2014唐山一模理

唐山市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试理科数学一、选择题：（本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项A. 56B. 112C. -56D. -112 5．执行右边的程序框图，则输出的S 是A ．5040B ．2450C ．4850D ．2550 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,且132455,,24n nS a a a a a +=+=则 A ．4n-1 B ．4n-1C ．2n-1 D ．2n-17．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．6 B ．2 3 C ．3 D ．3 3 8．若1sin(),63πα-= 则2cos()3πα+= A ．-79B ．79C ．-29D ．299．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为 A ．8π B ．16π C ．32π D ．64π 10．双曲线224x y -=左支上一点P ()a b ,到直线y =x 的距离为 2 , 则a b += A ．-2B ．2C ．-4D ．411．AD, BE 分别是∆ABC 的中线，若|→AD |=|→BE |=1，且→AD 与→BE 的夹角为120°，则→AB ·→AC = A ．89B ．49C ．23D ．1312．各项均为正数的数列{}n a ,{}n b 满足：11222,2()n n n n n n a a b n b a b N +*+++=+=+∈，那么A ．11,n n n n a n N b b a *++∀∈>⇒> B ．,,n n m N n a b m *∃∈∀>>C ．,,n n m N n a b m *∃∈∀>=D ．,,n n m N n a b m *∃∈∀><二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数y=(2cos 1)3log ,x +22(,)33x ππ∈-的值域 . 14．设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1y ≥2x －4x ＋2y ≥2, 则目标函数32z x y =-的最大值为 .15．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB |= .16．定义在R 上的函数()f x 满足：2()(),f x f x x -+= 当x ＜0时，()f x '＜x ,则不等式()f x +12≥(1)f x -+x 的解集为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，且4bsinA=7a . （I ）求sinB 的值；（II ）若,,a b c 成等差数列，且公差大于0，求cosA -cosC 的值.18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（Ⅰ）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求至少有一个是乙车床加工的概率；（Ⅱ）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X ，求X 的分布列和期望．19．（本小题满分12分） 如图，在斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，O 是AC 的中点，A 1O ⊥平面ABC ，∠BCA=90°，AA 1=AC=BC. （I ）求证：A1B ⊥AC 1;（II ）求二面角A -BB 1-C 的余弦值．20．（本小题满分12分）P 为圆A:22(1)8x y ++=上的动点，点B （1,0）.线段PB 的垂直平分线与半径PA 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ．（I ）求曲线Γ的方程；（II ）当点P 在第一象限，且cos ∠BAP=223时，求点M 的坐标．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)e 1.xf x x =--. （I ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设()(),f x g x x= 证明()g x 有最大值()g t ，且-2＜t ＜-1.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4―1:几何证明选讲 如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD ⊥OE 于B 、C 两点． （Ⅰ）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（Ⅱ）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC 的大小．23．（本小题满分10分）选修4―4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为10,x t y t =-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=.（Ⅰ）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)将直线l 向右平移h 个单位，所对直线l ' 与圆C 相切，求h ．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()2(1,,)2f x x a a R g x a x +=-∈=-．（Ⅰ）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤ ，求a 的最大值； (Ⅱ) 若当x R ∈时，恒有()()3,f x g x +≥ 求a 的取值范围.唐山市2013—2014学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：ABDCC DBAAB DC B 卷：DCABB CDADA CB二、填空题： （13）(－∞，1]（14）6（15）163（16）(－∞，1 2]三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由4b sin A ＝7a ，根据正弦定理得4sin B sin A ＝7sin A ，所以sin B ＝74． …4分（Ⅱ）由已知和正弦定理以及（Ⅰ）得sin A ＋sin C ＝72． ①设cos A －cos C ＝x ， ②①2＋②2，得2－2cos(A ＋C )＝ 74＋x 2． ③ …7分又a ＜b ＜c ，A ＜B ＜C ，所以0︒＜B ＜90︒，cos A ＞cos C ，故cos(A ＋C )＝－cos B ＝－ 34． …10分代入③式得x 2＝ 74．因此cos A －cos C ＝72． …12分（18）解：（Ⅰ）由抽样方法可知，从甲、乙、丙三个车床抽取的零件数分别为1，2，3．从抽取的6个零件中任意取出2个，记事件“已知这两个零件都不是甲车床加工点”为A ，事件“其中至少有一个是乙车床加工的”为B ，则P (A )＝C 25C 26，P (AB )＝C 25－C 23C 26，所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 25－C 23C 25＝0.7． …5分（Ⅱ）X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝i )＝C i 2C 3－i 4C 36，i ＝0，1，2．X 的分布列为…10分X 的期望为E (x )＝0×0.2＋1×0.6＋2×0.2＝1． …12分（19）解：（Ⅰ）因为A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC ．又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1，所以AC 1⊥BC ． …2分 因为AA 1＝AC ，所以四边形A 1ACC 1是菱形，所以AC 1⊥A 1C ． 所以AC 1⊥平面A 1BC ， 所以A 1B ⊥AC 1． …5分（Ⅱ）以OC 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ， 则A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，2，3)．AB →＝(2，2，0)，BB 1→＝CC 1→＝(0，1，3)，设m ＝(x ，y ，z )是面ABB 1的一个法向量，则m ·AB →＝m ·BB 1→＝0， 即⎩⎨⎧2x ＋2y ＝0，y ＋3z ＝0，取m ＝(3，－3，1)． 同理面CBC 1的一个法向量为n ＝(0，－3，1)． …10分因为cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277．所以二面角A -BB 1-C 的余弦值277． …12分（20）解：（Ⅰ）圆A 的圆心为A (－1，0)，半径等于22．由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b ＝1，曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1． …5分（Ⅱ）由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P (5 3，223)． …8分于是直线AP 方程为y ＝24(x ＋1)．由⎩⎨⎧x22＋y 2＝1，y ＝24(x ＋1)，解得5x 2＋2x －7＝0，x 1＝1，x 2＝－ 75．由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为(1，22)． …12分（21）解：（Ⅰ）f '(x )＝－x e x ．当x ∈(－∞，0)时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )的最大值为f (0)＝0． …4分（Ⅱ）g (x )＝(1－x )e x －1x ，g '(x )＝－(x 2－x ＋1)e x＋1x 2．设h (x )＝－(x 2－x ＋1)e x ＋1，则h '(x )＝－x (x ＋1)e x ． 当x ∈(－∞，－1)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(－1，0)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增； 当x ∈(0，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． …7分ABC A 1OB 1C 1xyz又h (－2)＝1－7e 2＞0，h (－1)＝1－ 3e＜0，h (0)＝0，所以h (x )在(－2，－1)有一零点t ．当x ∈(－∞，t )时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(t ，0)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． …10分 由（Ⅰ）知，当x ∈(－∞，0)时，g (x )＞0；当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＜0． 因此g (x )有最大值g (t )，且－2＜t ＜－1． …12分 （22）解：（Ⅰ）连结OA ，则OA ⊥EA ．由射影定理得EA 2＝ED ·EO ．由切割线定理得EA 2＝EB ·EC ，故ED ·EO ＝EB ·EC ，即ED BD ＝ECEO，又∠OEC ＝∠OEC ，所以△BDE ∽△OCE ，所以∠EDB ＝∠OCE ． 因此O ，D ，B ，C 四点共圆． …6分（Ⅱ）连结OB ．因为∠OEC ＋∠OCB ＋∠COE ＝180︒，结合（Ⅰ）得 ∠OEC ＝180︒－∠OCB －∠COE ＝180︒－∠OBC －∠DBE＝180︒－∠OBC －(180︒－∠DBC )＝∠DBC －∠ODC ＝20︒． …10分（23）解：（Ⅰ）因为ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的直角坐标方程为 x 2＋y 2－4y ＋2＝0． …4分（Ⅱ）平移直线l 后，所得直线l '的⎩⎨⎧x ＝h －10＋t ，y ＝t（t 为参数）．2t 2＋2(h －12)t ＋(h －10)2＋2＝0． 因为l '与圆C 相切，所以Δ＝4(h －12)2－8[(h －10)2＋2]＝0，即h 2－16h ＋60＝0， 解得h ＝6或h ＝10． …10分 （24）解：（Ⅰ）g (x )≤5⇔|2x －1|≤5⇔－5≤2x －1≤5⇔－2≤x ≤3； f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3． 依题意有，a －3≤－2，a ≤1． 故a 的最大值为1． …6分 （Ⅱ）f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ≥|a －1|＋a ， 当且仅当(2x －a )(2x －1)≥0时等号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)． …10分ABCDEO。