2020年中考专题复习 第五讲：类比探究综合 讲义

图1AB C D GEFM 图2A BCDG EFM图3ABCDG EFM第五讲：类比探究综合➢ 课前预习1.小明同学碰到如下问题：如图1，在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG > BC ）中，点B ，C ，G 在同一直线上，点M 是AE 的中点．（1）探究线段MD ，MF 的位置关系及数量关系，并证明． （2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使D ， C ，G 三点在同一直线上，如图2，其他条件不变，则（1）中 得到的两个结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明． （2）若将图1中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方 形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一直 线上，如图3，其他条件不变，则（1）中得到的两个结论是否 发生变化？请写出你的猜想并加以证明．小明同学分析第一问发现，问题关键在于中点的应用． 经过尝试，小明成功解决了第（1）问，并将思路记录如下：MD ⊥MF MD =MF等腰Rt △M 为DH 中点FD =FH DFH =90°DM =AD =EH △ADM ≌△EHM 延长DM ，交EF H （平行夹中点）仿照小明的证明方法，你能解决（2）（3）问吗？2. ①如图，在△ABC 中，AF :FB =2:3，延长BC 至点D ，使得BC =2CD ，则AEEC=_________． 提示：求比例，找相似．利用平行线构造“A 型”或“X 型”相似是我们常用的一种做法．A BEF②如图，AB =4，射线BM 和AB 相互垂直，点D 是AB 上的一个动点，点E 在射线BM 上，2BE =DB ，作EF ⊥DE 并截取EF =DE ，连接AF 并延长交射线BM 于点C ．设BE =x ，BC =y ，则y 关于x 的函数解析式是（ ）A ．124xy x =--B ．21xy x =--C ．31xy x =-- D ．84x y x =-- 提示：结合直角特征考虑分析，可构造一线三等角，利用相似整合信息．M FE DC B A➢ 知识点睛类比探究问题的处理思路1. 若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究结构举例：中点结构、直角结构、旋转结构、平行 结构．2. 若不属于常见结构类型：①根据题干条件，结合_______________先解决第一问． ②类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找______________．③结合所求目标，依据__________，大胆猜测、尝试、验证．➢ 精讲精练1. 已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1，AB =2，BC =3．（1）如图1，P 为AB 边上的一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，则当点P 与点A 重合时，PQ 的长为__________．（2）如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD ，PC 为边作□PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． （3）若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE =PD ，再以PE ，PC 为边作□PCQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（4）如图3，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到E ，使AE =nPA （n 为常数），以PE ，PB 为边作□PBQE ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DQCBA (P )图12. AB CDA DAPBCQD图2ACD EPQ已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，点P 是射线CB 上一点（点P 不与点B ，C 重合），线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M ． （1）如图1，当AC =BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是__________． （2）如图2，当AC =BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图3，若52AC BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，CM =2，AP =13，求△ABP 的面积．图1M QPABC图2M QPAB CMC BAPQ图33. （1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ．填空： ①∠AEB 的度数为___________；②线段AD ，BE 之间的数量关系为___________．图1CDABE（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE =90°，点A ，D ，E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE ．请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．图2MEDCBA（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD．若点P 满足PD =1，且∠BPD =90°，请直接写出点A 到BP 的距离．A BCD图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =2AB =8，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现 ①当α=0°时，=BD AE ______；②当α=180°时，=BDAE______． （2）拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决当△EDC 旋转至A ，D ，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．图3图2图1ABCAEBDCD ECB A【参考答案】 ➢ 课前预习1. 能，证明略2. ①2②A➢ 知识点睛2. ①分支条件 ②不变特征 ③不变特征➢ 精讲精练1. （1）（2）存在，最小值为4． （3）存在，最小值为5．（4）存在，最小值为(4)2n +． 2. （1）PB =2CM ．（2）成立，证明略． （3）△ABP 的面积为25． 3. （1）①60°；②AD =BE ．（2）AE =2CM +BE ．（3）点A 到BP 的距离为12或12．4. （1）①22． （2）0360α︒<︒≤时，AEBD的大小没有变化，证明略．（3）线段BD 的长为．类比探究（随堂测试）1.如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG．（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求EFEG的值．E(A)B CDF GGFDCBAEEACDF G(B)图1图2图3【参考答案】1.（1）证明略．（2）成立，证明略．（3）EF b EG a．类比探究（习题）➢ 例题示范例1：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．（1）尝试探究：如图1，若3AFEF=，则CD CG 的值是_______． （2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AF m EF =（m >0），则CDCG的值是_______（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若AB a CD =，BCb BE=（a >0，b >0），则AF EF 的值是_____（用含a ，b 的代数式表示）．GFE D C B A图1G FE D C B A图2A D C E F 图3GF E DC BA图1GF E DC BA图2ADCEFB图3【思路分析】① 根据特征确定问题结构，设计方案解决第一问．问题背景是平行四边形，且已知线段比例关系，考虑通过相似传递比例关系，进而求CDCG的值．构造相似利用作平行线的方法，即过中点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，可得“A ”字型相似△BEH ∽△BCG ，“X ”型相似△EFH ∽△AFB ，结合3AF EF =，可得CG =2EH ，AB =3EH ，故32CD CG =．② 类比第一问思路，解决第二问．分析不变特征，此时平行四边形、中点特征均不变，变化的是AF ，EF 的比例，照搬第一问思路，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，同样可得△BEH ∽△BCG ，△EFH ∽△AFB ，此时CG =2EH ，AB =mEH ，故2CD mCG =． ③ 照搬思路解决第三问．虽然此问中图形、中点E 、比例关系均发生变化，但DC ∥AB 不变，依然可利用相似来整合条件，可照搬前面思路处理，依然构造平行．过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H ，可得△BCD∽△BEH ，△AFB ∽△EFH ，可得CDEHBC BE =，AF AB EF EH =，结合AB a CD =，BCb BE =，可知AF AB a CD ab EF EH EH ⋅===．➢ 巩固练习1. 如图1，一副直角三角板满足AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ． 【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1=EA CE时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明． （2）如图3，当2=EACE时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（3）根据你对（1），（2）的探究结果，试写出当m EACE=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为______________________．图1图2图3AC B F ED P QAC B FEDP QFB C (E )A (D )2. 如图1，在等边三角形ABC 中，线段AD 为其内角角平分线，过点D 的直线B 1C 1⊥AC于C 1，交AB 的延长线于B 1．（1）请你探究：1111AC C DAC CD AB BD AB DB ==，是否都成立？ （2）请你继续探究：如图2，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角角平分线，请问AC CD AB BD=一定成立吗？并证明你的判断． 图1C 1B 1BADC 图2B ACDBCD图3FE图4图33. 如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°． （1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是___________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是______________．CB (E )A (D )E图1 图2（2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC ，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究如图4，已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE ∥AB 交BC 于点E ．若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．相应的BF 的长．➢ 思考小结总结类比探究问题中的常见结构 ①旋转结构AB=ACDCD'A始终含有等腰结构（正方形、等腰直角三角形等），并且经过旋转后，能将各条件重新组合应用． ②中点结构MDCBA FE BAMCNM CBA平行夹中点 （类）倍长中线 中位线始终含有中点，常考虑利用中点结构补全图形，然后将所证目标放在一个较大的背景下（等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等）研究． ③直角结构AB CDEF始终含有直角，常构造直角与斜直角配合，得到同角的余角相等；再配合构造的其他直角证明相似，所求目标往往和比例关系相关． ④平行结构A B DC EF所求目标为线段间的比例关系，题目中没有相似三角形，往往考虑利用平行线构造相似求解．【参考答案】➢巩固练习1.（1）EP=EQ，证明略；（2）12EP EQ=，证明略；（3）1EP EQm=．2.（1）都成立，证明略；（2）一定成立，证明略；（3）58 DFFA=．3.（1）①DE∥AC；②S1=S2．（2）证明略；（3）BF。