7.2勾股定理
勾股定理知识点总结大全
勾股定理知识点总结大全一、勾股定理的定义勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是指：在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边的平方和。
具体表达方式是：设直角三角形的两个直角边分别为a、b，斜边为c，则有a²+b²=c²。
这就是著名的毕达哥拉斯定理，也是勾股定理的核心概念。
二、勾股定理的证明1. 几何证明勾股定理有多种证明方法，其中有几何证明是最常见的。
几何证明主要通过图形的构造和变换，利用几何形状的属性，从而证明勾股定理。
常见的几何证明方法包括利用正方形、相似三角形、垂直平分线、圆的性质等，通过构造等辅助图形，最终得到a²+b²=c²的结论。
2. 代数证明另外，勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
代数证明主要通过变换方程、化简运算，利用数学公式和规律，从而得到a²+b²=c²的结论。
通过几何和代数两种证明方法，可以更全面地理解勾股定理的内涵和外延，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
三、勾股定理的性质1. 勾股三元数根据勾股定理，我们可以找到很多满足a²+b²=c²的整数解组，这样的整数解组叫做勾股三元数。
例如：3²+4²=5²、5²+12²=13²、9²+40²=41²等。
勾股三元数的性质是研究勾股定理的重要方面，它们具有很多有趣的特性和规律，对于数论的研究有着重要的意义。
2. 勾股定理的逆定理对于一个三元数组(a, b, c)，如果它满足a²+b²=c²，则称它是勾股三元数。
而勾股定理的逆定理表明，每个整数对(a, b)，都可以构成一个勾股三元数。
这个逆定理的证明非常复杂，它涉及到模运算、费马大定理、椭圆曲线等高深的数学知识，是数论和代数学研究的重要课题之一。
3. 勾股定理的推广在直角三角形外，勾股定理也有很多推广成立的情况。
物理勾股定理知识点总结
物理勾股定理知识点总结一、勾股定理的概念勾股定理是指直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理广泛应用于物理学中的各个领域，如力学、光学、电磁学等。
它不仅是物理学的基础知识，也是解决实际问题的重要工具。
在直角三角形ABC中，若角C为90度，则有a²+b²=c²，其中a、b分别为直角边，c为斜边。
这是勾股定理的基本表达形式。
二、勾股定理的证明1. 几何证明：勾股定理最早由古希腊数学家毕达哥拉斯提出，并给出了一种几何证明。
这种证明方法是通过构造一个正方形，利用三角形的相似性和面积相等来证明。
在直角三角形ABC中，作a和b为直角边的正方形，其边长分别为a和b。
然后再构造一个以c为边长的正方形。
根据相似三角形的性质和面积相等，可以得出a²+b²=c²。
2. 代数证明：勾股定理也可以通过代数方法进行证明。
假设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c。
则可以利用勾股定理进行代数运算。
首先，将直角三角形的两直角边分别表示为a 和b，根据毕达哥拉斯定理，得：a²+b²=c²然后，对两边取平方根，得：c=√(a²+b²)因此，可以通过代数方法证明勾股定理的成立。
三、物理学中勾股定理的应用1. 力学：在力学中，勾股定理常常用于解决叠加物体受力的问题。
例如，一个物体受到两个力的作用，可以利用勾股定理计算合成力的大小和方向。
另外，勾股定理也可用于解决斜面上物体滑动的问题。
2. 光学：在光学中，勾股定理常常用于计算光的反射和折射。
例如，当光线入射到一个介质边界上时，可以通过勾股定理计算入射角和折射角之间的关系。
另外，勾股定理也可以用于计算物体在镜子中的像的位置和大小。
3. 电磁学：在电磁学中，勾股定理常常用于计算电场和磁场的合成和分解。
例如，两个电荷之间的相互作用力可以通过勾股定理计算合成力的大小和方向。
初二数学知识点梳理：勾股定理
初二数学知识点梳理：勾股定理知识点总结一、勾股定理：勾股定理内容：如果直角三角形的两直角边长分别为a，斜边长为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
２.勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
勾股定理的适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
二、勾股定理的逆定理逆定理的内容：如果三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
说明：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；定理中a，b，c及a2+b2=c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2+b2=c，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但此时的斜边是b.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的一般步骤：确定最大边；算出最大边的平方与另两边的平方和；比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形。
三、勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数.四、一个重要结论：由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。
五、勾股定理及其逆定理的应用解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题，折叠问题、梯子下滑问题等，常直接间接运用勾股定理及其逆定理的应用。
常见考法直接考查勾股定理及其逆定理；应用勾股定理建立方程；实际问题中应用勾股定理及其逆定理。
青岛版数学八年级下册《7.2勾股定理》说课稿3
青岛版数学八年级下册《7.2 勾股定理》说课稿3一. 教材分析青岛版数学八年级下册《7.2 勾股定理》这一节的内容，是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生了解勾股定理的内容，理解勾股定理的证明过程，并能够运用勾股定理解决实际问题。
教材通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，激发学生的学习兴趣，让学生在生动有趣的故事中感受到数学的趣味性和实用性。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经掌握了直角三角形的性质，对锐角三角函数有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对勾股定理的证明过程感到困惑，对如何运用勾股定理解决实际问题还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，耐心讲解，引导学生理解和掌握勾股定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解勾股定理的内容，理解勾股定理的证明过程，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论，培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，感受数学的趣味性和实用性，培养学生的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生了解勾股定理的内容，理解勾股定理的证明过程，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.教学难点：勾股定理的证明过程，以及如何运用勾股定理解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、讨论法、探究法等教学方法，结合多媒体课件、几何画板等教学手段，引导学生观察、思考、讨论，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过讲述毕达哥拉斯的故事，引导学生了解勾股定理的由来，激发学生的学习兴趣。
2.讲解勾股定理：引导学生观察直角三角形，发现勾股定理的规律，讲解勾股定理的内容。
3.证明勾股定理：引导学生通过几何画板，进行动态演示，理解勾股定理的证明过程。
4.应用勾股定理：通过实例，引导学生运用勾股定理解决实际问题。
7.2勾股定理CBa勾股c弦bA
两千多年前，古希腊有个哥拉
斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此
在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯
年希腊曾经发行了一枚纪念票。
定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955
勾 股 世 界
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
国家之一。早在三千多年前，
试一试:
如图，大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。接警后“119”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径情
明朝程大位的著作《算法統宗》裏有一道“蕩秋千”的趣題，是用詩歌的形式的： 平地秋千未起，踏板一尺離地； 送行二步與人齊，五尺人高曾記。 仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉； 良工高士好奇，算出索長有幾？
索長有幾
图1
现代汉语的意思是：有一架秋千，当静止时其踏板离地1尺；将它向前推两步（一步指“双步”，即左右脚各迈一步，一步为5尺）并使秋千的绳索拉直，其踏板离地5尺.求绳索的长.
分析：画出如图的图形，由题意可知AC= ；CD= ;CF= .Rt OBF中设OB为x尺，你能解答这个题吗？
例2 小丁的妈妈买了一部34英寸（86厘米）的电视机。小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？
∴售货员没搞错
荧屏对角线大约为86厘米
解：∵702+502=7400
862=7396
5 或
1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为 .
例3
勾股定理与美国第二十任总统
美国第二十任总统的证法
1）本节课我们学习了什么?
勾股定理知识点总结全面
勾股定理知识点总结全面首先，我们来介绍一下勾股定理的历史。
勾股定理最早出现在中国古代数学著作《周髀算经》中，书中记载了一些勾股数的性质，这些数满足a²+b²=c²的关系，其中a、b、c为自然数。
后来在希腊的毕达哥拉斯学派中，勾股定理被系统地阐述和证明，毕达哥拉斯学派还以勾股定理为核心建立了一整套几何学体系。
因此，勾股定理也被称为毕达哥拉斯定理。
勾股定理的发现和应用对于几何学和数学的发展起到了非常重要的推动作用。
接下来，我们来介绍一下勾股定理的内容。
勾股定理表述了在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
具体来说，如果一个三角形中有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形，假设直角边的长度分别为a、b，斜边的长度为c，那么勾股定理的数学表达式就是：a²+b²=c².这个表达式就是勾股定理的核心内容。
勾股定理也可以表述为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理对解决直角三角形中各种问题都有重要的作用，如计算三角形的边长、求三角形的面积等。
接下来，我们来介绍一下勾股定理的证明。
勾股定理有多种不同的证明方法，其中比较常见的有几何证明、代数证明、数学归纳法证明等。
下面我们将分别介绍这些证明方法的基本思路。
首先是几何证明。
几何证明是通过构造几何图形，利用几何性质来证明定理的方法。
勾股定理的几何证明是比较直观和易于理解的，它通常利用平行四边形、相似三角形等性质来证明。
一种常见的几何证明方法是构造一个正方形，然后利用正方形的对角线、内角和边长的关系来证明勾股定理。
这种证明方法思路清晰，易于理解，是学习者比较喜欢的一种证明方法。
其次是代数证明。
代数证明是通过运用代数运算和变换来证明定理的方法。
勾股定理的代数证明是利用平方差公式和因式分解等代数方法来证明的。
通过将直角三角形的三条边长分别用代数表达式表示，然后利用平方差公式将等式展开，通过代数运算和合并同类项，最终可以得到a²+b²=c²的结果。
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结
完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。
勾股定理的证明常用拼图的方法。
通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。
2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。
3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。
勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。
在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。
同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。
如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。
勾股定理的实际应用有很多。
例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。
现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。
同时梯子的顶端B下降至B′。
那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。
又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。
设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是数学中一个著名的定理，也是初中数学学习的重点内容之一。
它描述了直角三角形中三条边的关系，并且可以应用于解决许多与三角形和几何有关的问题。
本文将对勾股定理的相关知识点进行总结和探讨。
一、勾股定理的表述和公式勾股定理的表述是：“直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上的正方形面积之和。
”这就是我们通常所说的勾股定理。
勾股定理的公式可以表示为：a² + b² = c²其中，a、b代表直角三角形的两条直角边，c代表直角三角形的斜边。
二、勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，在此我们以几何证明和代数证明为例进行说明。
几何证明：通过图形的构造和推理来证明勾股定理。
一种常见的几何证明方法是构造以a、b、c为边长的正方形，然后计算正方形的面积，从而证明等式成立。
代数证明：通过数学计算和变换来证明勾股定理。
一种常见的代数证明方法是将直角三角形的三条边的平方进行计算，然后将其相加和化简，最终得到等式成立的结果。
三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是一个数学定理，还有着广泛的应用。
1. 解决三角形的边长和角度问题：通过勾股定理，我们可以已知两条边长来求解第三条边长，或者已知两条边长和一个角度来求解其他角度。
2. 判断三角形的形状：我们可以利用勾股定理来判断一个三角形是直角三角形、锐角三角形还是钝角三角形，从而进一步研究和分析三角形的性质。
3. 解决几何问题：勾股定理还可以应用于解决一些几何问题，例如求解两条直线的交点坐标、求解平面图形的面积、判断是否存在重合图形等等。
四、勾股定理的推广除了直角三角形，勾股定理还可以推广到其他形状的图形。
1. 平方和定理：平方和定理是勾股定理的推广，它描述了非直角三角形中三条边平方的关系。
2. 多边形的对角线：在多边形中，通过某个顶点可以连接其他顶点，形成对角线。
对角线之间的关系也可以通过勾股定理进行研究和计算。
3. 空间中的勾股定理：在空间几何中，勾股定理可以推广到三维空间，描述直角棱柱、直角锥等图形的三条棱或边之间的关系。
勾股定理知识点总结人教版
勾股定理知识点总结人教版一、勾股定理的定义勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
换句话说，设有一个直角三角形，其三个边长分别为a、b、c，且c为斜边，那么勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。
其中a和b为直角两边的边长，c为斜边的边长。
勾股定理可以帮助我们快速判断一个三角形是否是直角三角形，也可以用来求解直角三角形的边长和角度等问题。
因此，勾股定理在数学中具有非常重要的地位。
二、勾股定理的证明1. 几何证明：勾股定理最早是通过几何方法来证明的。
我们可以通过绘制一个正方形，然后在正方形的对角线上分别画出边长为 a 和 b 的正方形，最后发现这两个正方形的面积之和等于边长为 c 的正方形的面积，从而证明了勾股定理。
2. 代数证明：后来，人们通过代数方法也证明了勾股定理。
通过对勾股定理进行平方运算，然后进行因式分解和运算，最终也可以得到a² + b² = c²的结论。
这种方法一般需要借助一些高等数学知识来进行证明。
三、勾股定理的应用1. 在几何学中，勾股定理可以帮助我们判断一个三角形是否是直角三角形，同时可以求解直角三角形的边长和角度等问题。
2. 在物理学中，勾股定理被广泛运用于力学、光学等领域，例如可以用来解决物体受力后的位移和速度问题。
3. 在工程学中，勾股定理也有着重要的应用，例如在建筑设计和工程测量中，可以用来计算建筑物的高度和长度。
总结：勾股定理是数学中的一个重要定理，通过勾股定理我们可以解决许多与直角三角形相关的问题。
勾股定理的证明方法有几何法和代数法，应用领域广泛，包括几何学、物理学、工程学等。
因此，我们在学习和工作中都需要掌握勾股定理的理论知识和应用技巧，这对于我们的学习和工作都是非常有益的。
希望本文的介绍和总结对勾股定理有所帮助，也希望大家能够在日常学习和工作中多加练习，提高自己的数学能力和应用能力。
勾股定理详解
勾股定理详解勾股定理定义及公式勾股定理是一个基本几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组程a²+ b²= c²的正整数组(a,b,c)。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那a²+b²=c²。
勾股定理逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。
若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。
如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。
如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。
下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。
【证法1】赵爽“勾股圆方图”第一种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形围在外面形成的。
因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。
第二种方法：边长为c的正方形可以看作是由4个直角边分别为a、b，斜边为c的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为(b-a)的正方形“小洞”。
因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。
这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。
【证法2】课本的证明做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4×1/2ab=c²+4×1/2ab，整理得a²+b²=c²【证法3】1876年美国总统Garfield证明以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2/1ab. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD ≌RtΔCBE,∴∠ADE = ∠BEC.∵∠AED + ∠ADE = 90º,∴∠AED + ∠BEC = 90º.∴∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于1/2c².又∵∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)².∴1/2(a+b)²=2×1/2ab+1/2c².∴a²+b²=c².【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理的知识点总结
勾股定理的知识点总结勾股定理的应用是非常广泛的，它可以帮助我们解决很多与直角三角形相关的问题。
在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
在数学教育中，勾股定理也是基础知识之一，学生可以通过学习勾股定理来提高对几何学和三角学的理解和应用能力。
除了勾股定理本身，还有一些与之相关的知识点，比如勾股定理的逆定理、特殊直角三角形的性质、勾股数的概念等。
接下来，我们将系统地介绍勾股定理及相关知识点的内容，以便读者能够更全面地了解这一重要定理。
一、勾股定理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的。
据说，毕达哥拉斯是在观察三角形时发现了这一定理。
他发现，对于一个直角三角形来说，直角边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。
这一发现被称为勾股定理，成为了数学中的一项重要定理。
勾股定理的数学表述如下：如果一个三角形的两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，那么a的平方加上b的平方等于c的平方，即a^2 + b^2 = c^2。
这一定理适用于所有直角三角形，无论其大小或者比例如何，只要是直角三角形，勾股定理都成立。
勾股定理的应用非常广泛。
在几何学中，我们可以通过勾股定理来解决直角三角形的各种问题，比如求边长、求角度、求面积等。
在三角学中，勾股定理可以帮助我们计算三角函数的值，从而解决各种三角函数的计算问题。
在实际生活中，勾股定理被广泛应用于建筑、工程、地理测量、导航系统等领域。
二、勾股定理的逆定理除了勾股定理本身，勾股定理的逆定理也是很重要的一个概念。
勾股定理的逆定理是指，如果一个三角形的三条边满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
也就是说，如果三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形一定是直角三角形。
勾股定理的逆定理可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
只要我们知道了三角形的三条边的长度，就可以根据勾股定理的逆定理来判断这个三角形是否为直角三角形。
7.2勾股定理的逆定理教案
此外，我发现在讲解难点时，尽管我尝试通过不同的方式来解释，但仍有部分学生难以理解。这可能是因为我讲解的节奏过快，或者举例不够贴近学生的生活实际。因此，我打算在下一次的教学中，放慢讲解的速度，使用更多的直观教具和动画，以便学生能够更直观地理解勾股定理逆定理的原理。
3.内容列举：
a.勾股定理的逆定理表述：若一个三角形的三边满足a²+b²=c²（a、b、c为三角形的三边，c为最长边），则这个三角形是直角三角形；
b.举例说明勾股定理的逆定理的应用；
c.练习：判断给定三角形是否为直角三角形，并解释原因；
d.实践活动：运用勾股定理的逆定理解决实际问题，如测量距离、计算高度等。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的逆定理的学习，使学生能够运用逻辑推理方法，判断一个三角形是否为直角三角形，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.增强学生的空间想象力：通过勾股定理的逆定理在实际问题中的应用，培养学生的空间想象力，提高学生对几何图形的认识和运用能力。
3.培养学生的数学运算能力：让学生掌握勾股定理的逆定理，并进行相关练习，提高学生的数学运算速度和准确性。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理逆定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理逆定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
初二下学期数学勾股定理知识点总结
初二下学期数学勾股定理知识点总结
数学勾股定理是初中数学中的一个重要知识点，它是描述直角三角形的边之间的关系的定理。
下面是初二下学期数学勾股定理的知识点总结：
1. 勾股定理的表达方式：
a² + b² = c²
其中，a、b为直角三角形的两个直角边，c为直角三角形的斜边（斜边就是斜边对应的直角三角形的边）。
2. 勾股定理适用的条件：
只适用于直角三角形，即该三角形有一个内角为90度的三个内角的其中一个内角。
3. 勾股定理的推论及性质：
- 斜边是直角边中最长的一边。
- 如果三角形的三个边长满足勾股定理，那么这个三角形一定是直角三角形。
- 两个边的平方和等于第三边的平方，只能成立在直角三角形中。
4. 勾股定理的应用：
- 用勾股定理求直角三角形的边长：当给定两个直角边的边长，可以利用勾股定理求解斜边的边长。
- 判定三角形是否为直角三角形：当给定三角形的三个边长，可以利用勾股定理判断该三角形是否为直角三角形。
以上是初二下学期数学勾股定理的知识点总结，掌握了这些知识点，可以帮助你更好地理解和应用勾股定理。
初中数学勾股定理知识点
勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a=，b=及c=．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．。
《7.2勾股定理》教学设计
《7.2勾股定理》教学设计一、教材分析：本节课是青岛版九年制义务教育初级中学教材八年级下册第七章《探索勾股定理》第2节第一课时。
勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边之间的数量关系。
它既是学生所学直角三角形知识的一个深入，又为下一章《实数》的出现做了铺垫，起到了承上启下的桥梁作用。
并且在现时生活中也有着广泛的应用。
学生通过对勾股定理的探索学习，可以在原有的基础上更进一步的认识和理解直角三角形。
二、教学目标：知识与技能：1．熟记勾股定理内容并进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
过程与方法：1、在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
2、通过观察课件探究拼图等活动，体验勾股数，学思维的严谨性，发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，并学会与人合作、与人交流，培养学生的合作交流意识和探索精神。
情感态度与价值观：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．三、教学重难点重点：了解勾股定理、用面积法（拼图法）探究勾股定理。
难点：勾股定理的验证与其中体现的思想方法知识链接：：四、教学过程：（一）、创设情景导入新课：提出问题：情景：人类一直想要弄清楚其他星球上是否存在着“人”，并试图与“他们”取得联系。
那么我们怎么样才能与“外星人”接触呢？我国数学家华罗庚曾建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系。
问题1. 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高h=3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离x=2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?问题2：生活中有如此多的直角三角形，你有什么问题或想法吗？抛出问题：（1）学生能说出直角三角形，（2）在说问题和想法时，最好说出直角三角形是怎么画出来的呢？从而顺利引入新课。
（二）、探索过程活动一：探索发现勾股定理实验操作：（等腰直角三角形）：活动二：（一般的直角三角形）师抛出问题：观察右边两幅图填表（每个小正方形的面积为单位1）：此处正方形C的面积是不易求出的，可让学生通过自主思考、小组合作等方式去探求，最后老师再利用计算机演示处理过程.（割补法）师抛出问题：1.是不是所有的直角三角形都具有此种性质呢？2.是不是所有的三角形都具有这种性质呢？（追问）勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a ，b ，斜边长为 c ，那么即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（三）数学小史：222c b a =+我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）（四）.试一试，你真棒！例（变式）：如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处. 大树在折断之前高多少米？弦股勾（五）练一练、你能行求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：已知直角三角形两边长度，求第三边的长度. （六）课堂小结 ：本节课我们探索了勾股定理，接下来我们一起来梳理一下，我们可以从哪些方面来总结我们的收获呢？要求：以小组为单位进行交流，学生明确分工：1人组织，1人记录，2人展示，组内人人发言。
勾股定理知识点总结
勾股定理知识点总结勾股定理是我们学习数学时经常接触到的一条重要的定理。
它被广泛应用于解决直角三角形相关的计算问题。
在本文中，我们将对勾股定理的起源、定义、应用以及相关的推论进行总结和分析。
一、勾股定理的起源勾股定理最早可以追溯到公元前6世纪的中国，也有一些证据显示一些古代文明，如古埃及、古希腊等，也掌握了类似的定理。
然而，勾股定理以中国古代数学家毕达哥拉斯命名而为人熟知。
在西方，它被称为毕氏定理。
二、勾股定理的定义勾股定理声明了一个直角三角形斜边平方等于两个直角边平方和的关系。
具体而言，对于一个直角三角形，设直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，则有以下公式成立：c² = a² + b²三、勾股定理的应用勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用场景：1. 测量直角三角形的边长：借助勾股定理，我们可以通过已知两条边长来计算第三条边长。
这在测量土地面积、建筑设计等方面非常有用。
2. 求解角度：如果我们知道一个直角三角形的两边长度，可以通过应用反三角函数来计算出对应的角度。
3. 解决实际问题：勾股定理在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们可以利用勾股定理来确定三维空间中点的距离。
四、勾股定理的推论除了勾股定理的基本形式，还有一些重要的推论可以从中得出。
以下是一些常见的推论：1. 等腰直角三角形：如果一个直角三角形的两条直角边长度相等，那么它就是一个等腰直角三角形。
2. 勾股数：勾股定理的推论之一是存在一些整数解，被称为勾股数。
例如，3、4、5就是一个勾股数，因为3² + 4² = 5²。
3. 扩展到高维空间：勾股定理可以推广到高维空间中，例如四维或五维空间，从而成为勾股定理的拓展。
总结：勾股定理是数学中的一条重要定理，它描述了直角三角形的斜边平方等于两个直角边平方和的关系。
它有着广泛的应用，可以用来解决直角三角形的边长、角度和实际问题。
勾股定理-全章
第一章勾股定理勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。
勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等勾股定理的应用求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题，直角三角形三边之间的关系不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长．直角三角形的判别直角三角形的判别有两种方法：(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形，勾股定理中的方程思想勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项．勾股定理中的转化思想在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解，【例题1-勾股定理及其逆定理的基本用法】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
青岛版数学八年级下册《7.2 勾股定理》教学设计
青岛版数学八年级下册《7.2 勾股定理》教学设计一. 教材分析《7.2 勾股定理》是青岛版数学八年级下册的一个重要内容。
本节内容主要介绍了勾股定理的发现、证明及其应用。
通过本节的学习，学生可以了解勾股定理的来历，掌握勾股定理的证明方法，并能运用勾股定理解决实际问题。
教材内容安排合理，例题和习题具有代表性，有利于学生掌握知识点。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了相似三角形的性质、锐角三角函数等知识，具备了一定的数学基础。
但部分学生对于证明过程的理解和运用还存在困难，对于实际问题中勾股定理的应用还不够熟练。
三. 教学目标1.了解勾股定理的发现和证明过程，掌握勾股定理的内容。
2.能够运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.勾股定理的证明过程。
2.勾股定理在实际问题中的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究勾股定理的证明过程。
2.运用案例教学法，分析实际问题，提高学生运用勾股定理解决问题的能力。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学资源，如PPT、视频等。
2.准备实际问题案例，用于课堂练习和拓展。
3.准备勾股定理的证明方法，以便课堂上进行讲解和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示勾股定理的历史背景，引导学生思考为什么会有勾股定理的发现。
通过提问方式，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解勾股定理的证明过程，包括几何画图、证明步骤等。
在此过程中，注意引导学生思考每一步证明的合理性，提高学生的逻辑思维能力。
3.操练（10分钟）运用PPT展示几个实际问题，让学生运用勾股定理进行解答。
解答过程中，鼓励学生相互讨论，共同解决问题。
教师在此过程中进行指导，帮助学生掌握勾股定理的应用。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检测学生对勾股定理的掌握情况。
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SⅢ
因为大正方形的面积相等，而SⅠ+ SⅡ和SⅢ的面积 都等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积。
由此你发现直角三角形的三边 归纳总结 a,b,c之间有怎样的数量关系？
勾股定理
直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方。 如果直角三角形两直角边分别为a、b, B 斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
2 2
2
练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
4.8 24 斜边上的高为______. ABC面积为_____,
A
D
C
B
谈谈你的收获！
１.这节课你的收获是什么？ ２.理解“勾股定理”应该注 意什么问题？ ３.你觉得“勾股定理” 有用吗？
作业
O 6米 B
3.巩固提高之灵活运用 如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为6米。
(1)求梯子上端A到墙的 底端B的距离AB。
（2）若梯子下部C向后 移动2米到C1点，那么梯 子上部A向下移动了多少 2 C1 C 米？
10
A
A1
6
B
猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
用 拼 图 法 证 明b
如图 5 — 2 ，从电线杆 OA 的顶端 A 点，扯 例1 一根钢丝绳固定在地面上的B点，这根钢 丝绳的长度是多少？（AO=8米 BO=6米） 分析：
连接OB,OB与OA垂直,得直角三角形，在此直角三 角形中，已知两直角边求斜边，应该用勾股定理.
解
如图,在Rt△AOB中，∠O=90°, AO=8米 ,BO=6米, 由勾股定理，得 AB2=AO2+BO2 =82+62=100 于是 AB= 100 =10 B 所以，钢丝绳的长度为10米.
a
c
a
Ⅰ a
a c
Ⅲ
b
c
a
c b
a
b
a
b
证明3：
C D
a c c
你能只用这两个 直角三角形说明 a2+b2=c2吗？
• 1881年，伽菲尔 德就任美国第二 十任总统.后来， 人们为了纪念他 对勾股定理直观、 简捷、易懂、明 了的证明，就把 这一证法称为 “总统证法”．
b
A
b
∵ S 梯形ABCD = a+b 2 2 1 = (a2+2ab+b2) 2 又 ∵ S梯形ABCD =S AED +S EBC+S 1 1 1 1 = ab+ ba+ c2= (2ab+c2) 2 2 2 2 比 较 上 面 二 式 得 c2=a2+b2
x 15
144
5
5 3
4 z
169
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形的周长 30 . 为 3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，那么△ABC的 面积为____. 24
想一想
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积. 81 A =625
合作探究
图一 图二 小直角三角形的长直角边等于a,短直角边等于b，斜边等于c. 1、将四个三角形摆放在第一个正方形内，如图一所示，则正方 形Ⅰ的面积SⅠ = a2 ，正方形Ⅱ的面积SⅡ = b2 。 2、将四个三角形摆放在第二个正方形内，如图二所示，则正方形 Ⅲ的面积SⅢ = c2 。
SⅠ+ SⅡ= 3、正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积有什关系？___________ 即 a2+ b2= c2 。为什么？
例2
现代汉语的意思是：有一架秋千，当静止时其踏板离地1尺；将 它向前推两步（一步指“双步”，即左右脚各迈一步，一步为5尺） 并使秋千的绳索拉直，其踏板离地5尺.求绳索的长.
分析：画出如图的图形，由题意可知AC= 1尺；
CD= 10尺 ;CF= 5尺 .Rt OBF中设OB为x尺，你能解答这个题吗？
x2+22=(x+1)2
2 ┓
H
x ?
B
2、蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬 了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
G B E
C
F
D
应用举例
某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了 解到每层楼高2米，消防队员取来6.5米长 的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是 2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火?
实验与探究 （1）用硬纸片剪8个全等的直角三角形，设 每个直角三角形两条直角边分别为a，b， 斜边为c。 （2）在纸上画出两个边长均为a+b的正方形； 按图7-3所示的方式，将剪出的4个直角三 角形摆放在第一个正方形内；按图7-3所 示的方式，将另外的4个直角三角形摆放在 第二个正方形内。 （3）判断图7-3中四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的形状， 说出你的理由。
a c b
答案：49
Ⅰ
7
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
74 5476 ∵ 58 46 5480 荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
朱实 c 中黄实 b a
返回
( b- a) 2
ab 那么： c 4 ( b a )2 2
2
得： c2 =a2+ b2．
它标志着我国 古代数学的伟 大成就！
弦图
这个图形里蕴 涵着怎样博大 精深的知识呢 ？
如图,图中所有四边形都是正方形， 正方形Ⅰ的边长为7你能求出正方形A、 B、C、D的面积之和吗？ C D B A Ⅱ Ⅲ
像3，4，5； 6、8，10；
X=5
x=6 5，12，13等都是
勾股数。
满足 a
2
b c
2
2
的三个正整数叫做勾股数组
1、 基本勾股数组如：大家一定要熟记
3、、 45
1、 1、 2
5、 12、 13
7、 24、 25
1、3、 2
2、如果a,b,c是一组勾股数组，则ka、kb、kc （k为正整数）也是一组勾股数， 6、8、10 ； 如： 10、24、26 ； 9、12、15 15、36、39
解：如图1,设OA为静止时秋千绳索的长，OB为运动后绳索的长则OB=OA
延长OA交地面于C，过点B作BD与地面交于C,过点B作AE⊥BD,BF⊥OC,则四边形 AFBE,ACDE是矩形。由题意得AC=1，CF=5, BF=CD=10. AF=CF-AC=5-1=4.设 绳索长为OA=OB=x尺。
O
则 OF=OA-AF=(x-4)尺 在Rt△OBF中，由勾股定理，得：
A
O
一 填空题：
1) 在直角三角形中，两条直角边 2+b2 2 a 分别为a,b, 斜边为c，则c =____ 2) 在RT△ABC中∠C=90°, 5 ⑴若a=4,b=3,则c=____
c
A
b
12 ⑵若c=13,b=5,则a=____
B
C
a
15 ⑶ 若 c=17,a=8,则b=____
（4) 在直角三角形中,如果有两边 5或 7 为3,4,那么另一边为_________
1
E
a
B
CED
赵爽弦图的证法
我国对勾股定理的证明采取的是 割补法，最早的形式见于公元三、四 世纪赵爽的《勾股圆方图注》．在这 篇短文中，赵爽画了一张他所谓的 “弦图”，其中每一个直角三角形称 为“朱实”，中间的一个正方形称为 “中黄实”，以弦为边的大正方形叫 “弦实”，所以，如果以a、b、c分别 表示勾、股、弦之长，
a2+b2+2ab ∵S大正方形=(a+b)2=a
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
a c b
b c
a
a
1 2 =4·ab+c 2
=c c22ab=c2+2ab 2 ∴a 2 +b 2 =c
我们用拼图的方法来说明勾股定理是正确的．
b a c b
a
b c b b Ⅱ b a
解:如图,在Rt△ABC中， ∠C=90°, AB=6米 , BC=2.5米, 由勾股定理，得 AB2=AC2+BC2 ∴AC2=AB2-BC2 =6.52-2.52
=(6.5-2.5)(6.5+2.5)
=36 ∴AC=6 所以消防队能进入三楼灭火
明朝程大位的著作《算法統宗》裏有一道“蕩秋千” 的趣題，是用詩歌的形式： 平地秋千未起，踏板一尺離地； 送行二步與人齊，五尺人高曾記。 仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉； 良工高士好奇，算出索長有幾？ 索長有幾
c a A b
C
辉煌发现
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
勾
弦
股
勾
股
精讲点拨
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系
判断正误 :
若直角三角形的两条边长为6cm、 8cm，则第三边长一定为10cm.( × )
6
6
8
8
求下列直角三角形中未知边的长:
比 一 比 看 看 谁 算 得 快 ！
5 8 17
x
20
16
x
12