2019届湖南省高三六校联考试题(4月) 数学理(word版) (1)

绝密★启用前湖南省2019届高三六校联考试题 数 学（理科）由 常德市一中 师 大 附 中 湘潭市一中长沙市一中 岳阳市一中 株洲市二中联合命题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

时量120分钟，满分150分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数z 满足(1＋i)z ＝||－4i ，则z ＝A ．2＋2iB ．1＋2iC ．1－2iD ．2－2i2．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝ A ．[－3，1) B ．(－∞，－3)∪[1，＋∞) C ．(－3，1) D ．(－∞，－3]∪(1，＋∞) 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．44．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为8，则俯视图中三角形的高x 等于A ．2B ．3C ．4D ．15．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－xx －2，则函数在x ＝－1处的切线方程是A ．2x －y －1＝0B ．x －2y ＋2＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．x ＋2y －2＝06．如图，在矩形OABC 中的曲线分别是y ＝sin x ，y ＝cos x 的一部分，A ⎝⎛⎭⎫π2，0，C(0，1)，在矩形OABC 内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P 1，取自非阴影部分的概率为P 2，则A ．P 1>P 2B ．P 1<P 2C ．P 1＝P 2D ．大小关系不能确定7．已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°，AD ⊥BC 于D ，AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝ A ．6 B ．3 2 C ．3 D ．2 38．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，以点P(b ，0)为圆心，a 为半径作圆P ，圆P 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，若∠MPN ＝90°，则C 的离心率为A.72B.52 C. 2 D.3 9．若m ，n 均为非负整数，在做m ＋n 的加法时各位均不进位(例如：2019＋100＝2119，则称(m ，n)为“简单的”有序对，而m ＋n 称为有序对(m ，n)的值，那么值为2019的“简单的”有序对的个数是A ．30B ．60C ．96D ．10010．若x 1是方程xe x ＝1的解，x 2是方程xln x ＝1的解，则x 1x 2等于A ．eB ．1 C.1eD ．－111．已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤π2，π的部分图象如图所示，且f(x)在[]0，2π上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是A.⎝⎛⎦⎤712，1312B.⎣⎡⎭⎫712，1312C.⎝⎛⎦⎤1112，1712D.⎣⎡⎭⎫1112，1712 12．已知函数f(x)＝e x －ax －1在区间()－1，1内存在极值点，且f(x)<0恰好有唯一整数解，则a 的取值范围是(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)A.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，e B.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，1∪⎝⎛⎦⎤e －1，e 2－12 C.⎣⎡⎭⎫e 2－12e 2，e －1e ∪()e －1，e D ．(e －1，e) 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知二项式⎝⎛⎭⎫ax －1x 6的展开式中的常数项为－160，则a ＝________．14．若实数x ，y满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，2x －3y －8≤0，x ≥1，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为________．15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P －ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝3，BC ＝AB ＝4，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则Rr＝________．16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c ＝2b ，△ABC 的面积为1，则a 的最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题，共60分。

17．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且对任意的r 、t ∈N *，都有S r S t＝⎝⎛⎭⎫r t 2.(Ⅰ)判断{a n }是否为等差数列，并证明你的结论；(Ⅱ)若数列{b n }满足a n b n＝2n －1(n ∈N *)，设T n 是数列{b n }的前n 项和，证明：T n <6.18．(本小题满分12分)在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠ACB ＝12.已知E ，F 分别是BC ，AC 的中点．将△CEF沿EF 折起，使C 到C′的位置且二面角C′－EF －B 的大小是60°.连接C′B ，C ′A ，如图：(Ⅰ)求证：平面C′FA ⊥平面ABC′；(Ⅱ)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小．19．(本小题满分12分)已知平面上一动点P 到定点F(3，0)的距离与它到直线x ＝433的距离之比为32，记动点P 的轨迹为曲线C.(Ⅰ)求曲线C 的方程；(Ⅱ)设直线l ：y ＝kx ＋m 与曲线C 交于M ，N 两点，点M 在x 轴上的射影为G ，O 为坐标原点，若4OM →·ON →＝9OG →·ON →，求△MON 面积的最大值．20．(本小题满分12分)随着食品安全问题逐渐引起人们的重视，有机、健康的高端绿色蔬菜越来越受到消费者的欢迎，同时生产－运输－销售一体化的直销供应模式，不仅减少了成本，而且减去了蔬菜的二次污染等问题．(Ⅰ)在有机蔬菜的种植过程中，有机肥料使用是必不可少的．根据统计某种有机蔬菜的产量与有机肥料的用量有关系，每个有机蔬菜大棚产量的增加量y(百斤)与使用堆沤肥料x(千克)之间对应数据如下表：依据表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x ＋a ；并根据所求线性回归方程，估计如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克，则每个有机蔬菜大棚产量增加量y 是多少百斤？(Ⅱ)某大棚蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装，以每份10元的价格销售到生鲜超市．“乐购”生鲜超市以每份15元的价格卖给顾客，如果当天前8小时卖不完，则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验，当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再进货)．该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位：份)，制成如下表格 (注：x ，y ∈N *，且x ＋y ＝30)：蔬菜利润的期望值为决策依据，当购进17份比购进18份的利润的期望值大时，求x 的取值范围．附：回归方程系数公式b ^＝错误!，错误!＝错误!－错误!·错误!.21．(本小题满分12分)已知f(x －1)＝2ln(x －1)－kx＋k(x>1)．(Ⅰ)判断当－1≤k ≤0时f(x)的单调性；(Ⅱ)若x 1，x 2(x 1≠x 2)为f(x)两个极值点，求证：x[f(x 1)＋f(x 2)]≥(x ＋1)[f(x)＋2－2x]．(二)选考题：共10分。

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋2t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ.(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若||PQ 的最小值为2，求m 的值．23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x －2a|－|x －a|，a ∈R . (Ⅰ)若f(1)>1，求a 的取值范围；(Ⅱ)若a<0，对x ，y ∈(－∞，a]，都有不等式f(x)≤||y ＋2020＋|y －a|恒成立，求a 的取值范围．湖南省2019届高三六校联考试题数学(理科)参考答案命题学校：师大附中、湘潭市一中一、选择题13．2 【解析】二项式⎝⎛⎭⎫ax －1x 6的展开式的通项是T r ＋1＝C r 6·(ax)6－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 6·a 6－r ·(－1)r ·x 6－2r .令6－2r ＝0，得r ＝3，因此二项式⎝⎛⎭⎫ax －1x 6的展开式中的常数项是C 36·a 6－3·(－1)3＝－160，故a ＝2.14．12 【解析】作出可行域如图，目标函数y ＝3x －z ， 当y ＝3x －z 过点(4，0)时，z 有最大值，且最大值为12.15.412【解析】易知该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，所以()2R 2＝AB 2＋AD 2＋AP 2＝42＋42＋32＝41，R ＝412.因为侧棱PA ⊥底面ABCD ，且底面为正方形，所以内切球O 1在侧面PAD 内的正视图是△PAD 的内切圆，则内切球半径为1，故R r ＝412.16.3 【解析】设角A 为θ，a 2＝b 2＋c 2－2bccos θ＝b 2＋4b 2－4b 2cos θ＝b 2(5－4cos θ)．又S △ABC ＝12·2b·b·sin θ＝b 2sin θ＝1，∴b 2＝1sin θ，∴a 2＝5－4cos θsin θ，设y ＝5－4cos θsin θ，则y′＝4sin 2θ－cos θ（5－4cos θ）sin 2θ＝4－5cos θsin 2θ，当4－5cos θ＝0，即cos θ＝45时，y 有最小值为3，故a 的最小值为 3.三、解答题 17．【解析】(Ⅰ){a n }是等差数列．证明如下：因为对任意的r 、t ∈N *，都有S r S t＝⎝⎛⎭⎫r t 2，所以对任意的n ∈N *，有S nS 1＝n 2，即S n ＝n 2.2分从而n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且n ＝1时此式也成立． 所以a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，即{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列.5分(Ⅱ)a n b n ＝2n －1，得b n ＝2n －12n －1.6分T n ＝1·⎝⎛⎭⎫120＋3·⎝⎛⎭⎫121＋…＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1， 12T n＝1·⎝⎛⎭⎫121＋3·⎝⎛⎭⎫122＋…＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n .8分 两式相减得：12T n＝1＋2·⎝⎛⎭⎫121＋2·⎝⎛⎭⎫122＋…＋2·⎝⎛⎭⎫12n －1－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n＝1＋2·12－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋4⎝⎛⎭⎫12－12n －(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＝3－(2n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n， T n ＝6－(2n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n －1.10分∵n ∈N *，∴T n ＝6－(2n ＋3)⎝⎛⎭⎫12n －1<6.12分18．【解析】(Ⅰ)解法一：∵F 是AC 的中点，∴AF ＝C′F.设AC′的中点为G ，连接FG.设BC′的中点为H ，连接GH ，EH.易证：C′E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠BEC ′即为二面角C′－EF －B 的平面角． ∴∠BEC ′＝60°，而E 为BC 的中点．易知BE ＝EC′，∴△BEC ′为等边三角形，∴EH ⊥BC ′. ① ∵EF ⊥C ′E ，EF ⊥BE ，C ′E ∩BE ＝E ，∴EF ⊥平面BEC′. 而EF ∥AB ，∴AB ⊥平面BEC′，∴AB ⊥EH ，即EH ⊥AB. ② 由①②，BC ′∩AB ＝B ，∴EH ⊥平面ABC′. ∵G ，H 分别为AC′，BC ′的中点．∴GH 綊12AB 綊FE ，∴四边形EHGF 为平行四边形．∴FG ∥EH ，FG ⊥平面ABC′，又FG 平面AFC′. ∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分解法二：如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝2.则A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(0，2，0)，C ′(3，1，0)． 设平面ABC′的法向量为a ＝(x 1，y 1，z 1)， BA →＝(0，0，2)，BC′→＝(3，1，0)， ∴⎩⎨⎧z 1＝0，3x 1＋y 1＝0，令x 1＝1，则a ＝(1，－3，0)， 设平面AFC′的法向量为b ＝(x 2，y 2，z 2)， AF →＝(0，2，－1)，AC′→＝(3，1，－2)， ∴⎩⎨⎧2y 2－z 2＝0，3x 2＋y 2－2z 2＝0，令x 2＝3，则b ＝(3，1，2)． ∵a ·b ＝0，∴平面AFC′⊥平面ABC′.6分 (Ⅱ)如图，建立空间直角坐标系，设AB ＝2.则A(0，0，2)，B(0，0，0)，F(0，2，1)，E(0，2，0)，C ′(3，1，0)． 显然平面BEC′的法向量m ＝(0，0，1)，8分设平面AFC′的法向量为 n ＝(x ，y ，z)，AC′→＝(3，1，－2)，AF →＝(0，2，－1)， ∴⎩⎨⎧2y －z ＝0，3x ＋y －2z ＝0，∴ n ＝(3，1，2).9分 cos 〈m, n 〉＝ m · n || m ·|| n ＝22，10分由图形观察可知，平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角． ∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°.12分19．【解析】(Ⅰ)设P(x ，y)，则（x －3）2＋y 2⎪⎪⎪⎪x －433＝32，化简得x 24＋y 2＝1.4分(Ⅱ)设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2，G(x 1，0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 得()4k 2＋1x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝()8km 2－4()4k 2＋1()4m 2－4>0， 化简得m 2<4k 2＋1， ①x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝()kx 1＋m ()kx 2＋m ＝k 2x 1x 2＋km ()x 1＋x 2＋m 2，若4OM →·ON →＝9OG →·ON →，则4x 1x 2＋4y 1y 2＝9x 1x 2，即4y 1y 2＝5x 1x 2，6分 ∴4k 2x 1x 2＋4km ()x 1＋x 2＋4m 2＝5x 1x 2，∴()4k 2－5·4()m 2－14k 2＋1＋4km ⎝⎛⎭⎫－8km 4k 2＋1＋4m 2＝0，即()4k 2－5()m 2－1－8k 2m 2＋m 2()4k 2＋1＝0，化简得m 2＋k 2＝54， ②8分||MN ＝1＋k 2||x 1－x 2＝1＋k264k 2m 2（4k 2＋1）2－4·4m 2－44k 2＋1＝1＋k 2－16m 2＋64k 2＋16（4k 2＋1）2＝1＋k 24（20k 2－1）（4k 2＋1）2，∵原点O 到直线l 的距离d ＝||m 1＋k 2，∴S △MON ＝12||MN ·d ＝12（5－4k 2）（20k 2－1）（4k 2＋1）2.10分设4k 2＋1＝t ，由①②得0≤m 2<65，120<k 2≤54，所以65<t ≤6，16≤1t <56，S △MON ＝12（6－t ）（5t －6）t 2＝12－36＋36t －5t 2t 2＝3－⎝⎛⎭⎫1t －122＋19≤1，所以当1t ＝12时，即k ＝±12时△MON 面积最大为1.12分20．【解析】(Ⅰ)x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝3＋4＋4＋4＋55＝4.2分错误!错误!＝22＋42＋52＋62＋82＝145， b ^＝106－5×5×4145－5×52＝0.3，a ^＝y －b ^·x ＝4－0.3×5＝2.5， 所以y 关于x 的线性回归方程为：y ＝0.3x ＋2.5.4分 当x ＝10时，y ＝0.3×10＋2.5＝5.5百斤，所以如果每个有机蔬菜大棚使用堆沤肥料10千克， 估计每个有机蔬菜大棚产量的增加量y 是5.5百斤.5分(Ⅱ)若该超市一天购进17份这种有机蔬菜，Y 1表示当天的利润(单位：元)，那么Y 1的分布列为Y 1的数学期望是EY 1＝65×10100＋75×x100＋85×90－x 100＝8300－10x 100；8分若该超市一天购进18份这种有机蔬菜，Y 2表示当天的利润(单位：元)，那么Y 2的分布列为Y 2的数学期望是EY 2＝60×10100＋70×x 100＋80×16100＋90×74－x 100＝8540－20x 100；11分又购进17份比购进18份的利润的期望值大，故8300－10x 100>8540－20x100，求得x>24，故求得x 的取值范围是()24，30，x ∈N *.12分21．【解析】(Ⅰ)因为 f(x －1)＝2ln(x －1)＋k （x －1）x(x>1)，所以f(x)＝2ln x ＋kxx ＋1(x>0)．f ′(x)＝2x ＋k（x ＋1）2＝2x 2＋（4＋k ）x ＋2x （x ＋1）2， 2分当－1≤k ≤0时，Δ＝(4＋k)2－16＝k(k ＋8)≤0，2x 2＋(4＋k)x ＋2>0恒成立． 于是，f(x)在定义域上为单调增函数.5分(Ⅱ)证明：∵f′(x)＝2x ＋k（x ＋1）2＝2x 2＋（4＋k ）x ＋2x （x ＋1）2，由题设知，f ′(x)＝0有两个不相等的正实数根x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4＋k2>0，x 1x 2＝1>0，Δ＝（4＋k ）2－16>0，k<－8，7分 而f(x 1)＋f(x 2)＝2ln x 1＋kx 1x 1＋1＋2ln x 2＋kx 2x 2＋1＝2ln(x 1x 2)＋k ⎝⎛⎭⎫x 1x 1＋1＋x 2x 2＋1＝2ln(x 1x 2)＋k·2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝k ，9分又（x ＋1）[f （x ）－2ln x]x＝k ，故欲证原不等式等价于证明不等式： （x ＋1）[f （x ）－2ln x]x ≥x ＋1x[f(x)－2(x －1)]，10分也就是要证明：对任意x>0，有ln x ≤x －1.11分令g(x)＝ln x －x ＋1(x>0)，由于g(1)＝0，并且g′(x)＝1x－1，当x>1时，g ′(x)<0，则g(x)在(1，＋∞)上为减函数； 当0<x<1时，g ′(x)>0，则g(x)在(0，1)上为增函数．则g(x)在(0，＋∞)上有最大值g(1)＝0，即g(x)≤0，故原不等式成立.12分22．【解析】(Ⅰ)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ，即ρ2＋ρ2sin 2θ＝4，将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24＋y 22＝1，3分所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y22＝1，直线l 的普通方程为x －2y －m ＝0.5分(Ⅱ)设P(2cos θ，2sin θ)，由点到直线的距离公式得||PQ ＝||2cos θ－2sin θ－m 3＝⎪⎪⎪⎪22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－m 3，7分由题意知m ≠0， 当m>0时，||PQ min＝||22－m 3＝2，得m ＝23＋22； 当m<0时，||PQ min ＝||－22－m 3＝2，得m ＝－23－22；所以m ＝23＋22或m ＝－23－2 2.10分 23．【解析】(Ⅰ)f(1)＝|1－2a|－|1－a|>1.1分若a ≤12，则1－2a －1＋a>1，得a<－1；2分若12<a<1，则2a－1－(1－a)>1，得a>1，即不等式无解；3分若a≥1，则2a－1＋1－a>1，得a>1, 4分综上所述，a的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞).5分(Ⅱ)由题意知，要使得不等式恒成立，只需[f(x)]max≤[|y＋2020|＋|y－a|]min，6分当x∈(－∞，a]时，|x－2a|－|x－a|≤－a，[f(x)]max＝－a，7分因为|y＋2020|＋|y－a|≥|a＋2020|，所以当(y＋2020)(y－a)≤0时，[|y＋2020|＋|y－a|]min＝|a＋2020|，9分即－a≤|a＋2020|，解得a≥－1010，结合a<0，所以a的取值范围是[)－1010，0.10分。