10-11微积分(下)重学复习题1
微积分(下册)总复习
z Fx ， x Fz
z Fy . y Fz
(2) 方程组情形
隐函数的个数=方程的个数
隐函数的自变量个数=总自变量个数
方程的个数
* 5. 多元函数微分学的几何应用
(1) 空间曲线的切线与法平面(三种情形)
(2) 空间曲面的切平面与法线(三种情形)
* 6. 方向导数与梯度
方向导数 f lim f (P) f (P0 ) .
D
f (x, y)对x为偶函数, 即
f ( x, y) f ( x, y),( x, y) D,
则 f ( x, y)dxdy 2 f ( x, y)dxdy,
D
D1
其中 D1 D { x 0};
6、二重积分计算
(1) 直角坐标系
D {( x, y) a x b,1( x) y 2( x)}, 其中函数1( x)、2( x)在区间[a, b]上连续.
其中 I是各D 小f (闭x,区y)域d的直li径m0中i1的f最(大i ,值i ). i
2. 几何意义 当连续函数 z f ( x, y) 0时,
二重积分I表示以D为底, z =f (x, y)为曲顶, 侧面是
以D的边界为准线, 母线平行于z轴的柱面的曲顶
柱体的体积. 一般情形,
f ( x, y)d xOy平面上方的曲顶柱体体积
f ( x, y)d
D
b
dx
2( x) f ( x, y)dy
a
1( x )
先对y 后对x的二次积分
y
y 2(x)
D
y 1(x)
Oa
bx
D {( x, y) c y d ,1( y) x 2( y)},
其中函数1( y)、 2( y) 在区间[c, d]上连续.
微积分复习题集带参考答案(二)
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
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关于 10 级《微积分》（经管类）第二学期期末统考的通知
通知要点
★考试的重点内容与要求★考试的形式与试卷结构★题型示例与答案
一、考试的重点内容与要求
考试的范围是《微积分》（第三版·赵树嫄主编）第六、七、八、九章，
以下按各章顺序分四个部分明确考试的重点与要求：
1、 定积分及其应用
b
理解定积分的定义（含两点补充规定：当 a b 时， a f (x)dx 0 ；当
解：由 Z ' x 2 yx 1
1 x y
4、
幂级数 n1
xn n3n
x2
0
再次微分得
的收敛半径 R
解：由 R= lim an = lim n 3n = lim 3n 1
n
an1
n
1
1
n 1 3n1
f
t dt
Z
'
'
xy
x
______________.
三、题型示例与答案
第一部分：题型示例
（一） 填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。把答案写在横
1、
解：原式=
线上。）
定积分
e Inx2
1
e
1
ln x2
x
d Inx=
dx
1 3
_____________.
Inx3
e 1
=
1 3
Ine3
第3页 共9页
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
微积分(下)总复习
2）设想把区间[ a , b ] 分成 n 个小区间，取其中任一 小区间并记为[ x , x d x ] ，求出相应于这小区间的 部分量 U 的近似值．如果 U 能近似地表示为 [ a , b ] 上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与d x 的乘 积，就把 f ( x )d x 称为量U 的元素且记作d U ，即 d U f ( x )d x ； 3）以所求量U 的元素 f ( x )d x 为被积表达式，在区
2. 定积分计算 例2 求 2 1 sin 2 xdx .
0
解原 式
2 0
sin x co s x d x
4 0
(co s x sin x )d x
2
(sin x co s x )d x
4
2 2 2.
例3 求
ln 2
1 e
2 x
dx .
[ a , b ] 上的定积分等于 [ a , b ] 上的增量 .
5.定积分的计算法
（1）换元法
b a
f ( x )d x
f [ ( t )] ( t )d t
换元公式
（2）分部积分法
b a
u d v [ u v ]a
b
b
vd u
a
分部积分公式
6. 微元法理论依据
性质6
设 M 及 m 分 别 是 函 数 f ( x ) 在 区 间[a , b ]
上的最大值及最小值，
则
m (b a )
微积分下模拟试卷一至五(含答案)共5套北京语言大学网络教育学院
北京语言大学网络教育学院《微积分（下）》模拟试卷一注意：1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。
请监考老师负责监督。
2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。
3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。
4. 本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。
1、级数1nn u∞=∑的部分和数列n S 有界是该级数收敛的（ ）。
[A] 必要条件 [B] 充分条件[C] 充分必要条件 [D] 既不是充分条件也不是必要条件2、级数1nn u∞=∑收敛，则下面级数可能不成立的是（ ）。
[A]1nn u∞=∑收敛 [B]1nn ku∞=∑收敛()0k ≠[C]()2121n n n uu ∞-=+∑收敛[D] lim 0n n u →∞=3、点()00,x y 使(),0x f x y '=且(),0y f x y '=成立，则（ ）。
[A] ()00,x y 是(),f x y 的极值点 [B] ()00,x y 是(),f x y 的最小值点 [C] ()00,x y 是(),f x y 的最大值点 [D] ()00,x y 可能是(),f x y 的极值点4、已知函数()22,f x y x y x y +-=-，则()(),,f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ ）。
[A] 22x y +[B] x y +[C] 22x y -[D] x y -5、设函数2sin 2z x y =，则zx∂∂等于（ ）。
[A] 2sin 2x y [B] 22cos 2x y [C] sin 2x y[D] 2cos 2x y6、级数24n n =+∞∑的和是（ ）。
微积分下册复习要点（共5篇）
微积分下册复习要点（共5篇）第一篇：微积分下册复习要点微积分下册复习要点第七章多元函数微分学1．了解分段函数在分界点连续的判别；2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。
4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。
5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。
6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。
必考。
第八章重积分1．二重积分交换积分次序；必考。
2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）在使用时特别注意“先二后一法”的运用。
必考。
4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。
第九章曲线曲面积分1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。
可以参考期中考试卷中最后三个题。
4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。
第10章级数1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。
2．幂级数的收敛域及和函数的计算。
（利用逐项求导和逐项积分）必考。
3．将函数展成幂级数。
（一般利用间接法）必考。
4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）第11章常微分方程1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。
2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。
微积分复习题
复习题 一：选择题1：如果322sin 3lim0=→x mx x ;则m=A 32,B 23, c 94, D 49. 2: 当x →∞时, 下列变量中是无穷小量的是A 221)1sin(x x x --,B 221sin )1(xx x --, C xx x 2211sin)1(--, Dx x x221sin 11-- 3: 函数fx=0{11--x e11=≠x x 在点x=1处A 连续B 不连续, 但有右连续.C 不连续, 但有左连续.D 左,右都不连续4: 设fx=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+b x x ax x 1sin sin 1000>=<x x x 在x=0处, 不一定正确的结论是 (A) 当a=1时fx 左连续, B 当a=b 时fx 右连续, C 当b=1时fx 必连续, D 当a=b=1时fx 必连续 5: 若),1()1(2-=-x x x f 则fx=A 2)1(+x x , B 2)1(-x x , C )1(2+x x , D )1(2-x x 6: 函数21)(x x f --= 0<x<1 的反函数)(1x f -A 21x - B-21x - C21x --1<x<0 D -21x --1<x<07: 下列函数y=fu,u=φx 中能构成复合函数y=f φx 的是 A 1)(,11)(2+-==-==x x u u u f y ϕBy=fu=lg1—u, u=φx=12+x Cy=fu=arcsinu, u=φx= 22+x Dy=fu=arccosu, u=φx= 22+-x8: 设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=00)(312x xx x x f 则fx 在x=0处A 左导数不存在, 右导数存在B 右导数不存在, 左导数存在C 左, 右导数都存在D 左, 右导数都不存在9: 在曲线y=lnx 与直线x=e 的交点处, 曲线y=lnx 的切线方程是 A 0=-ey x B 02=--ey x C 0=-y ex D 0=--e y ex10: 设fx=⎪⎩⎪⎨⎧01cos 2xx 0=≠x x 则fx 在点x=0处 A 极限不存在, B 极限存在但不连续 C 连续但不可导 D 可导 11`:设fx=⎩⎨⎧≥<00x xex xx 在点x=0处, 下列结论错误的是A 连续B 可导C 不可导D 可微12: 函数3123)(x x x f -=在下列区间上不满足垃格朗日定理条件是A0,1 B--1,1 C0,27/8 D--1,0 13: 求下列极限, 能直接使用洛必达法则的是Ax x x sin lim ∞→ B x xx sin lim 0→ C x x x 3sin 5tan lim 2π→D x x x x sin 1sin20lim →14: 设函数fx 在开区间a,b 内有0)('<x f 且,0)("<x f 则y=fx 在a,b 内 A 单调增加, 图形上凹 B 单调增加, 图形下凹 C 单调减少, 图形上凹 D 单调减少, 图形下凹15:fx=||31x , 点x=0是fx 的A 间断点B 极小值点C 极大值点D 拐点16：关于函数231)(xx x f -=的结论错误的是 A 有一个零点 B 有两个极值点 C 有一个拐点 D 有两条渐近线 17下列函数中有一个不是xx f 1)(=的原函数, 它是 AFx=ln|x| BFx=ln|Cx| C 不为零且不为1的常数CFx=Cln|x| C 不为零且不为1的常数 DFx=ln|x|+C C 是不为零的常数 18若C xdx x f +=⎰2)(,则⎰=-dx x xf )1(2A C x +-22)1(2 B C x +--22)1(2 C C x +-22)1(21 D C x +--22)1(2119=+⎰dx x x 10)1(AC x ++10)1(111 B C x x +++112)1(11121 C C x x ++-+1112)1(111)1(121 D C x x ++++1112)1(111)1(121 20: 若sinx 是fx 的一个原函数, 则⎰=dx x xf )('Axcosx---sinx+C Bxsinx+cosx+C Cxcosx+sinx+C Dxsinx---cosx+C 21设x e f x+=1)(', 则fx=A1+lnx+C Bxlnx+C C C x x ++22Dxlnx---x+C 22⎰=-20|sin 21|πdx x A14-π B 4π- C 1123--πD0 23⎰+-=xdt t t y 02)2()1(则==0x dx dyA---2 B2 C---1 D1 24 已知Fx 是fx 的原函数, 则=+⎰xadt a t f )(AFx---Fa BFt —Fa CFx+a —Fx —a DFx+a___F2a 25已知广义积分⎰+∞+01kxdx收敛于1k.>0, 则k= A 2πB 22πC 2πD 42π26对于级数nn n na )1(1∑∞=+ a>0 下列结论中正确的是 Aa>1时, 级数收敛 Ba<1时, 级数发散 Ca=1时, 级数收敛 Da=1时级数发散27幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域是A-1,1 B--1,1 C-1,1 D-1,1 28设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R0<R<+∞则n nx a )2(∑的收敛半径为 A2R B2R CR D R229设函数z=fx,y 在点),(00y x 处存在对x,y 的偏导数, 则=)(0,0'y x f xAxy x f y x x f x ∆-∆-→∆),(),2(00000limBxy x x f y x f x ∆∆--→∆),(),(00000limCxy x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆),(),(00000limD00),(),(limx x y x f y x f x x --→30设区域D 是单位园122≤+y x 在第一象限的部分, 则二重积分⎰⎰=Dxyd σA⎰⎰--221010x y xydy dx B ⎰⎰-yxydy dx 1010C ⎰⎰-2101y xydx dyD ⎰⎰102202sin 21dr r d θθπ31⎰⎰-=xdy y x f dx 101),(A ⎰⎰-1010),(dx y x f dy xB⎰⎰-xdx y x f dy 1010),(C⎰⎰101),(dx y x f dy D⎰⎰-ydx y x f dy 101),(32:⎰⎰-2201),(x x dy y x f dx=A:⎰⎰--211010),(y dx y x f dy. B:⎰⎰-+2111),(y dx y x f dy .C:⎰⎰--11112),(y dx y x f dy. D:⎰⎰-+--2211111),(y y dx y x f dy33:⎰⎰⎰⎰-+xx dy y x f dxdy y x f dx 202110),(),(=A:⎰⎰-yydx y x f dy22),(.B:⎰⎰-yydx y x f dy21),(C:⎰⎰⎰⎰-+y y dx y x f dydx y x f dy 20211),(),(. D:⎰⎰-xxdx y x f dy 210),(34关于微分方程xe y dx dy dxy d =++222的下列结论: 1 该方程是齐次微分方程 2 该方程是线性微分方程3 该方程是常系数微分方程 3 该方程是二阶微分方程 其中正确的是A 2 3 B1 4 2 C1 3 4 D 2 3435：微分方程0)(22'"=-y yy 的通解是 A x C C y 211-=B xC C y 211-= C x C y -=1D Cxy -=1136. 21sin(1)lim 1x x x →-- =37. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 38. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =39. 下列结论正确的是2. 21sin(1)lim 1x x x →-- =40. 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 41. 若03sin()2lim23x mx x →=, 则m =42. 下列结论正确的是 43. 设1cos ,00,0(){x x x x f x ≠==,则()f x 在点0x 处()A 极限不存在 ()B 极限存在但不连续()C 连续但不可导 ()D 可导 44. 下列结论错误的是()A 若函数()f x 在 0x x =处连续,则()f x 在0x x =处可导 ()B 若函数()f x 在 0x x =处可导,则()f x 在0x x =处连续()C 若函数()f x 在 0x x =处不连续,则()f x 在0x x =处不可导()D 若函数()f x 在 0x x =处不可导,则()f x 在0x x =处也可能连续45. “''0()0f x =”是()f x 的图形在点0x 处有拐点的()A 必要非充分条件 ()B 充分非必要条件()C 充分必要条件 ()D 既非必要条件又非充分条件 46. 设'(ln )1f x x =+,则()f x = 47.21|sin |2x dx π-⎰=()C112π- ()D 0二: 计算题1: 确定函数的定义域225151sinxx acr y -+-=2已知函数⎩⎨⎧+=22)(x x x f 4,220≤<≤≤x x 求).1(-x f3xxx f -=1)( 求)]}([{)],([x f f f x f f 4设⎪⎩⎪⎨⎧=101)(x f 000>=<x x x 求).1(,,),1(2-+x f x f5求证: 如果A x f x x =→)(lim 0而且A>0, 则总存在一个正数δ, 使当δ<-<||00xx 时fx>06求证y 以A 为极限的充分必要条件是: 变量y 可以表示为A 与个无穷小量的和. 7: 求x x x )21(lim +∞→ 8设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=241)(22x x x x f 2;10;1≠>≠≤x x x x 求函数的间断点, 并判断其类型.9用定义讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=01sin)(x x x f00=≠x x 在点x=0处的连续性与可导性 10讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=421121)(2x x xx x f x x x x <≤<≤<≤221100在点x=0, x=1, x=2处的连续性与可导性.11求曲线x x x 223=+在点1,1 处切线方程与法线方程 12求)1(arcsin xf y =,求其导数 13xxx x y +++=3333 求其导数 14xyy x arctan ln22=+确定y 是x 的函数, 求函数y 的导数15设fx=sinx, 20π≤≤x ,求满足垃格朗日公式的ξ值16求)ln 11(lim 1xx x x --→= =+-→)]11ln([2lim x x x x 17求函数3223)(x x x f -=的单调增减区间和极值以及凹向与拐点181作函数2221)(x ex -=πϕ的图形 2 作函数axbe cy -+=1 a, b, c 均为大于0的常数的图形19求下列极限1x arc x x cot )11ln(lim +∞→ 2x x x 10)sin 1(lim +→ 32)1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++-+→ 20求下列不定积分 1⎰-dx x x 322⎰+32xx dx 3⎰xdxx arctan 4⎰+--dxx x x 65122211求]sin [2⎰x x tdt dx d 2求极限⎰→x t x dt e xsin 001lim3 设fx ⎩⎨⎧++=2112x x 4,22||≤<≤x x 求k 的值, 使⎰=3340)(k dx x f 4dx x xe 21)(ln 12⎰5⎰+∞∞-+21x dx 6⎰-112x dx 7dx e x xr ⎰+∞--01λ 22求抛物线4, (22)-==x y x y 所围成的图形的面积23求曲线2211,2xy x y +==与直线3,3-==x x 所围成的图形的面积 24求椭园1222=+by a x 分别绕x 轴与y 轴旋转产生的旋转体体积 251求级数∑∞=1n n n n x 的收敛半径和收敛域 2 求级数∑∞=+1)12(n nn x 的收敛半径和收敛域26求幂级数∑∞=-11n n nx的收敛域及和函数, 并求级数∑∞=12n nn的和271求2223xy y x z -+=的各二阶偏导数 2 求yye x z 2=的各二阶偏导数 28要造一个容量一定的长方体箱子,问选择怎样的尺寸,才能使所用的材料最少 29计算二重积分⎰⎰-Ddxdy y x )2(,其中D 是由直线y=1,2x —y+3=0与x+y —3=0围成的图形30计算二重积分⎰⎰+Dd y x σ22, 其中D 是园y y x 222=+围成的区域,31；计算1x x x x x sin tan lim 20-→ 2 12x 32x lim 1x +∞→⎪⎭⎫⎝⎛++x 3)0(x ＞x y x =4已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd ．5 dx x x ⎰+)ln 21(1 6；)0＞( 22a dx x a ⎰- 7⎰21arcsin xdx 8⎰+∞∞-+231x dx 9 )1sin 1)(11(tan sin lim 320-+-+-→x x xx x100)＞(ln lim 0n x x nx +→ 11)0(sin x ＞x y x= 12已知⎩⎨⎧==tb y t a x sin cos ,求22dx yd 13 dx x x x x ⎰+++)1(122 14)0＞( 22a dx x a ⎰- 15 ⎰-π053sin sin dx x x 16 ⎰+∞∞-+21x dx 1721lim[ln(1)]x x x x→∞-+ 18方程2sin()0y xe y π-=确定隐函数()y y x =,求'0,1|x y y ==-;1920cos 2x xdx π⎰ 202ln xdx x ⎰四证明及综合题1指出函数14123223+-+=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点． 2指出函数123+--=x x x y 的单调区间、凹凸区间、极值点及拐点 3证明方程3520x x --=在区间(,)-∞+∞内只有一个正根;．4设()f x 在[0,]a 上连续(0)a ≠,在(0,)a 内可导,且()0f a =,证明存在一点ξ,使得'()()0f f ξξξ+=5用极限的定义证明211lim21=--→x x x 6如果fx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b , 使等式fb －fa =f •'fξb －a 成立．7.用极限定义证明当0＞0x 时,00limx x x x =→8.如果fx 及Ｆx 在a ,b 上连续,在a ,b 内可导,且对于任一x ∈a,b,F ′x ≠0, 则在a ,b 内至少存在一点ξ a ＜ξ＜b ,使等式)()()()()()(ξξF f a F b F a f b f ''=--成立．。
2019《微积分II》期末复习题一 - 参考答案
.
M
gradu
u i x
u y
j
u k z
u x
,
u y
,
u z
2 9
,
4 9
,
4 9
u
2x
x x2 y2 z2
u
2y
y x2 y2 z2
u
2z
z x2 y2 z2
gradu M
S
曲面方程, x用 x替换, 曲面边界方程不变化.
(1)被积函数f ( x, y, z)关于x是奇函数 (即f ( x, y, z) f ( x, y, z)),
则 f ( x, y, z)dS 0;
S
(2)被积函数f ( x, y, z)关于x是偶函数 (即f ( x, y, z) f ( x, y, z)),
x2 y2 1以及平面z 0围成.
法一: 积分区域为圆柱去掉圆锥的部分,
z
用先一后二法
V
:
0
z
x2 y2
Dxy : 0 x2 y2 1
I
2
d
1
rdr
r z r 2dz
0
0
0
2 1 r 3 1 z2 r dr 1 r 5dr
0 0
1 x cos 2x 1
cos 2xd 2x
0 2 0
1 1 sin 2x
2
0
1
11/24
三、设z
xn
f
微积分试卷及答案
2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日姓 名 班 级 学 号,一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）1.2ln()d x x x =⎰ . 2.cos d d xx =⎰ .3.312d x x --=⎰.4.函数22x y z e+=的全微分d z = .5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 .二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分）1.设()1xf e x '=+，则()f x = ( ). /(A) 1ln x C ++ (B) ln x x C +(C) 22x x C++ (D) ln x x x C -+2.设2d 11xk x +∞=+⎰，则k = ( ).(A) 2π(B) 22π(C) 2 (D) 24π3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）.(A)z z ab x y ∂∂=∂∂ (B) z z x y ∂∂=∂∂ (C)z z ba x y ∂∂=∂∂ (D) z z xy ∂∂=-∂∂ 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0y f x y '=成立，则（ ） ；(A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）．(A) 211(1)nn n ∞=-∑(B)1(1)nn ∞=-∑(C) 13(1)2nnn n ∞=-∑ (D) 11(1)nn n ∞=-∑三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 】 1.2d x x e x ⎰2.40⎰四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）1.设arctany z x =，求2,.z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂， 2.设函数vz u =，而222,23u x y v x y =+=+，求,z zx y ∂∂∂∂.3.设方程xyz =确定隐函数(,)z f x y =，求,.z z x y ∂∂∂∂五、计算二重积分sin d d Dxx y x ⎰⎰其中D 是由三条直线0,,1y y x x ===所围成的闭区域.(本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分）1.判别正项级数12nn n∞=∑的收敛性．、2. 求幂级数1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.七、求抛物线22y x =与直线4y x =-所围成的图形的面积（本题10分）八、设102()101x x x f x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，求2(1)d f x x-⎰.（本题6分）徐州工程学院试卷2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B试卷类型 期末B 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟命 题 人 杨淑娥 2010 年 6 月10日 使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日姓 名 班 级 学 号,一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分）1. 2cos d 2x x ⎰ .2.22d dt d x txe x =⎰ .3.212d x x -=⎰.4.函数z =的全微分d z = . ：5.微分方程11d d 0x y y x +=的通解为 .二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设(ln )1f x x '=+，则()f x = ( ).(A) xx e C ++ (B)212x e x C ++(C) 21ln (ln )2x x C ++ (D) 212x x e e C++2.下列广义积分发散的是 ( ).(A)1+∞⎰ (B) 1d xx +∞⎰(C)21d x x +∞⎰(D)1+∞⎰3. 设22()z f x y =+，且f 可微，则z z yx x y ∂∂-=∂∂ .(A) 2z (B) z (C) x y + (D) 0:4.函数32(,)6121f x y y x x y =-+-+的极大值点为（ ） (A) (1,2) (B) (2,1) (C) (3,2)- (D) (3,2)-- 5.下列级数绝对收敛的是（ ）． (A)1(1)nn ∞=-∑ (B)11(1)nn n ∞=-∑ (C)1(1)nn n∞=-∑ (D)311(1)nn n ∞=-∑三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.sin d x x x⎰^2.0x⎰四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）1.设z =，求2,.z z z x y x y ∂∂∂∂∂∂∂，2. 设函数2ln z u v =，而,32u xy v x y ==-，求,z zx y ∂∂∂∂.3.设方程22220x y z xyz ++-=确定隐函数(,)z f x y =，求,.z z x y ∂∂∂∂五、计算二重积分2d d Dx y x y ⎰⎰，其中D 是由三条直线0,0x y ==与221x y +=所围成的位于第一象限的图形.(本题10分)六、（共2小题，每题8分，共计16分）1. 判别正项级数11(21)!n n ∞=+∑的收敛性．2. 求幂级数21(2)n n x n ∞=-∑收敛区间（不考虑端点的收敛性）.七、求由曲线y x =与2y x =所围成的平面图形的面积. （本题10分））八、设210()0xx x f x e x ⎧+<=⎨≥⎩，求31(2)d f x x -⎰.（本题6分）徐州工程学院试卷2010 — 2011 学年第 二 学期 课程名称 微积分 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 张娅 2011 年 5 月 20日 使用班级教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日姓 名 班 级 学 号一、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. 函数()ln z y x =-+的定义域为 。
《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=,则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→xx kx 成立的k 为 。
5、=-∞→x e xx arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b .7、=+→xx x 6)13ln(lim 0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、lim ____________x →+∞=。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________.15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ))()(x g x f +；(Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +;（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α,31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ)α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分试题集精编版
微积分试题集一季一、计算下列极限：（每题5分，共10分） 4．若0x →时1sin x x 与是等价无穷小,求常数k 的值.5. 设sin 2sin ,0,()3,0,1,0sin x bx x x x x f x x a x x⎧+<⎪⎪⎪==⎨⎪-⎪>⎪⎩在0x =处连续，求,a b 的值.二、导数与微分：（每题5分，共25分） 1. 设sin ,x y x =求 2.x dy π=2．求由方程yx x y e e +=所确定的曲线()y y x =在0x =处的切线方程.3．利用微分近似计算,求.4．设2210,sin ,()ln(1)0x x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪⎪+≥⎩ 求 ().f x '5. 求曲线5235()33f x x x =+的拐点.三、计算下列各题：（每小题8分，共16分） 1. 设某商品的价格P 与需求量Q 的关系为280P Q-=,(1) 求4=P时的需求弹性,并说明其经济意义.（2）求当价格P 为何值时,总收益R 最大？并求出此时的需求价格弹性d E .2. 设()F x 为()f x 的原函数,且()f x =,已知2(1),F e π=()0,F x >求().f x四、证明题：（每小题5分，共10分） 1. 当0x >时, 证明：(1)ln(1)arctan .x x x ++>.2. 设)(x f '连续且()lim8x af x x a→'=-，试证明a x =是)(x f 的极小值点。
二季一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．⒉若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,13sin )(x k x xx x f ,在0=x 处连续，则=k ．⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是．⒋='⎰x x s d )in (．⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为 ．二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x ⒉若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的． A ．函数f (x )在点x 0处有定义 B ．A x f x x =→)(lim，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 ⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 ⒋=''⎰x x f x d )(（ ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C.c x f x +')(212D. c x f x +'+)()1( ⒌下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ） A. y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy +=三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限4586lim 224+-+-→x x x x x ．⒉设x y x 3sin 2+=，求y d .⒊计算不定积分x x x d cos ⎰⒋计算定积分xx x d ln 51e1⎰+四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？微积分初步期末试题选（一）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是．（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f．（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f．（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是．（7）=∞→xx x 1sinlim．（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k．2．单项选择题、（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数（2）下列函数中为奇函数是（ ）．A ．x x sinB ．2e e xx +- C ．)1ln(2x x ++D ．2x x +（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ．（2）329lim 223---→x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是．（2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是．（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '=．（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''=．（5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．2.单项选择题 （1）若x x f x cos e )(-=，则)0(f '=（）．A. 2B. 1C. -1D. -2（2）设y x =lg2，则d y =（）．A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx （3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x fd 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）． A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos3．计算题 （1）设xx y 12e=，求y '． （2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.（3）设xy x 2e1+=+，求y '. （4）设x x x y cos ln +=，求y '.1．填空题 （1）函数y x =-312()的单调增加区间是．（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ．2．单项选择题 （1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 （2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）.A ．极值点B ．最值点C ．驻点D ． 间断点 （3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上.（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2xD ．x -33．应用题（1）欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（2）用钢板焊接一个容积为43m 的正方形的开口水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？1．填空题 （1）若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f .（2）若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则)(x f ． （3）若______________d os ⎰=x x c（4）=⎰-2de x．（5）='⎰x x d )(sin．（6）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x f d )32( ．（7）若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=-x x xf d )1(2．（8）.______d )2cos (sin 112=+-⎰-x x x x x（9）=+⎰e12d )1ln(d d x x x .（10）x x d e 02⎰∞-=．2．单项选择题（1）下列等式成立的是（ ）． A ．)(d )(d x f x x f =⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰C ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ D ．)()(d x f x f =⎰（2）以下等式成立的是（ ） A ． )1d(d lnxx x = B ．)(cos d d sin x x x =C ．x xxd d = D ．3ln 3d d 3xxx =（3）=''⎰x x f x d )(（ ）A. c x f x f x +-')()(B. c x f x +')(C.c x f x +')(212D. c x f x +'+)()1( （4）下列定积分中积分值为0的是（ ）．A ．x xx d 2e e 11⎰--- B ．x x x d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππD ．x x x d )sin (2⎰-+ππ（5）设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=⎰aax x f -d )(（ ）A ．0B ．⎰-d )(ax x f C ．⎰ax x f 0d )(D ．⎰-d )(2ax x f（6）下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．⎰∞+0d in x x s B ．⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ．⎰∞+-02d e x x3．计算题（1）x x d )12(10⎰- （2）x x x d 1sin2⎰（3）c x d x xxx x+==⎰⎰e2e 2d e(4)x x x d )e 4(e 22ln 0+⎰(5)xx x d ln 51e1⎰+ (6)x x x d e 10⎰(7)⎰π20d sin x x x微积分初步期末试题选（五）1．填空题 (1)已知曲线)(x f y =在任意点x 处切线的斜率为x1，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是 .(2)由定积分的几何意义知，x x a ad 022⎰-= .(3)微分方程1)0(,=='y y y 的特解为 . (4)微分方程03=+'y y 的通解为 .(5)微分方程x y xy y sin 4)(7)4(3=+''的阶数为 ．2.单项选择题(1)在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ ）．A ．y = x 2+ 3 B ．y = x 2+ 4 C ．22+=x y D ．12+=x y(2)下列微分方程中，（ ）是线性微分方程． A ．y y yx '=+ln 2 B ．x xy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ．x y y x y x ln e sin ='-''(3)微分方程0='y 的通解为（ ）． A ．Cx y = B ．C x y += C ．C y = D ．0=y(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A. y x x y +=d d ；B. y xy x y+=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy +=三季一、 选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分) 1．10lim 2xx -→=_________。
微积分下册期末考试题及答案
微积分下册期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，则 \( f'(x) \) 等于：A. \( 6x + 2 \)B. \( 3x + 2 \)C. \( 6x^2 + 2 \)D. \( 6x - 5 \)2. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x dx \) 等于：A. \( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{4} \)D. \( \frac{1}{6} \)4. 函数 \( y = \sin(x) \) 的原函数是：A. \( \cos(x) \)B. \( -\cos(x) \)C. \( x - \sin(x) \)D. \( x + \sin(x) \)5. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \) 等于：A. 0B. 1C. 2D. 36. 函数 \( y = e^x \) 的 \( n \) 阶导数是：A. \( e^x \)B. \( ne^x \)C. \( n!e^x \)D. \( (n+1)e^x \)7. 若 \( \int e^x dx = e^x + C \)，则 \( \int_{0}^{1} e^x dx \) 等于：A. \( e - 1 \)B. \( e \)C. \( e^2 - 1 \)D. \( e^2 \)8. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是：A. \( x \geq 0 \)B. \( x > 0 \)C. \( x < 0 \)D. \( x \leq 0 \)9. 函数 \( y = x^2 \) 的拐点是：A. \( x = 0 \)B. \( x = 1 \)C. \( x = -1 \)D. \( x = 2 \)10. 若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则\( f(x) \) 和 \( g(x) \) 的关系是：A. \( f(x) \) 比 \( g(x) \) 增长得更快B. \( f(x) \) 比 \( g(x) \) 增长得更慢C. \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 增长速度相同D. \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 都是常数答案：1. A 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. A 8. B 9. A 10. B二、填空题（每题2分，共10分）11. 若 \( f(x) = \ln(x) \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} \)。
微积分复习题
微积分复习题摘要：微积分复习题第一章函数与极限一,单项选择题1.函数y=+ln(x-1)的定义域是...9.广义积分( )A.收敛 B.发散C.敛散性不能确定 D.收敛于113.下列广义积分...关键词：微积分,积分类别：专题技术来源：牛档搜索（）本文系牛档搜索（）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。
不代表牛档搜索（）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（）不对其付相应的法律责任！微积分复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是（ ）A.（-∞，+∞）B.（0，1）C.（-1，0）D.（-1，1）3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 （ ）A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.下列各对函数中，表示同一个函数的是（ ） A.f(x)=1x 1x2+-与g(x)=x-1B.f(x)=lgx 2与g(x)=2lgxC.f(x)=x cos 12-与g(x)=sinxD.f(x)=|x|与g(x)=2x5.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e1e xx +-6.函数f(x)=1+xsin2x 是（ ） A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数7.下列极限正确的是( ) A.11si nlim =∞→xx x B.11si nl i m 0=→x x x ； C.1sin lim=∞→xx x ； D.12sin lim=→xx x ；8.=+∞→xx x)21(lim （ ）A. e -2B. e -1C. e 2D.e 9.=→2xtan3x limx （ ）A.∞B.23 C.0 D.110.=-+-→xx x x x 32112lim（ ）A. 21B. 0C. 1D. ∞11.xmx x sin lim→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1 D. m 12. hxh x 22h )(lim-+→ =( )。
微积分(下)总复习题及部分参考答案
微积分（下）总复习题及部分参考答案()()()()()xD xC xB x A x πππππππππcos cos 1cos 1cos sin 1⋅⋅⋅-⋅-的一个原函数是函数B()()()()()()12211,2sin ln 2122-=⋅=D C B A k x x ctg k x f 则的一个原函数为设A()()()[]()[]()()∞+∞--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=,,00,2,2sin ,3D C B A x y ππππ可积的区间是函数在下列区间中C()()()()()()()()()()Cx D C x x C C x f B Cx x A dx x f x C x dx x f ++++++++=+⋅+=⎰⎰333333432313113131411,4则若D()()()()()C x D Cx C Cx B Cx A xdx +--+--+--+-=-⎰32323223232325D()()()()()()()()()()()()()()()()a G a x G D a G a t G C a G x G B a G t G A dt a t g x g x G xa22,6-+-+--=+='⎰则己知D()()()()()3ln 8093ln 9803ln 9803722⋅⋅⋅=⎰--D C B A dx x B()()()()()⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞+∞+⋅11112ln 8x dx D xx dx C xdx B xdx A 是下列广义积分中收敛的D()()()()()()11sin 111cos 211cos 111cos 11,1cos 922232221212++-+-+-=⎪⎭⎫⎝⎛+=⎰⎰xx D xx C x x B xA dt t f t x dt t f xx则如果A()()()()()()313311lim1032-=-⎰-→D C B A xdtext xD()()()()()eD eC eB e A dx x e x -++-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰33ln 3ln 333ln 3ln 3113ln 1A()()()()()()()()()()()()()()()()a F F D F a F C a F a F B a F a F A dx a x f x f x F aa-----=-⎰002,122则的原函数是如果C()()()()()()()()()()()以上都不对则若D x C x B x A x f c x dx x f x x ln cos ln sin ln ,ln sin 21ln sin 132=+=⎰解 ()()()⎪⎭⎫⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰c x dx x f x x ln sin 21ln sin 2, ()()()()x x xx f x x ln cos ln sin 1ln sin ⋅= , ()()x x f ln cos =.()[]()()()()()[]()()()()()[]()02,,14000D dxx f x f C dx x f B dx x f x f A dx x f a a x f aaa aa⎰⎰⎰⎰-+-+-=---则上连续在设证明()()()dx x f dx x f dx x f aaaa⎰⎰⎰--+=0令：x t -=，()()()()⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f x f 0()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaaadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f 0()()[]dx x f x f a⎰-+=0。
重庆工商大学期末复习资料微积分近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
均收敛,
则常数 的取值范围是(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
7、对于函数 (A)不是驻点 (C)是极大值点
,点 (
).
(B)是驻点而非极值点
(D)是极小值
8、已知
,
,其中 为
,则
(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
9、方程
具有特解(
).
(A)
(B)
(C)
(D)
10、级数
(A)条件收敛 (C)发散
11、求
，则其通解为 （D）
A、
； B、
有三个特解
，
，
；
21/21
C、
；
D、
5、无穷级数
( 为任意实数) （A）
A、无法判断
B、绝对收敛
三、计算题(每小题6分,共60分)
C、收敛
D、发散
1、求下列极限：
。
解：
2、求由在区间
上,曲线
…（3分）
…（6分）
与直线
、
所围图形绕 轴旋转的旋转体的体积。
解：
…（4分）
所以，原式
.
13．L上的点到平面
的距离为 ，它的最大值点，最小值点与 的一致，用拉格朗日乘数
法，设
，
求偏导数，并令其为零有：
，
，
，
，
．
解之得两组解
.所以当
时， 最小；
4/4
当
时，
最大.
14．将分成如图的两块， 的圆记为 D1，另一块记为 D2 +
15．由 从而知
微积分下复习题纲要点整理
微积分（I I ）复习要点——C h 6+C h 7两章（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）第一部分 计算偏导与全微分（以二元函数为主）*().y z,00y ,x ∂∂可求出类似配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！前提——熟记第三章P63导数公式、P60“四则运算”求导法则、P64复合函数求导之链式法则！ P251 Ex8 2) 1) 4), Ex9 3) 2)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex13 2) 7) 3)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P253 Ex12 1) 2)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex16 1) 4)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex18 1) 3), Ex19 2) 1)第二部分 求二元函数的极值和条件最值配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P254 Ex20 1) 4)该部分课本相应例题解答均有问题，建议参考相关课堂笔记！并依照以上步骤做以下练习：第三部分 定积分相关要点基本前提：熟记P119~P120及P131~P132不定积分公式！配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P187 Ex11 1) 2) 3) 4) 8) 10)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P186 Ex5 1), Ex4 1) 2)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex22 1) 3) 4).236P166.,.*即运用了此原理）（式例如实心体积所求体积转化为若干则只能间接利用公式将若考察空心旋转体体积特征的旋转体体积“实心”于求解具有以上两公式只能直接用注意：-配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P189 Ex29 3) 5)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P190 Ex33, Ex34第四部分二重积分相关要点配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex30 3) 1)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex31 1) 3) 4) 2)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P255 Ex32 3) 4), Ex33 2) 1)配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P256 Ex35 1) 2)第五部分其它要点摘录微积分（II ）复习要点——Ch8+Ch9两章（此提纲主要针对基础较薄弱的同学使用 建议按照提纲罗列顺序进行复习）第一部分 函数的幂级数展开配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P291 Ex21 2) 5) 4). 另：以P284例11为练习第二部分 常数项级数敛散性的判定配套练习）?强烈建议严格遵循以下顺序操练！P288Ex7 2) 3) 1) 5), Ex8 1) 2) 5) 4), Ex10 1) 4) 5) 11)Ex13 2) 9) 3) 4)第三部分 求幂级数的和函数——此部分教学要求较简单, 仅掌握提纲所列即可().,,,.1,1x ,x 1x n右边得出相应的和函数级数左边得出题目中的新幂积两边对此公式求导或求基础上在此首项公式熟记几何级数的和函数原理：-∈-=∑∞配套练习）?∑∑∞=+∞=+0n 1n 1n 1-n 1n x 2nx1））求和函数：第四部分 某些一阶微分方程的解法。
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杭州商学院2010－2011学年微积分（下）
毕业重学复习题1
一、
填空题（20102=⨯分）
1．,1),(),(),(),(0000-=''=y x f ，y x ，f y x f z y x xx
且具有二阶连续偏导数
的驻点是设 ,),(,1),(0000a y x f y x f yy xy
=''=''则a 时，),(00y x 是极大值点.
2．若)1(1
n n u +=∞
∑收敛，则=∞
→n n u lim .
3．设
1d 11
2
=+⎰x x
kx
，则=k .
4．=⎰+∞
-x e x x d 0
3 .
5．幂级数∑
∞
=1
)2(n n
n
x 的收敛半径为 .
6．设)ln ln(y x z +=，则
=∂∂y
z .
7．交换积分次序后 ⎰⎰==b a
x
a
y y f x I d )(d .
8．=+⎰-dx x x 1
1
)( .
9．微分方程011=+
dx y
dy x
满足43
==x y
的解为 .
10．若D 是平面上半径为R 的半圆域，则⎰⎰=D
σd .
二、 单项选择（1052=⨯分）
1.已知),(y x f z =的全微分xydy dx y dz 22
+=，则
=∂∂2
2
x
z （ ）.
A. 0
B. x 2
C. y 2
D.xy 2
2.级数n
n ）∑∞
=12
1
(的和为（ ）.
A.
2
1 B.1 C.
2 D.
2
3
3.下列广义积分发散的是（ ）.
A.⎰
10
1dx x
B.dx x
⎰-1
2
11 C.dx x
⎰
∞+1
2
1 D.dx
x
⎰
10
2
1
4.若级数∑∞
=1
n n u 发散，则必有（ ）.
A.0lim =∞
→n n u B.0lim ≠∞
→n n u
C.∑∞=+1
2007n n u 发散 D.∑∞
=1
2007n n u 发散
5.方程xy y x y +='22是（ ）方程 .
A.可分离变量
B.齐次
C.一阶线性
D.伯努利 三、
计算题（一）（2464=⨯分）
1．⎰e
x x 1
d ln .
2．
x e e e
x
x
x
d 3
15
ln 0
⎰
+-.
3．已知函数)2sin(y x e z x
-=,求
y
x z ∂∂∂2
.
4．已知函数),(y x f z =是由方程0)ln(22=+-xyz xyz xz 所确定的隐函数,求dz .
四、 计算题（二）（2464=⨯分）
1． 求二重积分dxdy
y x I D
2
2sin +=
⎰⎰
，其中D 是由122≤+y x 与x 轴及y 轴所
围平面图形的第一象限部分.
2. 判断级数n
n n ln 12
1
-∑
∞
=的敛散性.
3. 求x xe y -=在0=x 处展开的幂级数.
4. 求微分方程x x y y sec tan =-'满足00
==x y 的特解.
五、
应用题（1628=⨯分）
1.已知D 为由x y =2与2-=x y 围成的平面图形， 求:（1）D 的面积;（2）D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.
2. 设某企业的总产量函数为y x y x P 2005.0),(=（吨），y x ,为两种投入要素，其单价分别为1万元/吨和2万元/吨，且该企业拥有资金150万元，试求y x ,使产量最大.
六、 证明题（6分）
若函数)(x f 在],[b a 上连续，0)(>x f ，10<<p 为常数，证明：在],[b a 上存在
一点ξ，使 ⎰⎰=ξ
a
b
a
x x f p x x f d )(d )(.。