2012概率统计(下)试卷C(答案)

东莞理工学院（本科）试卷（C 卷）
2011 --2012 学年第二学期
《概率论与数理统计》试卷（答案）
开课单位：计算机学院数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 计算器 入场
一、填空题（共70分 每空2
1、已知()0.4,()0.5,()0.4,P A P B P A B ===则)(B A P ＝ 0.7 。

2、已知3.0)(7.0)(=-=B A P A P ，，则)(B A P ＝ 0.6 。

3、甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和0.5，现
已知目标被命中，则它是乙射中的概率是 8
5 4、一批产品共有6件正品2件次品，从中不放回任取两件，则两件都是正品的
概率为 28
15 5、某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25
岁的这种动物活到30岁以上的概率是 0.5 。

6、设一电路由三个相互独立且串联的电子元件构成，它们被损坏而发生断路概
率均为p ，则电路发生断路的概率是 3)1(1p --。

7、已知某对夫妇有三个小孩，则男孩的个数Y 服从的分布为 )5.0 ,3(B ，恰有
两个男孩的概率为
83，在已知至少有一个女孩的条件下，至少还有一个男孩的概率为
76。

8、已知工厂A B 、生产产品的次品率分别为1%和2%，现从由A B 、的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，则该产品是次品的概率为 1.4% ；若随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，则该次品属于A 厂生产的概率是 73 9、指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。

设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为
⎩
⎨⎧>=-其它 ,00 ,002.0)(002.0t e t f t 则这种电器没有用到1000小时就坏掉的概率为21--e ，这种电器的寿命的标准差为 500 小时。

10、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，}1{}2{===X P X P ，则=EX 2。

11、设随机变量),2,3(~2N X 则=<<)31(X P 0.3413 ，设,12+=X Y 则
Y 服从分布)16 ,7(N 。

12、设X 为连续性随机变量，则对于任意确定的常数a ，有==)(a X P 0 。

13、设随机变量X ~ N （5，9），Y ~ N （5，16），且X 与Y 相互独立，则X －Y 服从)25 ,0(N 分布，P(X –Y>10) = 0.0228 。

14、设)4,0(~N X ，)3
1,9(~B Y ，若X ，Y 相互独立，则D ()32Y X -= 34 ；若X 和Y 的相关系数3/1-=XY ρ，则D ()32Y X -= 2834+。

15、设X 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它
, 010 ,)(x x k x f ， 则=k 23，=2EX 73
16、设二维随机向量),(Y X 的联合分布密度函数=)(x f XY ⎩⎨⎧≤≤-其它
, 0,0 ,y x e y 则，
Y 的密度函数=)(y f Y ⎩⎨⎧<≥-0
,00 ,y y ye y ， =EX 1 17、设随机变量),2.0,1000(~B X 由中心极限定理可得)200(≥X P 的近似值为
0.5 。

18、.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为：
=)(x f X 2, 01,0, x x ≤≤⎧⎨⎩其它， =)(y f Y 23, 01,
0 , y y ⎧≤≤⎨⎩其它. 已知随机变量X 和Y 相互独立.则概率{}0P Y X -<＝0.4
19、设X 1，X 2，X 3是来自总体X 的简单随机样本，则下列统计量
3211X X X T -+=，)(313212X X X T +-=，32136
14121X X X T ++=， )(2
1214X X T +=中，总体均值的无偏估计量为41,T T ，其中最有效的为 4T 20、在假设检验中，在假设检验中，显著水平为α，若1H 为真，却拒绝1H ，
称为犯第 一 类错误，犯此类错误的概率为α
21、设101,...,X X 及151,...,Y Y 分别是总体)6,20(N 的容量为10，15的两个独立样本，Y X ,分别为样本均值，2221,S S 分别为样本方差。

则： ~Y X -)1 ,0(N ，
{}
1>-Y X p = 0.3174 ，~2321S )9(2χ，~2221S S )14 ,9(F 二、计算题（每题6分，共24分） 1、 已知某产品的次品率为01.0，现随机抽取200件产品，其中次品数记为X ，
（1）求X 的分布律，并写出恰有二件次品的概率计算式；
（不要求算出数值结果）（3分）
（2）根据相关定理，X 近似服从泊松分布。

请写出该泊松分布，并用泊松
分布计算恰有二件次品的概率（3分）。

解：（1）X ～)01.0 ,200(B ，分布律：k k k C k X P -⨯==200200
)99.0()01.0()(
)200 , ,2 ,1 ,0( =k
恰有二件次品的概率9822200
)99.0()01.0()2(⨯==C X P （2）X 近似服从泊松分布)(λP ，201.0200=⨯==np λ，X ～)2(P
恰有二件次品的概率==)2(X P 22
22!
22--=⋅e e 2、 设总体X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-,0,
0,0,e 1)(x x x f x θθ 其中0>θ为未知常数，n X X X ,,,21 为X 的
一个简单随机样本，求：
（1）θ的矩估计量（3分）；
（2）θ的最大似然估计量（3分）。

解：（1） X 服从指数分布)(θE ，∴θ=EX ，令X EX =，∴X =θ
∴θ的矩估计量X =1
ˆθ （2）似然函数)()()(21n x f x f x f L =＝
θθn x x x n e +++- 211
)(1ln ln 21n x x x n L +++--= θθ
)(1ln 212n x x x n d L d ++++-= θ
θθ 令0ln =θd L d ，得x x x x n
n =+++=)(121 θ ∴θ的最大似然估计量X =2ˆθ
3、 从正态总体),(2σμN 中抽取容量为5的样本值：
1.8 ，3.2, 1.4, 4.0,
2.6,
（1）已知05.1=σ，求μ的置信水平为0.95的置信区间；
（2）若σ未知，求μ的置信水平为0.95的置信区间。

（,1318.2)4(05.0=t 7764.2)4(025.0=t ，5706.2)5(025.0=t ，0150.2)5(05.0=t ） 解：样本均值6.25151==∑=i i x x ，样本方差1.1)(41251
2=-=∑=i i x x s ，0488.1=s
（1）已知05.1=σ， μ的置信水平为0.95的置信区间为)(025.0Z n x σ±
即)96.1505
.16.2(⨯±，即)92.06.2(±，即)52.3 ,68.1(
（2）若σ未知， μ的置信水平为0.95的置信区间为))4((025.0t n s
x ±
即)7764.250488
.16.2(⨯±，即)30.16.2(±，即)90.3 ,30.1(
4、 某厂家声称其生产的某型号手机待机时间不低于100小时。

从该厂家生产的该型号手机总体中随机取得一个样本容量为16的样本，经测试待机时间为：103，90，95，101，99，93，102，102，95，90(单位：小时)。

设该厂家生产的该型号手机待机时间服从正态分布。

经计算求该厂家生产的该型号手机待机时间的样本均值为97小时，样本标准差为5.03小时。

请以95％的可靠程度检验该厂家声明是否真实可信？
解：0H ：100≥μ，1H ：100<μ
可靠程度95％时，显著水平05.0=α，拒绝域：)15(05.0t t -<，即7531.1-<t 计算统计量98.225
03
.5100970-=-=-=n s x t μ，在拒绝域，故拒绝0H ，按受1H 该厂家声明不可信。

三、应用题（共6分） 已知一批产品中有95％是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率是0.03，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率。

解：令1A ＝{合格品}，2A ＝{次品}，95.0)(1=A P ，05.0)(2=A P
=B {产品检验为合格品}，则98.0)(1=A B P ，03.0)(2=A B P
（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率
)(B P ＝)()(2
1i i i A P A B P ∑=＝05.003.095.098.0⨯+⨯＝9325.0
（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率 )()()()()()(1111B P A P A B P B P B A P B A P ==＝9984.09325
.095.098.0=⨯。