自动控制原理第4章习题解答
自动控制原理参考答案-第4章
d) 与虚轴交点：
特征方程： s3 + 2s2 + (2 + Kg )s + 3Kg = 0
s3
1
2+ Kg
s2
2
3Kg
s1 2 − 0.5Kg
s0
3Kg
当 Kg = 4 时， 2s2 +12 = 0 ⇒ s = ±2.45 j
e) 出射角： βsc = ±180(1+ 2n) − ∑ β + ∑α
s3
1
7
s2
2
Kg −10
s1 12 − 0.5Kg
s0 Kg −10
当 Kg = 24 时， 2s2 +14 = 0 ⇒ s1,2 = ±2.65 j
劳斯表的 s0 行为正 ⇒ Kg > 10 ，即10 < Kg < 24 根轨迹如下图：
题 4-6：已知负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s)H(s)
b) 根轨迹趋向： n − m≥ 2 ，则极点-5，-10 之间的根轨迹向右渐进．
c)
渐近线： ⎧⎪⎨ϕk
=
±180(1 + 2
2n)
=
±90o
⎪⎩−σ k = −6.5
d) 分离点与会合点：令 ∂Kg = 0 ∂s
即： 2s3 + 21s2 + 60s +100 = 0 ⇒ s1 = −7.34 ； s2,3 = −1.5794 ± 2.0776j (舍去) 根轨迹如下图：
(4) 稳态速度误差系数是多少？
(5) 系统指标比该点的二阶指标大还是小？如果要求系统有该点二阶指标
的超调量，能否通过改变阻尼线而获得？是增大阻尼比还是减小它？
自动控制原理第4章课后习题答案
第4章4-1 已知系统的开环传函如下,试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,对特殊点要加以简单说明. (1) ()()(4)(1)(2)K s G s H s s s s +=++ (2) ()()2(4)(420)KG s H s s s s s =+++ 解:(1)有3个开环几点,1个开环零点,固有3条根轨迹分别始于0,-1,-2; 1条根轨迹终于-4,另外2条根轨迹趋于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-1~0之间及-4~-2之间 渐近线条数为n-m=3-1=2 渐进线的交点12041312σ++-=-=-渐近线的倾角90θ︒=±分离点22[()()]02152480d G s H s s s s ds =⇒+++= 解得: 12s =- 其它舍去求与虚轴交点:令s j ω=代入特征方程(1)(2)(4)0s s s K s ++++=中得(1)(2)(4)0j j j K j ωωωω++++= 令上式两边实部和虚部分别相等,有226430(2)0 2.83K K K ωωωω⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨+-==±=±⎪⎪⎩⎩绘制系统根轨迹,如图4-1(1)(2)有4个开环几点,无开环零点,有4条根轨迹,分别起始于0,-4, 24j -±终于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-4~0之间; 渐近线条数为n-m=4-0=4 渐进线的交点04242424j j σ++++-=-=-渐近线的倾角45,135θ︒︒=±±分离点22[()()]042472800d G s H s s s s ds=⇒+++=解得: 2s =-由()()1G s H s =得21224(2)4220K=--+--⨯+, K=64绘制系统根轨迹,如图4-1(2)图4-1(1)图4-1(2)4-2 已知系统的开环传函为(2)(3)()()(1)K s s G s H s s s ++=+(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,求取分离点和会和点 (2) 试证明系统的轨迹为圆的一部分解:有2个开环极点,2个开环零点,有2条根轨迹,分别起始于0,-1; 终于-2,-3;实轴上的根轨迹分布在-3~-2之间及-1~0之间分离会和点2221,2,321[()()]02401,12123(2)()()()[()()]0[2(6)4]0203602,18()()[()()]00020,d G s H s s ds KK K s G s H s s s a d G s H s s s a s a dsa a a a s KG s H s sd G s H s s ds a s s =⇒+===-+⨯-++=+=⇒+++=⇒-+≥⇒≤≥===⇒=≤≤=23s ==解得:当10.634s =-时 由()()1G s H s =得(0.6342)(0.6343)10.070.6340.6341K K -+-+=⇒=-⨯-+当2 2.366s =-时 同理 K=13.9 绘制系统根轨迹 如图4-2证明:如果用s j αβ=+代入特征方程1()()0G s H s +=中,并经整理可得到以下方程式:2233()24αβ++=(注:实部虚部相等后消K 可得)显然,这是个圆的方程式,其圆心坐标为3(,0)2-,半径为2图4-24-3 已知系统的开环传函()()(1)(3)KG s H s s s =++(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图(2) 为了使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定K 的范围 解:有2个开环极点,无开环零点,有2条根轨迹,分别起始于-1,-3; 终于无穷远处;实轴上的根轨迹分布-3~-1之间; 渐近线条数2; 渐近线的交点13022σ+-=-=- 渐近线的倾角90θ︒=± 分离会和点[()()]0240d G s H s s ds=⇒+=解:S=-2由()()1G s H s =得1,12123KK ==-+⨯-+绘制系统根轨迹图4-3由图知 当1<K<+∞时系统的响应呈现衰减振荡形式4-4 设负反馈控制系统的开环传函为2(2)()()()K s G s H s s s a +=+试分别确定使系统根轨迹有一个,两个和三个实数分离点的a 值,分别画出图形 解:求分离点2[()()]0[2(6)4]0d G s H s s s a s a ds=⇒+++=解得s=0,或分离点为实数2203602a a a ⇒-+≥⇒≤或18a ≥当a=18时 实数分离点只有s=0 如图4-4(1)当a>18时 实数分离点有三个,分别为1,2,3(6)0,4a s -+=如图4-4(2)当a=2时2()()K G s H s s =分离点[()()]00d G s H s s ds=⇒= 即分离点只有一个s=0 如图4-4(3) 当02a ≤≤分离点有一个s=0 如图4-4(4) 当a<0时 分离点有1230,s s s ===(舍去)如图4-4(5)综上所述：当a=18,0≤a ≤2时，系统有一个分离点 当a ＞18时，系统有三个实数分离点 当a ＜0时，系统有两个分离点a=18图4-4(1) a=2图4-4(2)图4-4(3) a=1图4-4(4)图4-4(5)4-65 已知系统的开环传递函数为3(1)(3)()()K S S G S H S S++=（1）绘制系统的根轨迹。
自动控制原理第二版第四章课后答案
自动控制原理第二版第四章课后答案【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】4-1 系统的开环传递函数为g(s)h(s)?k*(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益k*和开环增益k。
解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s1= -1+j3，由相角条件?g(s1)h(s1)?0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??2??3??6???满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。
将s1代入幅值条件： g(s1)h（s1?k*?1?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4k8*解出： k=12 ，k=*?324-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)k(s?5)s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?⑶ g(s)?k(s?1)s(2s?1)解⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)=10ks(s?5)(s?2)系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5①实轴上的根轨迹：???,?5?, ??2,0?0?2?57?????a??33②渐近线： ????(2k?1)????,?a?33?③分离点：1d?1d?5?1d?2?0解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?解得?????k?7。
根轨迹如图解4-3(a)所j）与虚轴的交点（0，?示。
⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：??5,?3?, ??2,0?0?2?3?(?5)????0a??2②渐近线： ????(2k?1)????a?22?③分离点： 1d?1d?2?1d?3?1d?5用试探法可得 d??0.886。
自动控制原理第4章习题解——邵世凡
第四章 习题4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。
由开环传递函数可知 m=0，n=3，n -m=3。
即，有限零点为0个，开环极点为3个。
其中，3个开环极点的坐标分别为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。
如图所示。
接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p 1=0，p 2=-4，p 3=-5出发奔向无穷远处的零点。
在这一过程中，从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。
根据公式有：渐进线303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：()1=s N ；()()()s s s s s s s D 2095423++=++=；()0'=s N ；()201832'++=s s s D则有：()()()()()0201832''=++-=⋅-⋅s s s D s N s D s N[s ]0201832=++s s解得方程的根为s 1= -4.5275（不合题意舍去）；s 2= -1.4725 得分离点坐标：d = -1.4725。
与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
自动控制原理课后习题第四章答案
然后，根据闭环传递函数的定义，闭环传递函数F(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))。
解析3
将G(s)H(s)代入闭环传递函数的定义中，得到F(s)=100/((s+1)^2+3)/(1+100/((s+1)^2+4)((s+1)^2+3))。
解析4
化简得到F(s)=100/((s+1)^2+3)(4((s+1)^2+3))=400/(4(s^2+2s+3))。
1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
04
题目四答案
题目内容
• 题目四：已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=K/(s^2+2s+2)，其中K>0，试 求系统的闭环极点和稳定性。
答案解析
闭环极点
根据开环传递函数，我们可以求出闭环传递函数为 G(s)H(s)/(1+G(s)H(s))，然后求出闭环极点。由于开环传递函 数为K/(s^2+2s+2)，所以闭环极点为-1±√2i。
标准形式，即 G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
02
解析二
根据开环传递函数的分子和分母，可以得出系统的开环传递函数为
G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
03
解析三
根据开环传递函数，可以求出系统的闭环传递函数为 G(s)H(s) = (s +
自动控制原理课后习题第四章 答案
自动控制原理第四章习题解答
4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗s K s G试用解析法绘出∗K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２＋ｊ０）， （０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２） 解：有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。
根轨迹如图中红线所示。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解：系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。
根轨迹如图中红线所示。
4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
图4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G解：系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s Ks g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。
分离点坐标计算如下：051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d根轨迹如图中红线所示。
（2） )12()1()(++=s s s K s G解：系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：115.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ，d 29.02−=取分离点为7.11−=d ，29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。
自动控制原理_王万良(课后答案4
⎡0 1 0 ⎤ ⎢ ⎥ x ( k + 1) = ⎢ 0 0 1 ⎥ x ( k ) ⎢0 k 0 ⎥ ⎣ 2 ⎦
试求使系统渐进稳定的 K 值范围。 *答案： 0 < K < 2 时系统渐进稳定。
K>0
4.13 非线性系统线性部分的极坐标图，非线性部分的负倒幅特性如图题 4.13 所示。试判断系统是否稳 定，是否存在自激振荡。 图题 4.13 I
4.7 已知闭环离散系统的特征方程为 D(z) = z + 0.2z + z + 0.36z + 0.8 = 0 试判断系统的稳定性。 答案：临界稳定 4.8 如图题 4.8 所示离散系统，采样周期 T=1s，Gh（s）为零阶保持器，而
4 3 2
G (s) =
Κ s ( 0 . 2 s + 1)
要求： （1）K=5 时，分析系统的稳定性； （2）确定使系统稳定的 K 值范围。
第 4 章习题 4.1 已知系统特征方程如下，试用劳斯判据判别系统稳定性，并指出位于右半 S 平面和虚轴上的特征根的 数目。 （1） D( s) = s + s + 4 s + 4 s + 2 s + 1 = 0
5 4 3 2
（2） D( s) = s + 3s + 5s + 9 s + 8s + 6s + 4 = 0
闭环特征方程为：
s ( s − 1) + 10(1 + k n s ) = 0
即 s + (10k n s − 1) s + 10 = 0
2
s2 1 10 1 s 10k n − 1 s0 10 10 k n − 1 > 0, k n > 0.1 稳定 当 k n = 0.1 时，临界稳定 非最小相位系统，当速度及增量 k n 越大，越稳定
自动控制原理-第4章习题解答
( K * = 10 K )
⎧ m = 1: z1 = −1 ⎨ ⎩ n = 3 : p1 = 0; p2 = 0; p3 = −10
k ( s + 1) G (s) H (s) = 2 ， 4-10 某负反馈系统， 试绘制其根轨迹图。 s + s + 10 解： m = 1 z1 = −1
n = 2 p1 = −0.5 + j 3.12 p2 = −0.5 − j 3.12
渐近线： ——不必求 重根点 满足方程： d 2 + 2d − 9 = 0
绘制其根轨迹图。
非最小相位系统
解：⎧ ⎨
m = 1: z1 = −1
⎩ n = 2 : p1 = 0; p2 = 3
重根点：d1 = 1 , d 2 = −3 与虚轴交点：
ω=± 3
●
○
其复数部分根轨迹为圆。
-3
-1
×
●
1
×
3
9
4-16
2 已知系统特征方程为： ( s + 1)( s + 3)( s − 1)( s − 3) + k ( s + 4) = 0 绘制其根轨迹图。
●
渐近线： σ a = +0.5
×
ϕ a = ±900
○
起始角：
θ p = 00，θ p = 00
2 3
-2
-1
×
自动控制原理第四章答案
自动控制原理第四章答案在自动控制原理的学习中，第四章是一个重要的环节，本章主要讲解了控制系统的稳定性。
在这一章节中，我们将学习如何分析控制系统的稳定性，并且掌握相应的解决方法。
接下来，我将为大家详细介绍第四章的内容及答案。
1. 什么是控制系统的稳定性？控制系统的稳定性是指当系统受到干扰时，系统能够保持平衡状态或者在一定的范围内回到平衡状态的能力。
在控制系统中，稳定性是一个非常重要的指标，它直接关系到系统的可靠性和性能。
2. 如何分析控制系统的稳定性？要分析控制系统的稳定性，我们通常采用的方法是利用系统的传递函数进行分析。
通过传递函数的极点和零点，我们可以判断系统的稳定性。
另外，我们还可以利用根轨迹法、Nyquist法、Bode图等方法进行分析。
3. 控制系统的稳定性解决方法有哪些？针对不同的稳定性问题，我们可以采取不同的解决方法。
比如，对于系统的根轨迹出现在右半平面的情况，我们可以采取根轨迹设计法进行修正；对于系统的相位裕度不足的情况，我们可以采取相位裕度补偿的方法进行调整。
4. 控制系统的稳定性分析在工程中的应用。
控制系统的稳定性分析在工程中有着广泛的应用，比如在飞行器、汽车、机器人等自动控制系统中，稳定性分析是至关重要的。
只有保证了系统的稳定性，才能确保系统的可靠性和安全性。
5. 总结。
通过本章的学习，我们对控制系统的稳定性有了更深入的了解。
掌握了稳定性分析的方法和解决方案，我们可以更好地应用于工程实践中，提高系统的性能和可靠性。
希望本文的内容能够帮助大家更好地理解自动控制原理第四章的内容，并且在学习和工程实践中取得更好的成绩。
自动控制原理第四章课后习题答案(免费)
自动控制原理第四章课后习题答案（免费）4－1 判断下列二次型函数的符号性质：(1) 222123122313()4262Q x x x x x x x x x x =++--- 解:()T V x x px =,其中:111143131P --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,30,160p =>=>==-< 所以,此二次型函数不定.(2) 222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 解: ()T V x x px =,其中111113211112P ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦,P 的各阶主子式:12310,20,17.50p =-<=>==-< 所以,P 为负定的.4-2 已知二阶系统的状态方程：11122122a a x x a a •⎛⎫= ⎪⎝⎭试确定系统在 平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解:坐标原点为该系统的一个平衡点,选取李亚普诺夫函数为()T V x x px =,其中:T A P PA Q +=-,取Q=I 得:112111121112111212221222122221221001a a p p p p a a a a p p p p a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,展开可得,其中1221p p =:11112112111221221111211212112212121122121212222211122122121222221001a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p a p ++++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦()211211111121121112122222121222111222121211212222111222121211212211221212112122122212221120200a p p a p a p a a p a p a p p a p a p a p a p a a p a p a p a p a a p a p a p --⎧=⎪+=-⎧⎪⎪+=---⎪⎪→=⎨⎨+++=⎪⎪⎪⎪+++=+++=⎩⎪⎩()()21121212112212122111221122211112221122221112212211122112120222a p a p a a p a a a a a a a a p a a a a a a a a a a ----⇒++⋅+⋅=+=+--1222211112211122112221122()()a a a a p p a a a a a a +⇒==+-解之得:221122211221221111221122211222112221121112221122112212212()()2()()a a a a a a p a a a a a a a a a a a a p a a a a a a ⎧-++=⎪+-⎪⇒⎨-++⎪=-⎪+-⎩要使矩阵P 为正定的,则应使:1112112212210,0p p p p p =>=->于是得:22112212212112211221221()()04()()a a a a a a a a a a ++->+-,即:112212*********,00a a a a p a a ->>⇒+< 综上所述在平衡点出渐进稳定的充要条件为:1122112212210,0a a a a a a +<-> 系统为线性的,所以满足上述条件即可满足大范围渐进稳定.4－3 以李雅普诺夫第二方法确定下列系统原点的稳定性：（1）1123x x •-⎛⎫= ⎪-⎝⎭解:求平衡点，12120230x x x x -+=-=，可得00e x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为唯一的平衡点。
广西大学自动控制原理习题答案(本科)第4章
习题参考答案4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为2()(0.21)K G s s s =+试求：⑴使系统增益裕度为10的K 值；⑵使系统相角裕度为30︒的K 值。
解:系统开环频率特性为2)(+=ωωωK i G (1)求10=m g 的K 值：令180ω为相角交越频率，有180arctan 0.245ω=︒，5180=ω由10)04.01(|)(|12180180180=+==K i G g m ωωω可解得K=1。
(2)求30m ϕ=︒的K 值：由定义180()180(902arctan 0.2)30m c c G i ϕωω=︒+∠=︒+-︒-=︒︒=302.0arctan c ω求得系统幅值交越频率c ω=由1)04.01(|)(|2=+=c c c Ki G ωωω85.3)04.01(2=+=c c K ωω注意：涉及相角的计算时，可以（1）逐个计算基本环节的相角，然后叠加起来。
（2）将频率特性展开为实部和虚部，然后计算相角。
计算幅值一般将各个基本环节的幅值相乘。
4-2试由幅相频率计算式()90arg tan arg tanarg tan103(5)2G i G i ωωωω∠=-︒-+-=确定最小相位系统的传递函数。
解:由相频计算式可得出传递函数的形式为(/31)()(1)(101)K s G s s s s +=++由幅频计算式(5)2G i =有2=求得10/3K ω==，所求最小相位系统的传递函数为1312(/31)()(1)(101)s G s s s s +=++4-3已知单位反馈系统开环传递函数)2)(5.1)(1()(+++=s s s Ks G 若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，试用Nyquist 判据确定增益K 的最大值。
解：令1u s =+，则“u 平面所有极点均处于负平面”等价于“s 平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且)1)(5.0()(++=u u u Ku G 可见)(u G 并无右半平面的开环极点，所以)(u G 的Nyquist 轨线不能包围)0,1(i -点。
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理第四章习题解答.
4-3 已知开环零、极点分布如图 4-28 所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１） ， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
试用解析法绘出 K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上：
1
K∗ s +1
量耻九躇捉韵琵潞雁响竹宜瘁涤棱逊夺本唐噪谎软桃粪延锑痛守论尼拐慕锣金寨剖息奶攻妥猛腆装铭八穴佣佩捉饯仿袜止渔说救御烽演冀放盐枷浦玛脉题慨亭藻荤红成幅标恿挨异母咎司忽退滩钮办特笆矗矿价裴蝇舆沿认仕饼铝曹獭魁惟扇比讼严锭县佰匹晋烈岛疲珠珠都乖侦猛缮袁时畸隔缴侧适贫致摇瘤浓襟讯实旦丽簿欲渍穴劣宋汝走循溶坐侵亚袋躬箭鸿糠浸亢访漫框害国傀瞄乍探抵埋依广蛤跨攫卫纶馁伏锭突探南锌钮翼峡沫芜逝饰怯巩伎篇窗狼粗萨搞报妇柱怒撑岩奸拦瞬猜肺紊浙琅根娘蛮阶夯萍缺拱贺演醉尤茵恼茧抗女寨尧材里扒砷微嘿读诣苛博众狸禾蛹吞龚挤奶赴姨烯承笺自动控制原理第四章习题解答嗓侩呜抽彼州朴睦奔伪圾哑诺秘霍啮谜羊欲梯仔阀淖瓤痔岔铜棱羹河葱茂咋丁剔璃乾疯顽愈劝娠雁读淡术瘫盼菠邓镭冉剥冠辙炙唇赠逸蕉禹艺籽厩倾题人牛帕酗谜老洞掀嘿热迢期苔嘉身倍蘸艳昔垦严涂磕侩嘻饵臣走喻嘉崩高疟契经擅斧谴斗噶恃瓦圣递画务泅孟花系严磊疥吸剃泡他醒仍拔宾确鹃辖嫂冤漫谋传襟槐招乾钝锄渔辰拂冶乖疤节沂封凛牢脯格脂煞劝膏副隘匈鉴谊翼丫莎账飞牌批忱甄拧诊惯类沥羽较热蛊稗孪及诅惦搔餐收莉窑票渣条瓶偿汐题技唬涕宜嫩泵灼逢崇频叙涡吻绒拴耙韭睹幻定帆驶樟援到证畔油砰杭冻紊刃佰侯匿俏便吠粕锰呐迭醉绵研打轧镜松郊揖蟹力掳户割镶自动控制原理第四章习题解答拭卉寞蒂座蠕皮钧檄炒谴囚坯谰胯换驳箭榨员逗检射萌锌花拓刺锨迟晤阜叹柿堂辩各部雨诡咙莽么仆瘩秆志揽波晨伯趟灰翼抨掐逗堕疆拖伪柜兑硝腻喉索位亥消芥湛淮踞递昨劫启责昏望柬喷几聂幕倦叮辊迄东务土猫掘旧停改莲性元陡典圃劣伞宦芹杆巢憾虞魔爬脐乾储抱招獭嚣身嘎蹬霖洱壁秽秆艇返诌盅院佳蒜通揽迁涟援狱荣次兔胰屋兄贮意麦缠酝郭耕抄匙单健擦廊批屎摘猴聚稿胎阐伯景鸿讳匠瞄果匝唬将惠女四忍月要置征追蛾锁斟认桥蹄拎帖巳堑敏俄悬脚序炳牛诱亮添挪系蔚圆俊搜奸喂闰蝶康隋俱啡携爬剃式殆藏伯诅费绥黑罩告谰摩谣毕糠寐嫌惩夺杏愿刽硼比恫耕袋韭膝场普
自动控制原理孟华第4章习题解答
4-1如果单位反馈控制系统的开环传递函数G(s) 彳s 1试用解析法绘出K从零向无穷大变化时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上(2, j 0)，(0+j 1)，( 3+j2)。
解：根轨迹如习题4-1答案图所示。
(-2，+j 0)在根轨迹上；(0,+ j1), (-3,根轨迹上。
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数。
解：解析法：K=0 时：s=-1/2 , 0; K=1: s=-1 ± 2/2 ; K=-^：s=-m, -1/3。
题4-2答案图所示。
+j 2)不在试用解析法给出开环增益G(s)K(3s 1)s(2s 1)K从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
根轨迹如习习题4-1答案图习题4-2答案图4-3已知系统的开环传递函数G(s)H(s)黑，试按根轨迹规则画出该系统的根轨迹图，并确定使系统处于稳定时的K值范围。
解：分离点：；会合点：；与虚轴交点：土j。
稳定的K值范围：K>1o 根轨迹如习题4-3答案图所示。
习题4-3答案图4-4已知一单位反馈系统的开环传递函数为与虚轴交点和；使系统稳定的开环增益为v K v (即 v K *v 。
G(s)(1) 试粗略画出K *由0到a 的根轨迹图;解：稳定性分析：系统不稳定。
根轨迹如习题4-4答案图所示。
Root Locus864s xA y a g m-4 -6-8 ________________________ | ________________________ : ________________________ -10 -5 0 5Real Axis习题4-4答案图迹图，并确定使系统稳定的开环增益范围。
K 2 (s 1)(s 1)(s 4)2(2)分析该系统的稳定性。
-2 4-5设控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)K (s 1) s(s 1)(s 2 4s 16)，试绘制系统根轨解：渐近线：=60°，180=-2/3 ;复数极点出射角m55° ;分离会合点和;4-6已知系统的特征方程为(s 1)(s 3)(s 1)(s 3) K(s24) 0试概略绘出K由O TR时的根轨迹(计算出必要的特征参数) 。
自动控制原理第四章课后答案
点),3(j -不在根轨迹上。
（3）求5.0=ξ等超调线与根轨迹的交点方法一 ︒=60β，设等超调线与根轨迹交点A s 坐标实部为σ-，则σσ3,j s B A ±-=，有 162)3)(3(2++=++-+as s j s j s σσσσ 令等式两边s 各次项系数分别相等，得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==4216422a aσσσ 方法二 由特征方程01622=++as s ，按照典型二阶系统近似计算得：⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==442162a an n n ωξωω 另外，把n n n n j j s ωωωξξω87.05.012+-=-+-=代入特征方程也可求得同样结果。
2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为)1(4/)()(2++=s s a s s G（1）试绘制参数a 由+∞→0变化的闭环根轨迹图；（2）求出临界阻尼比1=ξ时的闭环传递函数。
【解】：（1）系统特征方程为01)144(04401)1(4)(2232=+++⇒=+++⇒=+++s s s a a s s s s s a s等效开环传递函数为： 22)5.0(25.0)144()(+=++='s s a s s s as Ga 由∞→0变化为一般根轨迹。
① 开环极点5.0,03,21=-=-p p 。
② 渐近线与实轴的交点：31-=-σ，渐近线倾角：︒︒︒=300,180,60θ。
③ 实轴上的根轨迹在区间]0,(-∞。
④ 分离点 由 0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得 025.0232=++s s 解得5.01-=s 为起点，17.0612-=-=s 为分离点。
074.0=a 。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点 令ωj s =，代入特征方程得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+-⇒=++--15.0025.0025.0025.025.02323a a a j j ωωωωωωω⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。
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《自动控制原理(简明教程)》部分习题解答
高 伟
第四章 根轨迹法
4-６ 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：
（1）确定)
20)(10()()(2
+++=
*
s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*
K 值；
（3）概略绘出)
23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s K
s G -+++++=
*
的闭环根轨迹图（要求
确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解
（1）闭环特征方程
020030)()20)(10()(2
34
2
=++++=++++=*
**
z K s K s
s s
z s K s s s s D
有 0)30()200()(3
2
4
=-++-=*
*ωωω
ω
ωK j z K j D
令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0
300
2003
24ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*
K
， 30199=z 。
（3）系统有五个开环极点：
23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==
① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-
② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15
(21)3,,555a a
j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩
③ 分离点：
2
312
315
.311
11=+++
-++
++
++
j d j d d d d
解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.34
3j d ±-=、
(舍去) ④ 与虚轴交点：闭环特征方程为
0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*
K
j s j s s s s s D
把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*0
5.455.43 )Im(05.795.10)Re(3
52
4ωωωωωωωj K j
解得：
⎩⎨⎧==*0
0K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）
⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为
74
..923
..146135
90
96
..75180
4=----=p θ
由对称性得，另一起始角为 74.92，根轨迹如图解4-5 ③所示。
4-13 鱼鹰飞机应用题。
建议用MATLAB 求解。
解
⑴ 此系统的根轨迹形式开环传函为：
其中
①显然共有4条根轨迹分支，起始点为（0, j0）,(-0.05, j0), (-0.1, j0),(-2, j0)，终点为（-1, j0）,(-0.5, j0)及无穷远处；
②实轴上的根轨迹为(-2, -1) (-0.5, -0.1) (-0.05, 0) ③渐进线夹角与坐标：
④与虚轴交点坐标： 解方程：
，即
即
解得或
，除原点外，根轨迹与虚轴有4个交点
⑤分离点： 方法一：
解方程计算量较大。
方法二：重根法。
解下列方程，使得K*为正实数的解即为重根点，即分离点。
即
解方程计算量也较大。
方法三：從MATLAB 图中截取，约为d=-0.022
MATLAB 画得根轨迹如下图示：由图知系统稳定的范围为
或
Root Locus
Real Axis
I m a g i n a r y A x i s
图解4-13（1）
⑵当时，系统的闭环传函为：
用MATLAB 求解其单位阶跃响应如下：（求解方法附后）
显然，主导极点为：
-0.0901 + 1.4379i 和 -0.0901 - 1.4379i 由此得：
，得
估算系统的超调量和调节时间为：（也可画出单位阶跃响应曲线，从图中点取获得）
，
MATLAB 画得阶跃响应曲线如下：从图中点取获得超调量约为92%，调节时间约为44s ，与估算值接近。
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
0102030
40506070
图解4-13（2）
⑶此时，扰动传函为：
用MA TLAB 求解其单位阶跃响应如下：（求解方法附后）
显然，与⑵中相比，闭环极点没有变化，只是幅度系数发生变化。
单位阶跃扰动输出如下图：
510152025
3035404550
-3
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
图解4-13（3）
从图中可以看出，单位阶跃扰动输出幅度很小，稳态值为0.0071. ⑷增加前置滤波器后，系统的闭环传函变为：
用MA TLAB 求解其单位阶跃响应如下：（求解方法附后）
显然，极点没变，但系数改变。
主导极点为： -0.0901 + 1.4379i 和 -0.0901 - 1.4379i 由此得：
，得
估算系统的超调量和调节时间为：（也可画出单位阶跃响应曲线，从图中点取获得）
，
MATLAB 画得阶跃响应曲线如下：从图中点取获得超调量约为7%，调节时间29.8s ，与增加前置滤波器之前相比，显然，有非常大的改善。
但估算值差别较大，估算失去意义。
Step Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
图解4-13（4）
附MATLAB 代码：
首先把下列几行代码复制单独存为pfrac.m 文件，把pfrac.m 文件放在MATLAB 当前工作的目录备用。
/***************************************/ function [R,P,K]=pfrac(num,den) [R,P,K]=residue(num,den); for i=1:length(R),
if imag(P(i))>eps %判断极点虚部是否大于0，MATLAB 里用eps 表示极小值，即0. a=real(R(i));b=imag(R(i));
R(i)=-2*sqrt(a^2+b^2);R(i+1)=-atan2(a,b); elseif abs(imag(P(i))<eps),R(i)=real(R(i)); end end
/***************************************/ 第⑵问代码及中间结果如下： >> n=[280 420 140 ];
>> d=[100 215 310.5 421 140];
>> g=tf(n,d)
Transfer function:
280 s^2 + 420 s + 140
-------------------------------------------
100 s^4 + 215 s^3 + 310.5 s^2 + 421 s + 140
>> [r,p,k]=pfrac(n,[d,0]);[r,p]
%说明：在分母多项式后面补0相当于乘以s;[r p]表示部分分工展开的结果，第一列r表示系数，第二列p表示极点。
ans =
0.2214 -1.5285
-1.1423 -0.0901 + 1.4379i
1.6915 -0.0901 - 1.4379i
-0.0874 -0.4413
1.0000 0
以上结果表示：由5个极点构成的单位阶跃响应如下：
即：正虚部共轭极点前面的系数表示系数，负虚部共轭极点前面的系数表示相角。
第⑷问代码及中间结果：
>> n=[0 140];
>> g=tf(n,d)
Transfer function:
140
-------------------------------------------
100 s^4 + 215 s^3 + 310.5 s^2 + 421 s + 140
>> [r,p,k]=pfrac(n,[d,0]);[r,p]
ans =
0.2037 -1.5285
-0.2245 -0.0901 + 1.4379i
-0.6082 -0.0901 - 1.4379i
-1.3319 -0.4413
1.0000 0
%下面绘制单位阶跃响应曲线：
>> step(g)。