析取范式
1.6析取范式与合取范式
再例如p→q m0∨m1∨m3 M2
主范式的用途（3）
2.判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： （1）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小 项。 （2）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项。 此时，记A的主析取范式为F。 （3）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极 小项。
例
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： （1）┐(p→q)∧q （2）p→(p∨q) （3）(p∨q)→r
解： 注意（1）（2）中含两个命题变项，演算中极小项含两个文字，而（3）
中公式含三个命题变项，因而极小项应含三个文字。
（1）┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q (p∧┐q)∧q F 这说明（1）中公式是矛盾式。 （2）p→(p∨q) ┐p∨p∨q ┐p∧(┐q∨q)∨p∧(┐q∨q)∨(┐p∨p)∧q (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)∨ (┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q) m0∨m1∨m2∨m3 这说明该公式为重言式。
n个命题变项共可产生多少个个不同的极小项？多 少个不同的极大项？
表2.3
极小项 公式 p∧q 成真赋值 0 0
由p,q形成的极小项和极大项
极大项 名称 公式 p∨q 成假赋值 0 0 名称
p∧q
p∧q p∧q
0 1
1 0 1 1
m0 m1 m2 m3
p∨q
p∨q p∨q
0 1
1 1 0 1
p∧q∧r
1 1 1
p∨q∨r
1 1 1
根据上面的两个表可以验证如下的定理： 定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的 极小项和极大项，则┐mi Mi， ┐Mi mi
求合取范式和析取范式
求合取范式和析取范式为了求得给定命题的合取范式和析取范式，我们需要将命题进行逻辑推理，并使用公式进行转换。
假设给定的命题为 P，那么我们可以将其转换为析取范式和合取范式。
首先，我们可以将命题转换为析取范式：析取范式为：P or (not P and Q) or (not P and not Q)接下来，我们可以将命题转换为合取范式：合取范式为：(P and Q) or (not P and Q) or (P and not Q)1. P and Q 命题的否定是 not P or not Q，因此可以得到 (not P or not Q)。
2. not P and Q 命题的否定是 P or not Q，因此可以得到 (P or not Q)。
3. P and not Q 命题的否定是 not P or Q，因此可以得到 (not P or Q)。
将以上三个命题组合起来，就得到了合取范式：(P and Q) or (not P and Q) or (P and not Q)。
在合取范式中，每个命题都表示一个条件，其中 P 和 Q 表示两个条件，not P 表示条件 P 的否定。
合取范式表示的是多个条件的组合，只有当所有条件都满足时，整个命题才为真。
在析取范式中，每个命题都是一个或另一个条件，其中 P 和 Q 表示两个条件，not P 表示条件 P 的否定。
析取范式表示的是多个条件的任意一个满足即可，只要有一个条件满足，整个命题就为真。
需要注意的是，一个命题的合取范式和析取范式是等价的，两者之间可以通过逻辑运算相互转换。
在实际应用中，可以根据需要选择使用合取范式或析取范式来进行逻辑推理和计算。
除了合取范式和析取范式，还有其他的逻辑范式，例如蕴含式、重写式等。
这些范式都有各自的特点和用途。
蕴含式表示的是一个命题的条件和结论之间的关系。
如果命题 P 表示“如果 A，则 B”，那么蕴含式就是 A → B。
析取范式与合取范式
1析取范式与合取范式这是命题公式的两种特殊的简明形式。
一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。
我们将学习这种转化方法及其应用。
1. 析取范式定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。
由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。
由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。
例1.2 求下列公式的析取范式。
(1) ()(2) () ()p q pp q p q →∧⌝∨∧⌝∧方法小结：（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。
（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾律、零律）练习1.3定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。
2. 合取范式定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。
由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。
例2.2 求下列公式的合取范式。
(1) ()(2) () ()p q pp q p q ⌝→∨∧∨⌝∨方法小结：（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。
（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）练习2.3定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。
3.极小项为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。
符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。
在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。
我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。
析取范式与合取范式
不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。
从表1-7.5和表1-7.6中可以看出，极大项与成假赋值的对应 关系为：变元对应0，而变元的否定对应1。
极大项的性质
极大项 p∨q p∨¬q ¬p∨q ¬p∨¬q
极大项 p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
表1-7.5
主析取和主合取范式的关系
在前面例中，求出(p→q)→r的主析取范式为： m7∨m5∨m4∨m3∨m1⇔∑1，3，4，5，7
求出该公式的主合取范式为： M0∧M2∧M6⇔∏0，2，6
¾ 比较这两个结果，得出以下的结论：同一公式的主析取 范式中m的下标和主合取范式中M的下标是互补的。因 此，知道了主析(合)取范式就可以写出主合(析)取范 式。
i=0
主析取范式
定义1-7.7 对于给定的命题公式，如果有一个它的 等价公式，仅由极小项的析取组成，称该公式 为原公式的主析取范式。
¾ 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范 式。
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。
用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加
析取范式例子
析取范式例子
1. “哎呀呀，比如‘今天要么下雨要么出太阳’，这就是个简单的析取范式例子嘛！就像你面对选择是吃蛋糕还是吃冰淇淋一样直观呀！”
2. “嘿，‘这个动物要么是猫要么是狗’，这很容易理解吧？这不就和你判断是先看电视还是先玩手机一样清晰明了嘛！”
3. “哇塞，‘他要么在教室要么在操场’，是不是一下子就懂啦？就如同你纠结是穿红色衣服还是蓝色衣服一样嘛！”
4. “哟呵，‘明天的天气要么晴天要么阴天’，这多好懂啊！就像是你决定周末是去爬山还是去逛街一样嘛！”
5. “哈哈，‘这个数要么是奇数要么是偶数’，清楚得很呢！不就像你考虑晚上吃米饭还是吃面一样简单嘛！”
6. “哎呀，‘她要么喜欢唱歌要么喜欢跳舞’，这不是很明显的析取范式嘛！简直就和你思索是打游戏还是看电影一样呀！”
我的观点结论：看，析取范式其实就在我们的生活中无处不在呀，是不是很有趣呢！。
主析取范式和主合取范式转换
主析取范式和主合取范式转换1. 介绍嘿，朋友们！今天咱们要聊聊一个有点学术但其实挺有趣的主题——主析取范式和主合取范式的转换。
听上去是不是有点高大上？别担心，咱们用最简单易懂的方式来拆解它，顺便还加点幽默，让这个过程轻松点。
你可能会想，这两者到底是什么鬼？放心，慢慢来，咱们一步步揭开谜底。
2. 主析取范式和主合取范式2.1 主析取范式首先，咱们来聊聊主析取范式，简称“析取范式”。
这个名字听上去像是个数学怪兽，其实就是把逻辑公式变成“或”的形式。
想象一下，如果你有个聚会，朋友们说：“要么喝啤酒，要么喝红酒，要么喝白酒。
”这就是典型的析取。
每种饮品都是个“选项”，大家可以随意挑，随心所欲，听起来是不是特别随意？在逻辑上，这种结构就是把多个条件用“或”连接起来，形成一个大大的“或”逻辑链。
2.2 主合取范式接下来，主合取范式，简称“合取范式”。
它就像是聚会的反面，要求所有条件都得满足。
想象你在组织一个聚会，条件是“必须有饮料、必须有零食、还得有好音乐”。
只有在这些条件都符合的情况下，聚会才能成功。
这里的“必须有”就是个“和”连接，把每个条件串在一起。
这就是合取范式，咱们的逻辑世界里最有力量的“强迫症”。
3. 转换过程3.1 如何转换好了，听到这里，你可能在想，怎么把主析取范式和主合取范式互相转换呢？简单！这就像你把同样的食材做成不同的菜。
有点复杂，但只要用心，就能搞定。
比如说，如果你有一个析取范式的逻辑表达式，比如“A或B或C”，要转换成合取范式，你需要把它变成“A且B且C”的形式。
这里的关键就是用一些逻辑规则，比如德摩根定律之类的。
虽然听起来有点技术性，但其实只要用心琢磨，就能慢慢掌握。
3.2 实际例子为了让大家更容易理解，我们来个实际例子。
假设你有个逻辑表达式：“P或Q”，你想把它转换成合取范式。
你可以引入一些新的变量，比如R和S，然后你可以说：“如果不是P，那么R成立；如果不是Q，那么S成立。
”通过这种方式，你就可以把“P或Q”表达为“不是（不是P且不是Q）”，就是把“或”的逻辑变成了“和”的逻辑。
化为析取范式例题
化为析取范式例题
化为析取范式是指将一个逻辑表达式转化为一组析取（或）关系的范式形式。
下面是一个例子：
假设有以下逻辑表达式：(p∧q)∨(¬r∧s)
首先，我们可以将表达式中的连结符号进行解释：
∧表示逻辑与（AND）
∨表示逻辑或（OR）
¬表示逻辑非（NOT）
然后，我们可以按照以下步骤将该表达式转化为析取范式（DNF）：
1. 使用分配律展开表达式：
(p∧q)∨(¬r∧s) = (p∨¬r)∧(p∨s)∧(q∨¬r)∧(q∨s)
2. 进一步展开表达式，将所有的∧（与）关系转化为∨（或）关系：
(p∨¬r)∧(p∨s)∧(q∨¬r)∧(q∨s) =
(p∨¬r∨p∨s)∧(p∨¬r∨q∨s)∧(q∨¬r∨p∨s)∧(q∨¬r∨q∨s) 3. 通过消除重复的子句，得到最简析取范式：
(p∨¬r∨s)∧(p∨¬r∨q)∧(q∨¬r∨s)
因此，将给定的逻辑表达式化为析取范式的结果是：
(p∨¬r∨s)∧(p∨¬r∨q)∧(q∨¬r∨s)。
析取范式的定义
析取范式的定义
嘿，朋友们！今天咱来唠唠析取范式这玩意儿。
你说啥是析取范式呢？咱打个比方哈，就好比你有一堆各种各样的糖果，有水果糖、牛奶糖、巧克力糖等等。
析取范式呢，就像是把这些不同种类的糖果给分类整理出来，每一类就是一个“析取项”。
比如说，在一个逻辑表达式里，它可以被拆分成好几个部分，这些部分呀，就跟那些糖果一样，各自有着自己的特点。
然后把这些部分用“或”连接起来，这就形成了析取范式啦！这是不是很好理解呀？
咱再想想，生活中是不是也有很多类似析取范式的情况呢？比如说你去超市买东西，你可以选择买面包，或者买牛奶，或者买水果，这不就是一种“析取”嘛！你总不可能同时又买面包又买牛奶又买水果吧，当然，除非你是个超级大胃王哈哈！
那析取范式有啥用呢？哎呀，用处可大了去了！就像你整理好了糖果，你就知道自己有哪些种类的糖果，能更好地分配和利用它们。
在逻辑推理中，析取范式能让我们更清楚地看到各种可能的情况，帮助我们做出正确的判断呀。
你想想，如果没有析取范式，那逻辑表达式不就乱成一团麻啦？就像你的糖果全混在一起，你都不知道自己有啥了！有了析取范式，一切都变得井井有条，多好呀！
而且哦，析取范式就像是一把钥匙，能打开逻辑世界的大门。
你掌握了它，就等于掌握了进入这个神奇世界的方法。
难道你不想在这个逻辑世界里畅游一番吗？
所以呀，可别小瞧了析取范式哦！它虽然看起来不起眼，但实际上作用大着呢！就像一颗小小的螺丝钉，看似微不足道，却能让整个机器正常运转。
咱可得好好研究研究它，把它的奥秘都给挖出来，让它为我们服务，帮我们解决问题呀！怎么样，是不是觉得析取范式挺有意思的呀？
原创不易，请尊重原创，谢谢!。
离散数学主析取范式和主合取范式
离散数学主析取范式和主合取范式好嘞，今天我们来聊聊离散数学里的主析取范式和主合取范式。
别看这名字听起来有点高大上，其实它们就像是数学里的两个小伙伴，各自有各自的特长。
先说主析取范式。
想象一下，你正在和朋友们讨论晚餐吃什么。
有人说吃披萨，有人说吃汉堡，还有人提议中餐。
每个人都在表达自己的想法，你得把这些意见整合在一起。
这就是主析取范式的味道。
它把不同的逻辑表达式用“或者”连接起来，形成一个大的表达式。
简单来说，就是“要么…要么…”的那种感觉。
就像我们平时说的“你要是去超市，就顺便帮我买点牛奶。
”这里的“要么”就是一个选项，让我们感觉选择的乐趣满满。
再看看主合取范式。
这个听起来就像个正式的聚会，但实际上，它和主析取范式有点像过年的团圆饭，大家一起吃个团圆。
主合取范式是把各种条件用“而且”连接起来，形成一个综合的表达式。
比如，你想去爬山，得有天气好、朋友愿意去、车子开得了，这样才能顺利出发。
“如果天气好，而且朋友愿意去，而且车子也没问题，那我们就去爬山！”这就是主合取范式的魅力所在。
它把多个条件紧紧相连，就像一个不可分割的整体，让人觉得踏实。
咱们说说这两者的区别。
主析取范式就像是在众多选择中找到你最喜欢的，简简单单的“或”就能让你感到满足。
而主合取范式呢，就像在拼图一样，每一块都得恰如其分地嵌进去，缺一不可。
这就让人觉得，逻辑的世界真是千变万化，特别有趣。
就像生活中的各种选择，有时候你要在“吃披萨”或者“吃汉堡”中做决定，但有时候却需要“天气好而且朋友有空而且车能开”这种条件，才敢下定决心。
说到这里，很多人可能会觉得，这些范式好像没什么太大用处。
它们就像数学中的调味料，能让复杂的逻辑问题变得清晰。
通过主析取范式和主合取范式，我们能把复杂的逻辑表达式化繁为简，抓住问题的核心。
试想一下，生活中遇到的各种选择和条件，常常让人头大。
用这些范式整理思路，真的是帮了大忙。
就像做菜时，调料一加，味道立马提升。
更有趣的是，这两个范式还可以互相转换。
析取范式
极小项
极大项
公式 ¬p∧¬ ∧¬q ∧¬ ¬p∧q ∧ p∧¬ ∧¬q ∧¬ p∧q ∧
成真赋 值 0 0 1 1 0 1 0 1
名称 m0 m1 m2 m3
公式 p∨q ∨ p∨¬ ∨¬q ∨¬ ¬p∨q ∨ ∨¬q ¬p∨¬ ∨¬
成假赋 值 0 0 1 1 0 1 0 1
名称 M0 M1 M2 M3
因为：┐┐A 因为：┐┐A⇔A ┐(A∧B)⇔┐A∨ ┐(A∧B)⇔┐A∨┐B ┐(A∨B)⇔┐A∧ ┐(A∨B)⇔┐A∧┐B 在析取范式中不出现如下形式的公式： （3）在析取范式中不出现如下形式的公式： A∧(B∨C) (B∨ 在合取范式中不出现如下形式的公式： 在合取范式中不出现如下形式的公式： A∨(B∧C) (B∧ 因为： (B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧ 因为：A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) (B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大 项由下表给出
极小项 公式 成真 赋值 名称 公式
极大项 成假 赋值 名称
∧¬r ¬p ∧ ¬q ∧¬ ¬p ∧ ¬q ∧ r ¬p ∧ q ∧ ¬r ¬p ∧ q ∧ r p ∧ ¬q ∧¬ ∧¬r p ∧ ¬q ∧ r p ∧ q ∧ ¬r p∧q∧r
定理5.1 定理5.1（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同
时含某个命题变项及它的否定。 时含某个命题变项及它的否定。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某 个命题变项及它的否定。 个命题变项及它的否定。 定义2 定义2 （1）由有限个简单合取式构成的析取式称为 析取范式。 析取范式。 （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式 析取范式与合取范式统称为范式。 （3）析取范式与合取范式统称为范式。
析取范式与合取范式
▪ 析取范式与合取范式 ▪ 主析取范式与主合取范式
1
析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式
A (pq)((qr)(qr))(su)(u(pq))
((rs)(rs))
（交换律)
B1= (pq)((qr)(qr)) ((pqr)(pqr)(qr)) （分配律）
28
例 (续)
B2= (su)(u(pq)) ((su)(pqs)(pqu))
（分配律）
B1B2 (pqrsu)(pqrsu) (qrsu)(pqrs)(pqru)
说明： 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式.
24
主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件：
(1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国？
21
主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.
22
主范式的用途(续)
A
M
j1
合取范式与析取范式
合取范式与析取范式
我们知道在离散数学中，有主合取范式与主析取范式的概念。
本文分享什么是主合取范式与主析取范式，以及如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。
首先，我们需要了解一下数学概念。
简而言之，
主合取范式，就是若干个极大项的合取（交集）。
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
主析取范式，就是若干个极小项的析取（并集）。
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
而所谓的极大项，就是包含全部数目的命题变元的析取表达式
比如：
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
所谓的极小项，就是涵盖全部数目的命题变元的谓词表达式
例如：
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面言归正传，我们看如何按步骤求解命题公式的主合取范式与主析取范式。
常用的方法存有两种，等值演算法和真值表法
等值演算法，就是按照步骤推导公式，最终得到主合取范式或者主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面，我们来举个例子，求出命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
最后，我们看看如何采用真值表方法，谋命题公式的主合取范式与主析取范式。
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
我们来看这样一个具体内容例子。
根据真值表，我们取值为0的指派，得到最大项从而写下最小项的谓词，获得主合取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。
布尔模型的析取范式
布尔模型的析取范式布尔模型的析取范式即将逻辑表达式转化为一系列的析取项的形式。
在逻辑学中，析取范式是一种重要的逻辑形式，它可以帮助我们更好地理解和处理复杂的逻辑问题。
本文将围绕布尔模型的析取范式展开探讨，从基本概念、转换方法以及应用等方面进行阐述。
我们来了解一下布尔模型的基本概念。
布尔模型是一种逻辑模型，它由命题变量和逻辑运算符组成。
在布尔模型中，命题变量可以取两个值，即真和假，用T和F表示。
逻辑运算符包括与（∧）、或（∨）和非（¬）三种。
根据这些基本概念，我们可以构建各种复杂的逻辑表达式。
接下来，我们将介绍如何将逻辑表达式转化为析取范式。
转换的基本思想是利用逻辑等价关系和德摩根定律对逻辑表达式进行变换。
首先，我们需要将逻辑表达式转化为合取范式，即将所有的析取项转化为合取项。
然后，利用德摩根定律将合取范式转化为析取范式。
这样，我们就得到了逻辑表达式的析取范式。
在实际应用中，析取范式有着广泛的应用。
首先，它可以用于逻辑推理和演绎。
通过将逻辑表达式转化为析取范式，我们可以更方便地对复杂的逻辑问题进行推理和分析。
其次，析取范式也可以用于逻辑电路的设计。
逻辑电路是计算机硬件中的重要组成部分，通过将逻辑表达式转化为析取范式，可以更好地设计和优化逻辑电路。
此外，析取范式还可以用于逻辑谓词的求解和自动推理系统的构建等方面。
总结起来，布尔模型的析取范式是一种重要的逻辑形式，它可以将逻辑表达式转化为一系列的析取项。
通过将逻辑表达式转化为析取范式，我们可以更好地理解和处理复杂的逻辑问题。
同时，析取范式在逻辑推理、逻辑电路设计等领域都有着广泛的应用。
因此，学习和掌握布尔模型的析取范式对于理解和应用逻辑学都具有重要的意义。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用布尔模型的析取范式。
布尔模型的析取范式
布尔模型的析取范式布尔模型的析取范式是一种逻辑表达式的形式，用于描述命题逻辑中的推理过程。
在布尔模型的析取范式中，逻辑表达式由多个命题变量和逻辑运算符组成，其中最常见的逻辑运算符是“或”（∨）。
通过使用布尔模型的析取范式，我们可以将复杂的逻辑关系简化为更易于理解和分析的形式。
在布尔模型的析取范式中，一个逻辑表达式可以由多个简单命题变量和逻辑运算符组成。
每个命题变量可以取两个值之一，即真（T）或假（F）。
逻辑运算符包括“或”（∨）、“与”（∧）和“非”（¬），它们用于连接命题变量以构建复杂的逻辑表达式。
例如，考虑以下逻辑表达式：A ∨ B ∨ C。
这个表达式表示了三个命题变量A、B和C之间的逻辑关系。
如果任何一个命题变量为真，则整个表达式为真。
换句话说，只要有一个命题变量为真，整个表达式就为真。
通过使用布尔模型的析取范式，我们可以分析和推理复杂的逻辑关系。
例如，假设我们有一个逻辑表达式：(A ∨ B) ∧ (C ∨ D)。
这个表达式表示了四个命题变量A、B、C和D之间的逻辑关系。
根据析取范式的规则，我们可以将这个表达式简化为两个部分：A ∨ B和C ∨ D。
这意味着，只要A或B为真且C或D为真，整个表达式就为真。
通过使用布尔模型的析取范式，我们可以进行逻辑推理和分析。
例如，假设我们有一个逻辑表达式：(A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C)。
根据析取范式的规则，我们可以将这个表达式简化为两个部分：A ∨ B和¬A ∨ C。
这意味着，只要A或B为真且非A或C为真，整个表达式就为真。
布尔模型的析取范式在计算机科学和人工智能领域有广泛的应用。
例如，在逻辑回归算法中，我们可以使用布尔模型的析取范式来表示分类模型的逻辑关系。
在知识表示和推理系统中，我们可以使用布尔模型的析取范式来表示和处理复杂的逻辑知识。
布尔模型的析取范式是一种用于描述命题逻辑中逻辑关系的形式。
通过使用布尔模型的析取范式，我们可以简化和分析复杂的逻辑表达式，进行逻辑推理和分析。
析取范式 合取范式
析取范式合取范式
范式是逻辑学中一个重要的概念，是指一种语言表达的标准形式。
其中最常见的是析取范式和合取范式。
析取范式是由若干个子句的析取所构成的范式，而合取范式则是由若干个子句的合取所构成的范式。
在逻辑学的推理中，使用范式可以方便推理过程的展开，从而更加清晰地展示出问题的本质。
对于一个给定的逻辑表达式，可以通过化简等操作将其转换为析取范式或合取范式。
析取范式和合取范式在使用中有一些区别。
例如，在使用析取范式时，主要通过将子句进行析取，从而简化逻辑表达式。
而在使用合取范式时，则主要通过将子句进行合取，从而简化逻辑表达式。
总体而言，析取范式和合取范式是逻辑学中非常重要的概念，它们可以帮助我们更好地理解和应用逻辑推理。
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析取范式和合取范式
符号逻辑中的析取范式和合取范式在符号逻辑中，析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）和合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是对命题逻辑或布尔逻辑中命题的特定形式的转换表示。
它们在逻辑推理和计算机科学中起着重要作用。
本文将详细介绍析取范式和合取范式的概念、转换过程以及其在逻辑推理中的应用。
一、析取范式（DNF）1.概念及表示方式析取范式是指一个布尔逻辑表达式的每个子表达式都是一个析取式（由多个合取项通过逻辑或（∨）连接而成）。
通常用以下形式表示一个析取范式：DNF = (P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn) ∨ (Q1 ∧ Q2 ∧ … ∧ Qm) ∨ …其中，每个Pi和Qj都是合取项，合取项由多个命题原子或其否定连接而成。
2.转换过程析取范式可以通过逻辑运算的规则进行转换，以下是常用的两个转换规则：–吸收律：P ∨ (P ∧ Q) = P–分配律：P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)通过这些规则，我们可以逐步化简一个逻辑表达式，直至获得其最简析取范式。
3.示例考虑一个逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ (R ∧ ¬T) ∨ (¬S)根据上述转换规则，我们可以将其化简为析取范式：(P ∨ R ∨ ¬S) ∧ (Q ∨ R ∨ ¬S) ∧ (P ∨ ¬T ∨ ¬S)这就是给定逻辑表达式的析取范式。
4.应用析取范式在逻辑推理和计算机科学中应用广泛。
它可以用于逻辑回路的设计、命题逻辑的定理证明和布尔代数的计算等。
二、合取范式（CNF）1.概念及表示方式合取范式是指一个布尔逻辑表达式的每个子表达式都是一个合取式（由多个析取项通过逻辑与（∧）连接而成）。
通常用以下形式表示一个合取范式：CNF = (P1 ∨ P2 ∨ … ∨ Pn) ∧ (Q1 ∨ Q2 ∨ … ∨ Qm) ∧ …其中，每个Pi和Qj都是析取项，析取项由多个命题原子或其否定连接而成。
(p→q)→r的析取范式和合取范式
(p→q)→r的析取范式和合取范式(p→q)→r的析取范式是指将(p→q)和r两个命题进行析取，得到p →(q→r)。
析取范式是逻辑学中常用的一种形式化语言，表示的意思是：如果p命题成立，则q命题也必须成立，如果q命题成立，则r命题也必须成立。
例如，如果p命题表示“今天是周五”，q命题表示“今天是工作日”，r命题表示“今天有课”，则(p→q)→r的析取范式表示的意思是：如果今天是周五，则今天一定是工作日；如果今天是工作日，则今天一定有课。
(p→q)→r的合取范式是指将(p→q)和r两个命题进行合取，得到(p →q)∧r。
合取范式是逻辑学中常用的一种形式化语言，表示的意思是：p 命题和q命题同时成立，且r命题也必须成立。
例如，如果p命题表示“今天是周五”，q命题表示“今天是工作日”，r命题表示“今天有课”，则(p→q)→r的合取范式表
继续讲 (p→q)→r 的析取范式和合取范式。
在逻辑学中，析取范式是一种常用的形式化语言，表示的意思是：如果p命题成立，则q命题也必须成立，如果q命题成立，则r命题也必须成立。
例如，假设有一个命题p表示“今天下雨”，一个命题q表示“今天湿滑”，一个命题r表示“今天需要带伞”，则(p→q)→r的析取范式表示的意思是：如果今天下雨，则今天一定湿滑；如果今天湿滑，则今天一定需要带伞。
同样的，(p→q)→r的合取范式也是一种常用的形式化语言，表示的意思是：p命题和q命题同时成立，且r命题也必须成立。
例如，假设有一个命题p表示“今天下雨”，一个命题q表示“今天湿滑”，一个命题r表示“今天需要带伞”，则(p→q)→r的合取范式表示的意思是：今天下雨，今天湿滑，且今天需要带伞。
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例 求公式(p→q)↔r的析取范式与合取范式。 解: (1)合取范式： (p→q)↔r (┐p∨q)↔ r ((┐p∨q)→ r)∧(r→(┐p∨q)) (┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) ((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) (p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
一、析取范式与合取范式
定义1： 命题变项及其否定统称作文字。 仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。 仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
例如，文字：p, ┐q, r, q. 简单析取式: p, q, p∨q, p∨┐p∨r, ┐p∨q∨┐r. 简单合取式: p, ┐r, ┐p∧r, ┐p∧q∧r, p∧q∧┐q.
例 求公式 (p→q)↔r的主析(合)取范式。 解: (1)主析取范式 由例 2.7 知，(p→q)↔r ⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) ∵ (┐p∧r)⇔┐p∧(┐q∨q)∧r ⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r) ⇔ m1∨m3 (q∧r) ⇔ (┐p∨p)∧q∧r ⇔(┐p∧q∧r)∨(p∧q∧r) ⇔ m3∨m7 （p∧┐q∧ ┐ r) ⇔ m4 ∴ (p→q)↔r ⇔m1∨m3∨m4∨m7
3. 主析取范式的用途（其主合取范式可类似论）： (1) 求公式的成真赋值与成假赋值 由上例已知. (2) 判断公式的类型,设公式A含n个命题变项，可知 （i）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个 极小项。 （ii）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何 极小项。此时，记A的主析取范式为0。 （iii）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含 一个极小项。
例如，析取范式：（┐p∧q）∨r, ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 合取范式:(p∨q∨r)∧(┐q∨r), ┐p∧q∧r, p∨┐q∨r. 定理： （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的 每个简单合取式都是矛盾式。 （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式。
研究范式的目的在于，将给定公式化成与之 等值的析取范式或合取范式。 范式的特点： 范式中不出现联结词→、，求范式时可消去： A→B┐A∨B AB(┐A∨B)∧(A∨┐B) （2）范式中不出现如下形式的公式： ┐┐A, ┐(A∧B), ┐(A∨B)
由表中看出，p→q有三个成真赋值，其主析取范式 有三个极小项，极小项的下标分别为三个成真赋值 的十进制数；p→q有一个成假赋值，其主合取范式 有一个极大项，极大项的下标为成假赋值的十进制 数。由此，我们不难得到以下结论：含n个命题变 项的公式，其主析取范式所含极小项的个数与其主 合取范式所含极大项的个数之和为2n，并且极小项 的下标分别为成真赋值的十进制数，极大项的下标 分别为成假赋值的十进制数。可见，已求出公式的 一个主范式后，可立即得到公式的另一个主范式。
试求下列公式的析取范式和合取范式
（1）（P∨Q）（PQ） 解: 原式 A( (P Q)) ∨((P∧Q) ∨(P∧Q)) (P∧Q) ∨(P∧Q) ∨(P∧Q) (P∧Q) ∨(P∧Q) A ((P∧Q) ) ∧((P∧Q)) (P∨Q) ∧(P∨Q) (P∧P) ∨(P∧Q) ∨(Q∧P) ∨(Q∧Q) (P∧Q) ∨(Q∧P) ∴ A ((P∧Q)) ∧((Q∧P)) (P∨Q) ∧(P∨Q)
第五节 析取范式与合 取范式
含n个命题变项的公式的两种规范 表示方法
了解简单析取式、简单合取式、析取范式、 合取范式的概念
深刻理解极小项、极大项的定义，名称、 下角标与成真(假)赋值的关系 熟练掌握求主析取(主合取)范式的方法。 会用主析取范式求公式的成真赋值、成假 赋值、判断公式的类型、判断两个公式是 否等值。
求A=(rp)(q(pr))主析取范式. 解 A =(rp)(q(pr)) (rp)(qp)(qr) (pr)(pq)(qr) ((pr)(qq))((pq)(rr)) ((qr)(pp)) (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m6m7 (1,3,6,7)
定理 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和 主合取范式，且是唯一的。 用等值演算法求公式的主范式的步骤： （1）先求析取范式（合取范式） （2）将不是极小项（极大项）的简单合取式（简单 析取式）化成与之等值的若干个极小项之析取（极 大项之合取），利用的等值式为同一律（零律）、 排中律（矛盾律）、分配律、幂等律等. （3）极小项（极大项）用名称mi（Mi）表示，并 按角标从小到大顺序排序.
定理 设mi和Mi是p1,…,pn 组成的极小项和极大 项，则 ┐miMi, ┐ Mi mi
2．主析(合)取范式 主析取范式：全部由极小项组成的析取范式。 主合取范式：全部由极大项组成的合取范式。 如：（p∧q）∨(p∧┐q)m2∨m3 (p∨q)∧(┐p∨q)∧(p∨┐q)M0∧M2∧M1
(3) 判断两个命题公式是否等值 由前已知，n个命题变项可组成N=2个不同的极小项 （极大项），因而可产生 C+C+…+C==2种不同的主析取范式（主合取范 式），所以，含n个命题变项的命题公式的主析取 范式（主合取范式）最多有2N种不同的情况。这与 前面讨论的真值表个数的情况是一样的。可看出： AB当且仅当A与B有相同的真值表，又当且仅当A 与B有相同的主析取范式（主合取范式）。 所以说，真值表与主析取范式（主合取范式）是描 述命题公式标准形式的两种不同的等价形式。
因为：┐┐AA ┐(A∧B)┐A∨┐B ┐(A∨B)┐A∧┐B （3）在析取范式中不出现如下形式的公式： A∧(B∨C) 在合取范式中不出现如下形式的公式： A∨(B∧C) 因为：A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C) A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)
定理 (范式存在定理)任一命题公式都存在着 与之等值的析取范式与合取范式。 求范式的步骤： 1．消去联结词→、； 2．消去否定号┐； 3．利用分配律。 命题公式的析取范式与合取范式都不是唯一 的。
用真值表法求A=(pq)(pr)(qr) 主析取范式
p
0 0 0 0 1 1 1 1
q
0 0 1 1 0 0 1 1
r
0 1 0 1 0 1 0 1
A
0 1 0 1 0 0 1 1
A的主析取范式为 (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m6m主合取范式 (pq)r (pr)(qr) pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2 qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 ②,③代入①并排序，得 (pq)r M0M2M4
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
pqr p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
极小项
极大项
公式 pq pq pq pq
成真赋 值 0 0 1 1 0 1 0 1
名称 m0 m1 m2 m3
公式 pq pq pq pq
成假赋 值 0 0 1 1 0 1 0 1
名称 M0 M1 M2 M3
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大 项由下表给出
公式所在的列有三个1，它们分别对应于编码001， 110，111，因此所求的主析取范式为： m1m6m7 即 (PQR)(PQR)(PQR)。 公式所在的列有五个0，它们分别对应于编码 000，010，011，100，101，因此所求的主合取范 式为：M0M2M3M4M5 即(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)。
定理5.1（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同
时含某个命题变项及它的否定。 （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某 个命题变项及它的否定。
定义2 （1）由有限个简单合取式构成的析取式称为 析取范式。 （2）由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式 （3）析取范式与合取范式统称为范式。
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
由上表可见: (1)n个命题变项可组成2n个不同的极小项和2n个不 同的极大项。 (2)每个极小项都有且仅有一个成真赋值，其成真赋 值对应的二进制数转化为十进制数为i，记该极小项 为mi. (3)每个极大项都有且仅有一个成假赋值，其成假赋 值对应的二进制数转化为十进制数为i，记该极大项 为Mi。
例2.13 由公式的主析取范式，求其主合取范式： (1)Am1∨m2(A中含命题变项p,q) (2)Bm1∨m2∨m3(B中含命题变项p,q,r) 解：(1)由题知，A的成真赋值为01,10,则其成假赋值 为00，11，故 AM0∧M3 (2)同理知，B的成真赋值为001，010，011，则其成 假赋值为000，100，101，110，111，因此 BM0∧M4∧M5∧M6∧M7
例 求公式(P→R)(PQ)的主析取范式和主合 取范式。
P Q R 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 PR 0 1 0 1 1 1 1 1 PQ 1 1 0 0 0 0 1 1 (PR)(PQ) 0 1 0 0 0 0 1 1
（1）（P∨Q）（PQ） 另解: A ( (P Q)) ∨((P∧Q) ∨(P∧Q)) (P∧Q) ∨(P∧Q) ∨(P∧Q) (P∧Q) ∨(P∧Q) 进而利用分配率得到 A (P∨ P) ∧(P∨Q) ∧(Q∨ P) ∧( Q∨Q) T ∧(P∨Q) ∧(Q∨ P)∧T (P∨Q) ∧(P∨Q)
（合取范式）
①
②
③
（主合取范式）
例 2.9 求p→q 的主析取范式和主合取范式 解: (1) 主合取范式 p→q ⇔ ┐p∨q ⇔ M2 (2) 主析取范式 p→q ⇔ (┐p∨q ) ⇔(┐p∧(┐q∨q ))∨((┐p∨p)∧q) ⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) ⇔ m0∨m1∨m3