2002年全国硕士研究生入学统一数学考试
2002年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
）．
3．
yy
y2
0 满足初始条件
y(0)
1,
y(0)
1 2
的特解是（
）
4． lim 1 [ 1 cos 1 cos 2 1 cos n ] =（ ）
n n
n
n
n
0 2 2
5．矩阵 2 2 2 的非零特征值是（
）．
2 2 2
二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分．)
六、（本题满分７分）求微分方程 xdy (x 2y)dx 0 的一个解 y y(x) ，使得由曲线 y y(x) 与直线 x 1, x 2 以及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周的旋转体的体积
最小．
七、（本题满分 7 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l
为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分
（A）当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0.
x
x
（B）当 lim f (x) 存在时，必有 lim f (x) 0.
x
x
（C）当 lim f (x) 0 时，必有 lim f (x) 0.
x0
x 0
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1
2 cos2 x dx
2 1 cos x dx
1 x 2 cos dx
0
2
0
2
0
2
2 2 sin x 1 2
2
.
20
0 2 2
（5）矩阵
2002全国研究生考研数学二真题及解析
线性表出矛盾．故向量组
，
线性无关，选
1, 2, 3
2
(A) 方法 2：用排除法
B 选项：取 k
0 ，向量组
，k
1, 2, 3
1
1, 2, 3 k
1
2
即 1, 2 , 3 ，
2
2
线性相关不成
立，否则因为
， 线性相关，又
1, 2, 3
线性无关，故 可由
1, 2 , 3
线性表出．即存在常数
2
，使得
1, 2 , 3
2.
(2)【答案】 1 【详解】面积
S xe dx
xde
x
x
0
0
xe e dx
x
x
0
b
xe e
xe e
x
x
x
x
lim
0
b
0b
b
1
其中
．
lim be b lim
lim 0
洛
b
b
b
e
e
b
b
lim be b e b
11
(3)【答案】 y
x1
【详解】方法 1：这是属于缺 x 的 y
f ( y, y ) 类型．
命
dp dp dy ． dp
y p, y
p
dx dy dx
dy
原方程 yy
y 2 0 化为 yp dp p2 0 ，得
dy
p
y dp p 0
0
或
dy
p
dy 0
'
0
y
，即
，不满足初始条件
x0
dx
1
2002考研数四真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2) 已知f (x )的一个原函数为2ln x ，则()xf x dx '=⎰.(3) 设矩阵1123-⎛⎫ ⎪⎝⎭,232B A A E =-+,则1B -=.(4) 设向量组123(,0,),(,,0), (0,,)a c b c a b ααα===,线性无关,则,,a b c 必须满足关系式.(5) 设随机变量,X Y 的联合概率密度分布为则,X Y 的相关系数ρ=.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设函数()f x 连续，则在下列变上限定积分定义的函数中,必为偶函数的是 ( )(A)0[()()]xt f t f t dt +-⎰ (B)0[()()]xt f t f t dt --⎰(C)2()xf t dt ⎰(D)20()xf t dt ⎰(3) 设,A B 为n 阶矩阵, ,A B **分别为,A B 对应的伴随矩阵,分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C 的伴随矩阵C *= ( )(A)00A A B B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (B)00B B A A **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (C)00A B B A **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭, (D)00B A A B **⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(4) 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则 ( )(A)12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度. (B)12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数. (C)12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数. (D)12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度. (5) 设随机变量12,,,n X X X 相互独立,12n n S X X X =+++则根据列维—林德柏格()LevyLindberg 中心极限定理, 当n 充分大时,n S 近似服从正态分布, 只要12,,,n X X X ( )(A) 有相同的数学期望. (B) 有相同的方差.(C) 服从同一指数分布. (D) 服从同一离散型分布.三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程x y zxe ye ze -=所确定，求du .五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设闭区域22:,0.D x y y x +≤≥(,)f x y 为D 上的连续函数,且8(,)(,).Df x y f u v dudvπ=⎰⎰求(,)f x y.七、(本题满分7分)设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数:()Q Q p=,其需求弹性2220.192ppη=>-(1) 设R为总收益函数,证明(1).dRQdpη=-(2) 求6p=时,总收益对价格的弹性,并说明其经济意义.八、(本题满分6分)设函数(),()f xg x在[,]a b上连续，且()0g x>.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a bξ∈，使()()()()b ba af xg x dx f g x dxξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设四元齐次方程组()I为1231234230,20,x x xx x x x+- =⎧⎨++-=⎩且已知另一四元齐次线性方程组()II的一个基础解系为12(2,1,2,1),(1,2,4,8)T Ta aαα=-+=-+.(1) 求方程组()I的一个基础解系;(2)当a为何值时,方程组()I与()II有非零公共解?在有非零公共解时,求出全部非零公共解.十、(本题满分8分)设实对称矩阵111111aA aa⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 求可逆矩阵P，使1P A P-为对角形矩阵,并计算行列式A E-的值.十一、(本题满分8分)设A, B 是任意二事件,其中A 的概率不等于0和1,证明：(|)(|)P B A P B A=是事件A与B独立的充分必要条件.十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限，1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】22ln ln x x C -+ 【详解】用分部积分法()()()()xf x dx xdf x xf x f x dx '==-⎰⎰⎰由题设知22ln ()(ln )xf x x x '==， 所以212ln ()2ln ln ln ,xf x dx dx xd x x C x===+⎰⎰⎰所以 2()()()2ln ln xf x dx xf x f x dx x x C '=-=-+⎰⎰．(3)【答案】01211⎛⎫⎪--⎝⎭【详解】1123A -⎛⎫=⎪⎝⎭，故11221A E --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0122A E -⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以 232(2)()B A A E A E A E =-+=--110121212220-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦因为0B ≠，故B 可逆，()()1B E E B -→初等行变换(B 经过初等行变换化为单位矩阵的同时，单位矩阵化为1B -)[]21102001B E --⎡⎤= ⎢⎥⎣⎦2001122110⎡⎤⎢⎥--⎣⎦交换，行的顺序 2001210111⎡⎤+ ⎢⎥-⎣⎦行行1121001201112(1)⨯⎡⎤⎢⎥--⨯-⎣⎦行行故 1B -=01211⎛⎫⎪--⎝⎭．(4)【答案】0abc ≠【详解】方法1：由题设条件三个三维向量123,,ααα线性无关，则以123,,ααα为列向量的三阶矩阵的秩为3123,,0,ααα⇔≠(n 阶矩阵A 的秩等于n 的充要条件是0A ≠)1230,,00a b c a c bααα=222000000abc abc c a b =++⨯⨯-⨯-⨯-⨯2abc =故0abc ≠．方法2：123,,ααα线性无关则以123,,ααα为列向量的三阶矩阵的秩为3⇔齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知数的个数，故线性齐次方程组[]112233123,,0x x x x αααααα++==只有零解．⇔当齐次方程组对应矩阵为方阵时，有123,,0(())m n A r A n ααα⨯≠=时，故 1230,,00a b c a c bααα=222000000a b c a b c c a b=++⨯⨯-⨯-⨯-⨯20abc =≠(5) 【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为X0 10.4 0.6 Y1- 0 10.15 0.5 0.35由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令0()[()()]xF x t f t f t dt =+-⎰，则0()[()()]xF x t f t f t dt --=+-⎰，令t u =-，则dt du =-，所以()[()()]()[()()]xxF x t f t f t dt u f u f u du --=+-=--+-⎰⎰[()()](),xu f u f u du F x =-+=⎰所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1f t t =+．故应选(D)．(3)【答案】(D)【详解】方法1：直接算出C *因为准对角矩阵12n A A A A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭可逆的充要条件是(1,2,,)iA i n =均可逆，且有111121n A A A A ----⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故,A B 均可逆. 又1212n n A A A A A A A ==⋅，故1111000000A A A C C C A B B B B --*--⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭110000A B A B A A B B A B -*-*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故应选(D)．方法2：对四个选项逐个验算，选使2n CC C E *=(C 为22n n ⨯矩阵，故这里的单位矩阵为2n 阶方阵)成立的C *即可．对(D)有000000A B A B AA CC B A B A BB *****⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(矩阵的乘法) 00nn A B E A B E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(AA A E *=，BB B E *=)nn E A B E ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(提取公因子) 2n C E =(因为12nA A A 12n A A A =⋅，故C AB =)(4) 【答案】D【分析】函数()f x 成为概率密度的充要条件为：(1)()0;f x ≥ (2)() 1.f x dx +∞-∞=⎰函数()F x 成为分布函数的充要条件为：(1)()F x 单调不减；(2)lim ()0,lim ()1;x x F x F x →-∞→+∞==(3)()F x 右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导. 【详解】方法1：(A)选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选(B)，因为可取反例，令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度. 而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim [()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠根据排除法，答案应选(D).方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量. X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.(5)【答案】C ．【分析】列维—林德柏格()LevyLindberg 中心极限定理要求随机变量12,,,n X X X 相互独立、同分布且方差存在．当n 充分大时，12n n S X X X =+++才近似服从正态分布，故本题只要求验证满足同分布和方差存在的条件．【详解】方法1：当条件(C)成立时，同分布满足，方差存在也满足，因为指数分布的随机变量方差存在的，答案应选(C)． 方法2：条件(A)、(B)均不能保证12,,,n X X X 具有相同的分布．条件(D)不能保证方差的存在，根据排除法，唯一的正确选项只能是(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等价无穷小202arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛必达法则洛必达法则20arctan(1)2lim 3x x xx→+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y ze x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y ze x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+ 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，zy∂∂．由x y z xe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x x z z z xe e x ze e ∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y yz zz ye e y ze e∂+=-∂+，代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz z z z u xe e u ye e f f f f x ze ey ze e∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得 du 1323(1)(1)(1)(1)x y z ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ． 命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cos sin t t tC =-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【详解】令(,),Df u v dudv A =⎰⎰于是8(,).f x y A π=把8(,)f u v A π=代入(,),Df u v dudv A =⎰⎰得8DA A dudv π⎫=⎪⎭⎰⎰8D D A dudv π=-⎰⎰． 而区域D 是以(0,12)为圆心，以12为半径的半圆面(如图所示)，所以 211228Ddudv D ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰的面积sin 20Dd πθθ ⎰⎰极坐标3sin 22201(1)3d d r πθθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰sin 322201(1)3r d θπθ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰3201(1cos )3d πθθ=-⎰32011cos 323d ππθθ=⨯-⎰22011(1sin )sin 323d ππθθ=⨯--⎰32200111sin |sin |3239πππθθ=⨯-+12(),323π=- 得到 12(),323A A π=--解得 12()623A π=- 所以42(,)().323f x y ππ=-七【分析】弹性公式：||()p dQQ p dpη=【详解】(1) 总收益()(),R p pQ p = 两端对p 求导得()()1()dR dQ p dQ Q p p Q p dp dp Q p dp ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭(1) 又因为()Q p 是p 的单调减函数，故0dQ dp<，按弹性公式有()p dQQ p dp η=-，即()p dQQ p dpη=-，代入(1)，得()(1).dRQ p dpη=- (2) 总收益R 对价格p 的弹性(1)1ER p dR pQ Ep R dp R ηη==-=-2222219231192192p p p p -=-=-- 所以670.54.13p ER Ep==≈ 经济意义：当6p =时，若价格上涨1%，则总收益将增加0.54%.八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()b abaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x d x⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】(1)对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有：23101211A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1212112310-⎡⎤→⎢⎥-⎣⎦交换，行的顺序21212110132-⨯-⎡⎤→⎢⎥--⎣⎦行行 系数矩阵的秩为2，故基础解系由4-2个线性无关解向量组成，选34,x x 为自由未知量，分别取3410x x ==，及3401x x ==，，求得方程组的两个线性无关解12(5,3,1,0)(3,2,0,1)T T ββ=-=-，由此可得方程组(I)的基础解系为12(5,3,1,0)(3,2,0,1)TTββ=-=-，．(2)方法1：由题设条件，根据齐次线性方程组的解的结构，方程组(II)的通解为11221221122418k k k k a a αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1212121222(2)4(8)k k k k a k k k a k -⎡⎤⎢⎥-+⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥++⎣⎦ (数乘运算，数与向量的每个元素相乘)； (对应元素相加)方程组(I)与(II)有非零公共解，即方程组(II)的有些解也是(I)的解，把(II)的通解表达式代入方程组(I)，整理后得112(1)0()(1)(1)0a k a k a k +=⎧*⎨+-+=⎩要使方程组(I)(II)有非零公共解，只需关于12,k k 的方程组()*有非零解．所以，当1a ≠-时，由()*知120k k ==，方程组(I)与(II)无非零公共解；当1a =-时，无论12,k k 为何值，()*恒成立，(II)的通解满足方程组(I)，即方程组(II)的全部解都是(I)的解，故1a =-时，11221221121417k k k k αα-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是方程组(I)、(II)的全部非零公共解(12,k k 为不全为零的任意常数)．方法2：方程组(I)的通解为1122λβλβ+，(II)的通解为1122k k αα+，则方程组(I)(II)的公共解应满足11221122k k ααλβλβ+=+，即112211220k k λβλβαα+--=方程组(I)与(II)有非零公共解，即存在不全为零的1212,,,k k λλ使得上式成立，把1212,,,k k λλ看作未知数，问题转化为上式存在非零解，写成矩阵的形式11221212112253213212[,,,]0()10240118k k a k k a λλλλββαα--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥==*⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦对系数矩阵做初等变换5321321210240118a a --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦122111321210240118a a +-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行212111110310240118a a +-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行 121103************a a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦交换，的顺序212311103011701270118a a +⨯+-⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行行行32421103011700100001a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥+⎢⎥+⎣⎦行行行行 当1a ≠-时，系数矩阵的秩为4，()*只有零解，方程组(I)与(II)无非零公共解． 若1a =-时，系数矩阵的秩为2(小于未知量的个数)，故上述方程组()*有无穷多解，一定有非零解，即方程组(I)(II)有非零公共解，其同解方程组为1222123070k k k λλλ-+-=⎧⎨--=⎩，取12,k k --为自由未知量， 分别取1122,k c k c -=-=，解得2127,c c λ=--122122373k c c c λλ=-=--+124c c =--此时11221122k k ααλβλβ+=+，故1122c c αα--(或1122λβλβ+)，其中12,c c 是不同时为零的任意常数，为方程组(I)(II)的非零公共解．十【详解】矩阵A 的特征多项式111111aE A aaλλλλ----=----101131111a a aaλλλλ----+----行行 13112111a aa λλλ-------+列列112(1)(1)11aa a λλλ+-=----+(按第1行展开，其中11(1)+-中的两个1分别指(1)a λ--所在的行数和列数)(1)[()(1)2]a a a λλλ=----+-2(1)[()()2]a a a λλλ=---+-- (1)(1)(2)a a a λλλ=-----+2(1)(2)a a λλ=---+令0E A λ-=，得矩阵A 的特征值1231, 2.a a λλλ==+=-对于特征值121,a λλ==+ 由[(1))]0a E A X +-=，即1231111110111x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭， 系数矩阵进行初等行变换2131111111111000111000++----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭行行行行，故1111111110001111000r r ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， 基础解系中含有2个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为1230x x x --=，选23,x x 为自由未知量，取231,0x x ==和230,1x x ==，可得对应的两个线性无关的特征向量T T 12(1,1,0),(1,0,1)ξξ==对于特征值32a λ=-，由[(2))]0a E A X --=，即1232111210112x x x ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--= ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，系数矩阵做初等行变换211121112---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭12112211112--⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪--⎝⎭交换，行的顺序12121203331033--⎛⎫-⨯ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭行行行-行 1213-2033000--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭行行121130113000--⎛⎫⎪⨯- ⎪ ⎪⎝⎭行，故2111211210112112000r r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，基础解系中含有1个(未知量的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，同解方程组为12323200x x x x x --+=⎧⎨-=⎩，选3x 为自由未知量，取31x =，可得对应的特征向量T 3(1,1,1)ξ=-令矩阵123111()101,011P ξξξ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦有1112a P AP a a -+⎡⎤⎢⎥=Λ=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由A 的特征值为1,1,2a a a ++-，可得A E -的特征值为,,3a a a -. n 阶矩阵的行列式等于它的n 个特征值的乘积，所以2(3).A E a a -=-十一【详解】本题涉及条件概率及独立性．应熟记有关的公式()(|)()P AB P B A P A = 及()()()P AB P A P B =； 方法1：由(|) (|)P B A P B A =()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -⇔==- [][]()1()()()()P AB P A P A P B P AB ⇔-=-()()()P AB P A P B ⇔=所以，(|) (|)P B A P B A =是A 与B 独立的充分必要条件． 方法2：A 与B 独立，等价于A 与B 也独立， 由A 与B 独立有()()()(|) =().()()P AB P A P B P B A P B P A P A == 同理，,A B 独立有 (|) ()P B A P B =．总之，A 与B 独立，等价于A 与B 也独立，又等价于 ()(|)P B A P B A =．十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为： 1510()500x X ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y y yX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。
2002考研数一真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1)2eln dxx x+∞=⎰(2) 已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++-=确定，则''(0)y = . (3) 微分方程2'''0yy y +=满足初始条件11,'2yy x x ====的特解是 . (4) 已知实二次型222123123121323(,,)()444f x x x a x x x x x x x x x =+++++经正交变换x Py =可化成标准型216f y =，则a = .(5) 设随机变量X 服从正态分布2(,)(0),N μσσ>且二次方程240y y X ++=无实根的概 率为12，则μ=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 考虑二元函数(,)f x y 的下面4条性质：①(,)f x y 在点00(,)x y 处连续， ②(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数连续， ③(,)f x y 在点00(,)x y 处可微， ④(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在. 若用""P Q ⇒表示可由性质P 推出Q ，则有 ( ) (A) ②⇒③⇒①. (B)③⇒②⇒①. (C) ③⇒④⇒①. (D)③⇒①⇒④.(2) 设0(1,2,3,...),n u n ≠=且lim1,n nnu →∞=则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑ ( ) (A) 发散. (B)绝对收敛.(C)条件收敛. (D)收敛性根据所给条件不能判定.(3) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则 ( )(A) 当lim ()0x f x →+∞=时，必有lim '()0x f x →+∞=.(B)当lim '()x f x →+∞存在时，必有lim '()0x f x →+∞=.(C) 当0lim ()0x f x +→=时，必有0lim '()0x f x +→=. (D)当0lim '()x f x +→存在时，必有0lim '()0x f x +→=.(4) 设有三张不同平面的方程123,1,2,3,i i i i a x a y a z b i ++==它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为 ( )(5) 设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ，分布函数分别为1()F x 和2()F x ，则 ( )(A)12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度. (B)12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度. (C) 12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数. (D) 12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数，且(0)0,'(0)0,f f ≠≠若()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.四、(本题满分7分)已知两曲线()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ().n nf n→∞五、(本题满分7分)计算二重积分22max{,},x y De dxdy ⎰⎰其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤.六、(本题满分8分)设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(,)a b ，终点为(,)c d .记2221[1()][()1],L x I y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰ (1)证明曲线积分I 与路径L 无关； (2)当ab cd =时，求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数3693()13(3)!nx x x x y x x n =+++++∞<<+∞+（-）！6！9！满足微分方程''';x y y y e ++=(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为{}22(,)75D x y x y xy =+-≤，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+.(1)设00(,)M x y 为区域D 上的一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此反向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说，要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中的(,)g x y 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知4阶方阵1234(,,,),A αααα=1234,,,αααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵，(1)如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立.十一、(本题满分8分)设随机变量X 的概率密度为1cos0()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望.十二、(本题满分8分)其中0<<)2θθ（是未知参数，利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩阵估计值和最大似然函数估计值.2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】 1【详解】先将其转化为普通定积分，求其极限即得广义积分.222ee e ln 11lim lim lim lim 11ln ln ln ln ln b b b b b b b dx dx d x e x x x x x x b +∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤===-=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰(2)【答案】 -2【详解】y 是由2610ye xy x ++-=确定的x 的函数，两边对x 求导，6620,y e y xy y x ''+++=所以 62,6yy xy e x+'=-+两边再对x 求导，得 2(6)62(62)(6),(6)y y y e x y y x e y y e x ''++++''=-+（）- 把0x =代入，得(0)0y =，(0)0y '=，代入y ''，得(0)2y ''=-.(3)【答案】y =【详解】方法1：这是属于缺x 的(,)y f y y '''=类型. 命,dp dp dy dp y p y p dx dy dx dy'''====. 原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy+=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =，即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之；所以0p ≠ 所以，0dp yp dy +=，分离变量得dy dp y p =-，解之得1.C p y = 即1.C dy dx y= 由初始条件11,'2yy x x ====，可将1C 先定出来：1111,212C C ==. 于是得12dy dx y=解之得，22,y x C y =+=以01x y ==代入，得1=“+”号且21C =.于是特解是y =方法2：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=. 以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=. 即21yy '=，改写为2()1y '=. 解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =. 于是特解y =(4)【答案】2【详解】方法1：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有600T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，故1600T P AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即 600000000A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦因为矩阵的n 个特征值之和等于它的主对角元素之和，33113iii i i aa λ====∑∑，相似矩阵具有相同的特征值，316006ii λ==++=∑故有36a =，得2a =.方法2：二次型f 的对应矩阵222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即600000000A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似矩阵具有相同的特征值，知0是A 的特征值，根据特征值的定义，有00E A A -==222222a A a a =4222314242a a a a a+++把第，列加到第列 1221(4)1212a a a +提取第列的公因子12221(4)02031002a a a -+---行行行行2(4)(2)0a a =+-=，得 4a =-或2a =， (1) 又6是A 的特征值，根据特征值的定义，有60E A -=，由6226226622262622226a a E A a a a a ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减)两边取行列式，6226262226aE A a a----=------222231262226a a aa a---------把第，列加到第列1221(2)162126a a a -------提取第列的公因子12221(2)08031008a a a -------行行行行2(2)(8)0a a =--=得 2a =或8a = (2)因为(1)，(2)需同时成立，取它们的公共部分，得2a =.方法3：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即 600000000A⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似矩阵具有相同的特征值，知A 的特征值，其中一个单根是6，一个二重根应是0，直接求A 的特征值，即由222222222222a a E A a a a a λλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减)两边取行列式，222222aE A a a λλλλ----=------4222342142a a a a aλλλλλ------------把第，列加到第列1221(4)1212a aa λλλ--------提取第列的公因子12221(4)0(2)03100(2)a a a λλλ----------行行行行2[(4)][(2)]a a λλ=----其中单根为4a +，二重根为2a -，故46a +=，及20a -=，故知2a =.方法4：f 的对应矩阵为222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，经正交变换x Py =，可化成标准型216f y =，故P 为正交矩阵，有1T P P -=，且对实对称矩阵A ，有1600T P AP P AP -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，即 226220220a A a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦故()()1r A r =Λ=，222222a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22122322a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦交换第和第行的顺序222210223120222a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⨯⎢⎥--⎣⎦行行行行222320220042a a a a a⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行行2223202200(28)a a a a a ⎡⎤⎢⎥⨯--⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦行2202200(2)(4)a a a a a ⎡⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦因()1r A =，故20a -=，且(2)(4)0a a -+=，故应取2a =.(5)【答案】4.【详解】二次方程无实根，即240y y X ++=的判别式1640X ∆==-<，也就有4X >. 此事发生概率为12，即{}142P X >=， 对于2(,)(0),XN μσσ>{}12P X μ>=，因为正态分布的密度函数为22()()2x f x μσ⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭x -∞<<+∞ 关于x μ=对称；另一方面，由概率的计算公式，()f x 与x 轴所围成的面积是1，所以x μ=将面积平分为两份 {}12P X μ>=，所以4μ=.二、选择题(1)【详解】下述重要因果关系应记住，其中A B ⇒表示由A 可推出B . 无箭头者无因果关系，箭头的逆向不成立.(,)x f x y '与(,)y f x y '连续(,)f x y ⇒可微(,)(,)(,)xy f x y f x y f x y ⎧''⎪⇒⎨⎪⎩与存在连续 其中均指在同一点处. 记住上述关系，不难回答本选择题，故应选(A).(2)【详解】首先要分清绝对收敛和条件收敛的定义，通过定义判定级数的敛散性.考察原级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑的前n 项部分和1122334111111111()()()(1)()n n n n S u u u u u u u u ++=+-+++-+-+11111(1)n n u u ++=+- 由lim10n n n u →∞=>知，当n 充分大时，0n u >且lim n n u →∞=+∞. 所以11lim n n S u →∞=(收敛)，另一方面，1111()n n n u u ∞=++∑为正项级数，用比较判别法的极限形式，由题设条件lim1n nnu →∞=的启发，考虑1111111()(1)lim lim lim 1121(21)1(1)n n n n n n n n n n n n n u u u u u u u u n n n u u n n n n n ++++→∞→∞→∞+++++==+++++ 11(1)(1)[](1)lim21n n n n n u u n n n n n n n u u n +→∞+++++=+11(1)(1)lim 1211n nn nn u u n n n nu u n n n n+→∞++++==+⋅⋅+ 而级数1111111()11n n n n n n n ∞∞∞===+=+++∑∑∑是发散的，所以1111()n n n u u ∞=++∑也发散，所以选(C).(3)【详解】方法1：排斥法.令21()sin f x x x =，则()f x 在(0,)+∞有界，2221()sin 2cos f x x x x'=-+， lim ()0x f x →+∞=，但lim ()x f x →+∞'不存在，故(A)不成立；0lim ()0x f x +→=，但 0lim ()10x f x +→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B). 方法2：证明(B)正确. 设lim ()x f x →+∞'存在，记lim ()x f x A →+∞'=，证明0A =.用反证法，若0A >，则对于02Aε=>，存在0X >，使当x X >时，()2A f x A ε'-<=，即3()2222A A A AA f x A '=-<<+=由此可知，()f x '有界且大于2A.在区间[,]x X 上应用拉格朗日中值定理，有()()()()()()2Af x f X f x X f X x X ξ'=+->+-从而lim ()x f x →+∞=+∞，与题设()f x 有界矛盾.类似可证当0A <时亦有矛盾. 故0A =.(4) 【答案】(B)【详解】三张不同平面的方程分别为123,1,2,3,i i i i a x a y a z b i ++==判断三个平面有无公共点即判断方程组111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有无公共解，且方程组有多少公共解平面就有多少公共点，由于方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是23<(未知量的个数)，所以方程组有解且有无穷多解，故三个平面有无穷多个公共点，故应排除(A)三平面唯一交点(即方程组只有唯一解)(C)、(D)三平面没有公共交点(即方程组无解).故应选(B)，三个平面相交于一条直线，直线上所有的点均是平面的公共点，即有无穷多个公共点.(5)【答案】D【分析】函数()f x 成为概率密度的充要条件为：(1)()0;f x ≥ (2)() 1.f x dx +∞-∞=⎰函数()F x 成为分布函数的充要条件为：(1)()F x 单调不减； (2)lim ()0,lim ()1;x x F x F x →-∞→+∞==(3)()F x 右连续.我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导. 【详解】方法1：(A)选项不可能，因为1212[()()]()()1121f x f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=+=≠⎰⎰⎰也不能选(B)，因为可取反例，令121,101,01()()0,0,x x f x f x -<<<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他显然12()()f x f x ，均是均匀分布的概率密度. 而12()()0f x f x =，不满足12()()1f x f x dx +∞-∞=⎰条件.(C)当然也不正确，因为12lim[()()]1121x F x F x →+∞+=+=≠根据排除法，答案应选(D).方法2：令12max(,)X X X =，显然X 也是一个随机变量. X 的分布函数为{}{}{}1212()max(,),F x P X x P X X x P X x X x =≤=≤=≤≤{}{}1212()()P X x P X x F x F x =≤≤=.三【详解】方法1：由题设条件知有lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=. 又由洛必达法则，00()(2)(0)limlim(()2(2))(2)(0)h h af h bf h f af h bf h a b f h→→+-'''=+=+由于()(2)(0)af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，由高阶无穷小的定义知上式等于0，又由'(0)0,f ≠ 得20a b +=.解1020a b a b +-=⎧⎨+=⎩联立方程组得，2,1a b ==-.方法2：分别将(),(2)f h f h 按佩亚诺余项泰勒公式展开到()o h ，有1()(0)(0)()f h f f h o h '=++，2(2)(0)2(0)()f h f f h o h '=++从而 3()(2)(0)(1)(0)(2)(0)()af h bf h f a b f a b f h o h '+-=+-+++ 由题设条件知，10,20,a b a b +-=+= 所以2,1a b ==-. 方法3：由题设条件，有lim[()(2)(0)](1)(0)0h af h bf h f a b f →+-=+-=由于(0)0f ≠，所以10a b +-=. 再将1a b =-代入01lim [()(2)(0)]h af h bf h f h→+-，并凑成导数定义形式，有000()(2)(0)(1)()(2)(0)0limlim()(0)()(0)(2)(0)lim[2]2(0)(0)2(0)1)(0)h h h af h bf h f b f h bf h f h hf h f f h f f h f b b h h h f bf bf b f →→→+--+-==---=-+''''=-+=+（ 从而 2,1a b ==-.四【详解】由2arctan 0xt y e dt -=⎰知(0)0y =，由变上限积分的求导公式得2(arctan )(arctan )x y e x -''=⋅2(arctan )21,1x e x-=+ 所以 2(arctan0)210110y e-'==+（） 因此，过点(0,0)的切线方程为.y x = ()y f x =在点(0,0)处与上述曲线有相同的切线方程，于是(0)0,(0)1f f '==.2()(0)2lim ()lim 1n n f f nnf nn→∞→∞-=2()(0)2lim 2n f f n n →∞-=2(0)2f '==五【详解】应先将{}22max ,x y e写成分块表达式. 记{}{}12(,)01,0,(,)01,1D x y x y x D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤于是 {}2222max ,12(,);(,).x x y y ex y D e ex y D ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩从而{}{}{}222222221212max ,max ,max ,x y x y x y x y DD D D D ed ed ed e d e d σσσσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22111xx y dx e dy dy e dx =+⎰⎰⎰⎰2211x y e xdx e ydy =+⎰⎰212x e xdx =⎰212x e dx =⎰21x de =⎰210|x e =(1)e =-六【详解】(1) 记21(,)[1()]P x y y f xy y =+，22(,)[()1]xQ x y y f xy y=- 22([()1])x y f xy Qy xx∂-∂=∂∂2222()([()1])([()1])x x y f xy y y f xy x y x ∂∂-=⨯-+⨯∂∂22221(()([()1])x y f xy y f xy y y x ∂=⨯-+⨯∂21()()()xy f xy x f xy y x∂'=-+⨯∂ 21()()f xy xyf xy y '=+-21([1()])y f xy P yyy ∂+∂=∂∂221()1([1()])([1()])y f xy y y f xy y y y∂∂+=++∂∂222211()1(())([1()])()y f xy y f xy f xy y y y y y y∂∂=-+++⨯⨯∂∂21()()()f xy f xy xyf xy y'=--++ 所以，(0)Q Py x y∂∂=>∂∂当. 故在上半平面(0y >)，该曲线积分与路径无关. (2)方法1：由该曲线积分与路径无关而只与端点有关所以用折线把两个端点连接起来. 先从点(,)a b 到点(,),c b 再到点(,)c d . 有2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dy by =++-⎰⎰()]()c d a b c a c cbf bx dx cf cy dy b d b-=+++-⎰⎰经积分变量变换后，()cd ab c a I f t dt d b =-+⎰. 当ab cd =时，推得c aI d b=-.方法2:原函数法.2221[1()][()1]L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰2()()()()()LL L L ydx xdy xf xy ydx xdy d f xy d xy y y-=++=+⎰⎰⎰⎰ 由原函数法计算第二型曲线积分的公式(与定积分的牛顿—莱布尼茨公式类似)，有(,)();(,)L c d x x c ad a b y y d b ==-⎰(,)()()()()()0,(,)Lc d f xy d xy F xy F cd F ab a b ==-=⎰其中()F u 为()f u 的一个原函数，即设()()F u f u '=.由此有c aI d b=-. 方法3：由于与路径无关，又由ab cd =的启发，取路径xy k =，其中k ab =. 点(,)a b 与点(,)c d 都在此路径上. 于是将kx y=代入之后，22221[(1())()(()1)]d a k kI y f k y f k dy y y y=+-+-⎰32()dbk dy y =-⎰2dk by =22k k d b =-22cd ab d b =-.c a d b =-七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!nnn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑+！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为12-±，所以其通解为 212[]xy e C x C -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[cossin ]223x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022*********[cos 0sin 0]22331110(20(2022222231123e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-⨯+⎨⎪⎪⎪=-+⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为22133x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211().(3)!33xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】(1)根据方向导数和梯度的定义，知方向导数的最大值是梯度的模长，()00,(,)x y gradh x y {}0000(,)(,)0000|,|2,2.y x y x h hy x x y x y ⎧⎫∂∂==--⎨⎬∂∂⎩⎭()()0000,,max(,)x y x y u gradh x y l∂==∂00(,).x y =(2) 命2(,)(,)f x y g x y ==22558x y xy +-，求f 在约束条件22750x y xy --+=下的最大值点. 为此，构造拉格朗日函数2222(,,)558(75)F x y x y xy x y xy λλ=+-+--+则 108(2)0x F x y y x λ'=-+-令，108(2)0y F y x x y λ'=-+-令，22750F x y xy λ'=--+令.由第1、第2 两式相加可得 ()(2)0x y λ+-=. 从而得y x =-或2λ=，再分别讨论之.若2λ=，则解得1(,)x y = 或 2(,)(x y =-- 若y x =-，则解得3(,)(5,5)x y =- 或 4(,)(5,5)x y =- 于是得到如上4个可能极值点. 将(,)i x y 记为(1,2,3,4)i M i =. 由于1234()()150,()()450f M f M f M f M ====故点34(5555M M =-=-，）,（，）可作为攀登起点.九【详解】方法1：记[]1234,,,A αααα=，由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1α可以由234,,ααα线性表出，故1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++即β可由1234,,,αααα线性表出，知[][][][]12341234123,,,,,,,(),,3r A r r r A r βααααβααααααα=====系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故Ax β=有解.对应齐次方程组0Ax =，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成k ξ，η*是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知Ax β=的通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程组0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解，因123420,αααα=-+故[]123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的一个非零解向量，因为0Ax =的基础解系中只含有一个解向量，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1111A β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+.(其中k 是任意常数) 方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =，则线性非齐次方程为[]1234,,,Ax x αααα=[]12123434,,,x x x x αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11223344x x x x ααααβ=+++=已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得23122334423234(2)(2)x x x x αααααααααα-+++=-+++⇒21312233442323424223x x x x x αααααααααααα-+++=-+++=+ ⇒12231334424(2)30x x x x x αααααα+-++--= ⇒12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得2233440k k k ααα++=，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 其系数矩阵为210010100001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，因为3阶子式10001010001=≠，其秩为3，故其齐次线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+故方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.(其中k 是任意常数)十【详解】(1) 因AB ，由定义知，存在可逆阵P ，使得1P AP B -=，故1111()E B E P AP P P P AP P E A P λλλλ-----=-=-=-1P E A P E A λλ-=-=-故,A B 有相同的特征多项式.(2) 取0001,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，2201,00E A E B λλλλλλλλ--==-==，则有2,,E A E B A B λλλ-==-有相同的特征多项式，但A 不相似于B ，因为对任何的2阶可逆阵P ，均有11P AP P OP O B --==≠，故(1)的逆命题不成立.(3) 即要证如果,A B 的特征多项式相等，则,A B 相似.当,A B 都是实对称矩阵时，,A B 均能相似于对角阵，且该对角阵的对角线元素由,A B 的特征值组成. 若,A B 有相同的特征多项式，则,A B 有相同的特征值(包含重数)，故,A B 将相似于同一个对角阵. 设特征值为12,,,n λλλ，则有1122,n n A B λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由相似的传递性，知A B . (1)的逆命题成立.十一【答案】5.【详解】如果将观察值大于3π这事件理解为试验成功的话，则Y 表示对X 独立地重复试验4次中成功的次数.即是(4,)YB p ，其中{}p P X π=>由一维概率计算公式，{}()bX aP a X b f x dx ≤≤=⎰，有3311()cos 3222x p P X f x dx dx ππππ+∞⎧⎫=>===⎨⎬⎩⎭⎰⎰，所以，1(4,)2Y B ~.由公式22()[()]()D Y E Y E Y =-以及若(,)Y B n p ~，其数学期望和方差分别为();()E Y np D Y npq ==，其中1.q p =-得 2222111()()[()]()4(4) 5.222E Y D Y E Y npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数.【详解】矩估计：由离散型随机变量期望的定义1()()niii E X x P X x ===∑，有：22()012(1)23(12)34E X θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-样本均值11n i i X X n ==∑1(31303123)28=⨯+++++++=用样本均值估计期望有 EX X =，即342θ-=. 解得的矩估计值为1.4θ∧=由离散型随机变量似然函数的定义：设 12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的一组观测值，则似然函数为：200221 121()(,,,;)(;)nn i i L P x x x P x θθθ===∏由于样本值中0出现一次，故用0的对应概率2θ一次. 样本值中数值1出现二次，故用两个21-θθ（）相乘，数值2出现一次，故用2的对应概率2θ一次，数值3出现四次，故用1-2θ4（）.总之，对于给定的样本值的似然函数为： []2224624()21-(12)4(1)(12)L θθθθθθθθθ=⋅⋅⋅-=--（）()0L θ>，等式两边同取自然对数得ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L θθθθ=++-+-ln ()L θ和()L θ在θ的同一点取得最大值，所以2ln ()62862824112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=---- 令ln ()0d L d θθ=，解得1,2712θ±=因71122+>与题目中10<<2θ矛盾，不合题意，所以θ的最大似然估计值为θ∧=。
2002年全国硕士研究生入学统一数学考试
r (A) = 3,且 A中任两个平行向量都线性无关.
类似地,(D)中有两个平面平行,故 r (A) = 2 , r (A) = 3 ,且 A中有两个平行向量 共线.
1 n→ +∞
un
n
lim 1 u n→ +∞
n
= 0, 不妨认为 ∀n, un
> 0, 因而所考虑级数是交错级数,但不能保证 1 的单 un
调性. 按定义考察部分和
∑ ∑ ∑ Sn
=
n (−1)k+1 ( 1
k =1
uk
+ 1 )= u k +1
n k =1
(− 1)k+1 1 uk
+
n k =1
方程,并求极限 lim nf ( 2) .
n→∞
n
五、(本题满分 7 分)
∫∫ 计算二重积分 emax{x 2 ,y d 2} xdy ,其中 D = {( x, y) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} . D
六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在 R 上具有一阶连续导数, L 是上半平面( y >0)内的有向分段光
(A)当 lim f (x) = 0 时,必有 lim f ′(x) = 0
x→ +∞
x→ +∞
有 lim f ′(x) = 0 x→ +∞
(C) 当 lim f ( x) = 0 时,必有 lim f ′( x) = 0
x →0+
考研真题【1987-2002考研数(三)真题及解析】2002考研数三真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设常数12a ≠，则21lim ln .(12)nn n na n a →∞⎡⎤-+=⎢⎥-⎣⎦(2)交换积分次序：111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰.(3) 设三阶矩阵122212304A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，三维列向量(),1,1T a α=.已知A α与α线性相关，则 a =.(4)则2X 和2Y 的协方差22cov(,)X Y =.(5) 设总体X 的概率密度为(),,(;)0,x e x f x x θθθθ--⎧≥=⎨<⎩若若而12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上有定义，在开区间(,)a b 内可导，则 ( )(A)当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. (B)对任何(,)a b ξ∈，有lim[()()]0x f x f ξξ→-=.(C)当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'=. (D)存在(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=-.(2) 设幂级数1nn n a x ∞=∑与1nn n b x ∞=∑13，则幂级数221nn i na xb ∞=∑的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B)(C) 13 (D)15(3) 设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则线性方程组()0AB x = ( )(A)当n m >时仅有零解 (B)当n m >时必有非零解(C)当m n >时仅有零解 (D)当m n >时必有非零解(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的 特征向量，则矩阵()1TP AP-属于特征值λ的特征向量是 ( )(A) 1P α- (B) TP α (C)P α (D)()1TP α-(5) 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则 ( )(A)X Y +服从正态分布 (B)22X Y +服从2χ分布(C)2X 和2Y 都服从2χ分布 (D)22/X Y 服从F 分布三、(本题满分5分)求极限 200arctan(1)lim(1cos )xu x t dt du x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦-⎰⎰四、(本题满分7分)设函数(,,)u f x y z =有连续偏导数，且(,)z z x y =由方程xyzxe ye ze -=所确定，求du . 五、(本题满分6分)设2(sin ),sin x f x x =求()x dx . 六、(本题满分7分)设1D 是由抛物线22y x =和直线,2x a x ==及0y =所围成的平面区域；2D 是由抛物线22y x =和直线0y =,x a =所围成的平面区域，其中02a <<.(1)试求1D 绕x 轴旋转而成的旋转体体积1V ；2D 绕y 轴旋转而成的旋转体体积2V ； (2)问当a 为何值时，12V V +取得最大值？试求此最大值.七、(本题满分7分)(1)验证函数()()3693()13!6!9!3!nx x x x y x x n =+++++++-∞<<+∞满足微分方程x y y y e '''++=(2)利用(1)的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.八、(本题满分6分)设函数(),()f x g x 在[,]a b 上连续，且()0g x >.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点[,]a b ξ∈，使()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.九、(本题满分8分)设齐次线性方程组1231231230,0,0,n n n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩其中0,0,2a b n ≠≠≥，试讨论,a b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.十、(本题满分8分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件220A A +=，已知A 的秩()2r A = (1)求A 的全部特征值(2)当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分)假设随机变量U 在区间[]2,2-上服从均匀分布，随机变量1,1-1,11,1;1,1;U U X Y U U -≤-≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩若若若若试求：(1)X 和Y 的联合概率分布；(2)()D X Y +. 十二、(本题满分8分)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间()E X 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()F y .2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题 (1)【答案】112a- 【详解】ln “”里面为1∞“”型，通过凑成重要极限形式来求极限， 1(12)12211limln limln 1(12)(12)nn a an n n na n a n a -⋅-→∞→∞⎡⎤⎡⎤-+=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦(12)11lim ln 112(12)n a n a n a -→∞⎡⎤=+⎢⎥--⎣⎦11ln 1212e a a==--．(2)【答案】2120(,)xxdx f x y dy ⎰⎰【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域1D 与2D ，将它们的并集记为D ． 于是111422104(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰(,)Df x y d σ=⎰⎰．再将后者根据积分定义化为如下形式，即2102x y x x →→从，从，所以2120(,)(,).xxDf x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰⎰(3)【答案】1- 【详解】122212123,304134a a A a a α-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于A α与α线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有233411a a a a ++==，得 2334, 1.a a a +=+=- 或,(0)A k k αα=≠(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出)即 231341a a a k a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得2334a ka a k a k =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，得 1.(1)a k =-=(4)【答案】0.02-．【详解】2X 、2Y 和2X 2Y 都是01-分布，而01-分布的期望值恰为取1时的概率p ．由离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布表可得2X 的可能取值为0和1，且2Y 的可能取值也为0和1，且X 和Y 的边缘分布为{}00.070.180.150.4P X ==++=；{}10.080.320.200.6P X ==++=； {}10.070.080.15P Y =-=+=；{}00.180.320.5P Y ==+=； {}10.150.200.35P Y ==+=；故有{}{}220,00,00.18,P X Y P X Y ======X0 10.4 0.6Y 1- 0 10.15 0.5 0.35{}{}{}220,10,10,10.070.150.22,P X Y P X Y P X Y =====-+===+= {}{}221,01,00.32,P X Y P X Y ======{}{}{}221,11,11,10.080.200.28,P X Y P X Y P X Y =====-+===+=而边缘分布律：{}{}2000.4P X P X ====，{}{}2110.6P X P X ====， {}{}2000.5P Y P Y ====，{}{}{}21110.150.350.5P Y P Y P Y ===-+==+=所以，22(,)X Y 的联合分布及其边缘分布为由上表同理可求得22X Y 的分布律为所以由01-分布的期望值恰为取1时的概率p 得到：2222222222()0.5()0.60,(0.28cov ()()0.280.60.50.02E X E Y E X Y X Y E X Y E X E Y ====-=-⨯=-，）（，）（）(5)【答案】1X -．【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 ()()()1x E X xf x dx xe dx θθθ+∞+∞---∞===+⎰⎰样本均值 11ni i X X n ==∑用样本均值估计期望有 EX X =，即 111ni i X n θ=+=∑，解得未知参数θ的矩估计量为 11ˆ11n i i X X n θ==-=-∑．二、选择题 (1)【答案】(B)【详解】方法1：论证法．由题设()f x 在开区间(,)a b 内可导，所以()f x 在(,)a b 内连续，因此，对于(,)a b 内的任意一点ξ，必有lim ()().x f x f ξξ→= 即有lim[()()]0x f x f ξξ→-=．故选(B)．方法2：排除法．(A)的反例：1(,]()1x a b f x x a ∈⎧=⎨-=⎩，有()1,()1,()()10f a f b f a f b =-==-<，但()f x 在(,)a b 内无零点．(C)与(D)的反例，(1,1]()11xx f x x ∈-⎧=⎨=-⎩ (1)(1)1f f -==，但()1f x '=(当(1,1)x ∈-)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)．(2)【答案】(D)【详解】方法1：A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，则AB 是m 阶方阵，因()min((),())r AB r A r B ≤．当m n >时，有()min((),())r AB r A r B n m ≤≤<．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组()0AB x =必有非零解，故应选(D)．方法2：B 是n m ⨯矩阵, 当m n >时,，则()r B n =，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组0Bx =必有非零解，即存在00x ≠，使得00Bx =，两边左乘A ，得00ABx =，即0ABx =有非零解，故选(D)．(3)【答案】(B)【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故TA A =．设()1TP APB -=，则111()TTT T T T T B P A P P AP P A P ---===上式左乘1T P-，右乘TP ，得111()()()T T T T T T P BP P P A P P ---=，即1T T A P BP -=，所以 1()T T A P BP ααλα-==两边左乘T P ，得 1()()T T T T P P BP P αλα-=得()T TB P P αλα=根据特征值和特征向量的定义，知1()TB P AP -=的对应于特征值λ的特征向量为T P α，即应选(B)．方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，A αλα=，A 是n 阶实对称矩阵，故T A A =．设()1TP AP -属于特征值λ的特征向量为ξ，即()1TP APξλξ-=，其中()111TTTT T T P AP P A P P AP ---==对(A)，即令1P ξα-=，代入111()TT P AP P P αλα---≠对(B)，1()TT T P AP P α-1()TT T P A P P α-=1[())]T T TP A P P α-=TP A α=()T P λα=成立．故应选(B)．(4)【答案】C【分析】(i)2χ变量的典型模式是：222212n X X X χ=+++，其中i X 要求满足：i X 相互独立，(0,1)iX N ．称2χ为参数为n 的2χ变量．(ii) F 变量的典型模式是：12//X n F Y n =，其中,X Y 要求满足：X 与Y 相互独立，2212(),()Xn Yn χχ，称F 为参数为()12,n n 的F 变量．【详解】方法1：根据题设条件，X 和Y 均服从(0,1)N ．故2X 和2Y 都服从2(1)χ分布，答案应选(C)．方法2：题设条件只有X 和Y 服从(0,1)N ，没有X 与Y 的相互独立条件．因此，2X 与2Y的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确．题中条件既没有X 与Y 独立，也没有(,)X Y 正态，这样就不能推出X Y +服从正态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)．三【详解】22000003arctan(1)arctan(1)limlim 1(1cos )2xu x u x x t dt du t dt du x x x→→⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎰⎰⎰⎰等 22arctan(1)lim32x x t dt x →+⎰洛洛20arctan(1)2lim 3x x x x →+⋅2346ππ=⋅=．四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分．123du f dx f dy f dz '''=++(,)z z x y =由x y z xe ye ze -=所确定，两边求全微分，有()()()()()x y z x y z d xe ye d ze d xe d ye d ze -=⇒-= x x y y z z xe dx e dx ye dy e dy ze dz e dz ⇒+--=+，解出 (1)(1),(10).(1)x y z e x dx e y dydz z e z +-+=+≠+设 所以 du =123(1)(1)(1)x y z e x dx e y dyf dx f dy f e z +-+'''++⨯+1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦ 方法2：1323,u z u zf f f f x x y y∂∂∂∂''''=+=+∂∂∂∂(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到z x ∂∂，z y∂∂．由x y zxe ye ze -=两边对x 求偏导数，有 (),x x z z z xe e ze e x∂+=+∂ 得x xz zz xe e x ze e∂+=∂+，(10)z +≠设．类似可得，y y z z z ye e y ze e ∂+=-∂+，代入,u u x y ∂∂∂∂表达式 1323(),()x xy yz zz zu xe e u ye e f f f f x ze e y ze e ∂+∂+''''=+⋅=-⋅∂+∂+， 再代入 u udu dx dy x y∂∂=+∂∂中，得du 1323(1)(1)(1)(1)x yz ze x e yf f dx f f dy e z e z ⎡⎤⎡⎤++''''=++-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦．五【详解】首先要从2(sin )sin xf x x=求出()f x ． 命2sin u x =，则有sin x =x =()f u =(通过换元求出函数的表达式)arcsin ()x f x dxx == sin 2sin cos cos ttt tdt t⎰(换元积分法) sin t tdt =2⎰[]2cossin t t t C=-++(分部积分法)2C ⎡=+⎣．六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积2()baV f x dx π=⎰.【详解】(1) ()2225142(32)5aV xdx a ππ==-⎰22222420202a V a a x dy a a πππ=-=<<⎰．(2) 54124(32)5V V V a a ππ=+=-+ 根据一元函数最值的求法要求驻点，令34(1)0dVa a daπ=-=, 得1a =. 当01a <<时0dV da >，当12a <<时0dVda<，因此1a =是V 的唯一极值点且是极大值点，所以是V 的最大值点，129max 5V π=．七【解】(1) 369331()113(3)!(3)!nnn x x x x x y x n n ∞==+++++=+∑+！6！9！，由收敛半径的求法知收敛半径为∞，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得3311()(1)(3)!(3)!nn n n x x y x n n ∞∞=='⎛⎫''=+= ⎪⎝⎭∑∑3113(3)!n n nx n -∞==∑311(31)!n n x n -∞==-∑，同理得 321(32)!n n x y n -∞=''=-∑从而 ()()()y x y x y x '''++32313111()()(1)(32)!(31)!(3)!n n nn n n x x x n n n --∞∞∞====+++--∑∑∑ 11!nn x n ∞==+∑(由x e 的麦克劳林展开式)x e =这说明，30()(3)!n n x y x n ∞==∑是微分方程xy y y e '''++=的解，并且满足初始条件310(0)1(3)!n n y n ∞==+∑1=，3110(0)(31)!n n y n -∞='=-∑0=. (2)微分方程xy y y e '''++=对应的齐次线性方程为0y y y '''++=，其特征方程为210λλ++=，其特征根为12-±，所以其通解为212[cossin ]22xy e C x C x -=+. 另外，该非齐次方程的特解形式为xy ce =，代入原非齐次方程得x x x xce ce ce e ++=，所以13c =.故微分方程xy y y e '''++=的通解为2121[sin ]3x x y e C x C x e -=++. 故22121211[cossin ][sin cos ]2222223x xx y e C x C x e C x x e --'=-⨯++-⨯++222112111(2(22222223x x x e C C x e C C x e --=-⨯-⨯-⨯-⨯+由初始条件(0)1,(0)0y y '==得0212100022211212111[00]331110(20(2022311223e C C e C e C C e C C e C C ---⎧=++=+⎪⎪⎪=-⨯--⨯-+⎨⎪⎪⎪=-++⎩解得11211311023C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 于是得到惟一的一组解：122,0.3C C ==从而得到满足微分方程x y y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，只有一个，为221cos 323x x y e x e -=+另一方面，由(1)已知30()(3)!n n x y x n ∞==∑也是微分方程xy y y e '''++=及初始条件(0)1,(0)0y y '==的解，由微分方程解的唯一性，知321211cos ().(3)!323xn x n x e x e x n ∞-=+=+-∞<<+∞∑八【详解】方法1：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，所以存在1x 2x 使得1[,]()max ()x a b f x M f x ∈==，2[,]()min ()x a b f x m f x ∈==，满足()m f x M ≤≤．又()0g x >，故根据不等式的性质()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤根据定积分的不等式性质有()()()(),b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰所以 ()().()babaf xg x dxm M g x dx≤≤⎰⎰由连续函数的介值定理知，存在[,]a b ξ∈，使()()()()babaf xg x dxf g x dxξ=⎰⎰即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．方法2：因为()f x 与()g x 在[],a b 上连续，且()0g x >，故()()baf xg x dx ⎰与()bag x dx ⎰都存在，且()0.bag x dx >⎰记()()()babaf xg x dxh g x dx=⎰⎰，于是()()()(),bbbaaaf xg x dxh g x dx hg x dx ==⎰⎰⎰即(())()0baf x hg x dx -=⎰因此必存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=．不然，则在(,)a b 内由连续函数的零点定理知要么()f x h -恒为正，从而根据积分的基本性质得(())()0ba f x h g x dx ->⎰；要么()f x h -恒为负，同理得(())()0baf x hg x dx -<⎰，均与(())()0baf x hg x dx -=⎰不符．由此推知存在(,)a b ξ∈使()f h ξ=，从而()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰．九【详解】方法1：对系数矩阵记为A 作初等行变换21311000000n a b b b a b b b b a b b b a a b A bb a b b a a b b b ba b a a b -- -⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭行行行行行行当(0)a b =≠时，()1,0r A AX ==的同解方程组为120n x x x +++=，基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…,230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++，其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数．当a b ≠时，000000ab b b b a a bA b a a bb a a b ⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪→-- ⎪⎪⎪--⎝⎭23110010101001a b a b n a b a b bb ---⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行/()行/()行/() 12131(1)000110010101001bb n ba n b-⨯-⨯-⨯+-⎛⎫⎪-⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行行行行行行 当a b ≠且(1)a n b ≠--时，(1)0A a n b =+-≠，(),0r A n AX ==仅有零解. 当(1)a n b =--时，()1,0r A n AX =-=的同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨⎪⎪-+=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．方法2：方程组的系数行列式a b b bb a b b A b b abb b ba=(1)(1)2...(1)1(1)a n b b bb a n ba b b n a n b b ab a n b b ba+-+-+-+-把第，，列加到第列111[(1)]11b bb a bb an b b ab b ba +-提取第列的公因子 1210003-1[(1)]000-1000bbb a b an ba bna b--+---第行第行第行第行第行第行1[(1)]()n a n b a b -=+--(1)当a b ≠且(1)a n b ≠--时，0A ≠，()r A n =方程组只有零解． (2)当(0)a b =≠时，a a a a a a a a A a a a a a a aa ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21000031000010000a a aa n ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第行第行第行第行第行第行111100001100000000a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦第行 方程组的同解方程组为120n x x x +++=基础解系中含有1n -个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取23,,...,n x x x 为自由未知量，分别取231,0,...,0n x x x ===，230,1,...,0n x x x ===，…, 230,0,...,1n x x x ===得方程组1n -个线性无关的解[][][]1211,1,0,,0,1,0,1,0,,0,,1,0,,0,1T T Tn ξξξ-=-=-=-，为基础解系，方程组0AX =的全部解为112211n n X k k k ξξξ--=+++，其中(1,2,1)i k i n =-是任意常数．(1)当(1)(0)a n b b =--≠时，(1)(1)(1)(1)n bb b bbn b b b A b b n bb b b b n b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭1,2,...,11111111111111111n bn n nn ⨯-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别111121003100100n n n n nn n n -⎛⎫-⎪-⎪- ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭行行行行行行 111111002,...,101011001n n n -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⨯⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭行分别000011002,...,10101001n ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭把第行都依次加到第1行 ()1r A n =-，其同解方程组是121310,0,0,n x x x x x x -=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩…… 基础解系中含有1个线性无关的解向量，取1x 为自由未知量，取11x =，得方程组1个非零解[]1,1,,1Tξ=，即其基础解系，故方程组的全部解为X k ξ=，其中k 是任意常数．十【详解】(1) 设λ是A 的任意特征值，α是A 的属于λ的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 ,0,A αλαα=≠ ①两边左乘A ，得 2A αA λαλλα==2λα= ②②+2*①得 ()()2222A Aαλλα+=+因220A A +=，0α≠，从而上式()()22220A Aαλλα+=+=，所以有220λλ+=，故A 的特征值λ的取值范围为0,2-．因为A 是实对称矩阵，所以必相似于对角阵Λ，且Λ的主对角线上元素由A 的特征值组成，且()()2r A r =Λ=，故A 的特征值中有且只有一个0.(若没有0，则222-⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，故()()3r A r =Λ=与已知矛盾；若有两个0，则200-⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()1r A r =Λ=与已知矛盾；若三个全为0，则000⎡⎤⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故()()0r A r =Λ=与已知矛盾). 故220A -⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦即A 有特征值1232,0λλλ==-=．(2)A kE +是实对称矩阵，A 有特征值1232,0λλλ==-=，知A kE +的特征值为2,2,k k k --．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故A kE +正定200k k ->⎧⇔⎨>⎩2k k >⎧⇔⎨>⎩2k ⇔> 故2k >时A kE +是正定矩阵．十一【分析】(,)X Y 有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与U 的值有关．U 的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可．【详解】(,)X Y 只有四个可能值(1,1),(1,1),(1,1)(1,1)----和．依照题意，有{}{}{}1(2)11,11,11;2(2)4P X Y P U U P U ---=-=-=≤-≤=≤-==--{}{}{}1,11,10;P X Y P U U P =-==≤->=∅= {}{}{}11,11,111;2P X Y P U U P U ==-=>-≤=-<≤={}{}{}11,11,11.4P X Y P U U P U ===>->=>=于是，(,)X Y 分布为(2) 因为22()()[()]D X Y E X Y E X Y +=+-+，所以我们应该知道X Y +和2()X Y +的分布律．对离散型随机变量，X Y +的取值可能有2,0,2;-2()X Y +的取值可能有0和4；{}{}121,1,4P X Y P X Y +=-==-=-={}{}{}1101,11,10,22P X Y P X Y P X Y +====-+=-==+= {}{}121,1,4P X Y P X Y +=====(){}{}2100,2P X Y P X Y +==+==(){}{}{}214222P X Y P X Y P X Y +==+=-++==．X Y +和2()X Y +的分布律分别为和所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有：{}1()nk k k E X x P X x ==⋅=∑所以有，2224()0,()2442E X Y E X Y +=-+=+==． 22()()[()]2D X Y E X Y E X Y +=+-+=十二【详解】首先找出随机变量Y 的表达式． Y 由X 和2(小时)来确定，所以min(,2)Y X =．指数分布的X 的分布参数为 11,()5E X λ==其密度函数为：1510()500x X ex f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩其中0λ>是参数由分布函数的定义：{}{}()min(,2)F y P Y y P X y =≤=≤(1) 当0y <时，()0Y F y =(因为{}min ,2Y X =，其中X 和2都大于0，那么小于0是不可能事件)(2) 当2y ≥时，()1Y F y =(因为{}min ,2Y X =最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件)(3) 当02y ≤<时, {}{}{}()min(,2)F y P Y y P X y P X y =≤=≤=≤115501()15x y yyX f x dx e dx e ---∞===-⎰⎰所以1500()10212y Y y F y e y y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。
2002年考研数学(三)真题及详细解析
2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数12a ≠，则21lim ln[]________(12)n n n na n a →∞-+=-. 【分析】将所求极限转换为1ln[1](12)lim1n n a n→∞+-，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。
【详解】法一：11ln[1]211(12)(12)lim ln[]limlim 11(12)12nn n n n na n a n a n a an n→∞→∞→∞+-+--===-- 法二：11(12)12122111lim ln[]lim ln[1]lim ln (12)(12)12n a n aa n n n n na e n a n a a-⨯--→∞→∞→∞-+=+==---⑵ 交换积分次序：111422104(,)(,)________yyydy f x y dx dy f x y dx +=⎰⎰⎰⎰.【分析】写出对应的二重积分积分域D 的不等式，画出D 的草图后，便可写出先对y 后对x 的二次积分【详解】对应的积分区域12D D D =+，其中11(,)0,4D x y y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭2111(,),422D x y y y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭画出D 的草图如右图所示，则D 也可表示为 21(,)0,2D x y x x y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故211114222104(,)(,)(,)yxyyxdy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy +=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⑶ 设三阶矩阵122212304A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，三维列向量(,1,1)Ta α=。
已知A α与α线性相关，则______a =。
【分析】由A α与α线性相关知，存在常数k 使得A k αα=，及对应坐标成比例，由此求出a【详解】由于122212123304134a a A a a α-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦由A α与α线性相关可得：233411a a a a ++==，从而1a =-。
考研数学一真题解析 2002
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.【考点分析】：第一类广义积分的计算 【基础回顾】：第一类：无穷区间上的反常积分第二类：无界函数的反常积分【求解过程】：2211ln 1ln ln ln ee edx d x x x x x +∞+∞+∞⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 【方法小结】：对广义积分的计算，可引入定积分的所有有效方法，只是注意积分上下限的代入，实质是极限的运算。
(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.【考点分析】：隐函数求导 【基础回顾】：在假定隐函数存在且可导的前提下，我们可以利用复合函数的求导的链式法则求出它的导数。
若方程(,)0F x y =确定了隐函数()y y x =，则将()y y x =代入原方程，方程成为恒等式(,())0F x y x =，在恒等式的两边对X 求导。
注意到左端是以X 为自变量的复合函数，便可以得到我们所要求的导数。
【求解过程】：注意方程中Y 为关于X 的函数，利用链式法则可以得到方程2610ye xy x ++-=两边对x 求导数，有：6620y y e xy y x ''+++=①再对上式两边求导数得：()212620y y y e y e y xy ''''''++++=②将x=0代入方程得y=0,再将x=y=0代入①得0y '=，再代入②得()02y ''=-，故填-2(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. 【考点分析】：可降阶的二阶微分方程的特解 【基础回顾】：三类可降解的高阶微分方程1．()()n y f x =型，逐层积分2．(,)y f y y '''=型，不含X 自变量，作代换(),dp dp dy dpy p y y pdx dy dx dy '''==== 3．(,)y f x y '''=型，不含Y 因变量，作代换(),dp y p y y dx'''==【求解过程】：⏹ 方法一：该微分方程属于缺x 的类型，令y p '=，dp dp dy dp y p dxdy dxdy''==⋅=原方程20yy y '''+=化为20dp ypp dy +=，得0p =或0dpy p dy+=。
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上） （1） 2-【考点】求极限，连续性概念【解】 tan 0001tan lim ()lim lim 2arcsin22x x x x e xf x x x+++→→→--=-等等； 20lim ()lim ,(0),xx x f x ae a f a --→→=== ()f x 在0x =处连续(0)(0)(0),f f f +-⇔==即 2.a =-(2) 1【考点】用广义积分求平面图形面积 【解】 面积=0xx x xxe dx xde xe e dx +∞+∞----+∞⎡⎤=-=--⎣⎦⎰⎰⎰lim 00x xx x b b xe e xe e ----→+∞+∞⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎣⎦ lim 11b b b be e --→+∞⎡⎤=---=⎣⎦ 其中1lim limlim 0bb bb b b b bee e -→+∞→+∞→+∞==洛.(3)y =【考点】求二阶可降阶的微分方程满足一定初始条件下的特解（注意本题类型与2000（一）题的区别）【解】方法1：将20yy y '''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=.以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=.即21yy '=，改写为2()1y '=.解得2,y x C =+y =再以初值代入，1=""+且21C =.于是特解y =方法2：这是属于缺x 的类型(,)y f y y '''=.命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====.原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy+=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之，由0dp y p dy +=按分离变量法解之，得1.C y 由初始条件11,'002y y x x ====可将1C 先定出来：1111,212C C ==.于是得 12dy dx y=解之，得22,y x C y =+=以01x y==代入，得1=+”号且21C =.于是特解是y = (4)π【考点】利用定积分求一种特殊的数列极限【解】记1n u n =+11n i n == 所以011lim lim n n n n i u n →∞→∞===⎰11coscos22xxdx dx ππ===⎰12sin2x πππ==.（5） 4【考点】矩阵的特征值【解】 22222220222222E A λλλλλλλλ-=--=--200011(4)222λλλλλ==--故4λ=是矩阵的非零特征值.（另一个日特征值是0λ=(二重)）二、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1）（D ）【考点】函数增量的线性主部与该点处导数的关系【解】在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆.当00x x dy dx=≠时0x x dyx dx=∆称为y ∆的线性主部，现在2()2dy x f x x x dx '∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'∆=⨯，由题设它等于0.1，于是(1)0.5f '=，应选（D ）.(2) （D ）【考点】奇、偶函数的变限积分性质【解】[()()]t f t f t +-为t 的奇函数，0[()()]xt f t f t dt +-⎰为x 的偶函数，（D ）正确，（A ）、（C ）是x 的奇函数，（B ）可能非奇非偶.例如()1f t t =+，均不选.(3) (C) 【考点】求“”型的极限，洛比达法则或佩亚诺余项泰勒公式 【解】方法1： 220000ln(1)222limlim lim lim 2()()()()1x x x x x x x y x y x y x y x →→→→+==='''洛洛 方法2：由(0)(0)0,(0)1y y y '''===.由佩亚诺余项泰勒公式展开，有22()00()2x y x o x =+++，代入，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=.(4) (B)【考点】函数的极限与导数极限的关系，拉格朗日中值定理的应用 【解】方法1：排斥法（A ）的反例21()sin ,f x x x =它有界，221()sin 2cos ,lim ()0x f x x x f x x→+∞'=-+=，但lim ()x f x →+∞'不存在.(C)与(D)的反例同（A ）的反例.0lim ()0x f x →+=,但0lim ()10x f x →+'=≠，（C ）不成立；0lim ()10x f x →+'=≠，（D ）也不成立.（A ）、（C ）、（D ）都不对，故选（Ｄ）．方法2：证明（B ）正确.设lim ()x f x →+∞'存在，记为A ，求证0A =.用反证法，设0A ≠.若0A >，则由保号性知，存在00x >，当0x x >时()2Af x '>,在区间0[,]x x 上对()f x 用拉格朗日中值定理知,有00000()()()()()(),.2Af x f x f x x f x x x x x ξξ'=+->+-<<令,x →+∞，从而有()f x →+∞，与()f x 有界矛盾.类似可证若0A <亦矛盾. （5）（A ）【考点】线性表出与线性相关性的关系【解】方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关.用反正法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出.设 12112233k ββλαλαλα+=++因已知1β可由123,,ααα线性表出，设为1112233l l l βααα=++代入上式，得2111222333()()()l l l βλαλαλα=-+-+-这和2β 不能由123,,ααα线性表出矛盾.故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关， 应选（A ）.方法2：用排除法取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，排除（B ）.取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，排除（C ）.0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立（证法与方法1类似，当1k =时，选项（A ）、（D ）向量组是一样的，但结论不同，其中（A ）成立，显然（D ）不成立.） 排除（D ）. 三、（本题满分6分）【考点】求极坐标方程曲线的切线斜率【解】极坐标曲线1cos r θ=-化成直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩ 即2cos cos sin cos sin x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,,,2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dyd dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为13()24y x -=--，即504x y -=法线方程为113()(()),24124y x --=---即1044x y +-+=.四、（本题满分7分）【考点】求分段函数变限积分的表达式 【解】当10x -≤<时2233213111()(2)().12222xx F x t t dt t t x x -=+=+=+--⎰当01x ≤<时，011()()()()x xF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰23200000111()12(1)2(1)11021121111ln(1)ln(1)ln 202121t x x t t tx x t t x tt x x x te t t dt tde e x t dt xe dt e e e e x x x e e e e ----=++=---++=--+=--+++++=---+=---++++⎰⎰⎰⎰所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五、（本题满分7分）【考点】已知含有某抽象函数()f x 的极限，求该未知函数（包括求解微分方程）【解】 11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，001()1()()lim ln lim ln(1)()()h h f x hx f x hx f x h f x h f x →→⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭001()()()()lim ln()lim ()()()()(),0.()h h f x hx f x x f x hx f x h f x f x f x x f x x f x →→+-+-=='=≠从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1()xf x f x x '=， 即 2()1()f x f x x '= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+ 改写成 1()xf x Ce-=再由条件lim ()1x f x →+∞=，推得1C =，于是得1().xf x e -=六、（本题满分8分）【考点】求解一阶微分方程，求旋转体体积，求一元函数的最值【解】这是一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式有 22[]dx dx x x y e e dx C -⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x=-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰取C 使V 最小，为此求dVdC ，并命其等于0， 6215()052dV C dC π=+= 75.124C =-又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七、（本题满分7分）【考点】用定积分求液体的侧压力【解】方法1：建立坐标系如图，细横条为面积微元，按所建立的坐标系及题设，面积微元 2dA xdy =，因此压力微元 2(1)dp gx h y dy ρ=+-平板ABCD 上所受的总压力为 1102(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=. 抛物板AOB 上所受的总压力为 1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即，251244()315h h =+ 解之得2h =（米）（13h =-舍去），即闸门矩形部分的高应为2m .方法2：建立坐标系如图，细横条为面积微元，按所建立的坐标系及题设，面积微元2dA xdy =，因此压力微元 2()dp gx h y dy ρ=-平板ABCD 上所受的总压力为 1102()hP gx h y dy ρ+=-⎰其中以1x =代入，计算得 21P gh ρ=.抛物线AEB 的方程为21y x =-，在抛物板上所受的总压力为212(),P gx h y dy ρ-=-⎰其中以x =2124()315P g h ρ=+.以下与方法1同.略.八、（本题满分8分）【考点】证明数列的极限存在性并求之 【解】方法1：考虑（1）19(3)3343222n n n x x x ----==222933()4203322n n n x x x -+---==≤ 所以132n x +≤（当1,2,n =L ），即32n x ≤（当2,3,n =L ），数列{}2,3,n x n =L 有上界32.再考虑（2）21n n n x x x --==0.=≥ 2,3,n =L .所以{}n x 单调增加.单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a(3)由1n x +a 2230,a a -=得32a =或0a =，但因0n x >且单调增，故0a ≠，所以 3lim 2n n x →∞=. 方法2：由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故)211130(3).22x x x *<≤+-= 设302k x <≤，则113(3).22k k k x x x +≤+-=由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤.210.n n n x x x +≤=≥-所以{}n x 单调增，单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为a .再由1n x +=两边命n →∞取极限，得a =32a =或0a =， 但因0n x >且单调增加，故0a ≠，所以32a =. 九、（本题满分8分）【考点】不等式的证明【解】左、右两个不等式分别考虑先证左边不等式，方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a bξ>>+. 中第二个不等式来自不等式222a b ab +>（当0a b <<时），这样就证明了要证明的左边.方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a x ϕ-=--+，有()0a ϕ=.22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++ 222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++（当0a x <<）， 而推知当0x a >>时()0x ϕ>，以x b =代入即得证明.再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x aφ=--有()0a φ=，及21()0,x x φ'==<所以当0x a >>时，()0x φ<，再以x b =代入，便得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕.十、（本题满分8分）【考点】无穷小的比较，洛必达法则，佩亚诺余项泰勒公式 【解】方法1：由题目要求，去证存在唯一的一组123,,λλλ1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L hλλλ→++-==由此知，分子极限应为0，由()f x 在0x =连续，于是推知，应有123 1.λλλ++= （1）由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L hλλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= （2） 分子的极限为1231230lim(()2(2)3(3))(23)(0)h f h f h f h f λλλλλλ→''''++=++，若不为0，则式（1）应为∞，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即123230λλλ++= （3）对（2）再用洛必达法则，1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有 123490λλλ++= （4） 将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式2211()(0)(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 222(2)(0)2(0)2(0)(),f h f f h f h o h '''=+++2239(3)(0)3(0)(0)(),2f h f f h f h o h '''=+++ 代入1232()(2)(3)(0)0limh f h f h f h f h λλλ→++-=2123123123201(1)(0)(23)(0)(49)(0)2lim h f f h f h h λλλλλλλλλ→⎡'''++-++++++⎢=⎢⎢⎣2221122332()()()o h o h o h h λλλ⎤+++⎥⎦， 上面[]中第二项极限为0，所以第一项中应有1231231231230490λλλλλλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩以下同方法1.十一、（本题满分6分）【考点】逆矩阵，解矩阵方程【解】（1）由题设条件124A B B E -=- 两边左乘A ，得 24B AB A =- 即 24AB B A -=(2)4884(2)8A E B A E E A E E -=-+=-+ (2)(4)8A E B E E --=1(2)(4)8A EB E E --=得证2A E -可逆（且11(2)(4)8A EB E --=-）.(2) 方法1：由（1）结果知111(2)(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦18(4)2A B E E -=-+1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]3201001200104120010320100002001002001B E E ⎡--⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-=-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦M0101200101201308013001008800110011000022⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥→-→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦11044100130100880011002⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦故 11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦10208(4)2110002A B E E -⎡⎤⎢⎥=-+=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.方法2：由题设条件 124A B B E -=- 等式两边左乘A ，得 2(4)B A B E =-则12(4)A B B E -=-（求1(4)B E --过程见方法1）11044120120220131212001201308840020020041002⎡⎤-⎢⎥---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦08002014401104008002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦.十二、（本题满6分）【考点】线性非齐次方程组解的结构【解】方法1：由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++知[][][]12341234,,,()3,,,,r r A r A r ααααβααααβ====M故Ax β=有解，且其通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解因 123420,αααα=-+故 []123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系.又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，故方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1TTk -+.（其中k 是任意常数）方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =则线性非齐次方程为[]112233441234,,,x x x x x ααααααααβ+++==已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+即方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.（其中k 是任意常数）。
2002数学四--考研数学真题详解
∫
x
0
t[ f (t ) + f (−t )]dt. 必为偶函数 所以,应选(A).
* *
（3）设 A, B 为 n 阶矩阵, A , B 分别为 A, B 对应的伴随矩阵,分块矩阵 C = ⎜ 则 C 的伴随矩阵 C =
*
⎛ A O⎞ ⎟, ⎝O B⎠
(A) ⎢
⎡ A A* ⎣ O
O ⎤ ⎥ B B* ⎦ O ⎤ ⎥ B A* ⎦
五 、 （本题满分 8 分） 设 f (sin x) =
2
x x ,求∫ f ( x)dx sin x 1− x
2
【详解】 令 u = sin x , ，则有
sin x = u , x = arcsin u , f ( x) =
arcsin x , .于是 x
∫
x arcsin x f ( x)dx = ∫ dx 1− x 1− x arcsin x d (1 − x) = −2∫ arcsin xd 1 − x 1− x 1 d x 1− x
（4）设向量组 α1 = (a, 0, c), α 2 = (b, c, 0), α 3 = (0, a, b) 线性无关,则 a, b, c 必须满足关
系式 【答】
.
abc ≠ 0
【详解】 三个三维向量 α1 α 2
α 3 线性无关的充要条件是行列式
(α
T 1
,α ,α
T 2
T 3
)=0
a b 0 c a = 2abc ≠ 0, c 0 b
（B） ⎢
⎡ B B* ⎣ O ⎡ B A* ⎢ ⎣ O
O ⎤ ⎥ A A* ⎦ O ⎤ ⎥ A B* ⎦
(C)
⎡ A B* ⎢ ⎣ O
2002全国硕士研究生入学统一考试-数三真题、标准答案及解析
[ C]
【详解】 由于 X、Y 不一定相互独立,故（A） 、 （B） 、(D)不一定成立，只有（C）为正 确选项.
三 、 （本题满分 8 分）
求极限 lim
x →0
∫
x
0
[ ∫ arctan(1 + t )dt ]du
0
u2
x(1 − cos x)
【详解 1】
培训网： 北京市海淀区王庄路 1 号清华同方科技广场 B 座 609 -5电话： 62701055
： 81
( D ) ( P −1 ) α
T
.（4）设 A 是 n 阶实对称矩阵， P 是 n 阶可逆矩阵.已知 n 维列向量 α 是 A 的属于特征
32
有非零解，故应选[ D]
16
当 m > n 时， 有 r ( AB ) ≤ r ( A ) ≤ n < m 对应 ( AB ) x = 0 【详解】 AB 为 m × m 矩阵，
a＝________ 【答】 -1 【详解】 由题设，存在 k，使得 Αα
= kα ，即
故所求 a 为－1. （4） 设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为
P X 0 1
2 2
Y
工
0.07 0.08
2
作
−1
室
0
0.18 0.32
： 81
1
0.15 0.20
⎧a + 2 − 2 = ka, ⎪ 即 ⎨ 2a + 1 + 2 = k , 可得 a = −1, k = 1. ⎪3a + 4 = k , ⎩
所以 lim ln[
n →∞
【答】
∫
dx ∫ 2 f ( x, y )dy
2002考研数一真题及答案解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰∞+exx dx 2ln =_____________.(2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续,②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续,③),(y x f 在点),(00y x 处可微,④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在.则有:(A)②⇒③⇒①(B)③⇒②⇒①(C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数11()1(11+++-∑n n n u u 为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(C)当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x (D)当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数(B))(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数(D))(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分)已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt-=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分22m a x {,}e xy Dd x d y⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D.六、(本题满分8分)起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yxdx xy f y y I]1)([)](1[1222-++=⎰,(1)证明曲线积分I 与路径L 无关.(2)当cdab=时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n nn x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e x y y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xyy x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα,1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分)(1)若,A B相似,证明,A B的特征多项式相等.(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分)设维随机变量X 的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x ≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)设总体X 的概率分布为X 0123P2θ)1(2θθ-2θθ21-其中θ(102θ<<)是未知参数,利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.。
2002考研数学四
−2
1 −2
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
0 −1
1⎞ −21⎠⎟⎟
（4）设向量组α1 = (a, 0, c),α2 = (b, c, 0),α3 = (0, a, b) 线性无关,则 a,b, c 必须满足关
系式
.
【答】 abc ≠ 0
【详解】 三个三维向量α1 α2 α3 线性无关的充要条件是行列式
∫
1
x −
x
f
(
x)dx
=
∫
arcsin 1−
x
x
dx
=
−∫
arcsin 1−
x
x
d
(1 −
x)
=
−2∫
arcsin
xd
1− x
= −2 1− x arcsin
x + 2∫
1− x
1d 1− x
x
= −2 1− x arcsin x + 2 x + C.
六、（本题满分 9 分）
设闭区域 D : x2 + y2 ≤ y, x ≥ 0. f (x, y) 为 D 上的连续函数,且
=
f
' x
+
f
' z
x +1ex−z, z +1
∂u ∂y
=
f
' y
+
f
' z
∂z ∂y
=
f
' y
+
f
' z
y +1ey−z, z +1
所以 du
=
∂u ∂x
dx +
2002全国考研数二真题及解析.doc
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上)(1) 设函数tan 21,0arcsin()2,xx e x x f x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处连续，则a = .(2) 位于曲线(0)xy xe x -=≤<+∞下方，x 轴上方的无界图形的面积是_______.(3) 微分方程20yy y '''+=满足初始条件011,2x x yy =='==的特解是_________.(4) 1limn n →∞=_____ . (5) 矩阵022222222--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的非零特征值是_________.二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆ 的线性主部为0.1，则(1)f '=( )(A)－1 (B)0.1 (C)1 (D)0.5 (2) 设函数()f x 连续，则下列函数中，必为偶函数的是( )(A)20()xf t dt ⎰ (B)20()xf t dt ⎰(C)[()()]xt f t f t dt --⎰(D)0[()()]xt f t f t dt +-⎰(3) 设()y x =是二阶常系数微分方程3xy py qy e '''++= 满足初始条(0)(0)0y y '==的特解，则当0x →，函数2ln(1)()x y x +的极限( )(A)不存在 (B)等于1 (C)等于2 (D)等于3 (4) 设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则( )(A)当lim ()0x f x →+∞=时，必有lim ()0x f x →+∞'=.(B)当lim ()x f x →+∞'存在时，必有lim ()0x f x →+∞'=.(C)当0lim ()0x f x +→=时，必有0lim ()0x f x +→'=. (D)当0lim ()x f x +→'存在时，必有0lim ()0x f x +→'=. (5) 设向量组123,,ααα线性无关，向量1β 可由123,,ααα线性表示，而向量2β 不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有( )(A)123,,ααα , 12k ββ+线性无关； (B)123,,ααα , 12k ββ+线性相关； (C)123,,ααα,12k ββ+线性无关； (D)123,,ααα,12k ββ+线性相关三、(本题满分6分)已知曲线的极坐标方程是1cos r θ=- ，求该曲线上对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程.四、(本题满分7分)设2232,102(),01(1)xx x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪+⎩求函数1()()xF x f t dt -=⎰的表达式.五、(本题满分7分)已知函数()f x 在(0,)+∞内可导()0f x >，lim ()1x f x →+∞= , 且满足110()lim()()hx h f x hx e f x →+=,求()f x .六、(本题满分8分)求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =,使得由曲线()y y x =， 与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小.七、(本题满分7分)某闸门的性状与大小如图所示，其中直线l 为对 称轴，闸门的上部为矩形ABCD ，下部由二次抛物线 与线段AB 所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使 闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之 比为5：4，闸门矩形部分的高h 应为多少m (米)？八、(本题满分8分)设1103,1,2,)n x x n +<<==，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限.九、(本题满分8分)设0a b <<，证明不等式222ln ln a b a a b b a -<<+-十、(本题满分8分)设函数 ()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数，且(0)0,(0)0,f f '≠≠(0)0.f ''≠ 证明:存在惟一的一组实数123,,λλλ，使得当0h →时，123()(2)(3)(0)f h f h f h f λλλ++-是比2h 高阶的无穷小.十一、(本题满分6分)已知,A B 为3 阶矩阵，且满足124A B B E -=-,其中E 是3阶单位矩阵. (1) 证明：矩阵2A E -可逆；(2) 若120120002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求矩阵.A十二、(本题满6分)已知4阶方阵1234(,,,),A αααα=1234,,,αααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=-.如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解.D1m2002年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(1)【答案】 -2【详解】如果分段函数()f x 连续，则()f x 在0点处的左右极限相等，从而确定a 的值． 当0x →+时，tan 1tan xex x ---；arcsin22x x，所以有 tan 00001tan lim ()lim lim lim 2arcsin222x x x x x e x xf x x x x++++→→→→---==-==； 20lim ()lim (0)xx x f x ae a f --→→=== 如果()f x 在0x =处连续，必有(0)(0)(0),f f f +-== 即 2.a =-(2)【答案】 1 【详解】面积00x x x xS xe dx xde xe e dx +∞+∞----+∞⎡⎤==-=--⎣⎦⎰⎰⎰lim 00x xx x b b xe e xe e ----→+∞+∞⎡⎤⎡⎤=--=--⎣⎦⎣⎦lim 11b bb be e --→+∞⎡⎤=---=⎣⎦ 其中 1lim limlim 0bb bb b b b bee e -→+∞→+∞→+∞==洛．(3)【答案】y =【详解】方法1：这是属于缺x 的(,)y f y y '''=类型． 命,dp dp dy dpy p y p dx dy dx dy'''====． 原方程20yy y '''+=化为20dpypp dy+=，得 0p =或0dpyp dy+= 0p =，即0dy dx =，不满足初始条件1'02y x ==，弃之；所以0p ≠所以，0dp yp dy +=，分离变量得dy dp y p =-，解之得1.C p y = 即1.C dy dx y= 由初始条件11,'2yy x x ====，可将1C 先定出来：1111,212C C ==． 于是得12dy dx y=解之得，22,y x C y =+=．以01x y ==代入，得1=，所以应取“+”号且21C =．于是特解是y =方法2：将20y y'''+=改写为()0yy ''=，从而得1yy C '=． 以初始条件1(0)1,(0)2y y '==代入，有1112C ⨯=，所以得12yy '=． 即21yy '=，改写为2()1y '=． 解得2,y x C =+y =1=""+且21C =． 于是特解y =(4)【答案】π【详解】利用定积分的概念将被积函数化为定积分求极限．因为1lim ...n n →∞ 11limnn i nππ→∞==11lim ()ni n i i f x nππ→∞==∆∑ 其中(),(1,2,,)i f x x i n nπ=∆==，所以根据定积分的定义，有1lim n n →∞+1cos 2x dx πππππ===⎰⎰(5)【答案】4【详解】记022222222A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，则02222222222222222E A λλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭(对应元素相减)两边取行列式，E A λ-22222222λλλ=---22230222λλλλ+-行行222011222λλλλ -把第行的公因子提出来0122011222λλλ-⨯ -行行11111(1)22λλλ+⋅⋅--按第行展开(其中11(1)+-指数中的1和1分别是λ所在的行数和列数)2(22)λλ=--2(4)λλ=-令0E A λ-=，解得1230,4λλλ===，故4λ=是矩阵的非零特征值．(另一个特征值是0λ=(二重))二、选择题 (1)【答案】(D)【详解】在可导条件下，0()x x dyy x o x dx=∆=∆+∆，当00x x dy dx=≠时x x dy x dx=⋅∆称为y ∆的线性主部．而2()2dy x f x x x dx '⋅∆=∆，以1,0.1x x =-∆=-代入得(1)0.2dyx f dx'⋅∆=⨯，由题设它等于0．1，于是(1)0.5f '=，应选(D)．(2)【答案】(D)【详解】对与(D)，令0()[()()]xF x t f t f t dt =+-⎰，则0()[()()]xF x t f t f t dt --=+-⎰，令t u =-，则dt du =-，所以()[()()]()[()()]xxF x t f t f t dt u f u f u du --=+-=--+-⎰⎰[()()](),xu f u f u du F x =-+=⎰所以(D)为偶函数．同理证得(A)、(C)为奇函数，而(B)不确定，如()1f t t =+．故应选(D)．(3)【答案】(C)【详解】由3xy py qy e '''++=，且(0)(0)0y y '==，可知(0)1y ''=方法1：因为当20x →时，22ln(1)x x +，所以20ln(1)lim ()x x y x →+=2000222lim lim lim 2()()()1x x x x x y x y x y x →→→==='''=， 故选(C)．方法2：由于(0)(0)0,(0)1y y y '''===． 将函数()y x 按麦克劳林公式展开22()00()2x y x o x =+++，代入2ln(1)()x y x +，有222000222ln(1)1lim lim lim 211()()()22x x x x x o x y x x o x x→→→+==++=．(4) 【详解】方法1：排斥法．令21()sin f x x x =，则()f x 在(0,)+∞有界，2221()sin 2cos f x x x x'=-+， lim ()0x f x →+∞=，但lim ()x f x →+∞'不存在，故(A)不成立；0lim ()0x f x +→=，但 0lim ()10x f x +→'=≠，(C)和(D)不成立，故选(B)． 方法2：证明(B)正确． 设lim ()x f x →+∞'存在，记lim ()x f x A →+∞'=，证明0A =．用反证法，若0A >，则对于02Aε=>，存在0X >，使当x X >时，()2A f x A ε'-<=，即3()2222A A A AA f x A '=-<<+=由此可知，()f x '有界且大于2A．在区间[,]x X 上应用拉格朗日中值定理，有()()()()()()2Af x f X f x X f X x X ξ'=+->+-从而lim ()x f x →+∞=+∞，与题设()f x 有界矛盾．类似可证当0A <时亦有矛盾． 故0A =．(5)【答案】A【详解】方法1：对任意常数k ，向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关． 用反证法，若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出． 即存在常数123,,λλλ，使得 12112233k ββλαλαλα+=++又已知1β可由123,,ααα线性表出，即存在常数123,,l l l ，使得1112233l l l βααα=++代入上式，得121122332112233()k k l l l ββαααβλαλαλα+=+++=++⇒2111222333()()()kl kl kl βλαλαλα=-+-+-与2β不能由123,,ααα线性表出矛盾．故向量组123,,ααα，12k ββ+线性无关，选(A) 方法2：用排除法B 选项：取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+即123,,ααα，2β线性相关不成立，否则因为123,,ααα，2β线性相关，又123,,ααα线性无关，故2β可由123,,ααα线性表出．即存在常数123,,λλλ，使得 2112233βλαλαλα=++与已知矛盾，排除(B)．C 选项：取0k =，向量组123,,ααα，12k ββ+，即123,,ααα，1β线性无关不成立，因为1β可由123,,ααα线性表出，123,,ααα，1β线性相关，排除(C)．D 选项：0k ≠时，123,,ααα，12k ββ+线性相关不成立．若123,,ααα，12k ββ+线性相关，因已知123,,ααα线性无关，故12k ββ+可由123,,ααα线性表出．即存在常数123,,λλλ，使得 12112233k ββλαλαλα+=++. 又已知1β可由123,,ααα线性表出，即存在常数123,,l l l ，使得1112233l l l βααα=++代入上式，得121122332112233()k l l l k ββαααβλαλαλα+=+++=++ ⇒2111222333()()()k l l l βλαλαλα=-+-+-因为0k ≠，故3311222123l l l kkkλλλβααα---=++与2β不能由123,,ααα线性表出矛盾．故123,,ααα,12k ββ+线性相关不成立，排除(D)． 故选(A)．三【详解】由极坐标到直角坐标的变换公式cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，化极坐标曲线1cos r θ=-为直角坐标的参数方程为(1cos )cos (1cos )sin x y θθθθ=-⎧⎨=-⎩， 即 2c o s c o ss i nc o s s i n x y θθθθθ⎧=-⎨=-⎩ 曲线上6πθ=的点对应的直角坐标为31,2424-- 22666cos sin cos 1.sin 2cos sin dy dy d dx dxd ππθθπθθθθθθθθθ===+-===-+于是得切线的直角坐标方程为13()24y x -=--，即504x y -=．(这是由直线的点斜式得到的，直线的点斜式方程为00()y y k x x -=-，由导数的几何意义知在6πθ=时斜率为1，且该点的直角坐标为31,42)， 法线方程为113(()),24124y x --=---即1044x y +-+=．(这是由直线的点斜式方程及在同一点切线斜率与法线斜率为负倒数的关系而得) 四【详解】当10x -≤<时1()()x F x f t dt -=⎰223131(2)()122x x t t dt t t -=+=+-⎰3211.22x x =+-当01x ≤<时，011()()()()x xF x f t dt f t dt f t dt --==+⎰⎰⎰232001()12(1)tx t te t t dt e =++-+⎰0112(1)x t td e =--+⎰010211x t tx t dt e e =--+++⎰01211tx x t x e dt e e --=--+++⎰1ln(1)021t x x x e e -=---++1ln ln 2211x xx x e e e =--++++ 所以3211,1022()1ln ln 2,01112xx x x x x F x e x x e e ⎧+--≤<⎪⎪=⎨⎪-+-≤<⎪++⎩当当五【详解】因为11()ln h ()()()f x hx hf x f x hx ef x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又 001()1limln lim (ln ()ln ())()h h f x hx f x hx f x h f x h →→⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭， 0x ≠ 0ln ()ln ()lim()h f x hx f x x hx→+-=⨯()(ln ())()xf x f x x f x ''=⨯=从而得到 1()1()0()lim ()xf x hf x x h f x hx e ef x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭由题设于是推得()1(ln ())()xf x f x x f x x ''==，即21(ln ())f x x'= 解此微分方程，得 11ln ()f x C x=-+，改写成 1()x f x Ce -=再由条件lim ()1x f x C →+∞==，于是得1().xf x e -=六【详解】这是一阶线性微分方程21y y x'-=-，由通解公式(如果一个一阶线性方程为()()y p x y q x '+=那么通解为()()[()]p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰)有 22[]dx dx x x y e e dx C -⎰⎰=-+⎰221[]x dx C x =-+⎰221(),12x C x Cx x x=+=+≤≤由曲线2y x Cx =+与1,2x x ==及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积为2222131157()()523V x Cx dx C C ππ=+=++⎰ (旋转体的体积公式：设有连续曲线:()()y f x a x b Γ=≤≤，()0f x ≥与直线,x a x b ==及x 轴围成平面图形．该图形绕x 轴旋转一周产生旋转体的体积为2()ba V f x dx π=⎰)取C 使V 最小，由求最值的方法知先求函数的驻点，即0dVdC=的点， 6215()052dV C dC π=+= 解得75.124C =- 又()0V C ''>，故75124C =-为V 的惟一极小值点，也是最小值点，于是所求曲线为275.124y x x =-七【详解】方法1：建立坐标系如下图，由于底部是二次抛物线我们设此抛物线为2y px q =+，由坐标轴的建立知此抛物线过(0,0),(1,1)点，把这两点代入抛物线的方程，得220011p q p q⎧=⨯+⎨=⨯+⎩，所以0,1q p ==． 即底部的二次抛物线是2y x =，11x -≤≤．细横条为面积微元，按所建立的坐标系及抛物线的方程，得到面积微元2dA xdy =，因此压力微元2(1)dp gx h y dy ρ=+- (这是由压力的公式得到的：压力=压强⨯面积)平板ABCD 上所受的总压力为1112(1)hP gx h y dy ρ+=+-⎰其中以1x =代入，计算得21P gh ρ=．抛物板AOB 上所受的总压力为1202(1),P gx h y dy ρ=+-⎰其中由抛物线方程知x =2124()315P g h ρ=+，由题意12:5:4P P =，即251244()315h h =+ 解之得2h =(米)(13h =-舍去)，即闸门矩形部分的高应为2m ．D八【详解】由103x <<知1x 及13x -（）均为正数，故211130(3).22x x x <≤+-= (2()2a b ab +≤,a b 为正数)假设302k x <≤，则再一次用不等式2()2a b ab +≤，得113(3).22k k k x x x +≤+-=由数学归纳法知，对任意正整数2n ≥有302n x <≤．另一方面，1n n n x x x +-20.≤=≥所以{}n x 单调增加．单调增加数列{}n x 有上界，所以lim n n x →∞存在，记为.a由1n x +=两边取极限，于是由极限的运算性质得a =即2230,a a -=解得32a =或0a =，但因10x >且单调增，故0a ≠，所以 3lim 2n n x →∞=．九【详解】左、右两个不等式分别考虑. 先证左边不等式， 方法1：由所证的形式想到用拉格朗日中值定理．ln ln 1(ln ),0.x b ax a b b aξξξ=-'==<<<-而22112a b a bξ>>+中第二个不等式来自不等式222a b ab +>(当0a b <<时)，这样就证明了要证明的左边．方法2：用单调性证，将b 改写为x 并移项，命222()()ln ln a x a x x a a xϕ-=--+，有()0a ϕ=． 22222124()()()a ax x a x x a x a x ϕ-'=-+++222222()4()0()()x a ax x a x a x a x --=+>++(当0a x <<)，所以，当0x a >>时()x ϕ单调递增. 所以()()0x a ϕϕ>=，故()0b ϕ>， 即222()()ln ln 0a b a b b a a b ϕ-=-->+⇒22ln ln 2b a ab a a b->-+再证右边不等式，用单调性证，将b 改写为x 并移项，命()ln ln ),x x a x aψ=---有()0a ψ=，及21()0,x x ψ'==<所以当0x a >>时，()0x ψ<，再以x b =代入，得ln ln ),b a b a-<-即ln ln b a b a -<-右边证毕．十【详解】从题目结论出发，要证存在唯一的一组123,,λλλ，使得1232()(2)(3)(0)lim0h f h f h f h f L h λλλ→++-==由极限的四则运算法则知，分子极限应为0，即[]1230lim ()(2)(3)(0)h f h f h f h f λλλ→++=由于()f x 在0x =连续，于是上式变形为123(0)()(0).f f λλλ++= 由(0)0,f ≠知123 1.λλλ++= (1)由洛必达法则，1232()(2)(3)(0)limh f h f h f h f L hλλλ→++-=1230()2(2)3(3)lim 2h f h f h f h hλλλ→'''++= (2) 由极限的四则运算法则知分子的极限应是0，即1230lim(()2(2)3(3))0h f h f h f h λλλ→'''++=由于()f x '在0x =连续，于是上式变形为123(23)(0)0f λλλ'++=，由(0)0,f '≠知123230λλλ++= (3)对(2)再用洛必达法则，和()f x ''在0x =连续1231230()4(2)9(3)1lim(49)(0)22h f h f h f h L f λλλλλλ→''''''++''==++ 由(0)0f ''≠，故应有123490λλλ++= (4)将(1)、(3)、(4)联立解之，由于系数行列式11112320,149=≠ 由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕．十一【详解】(1) 由题设条件124A B B E -=-，两边左乘A ，得124AA B AB A -=-，即24B AB A =-24AB B A ⇒-=所以 (2)A E B -2AB B =-4488A A E E ==-+4(2)8A E E =-+，⇒(2)4(2)8A E B A E E ---=⇒(2)(2)48A E B A E E E ---⋅=⇒(2)(4)8A E B E E --=⇒1(2)(4)8A EB E E --=根据可逆矩阵的定义知2A E -可逆，且11(2)(4)8A EB E --=-．(2) 由(1)结果知11(2)(4)8A EB E --=-，根据逆矩阵的性质111()kA k A ---=，其中k为不等于零的常数，有1112(4)8(4)8A E B E B E --⎡⎤-=-=-⎢⎥⎣⎦故 18(4)2A B E E -=-+又 1204003204120040120002004002B E ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦(对应元素相减) 因为若()()1A E E A - →初等行变换，对[]4B E E -进行初等行变换，[]3201004120010002001B E E ⎡--⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦13120010320100002001⎡-⎤⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦、行互换2131200100801300011002+⨯⎡⎤⎢⎥-⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行12()8010120130100880011002⨯-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行12211044100130100880011002+⨯⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦行行 故11104413(4)0881002B E -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，代入18(4)2A B E E -=-+中，则 18(4)2A B E E -=-+110442138028821002⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(常数与矩阵相乘，矩阵的每一个元素都需要乘以该常数)220213020042-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦020110002⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(对应元素相加)十二【详解】方法1：记[]1234,,,A αααα=，由234,,ααα线性无关，及123420,αααα=-+即1α可以由234,,ααα线性表出，故1234,,,αααα线性相关，及1234βαααα=+++即β可由1234,,,αααα线性表出，知[][][][]12341234123,,,,,,,(),,3r A r r r A r βααααβααααααα=====系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，故Ax β=有解．对应齐次方程组0Ax =，其系数矩阵的秩为3，故其基础解系中含有4-3(未知量的个数-系数矩阵的秩)个线性无关的解向量，故其通解可以写成k ξ，η*是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，知Ax β=的通解为k ξη*+，其中k ξ是对应齐次方程组0Ax =的通解，η*是Ax β=的一个特解，因123420,αααα=-+故[]123412341220,,,010αααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的一个非零解向量，因为0Ax =的基础解系中只含有一个解向量，故[]1,2,1,0Tξ=-是0Ax =的基础解系．又[]1234123411,,,11βαααααααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即1111A β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦故[]1,1,1,1Tη*=是Ax β=的一个特解，根据非齐次线性方程组的解的结构定理，方程组的通解为[][]1,2,1,01,1,1,1T Tk -+．(其中k 是任意常数) 方法2：令[]1234,,,Tx x x x x =，则线性非齐次方程为[]1234,,,Ax x αααα=[]12123434,,,x x x x αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦11223344x x x x ααααβ=+++=已知1234βαααα=+++，故11223344x x x x αααα+++=1234αααα+++将1232ααα=-代入上式，得23122334423234(2)(2)x x x x αααααααααα-+++=-+++⇒21312233442323424223x x x x x αααααααααααα-+++=-+++=+⇒12231334424(2)30x x x x x αααααα+-++--= ⇒12213344(23)()(1)0x x x x x ααα+-+-++-=由已知234,,ααα线性无关，根据线性无关的定义，不存在不全为零的常数使得2233440k k k ααα++=，上式成立当且仅当1213423010x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩ 其系数矩阵为210010100001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，因为3阶子式10001010001=≠，其秩为3，故其齐次线性方程组的基础解系中存在1个(4-3)线性无关的解向量，取自由未知量3x k =，则方程组有解431321,,,23x x k x x k x k =====-+故方程组Ax β=有通解123410232310101x k x k k x k x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦．(其中k 是任意常数)赠送以下资料考研英语作文模板（英语一）大作文考研英语大作文一般是看图写作，从一幅图分析含义及意义，所以只需要几个好的模板，根据题目套上去就行了。
2002-数一真题、标准答案及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试 理工数学一试题详解及评析一、填空题 （1）2ln edxx x+∞=∫.【答】 1. 【详解】()2101 1.ln ln |e edx x xx +∞+∞=−=−−=∫（2）已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++−=确定，则()''0y = . 【答】 －2. 【详解】将方程两边对x 求导，视y 为x 的函数，得''6620,y e y xy y x +++= （1） 再对x 求导，y ，'y 均视为x 的函数，得 ()2''''''61220,yye y ey xy y ++++= （2）当0x =时，由原方程知0,y =再以0x =，0y =代入（1）式中得()'0y =0，再代入（2）式中得()''0y =－2.（3）微分方程'''20yy y +=满足初始条件'011,2||x x y y ====的特解是 . 【答】 1y x =+21y x =+【详解】 令'y p =，则''',dy dp dp dy dpy p dx dx dy dx dy===== 原方程可化为20dyypp dp+= 于是 0p =或0dyypp dp+= 前者显然不满足初始条件'12|x y==，因此必有0dy yp p dp +=，积分得1,py C =即1.dyy C dx = 由初始条件'0011,2||x x y y ====得112C =，于是1,2dy y dx = 即 12ydy =积分得22.y x C =+ 再由初始条件01|x y==，得21C =.故所求特解为21y x =+ 或1y x =+（4）已知实二次型()()222123123121323,,444f x x x a x x x x xx x x x =+++++经正文变换x Py =，可化标准形216,f y =则a = .【答】 2. 【详解1】二次型()()222123123121323,,444f x x x a x x x x x x x x x =+++++所对应矩阵为2222,22a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦标准形216f y =所对应矩阵为 600000.000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦根据题设知,A B 为相似矩阵，所以,A B 的特征值相同，可见A 的三个特征值为6，0，0.而()()2222222 42a E A a aa a λλλλλλ−−−−=−−−−−−=−+−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦可见46,20,a a +=−= 故有a =2【详解2】 由,A B 为相似矩阵知，对应特征多项式相同，即 E A E B λλ−=−于是有226002200,2200aa a λλλλλλ−−−−−−−=−−− 即()()()()()232232232426334426,a a a a a a λλλλλλλλλ−+−−=−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦−+−−+−=−比较同次幂的系数知 a =2 （5）设随机变量X 服从正态分布()()2,0N µσσ>；且二次方程240yy X ++=无实根的概率为12，则µ= . 【答】 4 【详解】二次方程240y y X ++=无实根的充要条件是40X −<.故由条件知有{}142P X >=于是{}{}14414124411X P X P X P X P Y P µµσσµµµσσσ−−⎧⎫=>=−≤=−≤⎨⎬⎩⎭−−−⎧⎫⎛⎞⎧⎫=−≤=−Φ⎨⎬⎨⎬⎜⎟⎩⎭⎝⎠⎩⎭()2212t xx eπ−−∞=−Φ=∫于是 4140 4.2µµµσσ−−⎛⎞Φ=⇒=⇒=⎜⎟⎝⎠二、选择题（1） 考虑二元函数(),f x y 的下面4条性质：①(),f x y 在点()00,x y 处连续；②(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续； ③(),f x y 在点()00,x y 处可微；④(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数存在. 若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出Q ，则有（A ）②⇒③⇒① （B ）③⇒②⇒① （C ）③⇒④⇒① （D ）③⇒①⇒④【 】【答】 应选（A ）【详解】 若(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续，则(),f x y 在点()00,x y 处可微，而可微又必联系，因此有②⇒③⇒①，故应选（A ）.（2）设()01,2,3,n u n ≠=L 且lim 1,n n n u →∞=则级数()111111n n n n u u ∞+=⎛⎞−+⎜⎟+⎝⎠∑ 发散.(A)发散 （B ）绝对收敛（C ）条件收敛 （D ）收敛性根据所给条件不能判定.【 】【答】 应选（C ） 【详解】 lim1,n nnu →∞=知11limlim 0,n n n nnu n u →∞→∞=⋅=又原级数的前n 项部分和为()()1122334111111111111111 1n n nn n n S u u u u u u u u u u ++++⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−+++++−+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=+−L 可见有11lim n n S u →∞=，因此原级数收敛，排除（A ），（D ），再考虑()1111111111n n n n n n n u u u u ∞∞+==⎛⎞⎛⎞−+=+⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠∑∑因为 1lim lim1,1n n n n u n u n →∞→∞== 1111lim lim 1,11n n n n u n u n +→∞→∞++==+ 所以有11111,,n n n n u u ∞∞==+∑∑均发散，从而1111n nn u u ∞=⎛⎞+⎜⎟+⎝⎠∑也发散，故级数()111111n n n n u u ∞+=⎛⎞−+⎜⎟+⎝⎠∑条件收敛，应选（C ） （3）设函数()y f x =在()0,+∞内有界且可导，则 （A ） 当()lim 0x f x →+∞=时，必有()'lim 0x fx →+∞=（B ） ()'lim x fx →+∞存在时，必有()'lim0x f x →+∞= （C ） 当()0lim 0x f x +→=时，必有()'lim 0x f x +→=（D ） ()0lim 0x f x +→=存在时，必有()'lim 0x f x +→=【 】【答】 应选（B ） 【详解1】设()2sin ,x f x x=则()0lim 0x f x +→=，所以()f x 在()0,+∞内有界，由于()2222'2222cos sin sin 2cos x x x x f x x x x−==−可见()f x 在()0,+∞内可导，但()'lim x fx →+∞不存在，()'0lim10x f x +→=≠，排除（A ），（D ） 又设()sin f x x =，则()f x 在()0,+∞内有界且可导，()0lim 0x f x +→= 但 ()'lim limcos 10x x f x x ++→→==≠ 进一步排除（C ），故应选（B ）. 【详解2】直接证明（B ）正确，用反正法，由题设()'lim x fx →+∞存在，设()'lim 0,x f x A →+∞=≠不妨设0A >，则对于2Aε=>0，存在0X >，当x X >时，有 ()'.2Af x A ε−<=即 ()'222A A A A f x A =−<<+，可见()'2A f x >，在区间[],X x 上应用拉格朗日中值定理，有()()()()()()''2A f x f X f x X f X x X ζ=+−>+−于是 ，与题设()f x 在()0,+∞内有界矛盾，故()'lim 0x fx →+∞=（4）设有三张不同平面的方程123,1,2,3,i i i i a x a y a z b i ++==它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，则这三张平面可能的位置关系为【 】【答】 应选（B ）【详解】 由题设，线性方程组111213121222323132333a x a y a z b a x a y a z b a x a y a z b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 系数矩阵和增广矩阵的秩相等且为2，由非齐次线性方程组解的判定定理知，此方程有无穷多组解，即三平面有无穷多个交点，对照四个选项，（A ）只有一个交点；（C ），（D ）无交点，因此只有（B ）复合要求.（5）设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为()1f x 和()2f x ，分布函数分别为()1F x 和()2F x ，则（A ）()()12f x f x +必为某一随机变量的概率密度. （B ）()()12f x f x 必为某一随机变量的概率密度. （C ）()()12F x F x +必为某一随机变量的分布函数 （D ）()()12F x F x 必为某一随机变量的分布函数.【 】【答】 应选（D ） 【详解】 由于()()()()12122,21,f x f x dx F F +∞−∞+=≠+∞++∞=≠⎡⎤⎣⎦∫因此可先排除（A ），（C ） 又设()1,00, 0x e x f x x −⎧>=⎨≤⎩ ，()222,00, 0x e x f x x −⎧>=⎨≤⎩则 ()()3122,00, 0x e x f x f x x −⎧>=⎨≤⎩显然不满足概率密度函数的要求，进一步排除（B ），故应选（D ）. 事实上，可检验()()12F x F x 却是满足分布函数的三个条件.三、设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数，且()()'00,00,f f≠≠若()()()20af h bf h f +−在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.【详解1】 由题设，知()()()020lim0h af h bf h f h→+−=于是()()()()()0lim 20100.h af h bf h f a b f →+−=+−=⎡⎤⎣⎦ 由于()00,f ≠故必有10a b +−=又由洛比达法则，有()()()()()()()'''0020220lim lim 201h h af h bf h f af h bf h a b f h →→+−+===+因()'00,f≠故20,a b +=于是可解得 2,1a b ==− 【详解2】 由题设条件()()()()()()()()()()00200lim020000 lim 2h h af h bf h f ha f h fb f h f af bf f h h h →→+−=⎧⎫−−⎡⎤⎡⎤+−⎪⎪⎣⎦⎣⎦=++⎨⎬⎪⎪⎩⎭若上式右端第3项分子不为零，则上式得极限不存在，与左边为零矛盾，所以()()()()()000100af bf f a b f +−=+−=从而10a b +−=，于是原式可化为()()()()()()()()()()()00'''200lim020 lim 2020 20h h af h bf h f h a f h f b f h f h h af bf a b f →→+−=⎧⎫−−⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎣⎦=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭=+=+ 有20a b +=， 解得2,1a b ==−四、已知两曲线()2arctan 0,xt y f x y e −==∫在点()0,0处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim n nf n →∞⎛⎞⎜⎟⎝⎠【详解】 由已知条件得()00f =，且()()2arctan '201,1|x x ef x−===+故所求切线方程为,y x =则()()'202lim lim 220 2.2n n f f n nf f n n→∞→∞⎛⎞−⎜⎟⎛⎞⎝⎠=⋅==⎜⎟⎝⎠五、计算二重积分()22max ,,x y Dedxdy ∫∫其中(){},|01,01D x y x y =≤≤≤≤【详解】设(){}(){}12,|01,0,|01,1D x y x y x D x y x x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤于是()()()2222221222221122max ,max ,max ,110111x y x y x y DD D xyx y x y D D x y e dxdy e dxdy edxdye dxdy e dxdy dx e dy dy e dx xe dx ye dy e =+=+=+=+=−∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫六、设函数()f x 在(),−∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面()0y >内的有向分段光滑曲线，其起点为(),a b ，终点为(),c d ，记()()222111Lx I y f xy dx y f xy dy y y⎡⎤⎡⎤=++−⎣⎦⎣⎦∫（1） 证明曲线积分I 与路径L 无关； （2） 当ab cd =时，求I 的值. 【详解】（1）因为()()()()2'2221111xy f xy f xy xyf xy x y y y f xy y y ⎧⎫∂⎡⎤−=−+⎨⎬⎣⎦∂⎩⎭⎧⎫∂⎡⎤=+⎨⎬⎣⎦∂⎩⎭在上半平面处成立，所以在上半平面内曲线积分I 与路径L 无关；（2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点(),a b 到点(),c b 再到点(),c d 的折线段，于是有()()()()()()()222111 cd a b c d a b bc ad abbc ad abc I b f bx dx y f cy dy b y c a c c bf bx dx cf cy dy bd b c af t dt f t dtd b c af t dtd b ⎡⎤⎡⎤=++−⎣⎦⎣⎦−=+++−=−++=−+∫∫∫∫∫∫∫ 当ab cd =时，()0,adabf t dt =∫由此得c a Id b=−七、（1）验证函数()()()369313!6!9!3!nx x x x y x x n =++++++−∞<<+∞L L 满足微分方程''';x y y y e ++=（2） 利用（1）的结果求幂级数()303!nn x n ∞=∑的和函数.【详解】（1）因为()()()()369325831'1,3!6!9!3!,2!5!8!31!nn x x x x y x n x x x x y x n −=++++++=+++++−L L L L()()4732'',4!7!32!n x x x y x x n −=+++++−L L于是23'''1;2!3!x x x y y y x e ++=++++=L（2）对应齐次微分方程'''0y y y ++=的特征方程为210λλ++=特征根是1,21322i λ=−±，由于1a =不是特征根，可设非齐次微分方程的特解为 *xy Ae =将*y 代入方程'''y y y ++=xe 得1,3A =于是*13x y e = 故非齐次微分方程得通解为2212133cos sin 322x xx y e C e x C e x −−=++又显然()y x 满足初始条件()()'01,00.y y ==代入上式得 122,0.3C C == 故所求幂级数的各函数为()2123cos 332xx y e e x x −=+−∞<<+∞八、设有一小山，取它的底面所在的平面为xOy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,|75D x y x y xy =+−≤，小山的高底函数为()22,75h x y x y xy =−−+.（1）设()00,M x y 为区域D 上一点，问(),h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为()00,g x y ，试写出()00,g x y 的表达式.（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在D 的边界线2275x y xy +−=上找出使(),g x y 达到最大值的点，试确定攀登起点的位置. 【详解】（1）根据梯度与方向导数的关系知，沿梯度方向导数值最大，且其值为()()()()()000000220000220000,22 22 558M g x y gradh y x i x y j y x x y x y x y ==−+−=−+−=+−（2）由题设，问题转化为求()00,g x y 220000558x y x y +−便起见，令()()222,,558f x y gx y x y xy ==+−，构造拉格朗日函数()()()22,,,558F x y f x y x y xy λλ=++−()()2210820 (1)10820 (2)750 Fx y y x x Fx y y x y Fx y xy λλλ∂=−+−=∂∂=−+−=∂∂=+−−=∂ (3) （1）与（2）相加得()()20.x y λ+−= 从而得,y x =−或2λ=若2λ=，由（1）得y x =，再由（3）得53,53x y =±=±若,y x =−由（3）得5,5x y =±=m 于是得到4个可能极值点：()()((12345,5;5,5;53,53;53,53.M M M M −−−−分别计算，有()()()()1234450;150.f M f M f M f M ====可见点1M 或2M 可作为攀登的起点.九、已知4阶方阵()1234,,,A αααα=1234,,,αααα均为4维列向量，其中234,,ααα线性无关，1232ααα=−，如果1234βαααα=+++，求线性方程组Ax β=的通解. 【详解1】令1234x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则由，得 112233441234x x x x αααααααα+++=+++， 将1232ααα=−代入上式，整理后得()()()122133442310x x x x x ααα+−+−++−=由234,,ααα线性无关，知12134230010x x x x x +−=⎧⎪−+=⎨⎪−=⎩解此方程组，得0132,0110x k ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪=+⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭其中k 为任意常数.【详解2】由234,,ααα线性无关和123420αααα=−+，知A 的秩为3，因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.由1234200αααα−++=，知1210⎧⎫⎪⎪−⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭为齐次线性方程组0Ax =的一个解,所以其通解为12,10x k ⎧⎫⎪⎪−⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭k 为任意常数.再由()123412341111,,,1111A βαααααααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+++==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，知1111⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭为非齐次线性方程组Ax β=的一个特解,于是Ax β=的通解为1112,1110x k ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪=+⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭其中k 为任意常数.十、设,A B 为同阶方阵，(1)如果,A B 相似，试证,A B 的特征多项式相等； (2)举一个二阶方阵的例子说明（1）的逆命题不成立； (3)当,A B 均为实对称矩阵时，试证（1）的逆命题成立.【详解】（1）若,A B 相似，则存在可逆矩阵,P 使得1P AP B −=,故()111 E B E P AP P E A PP E A P E Aλλλλλ−−−−=−=−=−=−（2）令1111,0101A B ⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠则E A λ−＝E B λ−＝()21λ−但,A B 不相似，否则，存在可逆矩阵,P 使得11,B P AP P P E −−===矛盾.（3）由,A B 均为实对称矩阵知，,A B 均象素于对角阵，若,A B 得特征多项式相等，记特征多项式得根为1,,n λλL ，则有1111~,~n n A B λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦O O 即存在可逆矩阵,P Q ,使1111n P AP Q BQ λλλ−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦O 于是()()111.PQA PQB −−−=故,A B 为相似矩阵.十一、设随机变量X 的概率密度为()1cos ,0220, x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望. 【详解】 因为()333011331 1cos 2211sin 22|P X P X f x dxxdx x πππππ−∞−∞⎧⎫⎧⎫>=−≤=−⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭=−=−=∫∫所以11~,42Y B ⎛⎞⎜⎟⎝⎠，从而 ()()()142,2111411,22E Y np D Y np p ==⋅=⎛⎞=−=⋅⋅−=⎜⎟⎝⎠故 ()()()222125E Y D Y E Y =+=+=⎡⎤⎣⎦十二、设总体X 的概率分布为X0 1 2 3P2θ()21θθ−2θ12θ−其中102θθ⎛⎞<<⎜⎟⎝⎠是未知参数，利用总体X 的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值. 【详解】()()()220121231234E X θθθθθθ=×+×−+×+×−=−()13130312328x =×+++++++=令(),E X x =即 342,θ−= 得θ的矩估计值为14θ=对于给定的样本值，似然函数为(){}()()()()1234567824222463,1,3,0,3,1,2,3 2112 4112L P X X X X X X X X θθθθθθθθθ==========−−⎡⎤⎣⎦=−−则()()()ln ln 46ln 2ln 14ln 12,L θθθθ=++−+− 那么()()2ln 62862824112112d d θθθθθθθθθθ−+=−−=−−−− 令ln 0,d d θθ=解得 (1,21713,12θ=± 但(117122θ=>，不合题意，故θ的最大似然估计值(1713θ=12。
2002-数二真题、标准答案及解析
1 et
−
et
1 +
1
⎞⎟⎠dt
=
−
1 2
−
x+ ex +1
ln
et et +1
x
=
−
1 2
−
x ex +1
+
ln
ex + ex +1
ln
2.
0
所以
F
(
x
)
=
⎧1 ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪⎪⎩ −
x3 + x2 − 1 , 2
1 2
−
e
x
x +
1
+
ln
e
ex x+
1
+
ln
2,
−1 ≤ x < 0 0≤ x≤1
⎡ λ −2 −2 ⎤ λ 2 2
λE − A = ⎢⎢−2 λ − 2
−2
⎥ ⎥
=
0
λ
λ
⎢⎣−2 −2 λ − 2⎥⎦ 2 2 λ − 2
λ2 2
= λ 0 1 1 = λ2 (λ − 4),
2 2 λ−2
-2-
所以非零特征值为 λ ＝4.
二、选择题
（1）设函数 f (u )可导，y = f (x2 )当自变量x在x = −1处取得增量 ∆x = −0.01时，相
β1＝k1α1 + k2α2 + k3α3,
于是通过列初等变换有
(α1，α2，α3, k β1 + β2 )＝(α1，α2，α3, kk1α1 + kk2α2 + kk3α3 + β2 ) → (α1，α2，α3, β2 )
2002年考研数学一真题及答案
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)⎰∞+exx dx2ln =.(2)已知函数()y y x =由方程0162=-++x xy e y确定,则(0)y ''= . (3)微分方程02='+''y y y 满足初始条件011,'2x x yy ====的特解是.(4)已知实二次323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换x Py =可化成标准型216y f =,则a =.(5)设随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为12,则μ＝ .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续; ②),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数连续; ③),(y x f 在点),(00y x 处可微;④),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数存在．若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ,则有（ ）(A) ②⇒③⇒①. (B) ③⇒②⇒①. (C) ③⇒④⇒①.(D) ③⇒①⇒④.(2)设0(1,2,3,)n u n ≠=,且lim1n nnu →∞=,则级数11111(1)()n n n n u u ∞+=+-+∑（ ） (A) 发散.(B) 绝对收敛.(C) 条件收敛. (D) 收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导,则（ ）(A) 当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(B) 当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x .(C) 当0lim ()0x f x +→=时,必有0lim ()0x f x +→'=. (D) 当0lim ()x f x +→'存在时,必有0lim ()0x f x +→'=.(4)设有三张不同平面的方程123i i i i a x a y a z b ++=,3,2,1=i ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为２,则这三张平面可能的位置关系为（ ）(5)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则（ ）(A) 1()f x ＋2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (B) 1()f x 2()f x 必为某一随机变量的概率密度. (C) 1()F x ＋2()F x 必为某一随机变量的分布函数. (D) 1()F x 2()F x 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数,且(0)0,(0)0f f '≠≠,若()(2)(0)af h bf h f +-在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.已知两曲线)(x f y =与⎰-=x t dt e y arctan 02在点(0,0)处的切线相同,写出此切线方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分)计算二重积分dxdy e Dy x ⎰⎰},max{22,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .六、(本题满分8分)设函数)(x f 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数,L 是上半平面(y ＞0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(b a ,),终点为(d c ,).记2221[1()][()1],L xI y f xy dx y f xy dy y y=++-⎰(1)证明曲线积分I 与路径L 无关;(2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数333369()1()3!6!9!(3)!n x x y x x n =++++++-∞<<+∞满足微分方程x e y y y =+'+'';(2)利用(1)的结果求幂级数30(3)!nn x n ∞=∑的和函数.设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy 坐标面,其底部所占的区域为2{(,)|D x y x =275}y xy +-≤,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方向导数的最大值为),(00y x g ,试写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说,要在D 的边界线2275x y xy +-=上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.九、(本题满分6分)已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ,4321,,,αααα均为4维列向量,其中432,,ααα线性无关,3212ααα-=,如果4321ααααβ+++=,求线性方程组β=Ax 的通解.十、(本题满分8分)设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当,A B 均为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.设维随机变量X 的概率密度为10,cos ,()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他.对X 独立地重复观察４次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分)其中1(0)2θθ<<是未知参数,利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求θ的矩估计值和最大似然估计值.参考答案一、填空题 (1)【答案】1 【解析】 原式2ln 11.ln ln eed x x x+∞+∞==-=⎰(2)【答案】-2【解析】 方程两边对x 两次求导得'6'620,y e y xy y x +++=① 2'''6''12'20.y y e y e y xy y ++++=②以0x =代入原方程得0y =,以0x y ==代入①得'0,y =,再以'0x y y ===代入②得''(0) 2.y =-(3)【答案】y =【解析】 这是二阶的可降阶微分方程.令'()y P y =(以y 为自变量),则'''.dy dP dPy P dx dx dy=== 代入方程得20dP yPP dy +=,即0dPy P dy +=(或0P =,但其不满足初始条件01'2x y ==). 分离变量得0,dP dy P y+= 积分得ln ln ',P y C +=即1C P y=(0P =对应10C =); 由0x =时11,',2y P y ===得11.2C =于是又由01x y==得21,C =所求特解为y =(4)【答案】2【解析】 因为二次型Tx Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A 的特征值,所以6,0,0是A 的特征值.又因iiia λ=∑∑,故600, 2.a a a a ++=++⇒=(5)【答案】4【解析】 设事件A 表示“二次方程042=++X y y 无实根”,则{1640}{A X X =-<=>4}.依题意,有1(){4}.2P A P X =>=而 4{4}1{4}1(),P X P X μΦσ->=-≤=-即414141(),(),0. 4.22μμμΦΦμσσσ----===⇒=二、选择题 (1)【答案】(A)【解析】 这是讨论函数(,)f x y 的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,(,)f x y 的两个偏导数连续是可微的充分条件,若(,)f x y 可微则必连续,故选(A).(2)【答案】(C)【解析】 由1lim 101n n un n→+∞=>⇒充分大时即,N n N ∃>时10n u >,且1lim 0,n nu →+∞=不妨认为,0,n n u ∀>因而所考虑级数是交错级数,但不能保证1nu 的单调性. 按定义考察部分和111111111111(1)()(1)(1)nn nk k k n k k k k k k k S u u u u +++===++=-+=-+-∑∑∑ 1111111(1)11(1)1(1)(),k n nn l k l k l n n u u u u u ++==+--=-+-=+→→+∞∑∑⇒原级数收敛.再考察取绝对值后的级数1111()n n n u u ∞=++∑.注意111112,11n n n n u u n n n u u n n++++=+⋅→+11n n ∞=∑发散⇒1111()n n n u u ∞=++∑发散.因此选(C).(3)【答案】(B)【解析】 证明(B)对:反证法.假设lim ()0x f x a →+∞'=≠,则由拉格朗日中值定理,(2)()'()()f x f x f x x ξ-=→∞→+∞(当x →+∞时,ξ→+∞,因为2x x ξ<<);但这与(2)()(2)()2f x f x f x f x M -≤+≤矛盾(()).f x M ≤(4)【答案】(B)【解析】 因为()()23r A r A ==<,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是()() 3.r A r A ==(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故()2r A =和()3r A =,且A 中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故()2r A =,()3r A =,且A 中有两个平行向量共线.(5)【答案】(D)【解析】 首先可以否定选项(A)与(C),因121212[()()]()()21,()()112 1.f x f x dx f x dx f x dx F F +∞+∞+∞-∞-∞-∞+=+=≠+∞++∞=+=≠⎰⎰⎰对于选项(B),若121,21,1,01,()()0,0,x x f x f x -<<-<<⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他，其他，则对任何(,),x ∈-∞+∞12()()0f x f x ≡,12()()01,f x f x dx +∞-∞=≠⎰因此也应否定(C),综上分析,用排除法应选(D).进一步分析可知,若令12max(,)X X X =,而~(),1,2,i i X f x i =则X 的分布函数()F x 恰是12()().F x F x1212(){max(,)}{,}F x P X X x P X x X x =≤=≤≤1212{}{}()().P X x P X x F x F x =≤≤=三、【解析】用洛必达法则.由题设条件知lim[()(2)(0)](1)(0).h af h bf h f a b f →+-=+-由于(0)0f '≠,故必有10.a b +-=又由洛必达法则 00()(2)(0)'()2'(2)limlim1h h af h bf h f af h bf h h →→+-+= (2)'(0)0,a b f =+=及(0)0f '≠,则有20a b +=.综上,得2, 1.a b ==-四、【解析】由已知条件得(0)0,f =22arctan arctan 02'(0)()'1,1xx t xx x ef e dt x --=====+⎰故所求切线方程为y x =.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得02()(0)2()(0)lim ()2lim 2lim 2'(0) 2.2n n x f f f x f n nf f n xn→∞→∞→--==== 五、【解析】D 是正方形区域如图.因在D 上被积函数分块表示2222,,max{,}(,),,,x x y x y x y D y x y ⎧≥⎪=∈⎨≤⎪⎩于是要用分块积分法,用y x =将D 分成两块:1212,{},{}.D D D D D y x D D y x ==≤=≥⇒I 222212max{,}max{,}x y x y D D edxdy edxdy =+⎰⎰⎰⎰2221212x y x D D D e dxdy e dxdy e dxdy =+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D 关于y x =对称)2102xx dx e dy =⎰⎰(选择积分顺序)22112 1.x x xe dx ee ===-⎰六、【解析】(1)易知Pdx Qdy +∃原函数,2211()()()()()x Pdx Qdy dx yf xy dx xf xy dy dy ydx xdy f xy ydx xdy y y y+=++-=-++ 0()()()[()].xy x xd f xy d xy d f t dt y y =+=+⎰⇒在0y >上Pdx Qdy +∃原函数,即0(,)()xy xu x y f t dt y=+⎰.⇒积分I 在0y >与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得(,)(,)(,).c d a b c a I u x y d b==- 七、【证明】(1)因为幂级数3693()13!6!9!(3)!n x x x x y x n =++++++的收敛域是()x -∞<+∞,因而可在()x -∞<+∞上逐项求导数,得25831'()2!5!8!(31)!n x x x x y x n -=+++++-,4732''()4!7!(32)!n x x x y x x n -=+++++-,所以2'''12!!n x x x y y y x e n ++=+++++=()x -∞<+∞.(2)与'''xy y y e ++=相应的齐次微分方程为'''0y y y ++=,其特征方程为210λλ++=,特征根为1,2122λ=-±.因此齐次微分方程的通解为212(sin )x Y e C x C x -=+. 设非齐次微分方程的特解为x y Ae *=,将y *代入方程'''xy y y e ++=可得13A =,即有13x y e *=.于是,方程通解为2121()3xx y Y y e C x C x e -*=+=++. 当0x =时,有112121(0)1,23,0.311'(0)0.23y C C C y C ⎧==+⎪⎪⇒==⎨⎪==-++⎪⎩于是幂级数30(3)!n n x n ∞=∑的和函数为221()cos323x x y x e x e -=+()x -∞<+∞八、【解析】(1)由梯度向量的重要性质:函数),(y x h 在点M 处沿该点的梯度方向0000(,)(,)0000(,){,}{2,2}x y x y h hh x y x y y x x y∂∂==-+-+∂∂grad方向导数取最大值即00(,)(,)x y h x y grad 的模,00(,)g x y ⇒=(2)按题意,即求(,)g x y 求在条件22750x y xy +--=下的最大值点⇔22222(,)(2)(2)558g x y y x x y x y xy =-+-=+-在条件22750x y xy +--=下的最大值点. 这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数2222(,,)558(75),L x y x y xy x y xy λλ=+-++--则有22108(2)0,108(2)0,750.Lx y x y x Ly x y x y L x y xy λλλ⎧∂=-+-=⎪∂⎪∂⎪=-+-=⎨∂⎪⎪∂=+--=⎪∂⎩ 解此方程组:将①式与②式相加得()(2)0.x y x y λ++=⇒=-或 2.λ=-若y x =-,则由③式得2375x =即5, 5.x y =±=若2,λ=-由①或②均得y x =,代入③式得275x =即x y =±=±于是得可能的条件极值点1234(5,5),(5,5),(M M M M ----现比较222(,)(,)558f x y g x y x y xy ==+-在这些点的函数值:1234()()450,()()150.f M f M f M f M ====因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在1234,,,M M M M 中取到.因此2(,)g x y 在12,M M 取到在D 的边界上的最大值,即12,M M 可作为攀登的起点. 九、【解析】由432,,ααα线性无关及3212ααα-=知,向量组的秩1234(,,,)3r αααα=,即矩阵A 的秩为3.因此0Ax =的基础解系中只包含一个向量.那么由123412312(,,,)2010ααααααα⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦知,0Ax =的基础解系是(1,2,1,0).T-再由123412341111(,,,)1111A βαααααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦知,(1,1,1,1)T是β=Ax 的一个特解.故β=Ax 的通解是1121,1101k ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.十、【解析】(1)若,A B 相似,那么存在可逆矩阵P ,使1,P AP B -=故111E B E P AP P EP P AP λλλ----=-=-11().P E A P P E A P E A λλλ--=-=-=-(2)令0100,,0000A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么2.E A E B λλλ-==- 但,A B 不相似.否则,存在可逆矩阵P ,使10P AP B -==.从而100A P P-==,矛盾,亦可从()1,()0r A r B ==而知A 与B 不相似.(3)由,A B 均为实对称矩阵知,,A B 均相似于对角阵,若,A B 的特征多项式相等,记特征多项式的根为1,,,n λλ则有A 相似于1,n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 也相似于1.n λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦即存在可逆矩阵,P Q ,使111.n P AP Q BQ λλ--⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是111()().PQ A PQ B ---=由1PQ -为可逆矩阵知,A 与B 相似.十一、【解析】由于311{}cos ,3222x P X dx πππ>==⎰依题意,Y 服从二项分布1(4,)2B ,则有2222111()()4(4) 5.222EY DY EY npq np =+=+=⨯⨯+⨯=十二、【解析】22012(1)23(12)34,EX θθθθθθ=⨯+⨯-+⨯+⨯-=-1(3).4EX θ=-θ的矩估计量为1ˆ(3),4X θ=-根据给定的样本观察值计1(31303123)8x =+++++++2.=因此θ的矩估计值11ˆ(3).44x θ=-= 对于给定的样本值似然函数为624()4(1)(12),ln ()ln 46ln 2ln(1)4ln(12),L L θθθθθθθθ=--=++-+-2ln ()62824286.112(1)(12)d L d θθθθθθθθθθ-+=--=----令ln ()0d L d θθ=,得方程2121430θθ-+=,解得θ=(1,2θ=>不合题意).于是θ的最大似然估计值为7ˆ12θ=。
2002考研数一真题解析
P1AP
0
0
，即
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6 0 0 A 0 0 0
0 0 0 相似矩阵具有相同的特征值，知 0 是 A 的特征值，根据特征值的定义，有 0E A A 0
a22
a4 2 2
A 2 a 2 把第2，3列加到第1列 a 4 a 2
22a
a4 2 a
12 2
12 2
提取第1列 (a
解之得， y2 x C2, y x C2 .以 y x0 1 代入，得1 C2 ，所以应取“+”号
且 C2 1. 于是特解是 y x 1 .
方法 2：将
yy
y2
0 改写为 ( yy) 0 ，从而得
yy C1 .
以初始条件
y(0) 1, y(0)
1 2
代
入
，
有
1
1 2
(2) lim F (x) 0, lim F (x) 1; (3) F (x) 右连续.
x
x
我们可以用以上的充要条件去判断各个选项，也可以用随机变量的定义直接推导.
【详解】方法 1：
(A)选项不可能，因为
[ f1(x) f2 (x)]dx f1(x)dx f2 (x)dx 11 2 1
n1
un un1
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Sn
1 ( u1
1 u2
)( 1 u2
1 u3
)
( 1 u3
1 u4
)
(1)n1( 1 un
1 )
un1
1 u1
(1)n1 1 un1
n 由 lim
u n n
1 0 知，当 n 充分大时， un
2002年研究生入学考试数学试卷分析
⼀、2002年数学命题的指导思想 全国硕⼠研究⽣数学考试是选拔经济管理类、⼯学类硕⼠研究⽣重要的专业基础课考试，其性质属于具有选拔性的常模参照性考试。
数学考试分数学⼀、数学⼆、数学三和数学四。
数学⼀适合对数学要求较⾼的⼯学各专业，数学⼆适合于对数学要求较低的⼯学、管理学有关专业，数学三适合于对数学要求较⾼的经济学各专业，数学四适合于对数学要求较低的经济学各专业。
为贯彻命题的指导思想，2002年数学命题遵循以下要求： 1.严格按照2002年教育部颁布的《全国硕⼠研究⽣⼊学考试数学考试⼤纲》规定的考试内容和考试要求进⾏命题；做到试题内容、认知层次的要求、内容⽐例、题型⽐例符合⼤纲的规定；不出超纲题、偏题、怪题。
2.试题以考查数学的基本概念、基本⽅法和基本原理为主，在此基础上，加强对考⽣的运算能⼒、抽象概括能⼒、逻辑思维能⼒、空间想像能⼒、综合运⽤所学知识解决实际问题能⼒的考查。
3.⼒求试卷难度控制在0.5～0.55之间，并确保试题具有较⾼的区分度，能将优秀的学⽣区分出来。
具体说，试题的平均分控制在50～55分之间，区分度在0.3以上。
4.题量和试卷分量适当。
各卷试题量控制在20题（填空题5道，选择题5道，计算证明题10道），试题份量以优秀⽔平的考⽣能在规定的时间⾥从容地完成试题作答为宜。
5.主客观性试题在试卷中的占分⽐例保持73.主观性试题包括计算题、证明题、综合题和应⽤题。
客观性试题有填空题和选择题。
6.充分发挥各种题型功能。
填空题主要⽤于考查三基以及数学重要性质，⼀般不出省去解答过程的⼤计算题，以中、低等难度的试题为主。
选择题主要考查考⽣对数学概念、数学性质的理解并能进⾏简单推理、判定和⽐较，⼀般不出成纯粹的计算题，以中等难度的试题为主。
主观性试题也要有坡度，有考查基本运算的试题，有考查综合运⽤的试题，有考查逻辑推理的试题，有考查分析问题和解决实际问题能⼒的试题。
7.试题要有⼀定的内容覆盖⾯，但不求⾯⾯俱到，以确保内容效度。
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十、(本题满分 8 分) 设 A, B 为同阶方阵,
(1)若 A, B 相似,证明 A, B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.
(5)【分析】
首先可以否定选项(A)与(C),因
+∞
+∞
+∞
∫ ∫ ∫ −∞ [ f1(x) + f 2(x)]dx = −∞ f1(x)dx + −∞ f 2(x )dx = 2 ≠ 1,
F1(+∞) + F2( +∞) =1 +1 = 2 ≠1.
对 于 选 项 (B), 若
⎧1, −2 < x < −1,
(A)当 lim f (x) = 0 时,必有 lim f ′(x) = 0
x→ +∞
x→ +∞
有 lim f ′(x) = 0 x→ +∞
(C) 当 lim f ( x) = 0 时,必有 lim f ′( x) = 0
x →0+
x →0+
(B)当 lim f ′( x) 存在时, 必 x →+∞
三、(本题满分 6 分) 设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域具有一阶连续导数,且 f (0) f ′(0) ≠ 0 ,当 h → 0
时,若 af (h) + bf (2h) − f (0) = o(h) ,试求 a,b 的值.
四、(本题满分 7 分)
∫ 已知两曲线 y = f (x) 与 y = arctan x e−t 2 dt 在点 (0, 0) 处的切线相同.求此切线的 0
dy
dy
y
'
x=0
=
1 2
).
分离变量得 dP + dy = 0, Py
积分得
ln
P
+ ln
y
= C ', 即 P = C1 y
( P = 0 对应 C1 = 0 );
1
1
由x
=
0时
y
= 1, P
=
y'=
, 2
得 C1
=
.于是 2
y'
=
P
=
1 2y
,2
ydy
=
dx, 积分得
y2
=
x
+ C2 .
又由 y x=0 = 1得 C2 = 1,所求特解为 y = x +1.
(5)设随机变量 X ~ N (µ,σ 2 ) ,且二次方程 y 2 + 4y + X = 0 无实根的概率 为
0.5,则 µ =_____________.
二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项 中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
2002 年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上)
∫ +∞
(1)
dx
= _____________.
e x ln 2 x
(2)已知 e y + 6xy + x2 −1 = 0 ,则 y′′(0) =_____________.
D = {( x, y) | x 2 + y 2 − xy ≤ 75} ,小山的高度函数为 h(x, y) = 75 − x 2 − y 2 + xy .
(1)设 M (x0, y0 ) 为区域 D 上一点,问 h(x, y) 在该点沿平面上何方向的方向导 数最大?若此方向的方向导数为 g( x0 , y0 ) ,写出 g( x0 , y0 ) 的表达式.
(4)【分析】 因为二次型 xT Ax 经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的
系数就是二次型矩阵 A的特征值,所以 6, 0, 0是 A的特征值.
又因 ∑ aii = ∑ λi ,故 a + a + a = 6 + 0 + 0, ⇒ a = 2.
(5)【分析】 设 事 件 A 表 示 “ 二 次 方 程 y 2 + 4 y + X = 0 无 实 根 ” , 则
滑曲线,起点为( a,b ),终点为( c, d ).
∫ 记 I = 1[1 + y 2 f ( xy)]dx + x [ y 2 f ( xy) −1]dy ,
y
y2
(1)证明曲线积分 I 与路径 L 无关. (2)当 ab = cd 时,求 I 的值.
七、(本题满分 7 分)
∑∞
(1)验证函数 y(x) =
⎧1, 0< x < 1,
f1(x) = ⎨⎩0,其他， f 2(x) = ⎨⎩0,其他，
则
对
任
何
x ∈(−∞, +∞),
+∞
∫ f1(x) f 2(x) ≡ 0 , −∞ f1(x) f 2(x)dx = 0 ≠1, 因此也应否定(C),综上分析,用排除法应
选(D).
进一步分析可知,若令 X = max( X1, X2) ,而 Xi ~ fi( x), i = 1, 2, 则 X 的分布函数 F( x) 恰是 F1( x) F2 ( x).
(5)设 X 和 Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为 f X (x)
和 f Y ( y) ,分布函数分别为 FX ( x) 和 FY ( y) ,则
(A) f X (x) ＋ f Y ( y) 必为密度函数 度函数
(B) f X (x) f Y ( y) 必为密
(C) FX ( x) ＋ FY ( y) 必为某一随机变量的分布函数 (D) FX ( x) FY ( y) 必为某 一随机变量的分布函数.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点 作为攀登的起点.也就是说要在 D 的边界线上找出使(1)中 g( x, y) 达到最大值的 点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分 6 分) 已 知 四 阶 方 阵 A = (α1, α2, α3, α4 ) , α1, α2, α3, α4 均 为 四 维 列 向 量 , 其 中
方程,并求极限 lim nf ( 2) .
n→∞
n
五、(本题满分 7 分)
∫∫ 计算二重积分 emax{x 2 ,y d 2} xdy ,其中 D = {( x, y) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} . D
六、(本题满分 8 分) 设函数 f (x) 在 R 上具有一阶连续导数, L 是上半平面( y >0)内的有向分段光
(1)考虑二元函数 f (x, y) 的四条性质:
① f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续, ② f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的一阶偏导数连续,
③ f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微, ④ f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处的一阶偏导数存在.
(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是 r (A) = r (A ) = 3. (C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行, 故r(A) = 2和
r (A) = 3,且 A中任两个平行向量都线性无关.
类似地,(D)中有两个平面平行,故 r (A) = 2 , r (A) = 3 ,且 A中有两个平行向量 共线.
(3) yy′′ + y′2 = 0 满足初始条件 y(0) = 1, y′(0) = 1 的特解是_____________. 2
(4)已知实二次型
f
(x1 ,
x2
,
x3
)
=
a ( x12
+
x
2 2
+
x32 )
+
4x1 x2
+
4x1 x3
+
4x2
x3
经正交
变换可化为标准型 f = 6 y12 ,则 a =_____________.
=
n un
+
n +1 n ⋅→
un+1 n +1
2,
n
∑ ∑ ∞ 1 发散 ⇒ ∞ ( 1 + 1 ) 发散.因此选(C).
n n=1
u u n=1 n
n+1
(3)【分析】 理,
证明(B)对:反证法.假设 lim f ′( x) = a ≠ 0 ,则由拉格朗日中值定 x→+∞ f (2x)− f (x) = f '(ξ )x → ∞(x → +∞)
(3)当 A, B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分 7 分) 设维随机变量 X 的概率密度为
f (x) =
1 cos x 22 0
0≤ x≤ x 其它
对 X 独立地重复观察 4 次,用 Y 表示观察值大于 π 的次数,求 Y 2 的数学期 3
望.
十二、(本题满分 7 分)
x3n ( − ∞ < x < +∞ )满足微分方程 y′′ + y′ + y = ex .
n=0 (3n)!
∑∞
(2)求幂级数 y(x) =
x3n 的和函数.
n=0 (3n)!
八、(本题满分 7 分) 设 有 一 小 山 , 取 它 的 底 面 所 在 的 平 面 为 xoy 面 , 其 底 部 所 占 的 区 域 为