吉林大学“控制工程基础”_Ch22

例 求如图所示无源系统的传递函数 解
Ri + L c di + uc = ui dt
u o = uc
duo = ic = i dt
RC
duo d 2u + LC 2o + uo = ui dt dt
两边进行拉氏变换
得
RCsU 0 ( s) + LCs2U 0 ( s) + U 0 ( s) = U i ( s)
二阶环节 时滞环节
输出函数成比例
可表示为
x o (t ) = kx i ( t ) 设初始条件为零
将上式两边进行拉氏变换 G (s) = xo ( s) =k xi ( s)
得
x o ( s ) = kxi ( s ) 即
这表明 输出量与输入量成正比 所以又称为 无惯性环节
（３） 如果系统的传递函数已知 则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的 输出或响应 以便掌握系统的性质(系统的结构和参数)
（４） 如果不知道系统的传递函数 的实验方法
则可通过引入已知输入量并研究系统输出量 系统的传递函数一旦被确定 就能对系
确定系统的传递函数
统的动态特性进行充分描述 二 １ 传递函数性质 传递函数是 s 的有理真分式 项式各项系数均是实数 ２
已知 ｕ ｏ （ｔ ） = −
经拉氏变换后得 Ｇ （ｓ ） =
Ｕ ｏ (ｓ ) = −
则
Ｕ ｏ （ｓ ） Ｒ = − ２ Ｕ ｉ （ｓ ） Ｒ１
例 如图所示齿轮传动副 ｚ １ ，ｚ ２ 为齿轮齿数 已知 nO ( t ) ⋅ z2 = ni ( t ) ⋅ z1 经拉氏变换后得 ２ 一阶惯性环节
在第二种形式中 系统的极点 在复平面中 极点用 ｘ
特征方程的根就是
零点用 标注
ｏ
标注
G ( s ) 的零极点分布情况决定系统 的动态性能 下面举例来看
小结
――传函零极点的作用 但它可影响各运动模态在响应中的比重
（１） 传递函数的极点产生运动模态 （２） 零点不能生成自由运动模态 零点越靠近某极点 小
具有复变函数所有性质
即n ≥ m
且分母多
传递函数仅仅由系统结构和参数所决定 是系统本身的一种属性 输入量的大小 性质 形式无关
而与外
３
不管什么形式的物理系统 只要它们的微分方程完全相同
其传递函数就
完全相同 这是应用仿真实验研究各种性质物理系统的基础 具有相同传递 函数的系统称为 相 似 系 统 这个概念很重要 因为可以用电系统来模拟其它 系统 ４ 一般来说 电系统更容易通过实验来研究
因此
它能预测信号
的变化趋势 所以
改善系统的动态特性
但是它同时也会将噪声放大
５ 二阶振荡环节 如果输入 输出函数可表达为如下二阶微分方程
&&o ( t ) + 2ξTx & o ( t ) + xo ( t ) = x i ( t ) T 2x
经拉氏变换得
T 2 s 2 xo ( s) + 2ξTsxo ( s) + xo ( s ) = x i ( s)
则 G ( s) = ωn =
ξ = 0时 0 < ξ <1时 ξ =1时
1 X o ( s) ωn 2 = 2 2 = 2 X i ( s ) T s + 2ξTs + 1 s + 2ξω ns + ωn 2
L[ky] = kY ( s) L[ x ] = X ( s)
如果设初始条件为零
( ms2 + fs + k)Y ( s) = X ( s)
即
& ( 0) = 0 y (0 ) = 0 , y
则可得到方程的拉氏变换为
传递函数为
G(s) =
1 Y (s) = 2 X ( s ) ms + fs + k
大多与比例环节联合应用
组成
（３）近似微分环节 G ( s) =
kTs Ts + 1源自其中k ,T 为常数
例 如图所示无缘微分网络 其中 电压 已知
ui ( t ) 为输入电压 R 为电阻 ui ( t ) = 1 C u0 ( t ) 为输出
C 为电容
∫ i( t)dt + i( t) R
1 I ( s) + RI ( s) Cs U 0 ( s) = RI ( s) U i ( s) =
动态关系与静态关系都一样 或 放大环节
不失真也
不延迟
该环节的参数只有一个
即放大系数 k
工程上无弹性变形的杠杆传动
电子放大器 比例式执行机构
等都是比例环节的一些实际例子
例 如图所示的运算放大器 其中 ｕ ｉ (ｔ ) 为输入电压 ｕ ｏ （ｔ ）为输出电压 Ｒ １ ，Ｒ ２ 为电阻 Ｒ２ ｕ ｉ（ ｔ ） Ｒ１ Ｒ２ Ｕ ｉ (ｓ ) Ｒ１
氏变换与系统输入量拉氏变换之比 ⋅由微分方程获得传递函数 设有一线性定常系统
其微分方程为
& + an y = b0 x ( m) + b1 x ( m−1) + L + bm−1x & + bm x a0 y ( n) + a1 y ( n−1) + L + an−1 y y 是系统的输出量 x 是系统的输入量 初始条件为零时 对上述方程
G( s ) =
这两种模型各有不同的适用范围 可以相互转换
同的模型 称 D( s ) = a 0 s n + a1s n−1 + L an−1s + an = ( s + p0 )( s + p1 )L ( s + pn ) 为系统的特征多项式 称 D( s ) = 0 为特征方程
z0 , z1 ,..., zm 称为零点 p0 , p1,..., pn 称为极点
在初始条件非零情况下不适合
不能用于分析非线性系统
三
传递函数的零点和极点
传递函数有两种基本形式
G( s ) =
（分子分母的多项式形式） （也叫零极点增益模型） 在不同的场合需要用不
Y (s ) b0 s m + b1 sm −1 + L + bm −1s + bm = X (s) a0 sn + a1 s n−1 + Lan −1s + an ( s + z0 )(s + z1 )L( s + z m ) Y ( s) =k ( s + p0 )(s + p1 )L( s + pn ) X ( s)
递函数 G ( s ) 的拉氏反变换是脉冲响应 g (t ) 输入 δ (t ) 输出 g (t ) （脉冲响应）
L(δ (t )) = 1 g (t ) = L−1[ x o (t )] = L−1[G ( s ) xi (t )] = L−1[G ( s )] ５． 传递函数不能反映系统的物理结构 许多物理性质不同的系统 可以有相同 的传递函数（时一种 Ｉ／Ｏ 描述 ６ 局限性 外部描述 等价描述）
1 RC = − k s s
其中
４
微分环节 其中
k 为常数
（ １ ） 理想微分环节 G ( s) = ks
如果输出变量正比于输入量的微分
& i (t) x 0 ( t ) = kx
即
进行拉氏变换后得 则
G (s) =
X 0 ( s ) = ksX i ( s ) X 0 ( s) = ks X i (s)
例 如图所示永磁式直流测速机
θ i ( t ) 为输入转角
其中
u0 ( t ) 为输出电压
已知， u0 ( t ) = k
dθ i ( t ) dt
进行拉氏变换后 则
G( s) =
得
U 0 ( s) = ksθ ( s)
U 0 ( s) = ks θ ( s)
（２） 实际应用时 一阶微分环节
微分环节一般不单独存在 G (s) = xo ( s ) = k (1 + Ts ) xi ( s )
式中
两端进行拉氏变换
就可得到该系统的传递函数
Y ( s ) b0 s m + b1 s m −1 + L + bm −1 s + bm G(s) = = X (s) a 0 s n + a1 s n−1 + L a n −1 s + a n 若 s 的最高阶数为 n 则称系统为 n 阶系统 实际系统中 一般 n ≥ m （因为
其中
ｎｉ （ｔ ）为输入轴转速
ｎＯ (ｔ ) 为输出轴转速
n O ( t ) ⋅ z 2 = ni (t ) ⋅ z1
G(s) =
N O ( s) z1 = N i ( s ) z2
当环节的输入量为阶跃函数时，环节的输出量 将按指数曲线上升，具有惯性 如右图所示 下面是两个例子
则 G( s ) =
U 0 ( s) 1 = 2 U i ( s ) LCs + RCs + 1
上述两个例子虽然物理机理不一样 以在输入输出行为上表现出同类的性质
但因其具有同样结构的传递函数
所
说明 （１） 传递函数的概念仅适用于线性定常系统
（２） 系统的传递函数是一种数学模型 它表示联系输出变量与输入变量的常微 分方程的一种运算方法
则 T= 1 k
称为积分时间常数
特点
（１） 表现出惯性延滞特性 T 小（ k 大）积分快
x i (t ) = 1( t ) 时
x 0 ( t ) 缓慢增长 增长快慢取决于 T