式为．（3分）（2）正确，理由如下：设，则．（4分）过点P作PM⊥y轴于点M，则，∴，（6分）∴，∴猜想正确．（7分）（3）“好点”共有11个；（9分）当点P运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小．∵PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2，∴PE＋PD＝PE＋PF＋2．当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小，此时点P，E的横坐标都为－4，将x＝－4代入，得y＝6，∴P(－4，6)，此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”，∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为(－4，6)．（11分）【提示】△PDE的面积．由－8≤x≤0，知4≤S≤13，所以S的整数值有10个．由函数图象知，当S＝12时，对应的“好点”有2个，所以“好点”共有11个．综评：本套试卷在试卷结构、知识内容、题型、题量、难度等方面总体保持稳定，重视对基础的考查，适度兼顾区分，体现了对数学知识价值反映和解决简单问题能力的要求．整卷具有以下几个特点：（1）突出基础，试题考查了“图形与几何、数与运算、代数与方程、函数与分析、统计与概率初步”等初中阶段重要的数学基础知识，体现对教材内容和教学重点的关注．（2）关注应用，如第6，13，18，20，21题适度体现数学的应用价值．（3）适度区分，容易题、中档题、较难题的分值配比为7:2:1，中档题和较难题分散在不同试题中，有利于合理考查考生解决问题过程的认知水平差异．本试题适合中期复习后的检测．。
2024年河南省中考数学试题
2024年河南省普通高中招生考试试卷数学注意事项：1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上。
答在试卷上的答案无效。
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）1.如图，数轴上点P 表示的数是（ ）A.-1B.0C.1D.22.据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为（）A.8578410⨯ B.105.78410⨯ C.115.78410⨯ D.120.578410⨯3.如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（ ）A.60°B.50°C.40°D.30°4.信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）A. B.C. D.5.下列不等式中，与1x ->组成的不等式组无解的是（ ）A.2x >B.0x <C.2x <- D.3x >-6.如图，在ABCD □中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为OC 的中点，EF AB ∥交BC 于点F .若4AB =，则EF 的长为（ ）A.12 B.1 C.43D.27.计算()3a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅个 的结果是（ ）A.5a B.6a C.3a a + D.3aa 8.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随 ）A.19 B.16 C.15 D.139.如图，O是边长为的等边三角形ABC 的外接圆，点D 是 BC的中点，连接BD ，CD .以点D 为圆心，BD 的长为半径在O 内画弧，则阴影部分的面积为（）A.8π3 B.4π C.16π3 D.16π10.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I 与使用电器的总功率P 的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q 与I 的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（ ）A.当P =440W 时，I =2AB.Q 随I 的增大而增大C.I 每增加1A ，Q 的增加量相同D.P 越大，插线板电源线产生的热量Q 越多二、填空题（每小题3分，共15分）11.请写出2m 的一个同类项：_______.12.2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为___________分.13.若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为___________.14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为（-2，0），点E 在边CD 上.将BCE △沿BE 折登，点C 落在点F 处.若点F 的坐标为（0，6），则点E 的坐标为___________.15.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，3CA CB ==，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD 的垂线，交射线AD 于点E .若1CD =，则AE 的最大值为_________，最小值为_________.三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（10分）（1(01-；（2）化简：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭.17.（9分）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.技术统计表队员平均每场得分平均每场篮板平均每场失误甲26.582乙26103根据以上信息，回答下列问题.（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分.（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（-1），且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.18.（9分）如图，矩形ABCD 的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC ，BD 相交于点E ，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点A .（1）求这个反比例函数的表达式.（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象.（3）将矩形ABCD 向左平移，当点E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________.19.（9分）如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的中线，BE DC ∥交AC 的延长线于点E .（1）请用无刻度的直尺和圆规作ECM ∠，使ECM A ∠=∠，且射线CM 交BE 于点F （保留作图痕迹，不写作法）.（2）证明（1）中得到的四边形CDBF 是菱形20.（9分）如图1，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置.当点B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A ，B 两点的圆与水平视线DE 相切时（如图2），在切点P 处感觉看到的塑像最大，此时APB ∠为最大视角.图1图2（1）请仅就图2的情形证明APB ADB ∠>∠.（2）经测量，最大视角APB ∠为30°，在点P 处看塑像顶部点A 的仰角APE ∠为60°，点P 到塑像的水平距离PH 为6m.求塑像AB 的高（结果精确到0.1m. 1.73≈）.21.（9分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A ，B 两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g ，营养成分表如下.（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ 热量和70g 蛋白质，应选用A ，B 两种食品各多少包?（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g ，且热量最低，应如何选用这两种食品?22.（10分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =-+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.（1）小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）.（2）若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度.（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由.23.（10分）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.（1）操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）.图1（2）性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线.①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）.图2图3（3）拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长.2024年河南省普通高中招生考试数学试题参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案A C B A A B D D C C二、填空题（每小题3分，共15分）三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.（1）原式=10-1=9.（2）原式()()221221a a a a a a +-+=⋅=+-+.17.（1）甲 29（2）因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.（3）甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（-1）=36.5.乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（-1）=38.因为38>36.5，所以乙队员表现更好.18.（1）∵反比例函数()0k y x x =>的图象经过点()3,2A ，∴23k =.∴6k =.∴这个反比例函数的表达式为6y x =.（2）如图19.（1）如图.（2）由（1），得ECF A ∠=∠.∴CF AB ∥.∵BE DC ∥，∴四边形CDBF 是平行四边形.∵CD 是Rt ABC △斜边AB 上的中线，∴CD BD =.∴CDBF □是菱形.20.（1）如图，连接BM .则AMB APB ∠=∠.∵AMB ADB ∠>∠，∴APB ADB ∠>∠.（2）在Rt AHP △中，60APH ∠=︒，6PH =.∵tan AH APH PH∠=，∴tan 606AH PI =⋅︒==∵30APB ∠=︒，∴603030BPH APH APB ∠=∠-∠=︒-︒=︒.在Rt BHP △中，tan BH BPH PH ∠=，∴tan 306BH PH =⋅︒==.∴()4 1.73 6.9m AB AH BH =-=-=≈⨯≈.答：塑像AB 的高约为6.9m.21.（1）设选用A 种食品x 包，B 种食品y 包，根据题意，得7009004600,101570.x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程组，得4,2.x y =⎧⎨=⎩答：选用A 种食品4包，B 种食品2包.（2）设选用A 种食品a 包，则选用B 种食品()7a -包，根据题意，得()1015790a a +-≥.∴3a ≤.设总热量为w kJ ，则()70090072006300w a a a =+-=-+.∵-200<0，∴w 随a 的增大而减小.∴当3a =时，w 最小.∴7734a -=-=.答：选用A 种食品3包，B 种食品4包.22.（1）010v （2）根据题意，得当010v t =时，20h =.∴20005201010v v v ⎛⎫-⨯+⨯= ⎪⎝⎭.∴()020m /s v =.（3）小明的说法不正确.理由如下：由（2），得2520h t t =-+.当15h =时，215520t t =-+.解方程，得11t =，23t =.∴小明的说法不正确.23.（1）②④（2）①ACD ACB ∠=∠.理由如下：延长CB 至点E ，使BE DC =.连接AE .∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，∴180ABC D ∠+∠=︒∵180ABC ABE ∠+∠=︒，∴ABE D ∠=∠.∵AB=AD ，∴ABE ADC ≌△△.∴E ACD ∠=∠，AE AC =.∴E ACB ∠=∠.∴ACD ACB ∠=∠.②过点A 作AF EC ⊥，垂足为点F .∵AE AC =，∴()()1112222m n CF CE BC BE BC DC +==+=+=.∵2BCD θ∠=，∴ACB ACD θ∠=∠=.在Rt AFC △中，cos CF ACθ=，∴cos 2cos CF m n AC θθ+==.（3.。
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6．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10. DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E，则 DE 的长为【 】 （A）6 （B）5 （C）4 （D）3
7．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 平均数（cm） 方差 185 3. 6 乙 180 3.6 丙 185 7.4 丁 180 8.1 】
（2）填空：①若 AB=6，当 AD=2DM 时，DE=___________； ②连接 OD，OE，当∠A 的度数为____________时，四边形 ODME 是菱形. 19. （9 分）如图，小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处，测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37°，旗杆底部 B 点的俯角为 45°.升旗时，国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处. 冉升起，并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以 多少米/秒的速度匀速上升？ （参考数据：sian37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75） 若国旗随国歌声冉
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择【 （A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 8．如图，已知菱形 OABC 的顶点 O（0,0） ，B（2,2） ，若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45°，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为【 】 （A） （1，-1） （B） （-1，-1） （C） （ 2 ，0） （D） （0，- 2 ）
1 的相反数是【 】 3 1 1 （A） （B） 3 3
1． （A） 9.5 10
7
（C） 3
（D） 3 】
5
2．某种细胞的直径是 0.00000095 米，将 0.00000095 用科学记数法表示为【 （B） 9.5 10
8
（C） 0.95 10
7
（D） 95 10
3．下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是【
】
（A） 4．下列计算正确的是【 （A） 8
4
（B） 】 （B） 3 6
2
（C）
（D）
2 2
2 2
（C） 3a 2a a
（D） a
a
3 2
5
k ( x 0) 的图像上一点 A 作 AB⊥ x 轴 x 于点 B，连接 AO，若 S△AOB=2，则 k 的值为【 】
部分的面积为___________. 15.如图，已知 AD∥BC，AB⊥BC，AB=3. 点 E 为射线 BC 上 一个动点，连接 AE，将△ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B′处， 过点 B′作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于点 M，N. 当点 B′ 为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为__________________. 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分） 16. （8 分）先化简，再求值：
(
x x2 1 ，其中 x 的值从不等式组 1 ) x2 x x 2 2x 1
x 1 2 x 1 4
的整数解中选取。
17. （9 分）在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中 20 名成员一天行走的步 数，记录如下： 5640 6430 6520 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 6834 7326 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850 对这 20 个数据按组距 1000 进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 步数分组统计表 组别 A B C D E 步数分组 5500≤ x ＜6500 6500≤ x ＜7500 7500≤ x ＜8500 8500≤ x ＜9500 9500≤ x ＜1050 频数 2 10
2
__________________. 12.在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了 4 组进行活动，则该班小明和小亮被 分在同一组的概率是_________. 13.已知 A（0,3） ，B（2,3）是抛物线 y x bx c 上两点，
2
该抛物线的顶点坐标是_________. 14.如图，在扇形 AOB 中，∠AOB=90°，以点 A 为圆心， OA 的长为半径作 ⌒ OC 交 ⌒ AB 于点 C. 若 OA=2，则阴影
2016 年河南省普高中招生考试试卷 数 学
注意事项： 1．本试卷共 8 页，三个大题，满分 120 分，考试时间 100 分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔 直接答在试卷上． 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 题号 分数 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内． 一 1～8 二 9～15 16 17 18 19 三 20 21 22 23 总分
二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9．计算： ( 2) 3 8 _________ .
0
10. 如图，在□ABCD 中，BE⊥AB 交对角线 AC 于点 E， 若∠1=20°，则∠2 的度数是_________.
11.若关于 x 的一元二次方程 x 3 x k 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围
m
3
n
0 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空： m =__________， n =__________； （2）补全频数统计图； （3）这 20 名“健步走运动”团队成员一天步行步数的中位数落在_________组； （4）若该团队共有 120 人，请估计其中一天行走步数不少于 7500 步的人数. 18. （9 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，点 M 是 AC 的中点，以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC，BM 于点 D，E. （1）求证：MD=ME
20. （9 分）学校准备购进一批节能灯，已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元；3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元. （1）求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只，并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量 的 3 倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.