2020河南中考数学复习专题专题 类比探究题.pptx

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【分析】(1)通过证明△ADB≌△EAC,可得结论:BC=AB+AC=BD+CE; (2) 过 D 作 DE⊥AB,交 BA 的延长线于 E,同理证明△ABC≌△DEA,可得 DE=AB =2,AE=BC=4,最后利用勾股定理求 BD 的长; (3)同理证明三角形全等,设 AF=x,DF=y,根据全等三角形对应边相等列方程 组可得结论. 【自主解答】
最大值.
图 1 图2
3.(2015·河南)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,BC=2AB=8,点 D,E 分 别是边 BC,AC 的中点,连接 DE.将△EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转,记旋转角 为 α.
(1)问题发现
①当 α=0°时,ABED=

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②当 α=180°时,ABED=
E 在同一直线上,CM 为△DCE 中 DE 边上的高,连接 BE,请判断∠AEB 的度数及
线段 CM,AE,BE 之间的数量关系,并说明理由;
(3)解决问题 如图 3,在正方形ABCD 中,CD= 2,若点 P 满足PD=1,且∠BPD=90°,请直 接写出点A 到 BP 的距离.
类型一 【例 1】(1)1 60°
学海无涯
专题七 类比探究题 专题类型突破
类型一 图形旋转引起的探究 (2019·河南)在△ABC 中,CA=CB,∠ACB=α.点 P 是平面内不与点 A,C
重合的任意一点.连接 AP,将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转α 得到线段 DP,连接
AD,BD,CP.
(1)观察猜想
BD 如图 1,当 α=60°时,CP的值是
∵CE=EA,CF=FB,∴EF∥AB, ∴∠EFC=∠ABC=45°. ∵∠PAO=45°,∴∠PAO=∠OFH. ∵∠POA=∠FOH,∴∠H=∠APO. ∵∠APC=90°,EA=EC,
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学海无 涯
∴PE=EA=EC,∴∠EPA=∠EAP=∠BAH,
∴∠H=∠BAH,∴BH=BA.
∵∠ADP=∠BDC=45°,∴∠ADB=90°,
∴BD⊥AH,∴∠DBA=∠DBC=22.5°.
∵∠ADB=∠ACB=90°,
∴A,D,C,B 四点共圆,∠DAC=∠DBC=22.5°,∠DCA=∠ABD=22.5°,
∴∠DAC=∠DCA=22.5°,
∴DA=DC.
2 设 AD=a,则 DC=AD=a,PD= 2 a,
AD a
∴CP= a+
=2- 22a
重合),∠PAD=90°,∠APD=∠B,连接 CD.
填空:①PCBD=

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②∠ACD 的度数为
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(2)拓展探究 如图 2,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AABC=k.点 P 是边 BC 上一动点(不与点 B
重合),∠PAD=90°,∠APD=∠B,连接 CD,请判断∠ACD 与∠B 的数量关系以 及 PB 与 CD 之间的数量关系,并说明理由;
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学海无涯
BA 的延长线时,线段 BN 取得最大值,即可得到最大值为 2 2+3;过 P 作 PE⊥x 轴于 E,根据等腰直角三角形的性质即可得到点P 的坐标. 【自主解答】
4.(2019·河南模拟)(1)问题发现 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AABC=1,点 P 是边 BC 上一动点(不与点B
+∠ABD)=180°-140°=40°. (2)ABCD= 3,∠AMB=90°.理由如下:
在 Rt△OCD 中,∠DCO=30°,∠DOC=90°,
OD
3
∴OC=tan 30°= 3 .
同理得OOBA=tan 30°= 33.
∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOC=∠BOD,
∴△AOC∽△BOD, ∴ABCD=OOCD= 3,∠CAO=∠DBO,
参考答案
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学海无 涯
(2)BCDP的值为 2,直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45°.理由如下: 如图,设 BD 交 AC 于点 O,BD 交 PC 于点 E.
∵∠PAD=∠CAB=45°, ∴∠PAC=∠DAB. ∵AABC=AADP= 2, ∴△DAB∽△PAC,
BD AB ∴∠PCA=∠DBA,PC=AC= 2. ∵∠EOC=∠AOB,∴∠CEO=∠OAB=45°, ∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45°. (3)ACDP的值为 2+ 2或 2- 2. 如图,当点D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于H.
【分析】(1)根据点A 位于CB 的延长线上时,线段 AC 的长取得最大值,即可得 到结论; (2)①根据等边三角形的性质得到 AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出 △CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质得到 CD=BE; ②由于线段 BE 的最大值=线段 CD 的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果. (3)将△APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△PBN,连接 AN,得到△APN 是等腰 直角三角形,根据全等三角形的性质得到 PN=PA=2,BN=AM,根据当 N 在线段
(3)解决问题
如图 3,在△ABC 中,∠B=45°,AB=4 2,BC= 12,P 是边BC 上一动点(不与
点 B 重合),∠PAD=∠BAC,∠APD=∠B,连接 CD.若 PA=5,请直接写出所有
CD 的长.
类型三 图形形状变化引起的探究
(2019·信阳一模)(1)观察猜想
如图 1,点 B,A,C 在同一条直线上,DB⊥BC,EC⊥BC,且∠DAE=90°,AD=
设 BD=x,则 AC= 3x, 在 Rt△AMB 中,由勾股定理得 AC2+BC2=AB2,
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即( 3x)2+(x+2)2=(2 7)2.
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解得 x1=-3,解得 x2=2(舍去),
∴AC=2 3. 综上所述,AC 的长为 3 3或 2 3.
2.解:(1)PM=PN PM⊥PN
提示:∵点 P,N 是 BC,CD 的中点, ∴PN∥BD,PN=12BD. ∵点 P,M 是 CD,DE 的中点, ∴PM∥CE,PM=12CE. ∵AB=AC,AD=AE,∴BD=CE,∴PM=PN. ∵PN∥BD,∴∠DPN=∠ADC, ∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCA. ∵∠BAC=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°, ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°, ∴PM⊥PN. (2)△PMN 为等腰直角三角形.理由如下: 由旋转知,∠BAD=∠CAE.
AE,则 BC,BD,CE 之间的数量关系为

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(2) 问题解决 如图 2,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,CB=4,AB=2,以 AC 为直角边向外作等 腰 Rt△DAC,连接 BD,求 BD 的长; (3) 拓展延伸 如图 3,在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,CB=4,AB=2,DC=DA,请 直接写出BD 的长.
1.(2018·河南)(1)问题发现 如图 1,在△OAB 和△OCD 中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接 AC,
BD 交于点M.填空:
①ABCD的值为

②∠AMB 的度数为

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(2)类比探究
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如图 2,在△OAB 和△OCD 中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连 接 AC 交 BD 的延长线于点 M.请判断ABCD的值及∠AMB 的度数,并说明理由;
填空:当点 A 位于
时,线段 AC的长取得最大值,且最大值为
(用
含 a,b 的式子表示);
(2)应用
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点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=3,AB=1,如图 2 所示,分别以 AB,AC 为边, 作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE,连接 CD,BE. ①请找出图中与BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段BE 长的最大值; (3)拓展 如图 3,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0),点 P 为线段 AB 外一动点,且 PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.
提示:∵∠AOB=∠COD=40°,
∴∠COA=∠DOB.
∵OC=OD,OA=OB,∴△COA≌△DOB(SAS), AC
∴AC=BD,∴BD=1.
②40°
提示:∵△COA≌△DOB,
∴∠CAO=∠DBO.
∵∠AOB=40°,∴∠OAB+∠ABO=140°.
在△AMB 中,∠AMB=180°-(∠CAO+∠OAB+∠ABD)=180°-(∠DBO+∠OAB
,直线 BD 与直线 CP 相交所成的较
小角的度数是

(2)类比探究 如图 2,当 α=90°时,请写出BCDP的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角
的度数,并就图 2 的情形说明理由.
(3)解决问题
当 α=90°时,若点E,F 分别是CA,CB 的中点,点 P 在直线 EF 上,请直接写 出点 C,P,D 在同一直线上时ACDP的值.
2.
如图,当点 P 在线段 CD 上时,同法可证 DA=DC.设 AD=a,则 CD=AD=a,PD 2
= 2 a,
2 ∴PC=a- 2 a,
∴APDC= a a-
=2 22a

2.
综上所述,点 C,P,D 在同一直线上时,ACDP的值为 2- 2或 2+ 2.
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跟踪训练
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1.解:(1)①1
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5.(2014·河南)(1)问题发现
如图 1,△ACB 和△DCE 均为等边三角形,点 A,D,E 在同一直线上,连接BE.
填空:
①∠AEB 的度数为

②线段 AD,BE 之间的数量关系为

(2)拓展探究
如图 2,△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点 A,D,
∴∠AMB= 180°- ∠CAO-∠OAB- MBA= 180°-(∠DAB+∠MBA+∠OBD) =
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180°-90°=90°.
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(3)2 3或 3 3.
提示:①点 C 与点M 重合时,如图,
同理得△AOC∽△BOD, ∴∠AMB=90°,ABCD= 3. 设 BD=x,则 AC= 3x. 在 Rt△COD 中, ∵∠OCD=30°,OD=1, ∴CD=2,∴BC=x-2. 在 Rt△AOB 中,∠OAB=30°,OB= 7. ∴AB=2OB=2 7. 在 Rt△AMB 中,由勾股定理得 AC2+BC2=AB2, 即( 3x)2+(x-2)2=(2 7)2, 解得 x1=3,x2=-2(舍去), ∴AC=3 3. ②点 C 与点M 重合时,如图,同理得∠AMB=90°, ABCD= 3.
(3 )拓展延伸 在(2)的条件下,将△OCD 绕点 O 在平面内旋转,AC,BD 所在直线交于点 M,若
OD=1,OB= 7,请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长.
2.(2017·河南)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,点 D,E 分别在 边 AB,AC 上,AD=AE,连接 DC,点 M,P,N 分别为 DE,DC,BC 的中点.
(1)观察猜想
图 1 中,线段 PM 与 PN 的数量关系是
,位置关系是

(2)探究证明
把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图 2 的位置,连接 MN,BD,CE,判断△PMN 的
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形状,并说明理由;Βιβλιοθήκη Baidu
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(3)拓展延伸 把△ADE 绕 A 在平面内自由旋转,若 AD=4,AB=10,请直接写出△PMN 面积的
【分析】(1)延长 CP 交 BD 的延长线于 E,设 AB 交 EC 于点 O.证明△CAP≌△BAD,
即可解决问题.
(2)设 BD 交 AC 于点O,BD 交 PC 于点E.证明△DAB∽△PAC,即可解决问题.
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(3)分两种情况:当点 D 在线段 PC 上时,延长 AD 交 BC 的延长线于H.证明AD= DC 即可解决问题;当点 P 在线段 CD 上时,同法可证 DA=DC,解决问题. 【自主解答】
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(2)拓展探究
AE 试判断:当 0°≤α<360°时,BD的大小有无变化?请仅就图 2 的情形给出证明.
(3)解决问题
当△EDC 旋转至A,D,E 三点共线时,直接写出线段 BD 的长.
类型二 动点引起的探究
(2016·河南)(1)发现
如图 1,点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b.
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