球体精美课件

3
πR
1 + 2 + ⋯ + ( n − 1) [n − ] 2 n n
3 2 2 2
1 2 + 2 2 + ⋯ + ( n − 1) 2 ( n − 1) n ( 2 n − 1) = 6
球的体积
1 1 (1 − )( 2 − ) n n ] V 半球 = π R 3 [ 1 − 6 1 当 n → ∞时 , → 0. n
①
S = 4πR
球和球的性质
生 活 中 的 球
引入: 引入
问题1:圆和圆面是怎样定义的 问题1:圆和圆面是怎样定义的？ 圆和圆面是怎样定义的？ 答： 在一个平面内到一个定点的距离等于定长 1.在一个平面内到一个定点的距离等于定长 在一个平面内到一个定点的距离等于 的点的集合是一个圆． 的点的集合是一个圆． 2.在一个平面内到一个定点的距离小于或等 在一个平面内到一个定点的距离小于或等 在一个平面内到一个定点的距离 定长的点的集合是一个圆面． 于定长的点的集合是一个圆面． 谁能模仿圆和圆面给球面和球下定义？ 问题2:谁能模仿圆和圆面给球面和球下定义？
面的半径r有下面的关系： 面的半径 有下面的关系： 有下面的关系
赤道是一Ｏ Ｒ ArＯ１YOUR SITE HERE
. .
r = R −d
2
2
d
二、经线和纬线 经线：地球面从北极到南极的半个大圆。 经线：地球面从北极到南极的半个大圆。 纬线： 纬线：赤道及与赤道平面平行的截面截地球面所 得的小圆。 得的小圆。
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来． 学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法． 我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
我们把一个半径为R的圆分成若干等分， 我们把一个半径为 的圆分成若干等分，然后如上图重新拼 的圆分成若干等分 接起来， 接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是 πR 和 R 的矩形 .
那么圆的面积就近似等 于 πR 2 .
极限思想
割圆术
早在公元三世纪， 早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“ 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。 边法割圆术” 他用加倍的方式不断增加圆内接正 多边形的边数， 多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细， 积之差更小，即所谓“割之弥细， 所失弥小” 这样重复下去， 所失弥小”。这样重复下去，就达 到了“割之又割，以至于不可再割， 到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也 则与圆合体而无所失矣” 则与圆合体而无所失矣”。 采取“分割”与 采取“分割”与 这是世界上最早的“极限”思想。 这是世界上最早的“极限”思想。 “极限”思想， 极限”思想，
1.球的定义 1.球的定义
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•球的集合定义
球体： 球体：与定点 (球心 的距离等于或小于定长 (球的半径 球的半径) 球的半径 球心) 球心 的点的集合叫做球体，简称球. 的点的集合叫做球体，简称球 球面：空间中与定点的距离等于定长的所有点 球面： 的集合 注意：球面与球体是两个不同的概念， 注意：球面与球体是两个不同的概念， 它们有什么区别？ 它们有什么区别？ 球体(简称球 是实心的 球体 简称球)是实心的 球面是空心的 简称球 是实心的,
模拟演示
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球和它的性质
观察球的形成过程
球体
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面 直径为旋转轴 . 球面所围成的几何体叫做球体 球面所围成的几何体叫做球体. 球体
球的概念
1.定点叫做球心;定长叫做球的半径.
n=12
O p An A1 A2 A3
当n →∞时， → R, C正多边形→C圆 p
1 ∴S圆 = R⋅ 2πR = πR2 2
球的体积
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高； 当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
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4．球面上两点间的距离 平面上两点间的最短距离是连结这两点的线段 LOGO 的长度，而球的表面是曲面，球面上A、B两点间 的最短距离显然不是线段 AB的长度 那是什么 的长度 呢？
⌒
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过 这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把 这个弧长叫做两点间的球面距离 两点间的球面距离． 两点间的球面距离
ri = R
2
R − [ ( i − 1 )] 2 , i = 1 , 2 ⋯ , n . n
球的体积
R ri = R − [ ( i − 1 )] 2 , i = 1 , 2 , ⋯ , n n R πR 3 i −1 2 2 V i ≈ π ri ⋅ = [1 − ( ) ], i = 1, 2 ⋯ , n n n n
的平面截得的圆叫做大圆. 的平面截得的圆叫做大圆 如⊙O. 2.小圆：球面被不经过
O
m
O1
球心的平面截得的圆叫做
小圆. 小圆 如⊙O1.
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3、球的截面及其性质 、
(1) 截面是一个圆面
LOGO
(2) 球心和截面圆心的连线 垂直 于截面 (3) 球心到截面的距离d与球的半径 及截 球心到截面的距离 与球的半径R及截 与球的半径
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球的体积
设球的半径为R， 设球的半径为 ，它的体积怎么 求呢？你有什么方法吗？ 求呢？你有什么方法吗？ 事实上，如果球的半径为 ， 事实上，如果球的半径为R，那 么它的体积为： 么它的体积为：
4 3 V球 = π R 3
实验
排液法测小球的体积
h
实验
排液法测小球的体积
分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 即先把半球分割成 部分，再求出每一部分的近似体积， 部分 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑 变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积． 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
地球仪中的经纬度
本 初 子 午 线 A P
北极
LOGO
地 轴 O
道 赤 B
某地的经度： 某地的经度：
经度—— P 点的经度，也 是或 ∠AOB 的度数， 即：某地点的经度就是经过这点的经线和地轴确定的 半平面与本初子午线（即0度经线）与地轴确定的半 度经线） 度经线 平面所成二面角的平面角的度数．
∆V 设“小锥体”的体积为：i 小锥体”的体积为： 则球的体积为： 则球的体积为： V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 + ... + ∆Vn
第二步： 第二步：求近似和
∆S i
∆hi
O O
∆Vi
1 ∆Vi ≈ ∆S i ∆hi 3
由第一步得： V = ∆V1 + ∆V2 + ∆V3 + ... + ∆Vn 由第一步得：
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2.球的截面及其性质 2.球的截面及其性质
(2)与定点的距离等于 球心和截面圆心的连线垂直 于截面 球面所围成的几 (3) 球心到截面的距离 与球的半径R及截 球心到截面的距离d与球的半径 定长的所有点的集合 与球的半径 及截 面的 何体叫做球体. 何体叫做球体 大圆： 4.地球的经度与纬度 的平面截得的圆叫做大圆. 大圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 地球的经度与纬度 2 半径r的关系为 半径 的关系为：r = R − d 2 叫做球面. 叫做球面的关系为： 小圆： 小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆
北极 纬线 C A 0° ° O 赤道 B
经线 南极
某点纬度： 某点纬度： 经过该点的球半径与 赤道面所成的角的度 数(等于球半径和纬线 圈所在平面的半径的 夹角) 夹角)。 说明： 说明： 小圆半径r与球半 小圆半径 与球半 径R及纬度的关系 及纬度的关系
C
r
θ
A θ
R
B
O
r =R · cosθ
2.连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直 连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直 连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的 LOGO 径
球的直径 球心
球的半径
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观察球被平面所截发生的现象
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3.大小圆的定义
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1.大圆： 1.大圆：球面被经过球心 大圆
小 它 排 开 液 于 等 球 的 体 积
H h
体 的 体 积
曹冲称象
你还有别的方法吗？ 你还有别的方法吗？
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6 O 假设将圆n等分，则
A1
A2
S正多边形= S∆A1OA2 + S∆A2OA3 +⋯+ S∆AnOA1
1 = p( A1 A2 + A2 A3 + ⋯+ An A1 ) 2 1 = pC 正多边形 2
A A、B间的球面距离
B
θ
R
⌒的长度 = AB的长度
R ⋅θ
O
注：θ的单位为弧度 的单位为弧度
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小结
1.球的定义 1.球的定义 把地球看作一个球时， 把地球看作一个球时，经线
就是球面上从北极到南极的半个 大圆。 大圆。 赤道是一个大圆， 半圆以它的直径 赤道是一个大圆，其余的纬 与定点的距离等于 线都是小圆。 线都是小圆。 或小于定长的点的集 为旋转轴， 为旋转轴，旋转所成 合叫做球. 大小圆的定义 合叫做球 3.大小圆的定义 (1) 截面是一个圆面 的曲面叫做球面. 的曲面叫做球面