2018年春湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系1、（福建德化）如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB=∠DCE ．(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan ∠ACB=22，BC=2，求⊙O 的半径．答案：1）直线CE 与⊙O 相切。

证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴BD ∥AD ，∠ACB=∠DAC ， 又 ∵∠ACB=∠DCE∴∠DAC=∠DCE,连接OE ，则∠DAC=∠AEO=∠DCE ，∵∠DCE+∠DEC=900∴∠AE0+∠DEC=900∴∠OEC=900∴直线CE 与⊙O 相切。

（2）∵tan ∠ACB=22=BC AB ，BC=2 ∴AB=BC tan ⋅∠ACB=，2 AC=6 又∵∠ACB=∠DCE ∴tan ∠DCE=22∴DE=DC •tan ∠DCE=1 方法一：在Rt △CDE 中，CE=322=+DE CD ， 连接OE ，设⊙O 的半径为r ，则在Rt △COE 中，222CE OE CO +=即3)622+=-r r （ 解得：r=46方法二：AE=CD-AE=1，过点O 作OM ⊥AE 于点M ，则AM=21AE=21 在Rt △AMO 中，OA=466221cos =÷=∠EAO AM 20．(2010年北京崇文区) 如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆O 于点E ，交AC 于点C ，使BED C ∠=∠．（1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若8AC =，4cos 5BED ∠=，求AD 的长．【关键词】切线的证明、弦长的计算 【答案】解：（1）AC 与O 的相切．证明如下：OC AD ⊥∵290AOC ∴∠+∠=°．又2C BED ∠=∠=∠ ， 90AOC C ∠+∠=∴°． AB AC ⊥∴C OBE D即AC 与O 的相切．（2）解：连接BD ．AB ∵是O 直径，90ADB ∴∠=︒在Rt AOC ∆中，90CAO ∠=︒， 8AC = ,90ADB ∠= °．4cos cos 5C BED ∠=∠=． 6AO ∴=,12AB ∴=在Rt ABD ∆中，4cos 2cos 5BED ∠=∠=， 4cos 2125AD AB ∴=⋅∠=⨯=485．8．（2010年门头沟区）如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直 线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值范围是 A ．－1≤x ≤1 B．x ≤2 C ．0≤x ≤2 D ．x ＞2【关键词】圆的切线 【答案】C19. （2010年门头沟区）已知，如图，直线MN 交⊙O 于A,B 两点，AC 是直径， AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若6DE =cm ，3AE =cm ，求⊙O 的半径.【关键词】圆的切线【答案】（1）证明：连接OD ．∵OA=OD ，OAD ODA ∴∠=∠． ∵AD 平分∠CAM ， OAD DAE ∠=∠ ， ODA DAE ∴∠=∠． ∴DO ∥MN ． DE MN ⊥ ，∴DE ⊥OD ．………………………………………………………………………………1分 ∵D 在⊙O 上，DC ∴是⊙O 的切线．……………………………………………………………………2分（2）解：90AED ∠= ，6DE =，3AE =，AD ∴3分连接CD ．AC 是⊙O 的直径，CAOBE D1 2第8题90ADC AED ∴∠=∠= ． CAD DAE ∠=∠ ，ACD ADE ∴△∽△．………………………………………………………………4分AD AC AE AD∴=．=∴15AC =（cm ）．∴⊙O 的半径是7.5cm ．1.（2010年台湾省） 图(四)为△ABC 和一圆的重迭情形，此圆与直线BC 相切于C 点，且与AC 交于另一点D 。

若∠A =70︒，∠B =60︒，则C D的度数为何？ (A) 50 (B) 60(C) 100 (D) 120 。

【关键词】直线和圆的位置关系 【答案】C2.（2010年山东省济南市）如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH AC ⊥于点H ．若2OH =，12AB =，13BO =． 求：（1）⊙O 的半径；（2）AC 的值．【关键词】直线和圆的位置关系 【答案】 解①∵AB 是⊙O 的切线，A 为切点∴OA ⊥AB ………..…………………………1’ 在Rt △AOB 中，AO =²²AB OB -=²12²13-=5 ………..…….2’ ∴⊙O 的半径为5 ②∵OH ⊥AC∴在Rt △AOH 中 AH =²²OH AO -=²2²5-=21 ……….3’ 又∵OH ⊥AC∴AC =2AH =221 ……………….……..4’18、（2010年宁波）如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P在抛物线1212-=x y 上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为___________。

B A BD图(四) x答案：（6，2）或（6-，2）（2010年重庆市潼南县） 如图，在矩形ABCD 中，AB =6 ， BC =4， ⊙O 是以AB 为直径的圆，则直线DC 与⊙O 的位置关系是 .【关键词】直线与圆的位置关系 【答案】相离14．(2010重庆市)已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是_____________.解析：因为圆心O 到直线l 的距离大于⊙O 的半径，所以直线l 与⊙O 相离. 答案：相离.1.(2010年山东聊城)如图，已知R t △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB 为直径作O ，交斜边AC 于点D ，连结BD ．（1）若AD ＝3，BD ＝4，求边BC 的长；（2）取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切．【关键词】切线 【答案】（1）∵AB 为直径,∴∠ADB=90° AD=3 BD=4 AB=5由Rt △ABC ∽Rt △ABD 可得：BC BD AB AD = ∴BC=345⨯=320（2）连接OD,∵BD ⊥AC E 为BC 中点,∴DE=BE,∴∠EBD=∠EDB, ∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠EBD=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°, ∴ED 与⊙O 相切.1. (2010年兰州市)（本题满分10分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；第24题（2）求证：BC=21AB ；（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN ·MC的值.【关键词】 切线的判定 【答案】解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC ⊥CP …………………………………………3分∵OC 是⊙O 的半径∴PC 是⊙O 的切线 …………………………………………………4分（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分∴BC=OC∴BC=21AB ………………………………………………………6分 (3)连接MA,MB ∵点M 是弧AB 的中点∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN∴△MBN ∽△MCB∴BM MNMCBM =∴BM 2=MC ·MN ……………………8分∵AB 是⊙O 的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=22 ………………………………………………………9分∴MC ·MN=BM 2=8 ……………………………………………………10分（2010江苏宿迁）（本题满分10分）如图，AB 是⊙O 的直径， P 为AB 延长线上任意一点，C 为半圆ACB 的中点，PD 切⊙O 于点D ，连结CD 交AB 于点E ．求证：（1）PD =PE ；（2）PB PA PE ⋅=2．【关键词】切线 【答案】证明：(1)连接OC 、OD ………………1分∴OD ⊥PD ，OC ⊥AB•PBAEOCD∴∠PDE=90—∠ODE ， ∠PED=∠CEO=90—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分 ∴PE=PD …………………………………………5分 (2) 连接AD 、BD ………………………………………6分 ∴∠ADB=90∵∠BDP=90—∠ODB ，∠A=90—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A∴∆PDB ∽∆PAD …………………………………………………8分 ∴PDPA PB PD = ∴PB PA PD ⋅=2∴PB PA PE ⋅=28. （2010年安徽中考）如图，⊙O 过点B 、C 。

圆心O 在等腰直角△ABC 的内部，∠BAC ＝900，OA ＝1，BC ＝6，则⊙O 的半径为………………（ ）A ）10B ）32C ）23D ）13 【关键词】直线与圆的位置关系 【答案】C13. （2010年安徽中考） 如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝500，点D 是BAC 上一点，则∠D ＝_______________【关键词】圆内接三角形 【答案】40020．（2010年浙江省东阳市）（8分）如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE=2，ED=4. （1）求证: ABE ∆～ABD ∆；(2) 求tan ADB ∠的值； （3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于 求EDF ∠的度数.【关键词】三角形相似、解直角三角形【答案】（１）∵点A 是弧BC 的中点 ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＢ又∵∠ＢＡＥ＝∠ＢＡＥ ∴△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 （２）∵△ＡＢＥ∽△ＡＢＤ ∴ＡＢ２＝２×６＝１２ ∴ＡＢ＝２3在Ｒｔ△ＡＤＢ中，ｔａｎ∠ＡＤＢ＝33632=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分 （３）连接ＣＤ，可得ＢＦ＝８，ＢＥ＝４，则ＥＦ＝４，△ＤＥＦ是正三角形， ∠ＥＤＦ＝６０°．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分14．(2010重庆市)已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是_____________.解析：因为圆心O 到直线l 的距离大于⊙O 的半径，所以直线l 与⊙O 相离. 答案：相离.28.（2010江苏泰州，28，12分）在平面直角坐标系中，直线y kx b =+（k 为常数且k ≠0）分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，⊙O⑴如图甲，若点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴正半轴上，且OA=OB ．①求k 的值；②若b =4，点P 为直线y kx b =+上的动点，过点P 作⊙O 的切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，当PC ⊥PD 时，求点P 的坐标． ⑵若12k =-，直线y kx b =+将圆周分成两段弧长之比为1∶2，求b 的值．（图乙供选用）【答案】⑴①根据题意得：B的坐标为（0，b），∴OA=OB=b，∴A的坐标为（b，0），代入y＝kx＋b得k＝－1.②过P作x轴的垂线，垂足为F，连结OD.∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，∴∠OPD=∠OPC=12∠CPD=45°，∵∠PDO=90°，，∠POD=∠OPD＝45°，∴OD＝PD OP∵P在直线y＝－x＋4上，设P（m，－m＋4），则OF=m，PF=－m＋4，∵∠PFO=90°，OF2＋PF2＝PO2，∴m2＋(－m＋4)22，解得m=1或3，∴P的坐标为（1，3）或（3，1）⑵分两种情形，y＝－12x＋54，或y＝－12x－54。